Transformaciones Lineales - Problemas Resueltos

-2-
Transformaciones Lineales
Definición: Sean V y W dos espacios vectoriales. Sea T : V  W una función que asigna a todo
vector v  V un único vector w  T (v)  W . Se dice que T es una transformación lineal si:
1. v, w  V
T (v  w)  T (v)  T (w)
2.   R v  V
T (v)  T (v)
Teorema 1
Sea T : V  W una transformación lineal. Entonces:
1. T (OV )  OW
2. v  V T (v' )  T (v)'
3. T (1v1   2 v2   3v3  ...   n vn )  1T (v1 )   2T (v2 )   3T (v3 )  ...   nT (vn )
Núcleo de una Transformación Lineal
Definición: Sea T : V  W una transformación lineal. El núcleo de T , denotado por Nu (T ) , se
define como:
Nu(T )  v  V / T (v)  OW 
Recorrido de una Transformación Lineal
Definición: Sea T : V  W una transformación lineal. El recorrido o imagen de T , denotado por
Re(T ) , se define como:
Re(T )  w  W / T (v)  w; v  V 
Teorema 2
Sea T : V  W una transformación lineal. Entonces se cumple que:
1. El núcleo de T es un subespacio de V
2. El recorrido de T es un subespacio de W
Nulidad y Rango de una Transformación Lineal
Definición: Sea T : V  W una transformación lineal. La nulidad de T , denotada por v(T ) , se
define como:
v(T )  dim Nu(T )
El rango de T , denotado por  (T ) , se define como:
 (T )  dim Re(T )
Ramiro J. Saltos
-3Teorema de la Dimensión
Sea T : V  W una transformación lineal donde V es un espacio vectorial de dimensión finita.
Entonces se cumple que:
v(T )   (T )  dim V
Transformación Lineal Inyectiva
Definición: Sea T : V  W una transformación lineal. Se dice que T es inyectiva si:
v, w  V
T (v)  T (w)  (v  w)
Transformación Lineal Sobreyectiva
Definición: Sea T : V  W una transformación lineal. Se dice que T es sobreyectiva si todo vector
de W es la imagen de por lo menos un vector de V . Es decir:
w W v  V w  T (v)
Dicho de otra manera, T es sobreyectiva si Re(T )  W
Teorema 3
Una transformación lineal T : V  W es inyectiva, si y sólo si, Nu(T )  OV 
Isomorfismo
Definición: Sea T : V  W una transformación lineal. Se dice que T es un isomorfismo si T es
inyectiva y T es sobreyectiva. Es decir, T es un isomorfismo si T es biyectiva.
Espacios Vectoriales Isomorfos
Definición: Sean V y W dos espacios vectoriales. Se dice que V y W son espacios vectoriales
isomorfos, denotado por V  W , si existe un isomorfismo T : V  W entre ellos.
Teorema 4
Sea T : V  W una transformación lineal definida entre espacios vectoriales de dimensión finita,
tales que dimV  dim W , entonces:
1. Si T es inyectiva, T es sobreyectiva.
2. Si T es sobreyectiva, T es inyectiva.
Teorema 5
Sean V y W dos espacios vectoriales de dimensión finita. Sea T : V  W una transformación
lineal. Entonces:
1. Si dimV  dim W , T no es inyectiva.
2. Si dimV  dimW , T no es sobreyectiva.
Lo que quiere decir, que si dimV  dim W , T no es un isomorfismo
Ramiro J. Saltos
-4Teorema 6
Sea T : V  W una transformación lineal, se cumple que:
1. Si T es inyectiva y S  v1 , v2 , v3 ,..., vn  es linealmente independiente en V , entonces
S '  T (v1 ), T (v2 ), T (v3 ),..., T (vn ) es linealmente independiente en W
2. Si T es sobreyectiva y G  v1 , v2 , v3 ,..., vn  genera a V , entonces
G'  T (v1 ), T (v2 ), T (v3 ),..., T (vn ) genera a W
3. Si T es un isomorfismo y B  v1 , v2 , v3 ,..., vn  es una base de V , entonces
B'  T (v1 ), T (v2 ), T (v3 ),..., T (vn ) es una base de W
Operaciones con Transformaciones Lineales
Suma: Sean T1 : V  W y T2 : V  W dos transformaciones lineales. La suma entre T1 y T2 ,
denotada por T1  T2 : V  W , se define como:
v  V (T1  T2 )(v)  T1 (v)  T2 (v)
Multiplicación por escalar: Sea   R . Sea T : V  W una transformación lineal. Se define la
multiplicación de  por T , denotada por T : V  W como:
v  V (T )(v)  T (v)
Composición: Sean T1 : V  U y T2 : U  W dos transformaciones lineales. La composición entre
T1 y T2 , denotada por T2  T1 : V  W , se define como:
v  V (T2  T1 )(v)  T2 (T1 (v))
Transformación Lineal Inversa
Definición: Sea T : V  W una transformación lineal. Se dice que T es invertible si existe una
transformación lineal S : W  V , tal que:
1. T  S : W  W  IdW
2. S  T : V  V  IdV
Si tal es el caso, se llama a S la inversa de T y se denota S  T 1
Teorema 7
La transformación lineal T : V  W es invertible, si y sólo si, T es un isomorfismo.
Representación Matricial de una Transformación Lineal
Teorema: Sea T : V  W una transformación lineal donde V y W son espacios vectoriales de
dimensión finita. Supóngase que dimV  n y dim W  m . Sean B1  v1 , v2 , v3 ,..., vn  y
B2  w1 , w2 , w3 ,..., wm  dos bases de V y W respectivamente.
Ramiro J. Saltos
-5La representación matricial de T respecto de las bases B1 y B2 respectivamente está dada por:



AT   T (v1 )B 2




T (v2 )B 2



T (v3 )B 2 





T (vn )B 2 



mxn
Teorema 8
Sea T : V  W una transformación lineal donde V y W son espacios vectoriales de dimensión
finita. Sea AT la representación matricial de T respecto a las bases B1 y B2 de V y W
respectivamente. Entonces:
v  V
T (v)B 2  AT vB1
Teorema 9
Sea T : V  W una transformación lineal donde V y W son espacios vectoriales de dimensión
finita. Sea AT la representación matricial de T respecto a las bases B1 y B2 de V y W
respectivamente. T es un isomorfismo si y sólo si det( AT )  0
Tema 1
Califique las siguientes proposiciones como verdaderas o falsas. Justifique formalmente su
respuesta.
1
 4
 3
1
a) Existe una transformación lineal T : R 2  R 2 tal que T      y T     
1  6 
 3  0 
(Falso)
 1
Sea   3 y v   
 1
T (v)  T (v)
  1 
 1
3T    T 3 
 1
  1 
 4
 3
3   T  
6
 3
12   1 
    
18   0 
a
a  b
 es una transformación lineal (Falso)
b) La función T : R 2  R 2 definida por T    
b  1 
1) T (v  w)  T (v)  T (w)
a 
a 
Sea v   1  y w   2   R 2
 b2 
 b1 
Ramiro J. Saltos
-6 a   a 
a 
a 
T  1    2   T  1   T  2 
 b1 
 b2 
 b1   b2 
 a  a 2   a1  b1   a 2  b2 
  
  

T  1
 b1  b2   1   1 
 a1  a 2  b1  b2   a1  a 2  b1  b2 

  

1
2

 

Contraejemplo
 1
 2
Sea v    y w     R 2
 1
 2
 3
v  w   
 3
 3
 1
 2
T    T    T  
 3
 1
 2
6  2  4
       
1 1 1
6  6
    
1  2
 x  y

a 
c) El operador T : R  R definido por T     x  y  es lineal (Verdadero)
b  x 


1) v, w  V T (v  w)  T (v)  T (w)
2
a 
3
a 
Sean v   1  y w   2   R 2
 b2 
 b1 
 a  a2 
a 
a 
  T  1   T  2 
T  1
 b1  b2 
 b1 
 b2 
(a1  a 2 )  (b1  b2 )  a1  b1   a 2  b2 
(a  a )  (b  b )    a  b    a  b 
 1 1  2
2
1
2 
2
 1




  a1   a 2 
a1  a 2
 a1  a 2  b1  b2   a1  a 2  b1  b2 

 

 a 1  a 2  b1  b2    a 1  a 2  b1  b2 

 

a1  a 2
a1  a 2

 

2)   R v  V T (v)  T (v)
a
Sea v     R 2 . Sea   R
b
Ramiro J. Saltos
-7 a 
a
T    T  
 b 
b
 a  b 
a  b




 a  b     a  b 
 a 
 a 




a  b
a  b




a  b  a  b
 a 
 a 




 1 1 3


d) Si T : V  W es una transformación lineal tal que AT   0 3 2  es la representación
2 0 1


matricial de T respecto a las bases B1 y B2 , entonces T es un isomorfismo (Verdadero)
Para saber si T es un isomorfismo bastará con calcular el determinante de la matriz asociada a T
3 2
1 3
1 3
0
2
0 1
0 1
3 2
det( AT )  3  2(2  9)
det( AT )  3  14
det( AT )  11
det( AT )  1
  1
3
e) Sea T : R 2  P2 una transformación lineal. Si T    4  x 2 y T    3  2 x , entonces
  1
2
  5
T    10  4 x  x 2 (Verdadero)
 5 
Sabemos que:
 3    1
2
2
 ,   es una base de R , es decir, que todo vector de R se puede escribir como
  1  2 
combinación lineal de los vectores de esta base.
a
Sea    R 2
b
 
a
3
  1  3 1   2 

    1     2    
b
  1
 2     1  2 2 
Para hallar la regla de correspondencia de T debemos expresar los escalares en términos de a y b .
Planteamos la matriz y simplificamos por Gauss
1  2
b 
 3  1 a    1 2 b  A12 (3)  1  2

 P12 


 M 2 1 
5 0 1
  1 2 b   3  1 a  M 1 (1)  0 5 a  3b 

 
Ramiro J. Saltos
b 
a  3b  A21 (2)

5 
-8
1 0

0 1


2a  b 

5 
a  3b 

5 
2a  b
5

a  3b
2 
5
1 
Ahora volvemos a escribir la combinación lineal y aplicamos transformación lineal en ambos lados
de la ecuación
a
3
  1
    1     2  
b
  1
2
 3
a
  1
T    T  1     2  
b
 2 
   1
Aplicamos las propiedades de las transformaciones lineales
a
3
  1
T     1T     2T  
b
  1
2
Reemplazamos los escalares por las igualdades arriba encontradas y las transformaciones de los
vectores de la base con los datos del problema.
 a   2a  b  2
 a  3b 
T    
 x 4 
2 x  3
 5 
b  5 


Simplificando nos queda:
 a   2a  b  2  2a  6b   5a  5b 
T    
x  
x  

 5   5 
b  5 
Y finalmente
  5    10  5  2   10  30    25  25 
T    
x  
x  

5
5

 

 5   5 
  5
T     x 2  4 x  10
 5 
f) Sea T : P2  S 2 x 2 una transformación lineal con regla de correspondencia:
a  b  c
 2c

T (a  bx  cx 2 )  
c  b 
a  b  c
 4  2
  1  x  2 x 2 (Verdadero)
Entonces, T es un isomorfismo y T 1 

2
3


Para saber si T es invertible debemos hallar la matriz asociada a T y calcular su determinante,
como no nos dan ninguna base nosotros usamos las bases canónicas.
 1 0   0 1   0 0 
, 
, 
 las bases canónicas de P2 y S 2 x 2
Sean P  1, x, x 2  y M  
 0 0   1 0   0 1 
respectivamente.
Ramiro J. Saltos
-90 1
1 0
0 1
 0 0
  (0)
  (1)
  (0)

T (1)  
1 0
 0 0
1 0
0 1
0 1 
1 0
0 1
 0 0
  (0)
  (1)
  (1)

T (x)  
 1  1
 0 0
1 0
0 1
 2  1
1 0
0 1
 0 0
  (2)
  (1)
  (1)

T ( x 2 )  
 1 1 
 0 0
1 0
0 1
2
0 0


 AT   1 1  1
0 1 1 


det( AT )  1
 T (1)M
 0
 
 1
 0
 
0
 
 T ( x)M   1 
  1
 
2
 
2
 T ( x ) M    1
1
 
0 2
 2
1 1


det( AT )  0
 T es un isomorfismo y es invertible
Sabemos que si T es invertible entonces T (v)  w  T 1 (w)  v
 2(2) 1  (1)  2 

T (1  x  2 x 2 )  
2  1 
1  1  2
 4  2

T (1  x  2 x 2 )  
 2 3 
Tema 2
Sea T : R 3  R 2 una transformación lineal definida por:
a
   2a  b 

T  b   
c

b


c
 
a) Muestre que T es lineal
 1   0   1 
     
b) Encuentre la representación matricial de T respecto a las bases B1   1 ,  1 ,  0 
 0   0   1 
     
 1   0 
,  
  1  1 
y B2  
a) Para determinar si T es lineal debemos ver si se cumplen los dos axiomas de las
transformaciones lineales.
1) v, w  V T (v  w)  T (v)  T (w)
Ramiro J. Saltos
- 10 a
d 
 
 
Sea v   b  y w   e   R 3
c
f
 
 
 a   d 
a
d 
 
 
   
T  b    e   T  b   T  e 
c
f
 c   f 
 
 
a  d 

  2a  b   2d  e 
  

T  b  e   
c  f   c  b   f  e 


 2(a  d )  (b  e)   2a  b  2d  e 

  

 c f be   cb f e 
 2a  2d  b  e   2a  2d  b  e 

  

 cbe f   cbe f 
Y como vemos se cumple el primer criterio de linealidad
2)   R v  V T (v)  T (v)
a
 
Sea   R . Sea v   b   R 3
c
 
  a 
a
 
  
T   b   T  b 
c
  c 
 
 a 
 
 2a  b 

T  b    
c

b


 c 
 
 2a  b   2a  b 

  

 c  b   c  b 
Se cumple el segundo criterio de linealidad.
 T es una transformación lineal
Ramiro J. Saltos
- 11 b) Por teorema sabemos que:
 

  1 
 
AT    1 

  0  B 2

 

 0 
 
 1 
 0 

B2






B2

 

 1 
 
 0 
 1 
Escribiremos el sistema de ecuaciones de manera general para luego solo reemplazarlo en cada
vector

1
 0   1

T (v)   1     2    
  1
 1    1   2 
También realizamos las transformaciones de los tres vectores de la base
1
   1
T  1    
 0   1
 
0
    1
T  1    
0  1 
 
1
   2
T  0    
1 1
 
Igualamos las ecuaciones y encontramos los vectores coordenadas
1  1


  1   2  1   2  2
 1  1


  1   2  1   2  0
  1 
1
  
 T  1    
 2
  0 
B2
  0 
  1
  
 T  1    
0
  0 
B2
1  2


  1   2  1   2  3
  1 
 2
  
 T  0    
 3
  1 
B2
Y finalmente reemplazamos los vectores coordenadas en las columnas de la matriz y
 1 1 2

 AT  
 2 0 3
Ramiro J. Saltos
- 12 Tema 3
Sea T : R 2  R 2 la función que transforma cada punto del plano en su simétrico respecto
del eje y . Encontrar la regla de correspondencia de T y demuestre que es una
transformación lineal.
Determinar la regla de correspondencia de T es sencillo ya que el punto simétrico en el plano
respecto al eje y es el mismo punto pero con la coordenada en x cambiada de signo. Entonces:
 x   x
T     
 y  y 
Ahora hay que averiguar si se cumplen los criterios de linealidad.
1) v, w  V T (v  w)  T (v)  T (w)
a
c
Sea v    y w     R 2
b
d 
 a   c 
a
c
T       T    T  
b
d 
 b   d 
 a  c   a  c
      
T 
b

d

  b   d 
 a  c  a  c

  

 bd   bd 
Se cumple el primer criterio de linealidad
2)   R v  V T (v)  T (v)
 x
Sea   R . Sea v     R 2
 y
  x 
 x
T     T  
 y
  y 
 x 
 x
T      
 y 
 y 
  x    x 

  

 y   y 
Se cumple el segundo criterio de linealidad
 T es una transformación lineal
Ramiro J. Saltos
- 13 Tema 4
Determine el rango y la nulidad de la siguiente transformación lineal
 a 

a 
T     a  b 
b  b 


a) Por definición sabemos que:
Nu(T )  v  V / T (v)  OW 
Aplicando la definición al problema nos queda:

 0 
 a   
 a 
2
Nu (T )     R / T     0 
 b   0 
 b 
 

Entonces para hallar el núcleo de la transformación lineal igualamos la regla de correspondencia
de la misma con el vector nulo de R 3
 a0

a  b  0
 b0

De donde concluimos que:
 0 
Nu (T )   
 0 
b) Para el recorrido sabemos que:
v(T )  0
Re(T )  w  W / T (v)  w; v  V 
Y aplicada al problema nos queda:
 x 
 x 
 a   
 
3
Re(T )   y   R / T     y 
 b   z 
 z 
 
 
Para hallar el recorrido igualamos la regla de correspondencia con el vector típico de la imagen,
luego planteamos la matriz aumentada y simplificamos hasta obtener la mayor cantidad de filas
llenas de ceros.
 ax

a  b  y
 bz

1 0

1 1
0 1

x
1 0


y  A21 (1) 0 1
0 1
z 

 x  x 
  

 y   x  z 
z  z 
  

1  0
   
x 1   z  1 
 0 1
   
x 
1 0


y  x  A32 (1) 0 0
0 1
z 

BRe(T )
x


y  x  z

z

 1   0 
   
  1 ,  1 
 0   1 
   
Ramiro J. Saltos
yxz 0
y  xz
 (T )  2
- 14 Tema 5
Dada la aplicación lineal T : R 3  M 2 x 2 definida por:
a
  a  b
b 

T  b   
b
b

c


c
 
a) Halle la representación matricial de T respecto a las bases canónicas.
b) Encuentre Ker (T ), Im(T ), (T ),  (T )
a) Para hallar la representación matricial de T debemos encontrar los vectores coordenadas de las
transformaciones de los vectores de la base del espacio de partida.
1
  1 0
1 0
0 1
 0 0
 0 0
  (1)
  (0)
  (0)
  (0)

T  0   
 0 0
 0 0
1 0
0 1
 0  0 0
 
 0
    1 1
1 0
0 1
 0 0
 0 0
  (1)
  (1)
  (1)
  (1)

T  1   
 0 0
 0 0
1 0
0 1
 0   1 1
 
 0
  0 0 
1 0
0 1
 0 0
 0 0
  (0)
  (0)
  (0)
  (1)

T  0   
 0 0
 0 0
1 0
0 1
 1   0  1
 
1
  1   
    0 
 T  0    
0
  0   
 0
  1
  0   
    1 
 T  1    
1
  0   
1
0
  0   
    0 
 T  0    
0
  1   
  1
Estos vectores coordenadas representan las columnas de la matriz asociada a T , por que
procedemos a formar dicha matriz
1 1 0 


0
0 1
AT  
0 1
0


 0 1  1


b)

 a 

a
   0 0 
 
3

Nu (T )   b   R / T  b   
 c 
 c   0 0 
 
 

Aplicamos el procedimiento ya visto en ejercicios anteriores de igualar la regla de correspondencia
con el vector nulo del espacio de llegada.
a  b  0  a  0

b0


b0

 b  c  0  c  0
Ramiro J. Saltos
- 15 De donde obtenemos que:
 0 
 
Nu (T )   0 
 0 
 

 v(T )  0


a
   w x 
 w x 
  M 2 x 2 / T  b   

Im(T )  
 y z 
 c   y z 
 


Para hallar el recorrido igualamos la regla de correspondencia con el vector típico de la imagen,
planteamos el sistema de ecuaciones y simplificamos por Gauss hasta obtener la mayor cantidad de
filas posibles llenas de ceros
a  b  w
 bx


 b y
 b  c  z
1 1 0

0
0 1
0 1
0

0 1 1

w
w 
1 1 0



x
0
x 
0 1
A23 (1)
y
0 0 0 y  x



0 1 1
z 
z 

yx0
x y
Ahora reemplazamos esta condición en el vector característico y extraemos la base
 w x  w x
1 0  0 1  0 0

  
  w
  x
  z

 y z  x z
 0 0 1 0  0 1
 1 0   0 1   0 0 
, 
, 

BRe(T )  
0
0
1
0
0
1







  (T )  3
Si revisamos el teorema de la dimensión
v(T )   (T )  dim V
033
33
Tema 6
Sea T :P 2  M 2 x 2 una aplicación definida por:
 1  1 c b 


T ax 2  bx  c  
 2 1  a c 
a) Obtenga Ker (T ), Im(T ), (T ),  (T )
b) Hallar la matriz asociada a T con respecto a las bases
B1  x  1, x  1, x 2  1




1 1 1 1   1 1   1  1
, 
, 
, 

B2  
1 1 1 0   0 0   0 0 
Ramiro J. Saltos
- 16 Antes de desarrollar el ejercicio primero debemos trabajar un poco con la regla de correspondencia
de la transformación lineal y dejarla simplificada. Para ello realizamos la multiplicación:
 1  1 c b   c  a b  c 


  

 2 1  a c   2c  a 2b  c 
 ca bc 

 T ax 2  bx  c  
 2c  a 2b  c 


a)

 0 0 

 0 0 
 Nu (T )  ax 2  bx  c  P2 / T ax 2  bx  c   

Como ya sabemos hay que igualar la regla de correspondencia de la transformación con el vector
nulo del espacio de llegada y planteamos el sistema de ecuaciones
ca 0c  a


bc  0b  c


2c  a  0  2c  c  0  c  0

2b  c  0
abc0
De donde obtenemos que:


Nu (T )  0 x 2  0 x  0
v(T )  0
 w x 
 w x 
  M 2 x 2 / T ax 2  bx  c  

 y z 
 y z 

 Re(T )  

Realizamos el mismo procedimiento visto en ejercicios anteriores, por tanto igualamos la regla de
correspondencia con el vector típico de la imagen, planteamos el sistema de ecuaciones y
simplificamos por Gauss.
ca  w
 bc  x


 2c  a  y
 2b  c  z
 1

0
1

0

0 1
1 1
0 2
2 1
1

0
0

0

w
 1


x
0
A
(
1
)
13
0
y


0
z 

0 1
w 
 1


1 1
x 
0
A
(

2
)
24
0
0 3 y  w


0
2 1
z 

0 1
w


1 1
x

0 0 y  w  2x  z 


0 3
z  2x

Ramiro J. Saltos
0 1
w 

1 1
x 
A43 (1)
0 3 yw

0 3 z  2 x 
y  w  2x  z  0
z  y  w  2x
- 17 Reemplazamos la condición en el vector típico
 w x  w

  
 y z  y
x

1 0  0 1
 0 0
  w
  x
  y

y  w  2x 
 0 1  0 2
1 1
 1 0   0 1   0 0 
, 
, 

BRe(T )  
 0 1   0 2   1 1 
 (T )  3
b) Para hallar la representación matricial primero debemos encontrar las transformaciones de los
vectores de la base del espacio de partida, y a dichas transformaciones calcular sus vectores
coordenadas respecto a la base del espacio de llegada y finalmente reemplazar dichas coordenadas
en las columnas de la matriz buscada.
 1 2

T (x  1)  
 2 1
 2 1 

T x 2  1  
  1  1
 1 0

T (x  1)  
 2 3





1
2 



AT   
 2 1  B 2







 1 0 


 2 3  B 2





  2 1  
 

  1  1 B 2 




Encontramos una combinación lineal general
1 1
1 1 
1 1
 1  1  1   2   3   4  1   2   3   4 

   2 
   3 
   4 
  
T (v)   1 
1   2
1
1 1
1 0 
 0 0
0 0  

  1 2 

 
  2 1  B 2
 1   2   3   4  1   3   4  1
        2      4
 1
2
3
4
3
4

 1   2  2   2  3


1  1
 T ( x  1)B 2
1 0 5 
1 
1 1
1 1 1 
 1 1 1
2 
 A21 (1)

 A12 (1)
 M 2  1 
3 

2



3
0
1
1

1
4
0

2
3
0 1




2

2

 
Ramiro J. Saltos
 1 


 3 
 5 
 2 
 3 
 2
5
2

3
4 
2
3 
- 18  1 0 

 
 2 3  B 2
  1   2   3   4  1   3   4  1
        0      2
 1
2
3
4
3
4

 1   2  2   2  1


1  3
 T ( x  1)B 2
 3 


 1 
  3 
 2
 1 
 2 
1 0  3 
 1 1  1
1 1  1 
 1 1  1
2
 A21 (1)

 A12 (1)
 M 2  1 
1 

2


1
0
1
1

1

2
0

2

1
0 1




2

2 

 
  2
3
2

1
4 
2
3 
1 

 

1

1

 B 2

 1   2   3   4  2   3   4  1
     1     2
 1
2
3
4
3
4






1



0
1
2
2


 1  1

 T ( x 2  1)

B2
 1 


 0 
 1 
 2 
 3 
 2
1
3 
1 0 1 
1 1 1 
1 1  1
 1 1  1
2  
2
 A21 (1)

 A12 (1)
 M 2  1 

3


2



3

3
0
1
0 1
1  1 2 
0  2 3 
2

4 
2

2
 
Reemplazando en la matriz:
3
1 
 1


1
0 
 3
AT   5
3
1 
2
2 
 2

3

3
1


2
2
 2
Tema 7
Sea T : R 3  R 3 una transformación lineal, tal que:
 1  1   1   0 
 0 1
   
       
T  1   0  , T  0    1  y T  1    0 
1 1
 1  2   1   1 
   
       
Encuentre la regla de correspondencia de T
Aquí desarrollaremos un procedimiento general para resolver este tipo de ejercicios. Por lo general
los tres vectores que nos dan de datos son linealmente independientes y constituyen una base del
espacio de partida.
Ramiro J. Saltos
- 19 Seleccionamos un vector típico o representativo del espacio de partida, en este caso R 3 y lo
escribimos como combinación lineal de la base formada. Luego procedemos a expresar los escalares
en términos de las variables que conforman el vector característico, así:
1  1   0 
     
B  1,  0 ,  1  es una base de R 3
1  1   1 
     
a
 
Sea  b   R 3
c
 
a
1
1
 0   1   2 
 
 
 
  

 b    1 1   2  0    3  1     1   3 
c
1
1
 1       
2
3
 
 
 
   1
 1   2  a

 1   3  b
      c
2
3
 1
a 
b 
1 1 0 a 
1 1 0
1 0 1
1 0 0 a  b  c

 A12 (1) 
 A21 (1) 
 M 2 (1) 

cb 
1 0 1 b 
0 1 1 b  a
0 1 0 b  c 
0 1 0
1 1 1 c  A13 (1)  0 0 1 c  a  A32 (1)  0 0 1 c  a  A31 (1)  0 0 1
c  a 







 1  a  b  c
2  c  b
3  c  a
Ahora reescribimos la combinación lineal inicial, sacamos transformación lineal a ambos lados,
reemplazamos los datos y simplificamos
a
1
1
 0
 
 
 
 
 b    1 1   2  0    3  1 
c
1
1
1
 
 
 
 
a
1
1
 0
 
 
 
 
T  b    1T 1   2T  0    3T  1 
c
1
1
1
 
 
 
 
a
1
0
1
 
 
 
 
T  b   (a  b  c) 0   (c  b) 1   (c  a) 0 
c
 2
1
1
 
 
 
 
a  a  b  c   0  c  a
  
 
 

Tb  
0
  c  b   0 
 c   2a  2b  2c   c  b   c  a 
  
 
 

Ramiro J. Saltos
a  b 
  

T  b    c  b 
 c  a  b
  

- 20 Tema 8
Sea T : R 2  R 3 una transformación lineal y suponga que:
  1
  8
 1  
  1  
T     3  y T      6 
 1  1 
2  5 
 
 
  9

Calcule T 
 6 
Para calcular lo que nos pide el ejercicio primero debemos hallar la regla de correspondencia de T
Sabemos que:
1   1
B   ,   es una base de R 2
1  2 
a
Sea    R 2
b
 
a
1
  1     2 

    1     2     1
b
1
 2    1  2 2 

a 
1 0
1 1
a 
1  1 a 
1 1


1
b

a

 A12 (1)
 M 2
A21 (1)
3
0
1


1
2
b
0
3
b

a
0 1




3 



 
2a  b 

3 
ba 

3 
2a  b
3

ba
2 
3
1 
Una vez expresados los escalares en términos de las variables que conforman el vector típico,
sacamos transformación lineal a ambos lados de la combinación lineal, reemplazamos igualdades y
simplificamos
a
1
  1
T     1T     2T  
b
1
2
  1
  8
 a   2a  b    b  a  
T    
 3   
  6 
 b   3  1   3  5 
 
 
  1
  8
 a   2a  b    b  a  
T    
 3   
  6 
 b   3  1   3  5 
 
 
  2a  b   8a  8b 

 

3

  3 
a
6a  3b   6a  6b 
T    

  3 
3
b 
 2a  b   5b  5a 

 

3

  3 
 2a  3b 
  36 


a 
  9 
T     4a  b 
 T      42 
 b    a  2b 
 6   21 




Ramiro J. Saltos
- 21 Tema 9
Sea T : R 3  R 2 una transformación lineal y suponga que:
1
0
 0
   2      1
   5 
T  0     , T  1     y T  0    
 0  3 0  4 
 1    3
 
 
 
0
 
Calcule T  1 
5
 
Este ejercicio es muy parecido al anterior, por tanto realizamos los mismos procedimientos para
hallar la respuesta
 1   0   0 
   
Sea B   0 ,  1 ,  0  una base de R 3
 0   0   1 
     
a
 
Sea  b   R 3
c
 
a
1
 0
 0   1 
 
 
 
   
 b   1  0    2  1    3  0    2 
c
 0
 0
 1   
 
 
 
   3
1  a
 2  b
3  c
a
1
 0
 0
 
 
 
 
T  b    1T  0    2T  1    3T  0 
c
 0
 0
1
 
 
 
 
a
 
 2    1  5 
T  b   a   b   c 
 3   4    3
c
 
a
   2a  b  5c 

T  b   
 c   3a  4b  3c 
 
 0
   24 

 T  1   
 5    11
 
Ramiro J. Saltos
- 22 Tema 10
Sea T : P2  P2 un operador lineal tal que:
T ( x)  1
T (1  x)  3  x 2
T (2  x 2 )  x  1
a) Determine una regla de correspondencia para T
b) Respecto al resultado anterior, encuentre Nu(T ), Im(T ), (T ),  (T )
c) Determine la representación matricial de T respecto a la base canónica de P2
a) Este literal lo resolvemos casi de manera mecánica, tal como los dos ejercicios anteriores
Sea B  x, x  1,2  x 2  es una base de P2
Sea a  bx  cx 2  P2
a  bx  cx 2   1 ( x)   2 ( x  1)   3 (2  x 2 )
a  bx  cx 2  ( 2  2 3 )  ( 1   2 ) x  ( 3 ) x 2
 2  2 3  a

 1   2  b
   c
3

0 1 2 a
1 1 0 b 
1 0  2 b  a
 1 0 0 b  a  2c 

 P12 


 A31 (2) 

a 
a  2c 
1 1 0 b
 0 1 2 a  A21 (1) 0 1 2
0 1 0
A (2) 
 0 0  1 c  M 3 (1)  0 0 1  c 
0 0 1
 c  32
 c 





0 0 1
1  a  b  2c

 2  a  2c
 3  c

T a  bx  cx 2  1T ( x)   2T ( x  1)   3T (2  x 2 )


T a  bx  cx 2  (a  b  2c)(1)  (a  2c)(3  x 2 )  (c)( x  1)


T a  bx  cx 2  (2a  b  5c)  (c) x  (a  2c) x 2
b)
 Nu(T )  cx 2  bx  a  P2 / T (cx 2  bx  a)  0 x 2  0 x  0
2a  b  5c  0  b  0

c  0c  0

 a  2c  0  a  0


abc0

 Nu(T )  0 x 2 0 x  0
Ramiro J. Saltos
v(T )  0
- 23 Para calcular el recorrido usamos el teorema que dice que si dimV  dim W y si T es inyectiva,
entonces T es sobreyectiva. T es inyectiva porque Nu(T )  OV , por tanto
 (T )  3
Re(T )  P2
c) La base canónica de P2 es B  1, x, x 2 
 

AT   T (1)B
 


T ( x)B


T (x 2 )


T (1)  2  x 2  (2)(1)  (0)( x)  (1)( x 2 )
T ( x)  1  (1)(1)  (0)( x)  (0)( x )
2
T ( x )  5  x  2 x  (5)(1)  (1)( x)  (2)( x )
2
2
2


B 



 T (1)B
 2
 
 0
1
 
 T ( x)B
1
 
  0
 0
 

 T (x )
2

B
5
 
   1
2
 
2 1 5 


 AT   0 0  1
1 0 2 


Tema 11
Construya, de ser posible, una transformación lineal T : R 3  P2 que cumpla con las
siguientes condiciones:



 a 

 

Nu (T )   b  / a  t , b  t , c  2t , t  R 
 c 

 



Im(T )  ax 2  bx  c  P2 / c  a  b
0
1
 
 
T   1  2  x  x 2 y T 1  1  x 2
3
1
 
 
Para resolver este tipo de ejercicios primero debemos encontrar una base y la dimensión tanto del
núcleo como del recorrido de la transformación y verificar si se cumple el teorema de las
dimensiones. Si este no se cumple, entonces no existe una transformación lineal que cumpla las
condiciones que del problema
Ramiro J. Saltos
- 24 a
 
Sea  b   Nu (T )
c
 
 a    t    1
     
 b    t   t 1 
 c   2t   2 
     
 B Nu (T )
  1
 
  1 
 2 
 
v(T )  1
Sea ax 2  bx  c  Re(T )
ax 2  bx  c  ax 2  bx  (a  b)  a( x 2  1)  b( x  1)
 BRe(T )  x 2  1, x  1
 (T )  2
Revisamos el teorema de las dimensiones
v(T )   (T )  dim V
1 2  3
33
Y como se cumple debemos proseguir.
Para proseguir debemos conseguir una base del espacio de partida, en este caso R 3 , y la obtenemos
con los dos vectores que nos dan en el problema más el que forma parte de la base del Nu (T ) , así:
1  0    1
     
B  1,   1,  1 
1  3   2 
     
Ahora realizamos el mismo procedimiento de siempre que consiste en plantear la combinación
lineal y expresar los escalares en términos de las variables que conforman el vector característico
a
 
Sea  b   R 3
c
 
1   3
a
1
0
  1 

 
 
 
  

 b    1 1   2   1   3  1     1   2   3 
c
1
3
 2     3  2 
2
3
 
 
 
   1
 1   3  a

 1   2   3  b
  3  2  c
2
3
 1
a 
a
1 0  1 a 
1 0 1
1 0 1


 A12 (1) 
 A23 (3) 

a b
1  1 1 b 
0 1 2 b  a
0 1  2
 M 3 19
A
(

1
)
M
(

1
)
1 3 2 c  13
0 3 3 c  a 2
 0 0 9  4a  3b  c 






 

1 0 1
0 1  2

0 0 1


1 0 0

a


A31 (1) 

a b
0 1 0
 4a  3b  c  A32 (2) 


9

0 0 1

5a  3b  c 

9

a  3b  2c 

9
 4a  3b  c 

9

Ramiro J. Saltos
5a  3b  c
9
a  3b  2c
 2 
9
 4a  3b  c
3 
9
1 
- 25 Luego aplicamos transformación lineal en ambos lados de la combinación y reemplazamos por las
igualdades que obtuvimos y las que nos dan en el ejercicio. Cabe recordar que la transformación
lineal de todo vector que pertenece al núcleo es igual al vector nulo del espacio de llegada
a
1
0
  1
 
 
 
 
T  b    1T 1   2T   1   3T  1 
c
1
3
2
 
 
 
 
a
1
0
  1
   5a  3b  c     a  3b  2c      4a  3b  c   
Tb  
T 1  
T   1  
T  1 
9
9
9





  
c
1
3
 
 
 
2
a
   5a  3b  c  2
 a  3b  2c  2
  4a  3b  c  2
Tb  
 x 1  
 x  x2 
 0x  0x  0
9
9
9






c
 






a
   5a  3b  c   2a  6b  4c   a  3b  2c   5a  3b  c   a  3b  2c  2
T  b   

  
 x  

 x
9
9
9
9
9













c
 
a
   7a  3b  5c   a  3b  2c   6a  3c  2
T  b   

x  
x
9
9
9






c
 
Tema 12
Construya, de ser posible, una transformación lineal T : S 2 x 2  R 3 que cumpla con las
siguientes condiciones:



 a b 

  S 2 x 2 / a  c  b  2c  0
Ker (T )  
 b c 

  3
1
 1 0  
0 2   
   1  y T 
   1 
T 
 0 2  4 
 2  1  0 
 
 
 x 

 

3
Im(T )   y   R / x  y  z  0
 z 

 

Primero debemos hallar las dimensiones tanto del núcleo como del recorrido para verificar si se
cumple el teorema de las dimensiones
a b
  Nu (T )
b c
 2c   1  2 
 a b  c

  
  c

b
c

2
c
c

2
1

 
 

Sea 
 1  2 

 BNu(T )  

2
1


Ramiro J. Saltos
v(T )  1
- 26  x
 
Sea  y   Re(T )
z
 
 x  x 
  

 y   x  z 
z  z 
  

1  0
   
x 1   z  1 
 0 1
   
Verificando el teorema
 BRe(T )
 1   0 
   
  1 ,  1 
 0   1 
   
 (T )  2
v(T )   (T )  dim V
1 2  3
33
Ahora debemos encontrar una base del espacio vectorial de partida, hay que recordar que esta base
contiene a la base del núcleo, así
 1  2    1 0   0 2 
, 
, 

B  
  2 1   0 2   2  1
a b
  S 2 x 2
b c
Sea 
 2 1  2 3 
 a b
 1  2
 1 0
 0 2   1   2


   1 
   2 
   3 
  
b c
 2 1 
 0 2
 2  1   2 1  2 3  1  2 2   3 
 1   2  a

  2 1  2 3  b
  2    c
2
3
 1
a 
a
 1 1 0 a
1 1 0
1 1 0


 A12 (2) 


 A21 (1)
 2 0 2 b
 0  2 2 2a  b  A32 (1) 0 1 1 a  b  c 
A (1) 
A (3)
 1

0 3 1
2  1 c  13
c  a  23

0 3 1 c  a 


1 0 0


2a  b  c 
1 0 1
 1 0 1 2a  b  c 



A31 (1) 



1
a  b  c M 3
0 1 1
abc
0 1 0
0 1 1
4
4a  3b  2c  A32 (1) 
 0 0  4  4a  3b  2c 
0 0 1




4


0 0 1

 
 1 
4a  b  2c
4
2 
b  2c
4
3 
4a  b  2c 

4

b  2c 

4
4a  3b  2c 

4

4a  3b  2c
4
Y ahora realizamos el mismo procedimiento de siempre para hallar la regla de correspondencia
Ramiro J. Saltos
- 27  a b
 1  2
 1 0
0 2 
   1T 
   2T 
   3T 

T 
b c
 2 1 
 0 2
 2  1
 0
  3
1
 a b   4a  b  2c    b  2c    4a  3b  2c  
  
T 
 0   
 1   
 1 
4
4
   4   
 
b c 
 0
 4 
 0
  3b  6c   4a  3b  2c 

 

4
4

 

 a b   b  2c   4a  3b  2c 


T


 

4
4
b c 
 4b  8c  

0

 

4
4

 

 ab 

a b 
   a  b  c 
 T 
 b c   b  2c 


Tema 13
Sea T : R 3  R 3 la transformación lineal definida por:
 x  x  z
  

T y   y 
 z   y  z
  

1
 
Determine si T es un isomorfismo y en caso de serlo calcule T  2 
 3
 
1
Para determinar si T es invertible debemos hallar su representación matricial, y lo más sencillo
será hacerlo respecto a las bases canónicas
 1   0   0 
   
Sea B   0 ,  1 ,  0  la base canónica de R 3
 0   0   1 
     
1 1
1
 0
0
   
 
 
 
T  0    0   (1) 0   (0) 1   (0) 0 
 0  0
 0
 0
1
   
 
 
 
  1   1 
    
 T  0    0 
  0   0 
0 0
1
 0
 0
   
 
 
 
T  1    1   (0) 0   (1) 1   (1) 0 
0 1
 0
 0
1
   
 
 
 
  0   0 
    
 T  1    1 
  0   1 
Ramiro J. Saltos
- 28  0    1
1
 0
 0
   
 
 
 
T  0    0   (1) 0   (0) 1   (1) 0 
1  1 
 0
 0
1
   
 
 
 
  0    1
    
 T  0    0 
  1   1 
 1 0  1


 AT   0 1 0 
0 1 1 


Calculamos su determinante y si este es diferente de cero, entonces T es invertible
1 0
det( AT )  1
1 0
1 1
 T es un isomorfismo
Para calcular la inversa de T igualamos la regla de correspondencia con el vector típico del espacio
de partida y simplificamos el sistema de ecuaciones por Gauss hasta obtener la matriz identidad,
así
 x  z  a

  
T  y   b
 y  z c

  
1
x  z  a

 yb
y  z  c

a 
1 0 1 a
1 0 1
1 0 0 a  b  c






b  A31 (1) 0 1 0
b
 0 1 0 b  A23 (1) 0 1 0

0 1 1 c 
0 0 1 c  b
0 0 1
c  b 





Lo que nos queda del otro lado de la matriz aumentada es la regla de correspondencia de T 1 y lo
único que hay que hacer es escribirla bonito adaptándola a los espacios que pertenece, que para R 3
es sencillo porque va directo, tal como está, así
a a  b  c
  

T b  
b

c  c b 
  

1
Y calculando lo que nos pide el ejercicio:
1  2
   
T  2    2 
 3  1
   
Ramiro J. Saltos
- 29 Tema 14
Sea T : P1  R 2 una transformación lineal con regla de correspondencia:
a)
b)
 a  2b 

T (a  bx)  
 3a  7b 
Encuentre la representación matricial de T respecto a las bases B1  1  x,3  2 x
 2   1 
de P1 y B2   ,   de R 2 y la matriz asociada a T respecto a las bases
 5   5 
 1   0 
canónicas B3  1, x de P1 y B4   ,   de R 2
 0   1 
Si T es invertible, encuentre la regla de correspondencia de T 1
a) Por teorema sabemos que:
B1
AB 2
 

  1  x B 2
 




3  2 xB 2 



 2
 1   2   2 

T (v)   1     2     1
 5
 5   5 1  5 2 
Ahora debemos hallar las coordenadas de las transformaciones de los vectores de la base B1 en la
base B2
3
10 
 T (1  x)   
  1
2 1 3 M2 1
5


 5 5 10  P12
 2 1   2  3

5 1  5 2  10
1 2
2  A21 (1)  1 0 1
1 1


A
(

2
)
12
 2 1 3
 0  1  1 M (1)  0 1 1



 2


  1

  5
 T (3  2 x)  
T (1  x)B 2  
1

1
 2 1   2  1

5 1  5 2  5
  1
 2 1  1 M 2 1
5


 5 5  5  P12
1  1
 1 1  1 A21 (1)  1 0 0 
0
 2 1  1 A12 (2) 0  1 1  M (1)  0 1  1 T (3  2 x)B 2    1



 2


 
1 0 

B1 AB 2  
1  1
Para encontrar la representación matricial de T respecto a las bases canónicas realizamos el mismo
procedimiento, aunque en este caso es más fácil encontrar las columnas de la matriz.
1
T (1)   
 3
T (1)B 4  
Ramiro J. Saltos
1

 3
- 30  2
T (x)   
7
T ( x)B 4  
2

7
1 2

B 3 DB 4  
3 7
b) Para saber si T es invertible hay que calcular el determinante de cualquiera de las dos
representaciones matriciales anteriores
det( A)  (1)(1)  (1)(0)
det( A)  1
det( A)  0
 T es invertible
Y como ya se vio en ejercicios anteriores para encontrar T 1 igualamos la regla de correspondencia
de T con el vector típico del espacio de partida, en este caso P2
 a  3b 
  m  nx
T 1 
 3a  7b 
m 
1 2 m
1 2
 1 0 7 m  2n 

 A12 (3)
 A21 (2)

3 7 n 
 0 1 n  3m 
 0 1 n  3m 
Pero como la regla de correspondencia está en términos de a y b siempre es bueno dejar expresada
la respuesta en función de las ya mencionadas variables
a
 T 1    (7a  2b)  (3a  b) x
b
Tema 15
Sea T : S 2 x 2  P2 , una transformación lineal con regla de correspondencia:
a b
  (a  2b  c)  (a  b  c) x  (b  3c) x 2
T 
b c
Demuestre que T es invertible y encuentre la regla de correspondencia de T 1
Para averiguar si existe la inversa T primero debemos comparar las dimensiones de los espacios
donde opera la transformación; si estas dimensiones son diferentes, entonces T no es invertible,
caso contrario debemos proseguir con cualquiera de las siguientes opciones:
Encontrar el núcleo y ver si es igual al nulo del espacio vectorial de partida
Hallar la matriz asociada a T , calcular su determinante y si este es diferente de cero, entonces T
es invertible.
Ramiro J. Saltos
- 31 Nos inclinaremos por la segunda alternativa por ser más práctica. Para ello encontraremos la
representación matricial de T respecto a las bases canónicas por ser la más sencilla de hallar
 1 0   0 1   0 0 
, 
, 

 0 0   1 0   0 1 
Sea S  
y P  1, x, x 2  las bases canónicas de S 2 x 2 y P2
respectivamente.
1 0
  1  x  (1)(1)  (1) x  (0) x 2
T 
 0 0
0 1
  2  x  x 2  (2)(1)  (1) x  (1) x 2
T 
1 0
 0 0
  1  x  3x 2  (1)(1)  (1) x  (3) x 2
T 
0 1
1
 
  1 0 
    1
 T 
  0 0  P  0 
 
  2
 
  0 1 
   1 
 T 
  1 0  P  1 
 
  1
 
  0 0 
   1 
 T 
  0 1  P   3 
 
 1  2  1


 AT   1 1
1 
0
1  3 

Ahora calculamos el determinante escogiendo la fila o columna con más ceros que exista
1 1
 2 1
det( A)  1
1
1 3
1 3
det( A)  3  1  6  1
det( A)  3
det( A)  0
 T es invertible
Lo siguiente es hallar la inversa de T y para ello igualamos la regla de correspondencia son el
vector típico del espacio de partida, para este problema S 2 x 2


m
T 1 a  2b  c    a  b  c x  (b  3c) x 2  
n
n

p 
Y simplificamos por Gauss con la idea de expresar a , b y c en términos de m , n y p
Ramiro J. Saltos
- 32 m  A21 (2)  1 0  1  m  2n 
 1  2 1 m
1  2 1






1 n  A12 (1) 0  1 0 m  n  A23 (1)  0 1 0
 m  n M 3  1
 1 1
3
0

0 1  3
 M (1)  0 0  3 m  n  p 
1

3
p
p



 2


 



1 0 0
 1 0  1  m  2n 

0 1 0
 m  n  A31 (1) 0 1 0


mn p
0 0 1
0 0 1


3



 4m  7 n  p 

3

mn 
mn p 

3

Reemplazando y dejando en con las letras a , b y c
  4a  7b  c

3
 T 1 a  bx  cx 2   
 ab


Ramiro J. Saltos

a b 

a bc

3

- 33 -
Espacios con Producto Interno
Producto Interno
Definición: Sea V un espacio vectorial. Sea f : VxV  R una función que asigna a cada par de
vectores v, w  V un único escalar   R . Se dice que f es un producto interno real en V si
cumple con las siguientes condiciones:
1.
2.
3.
4.
5.
v  V f (v, v)  0
v  V f (v, v)  0  v  OV
v, w  V f (v, w)  f (w, v)
  R v, w  V f (v, w)  f (v, w)
v, w, z  V f (v  w, z)  f (v, z)  f (w, z)
Notaciones: Sea V un espacio vectorial. Sea f : VxV  R un producto interno real en V , las
diferentes notaciones que puede tomar f están dadas por:
1. f (v, w)
2. v / w
Norma de un Vector
Definición: Sea V un espacio con producto interno f . Sea v  V . La norma o módulo de v , que
se denota v , se define como:
v 
f (v, v)
Vector unitario
Definición: Al vector v  V se lo llama vector unitario si su norma es igual a 1
Teorema 1
Sea V un espacio con producto interno f . Entonces se cumple que:
1.   R v  V v    v
2. v  V f (v, OV )  0
Ramiro J. Saltos
- 34 Conjunto Ortonormal de Vectores
Definición: Sea S  v1 , v2 , v3 ,..., vn  un conjunto de vectores de un espacio vectorial con producto
interno V . Se dice que S es un conjunto ortonormal de vectores si:
1. i  j vi / v j   0
2. i  j vi / v j   1
Si el conjunto S satisface únicamente la primera condición se dice que S es un conjunto
ortogonal.
Teorema 2
Sea V un espacio vectorial con producto interno. Sea S  v1 , v2 , v3 ,..., vn  un conjunto de vectores
no nulos de V y ortogonal. Entonces, S es linealmente independiente en V
Distancia entre dos Vectores
Definición: Sean v y w dos vectores cualesquiera del espacio con producto interno V . La
distancia entre v y w , denotada por d (v, w) , se define como:
d (v, w)  v  w
Medida del ángulo entre dos Vectores
Definición: Sea V un espacio con producto interno. La medida del ángulo entre dos vectores v y
w cualesquiera no nulos de V , se define como:
 v / w 


v

w


  arcCos
Complemento Ortogonal
Definición: Sea W un subespacio del espacio vectorial con producto interno V . El complemento
ortogonal de W , denotado por W  , se define como:
W   v  V / v / w  0; w  W 
Proyección Ortogonal
Definición: Sea V un espacio vectorial con producto interno y W un subespacio de V . Sea
B  u1 , u 2 , u3 ,..., u n  una base ortonormal de W . Sea v  V . La proyección de ortogonal de v
sobre W , denotada por proyW v , se define como:
proyW v  v / u1 u1  v / u 2 u 2  v / u3 u3  ...  v / u n u n
Ramiro J. Saltos
- 35 Teorema 3
Sea B  u1 , u 2 , u3 ,..., u n  una base ortonormal del espacio con producto interno V . Sea v  V ,
entonces:
v  v / u1 u1  v / u 2 u 2  v / u3 u3  ...  v / u n u n  proyV v
Teorema 4
Sea W un subespacio del espacio con producto interno V , entonces se cumple que:
1. W  es un subespacio de V
2. W  W   OV 
3. dim W  dim W   dim V
Teorema de Proyección
Sea V un espacio con producto interno. Sea W un subespacio de V . Sea v  V . Entonces existe
un único vector h  W y p W  , tal que:
v  h p
Donde:
 h  proyW v
 p  proyW v

Matriz Ortogonal
Definición: La matriz invertible Q de nxn se dice que es ortogonal si:
Q 1  Q T
Teorema 5
Si Q es una matriz ortogonal de nxn , entonces det(Q)  1 o det(Q)  1
Teorema 6
Una matriz Q invertible de nxn es ortogonal, si y sólo si sus columnas forman una base
ortonormal para R n con el producto interno canónico.
Teorema de Aproximación de la Norma
Sea V un espacio con producto interno y W un subespacio de V . Sea v un vector cualquiera de
V . De todos los vectores que se encuentran en W , el vector “más cercano” a v es el vector
proyW v , es decir:
w  W  proyW v v  proyW v  v  w
Ramiro J. Saltos
- 36 Tema 1
Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifique formalmente su
respuesta
a) Sea f : R 2 xR 2  R una función con regla de correspondencia:
a a 
f  1   2   2a1b2  6a 2 b1
 b1   b2 
Entonces f es un producto interno real en R 2
(Falso)
Para averiguar si la función dada es un producto interno habrá que averiguar si se cumplen las
condiciones del producto interno
I) v  V f v v   0
a
Sea v     R 2
b
 a   a 
     0
 b   b 
2ab  6ab  0
 4ab  0
ab  0
No se cumple el primer punto.
Pero hay que plantear el contraejemplo así ya hayamos demostrado formalmente que no es un
producto interno
1
Sea v     R 2
1
1 1
     0
1 1
2(1)(1)  6(1)(1)  0
40
 f no es un producto interno
Ramiro J. Saltos
- 37 Tema 2
En el espacio vectorial P1 está definido el siguiente producto interno:
( p( x) / q( x))  p(1)q(1)  p(0)q(0)  p(1)q(1)
a) Encuentre un vector p(x) tal que su norma sea igual a
30 y la medida del ángulo

radianes.
2
b) Sea el subespacio de P1 : W  a  bx / a  b  0¿Cuál es el vector de W que está
“más cerca” de r ( x)  1  2 x ?
con el vector q( x)  1  x sea
a) Para resolver este literal hay que tener en cuenta el polinomio p(x) es una incógnita por ese
motivo debemos suponer un p(x) genérico.
Sea p( x)  a  bx  P1
El ejercicio nos da como información que la norma de p(x) es 30 , por tanto:
 p ( x) p ( x)  
a  bx a  bx  30
p ( x) 
30
(a  b)(a  b)  a 2  (a  b)(a  b)  30
a 2  2ab  b 2  a 2  a 2  2ab  b 2  30
3a 2  2b 2  30
Y así obtuvimos una primera ecuación, la otra que nos falta la obtenemos del segundo dato del
literal, el cual nos dice que la medida del ángulo con el vector q(x) es
Cos ( ) 
Cos (90) 
0

2
 p( x) q ( x) 
p( x)  q ( x)
a  bx 1  x 
p( x)  q( x)
(a  b)(0)  a  (a  b)(2)
p( x)  q( x)
a  2a  2b  0
3a  2b  0
Ahora ya tenemos dos ecuaciones que nos relacionan las variables a y b . Resolviendo el sistema
3a 2  2b 2  30

 3a  2b  0
Ramiro J. Saltos
- 38 2 
3
b   2b 2  30
 3 
4 
3 b 2   2b 2  30
9 
4b 2  6b 2  90
3a  2b
2
a
b
3
10b 2  90
2
(3)
3
a  2
a
b2  9
b  3
Existen dos vectores que cumplen las condiciones especificadas, pero debemos descartar la solución
que no satisface la segunda ecuación y con ello nos queda:
 p( x)  2  3x
b) Primero necesitamos extraer una base de W , luego debemos ortonormalizarla
Sea a  bx W
a  bx  b  bx  b(1  x)
 BW   1  x
Debido a que la base sólo tiene un vector, ortonormalizarla consistirá únicamente en dividir el
vector para su norma
1 x 
1  x 1  x 
1 x  4 1
1 x  5
 1

 BNW    1  x 
 5

Entonces para hallar el vector cercano debemos calcular su proyección sobre W

1
 1  x  1  1  x 
Pr oyW r ( x)   r ( x)
5

 5

1
Pr oyW r ( x)   1  2 x  1  x  1  x 
5
1
Pr oyW r ( x)   (3)(2)  (1)(1)  (1)(0) 1  x 
5
7
Pr oyW r ( x)  
 1  x 
 5 
Por lo tanto el vector más cercano a r ( x)  1  2 x es:
7 7
 x
5 5
Ramiro J. Saltos
- 39 Tema 3
En R 3 se consideran los siguientes conjuntos:
 0   1 
   
S  gen  1 ,  1 
 0   0 
   
 1 
 
L  gen  0 
 1 
 
 x
 
Expresar el vector v   y   R 3 como la suma de dos vectores, uno de S y uno de L
z
 
Siempre se aconseja en este tipo de ejercicios escoger la base con menor número de vectores puesto
que el proceso de ortonormalización es más difícil mientras más vectores hallan
 1 
1
 
 
B L   0   v1   0 
1
 1 
 
 
Ahora hay que ortonormalizar la base:
u1 
1
 v1
v1
v1 
1
 
0
1
 
1
 
0
1
 
v1  (1)(1)  (0)(0)  (1)(1)
 BOL
v1  2

 1 
 1  

 0 
2

 1 
 

Se aconseja dejar la base ortornormal expresada de la manera anterior, finalmente para hallar esos
dos vectores hallamos la proyección del vector v sobre el subespacio L y el otro lo obtenemos por
diferencia
l  Pr oy L v
l  v u1  u1
 x
1  
l     y
2  
z
1 1
   
0  0
1 1
   
Cabe recalcar que los escalares en un producto interno real pueden salir sin ningún problema
Ramiro J. Saltos
- 40 1
 
1
l   ( x)(1)  ( y )(0)  ( z )(1)   0 
2
1
 
1
xz  
l 
  0
 2   
1
xz


 2 
l   0 
xz
 2 


Para hallar el otro vector despejamos de:
vls
s  vl
xz

 x 
   2 
s   y   0 
z  x z
  

 2 
xz


 2 
s   y 
xz


 2 
Tema 4
 x 

 

3
Sea V  R3 y W   y   R / 3 x  2 y  6 z  0 un subespacio de V
 z 

 

Determine:
a) El complemento ortogonal de W
  3
 
b) La proyección de v sobre W si se conoce que v   1 
 4 
 
Para calcular el complemente primero necesitamos una base de W
3x  2 y  6 z  0
2 y  3x  6 z
Ramiro J. Saltos
- 41  x   2x   2x 
    

 y    2 y    3x  6 z  
 z   2z   2z 
    

 2   0 
   
 BW   3 ,  3 
 0   1 
   
 2  0
   
x 3   z  6 
 0  2
   
a
 
Sea  b   W 
c
 
 a 
 
 b 
 c 
 
 2
 
 3  0
0
 
2a  3b  0
2a  3b
W

 a 
 
 b 
 c 
 
0
 
 3  0
1
 
3b  c  0
c  3b
 a 

 

3
  b   R / 2a  3b  c  3b  0
 c 

 

Para hallar la proyección del vector que nos piden es mejor calcularla sobre W  debido a que la
base de este subespacio tiene un solo vector y ortonormalizarla será más sencillo.
 a   2a    3b 
  3
    

 
 b    2b    2b   b 2 
 c   2c    6b 
  6
    

 
 BW 
  3 
 
  2 
  6 
 
Ahora procedemos a ortonormalizar esta base:
u1 
1
 v1
v1
v1 
v1 / v1 
  3
 
v1    2 
  6
 
  3
 
 2 
  6
 
B
v1  9  4  36
*
W
   3 
 1  
   2 
 7   6 
  
v1  49  7
Vamos a suponer que v se puede escribir como la suma de dos vectores h  W y p W  ,
hallaremos p y luego contestaremos la pregunta al encontrar h  v  p
Ramiro J. Saltos
- 42 p  Pr oyW  v
p  v u1 u1
   3
 1   
p     1 
 49   
 4 
  3   3
   
 2    2 
  6   6
   
  3
 
 1 
p   9  2  24    2 
 49 
  6
 
 3 
 13  
p     2 
 49  
 6 
 39 
  3  
49 
  

26
h  1 
49 

 4   52

  
49 
  186 

49 


75
h
49 

 248

49 

  186 

49 

 Pr oyW v   75
49 

 248

49 

Tema 5
Sea V  M 2 x 2 , considere el producto interno:
a b   e

 
c d  g
f
  ae  2bf  2cg  dh
h 
 a a 

 / a, c  R  un subespacio de V
 c c 

Sea H  
a) Determine el complemento ortogonal de H
1 2
 como la suma de dos vectores A H y B  H  tales
b) Escriba la matriz C  
3 4
que C  A  B
1 0

c) Determine la medida del ángulo entre los vectores C e I si se sabe que I  
0 1
d) Determine la distancia entre los vectores C e I
e) Encuentre una base ortonormal de V
Ramiro J. Saltos
- 43 a) Para resolver este literal primero debemos encontrar una base de H , como ya tenemos el vector
típico:
a a
1 1  0 0

  a
  c

c c
 0 0 1 1
 1 1   0 0 
, 

 BH  
 0 0   1 1 
Para hallar el complemento ortogonal, el vector típico de H  le aplicamos producto interno con
cada uno de los vectores de la base de H y lo igualamos a cero
Recuerden que para este producto interno utilizamos la regla que nos da el ejercicio
a b 
  H 
c
d


Sea 
a b 


c d 
a  2b  0
1 1

  0
 0 0
a b 


c d 
d  2c  0
 0 0

  0
1 1
 a b 

  M 2 x 2 / a  2b  d  2c  0
 H   
 c d 

Obtenemos su base:
  2 1   0 0 
b 
 a b    2b
  2 1 0 0 
, 


  
  b
  c
  BH   
 2c 
c d   c
 0 0 1  2
 0 0   1  2 
b) Para resolver este literal debemos hallar la proyección de la matriz C sobre el subespacio cuya
base tenga el menor número de vectores, pero en este caso ambos subespacios tienen dimensión 2 ,
por lo tanto escogemos cualquiera de las dos bases para ortonormalizarla.
Las proyecciones siempre se calculan sobre bases ortonormales
Vamos a ortonormalizar BH y a esta nueva base la denotaremos como B1
 1 1   0 0 
, 

BH  
0
0
1
1





1 1
 0 0
 y v 2  

0 0
1 1
Supóngase que v1  
Ramiro J. Saltos
B1  u1 ,u 2 
- 44 Utilizamos el proceso de ortonormalización de Gram-Schmidt
u1 
1
 v1
v1
Recuerden para todo el ejercicio utilizamos el producto interno definido en el planteamiento del
problema
v1 
v1
v1 
1 1 1 1

 

 0 0  0 0
v1 
 u1 
v1  (1)(1)  2(1)(1)  2(0)(0)  (0)(0)
1 1 1


3  0 0
v1  3
u2 
1
 v2 '
v2 '
v 2 '  v 2  v 2
u1   u1
0 0  1 
   
v 2 '  
1 1  3 
0
v 2 '  
1
0
v 2 '  
1
v2 ' 
v2
v2 ' 
 0 0 1 1 1 1

 
  

1 1  0 0  0 0
0  1 
1 1
   (0)(1)  2(0)(1)  2(1)(0)  (1)(0)  

1  3 
 0 0
0

1 
v2 
 0 0  0 0

 

1 1 1 1
 u2 
v 2 '  (1)(1)  2(1)(1)  2(0)(0)  (0)(0)
1  0 0


3 1 1
v2 '  3
 1  1 1  1  0 0 
,


 B1   
0
0
1
1
3
3





Cabe recalcar que no era necesario realizar todo el proceso debido a que los vectores de BH son
ortogonales, es decir, v1 v2   0
Así que para ortonormalizar la base sólo era necesario dividir cada vector para su norma, pero
realizamos todo el proceso para practicar más; pero en adelante, de ser posible, nos saltaremos los
pasos innecesarios
Ramiro J. Saltos
- 45 Sabemos que:
A  Pr oyH C
A  C u1   u1  C u 2   u 2
1 2  1 1  1

 
  
3
4
0
0

 
 0
1
1
A   (1)(1)  2(2)(1)  2(3)(0)  (4)(0)  
 3
0
 5  1
A     
 3  0
1
A 
 3
1  1 
 
0   3 
1 2  0 0  0 0

 
  

3
4
1
1
1
1

 
 

1  1 
 0 0
   (1)(0)  2(2)(09  2(3)(1)  (4)(1)  

0  3 
1 1
1   10   0 0 
   

0   3   1 1 
5 
5
3
A 3
10
10 
3
 3
Y para obtener la matriz B despejamos de:
C  A B
BCA
 1 2   5 3 5 3 
 
B  
 3 4  10 3 10 3 
 2
B 3
 1
 3
1 
3
2 
3
c) Para determinar la medida del ángulo nos remitimos a la fórmula:
Cos ( ) 
C
I
C  I
Pero por comodidad de cálculo la resolveremos por partes y al final reemplazaremos todos los
valores
C
C
C
1 2  1 0
 

I   
3 4 0 1
I   (1)(1)  2(2)(0)  2(3)(0)  (4)(1)
I 5
Ramiro J. Saltos
- 46 C 
C 
C
C
I 
1 2 1 2

 

3 4 3 4
I 
I
I
1 0 1 0

 

0 1 0 1
C  (1)(1)  2(2)(2)  2(3)(3)  (4)(4)
I  (1)(1)  2(0)(0)  2(0)(0)  (1)(1)
C  43
I  2
Finalmente reemplazando nos queda:
Cos ( ) 
5
2 43
 5 

 86 
  ArcCos 
d) Para hallar la distancia también utilizamos una fórmula conocida:
d C , I   C  I
1 2  1 0
  

d C , I   
3 4 0 1
0 2

d C , I   
 3 3
d C , I  
0 2 0 2

 

 3 3  3 3
d C , I   (0)(0)  2(2)(2)  2(3)(3)  (3)(3)
d C , I   35
e) Para este último literal recordaremos aquel teorema que nos indica que para obtener una base
ortonormal de V basta con unir una base ortonormal de un subespacio H cualquiera con la base
ortonormal de su complemente ortogonal, es decir, H 
Como ya tenemos la base ortonormal de H solo falta ortonormalizar la base de H  , la cual
denotaremos como B2
  2 1   0 0 
, 

BH   
 0 0   1  2 
B2  u1 ,u 2 
  2 1
0 0 
 y v 2  

 0 0
1  2
Supóngase que v1  
Pero estos dos vectores ya son ortogonales, solo falta que sean unitarios, así que dividiremos cada
uno de ellos para su respectiva norma
Ramiro J. Saltos
- 47 v1 
v1 
v1
v1 
v2 
  2 1   2 1

 

 0 0  0 0
v2 
v2
v2 
0 0 


1  2
0 0 


1  2
v1  (2)(2)  2(1)(1)  2(0)(0)  (0)(0)
v 2  (0)(0)  2(0)(0)  2(1)(1)  (2)(2)
v1  6
v2  6
 1   2 1  1  0 0 
,


B2   
 6  0 0  6  1  2 
La base ortonormal de V la denotaremos como B3 , entonces:
B3  B1  B2
 1  1 1  1  0 0   1   2 1  1  0 0 
,

   
,


B3   
0
0
1
1
0
0
1

2
3
3
6
6









 
 1  1 1  1  0 0  1   2 1  1  0 0 
,

,

,


 B3   
 3  0 0  3  1 1  6  0 0  6  1  2 
Ramiro J. Saltos
- 48 -
Valores y Vectores Propios
Valor y Vector Propio de una Matriz: Sea A una matriz de nxn . Se dice que  es un valor propio
de A si existe un vector no nulo X  R n , tal que AX  X . En tal caso se dice que X es un
vector propio de A asociado al valor propio 
Valor y Vector Propio de una Transformación Lineal: Sea V un espacio vectorial y T : V  V
una transformación lineal. Se dice que  es un valor propio de de T , si existe un vector propio no
nulo v  V , tal que T (v)  v . En tal caso se dice que v es un vector propio de T asociado al
valor propio 
Teorema 1
Sea A una matriz de nxn . Entonces  es un valor propio de A si y sólo si:
p( )  det( A  I )  0
Matriz Semejante
Definición: Las matrices A y B de nxn se dice que son semejantes si existe una matriz invertible
C de nxn tal que:
B  C 1  A  C
Teorema 2
Sean A y B dos matrices semejantes de nxn . Entonces se cumple que:
1. det( A)  det(B)
2. p A ( )  p B ( )
Y por tanto A y B tienen los mismos valores propios pero no necesariamente los mismos vectores
propios
Teorema 3
Sea  un valor propio de la matriz A de nxn . Entonces:

E  X  C n / AX  X

Es un subespacio de C n y es llamado espacio propio de A asociado al valor propio 
Teorema 4
Sea  un valor propio de la transformación lineal T : V  V . Entonces:
E  v  V / T (v)  v
Es un subespacio de V y es llamado espacio propio de T asociado al valor propio 
Ramiro J. Saltos
- 49 Multiplicidad Geométrica
Definición: Sea E  el espacio propio de la matriz A de nxn o de una transformación lineal
T : V  V asociado al valor propio  . Se define la multiplicidad geométrica de  , denotada por
mg ( ) , como:
mg( )  dim E
Teorema 5
Sea  un valor propio de la matriz A de nxn o de una transformación lineal T : V  V en el
espacio de dimensión finita V . Entonces, se cumple que:
1  mg( )  ma( )
Teorema 6
Vectores propios asociados a valores propios diferentes son linealmente independientes.
Teorema 7
Sea A una matriz simétrica de nxn con componentes reales. Si  es un valor propio de A ,
entonces  es un número real
Teorema 8
Sea A una matriz de nxn simétrica. Sea X 1 un vector propio de A asociado al valor propio 1 y
X 2 un vector propio de A asociado al valor propio  2 .
Si 1  2 , entonces X 1 y X 2 son ortogonales.
Tema 1
Califique como verdaderas o falsas las siguientes proposiciones. Justifique formalmente su
respuesta
a) Si A es una matriz triangular, los valores propios de A son los elementos de su
diagonal principal (Verdadero)
 a11 a12

 0 a 22
Sea la matriz A   0 0

 
 0
0

a13
a 23
a33

0





a1n 

a2n 
a3n  una matriz triangular de nxn . Entonces:

 
a nn 
 a11  

 0
A  I   0

 
 0

a12
a 22  
0

0
a13
a 23
a33  

0
Ramiro J. Saltos

a1n 


a2n 

a3n 


 
 a nn   
- 50 Cuando se tiene una matriz triangular el determinante de la misma está dado por la multiplicación
de los elementos de la diagonal principal.
p( )  det( A  I )  (a11   )(a22   )(a33   )...(ann   )  0
De donde obtenemos que:
a11    0
a11  1
a22    0
a22  2
a33    0
a33  3
…
…
ann    0
ann  n
Por lo tanto i  aii para i  1,2,3,..., n; n  N
b) Sea A  M 2 x 2 . Si det( A)  1 y traza ( A)  1, entonces los valores propios de A son
números reales (Falso)
Sabemos que:
p( )  2  traza( A)  det( A)  0
2    1  0
Aplicando el discriminante a la ecuación determinaremos el tipo de raíces de la misma
a 1
b 1
c 1
  b 2  4ac
  1 4
  3
El discriminante es menor que cero, por tanto las raíces son números complejos
Tema 2
Halle los valores y vectores propios de la siguiente matriz:
1 0 1 


A   0 1  1
1 1 2 


Para hallar los valores propios debemos encontrar el polinomio característico y extraer sus raíces,
muchas veces es necesario utilizar la división sintética para poder factorizar la expresión
0
1  

A  I   0 1  
 1
1

Ramiro J. Saltos
1 

1 
2   
- 51 p ( )  det( A  I )  0
(1   )(1   )(2   )  1  (1)(1   )  0
(1   )(2    2  2  1)  1    0
(1   )(2  3  1)  1    0
2  3  1  3  32    1    0
3  42  3  0
 (2  4  3)  0
1  0
2  1
2  4  3  0
(  3)(  1)  0
3  3
1  0
 2  1
3  3
Finalmente debemos encontrar los vectores propios y para ello debemos encontrar una base de los
espacios E  .
El procedimiento consiste en reemplazar cada valor propio en la matriz A  I y resolver el
siguiente sistema homogéneo:
0
1  

1 
 0
 1
1

1  a   0 
   
 1  b    0 
2    c   0 
Entonces para hallar cada espacio planteamos el sistema mencionado y simplificamos la matriz
hasta obtener la mayor cantidad de ceros posibles
E 1
0
1
0 1 0 1 0
1  0
1 0 1 0
1 0 1 0

 





 0 1  0  1 0    0 1  1 0  A13 (1) 0 1  1 0  A23 (1) 0 1  1 0 
 1
 0 1 1 0
 0 0 0 0
 1 2  0 0   1  1 2 0 





De donde extraemos las siguientes igualdades:
ac 0
a  c
bc  0
bc
Reemplazando en el vector típico
 a    c    1
     
 b    c   c 1 
c  c   1 
     
Ramiro J. Saltos
  1
 
 v1   1 
1
 
- 52 E 2
1
0  0 0 1 0
1  1 0
 0 0 0 0

 
 A21 (1) 

 0 1 1 1 0   0 0 1 0
 0 0 1 0
A (1)
 1
 1 2  1 0   1  1 1 0  23  1  1 0 0 

c  0
c0
ab  0
ab
a a
1
   
 
 b    a   a 1 
 c  0
0
   
 
1
 
 v2   1 
0
 
E 3
1
0   2 0
1 0
0 0
1  3 0
 0  2 1 0
0 0

 


 A21 (1) 

 0 1  3  1 0    0  2  1 0  A31 (2) 0  2  1 0 
 0  2 1 0
 1
 1  1  1 0  A23 (1)  1 1
 1 2  3 0   1  1  1 0 
0 0 




 2b  c  0
c  2b
ab  0
a  b
a   b 
 1
  

 
 b    b   b 1 
 c    2b 
  2
  

 
 1
 
 v3   1 
  2
 
Tema 3
Encuentre, de ser posible, la matriz C que diagonaliza a la matriz:
 5  4 2


A   4  3 2
 4  3 2


El procedimiento para encontrar la matriz C es casi mecánico, hay que calcular el determinante de
A  I e igualarlo a cero para finalmente hallar los valores propios de la matriz, recuerden que en
muchos casos es necesario usar división sintética para factorizar.
5  

A  I   4
 4

4
3
3
Ramiro J. Saltos
2 

2 
2   
- 53 p ( )  0
det( A  I )  0
(5   )(3   )(2   )  6  4 4(2   )  6  4 8  2(3   )  0


(5   )  6  3  2  2  6  4 8  4  6  4 8  6  2   0
(5   )(2   )  32  16  24  32  24  8  0
52  5  3  2  8  0
3  42  3  0
 (2  4  3)  0
 0
1  0

2  1
  3
 3
(  3)(  1)  0
  3  1
Ahora debemos hallar una base para cada espacio propio asociado con cada uno de los valores
propios, recuerden que por lo general los valores propios se los ordena de menor a mayor
E1 ; 1  0
4
2
0  5  4 2 0
5  0
 1 1 0 0
1 1 0 0

 
 A21 (1) 



30
2
0   4  3 2 0
 4
 4  3 2 0  A12 (3) 1 0 2 0 
A (1) 
 4

 0 0 0 0
3
2  0 0   4  3 2 0  23

 0 0 0 0


ab  0
ab
a  2c  0
c  1 a
2
 1 
 a   a 


 
 b    a   a 1 
  1 
 c    1 a 
   2 
 2
 BE1
 2 
 
  2 
  1
 
No hay ningún problema si multiplicamos al vector por cualquier número para eliminar la fracción
E 2 ; 2  1
2
0  4  4 2 0
0 0
5 1  4
0 0
 0 0 0 0

 
 A21 (1) 



 3 1 2
0   4  4 2 0
 4
 2  2 1 0  A12 (2) 2 0  1 0 
A (1) 
 4

 0 1 1 0
3
2  1 0   4  3 1 0  23

 0 1 1 0


2a  c  0
a 1 c
2
bc  0
bc
Ramiro J. Saltos
- 54 1 
 a   1 2 c 
 2
 


 1 
b

c

c
 


 
c  c 
1
  

 
 BE 2
 1 
 
  2 
 2 
 
E 3 ; 3  3
4
2
0  2  4 2 0
5  3
1  2 1 0
1 0 1 0

 
 A12 (2) 



33
2
0   4  6 2 0
 4
 0 2  2 0  A21 (1) 0 1  1 0 
A (2) 
 4

 0 0 0 0
3
2  3 0   4  3  1 0  13

 0 5  5 0


ac  0
ac
a c
1
   
 
 b    c   c1
 c  c
1
   
 
bc  0
bc
 BE 3
1
 
 1
1
 
Finalmente las columnas de la matriz C que diagonaliza a la matriz A están dadas por los
vectores que conforman las bases de cada uno de los espacios propios
 2 1 1


 C   2 2 1
  1 2 1


Tema 4
Determine la matriz ortogonal Q que diagonaliza ortogonalmente a la matriz:
 1 5 0


A   5 1 0
 0 0 4


Para encontrar la matriz Q realizamos el mismo procedimiento que en el ejercicio anterior solo que
cuando hallemos las bases de los espacios propios debemos ortonormalizarlas, y esas serán las
columnas de la matriz en cuestión
1 

A  I   5
 0

5
1 
0
p ( )  0
det( A  I )  0
(4   )(1   )(1   )  25  0


(4   ) (1   ) 2  25  0
Ramiro J. Saltos
0 

0 
4   
- 55 Cuando se calcula el determinante por medio de cofactores es mejor utilizar la fila o columna con
mayor cantidad de ceros presentes en la misma
También hay que tener presente que el procedimiento se puede simplificar por la presencia de
ciertos artificios aplicables, por ejemplo en este ejercicio la expresión dentro del corchete es una
diferencia de cuadrados perfectos y su factorización es sencilla
4  0
4
(1   )  5(1   )  5  0
4  0
 0
(4   )(6   )
6  0
  6
1  6  ma(1 )  1

 2  4  ma(2 )  2
Ahora encontramos las bases de cada espacio propio
E1 ; 1  6
5
0
0   5 5 0 0  A12 (1)  1 1 0 0 
  1  (6)

 



5
 1  (6)
0
0    5 5 0 0  M 1  15   0 0 0 0 


0
0
4  (6) 0   0 0 10 0  M 3  110  0 0 1 0 

ab  0
a  b
c0
a  b
  1
   
 
 b    b   b 1 
c  0 
0
   
 
 BE1
  1
 
  1 
 0 
 
Hay que ortonormalizar esta base para obtener la primera columna de la matriz Q , pero como solo
es un vector bastará dividirlo para su norma, en este caso usamos el producto interno canónico
v 
v
v 
v
  1
 
1
0
 
  1
 
1
0
 
 BON E1
v  (1)(1)  (1)(1)  (0)(0)
v  2
Ramiro J. Saltos
 1 2 


  1 2 
 0 


- 56 E 2 ; 2  4
5
0
0   5 5 0 0
 1 4
 1 1 0 0

 
 A12 (1) 

1 4
0
0   5  5 0 0
 5
 0 0 0 0
1
M  5 
 0

0
4  4 0   0
0 0 0  1

 0 0 0 0
ab  0
ab
Si no aparece la variable c significa que es libre y no hay condición de la que este sujeta
a a
1  0
   
   
 b    a   a  1   c 0 
c c
 0 1
   
   
 BE 2
 1   0 
   
  1 ,  0 
 0   1 
   
Igualmente debemos ortonormalizar esta base, pero antes hay que notar que estos vectores ya son
ortogonales y de paso el segundo ya es unitario, así que bastará con dividir el primer vector para su
norma con lo que obtendremos la base buscada y las dos últimas columnas de nuestra matriz Q
v1 
v1
v1 
v1 
1
 
1
0
 
1
 
1
0
 
 BON E 2
v1  (1)(1)  (1)(1)  (0)(0)
 1 2   0 
  

  1 2 ,  0 
 0   1 
  

v1  2
 1 2

Q   1 2
 0

1
2
1
2
0
0

0
1 
Hay que recordar que las columnas de esta matriz forman una base ortonormal para R 3
Tema 5
Sea A una matriz cuadrada de tamaño 2x 2 que representa a una transformación lineal
T : R 2  R 2 , respecto a la base canónica de R 2
a) Si traza( A)  5 y det( A)  4 , ¿cuáles son los valores propios de T ?
b) Encuentre, de ser posible, una base de R 2 respecto de la cual la matriz asociada a T
 0
  6

sea una matriz diagonal, si se conoce que T    
1  2 
Ramiro J. Saltos
- 57 a) Sabemos que para cualquier matriz de orden 2 el polinomio característico está dado por:
p( )  2  traza( A)  det( A)  0
Entonces:
2  5  4  0
(  4)(  1)  0
40
  4
 1  0
  1
Y con esto queda resuelto el primer literal
b) Para hallar dicha base necesitamos diagonalizar cualquier matriz asociada a T , pero como no
tenemos la regla de correspondencia tendremos que buscar otro camino para encontrar una matriz
asociada
Para este ejercicio tenemos suficientes datos para hallar la representación matricial de T respecto
a la base canónica. Conocemos su segunda columna por el dato del literal b , así que tenemos:
 x  6

AT  
y 2 
Además conocemos el valor de la traza y del determinante, por lo que tenemos el siguiente sistema
de ecuaciones
x  2  5  x  7


2 x  6 y  4  x  3 y  2  3 y  9  y  3
  7  6

AT  
2 
 3
Y de aquí en adelante el procedimiento es el mismo que en ejercicios anteriores:
 7  
A  I  
 3
6 

2   
Pero como ya conocemos los valores propios de esta matriz simplemente hallamos los espacios
propios
E1 ; 1  4
  7  4  6 0    3  6 0  A21 (1)  0 0 0 





2  4 0   3
6 0  M 2  13  1 2 0 
 3
 a    2b 
  2
   
  b 
b  b 
 1 
Ramiro J. Saltos
  2 
 BE1   
 1 
a  2b  0
a  2b
- 58 Al mismo tiempo este vector representa las coordenadas de los vectores propios de la
transformación lineal respecto a la base de donde nació la matriz asociada, es decir, son las
coordenadas de los vectores propios del operador lineal respecto a la base canónica de R 2 para este
caso.
  2
 v1   
 1 
E 2 ; 2  1
  7  1  6 0    6  6 0  A21 (2)  0 0 0 





2  1 0   3
3 0  M 2  13  1 1 0 
 3
ab  0
a  b
  1
 BE 2   
 1 
a  b
  1
      b 
b  b 
1
  1
 v 2   
1
Y estos dos vectores encontrados forman parte una base respecto de la cual la matriz asociada a T
es una matriz diagonal
  2    1
 B   ,  
 1   1 
Hay que tener en cuenta que si el espacio donde opera la transformación lineal es diferente a R n ,
entonces los vectores de la base tendrán la forma de dicho espacio, ya sean matrices, polinomios,
etc.
Ramiro J. Saltos