Métodos Matemáticos para Físicos II CICLO 2018-2 (CF391-A) Material de Estudio No 6 1. La integral de Stierljes se dene como la siguiente suma: Z b f (x)dΦ(x) = lı́m I= n→∞ a n X f(a+k b−a ) ∆Φ(a+k b−a ) . n n k=1 Esta expresión se puede interpretar como el momento generalizado del tipo f (x) debido a la distribución de cierta magnitud (por ejemplo, masas, cargas, etc.), caracterizados por la función Φ(x). Para f (x) = x tenemos momentos de primer orden, para f (x) = x2 , x3 , etc., hablaremos de momentos cuadráticos y de órdenes mayores. Si Φ(x) tiene derivada integrable dΦ = Φ0 dx, entonces la integral de Stierljes se reduce a la integral habitual : Z b f (x)Φ0 (x)dx. I= a que el uso de la función δ para integrar magnitudes discretas es equivalente al uso de la integral de Stierljes. Demostrar 2. Encuentre las expresiones para γ(x), δ(x) y δ 0 (x) a partir de las siguientes funciones auxiliares. 1 a) γ(x) = π Z ∞ 0 b) f (x0 , x, α) = sen kx dk k 1 e x0 −x α +1 1 1 − r2 · 2π 1 − 2r cos φ + r2 0 d) Función de Heaviside S(x) = 1 c) δ(φ, r) = si si x<0 x>0 Compruebe que se cumplen las propiedades ed la función delta. Realice las grácas para γ(x), δ(x) y δ 0 (x). 3. Dena la función delta de Dirac usando como base el sistema de funciones ortogonales dado: a) Funciones de Bessel b) Polinomios de Legendre c) Funciones de Hermite 4. Demostrar que la función delta de Dirac se puede expresar como δ(x) = lı́m fn (x), donde: n→∞ n π a) fn (x) = √ e−n 2 x2 b) fn (x) = sen(nx) πx c) fn (x) = 1 n · π 1 + n 2 x2 Demostrar que para cualquier g(x) continua las expresiones dadas cumplen que Z+∞ lı́m fn (x)g(x) = g(0) n→∞ −∞ . 5. Comprobar que la expresión: sen θ0 1 − r2 · , r→1 4π 1 − 2r (cos θ0 · cos θ + sen θ0 · sen θ · cos(ϕ0 − ϕ)) + r2 δ(θ0 − θ, ϕ0 − ϕ) = lı́m donde 0 ≤ ϕ0 , ϕ ≤ 2π; 0 ≤ θ0 , θ ≤ π , cumple con la denición de función δ para el caso bidimensional. 6. Demostrar que: 1 − r2 lı́m r→1 4π Z2π dϕ 0 Z 0 0 7. π sen θ0 f (θ0 , ϕ0 )dθ0 = f (θ, ϕ). 1 − 2r (cos θ0 · cos θ + sen θ0 · sen θ · cos(ϕ0 − ϕ)) + r2 Demuestre las siguientes propiedades de la función delta de Dirac: a) δ(−x) = δ(x) b) δ 0 (−x) = −δ 0 (x) c) f (x0 )δ(x0 − x) = f (x)δ(x0 − x) d) xδ(x) = 0 e) δ(ϕ(x) ) = X δ(x − xs ) s |ϕ0(xs ) | , donde xs son las raices simples de la ecuación ϕ(x) = 0 que se encuentran en el intervalo de denición. f) δ(ax) = δ(x) |a| g) δ(x2 − a2 ) = δ(x − a) + δ(x − a) 2|x| h) |x|δ(x2 ) = δ(x). Los profesores