métodos matemáticos para físicos II 4

Métodos Matemáticos para Físicos II
CICLO 2018-2
(CF391-A)
Material de Estudio No 4
1.
Sobre una cuerda de longitud l actúa constantemente una fuerza perturbadora, cuya densidad (por
a2
sen ωt, donde a es la constante que gura en la ecuación de la cuerda,
10l
kπa
ω es un número positivo dado, distinto de todos los números de la forma
(donde ·k = 1, 2, 3 . . . ). Halle
l
unidad de masa de la cuerda) es
la ley de las oscilaciones de la cuerda, si la desviación inicial y la velocidad inicial son iguales a cero y los
extremos de la cuerda están jos.
2.
Sobre una cuerda de longitud l actúa constantemente una fuerza perturbadora, cuya densidad (por
a2
aπt
unidad de masa de la cuerda) es
sen
, donde a es la constante que gura en la ecuación de la cuerda.
10l
l
Halle la ley de las oscilaciones de la cuerda, si la desviación inicial y la velocidad inicial son iguales a cero
y los extremos de la cuerda están jos.
Halle la ley de las oscilaciones de una cuerda l, si la densidad de la fuerza externa (por unidad de masa
a2
. El extremo izquierdo de la cuerda se encuentre jo y el derecho
de la cuerda) es constante e igual a 10l
se puede desplazar, de tal manera que su tangente permanece horizontal. La desviación y velocidad inicial
son iguales a cero; a es el coeciente en la ecuación de las oscilaciones de la cuerda.
3.
l
aπt
sen
(donde a es la constante
El extremo izquierdo de una cuerda se mueve según la ley u(0, t) =
10
l
de la ecuación de onda, l es la longitud de la cuerda), y el extremo derecho se encuentra jo: u(l, t) = 0.
Halle la ley delas oscilaciones de la cuerda si la fuerza externa, la desviación inicial y velocidad inicial son
cero.
4.
Halle la ley de las oscilaciones libres de una cuerda de longitud l, si en su extremo izquierdo (x = 0)
se encuentra ja y en el derecho puede desplazarse libremente en dirección vertical, de tal manera que
1
1
su tangente siempre se encuentra formando un ángulo − arctan
(es decir, ux (l, t) = − arctan ). La
5.
x2
desviación inicia es u(x, t) = −
y la velocidad inicial es nula.
10l
10
10
6. Halle la ley de distribución de la temperatura dentro de una barra de longitud l , si en el instante inicial
la temperatura dentro de la barra, en todos sus puntos es igual a 0◦ , en el extremo izquierdo se mantiene
a temperatura constante m1 y en la parte derecha a temperatura m2 . El intercambio térmico es libre.
7. Halle la ley de distribución de temperatura dentro de una barra de longitud l , ubicada en el segmento [0, l],
si en el instante inicial la temperatura dentro de la barra es igual a cero; en la parte derecha la temperatura
se mantiene contante e igual a cero, en la parte izquierda varía según la ley u(0, t) = u0 cos ωt (donde u0 ,
ω son valores dados). El intercambio térmico no es libre: dentro de la barra se tienen fuentes y sumideros
l−x
sen ωt.
l
8. Halle la ley de variación de la temperatura en una barra homogénea e isotrópica de longitud l , con
intercambio térmico libre, si la temperatura inicial de la barra está dada por la igualdad u(x, t)|t = 0 = ϕ(x).
El extremo izquierdo se encuentra aislado y el derecho se mantiene a temperatura constante u(x, t)|X=L =
x2
U0 < 0. analizar el caso particular cuando ϕ(x) = u0 2 .
l
de calor, de tal manera que su intensidad (por unidad de masa de la barra) es igual a −u0 ω
Se tiene una barra uniforme, cuya temperatura inicial es igual a 0◦ . En el extremo x = l la temperatura se
mantiene igual a 0◦ y en el extremo x = 0 la temperatura crece proporcionalmente al tiempo u(0, t) = AT ,
donde A es una constante. halle la ley de variación de la temperatura dentro de la barra.
9.
10.
Halle la solución de la ecuación:
∂u
π
∂2u
πx
= 36 2 +
cos
,
∂t
∂t
10
2
que satisface la condición inicial u(x, 0) = 0 y las condiciones de contorno:
u(x, t)|x=0 = 0;
∂u
ux (x, t)|x=2 = 0.
∂2u
Halle la solución de la ecuación +6u−3 2 = 0, que satisface las condiciones de contorno u(0, t) = 1,
∂t
∂t
u(2, t) = 2 y la condición inicial:
11.
3
u(x, 0) = x2 − x + 1.
2
Halle la ley de enfriamiento de una esfera isotrópica de radio l, si en el momento inicial la temperatura
en cada punto es una función de ρ (donde ρ es la distancia del punto hasta el centro de la esfera). A través
de la supercie de la esfera se realiza un intercambio térmico con el medio que lo rodea, cuya temperatura
es igual a 0◦ . El coeciente de intercambio térmico entre la esfera y el medio que lo rodea es igual a H .
12.
Halle la ley de las oscilaciones libres de una membrana cuadrada de lado l, si en el momento inicial a
a
(donde a es la constante que gura en la
la membrana se le proporcionó una velocidad ut (x, y, t)|t=0 =
50
ecuación de la membrana). La desviación inicial es nula. La membrana se encuentra ja en los puntos de
su contorno.
13.
Halle la ley de las oscilaciones libres de una membrana cuadrada de lado l, si en el instante inicial la
desviación en cada punto se dene por la expresión:
14.
u(x, y, t)|t=0 =
l
πx
πy
sen
sen
.
100
l
l
La velocidad inicial es nula. La membrana está ja por su contorno.
Halle la ley de las oscilaciones libres de una membrana circular de radio l, sien el momento inicial
l
µ1 r
la desviación en cada punto se determina por la expresión: u(r, ϕ, t)|t=0 =
J0
, donde µ1 es la
100
l
primera raíz positiva de la función de Bessel J0 . La velocidad inicial es igual a cero. La membrana se
encuentra ja a lo largo de su contorno.
15.
16. Halle la ley de las oscilaciones libres de una membrana circular de radio l , sujeta a lo largo de su
contorno, si a todos los puntos de la membrana, en el instante inicial, se le proporcionó una velocidad igual
a ca (donde c es una magnitud adimensional y a es la constante que gura en la ecuación de la membrana).
La desviación inicial es igual a cero.
Halle la ley de enfriamiento de un cilindro innito de radio l, si en el instante inicial la temperatura
de todos sus puntos internos es A◦ y su supercie se mantiene a temperatura contante igual a o◦ . Halle el
primer término del desarrollo en serie.
17.
Halle la ley de enfriamiento de un cilindro innito de radio l, si en el instante
inicial la temperatura
µ1 r dentro del cilindro se determina por la expresión: u(r, ϕ, t)|t=0 = u0 J0
, donde µ1 es la primera
l
raíz positiva de la función de Bessel J0 . Sobre la supercie del cilíndrico se mantiene todo el tiempo la
temperatura igual a 0◦ .
18.
Halle la distribución estacionaria de temperatura dentro de un cilindro innito de radio l, si en la mitad
izquierda de la supercie del cilindro (0 ≤ ϕ < π ) se mantiene una temperatura −T , y en la mitad derecha
(−π ≤ ϕ < 0) la temperatura T .
19.
Los profesores
Respuestas: Material de Estudio No 4 (CF-391)
1
sen kπx
0, 42a2 ω X
l
·
u(x, t) = −
2 2 2
k
πl
k w2 − al2 π
sen ωt sen kaπt
− kaπ l
ω
l
!
,
donde la suma se realiza para todos los k > 0 impares (k = 1, 3, 5, . . . ).
2
u(x, t) =
l
aπt
at
aπt
sen
− 2 cos
5π 3
l
5π
l
sen
πx
1
kπx
l X
1
kaπt
aπt
sen
− 0, 4 3
sen
−
sen
,
l
π
k(k 2 − 1) k
l
l
l
donde la suma se realiza por todos los k > 1 impares (k = 1, 3, 5, . . . ).
3
1, 6l X 1
u(x, t) = 3
π
k3
kaπt
1 − cos
2l
sen
kπx
,
2l
donde la suma se realiza por todos los k > 1 impares (k = 1, 3, 5, . . . ).
4
∞
l
3l
aπ
at
aπt
πx X
1
kaπt
aπt
kπx l − x
aπt
u(x, t) = −
sen
+
cos
sen
+
sen
− sen
sen
+
sen
.
2
10π
l
10
l
l
5πk(k − 1) k
l
l
l
10
l
k=2
l−x
por su desarrollo
Esta solución se puede expresar de otra manera si en el último término se cambia
10
en serie de Fourier por senos:
∞
l−x
l X1
kπx
=
sen
;
10
5π
k
l
k=1
5
8l
kπat
kπx
x
cos
sen
− ,
5k 3 π 3
2l
2l
10
donde la suma se realiza por todos los k > 1 impares (k = 1, 3, 5 . . . ).
u(x, t) =
6
u(x, t) =
X
∞
i k2 π2 a2 t
X
kπx
x
2 h
−m1 + (−1)k m2 e− l2 sen
+ m1 + (m2 − m1 ) .
kπ
l
l
k=1
7
∞
x
kπx
2u0 X 1 − k2 π22a2 t
l
u(x, t) = u0 1 −
cos ωt −
e
sen
.
l
π
k
l
k=1
8
∞ (2k−1)2 ß2 a2 t
u0 x2 X
32u0 (−1)k−1
(2k − 1)πx
−
2
4l
u(x, t) = 2 +
+
cos
,
ck e
3
3
l
(2k − 1) π
2l
k=1
donde:
2
ck =
l
Zl l
u0 x2
(2k − 1)πx
32u0 (−1)k−1
ϕ(x) − 2 cos
dx +
.
l
2l
(2k − 1)3 π 3
(1)
9
∞
l − x X 2Al2
u(x, t) = At
−
l
k 3 π 3 a2
1−e
−k
2 π 2 a2 t
l2
− sen
kπx
.
l
2
k=1
10
∞
X
2k + 1
u(x, t) =
3
2
k=0 360 k + k − 4
11
Usando la transformación:
h
π
4
+
kπ 2
2
−36( π4 + kπ
t
2 )
1−e
i
sen
π kπ
+
4
2
x.
x
v(x, t) = u(x, t) − 1 +
,
2
homogenizamos las condiciones de contorno, obtenemos por solución:
u(x, t) =
∞ X
2kπ(1 − 2 cos kπ)
k=1
12
8 + k2 π2
16(−8 + 8 cos kπ − k 2 π 2 cos kπ) − 3 (8+k2 π2 )t
kπx
4
+
e
sen
.
3
3
2
2
k π (8 + k π )
2
En coordenadas esféricas (teniendo en cuenta que depende solo de ρ y t) la ecuación toma la forma:
∂u
= a2
∂t
∂ 2 u 2 ∂u
+
∂ρ2
ρ ∂ρ
;
con condición inicial u(ρ, t)|t=0 = f (ρ) y condición de contorno homogénea
∂u
|ρ=l + H[u(l, t) − 0] = 0,
∂n
o
uρ (l, t) + H · u(l.t) = 0.
13
14
15
16
17
18
19