FC 07- Cuaderno Teórico Cinemática SA-7

FÍSICA COMÚN
FC -07
UNIDAD N°3
CINEMÁTICA

Conceptos básicos

Movimiento relativo

Movimiento rectilíneo
uniforme (MRU)

Movimiento rectilíneo
uniformemente acelerado
(MRUA)
1

Caída libre

Lanzamientos verticales
SECCIÓN I
Cinemática Rectilínea
DATO:
Cinemática proviene del
griego
KINEO
que
significa
mover,
o
también del KINEEMA
que significa movimiento.
La Cinemática es la rama de la física que estudia el movimiento
de los cuerpos, sin preocuparse de las causas que lo generan.
En esta unidad se tratarán conceptos como distancia,
desplazamiento, rapidez, velocidad y aceleración. Para ello, los
cuerpos o móviles serán tratados como partículas, o sea, no
interesan sus dimensiones, forma, masa, etc.
¿De qué depende el movimiento de un cuerpo o partícula?
El movimiento de un cuerpo visto por un observador, depende del
punto o sistema de
referencia en el cuál se halla situado.
Suponga que un avión que vuela horizontalmente deja caer un
objeto, si se observara la caída de éste desde el interior del avión,
se vería que cae en línea recta verticalmente. Por otra parte, si se
estuviera de pie sobre la superficie de la Tierra, se advertiría que
describe una curva llamada parábola. Como conclusión, el
movimiento es relativo, ya que depende del sistema de referencia
seleccionado.
El problema surge en la elección de ejes coordenados que estén en
reposo absoluto, a los cuales referir todos los movimientos. Esto en
realidad es imposible, ya que no disponemos de ningún punto de
referencia que sea inmóvil. En nuestro estudio, que veremos a
continuación, consideraremos ejes coordenados ligados a la Tierra,
porque generalmente estamos acostumbrados a
considerar el
movimiento de los cuerpos suponiendo que la Tierra está en reposo
(por convención).
Para reforzar estos
contenidos accede a:
www.preupdvonline.cl
CONCEPTOS BÁSICOS DE CINEMÁTICA
i) Sistema de Referencia:
Unidad 3: Cinemática.
Módulo 1: Conceptos
básicos del movimiento.
Es el punto arbitrario que se elige para medir el movimiento de
un cuerpo. A veces coincide con el punto de partida.
ii) Punto de Partida:
Es el punto en donde un cuerpo comienza su movimiento. No
tiene por qué coincidir con el sistema de referencia.
2
iii) Trayectoria:
Es la línea que une las distintas posiciones por las cuales pasa
un móvil. Se puede clasificar en rectilínea y curvilínea.
iv) Distancia (d):
Es la longitud de la trayectoria, es una magnitud escalar y es
siempre positiva.
v) Desplazamiento
d
o r

NOTA
Es el cambio de posición que experimenta un cuerpo. Es decir,
es la unión de la posición inicial (A) y final (B) de la
trayectoria, y es una magnitud vectorial. Su ecuación queda
expresada por:
Δr = r - r
B
A
El desplazamiento puede ser positivo, negativo o nulo.
Recuerde que el signo negativo de un vector indica sólo
cambio de sentido.
Trayectoria
B
 
desplazamiento d
A
vi) Rapidez media (vM):
Es una magnitud escalar siempre positiva que relaciona la
distancia total recorrida y el tiempo que tarda en recorrerla.
V =
M
d
distancia recorrida
=
Δt
tiempo total
o también
3
d
V = total
M
ttotal
Sólo si la trayectoria es
rectilínea
(una
dirección y un sentido)
el desplazamiento y la
distancia recorrida por el
cuerpo tendrán
el
mismo
valor.
En
cualquier otro caso, la
distancia será siempre
mayor
que
el
desplazamiento.
IMPORTANTE
V e l o c i d a d
instantánea (v(t)): un
cuerpo no siempre puede
viajar con velocidad
constante, por esta razón
es útil hablar de este
concepto, el cual
cor re spo nde a l a
velocidad que posee el
móvil
en
un
determinado instante de
tiempo de su recorrido.
Una forma matemática
de
calcular
esta
velocidad, se mostrará
más adelante cuando se
analicen los tipos de
movimientos.
vii) Velocidad media
 VM  :
Es una magnitud vectorial y relaciona el cambio de posición
(desplazamiento total) y el tiempo que tarda en recorrerlo.
v
M
=
d
desplazamiento total
=
t
tiempo total
o
también
vM =
dtotal
ttotal
El
desplazamiento y la velocidad siempre tienen igual
dirección y sentido.
viii) Aceleración media
 am  :
Es una magnitud vectorial y se relaciona con el cambio de
velocidad en un intervalo de tiempo.
La aceleración y la variación de velocidad siempre tienen
igual dirección y sentido.
a=
v
 vinicial
v
= final
tfinal  tinicial
t
Nota:
Si un cuerpo aumenta la magnitud de su velocidad, el vector
aceleración y el vector velocidad deben tener el mismo sentido. Si
un cuerpo disminuye su velocidad, el vector aceleración y el vector
velocidad deben tener distinto sentido. Por lo tanto, el vector
aceleración con signo negativo no significa necesariamente que el
cuerpo está retardando.
En la imagen se muestra lo
que comúnmente se llama
velocímetro,
que
en
realidad corresponde a un
rapidímetro porque indica
una magnitud escalar la
cual señala la distancia
recorrida por unidad de
tiempo.
NO OLVIDAR
La dimensión de la longitud es L mientras que la dimensión del
tiempo es T.
Además en el Sistema Internacional la unidad de medida de la
longitud y del tiempo son respectivamente m (metros) y s
(segundo)
Esto es útil, por ejemplo, para indicar que tanto la rapidez y
velocidad tienen dimensión L/T, y que a pesar de que en nuestro
país la rapidez se mide en km/h en unidades del Sistema
Internacional se mide en m/s.
4
RELACIONES PARA EL MOVIMIENTO RELATIVO ENTRE DOS
CUERPOS, QUE VIAJAN A VELOCIDAD CONSTANTE
Si viajan en sentido opuesto:
d
 v1  v2
t
Para reforzar estos
contenidos accede a:
www.preupdvonline.cl
Unidad 3: Cinemática.
Si viajan en igual sentido:
d
 | v1  v2 |
t
Módulo 2: Movimiento
relativo y movimiento
rectilíneo uniforme.
Donde V1 y V2 son los valores de la velocidad de cada cuerpo.
VELOCIDAD MÓVIL A RESPECTO A MÓVIL B:
v = v -v
AB
B A
En los tipos de ejercicios donde una embarcación se mueve en un
río, la ecuación necesaria es
vembarcación-borde = vembarcación-río + vrío-borde
A continuación se muestra el caso de un bote a través de un río, por
ejemplo si la rapidez del río es de 5 m/s y la del bote respecto al río
es de 7 m/s, entonces la rapidez del bote respecto al borde del río, se
obtiene como
Borde del río
velocidad del bote respecto al río
velocidad del río
respecto al borde
velocidad del bote respecto al borde
Borde del río
Aplicando la ecuación anterior se tendrá que el resultado es
v = 7 – 5 = 2 m/s
5
SECCIÓN II
Movimientos Rectilíneos Uniformes y Acelerados
La interpretación de gráficos en cinemática utiliza algunas
herramientas matemáticas, como la ecuación de pendiente de la
recta y el área bajo la curva.
Dependiendo de las variables que presente el gráfico y el tipo de
movimiento que estemos estudiando, la ecuación de la recta y el
área bajo la curva nos entregarán información importante.
NOTA
Es por esto que a continuación se realiza una pequeña reseña
respecto a la pendiente de una recta y al área bajo la curva:
Pendiente de la recta
(m) que pasa por los
puntos (x1, y1) y (x2, y2)
m=
Δy
Δx
=
y - y
1
2
x - x
1
2
Se denomina ÁREA BAJO LA CURVA al espacio que queda
encerrado entre la gráfica y el eje de las abscisas (X)
6
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME (M.R.U)
Cuando un cuerpo se desplaza con rapidez constante no nula a lo
largo de una trayectoria rectilínea, se dice que describe un MRU.
Por ejemplo, supongamos que un automóvil se desplaza por una
carretera recta y plana, y su velocímetro siempre indica una rapidez
de 60 km/h, lo cual significa que: en 1 h el auto recorrerá 60 km, en
2 h recorrerá 120 km, en 3 h recorrerá 180 km. Si estos datos los
llevamos a un gráfico de posición (x) versus tiempo (t), su
comportamiento sería el siguiente:
X [m]
pendiente 
x
 medida de la velocidad(v)
t
X0
t [s]
La ecuación de la recta nos permitirá encontrar la información de
cada posición de la partícula en el tiempo. Ésta se denomina
ecuación de itinerario o de movimiento.
Para reforzar estos
contenidos accede a:
X (t) = x0 + v · t
Donde X0 = posición inicial, v = velocidad y t = tiempo
Si X0 = 0 (m), tenemos x(t) = v · t, conocida como la expresión
www.preupdvonline.cl
Unidad 3: Cinemática.
Módulo 2: Movimiento
relativo y movimiento
rectilíneo uniforme.
d=v·t
En cambio el área bajo la curva para este tipo de gráfico no nos
entrega ningún tipo de información.
Tal como se señala en la gráfica la pendiente nos da la magnitud de
la velocidad, que en este caso es constante ya que la pendiente es
única.
El signo de la velocidad se debe respetar para el cálculo de
desplazamientos. Recuerda que un vector con signo negativo sólo
indica cambio de sentido.
7
De esta forma, el gráfico de velocidad (v) versus tiempo (t)
quedará:
v [m/s]
pendiente 
v
 medida de la aceleración(a)
t
t [s]
Como la velocidad es constante, implica que la aceleración en un
MRU siempre mide cero. Esto se puede determinar, tal como
muestra la gráfica, calculando la pendiente de la recta.
El área bajo la curva de este gráfico nos indicará la distancia
recorrida por el móvil. (Esto se explicará mas ampliamente en la
página 11)
a [m/s2]
Finalmente, el gráfico aceleración (a) versus
tiempo (t) quedará expresado por:
|a| = 0 [m/s2]
t [s]
8
MOVIMIENTO RECTILINEO UNIFORME ACELERADO (M.R.U.A)
Este movimiento se presenta cuando el cuerpo experimenta cambios
de velocidades iguales en intervalos de tiempos iguales, lo que
implica una aceleración constante no nula en el tiempo. Además, el
vector velocidad y el vector aceleración tendrán la misma dirección.
IMPORTANTE
Si la velocidad y la aceleración tienen igual dirección y sentido
el cuerpo aumentará su rapidez de manera uniforme.
Si la velocidad y la aceleración tienen igual dirección pero
sentidos opuestos el cuerpo disminuirá su rapidez de manera
uniforme. A esto se le denomina MOVIMIENTO RECTILINEO
UNIFORMEMENTE RETARDADO (M.R.U.R)
¿Cómo se expresan los gráficos en un MRUA?
Tren más rápido del
mundo.
El
tren
japonés
MAGLEV alcanzó en el
año 2015 un máximo de
603 km/h. Su nombre se
debe a que funciona
mediante rieles de
levitación magnética.
Imaginemos un móvil estacionado en una posición x0 a la derecha
del origen (posición 0 m), éste comienza a moverse en línea recta,
alejándose del origen aumentando su velocidad proporcional con el
tiempo, lo cual implica que su aceleración es constante. La situación
anterior representa un movimiento rectilíneo uniformemente
acelerado, el cual será analizado gráficamente:
Para reforzar estos
contenidos accede a:
x [m]
www.preupdvonline.cl
En este gráfico se observa que la
pendiente está aumentando, es
decir, aumenta el valor de la
velocidad
x0
t [s]
La ecuación de itinerario generalizada está representada por:
x (t) = x0 + v0 · t +
1
2
a · t2
9
Unidad 3: Cinemática.
Módulo 3: Movimiento
r e c t i l í n e o
uniformemente
El comportamiento de la velocidad en función del tiempo es el
siguiente:
v [m/s]
Usain Bolt, el hombre más
rápido del mundo.
El 16 de Agosto de 2009
en el mundial de atletismo
de Berlín Usain Bolt
registró un tiempo de 9,58
s en los 100 m planos
convirtiéndolo en el
hombre más veloz de la
historia.
Su
movimiento
corresponde
a
un
movimiento rectilíneo
acelerado, y la rapidez
media de él en esta prueba
es de aproximadamente
10,438 m/s.
pendiente 
v
 medida de la aceleración(a)
t
V0
t [s]
De esta gráfica se puede determinar la velocidad instantánea que
posee el móvil, encontrando la ecuación de la recta:
v (t) = v0 + a · t
Así como también se puede obtener la medida de la aceleración, tal
como se señala en el gráfico, calculando la pendiente de la recta. La
pendiente de una recta es única por lo tanto esto nos indica que la
aceleración tiene un valor constante tal como se muestra en el
siguiente gráfico:
a [m/s2]
Para reforzar estos
contenidos accede a:
www.preupdvonline.cl
Unidad 3: Cinemática.
Módulo 4: Movimiento
r e c t i l í n e o
t [s]
IMPORTANTE:
Las ecuaciones mostradas en el MRUA son genéricas, esto quiere
decir que sirven para el MRU teniendo en cuenta que la aceleración
es nula (a = 0) así como también sirven para el MRUR, solo hay
que poner cuidado con el signo de las velocidades y aceleraciones.
GRÁFICOS M.R.U.R.
Posición v/s tiempo
Velocidad v/s tiempo
v[m/s]
Aceleración v/s tiempo
a[m/s2]
x[m]
t[s]
t[s]
10
t [s]
EXPLICACIÓN MATEMÁTICA de lo que indica el área bajo la
curva en un gráfico:
Analizando dimensionalmente, el área (gráfico x versus t) genera
una multiplicación de posición y tiempo, lo cual en cinemática no
implica ningún concepto físico.
x [m]
t [s]
En cambio, si se analiza dimensionalmente, el área de un gráfico
velocidad versus tiempo, como el que se muestra a continuación, se
genera una multiplicación de velocidad por tiempo con lo cual se
puede obtener la distancia recorrida en un intervalo de tiempo
determinado, para el cual hay que tomar el valor absoluto del área a
calcular. También se puede obtener la medida del desplazamiento
total teniendo en cuenta el signo.
v [m/s]
v1
v0
t1
t
t [s]
Con el grafico de la figura se puede demostrar la ecuación de
itinerario de un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado,
para la cual tomaremos como posición inicial el origen (x 0 = 0 m).
Para calcular el área de este gráfico se puede calcular el área
(trapecio) en el intervalo de tiempo Δt o se puede calcular el área
del triángulo mas el rectángulo:
Área = Árearectángulo + Áreatriángulo = Áreatrapecio
Realizando el cálculo se obtiene:
Área = v0 · t + ·
1
2
(v1 – v0) · t
11
Utilizando un recurso matemático, se multiplicará la ecuación por el
neutro multiplicativo la expresión del área del triángulo:
Área = v0 · t · +
1
2
· (v1 – v0) · t ·
t
t
 
1
Área = x (t) = v0 · t +
1
2
·
(v1  v0 )
· t2
t
X  t  = V0 · t +

1
· a· t 2
2
Por último, el cálculo del área de un gráfico a versus t genera una
multiplicación entre aceleración y tiempo, con lo cual se puede
obtener la variación de velocidad (respetando los signos).
a [m/s2]
t [s]
¿Cómo analizar la velocidad instantánea en un gráfico
versus t?
x
x [m]
t1
t2
t [s]
Las pendientes de las rectas tangentes en t1 y t2, son un indicador
de la velocidad instantánea en los respectivos instantes de tiempo.
Con esto logramos verificar que la rapidez de la partícula va
aumentando en el sentido positivo. Con esta técnica podemos
analizar un problema desde el punto de vista cualitativo.
12
PRINCIPALES ECUACIONES DE CINEMÁTICA
Ecuación de itinerario o de posición:
1
2
X t = X + V · t +
· a· t
0
0
2
Ecuación de velocidad instantánea:
V t = v + a · t
0
Ecuación de Torricelli:
2
2
V
= 2· a · d + V
F
0
Rapidez media:
d
distancia recorrida
V =
=
M Δt
tiempo total
Velocidad media:
d
desplazamiento total
v =
=
M Δt
tiempo total
Velocidad media (con aceleración constante):
V +V0
Vm = f
2
13
SECCIÓN III
Movimientos Rectilíneos Verticales
CAÍDA LIBRE
Galileo
Galilei
(1564—1642), fue un
astrónomo, filósofo,
i n g e n i e r o ,
matemático y físico
italiano, relacionado
estrechamente con
la revolución científica.
Sus logros incluyen la
mejora del telescopio,
una gran variedad de
observaciones
astronómicas,
la primera ley del
movimiento y un apoyo
determinante
e
i m p o r t a n t e
al copernicanismo. Ha
sido considerado como
el «padre de la
astronomía moderna»,
el «padre de la física
moderna» y el «padre
de la ciencia».
Para reforzar estos
contenidos accede a:
www.preupdvonline.cl
En cinemática, la caída libre es un movimiento dónde solamente
influye la gravedad. En este movimiento se desprecia el
rozamiento del cuerpo con el aire, es decir, se estudia en el
vacío.
El movimiento de la caída libre es un movimiento uniformemente
acelerado (M.R.U.A).
Según Galileo Galilei, la aceleración instantánea es independiente de
la masa del cuerpo, es decir, si soltamos un sillón y una revista,
ambos cuerpos tendrán la misma aceleración, que coincide con la
aceleración de la gravedad (g). Esto último implica que, si dejamos
caer (en t = 0 s) cuerpos de diferentes masas desde la misma
altura, llegarán al suelo con la misma velocidad y en el mismo
instante.
Antes de analizar las ecuaciones para este tipo de movimiento, es
conveniente hacer algunos comentarios generales.
En problemas que tratan con cuerpos en caída libre y lanzamientos
verticales, es demasiado importante elegir una dirección como la
positiva y seguir este criterio en forma consistente al sustituir los
valores conocidos. El signo de la respuesta es necesario para
determinar desplazamiento y velocidad en tiempos específicos, no
así cuando se desea determinar distancia recorrida y rapidez, ya
que en ese caso tomamos el módulo (magnitud) del resultado.
Si la dirección ascendente se elige como positiva, un valor positivo
para x(t) indica un desplazamiento hacia arriba; si x(t) es negativo,
representa un desplazamiento hacia abajo. En forma similar los
signos de v0 (velocidad inicial) y la velocidades instantáneas v(t).
Unidad 3: Cinemática.
Módulo 5: Caída libre y
lanzamientos verticales.
14
La siguiente figura muestra el comportamiento de un cuerpo en
caída libre.
Por simplicidad en los cálculos, se tomará X 0 = 0 m, esto quiere
decir que la posición inicial del móvil se considerará como 0 m.
El austriaco Felix
Baumgartner el 14 de
O c t ub r e d e 201 2
consiguió realizar un
salto sin precedentes
desde el borde del
espacio, a una altura
aproximada de 39
kilómetros. En cuanto a
la velocidad alcanzada
por el austríaco, logró
una de sus metas,
convertirse en el primer
paracaidista en romper la
barrera del sonido.
Para caída libre las ecuaciones serán:
Ecuación de itinerario o posición :
1
x(t)    g  t2
2
Ecuación de velocidad :
v(t)   g  t
Ecuación de aceleración :
a(t)   g  cons tan te
15
LANZAMIENTOS VERTICALES
El lanzamiento vertical hacia abajo es similar a la caída libre
(movimiento rectilíneo uniformemente acelerado), con la diferencia
que la velocidad inicial es diferente de cero.
El lanzamiento vertical hacia arriba, es un movimiento rectilíneo
uniformemente retardado debido a que la velocidad y la aceleración
tienen sentidos opuestos.
Si tomamos positivo hacia arriba las ecuaciones que rigen a estos
movimientos son las siguientes:
Se denomina velocidad
de escape a la velocidad
mínima con que debe
lanzarse un cuerpo para
poder escapar a la
atracción de gravedad
(en nuestro caso a la
gravedad de la Tierra).
Este valor es de 40320
km/h.
Ecuación de itinerario o posición :
x(t)   V0 
1
 g  t2
2
Ecuación de velocidad :
v(t)   V0  g  t
Ecuación de aceleración :
a(t)   g  cons tan te
IMPORTANTE:
Recuerde que por conveniencia, la velocidad inicial es positiva si el
lanzamiento es vertical hacia arriba y viceversa, todo esto para el
cálculo de desplazamiento y velocidad instantánea.
En el caso que se requiera distancia recorrida o rapidez instantánea,
se debe tomar la magnitud del resultado.
Para la mayoría de los ejercicios se usará |g| 10 m/s2.
16
Análisis del movimiento de ida y vuelta en un lanzamiento vertical hacia arriba:
Al observar la gráfica se puede observar que existe una simetría en el movimiento, lo que
implica que el tiempo de ida y vuelta es el mismo; la distancia total recorrida, equivale al
doble de la altura máxima alcanzada por el cuerpo.
Importante destacar que la aceleración siempre está actuando, y en la altura máxima sólo
se anula la velocidad instantánea.
La aceleración es constante y siempre está dirigida hacia abajo.
Las expresiones que se dan a continuación nos permiten calcular el tiempo de subida y la
altura máxima alcanzada por el cuerpo.
t subida 
v0
g
hmax
v20

2g
ANÁLISIS GRÁFICO DEL MOVIMIENTO DE IDA Y VUELTA
X [m]
hmax
tsubida
ida
V
2·t
subida
t [s]
a [m/s2]
vuelta
v0
t [s]
-g
t [s]
-v0
DMDSFC-07
17