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LUGARES GEOMÉTRICOS.
CÓNICAS
Página 213
PARA EMPEZAR, REFLEXIONA Y RESUELVE
Cónicas abiertas: parábolas e hipérbolas
■
Completa la siguiente tabla, en la que α es el ángulo que forman las generatrices con el eje, e, de la cónica y β es el ángulo del plano π con e.
β = 90°
π
β>α
β=α
V
PASA POR
EL VÉRTICE
π
β<α
punto
punto
recta
dos rectas que
se cortan en V
circunferencia
elipse
parábola
hipérbola
NO PASA
POR EL
VÉRTICE
Página 215
1. Halla las ecuaciones de los siguientes lugares geométricos:
a) Mediatriz del segmento de extremos A (–5, –3), B (7, 1). Comprueba que es
una recta perpendicular al segmento en su punto medio.
b) Circunferencia de centro C (–3, 4) y radio 5. Comprueba que pasa por el
origen de coordenadas.
c) Bisectrices de los ángulos formados por las rectas:
r 1 : 5x + y + 3 = 0
r 2 : x – 2y + 16 = 0
Comprueba que las bisectrices son dos rectas perpendiculares que se cortan
en el mismo punto que r 1 y r 2.
a) Los puntos X (x, y) deben cumplir dist (X, A) = dist (X, B ):
√ (x + 5)2 + (y + 3)2 = √ (x – 7)2 + (y – 1)2
Elevamos al cuadrado y desarrollamos:
x 2 + 10x + 25 + y 2 + 6y + 9 = x 2 – 14x + 49 + y 2 – 2y + 1
10x + 14x + 6y + 2y + 34 – 50 = 0 → 24x + 8y – 16 = 0
3x + y – 2 = 0 → y = –3x + 2
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
1
• El punto medio de AB es M (1, –1) que, efectivamente, está en la recta (pues
verifica la ecuación).
• La pendiente de la recta es mr = –3, y la del segmento es:
mAB =
Cumplen que mr · mAB = (–3)
1 – (–3)
4
1
=
=
7 – (–5)
12
3
( 13 ) = –1 → AB ⊥ r
b) Los puntos X (x, y) son tales que:
dist (X, C ) = 5 → √ (x + 3)2 + (y – 4)2 = 5 → x 2 + 6x + 9 + y 2 – 8y + 16 = 25 →
→ x 2 + y 2 + 3x – 8y + 25 = 25 → x 2 + y 2 + 3x – 8y = 0
c) Son los puntos X (x, y):
dist (X, r1) = dist (X, r2) →
5x + y + 3
√ 26
=
x – 2y + 16
√5
Se dan dos casos: √ 5 (5x + y + 3) = √ 26 (x – 2y + 16)
√ 5 (5x + y + 3) = – √ 26 (x – 2y + 16)
(
b2 : (5 √ 5
) (
)
+ √ 26 ) x + ( √ 5 – 2 √ 26 ) y + 3 √ 5
—
—
m1 = – (5 √ 5 – √ 26 )
b1 : 5 √ 5 – √ 26 x + √ 5 + 2 √ 26 y + 3 √ 5 – 16 √ 26 = 0
• Sus pendientes son:
—
—
√ 5 + 2 √ 26
(
—
—
√ 5 + √ 26
m2 = – 5—
—
√ 5 – 2 √ 26
→ m1 · m2 =
)









Son dos rectas:
+ 16 √ 26 = 0
→
25 · 5 – 26
99
=
= –1 → b1 ⊥ b2
5 – 4 · 26
–99
• Calculamos el punto de corte de las rectas iniciales y comprobamos que está también en ambas bisectrices:
r1 : 5x + y + 3 = 0 → y = –5x – 3 
 →
r2 : x – 2y + 16 = 0

→ x – 2(–5x – 3) + 16 = 0 → x + 10x + 6 + 16 = 0 →
→ 11x = –22 → x = –2
Luego: y = –5 (–2) – 3 = 7
El punto de corte es (–2, 7), que se puede comprobar fácilmente que está en b1
y b2 sustituyendo en sus ecuaciones respectivas:
(
)
(
)
b1 : 5 √ 5 – √ 26 · (–2) + √ 5 + 2 √ 26 · 7 + 3 √ 5 – 16 √ 26 =
= –10 √ 5 + 2 √ 26 + 7 √ 5 + 14 √ 26 + 3 √ 5 – 16 √ 26 = 0
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
2
(
)
(
)
b2: 5 √ 5 + √ 26 · (–2) + √ 5 – 2 √ 26 · 7 + 3 √ 5 + 16 √ 26 =
= –10 √ 5 – 2 √ 26 + 7 √ 5 – 14 √ 26 + 3 √ 5 + 16 √ 26 = 0
• Por tanto, b1 y b2 son dos rectas perpendiculares que se cortan en el mismo
punto que r1 y r2 .
Página 217
1. Halla la ecuación de la circunferencia de centro (–5, 12) y radio 13. Comprueba
que pasa por el punto (0, 0).
(x + 5) 2 + (y – 12) 2 = 169 → x 2 + y 2 + 10x – 24y = 0
Si sustituimos x = 0, y = 0 en la ecuación, esta se verifica. Por tanto, la circunferencia pasa por (0, 0).
2. ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos del plano cuyo cociente de distancias
— —
a los puntos M (6, 0) y N (–2, 0) es 3 (es decir, PM/PN = 3)?
Si P (x, y) es un punto del lugar geométrico, entonces:
—
√ (x – 6) 2 + y 2 = 3
PM
— =3 →
PN
√ (x + 2) 2 + y 2
(x – 6) 2 + y 2 = 9 [(x + 2) 2 + y 2 ]
x 2 – 12x + 36 + y 2 = 9 [x 2 + 4x + 4 + y 2 ]
x 2 – 12x + 36 + y 2 = 9x 2 + 36x + 36 + 9y 2
8x 2 + 8y 2 + 48x = 0
x 2 + y 2 + 6x = 0
Es una circunferencia de centro (–3, 0) y radio 3.
Página 219
3. En el ejercicio resuelto anterior, resuelve el sistema de ecuaciones para hallar
el punto de tangencia de la recta s1 y la circunferencia C.
x 2 + y 2 – 6x – 4y – 12 = 0  y = 3x – 26

4
3x – 4y – 26 = 0 
x2 +
(
3x – 26
4
)
2
– 6x – 4
(
)
3x – 26
– 12 = 0
4
2
x 2 + 9x – 156x + 676 – 6x – 3x + 26 – 12 = 0
16
16x 2 + 9x 2 – 156x + 676 – 96x – 48x + 416 – 192 = 0
25x 2 – 300x + 900 = 0 → x 2 – 12x + 36 = 0
(x – 6) 2 = 0 → x = 6 → y = –2
El punto de tangencia es (6, –2).
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
3
4. ¿Para qué valor de b la recta y = x + b es tangente a x 2 + y 2 = 9?
El centro de la circunferencia es C (0, 0) y el radio es r = 3. La distancia de C a la
recta s: x – y + b = 0 ha de ser igual al radio:
dist (C, s) =
|b|
|b|
=
= 3 → |b| = 3 √2
√1 + 1
√2
b = 3√2
b = –3 √ 2
Luego las rectas y = x + 3 √2 e y = x – 3 √2 son tangentes a la circunferencia dada.
5. Halla la posición relativa de la circunferencia C: x 2 + y 2 – 6x + 8y = 0 respecto
a las rectas: s1: x + y = 10, s2: 4x + 3y + 20 = 0 y s3: 3x – 4y = 0.
El centro de la circunferencia es Oc(3, –4) y su radio es r = √9 + 16 = √25 = 5.
Hallamos la distancia de Oc a cada una de las rectas:
d1 = dist (Oc, s1) =
|3 – 4 – 10|
11
=
≈ 7,78
√2
√2
|12 – 12 + 10|
10
=
=2
5
√ 16 + 9
|9 + 16|
25
d3 = dist (Oc, s3) =
=
=5
5
√ 9 + 16
d2 = dist (Oc, s2) =
d1 > r → La recta s1 es exterior a la circunferencia.
d2 < r → La recta s2 y la circunferencia son secantes.
d3 = r → La recta s3 es tangente a la circunferencia.
Página 221
1. Halla la ecuación de la elipse de focos F1(4, 0), F2(–4, 0) y cuya constante es 10.
Una vez puesta la ecuación inicial, pasa una raíz al segundo miembro, eleva al
cuadrado (¡atención con el doble producto!), simplifica, aísla la raíz, vuelve a
elevar al cuadrado y simplifica hasta llegar a la ecuación 9x 2 + 25y 2 = 225.
Si P (x, y) es un punto de la elipse, entonces:
dist (P , F1) + dist (P , F2) = 10
√(x – 4)2 + y 2 + √(x + 4)2 + y 2 = 10
√(x – 4)2 + y 2 = 10 – √(x + 4)2 + y 2
Elevamos al cuadrado: (x – 4)2 + y 2 = 100 + (x + 4)2 + y 2 – 20 √(x + 4)2 + y 2
Operamos: x 2 – 8x + 16 + y 2 = 100 + x 2 + 8x + 16 + y 2 – 20 √(x + 4)2 + y 2
20 √(x + 4)2 + y 2 = 16x + 100
5 √(x + 4)2 + y 2 = 4x + 25
Elevamos al cuadrado: 25(x 2 + 8x + 16 + y 2) = 16x2 + 200x + 625
Simplificamos:
25x 2 + 200x + 400 + 25y 2 = 16x 2 + 200x + 625 → 9x 2 + 25y 2 = 225
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
4
2. Halla la ecuación de la hipérbola de focos F1(5, 0), F2(–5, 0) y cuya constante
es 6. Simplifica como en el ejercicio anterior hasta llegar a la expresión
16x 2 – 9y 2 = 144.
Si P (x, y) es un punto de la hipérbola, entonces:
|dist (P , F1) – dist (P , F2)| = 6
dist (P , F1) – dist (P , F2) = ±6
√(x – 5)2 + y 2 – √(x + 5)2 + y 2 = ±6
√(x – 5)2 + y 2 = ±6 + √(x + 5)2 + y 2
Elevamos al cuadrado:
x 2 – 10x + 25 + y 2 = 36 + x 2 + 10x + 25 + y 2 ± 12 √(x + 5)2 + y 2
±12 √(x + 5)2 + y 2 = 20x + 36
±3 √(x + 5)2 + y 2 = 5x + 9
Elevamos al cuadrado: 9 (x 2 + 10x + 25 + y 2) = 25x 2 + 90x + 81
9 x 2 + 90x + 225 + 9y 2 = 25x 2 + 90x + 81
16x 2 – 9y 2 = 144
3. Halla la ecuación de la parábola de foco F (–1, 0) y directriz r: x = 1. Simplifica hasta llegar a la expresión y 2 = – 4x.
Si P (x, y) es un punto de la parábola, entonces:
dist (P , F) = dist (P , r)
√(x + 1)2 + y 2 = |x – 1|
Elevamos al cuadrado: x 2 + 2x + 1 + y 2 = x 2 – 2x + 1
Simplificamos: y 2 = –4x
Página 223
1. Una elipse tiene sus focos en los puntos F (5, 0) y F' (–5, 0) y su constante es k
= 26. Halla sus elementos característicos y su ecuación reducida. Represéntala.
• Semieje mayor: k = 26 → 2a = 26 → a = 13
—
• Semidistancia focal: FF' = 10 → 2c = 10 → c = 5
• Semieje menor: b 2 = a 2 – c 2 = √169 – 25 =
= √144 = 12 → b = 12
• Excentricidad:
12
c
5
=
≈ 0,38 →
a
13
→ exc ≈ 0,38
• Ecuación reducida:
–13
x2 + y 2 = 1
169
144
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
F'
F
13
–12
5
Página 224
2. Representa y di su excentricidad:
(x + 5)2 (y – 2)2
+
=1
16
4
c = √16 – 4 = √12
2
exc =
√ 12 ≈ 0,87
4
–5
3. Representa y di su excentricidad:
(x – 3)2 (y – 7)2
+
=1
16
64
c = √64 – 16 = √48
exc =
7
√ 48 ≈ 0,87
8
3
Página 226
1. Una hipérbola tiene sus focos en los puntos F1 (5, 0) y F2 (–5, 0) y su constante es k = 6. Halla sus elementos característicos y su ecuación reducida. Represéntala.
• Semieje: k = 2a = 6 → a = 3
—
• Semidistancia focal: F1F2 = 10 → c = 5
4
• Cálculo de b: b 2 = c 2 – a 2 →
→ b = √25 – 9 = √16 = 4 → b = 4
• Excentricidad: exc =
• Asíntotas: y =
c
5
=
≈ 1,67
a
3
4
4
x; y = –
x
3
3
F1
–3
3
F2
–4
2
2
• Ecuación reducida: x – y = 1
9
16
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
6
Página 227
2. Representa:
(x + 5)2 (y – 2)2
–
=1
16
4
2
–5
3. Representa:
(y – 7)2 (x – 3)2
–
=1
64
16
7
3
Página 228
1. Halla la ecuación reducida de la parábola de foco F (1,5; 0) y directriz x = –1,5.
Si P (x, y) es un punto de la parábola: dist (P, F) = dist (P, d), donde d es la directriz y F el foco.
√(x – 1,5) 2 + y 2 = |x + 1,5|
x 2 – 3x + 2,25 + y 2 = x 2 + 3x + 2,25 → y 2 = 6x
• De otra forma:
Distancia del foco a la directriz: p = 3
Ecuación reducida: y 2 = 6x
2. Halla la ecuación reducida de la parábola de foco F (0, 2) y directriz y = –2.
Si P (x, y) es un punto de la parábola: dist (P, F) = dist (P, d), donde d es la directriz y F el foco.
√x 2 + (y – 2) 2 = |y + 2|
x 2 + y 2 – 4y + 4 = y 2 + 4y + 4 → x 2 = 8y
• De otra forma:
Distancia del foco a la directriz: p = 4
Ecuación reducida: x 2 = 8y.
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
7
Página 233
EJERCICIOS Y PROBLEMAS PROPUESTOS
PARA PRACTICAR
Circunferencia
1
Averigua cuáles de las siguientes expresiones corresponden a circunferencias y, en ellas, halla su centro y su radio:
a) x 2 + y 2 – 8x + 2y + 10 = 0
b) x 2 – y 2 + 2x + 3y – 5 = 0
c) x 2 + y 2 + xy – x + 4y – 8 = 0
d) 2x 2 + 2y 2 – 16x + 24 = 0
e) x 2 + y 2 + 6x + 10y = –30
a) Los coeficientes de x 2 e y 2 son 1. No hay término en xy.
( A2 ) + ( B2 )
2
2
– C = 16 + 1 – 10 = 7 > 0.
Es una circunferencia de centro (4, –1) y radio √7 .
b) Los coeficientes de x 2 e y 2 no son iguales. No es una circunferencia.
c) Hay un término xy. No es una circunferencia.
d) Los coeficientes de x 2 e y 2 son iguales y no tiene término en xy. Dividimos
entre 2 la igualdad: x 2 + y 2 – 8x + 12 = 0.
( A2 ) + ( B2 )
2
2
– C = 16 + 0 – 12 = 4 > 0.
Es una circunferencia de centro (4, 0) y radio √4 = 2.
e) Los coeficientes de x 2 e y 2 son 1. No hay término en xy.
( A2 ) + ( B2 )
2
2
– C = 9 + 25 – 30 = 4 > 0
Es una circunferencia de centro (–3, –5) y radio 2.
2
Los puntos A (1, 2) y B (3, 6) son los extremos de un diámetro de una circunferencia C. Halla su ecuación.
El centro de la circunferencia es el punto medio del segmento AB:
P = Centro =
( 1 2+ 3 , 2 +2 6 ) = (2, 4)
El radio es la distancia del centro a uno de los puntos:
→
r = dist (P, A) = |PA| = |(–1, –2)| = √1 + 4 = √5
Por tanto, la ecuación es: (x – 2) 2 + (y – 4) 2 = 5
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
→
x 2 + y 2 – 4x – 8y + 15 = 0
8
3
¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos
que distan 5 unidades del punto P (–3, 2)?
Represéntalo gráficamente y halla su ecuación.
Es una circunferencia de centro P (–3, 2) y radio 5.
(–3, 2)
Ecuación: (x + 3) 2 + (y – 2) 2 = 25
x 2 + y 2 + 6x – 4y – 12 = 0
4
Escribe la ecuación de la circunferencia de centro C (–2, 1) y que pasa por
P (0, – 4).
El radio de la circunferencia es la distancia de P a C:
→
r = |PC| = |(–2, 5)| = √4 + 25 = √29
La ecuación es: (x + 2) 2 + (y – 1) 2 = 29, o bien, x 2 + y 2 + 4x – 2y – 24 = 0
5
Estudia la posición de la recta x + y = 0 con relación a la circunferencia:
x 2 + y 2 + 6x + 2y + 6 = 0.
El centro de la circunferencia es C (–3, –1) y su radio es r = √9 + 1 – 6 = √4 = 2.
Hallamos la distancia de C a la recta s: x + y = 0:
d = dist (C, s) =
|–3 – 1|
4
4 √2
=
=
= 2 √2 ≈ 2,83 > 2 = r
2
√2
√2
La recta es exterior a la circunferencia.
6
¿Para qué valor de b la recta y = x + b es tangente a la circunferencia
x 2 + y 2 = 1?
El centro de la circunferencia es C (0, 0) y su radio es r = 1.
Hallamos la distancia de C a la recta s: x – y + b = 0: d = dist (C, s) =
|b|
√2
Para que la recta sea tangente a la circunferencia, ha de ser d = r, es decir:
|b|
= 1 → |b| = √2
√2
7
b = √2
b = –√ 2
Halla los puntos de intersección de cada pareja de circunferencias y di cuál es su
posición relativa:
 x 2 + y 2 – 6x – 16 = 0
a)  2
2
x +y =4
 x 2 + y 2 – 6x – 4y + 9 = 0
b)  2
2
 x + y – 6x + 2y + 9 = 0
2
2
 4 – 6x – 16 = 0 → –6x = 12 → x = –2
a) x + y – 6x – 16 = 0 
2
2
x +y
= 4  4 + y2 = 4 → y2 = 0 → y = 0
Las circunferencias se cortan en el punto (–2, 0).
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
9
La primera circunferencia tiene centro en (3, 0) y radio 5; la segunda tiene centro
en (0, 0) y radio 2. La distancia entre sus centros es d = 3. Como la diferencia
entre sus radios es 5 – 2 = 3 = d, las circunferencias son tangentes interiores.
2
2
a
a

b) x + y – 6x – 4y + 9 = 0  Restando a la 2- ecuación la 1- :
2
2
x + y – 6x + 2y + 9 = 0 
6y = 0 → y = 0
x 2 – 6x + 9 = 0 → (x – 3) 2 = 0 → x = 3
Las circunferencias se cortan en el punto (3, 0).
La primera circunferencia tiene su centro en (3, 2) y radio 2; la segunda tiene su
centro en (3, –1) y radio 1. La distancia entre sus centros es d = 3, igual que la
suma de sus radios. Por tanto, las circunferencias son tangentes exteriores.
8
Halla la longitud de la cuerda común a las circunferencias de ecuaciones:
x 2 + y 2 – 4x + 2y – 4 = 0 y x 2 + y 2 – 4 = 0.
Hallamos los puntos de corte:
x 2 + y 2 – 4x + 2y – 4 = 0  –4x + 2y = 0 → y = 2x

x2 + y 2
– 4 = 0  x 2 + 4x2 – 4 = 0 → 5x 2 = 4
x1 =
x2 =
4
5
√
√
4
2
2 √5
=
=
5
5
√5
x2 = –
4
–2
–2 √ 5
=
=
5
5
√5
Las dos circunferencias se cortan en P
4 √5
5
→ y1 =
(
→ y2 =
2 √5 4 √5
,
5
5
)
–4 √ 5
5
y en Q
(
)
–2 √ 5 –4 √ 5
,
.
5
5
La longitud de la cuerda común es igual a la distancia entre P y Q:
→
dist (P, Q) = |QP| =
=
9
( √ ) ( √ ) (√ ) (√ )
4 5
5
2
+
8 5
5
2
=
4
5
2
+
8
5
2
=
16
64
+
= √16 = 4
5
5
Calcula la distancia del centro de la circunferencia x 2 + y 2 – 2y – 1 = 0 a la recta r: 2x – y + 3 = 0. ¿Cuál es la posición de r respecto a la circunferencia?
El centro de la circunferencia es C (0, 1) y su radio es R = √2 . La distancia de C
a r es:
dist (C, r) =
|–1 + 3|
2
=
≈ 0,89 < √2 ≈ 1,41
√5
√5
Luego la circunferencia y la recta son secantes.
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
10
Elipse
10
Halla los vértices, los focos, los puntos en los ejes, las excentricidades, y representa las elipses dadas por sus ecuaciones:
a)
x2
y2
+
= 1i
100 36
b)
c) 9x 2 + 25y 2 = 25
x2
y2
+
=1
64 100
d) 9x 2 + 4y 2 = 1
a) Vértices: (10, 0); (–10, 0); (0, 6) y (0, –6).
6
Focos: c = √100 – 36 = 8
–10
F (8, 0) y F ' (–8, 0)
F'
8
= 0,8
10
Excentricidad: exc =
10
F
–6
b) Vértices: (8, 0); (–8, 0); (0, 10) y (0, –10).
10
Focos: c = √100 – 64 = √36 = 6
F
F (0, 6) y F ' (0, –6)
6
= 0,6
10
Excentricidad: exc =
–8
8
F'
–10
c) 9x 2 + 25y 2 = 25 →
Vértices:
( )(
)
1
5
5
, 0 ; – , 0 ; (0, 1) y (0, –1).
3
3
√
Focos: c =
F
x2
y2
+
=1
25/9
1
25
–1 =
9
( )
(
√
16
4
=
3
9
)
–5
— F'
3
F
5
—
3
–1
4
4
, 0 y F' – , 0
3
3
Excentricidad: exc =
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
4/3
4
=
= 0,8
5/3
5
11
x2
y2
+
=1
1/9
1/4
d) 9x 2 + 4y 2 = 1 →
Vértices:
( )(
1
1
–
=
4
9
Focos: c =
(
F 0,
11
)( ) (
1
1
1
, 0 ; – , 0 ; 0,
3
3
2
√5
6
)
(
√
y 0, –
1
—
2
)
F
1
.
2
–1
—
3
5
√5
=
6
36
y F ' 0, –
√5
6
1
—
3
F'
)
–1
—
2
Halla las ecuaciones de las elipses determinadas de los modos siguientes:
a) Focos (–2, 0), (2, 0). Longitud del eje mayor, 10.
b) F (–3, 0) y F' (3, 0) y cuya excentricidad es igual a 0,5.
c) Eje mayor sobre el eje X, 10. Pasa por el punto (3, 3).
d) Eje mayor sobre el eje Y, 2. Excentricidad, 1/2.
a) c = 2; 2a = 10 → a = 5; b = √a 2 – c 2 = √25 – 4 = √21
Ecuación:
x2
y2
+
=1
25
21
b) c = 3; exc =
c
c
3
= 0,5 → a =
=
=6
a
0,5
0,5
b 2 = a 2 – c 2 = 36 – 9 = 27
Ecuación:
x2
y2
+
=1
36
27
c) 2a = 10 → a = 5;
2
x2
+ y =1
2
25
b
Como pasa por (3, 3) →
9
+ 9 = 1 → 9b 2 + 225 = 25b 2 →
25
b2
→ 16b 2 = 225 → b 2 =
Ecuación:
d) exc =
x2
y2
x2
16y 2
+
= 1, o bien,
+
=1
25
225/16
25
225
c
1
=
1
2
→ c=
b2 = a2 – c2 = 1 –
Ecuación:
225
16
1
(a = 1, pues 2a = 2)
2
1
3
=
4
4
x2
y2
4x 2
+
= 1, o bien,
+ y2 = 1
3/4
1
3
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
12
12
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a P (– 4, 0) y Q (4, 0) es 10.
Es una elipse de focos P (–4, 0) y Q (4, 0), y constante k = 10, es decir, 2a = 10
y c = 4.
Así: a = 5; b 2 = a 2 – c 2 = 25 – 16 = 9
x2
y2
+
=1
25
9
La ecuación será:
13
x2
y2
+
= 1 con la circunfe25
9
rencia cuyo centro es el origen y pasa por los focos.
Halla los puntos de intersección de la elipse
Los focos de la elipse son:
c2 = a2 – b2
→
c 2 = 25 – 9 = 16
4
→ c=4
3
F (4, 0) y F' (–4, 0)
Luego la circunferencia tiene su centro en
(0, 0) y radio 4.
–5
–4
0
La ecuación de la circunferencia es: x 2 + y 2 = 16.
–3
Hallamos los puntos de intersección de la circunferencia con la elipse:
–4
4
5
x 2 + y 2 = 16  2
2
 y = 16 – x
x2 y 2
2 + 25y 2 = 225 → 9x 2 + 25(16 – x 2 ) = 225

9x
—+—= 1 
25
9

9x 2 + 400 – 25x 2 = 225 → 175 = 16x 2 → x 2 =
x=±
√
±5 √ 7
175
=
4
16
Hay cuatro puntos:
14
(
)(
5√ 7 9
,
;
4
4
x=
5√ 7
4
x=
–5 √ 7
4
)(
5√ 7
9
,–
;
4
4
→ y=±
→ y=±
–5 √ 7 9
,
4
4
175
16
9
4
9
4
) (
y
–5 √ 7
9
,–
4
4
)
Calcula la longitud de la cuerda definida por la elipse x 2 + 3y 2 = 28 y la recta 5x + 3y = 14.
Hallamos los puntos de corte de la recta y la
elipse:
14 – 3y
5x + 3y = 14 
 x=
2
2
5
x + 3y = 28 
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
13
(
14 – 3y
5
)
2
+ 3y 2 = 28 →
196 – 84y + 9y 2 + 3y 2 = 28
25
196 – 84y + 9y 2 + 75y 2 = 700 → 84y 2 – 84y – 504 = 0
y2 – y – 6 = 0 → y =
1 ± √ 1 + 24
1±5
=
2
2
y=3
y = –2
→ x=1
→ x=4
Se cortan en los puntos P (1, 3) y Q (4, –2).
La longitud de la cuerda es la distancia entre P y Q:
→
|PQ| = |(3, –5)| = √9 + 25 = √34 ≈ 5,83
15
Escribe la ecuación de una elipse con centro en el origen de coordenadas y
focos en el eje de abscisas, sabiendo que pasa por el punto P (8, –3) y que
su eje mayor es igual al doble del menor.
El eje mayor es igual al doble del menor, es decir: a = 2b. Además, pasa por el
punto P (8, –3). Luego:
x2 + y 2 = 1 →
a2 b2
64 + 9 = 1 →
4b 2 b 2
16 + 9 = 1 →
b2
b2
25 = 1 →
b2
→ 25 = b 2; a 2 = 4b 2 = 100
La ecuación es:
16
x2 + y 2 = 1
100 25
Escribe la ecuación de la elipse de focos F (1, 1) y F' (1, –1) y cuya constante es igual a 4.
Si P (x, y) es un punto de la elipse, entonces:
dist (P, F ) + dist (P, F' ) = 2a, es decir:
√(x – 1) 2 + (y – 1) 2 + √(x – 1) 2 + (y + 1) 2 = 4
Operamos para simplificar:
√(x – 1) 2 + (y – 1) 2 = 4 – √(x – 1) 2 + (y + 1) 2
(x – 1) 2 + (y – 1) 2 = 16 + (x – 1) 2 + (y + 1) 2 – 8 √(x – 1) 2 + (y + 1) 2
x 2 + 1 – 2x + y 2 + 1 – 2y = 16 + x 2 + 1 – 2x + y 2 + 1 + 2y – 8 √(x – 1) 2 + (y + 1) 2
–4y – 16 = –8 √(x – 1) 2 + (y + 1) 2
(4y + 16) 2 = 64 [(x – 1) 2 + (y + 1) 2]
16y 2 + 256 + 128y = 64 [x 2 + 1 – 2x + y 2 + 1 + 2y]
16y 2 + 256 + 128y = 64x 2 + 64 – 128x + 64y 2 + 64 + 128y
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
14
128 = 64x 2 – 128x + 48y 2
8 = 4x 2 – 8x + 3y 2
12 = 4x 2 – 8x + 4 + 3y 2
12 = (2x – 2) 2 + 3y 2
12 = 4(x – 1) 2 + 3y 2
2
2
1 = 4(x – 1) + 3y
12
12
(x – 1)2 + y 2 = 1
3
4
• De otra forma:
El centro de la elipse es el punto medio del segmento que une F con F', es decir:
(
)
1+1 1–1
,
= (1, 0)
2
2
Por otra parte:
→
2c = dist (F, F') = |F'F| = |(0, 2)| = 2 → c = 1
2a = 4 → a = 2 → a 2 = 4
b2 = a2 – c2 = 4 – 1 = 3
Por tanto, la ecuación es:
(x – 1)2
y2
+
=1
3
4
Página 234
Hipérbola
17
Halla los vértices, los focos, las excentricidades y las asíntotas, y dibuja las
hipérbolas dadas por las ecuaciones:
a)
x2
y2
–
=1
100 36
b)
c) x 2 – 4y 2 = 1
e)
9x 2
– y2 = 1
16
d) x 2 – 4y 2 = 4
y2 x 2
–
=1
4
36
f ) y 2 – 16x 2 = 16
g) 9x 2 – 4y 2 = 36
h) 4x 2 – y 2 + 16 = 0
a) a = 10, b = 6, c = √a 2 + b 2 = √136 = 2 √34 , exc =
2 √ 34
≈ 1,17
10
Vértices: (10, 0) y (–10, 0). Focos: F (2 √34 , 0) y F' (–2 √34 , 0)
Asíntotas: y =
3
3
x; y = –
x
5
5
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
15
6
F' –10
10 F
–6
b)
9x 2
– y2 = 1 →
16
a=
x2
y2
–
=1
16/9
1
√
( ) (
4
, b = 1, c =
3
Vértices:
16
+ 1 = 5 , exc = 5/3 = 5 = 1,25
9
3
4/3
4
)
( )
(
4
4
5
5
, 0 y – , 0 . Focos: F
, 0 y F' – , 0
3
3
3
3
Asíntotas: y =
)
3
3
x; y = –
x
4
4
1
–4
—
3
F'
4
—
3
F
–1
x2
y2
–
=1
1
1/4
c) x 2 – 4y 2 = 1 →
a = 1, b =
1
, c=
2
√
1+
1
4
=
√ 5 , exc = √ 5/2 = √ 5 ≈ 1,12
2
1
Vértices: (1, 0) y (–1, 0). Focos: F
Asíntotas: y =
(√ )
2
(
)
5
√5 , 0
, 0 y F' –
2
2
1
1
x; y = –
x
2
2
1
—
2
F' –1
1 F
–1
—
2
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
16
x2
y2
–
=1
4
1
d) x 2 – 4y 2 = 4 →
a = 2, b = 1, c = √4 + 1 = √5 , exc =
√ 5 ≈ 1,12
2
Vértices: (2, 0) y (–2, 0). Focos: F ( √5 , 0) y F' (– √5 , 0)
Asíntotas: y =
1
1
x; y = –
x
2
2
1
F' –2
2 F
–1
e) Vértices: (0, 2) y (0, –2). Focos: F (0, √40 ) y F' (0, – √40 )
exc =
√ 40 ≈ 3,16. Asíntotas: y = 1 x; y = – 1 x
2
3
3
F
2
–6
6
–2
F'
f) y 2 – 16x 2 = 16 →
y2
x2
–
=1
16
1
F
4
Vértices: (0, 4) y (0, –4)
Focos: F (0, √17 ) y F' (0, – √17 )
exc =
√ 17 ≈ 1,03
–1
1
4
Asíntotas: y = 4x; y = – 4x
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
–4
F'
17
g) 9x 2 – 4y 2 = 36 →
x2
y2
–
=1
4
9
Vértices: (2, 0) y (–2, 0)
3
Focos: F ( √13 , 0) y F' (– √13 , 0)
F' – 2
√ 13 ≈ 1,80
exc =
2
F
2
Asíntotas: y =
–3
3
3
x; y = –
x
2
2
h) 4x 2 – y 2 + 16 = 0 → y 2 – 4x 2 = 16 →
→
y2
x2
–
=1
16
4
F
4
Vértices: (0, 4) y (0, –4)
Focos: F ( √20 , 0) y F' (– √20 , 0)
exc =
–2
√ 20 ≈ 1,12
2
–4
4
F'
Asíntotas: y = 2x; y = – 2x
18
Halla las ecuaciones de las hipérbolas determinadas de los modos siguientes:
a) Focos (– 4, 0), (4, 0). Distancia entre los vértices, 4.
1
x. Vértice, (2, 0).
5
c) Asíntotas, y = ± 3x. Pasa por el punto (2, 1).
b) Asíntotas, y = ±
d) Focos (–3, 0), (3, 0). Excentricidad, 3.
a) c = 4; 2a = 4 → a = 2; b = √c 2 – a2 = √16 – 4 = √12
La ecuación es:
b) a = 2;
b
1
=
a
5
Ecuación:
c)
x2
y2
–
=1
4
12
→
b
1
=
2
5
→ b=
2
5
x2
y2
x 2 25y 2
–
= 1, o bien,
–
=1
4
4/25
4
4
b
= 3 → b = 3a →
a
Como pasa por (2, 1) →
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
x2 – y 2 = 1
a2
9a2
4 – 1 = 1 → 36 – 1 = 9a 2
a 2 9a 2
18
35 = 9a 2 → a 2 =
Ecuación:
d) c = 3,
35
9
→ b 2 = 9a 2 = 35
x2
y2
9x 2
y2
–
= 1, o bien,
–
=1
35/9
35
35
35
c
3
=
=3 → a=1
a
a
b2 = c2 – a2 = 9 – 1 = 8
Ecuación:
19
x2
y2
–
=1
1
8
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a F' (– 4, 0) y F (4, 0) es 6.
Es una hipérbola de focos F y F' y constante 2a = 6. Por tanto, a = 3, c = 4,
b 2 = c 2 – a 2 = 16 – 9 = 7.
La ecuación es:
20
x2
y2
–
=1
9
7
Halla la ecuación de la hipérbola que tiene el centro en el origen de coordenadas y los focos en el eje de abscisas, sabiendo que pasa por el punto
P ( √5/2 , 1) y que una de sus asíntotas es la recta y = 2x.
La pendiente de la asíntota es
b
= 2 → b = 2a
a
2
2
Luego x – y = 1 es la ecuación.
2
a
4a2
Como pasa por el punto P ( √5/2 , 1), entonces:
5/2 – 1 = 1
a2
4a 2
La ecuación será:
→
10 – 1 = 4a 2
→
9 = 4a 2
→
a2 =
9
4
→
b 2 = 4a 2 = 9
x2
y2
4x 2
y2
–
= 1, es decir:
–
=1
9/4
9
9
9
Parábola
21
Halla los vértices, los focos y las directrices de las siguientes parábolas, y represéntalas:
a) y 2 = 6x
b) y 2 = – 6x
c) y = x 2
d) y =
e) y 2 = 4 (x – 1)
f ) (y – 2)2 = 8x
g) x 2 = 4 (y + 1)
h) (x – 2)2 = – 6y
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
x2
4
19
2

a) y = 2px  2p = 6 → p = 3 →
2
y = 6x 
p
3
=
2
2
Vértice: (0, 0)
Foco:
1
( )
3
,0
2
1F
Directriz: x = –
3
2
b) Vértice: (0, 0)
(
Foco: –
3
,0
2
)
Directriz: x =
1
1
F
3
2
c) Vértice: (0, 0)
( )
Foco: 0,
1
4
Directriz: y = –
1
1
4
F
1
d) Vértice: (0, 0)
Foco: (0, 1)
Directriz: y = –1
F 1
1
e) Vértice: (1, 0)
Foco: (2, 0)
Directriz: x = 0
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
1
1
F
20
f) Vértice: (0, 2)
Foco: (2, 2)
Directriz: x = –2
2
F
2
g) Vértice: (0, –1)
Foco: (0, 0)
F
Directriz: y = –2
–1
h) Vértice: (2, 0)
(
Foco: 2, –
3
2
)
Directriz: y =
22
3
—
2
2
3
2
–3
—
2
F
Halla las ecuaciones de las parábolas determinadas de los siguientes modos:
a) Directriz, x = –5. Foco, (5, 0).
b) Directriz, y = 3. Vértice, (0, 0).
c) Vértice (0, 0) y pasa por (2, 3). (2 soluciones).
a)
p
= 5 → p = 10 → 2p = 20. Ecuación: y 2 = 20x
2
b) El foco será F (0, –3). Si P (x, y) es un punto de la parábola y d: y – 3 = 0 es
la directriz, entonces:
dist (P, F ) = dist (P, d) →
√x 2 + (y + 3) 2 = |y – 3| →
→ x 2 + y 2 + 6y + 9 = y 2 – 6y + 9 → x 2 = –12y
c) Hay dos posibilidades:
I) Eje horizontal: y 2 = 2px. Como pasa por (2, 3), entonces:
9 = 4p → p =
9
4
→ y2 =
9
x
2
II) Eje vertical: x 2 = 2py. Como pasa por (2, 3), entonces:
4 = 6p → p =
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
4
2
=
6
3
→ x2 =
4
y
3
21
23
Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan del punto (3, 0) y de
la recta y = –3.
Es una parábola cuyo foco es F (3, 0) y cuya directriz es d: y + 3 = 0. Si P (x, y)
es un punto de la parábola, entonces:
√(x – 3) 2 + y 2 = |y + 3| →
dist (P, F ) = dist (P, d) →
→ x 2 – 6x + 9 + y 2 = y 2 + 6y + 9 → y =
(
O bien: (x – 3) 2 = 6 y +
24
3
2
)
x2
–x
6
Escribe la ecuación de la parábola de foco F (2, 1) y directriz y + 3 = 0.
Si P (x, y) es un punto de la parábola, F (2, 1) el foco, y d: y + 3 = 0 la directriz,
entonces:
dist (P, F ) = dist (P, d) →
√(x – 2) 2 + (y – 1) 2 = |y + 3| →
→ (x – 2) 2 + (y – 1) 2 = (y + 3) 2 →
→ (x – 2) 2 + y 2 – 2y + 1 = y 2 + 6y + 9 →
→ (x – 2) 2 = 8y + 8 → (x – 2) 2 = 8(y + 1)
Lugares geométricos
25
→
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos P tales que AP  = 3,
siendo A (2, 1). Represéntala.
→
AP = 3 → √ (x – 2)2 + (y – 1)2 = 3 →
1
→ (x – 2)2 + (y – 1)2 = 9
2
Es una circunferencia de centro (2, 1) y radio 3.
26
Halla la ecuación que cumplen todos los puntos cuya distancia al origen de
coordenadas es 5. Represéntala.
P (x, y) cumple que dist (P, 0) = 5 → √ x 2 + y 2 = 5 →
→ x 2 + y 2 = 25
5
5
Es una circunferencia de centro (0, 0) y radio 5.
27
Halla el lugar geométrico de los puntos P (x, y) cuya diferencia de cuadrados de distancias a los puntos A (0, 0) y B (6, 3) es 15. ¿Qué figura obtienes?.
[dist (P, A )] 2 – [dist (P, B )] 2 = 15
x 2 + y 2 – [(x – 6)2 + (y – 3)2] = 15
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
22
Desarrollamos y simplificamos:
x 2 + y 2 – x 2 – 36 + 12x – y 2 – 9 + 6y = 15 →
→ 12x + 6y – 60 = 0 → r : 2x + y – 10 = 0
Veamos que la recta obtenida es perpendicular al segmento AB:
→
3
1
AB = (6, 3) → pendiente: mAB =
=
6
2
La pendiente de r es mr = –2.
mAB · mr =
→
1
(–2) = –1 → AB ⊥ r
2
Veamos ahora en qué punto se cortan la recta obtenida, r, y el segmento AB.
Para ello, escribamos primero la ecuación de la recta AB :
 m = 1/2
1
AB  AB
→ y=
x
2
 A (0, 0) ∈AB
Así:
 2x + y – 10 = 0
1
Q = r I AB 
→ 2x +
x – 10 = 0 →
2
 y = (1/2) x
→ 4x + x – 20 = 0 → x =
Luego: Q (4, 2) = AB I r
28
20
=4 → y=2
5
Halla el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a la recta 4x – 3y + 11 = 0
es 6.
☛ El valor absoluto dará lugar a dos rectas.
P (x, y ) cumple que dist (P, r ) = 6 →
4x – 3y + 11
=6 →
√ 16 + 9
 4x – 3y + 11 = 30
→ 4x – 3y + 11 = 30 → 
→
 4x – 3y + 11 = –30
 r : 4x – 3y – 19 = 0
→  1
 r2 : 4x – 3y + 41 = 0
Son dos rectas paralelas entre sí y paralelas, a su vez, a la recta dada.
29
Halla el lugar geométrico de los puntos que equidistan de las rectas:
r : 3x – 5y + 11 = 0
y
s: 3x – 5y + 3 = 0
Interpreta las líneas obtenidas.
3x – 5y + 11
3x – 5y + 3
P (x, y ) donde d (P, r ) = d (P, s ) → 
= 
→
√ 34
√ 34
 3x – 5y + 11 = 3x – 5y + 3 → 11 = 3 ¡¡Imposible!!
→ 
 3x – 5y + 11 = –3x + 5y – 3 → 6x – 10y + 14 = 0 → r : 3x – 5y + 7 = 0
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
23
Es una recta paralela a las dos rectas dadas que, a su vez, son paralelas entre sí,
como puede verse por sus coeficientes, pues:
B
C
A
11
=
=1≠
=
B'
C'
A'
3
30
Halla las ecuaciones de las bisectrices de los ángulos que forman las rectas r
y s:
r : 4x – 3y + 8 = 0
y
s : 12x + 5y – 7 = 0
Son todos los puntos P (x, y ) tales que d (P, r ) = d (P, s ):
4x – 3y + 8
12x + 5y – 7
4x – 3y + 8
12x + 5y – 7
=
→
=
→
5
13
√ 25
√ 169
 13 (4x – 3y + 8) = 5 (12x + 5y – 7)
→ 
→
 13 (4x – 3y + 8) = –5 (12x + 5y – 7)
 52x – 39y + 104 = 60x + 25y – 35
→ 
→
 52x – 39y + 104 = –60x – 25y + 35
 8x + 64y – 139 = 0
→ 
 112x – 14y + 69 = 0
Luego hay dos soluciones, bisectrices
de los ángulos cóncavo y convexo
que forman las rectas r y s.
r
Ambas bisectrices se cortan en el
punto de corte de las rectas r y s, y
son perpendiculares.
31
s
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia a la recta y = 3 es igual al valor absoluto de la suma de sus coordenadas.
Buscamos los puntos P (x, y ) tales que d (P, r ) = x + y donde r es la recta
dada, r : y = 3. Es decir:
0 + y – 3
= x + y → y – 3 = x + y →
√1
 y – 3 = x + y →  x = –3
→ 

 y – 3 = –x – y →  x + 2y – 3 = 0
Luego los puntos P (x, y ) que verifican esa condición son los de las dos rectas:
r1
Y
3
r1 : x = –3 y r2 : x + 2y – 3 = 0
NOTA:
Se puede comprobar resolviendo los sistemas que r1 I r2 I r = Q (–3, 3)
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
1
–3
–1
1
3
X
5
r2
24
Página 235
PARA RESOLVER
32
Identifica las siguientes cónicas, calcula sus elementos característicos y dibújalas:
a) 4x 2 + 9y 2 = 36
b) 16x 2 – 9y 2 = 144
c) 9x 2 + 9y 2 = 25
d) x 2 – 4y 2 = 16
e) y 2 = 14x
f ) 25x 2 + 144y 2 = 900
a) 4x 2 + 9y 2 = 36 →
x2
y2
+
=1
9
4
Es una elipse → a = 3, b = 2, c = √5
exc =
2
√ 5 ≈ 0,75
3
–3
F'
F
3
–2
x2
y2
–
=1
9
16
b) 16x 2 – 9y 2 = 144 →

5
 a = 3, b = 4, c = 5; exc = — ≈ 1,67
3


4
4
 Asíntotas: y = — x ; y = –— x

3
3

Es una hipérbola →
4
F'
–3
3
F
–4
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
25
c) 9x 2 + 9y 2 = 25 → x 2 + y 2 =
25
9
5/3
Es una circunferencia de centro (0, 0)
y radio
5
.
3
– 5/3
5/3
– 5/3
d) x 2 – 4y 2 = 16 →
x2
y2
–
=1
16
4
Es una hipérbola →
—
—

—
2 √5
√5
 a = 4, b = 2, c = 2√ 5 ; exc = —— = —— ≈ 1,12
4
2


1
1
 Asíntotas: y = —
x; y=–—x

2
2

2
F' – 4
4 F
–2
e) Es una parábola.
Vértice: (0, 0)
Foco:
1
( )
1
7
,0
2
Directriz: x = –
F
7
2
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
26
f) 25x 2 + 144y 2 = 900 →
x2
y2
–
=1
36
25/4
√ 119
5
, c=
12
2
Es una elipse → a = 6, b =
exc =
√ 119 ≈ 0,91
12
5/2
–6 F'
6
F
– 5/2
33
Halla las ecuaciones de las siguientes circunferencias:
a) Centro (3, 5) y es tangente a la recta: 4x + 3y – 2 = 0
b) Pasa por A (0, 1) y B (–1, 0) y su radio es √5 .
c) Pasa por el origen de coordenadas y por los puntos A (4, 0) y B (0, 3).
d) Tiene su centro en la recta x – 3y = 0 y pasa por los puntos (–1, 4) y (3, 6).
a) El radio de la circunferencia es la distancia del centro C (3, 5) a la recta
s: 4x + 3y – 2 = 0:
r = dist (C, s) =
|12 + 15 – 2|
25
=
=5
5
√ 16 + 9
La ecuación es: (x – 3) 2 + (y – 5) 2 = 25, o bien, x 2 + y 2 – 6x – 10y + 9 = 0
b) El centro pertenece a la mediatriz del segmento AB:
— Pendiente de la recta que pasa por A y B → m =
–1
–1
=
= –1.
m
1
La mediatriz tiene pendiente
— El punto medio de AB es
0– 1
=1
–1 – 0
(
)
–1 1
,
.
2 2
— La ecuación de la mediatriz es:
y=
(
1
1
–1 x+
2
2
)
→ y=
1
1
–x–
2
2
→ y = –x
— Un punto de la mediatriz es de la forma P (x, –x).
Buscamos P tal que dist (P, A) = dist (P, B) = √5 , es decir:
√x 2 + (–x – 1) 2 = √5
→
→ x2 + x – 2 = 0 → x =
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
x 2 + x 2 + 1 + 2x = 5
–1 ± √ 1 + 8
–1 ± 3
=
2
2
→
2x 2 + 2x – 4 = 0
→
x = 1 → y = –1
x = –2 → y = 2
27
Hay dos soluciones:
• Centro (1, –1) → (x – 1) 2 + (y + 1) 2 = 5 → x 2 + y 2 – 2x + 2y – 3 = 0
• Centro (–2, 2) → (x + 2) 2 + (y – 2) 2 = 5 → x 2 + y 2 + 4x – 4y + 3 = 0
c) El centro pertenece a la mediatriz del segmento que une O (0, 0) y A (4, 0), es
decir, pertenece a la recta x = 2.
También pertenece a la mediatriz del segmento que une O (0, 0) y B (0, 3), es
3
decir, pertenece a la recta y = .
2
( )
Por tanto, el centro de la circunferencia es C 2,
3
.
2
El radio es la distancia del centro a cualquiera de los tres puntos:
→
r = dist (C, O) = |OC| =
√
4+
La ecuación es: (x – 2) 2 + y –
3
2
(
)
9
=
4
2
=
√
25
5
=
4
2
25
, o bien, x 2 + y 2 – 4x – 3y = 0
4
d) Si el centro está sobre la recta x – 3y = 0, es de la forma C (3y, y).
El centro está a igual distancia de A (–1, 4) que de B (3, 6). Además, esta distancia es el radio, r, de la circunferencia:
→
→
r = dist (A, C ) = dist (B, C ) → |AC| = |BC| →
→
√(3y + 1) 2 + (y – 4) 2 = √(3y – 3) 2 + (y – 6) 2
9y 2 + 1 + 6y + y 2 + 16 – 8y = 9y 2 + 9 – 18y + y 2 + 36 – 12y
28y = 28 → y = 1 → x = 3y = 3
Por tanto, el centro de la circunferencia está en C (3, 1), y su radio es:
→
r = |AC| = √16 + 9 = √25 = 5
La ecuación es: (x – 3) 2 + (y – 1) 2 = 25, o bien, x 2 + y 2 – 6x – 2y – 15 = 0
34
Halla la ecuación de la elipse que pasa por el punto (3, 1) y tiene sus focos
en (4, 0) y (–4, 0).
2
2
La ecuación es: x + y = 1
2
2
a
b
• Como pasa por (3, 1) →
9 + 1 =1
a2 b2
• Como a 2 = b 2 + c 2 y sabemos que c = 4 → a 2 = b 2 + 16
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
28
Teniendo en cuenta las dos condiciones anteriores:
9
+ 1 = 1 → 9b 2 + b 2 + 16 = b 4 + 16b 2 → b 4 + 6b 2 – 16 = 0
b2 + 16 b 2
b2 =
–6 ± √ 36 + 64
–6 ± √ 100
–6 ± 10
=
=
2
2
2
b2 = 2
b 2 = –8
Así: a 2 = 2 + 16 = 18
2
2
Por tanto, la ecuación de la elipse será: x + y = 1
18
2
35
Se llama hipérbola equilátera a aquella en que a = b. Halla la ecuación de la
hipérbola equilátera cuyos focos son (5, 0) y (–5, 0).
2
2
La ecuación será: x – y = 1
2
2
a
a
2
2
2
Como c = a + b , y sabemos que c = 5 y que a 2 = b 2, entonces:
25 = 2a 2 → a 2 =
Por tanto, la ecuación es:
36
25
2
x 2 – y 2 = 1, o bien, x 2 – y 2 = 25
2
25/2 25/2
3
Halla la ecuación de la hipérbola cuyas asíntotas son las rectas y = ± x y
5
los focos (2, 0) y (–2, 0).
• Si los focos son (2, 0) y (–2, 0), entonces c = 2.
• Si las asíntotas son y = ±
3
b
3
x, entonces:
=
5
a
5
• Como c 2 = a 2 + b 2, tenemos que a 2 + b 2 = 4.
• Teniendo en cuenta los dos últimos resultados:
3
b=—a
5
2
a + b2 = 4
9 2
34a 2
 a2 + —
a = 4 → —— = 4 →

25
25

100
50
 a 2 = —— = — → b 2 = 4 – a 2 =

34
17
• Por tanto, la ecuación será:
37
34a 2 = 100
18
—
17
x2
y2
17x 2
17y 2
–
= 1, o bien,
–
=1
50/17 18/17
50
18
Una circunferencia del plano pasa por los puntos (1, 3) y (3, 5) y tiene el
centro sobre la recta x + 2y = 3. Halla su centro y su radio.
• Si el centro está sobre la recta x + 2y = 3 → x = 3 – 2y; entonces es de la forma C (3 – 2y, y).
• La distancia del centro a los dos puntos dados, A (1, 3) y B (3, 5) es la misma.
Además, esta distancia es el radio, r, de la circunferencia:
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
29
→
→
r = dist (C, A) = dist (C, B) → |AC| = |BC| →
→ |(2 – 2y, y – 3)| = |(–2y, y – 5)| →
→
√(2 – 2y) 2 + (y – 3) 2 = √(–2y) 2 + (y – 5) 2
4 + 4y 2 – 8y + y 2 + 9 – 6y = 4y 2 + y 2 + 25 – 10y
–4y = 12 → y = –3 → x = 3 – 2y = 9
• El centro de la circunferencia es C (9, –3).
→
• El radio es: r = |AC| = √64 + 36 = √100 = 10 = r
38
Halla las ecuaciones de las siguientes parábolas:
a) Foco (0, 0); directriz y = –2.
b) Foco (2, 0); directriz x = –1.
( )
c) Foco (1, 1); vértice 1,
1
.
2
a) Si P (x, y) es un punto de la parábola, debe cumplir: dist (P, F ) = dist (P, d);
donde F es el foco y d la directriz.
√x 2 + y 2 = |y + 2| → x 2 + y 2 = y 2 + 4y + 4 → x 2 = 4(y + 1)
b) Si P (x, y) es un punto de la parábola: dist (P, F ) = dist (P, d); siendo F el foco y d la directriz.
√(x – 2)2 + y 2 = |x + 1| → x 2 – 4x + 4 + y 2 = x 2 + 2x + 1
(
y 2 = 6x – 3 → y 2 = 6 x –
1
2
)
( )
1
, la directriz tiene que ser la recta
2
d: y = 0, ya que la distancia del vértice al foco ha de ser igual a la distancia del
vértice a la directriz. Así, si P (x, y) es un punto de la parábola:
c) Si el foco es F (1, 1) y el vértice es
1,
dist (P, F ) = dist (P, d)
√(x – 1)2 + (y – 1) 2 = |y| → (x – 1) 2 + y 2 – 2y + 1 = y 2
(
(x – 1) 2 = 2y – 1 → (x – 1) 2 = 2 y –
39
1
2
)
a) Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es C (–1, 1) y es tangente a la recta 3x – 4y – 3 = 0.
b) De todas las rectas paralelas a la bisectriz del primer cuadrante, encuentra
las que sean tangentes a la circunferencia hallada en el apartado anterior.
a) El radio, r, de la circunferencia es la distancia del centro C (–1, 1) a la recta
s: 3x – 4y – 3 = 0; es decir:
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
30
r = dist (C, s) =
|–3 – 4 – 3|
10
=
=2
5
√ 9 + 16
La ecuación será: (x + 1) 2 + (y – 1) 2 = 4, o bien, x 2 + y 2 + 2x – 2y – 2 = 0
b) Las rectas paralelas a la bisectriz del primer cuadrante son de la forma y = x + k,
es decir, t: x – y + k = 0. La recta t es tangente a la circunferencia cuando la
distancia del centro de la circunferencia, C (–1, 1), a la recta es igual al radio, 2.
Es decir:
dist (C, t) =
|–1 – 1 + k|
=2 →
√2
→ |k – 2| = 2 √2
|k – 2|
=2 →
√2
k – 2 = 2√ 2 → k = 2 + 2 √ 2
k – 2 = –2√ 2 → k = 2 – 2√ 2
 y = x + 2 + 2√ 2
Hay dos rectas: 
 y = x + 2 – 2√ 2
40
Halla la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C (3, 2) y una
de cuyas rectas tangentes tiene por ecuación: 4x – 3y – 5 = 0
Determina si el punto X (3, 3) es interior, es exterior o está en la circunferencia.
• El radio, r, de la circunferencia es igual a la distancia del centro, C (3, 2), a la
recta s: 4x – 3y – 5 = 0; es decir:
r = dist (C, s) =
|12 – 6 – 5|
1
=
5
√ 16 + 9
La ecuación es: (x – 3) 2 + (y – 2) 2 =
1
324
, o bien, x 2 + y 2 – 6x – 4y –
=0 →
25
25
→ 25x 2 + 25y 2 – 150x – 100y – 324 = 0
• Veamos si X (3, 3) es interior, exterior o está en la circunferencia:
→
1
dist (C, X) = |CX| = |(0, 1)| = 1 > radio =
5
Luego el punto es exterior a la circunferencia.
41
a) Determina la ecuación que define el lugar geométrico de los puntos del
plano que son centro de las circunferencias que pasan por los puntos
P (2, 0) y Q (0, 1).
b) Una circunferencia de longitud 3π, que contiene al origen de coordenadas, está centrada en uno de los puntos del lugar definido en a). Halla su
centro.
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
31
a) Si C (x, y) es el centro de la circunferencia, la distancia de C a P y a Q ha
de ser la misma, es decir:
y
→
→
dist (C, P ) = dist (C, Q) → |PC| = |QC|
√(x – 2)2 + y 2 = √x 2 + (y – 1) 2
1
x 2 – 4x + 4 + y 2 = x 2 + y 2 – 2y + 1 → 4x – 2y –
3=0
Q
x
1 P
Obtenemos una recta, que es la mediatriz del segmento PQ.
3
2
b) Longitud = 2πr = 3π → radio = r =
Su centro está en un punto de la recta 4x – 2y – 3 = 0 y pasa por el punto P(0, 0).
(
)
(
4x – 3
:
2
El centro es de la forma C x,
→
r = dist (P, C) = |PC| =
x2 +
2
9
x 2 + 16x – 24x + 9 =
4
4
4x – 3
2
)
2
=
→ 4x 2 + 16x 2 + 9 – 24x = 9 →
→ 20x 2 – 24x = 0 → x (20x – 24) = 0
(
Hay dos soluciones: C1 0, –
42
3
2
)
3
2
y C2
(
6 9
,
5 10
3
x = 0 → y = –—
2
6
9
x=— → y=—
5
10
)
Halla la ecuación de la hipérbola que tiene por focos los puntos F (–3, 0) y
F' (3, 0) y que pasa por el punto P (8, 5 √3 ).
• Hallamos la constante de la hipérbola: |dist (P, F ) – dist (P, F' )| = 2a
→
→
||FP| – |F'P|| = 2a → ||(11, 5 √3 )| – |(5, 5 √3 )|| = 2a
√121 + 75 – √25 + 75 = 2a → 14 – 10 = 2a → 4 = 2a → a = 2
• Como a = 2 y c = 3, entonces b 2 = c 2 – a 2 = 9 – 4 = 5.
2
2
• La ecuación es: x – y = 1
4
5
43
Calcula la ecuación de la elipse cuyo focos son los puntos F (–1, 2) y F' (3, 2)
y cuya excentricidad es igual a 1/3.
• El centro de la elipse es el punto medio entre los focos:
(
)
–1 + 3 2 + 2
,
= (1, 2)
2
2
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
32
• La semidistancia focal es c = 2.
• La excentricidad es exc =
F
c
2
1
=
=
a
a
3
• Obtenemos b 2 → b 2 = a 2 – c 2 = 36 – 4 = 32
F'
2
→ a=6
–1
1
3
2
2
• La ecuación es: (x – 1) + (y – 2) = 1
36
32
44
La parábola y 2 – 4y – 6x – 5 = 0 tiene por foco el punto (0, 2). Encuentra su
directriz.
y 2 – 4y = 6x + 5 → y 2 – 4y + 4 = 6x + 9 →
(
→ (y – 2) 2 = 6 x +
(
)
3
2
V
)
–3
3
El vértice de la parábola es V – , 2 .
2
2
F
–3
—
2
Como el foco es F (0, 2), entonces la directriz es x = –3.
45
Un segmento de longitud 3 apoya sus extremos sobre los ejes de coordenadas tomando todas las posiciones posibles.
a) Determina la ecuación del lugar geométrico del punto del segmento que
está situado a distancia 1 del extremo que se apoya sobre el eje OY.
b) Identifica la cónica resultante.
a) Llamamos α al ángulo que forma el segmento
con el eje X, como indica la figura. Así, tenemos que:
Y
1
α P(x, y)
x
x = 1cos α  x 2 = cos 2 α 


y = 2sen α  y 2 = 4sen 2 α 
2
y
α
X
2
2
x 2 + y = cos 2 α + sen 2 α = 1 → x 2 + y = 1
4
4
b) Es una elipse con centro en el origen y focos en el eje OY. Sus elementos son
a = 2, b = 1, c = √4 – 1 = √3 .
Focos
46
(0, √3 ) y (0, – √3 ). Excentricidad: exc = c = √ 3 ≈ 0,87
a
2
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos del plano tales que su distancia al punto (4, 0) es el doble de su distancia a la recta x = 1. Comprueba
que dicho lugar geométrico es una cónica y halla sus focos.
Sea P (x, y) uno de los puntos del lugar geométrico. La distancia de P al punto
Q (4, 0) ha de ser el doble que la distancia de P a la recta s: x – 1 = 0; es decir:
dist(P, Q) = 2dist(P, s) →
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
√(x – 4) 2 + y 2 = 2|x – 1|
33
(x – 4) 2 + y 2 = 4(x – 1) 2 → x 2 – 8x + 16 + y 2 = 4(x 2 – 2x + 1)
x 2 – 8x + 16 + y 2 = 4x 2 – 8x + 4 → 3x 2 – y 2 = 12 →
x2 – y 2 = 1
4
12
Es una hipérbola, centrada en (0, 0).
a 2 = 4; b 2 = 12 → c 2 = a 2 + b 2 = 16 → c = 4
Por tanto, los focos son F (4, 0) y F (–4, 0).
Página 236
47
Aplica dos métodos diferentes que permitan decidir si la recta 4x + 3y – 8 = 0
es exterior, tangente o secante a la circunferencia (x – 6)2 + (y – 3)2 = 25.
Razona tu respuesta.
■
Primer método:
• Hallamos la distancia del centro de la circunferencia C (6, 3) a la recta dada
s: 4x + 3y – 8 = 0:
|24 + 9 – 8|
25
=
=5
5
√ 16 + 9
• Como esta distancia es igual al radio de la circunferencia, d = r = 5, entonces, la recta es tangente a la circunferencia.
d = dist (C, s) =
■
Segundo método:
• Obtenemos los puntos de intersección de la recta y la circunferencia, resolviendo el sistema de ecuaciones:
8 – 4x

 y = ————
4x + 3y – 8 = 0
3

(x – 6) 2 + (y – 3) 2 = 25  2
 x – 12x + 36 + y 2 – 6y + 9 = 25
x 2 – 12x + 36 +
(
x 2 – 12x + 36 +
64 – 64x + 16x 2
– 16 + 8x + 9 = 25
9
8 – 4x
3
) (
2
–6
)
8 – 4x
+ 9 = 25
3
9x 2 – 108x + 324 + 64 – 64x + 16x 2 – 144 + 72x + 81 = 225
25x 2 – 100x + 100 = 0 → x 2 – 4x + 4 = 0 → (x – 2) 2 = 0
x=2 → y=
8 – 4x
= 0 → Se cortan en (2, 0).
3
Como solo se cortan en un punto, la recta es tangente a la circunferencia.
48
Halla la ecuación del lugar geométrico de los puntos cuya distancia al punto
(4, 0) es igual a la mitad de la distancia a la recta: x – 16 = 0. Representa la
curva que obtienes.
Sea P (x, y) uno de los puntos del lugar geométrico. La distancia de P a (4, 0) ha
de ser igual a la mitad de la distancia de P a la recta x – 16 = 0; es decir:
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
34
√(x – 4) 2 + y 2 = 1 |x – 16|
2
(x – 4) 2 + y 2 =
1
(x – 16) 2
4
1 2
(x – 32x + 256)
4
x 2 – 8x + 16 + y 2 =
4x 2 – 32x + 64 + 4y 2 = x 2 – 32x + 256
3x 2 + 4y 2 = 192 →
x2 + y 2 = 1
64 48
—
√48
Es una elipse, en la que a = 8 y b = √48 ≈ 6,93.
–8
La representamos:
F'
8
F
Los focos están en F (4, 0) y F '(–4, 0).
La excentricidad es: exc =
49
—
–√48
c
4
1
=
=
= 0,5
a
8
2
Halla el lugar geométrico de los puntos P (x, y) tales que el producto de las
pendientes de las rectas trazadas desde P a los puntos: A (–2, 1) y B (2, –1)
sea igual a 1. ¿Qué figura obtienes? Represéntala.
• La pendiente de la recta que une P con A es:
y–1
x+2
• La pendiente de la recta que une P con B es:
y+1
x–2
• El producto de las pendientes ha de ser igual a 1, es decir:
( )( )
y–1
y+1
·
=1 →
x+2
x–2
x2 – y 2 = 3 →
y 2 – 1 = 1 → y 2 – 1 = x2 – 4
x2 – 4
x2 – y 2 = 1
3
3
—
√3
Es una hipérbola, en la que a = b = √3 y c = √6 .
Los focos son F ( √6 , 0) y F (– √6 , 0).
F'
Las asíntotas son: y = x e y = – x
La excentricidad es: exc =
50
√ 6 = √2 ≈ 1,41
c
=
a
√3
—
–√3
—
√3
F
—
–√3
Describe las siguientes cónicas. Obtén sus elementos y dibújalas.
a)
(x – 3)2 (y + 2)2
+
=1
25
9
b)
(x – 3)2 (y + 2)2
+
=1
9
25
c)
(x – 3)2 (y + 2)2
–
=1
16
4
d)
(y + 2)2 (x – 3)2
–
=1
4
16
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
35
a) Es una elipse de centro P (3, –2).
a = 5, b = 3,
c = √a 2 – b 2 = √25 – 9 = √16 = 4.
3
F'
Los focos son F (7, –2) y F ' (–1, –2).
La excentricidad es: exc =
1
–1
5
P
F
4
= 0,8
5
b) Es una elipse de centro P (3, –2).
F
a = 5, b = 3, c = 4.
1
Los focos son F (3, 2) y F ' (3, –6).
La excentricidad es: exc =
3
–2
P
4
= 0,8
5
F'
c) Es una hipérbola de centro P (3, –2).
a = 4, b = 2, c = √16 + 4 = √20 = 2 √5 .
3
Los focos son:
F (3 + 2 √5 , –2) y F ' (3 – 2 √5 , –2)
F'
–2
F
2 √5
√ 5 ≈ 1,12
La excentricidad es: exc =
=
4
2
Las asíntotas son:
1
1
y + 2 = (x – 3); y + 2 = – (x – 3)
2
2
d) Es una hipérbola de centro P (3, –2).
F
b = 2, a = 4, c = √20 = 2 √5 .
Los focos son:
3
F (3, –2 + 2 √5 ) y F ' (3, –2 – 2 √5 )
–2
2 √5
La excentricidad es: exc =
= √5
2
Las asíntotas son:
y+2=
51
1
1
(x – 3); y + 2 = – (x – 3)
2
2
F'
Asocia cada una de las siguientes ecuaciones a una de las gráficas que se dan
a continuación:
a)
x2
y2
+
=1
4
9
b) x 2 +
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
y2
=1
4
c)
x2
y2
+
=1
4
4
d)
x
+y=1
4
36
e)
x2
+y=1
4
f)
x2 y2
–
=1
4
9
g) y 2 –
i)
x2
– y2 = 0
4
j)
x2
–y=0
4
k) x 2 – y 2 = 1
II
I
IV
III
DOS RECTAS
x2
=1
4
V
h)
x2
+ y2 = 0
4
l ) xy = 1
VI
VII
x
y=—
2
(0, 0)
UN PUNTO
UNA RECTA
x
y = –—
2
IX
XI
X
XII
VIII
a)
VI
b)
V
c)
IV
d)
I
e)
VIII
f)
XI
g)
XII
h)
III
i)
II
j)
VII
k)
IX
l)
X
PARA PROFUNDIZAR
52
Halla la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo de lados:
y=0
3x – 4y = 0
4x + 3y – 50 = 0
3x – 4y = 0 ← r1
(8, 6)
P (x, y)
y = 0 ← r3
(0, 0)
(12,5; 0)
4x + 3y – 50 = 0 ← r2
Si P (x, y) es el centro de la circunferencia, entonces:
• dist (P, r1 ) = dist (P, r3 ) →
|3x – 4y|
= |y| → 5|y| = |3x – 4y|
5
5y = 3x – 4y → 9y = 3x → x = 3y
5y = –3x + 4y → y = –3x ← No vale; la bisectriz que buscamos es la
otra.
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
37
• dist (P, r2 ) = dist (P, r3 ) →
|4x + 3y – 50|
= |y| → 5|y| = |4x + 3y – 50|
5
5y = 4x + 3y – 50 → y = 2x – 25 ← No vale; es la otra bisectriz.
5y = –4x – 3y + 50 → 2x + 4y = 25
El punto de corte de las dos bisectrices es el incentro, es decir, el centro de la circunferencia inscrita en el triángulo.

25
5
 6y + 4y = 25 → 10y = 25 → y = —— = —
10
2

x = 3y

15
2x + 4y = 25 
 x = 3y = —
2

El centro es P
(
)
15 5
,
.
2 2
El radio es dist (P, r3) = y =
(
La ecuación es: x –
15
2
5
= radio
2
) (
2
+ y–
x 2 – 15x +
5
2
)
2
25
; o bien:
4
225
25
25
+ y 2 – 5y +
=
4
4
4
x 2 + y 2 – 15x – 5y +
53
=
225
= 0 → 4x 2 + 4y 2 – 60x – 20y + 225 = 0
4
Halla la ecuación de la circunferencia que pasa por (–3, 2) y (4, 1) y es tangente al eje OX.
Si P (x, y) es el centro de la circunferencia, y llamamos a los puntos A (–3, 2) y
B (4, 1); la distancia de P a los dos puntos y al eje OX ha de ser la misma. Además, esta distancia es igual al radio de la circunferencia.
dist (P, A) = √(x + 3) 2 + (y – 2) 2
dist (P, B) = √(x – 4) 2 + (y – 1) 2





dist [P, eje OX] = |y|
han de ser iguales.
√(x + 3) 2 + (y – 2) 2 = √(x – 4) 2 + (y – 1) 2
x 2 + 6x + 9 + y 2 – 4y + 4 = x 2 – 8x + 16 + y 2 – 2y + 1
14x – 2y – 4 = 0 → 7x – y – 2 = 0 → y = 7x – 2
√(x + 3) 2 + (y – 2) 2 = |y|
x 2 + 6x + 9 + y 2 – 4y + 4 = y 2
x 2 + 6x – 4(7x – 2) + 13 = 0
x 2 + 6x – 28x + 8 + 13 = 0 → x 2 – 22x + 21 = 0
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
38
x=
22 ± √ 484 – 84
22 ± √ 400
22 ± 20
=
=
2
2
2
x = 21 → y = 145
x=1 → y=5
Hay dos soluciones:
1-a) Centro (21, 145) y radio 145:
(x – 21) 2 + (y – 145) 2 = 21 025; o bien: x 2 + y 2 – 42x – 290y + 441 = 0
2-a) Centro (1, 5) y radio 5:
(x – 1) 2 + (y – 5) 2 = 25; o bien: x 2 + y 2 – 2x – 10y + 1 = 0
54
Determina la ecuación de la circunferencia de radio 10 que, en el punto
(7, 2), es tangente a la recta 3x – 4y – 13 = 0.
El centro pertenece a la recta perpendicular a la dada que pasa por (7, 2).
— Una recta perpendicular a 3x – 4y – 13 = 0 es de la forma 4x + 3y + k = 0. Como (7, 2) pertenece a la recta: 28 + 6 + k = 0 → k = –34. El centro pertenece a la recta:
4x + 3y – 34 = 0 → y =
(
)
(
(
)
–4x + 34
3
–4x + 34
. La distancia de C al punto (7, 2) es igual al ra3
dio, que es 10, es decir:
— El centro es C x,
√
(x – 7) 2 +
(x – 7) 2 +
–4x + 34
–2
3
–4x + 34
3
)
2
= 10
2
= 100
2
x 2 – 14x + 49 + 16x – 224x + 784 = 100
9
9x 2 – 126x + 441 + 16x 2 – 224x + 784 = 900
25x 2 – 350x + 325 = 0 → x 2 – 14x + 13 = 0
x=
14 ± √ 196 – 52
14 ± √ 144
14 ± 12
=
=
2
2
2
x = 13 → y = –6
x = 1 → y = 10
Hay dos soluciones:
1-a) Centro (13, –6) y radio 10:
(x – 13) 2 + (y + 6) 2 = 100 → x 2 + y 2 – 26x + 12y + 105 = 0
2-a) Centro (1, 10) y radio 10:
(x – 1) 2 + (y – 10) 2 = 100 → x 2 + y 2 – 2x – 20y + 1 = 0
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
39
55
Halla la ecuación de la parábola de vértice en el punto (2, 3) y que pasa por
el punto (4, 5).
2
Hay dos posibilidades:
1) (y –
3) 2
5
= 2p (x – 2)
4
Como pasa por (4, 5) → 4 = 4p → p = 1
(y – 3) 2 = 2(x – 2)
Como pasa por (4, 5) → 4 = 4p' → p' = 1
(x –
3
2
2) (x – 2) 2 = 2p' (y – 3)
2) 2
1
1
= 2(y – 3)
1
56
2
3
4
5
Halla los vértices, los focos y la excentricidad de las cónicas siguientes:
a) 9x 2 + 16y 2 – 36x + 96y + 36 = 0
b) x 2 – 4y 2 – 2x – 3 = 0
c) x 2 + 9y 2 – 36y + 27 = 0
a) 9x 2 + 16y 2 – 36x + 96y + 36 = 0
9x 2 – 36x + 36 + 16y 2 + 96y + 144 – 36 – 144 + 36 = 0
(3x – 6) 2 + (4y + 12) 2 – 144 = 0
[3(x – 2)] 2 + [4(y + 3)] 2 = 144
9(x – 2) 2 + 16(y + 3) 2 = 144
(x – 2) 2 + (y + 3) 2 = 1
16
9
Es una elipse de centro (2, –3).
a = 4, b = 3, c = √a 2 – b 2 = √7
Vértices: (6, –3); (–2, –3); (2, 0) y (2, –6)
Focos: (2 + √7 , –3) y
(2 – √7 , –3)
Excentricidad: exc =
√ 7 ≈ 0,66
c
=
4
a
b) x 2 – 4y 2 – 2x – 3 = 0
x 2 – 2x + 1 – 4y 2 – 1 – 3 = 0
(x – 1) 2 – 4y 2 = 4
(x – 1) 2
– y2 = 1
4
Es una hipérbola de centro (1, 0).
a = 2, b = 1, c = √4 + 1 = √5
Vértices: (3, 0) y (–1, 0)
Focos: ( √5 + 1, 0) y
(– √5 + 1, 0)
Excentricidad: exc =
√ 5 ≈ 1,12
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
2
40
c) x 2 + 9y 2 + 36x + 27 = 0
x 2 + 9 (y 2 + 4y) + 27 = 0
x 2 + 9 (y + 2)2 – 36 + 27 = 0
x 2 + 9 (y + 2)2 = 9
x 2 + (y + 2) 2 = 1
9
1
Es una elipse con a = 3, b = 1, c = √8 .
Vértices: (–3, 0), (3, 0), (0, –1), (0, 1)
Focos: (– √10 , 0), ( √10 , 0)
Excentricidad: exc =
57
√ 8 ≈ 0,94
c
=
3
a
Un segmento PQ de 3 cm de longitud se mueve apoyándose tangencialmente sobre la circunferencia x 2 + y 2 – 4x + 6y + 9 = 0.
Si el extremo P es el punto de tangencia, ¿cuál es el lugar geométrico que
describe el otro extremo Q ?
La circunferencia dada tiene su centro en (2, –3) y su radio es √4 + 9 – 9 = 2.
Como la tangente es perpendicular al radio, la distancia de Q al centro será siempre la misma:
P
2
x = √9 + 4 = √13
Q
3
x
Por tanto, Q describe una circunferencia con el mismo centro que la dada y radio √13 .
Su ecuación será: (x – 2) 2 + (y + 3) 2 = 13; o bien
x 2 + y 2 – 4x + 6y = 0
58
Pon la ecuación del lugar geométrico de los puntos P (x, y) que equidistan
del punto F (6, –1) y de la recta r: 3x – 4y – 2 = 0.
(Encontrarás una ecuación complicada. No te molestes en simplificarla).
¿De qué figura se trata? Para responder a esta pregunta, fíjate en cómo se ha
definido y no en cuál es su ecuación.
Representa r y F. ¿Cómo habrá que situar unos nuevos ejes coordenados
para que la ecuación de esa curva sea y 2 = kx ?
¿Cuánto vale k ?
Ecuación: √(x – 6) 2 + (y + 1) 2 =
|3x – 4y – 2|
5
El lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto (foco) y de una recta (directriz) es una parábola.
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
41
La ecuación de la parábola respecto a
los nuevos ejes es y 2 = 2px, donde p
es la distancia del foco a la directriz:
dist (F, r) =
r
|18 + 4 – 2|
20
=
=4
5
√ 9 + 16
Si p = 4, entonces k = 8.
La ecuación es
nuevos ejes.
59
y2
F
–1
= 8x respecto a los
NUEVO
EJE Y
NUEVO
EJE X
Demuestra que el lugar geométrico de los puntos P, cuyo cociente de distancias a un punto fijo F y a una recta fija d es igual a k, es una cónica de
excentricidad k.
c
a2
y como constante k = , y estudia
a
c
los casos k < 1, k > 1 y k = 1. ¿Qué cónica se obtiene en cada caso?
☛ Toma como foco (c, 0), como recta x =
d: x –
a2
=0
c
P (x, y)
k=
c
a











F (c, 0)
dist (P, F )
c
=
dist (P, d )
a
→ dist (P, F ) =
c · x – a2
√(x – c) 2 + y 2 =
a
c

(
2
a2
(x – c) 2 + y 2 = c x –
c
a2
c
· dist (P, d)
a

)
2
(
2
4
2a 2
x 2 – 2cx + c 2 + y 2 = c x 2 –
x+ a
2
2
c
a
c
)
2
x 2 – 2cx + c 2 +y 2 = c x 2 – 2cx + a 2
a2
2
2
2
2
2
2
a x + a c + a y = c 2x 2 + a 4
(a 2 – c 2) x 2 + a 2y 2 = a 2(a 2 – c 2)
x2 +
y2
=1
a 2 (a 2 – c 2)
• Si k < 1, es decir, si
c
< 1 → c < a → c2 < a2 → a2 – c2 > 0
a
(c y a son positivos, pues k era un cociente de distancias).
En este caso, la ecuación corresponde a una elipse.
La excentricidad es
c
, es decir, k.
a
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
42
• Si k > 1, es decir, si
c
> 1 → c > a → c2 > a2 → a2 – c2 < 0
a
En este caso, la ecuación corresponde a una hipérbola.
La excentricidad es
c
, es decir, k.
a
• Si k = 1, la distancia al punto es igual a la distancia a la recta, es decir, obtenemos una parábola.
60
Dado un segmento AB de longitud 4, halla la ecuación del lugar geométrico
—
—
de los puntos P del plano que verifican: 2AP 2 + BP 2 = 18
☛ Toma como eje X la recta que contiene al segmento y como eje Y la mediatriz de
AB.
Tomamos como eje X la recta que contiene al segmento AB, y como eje Y, la
mediatriz de AB.
Así, las coordenadas de A y B serían: A (–2, 0) y
B (2, 0).
Y
Si P (x, y) es un punto del lugar geométrico, debe
—
—
cumplir: 2 AP 2 + BP 2 = 18; es decir:
2[(x + 2) 2 + y 2] + [(x – 2) 2 + y 2] = 18
A
(–2, 0)
2[x 2 + 4x + 4 + y 2] + [x 2 – 4x + 4 + y 2] = 18
B
(2, 0)
X
2x 2 + 8x + 8 + 2y 2 + x 2 – 4x + 4 + y 2 = 18
3x 2 + 3y 2 + 4x – 6 = 0
(
Esta ecuación corresponde a una circunferencia de centro –
61
)
2
√ 22 .
, 0 y radio
3
3
Sea r una recta y F un punto cuya distancia a r es 1. Llamemos H a la
proyección de un punto cualquiera, P, sobre r. Halla el L. G. de los puntos
— —
que verifican: PH +PF = 3
☛ Toma los ejes de modo que las coordenadas de F sean (0, 1).
Tomamos los ejes de forma que el eje X coincida con la recta r, y el eje Y pase por F.
Así, la recta r es y = 0 y F (0, 1):
Si P (x, y), entonces H (x, 0).
— —
Así, PH + PF = 3 queda:
|y| + √x 2 + (y – 1) 2 = 3
P (x, y)
1 F (0, 1)
y
r
H(x, 0)
Operamos: √x 2 + (y – 1) 2 = 3 – |y|
x 2 + (y – 1) 2 = 9 + y 2 – 6|y|
x 2 + y 2 – 2y + 1 = 9 + y 2 – 6|y|
x 2 – 2y + 1 – 9 = –6|y|
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
43
6|y| = 2y + 8 – x 2
x2
6y = 2y + 8 – x 2 → 4y = 8 – x 2 → y = 2 – —
4
2
x
–6y = 2y + 8 – x 2 → –8y = 8 – x 2 → y = — – 1
8
Obtenemos dos parábolas.
62
a) Halla el lugar geométrico de todos los puntos P (x, y) del plano cuya suma de cuadrados de distancias a los puntos A(–3, 0) y B (3, 0) es 68. Puedes comprobar que se trata de una circunferencia de centro O (0, 0).
¿Cuál es su radio?
b) Generaliza: Halla el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma
de cuadrados de distancias a A (– a, 0) y B (a, 0) es k (constante), y comprueba que se trata de una circunferencia de centro O (0, 0). Di el valor
de su radio en función de a y de k. ¿Qué relación deben cumplir a y k
para que realmente sea una circunferencia?
a) [dist (A, P)] 2 + [dist (B, P)] 2 = 68 → (x + 3)2 + y 2 + (x – 3)2 + y 2 = 68 →
→ x 2 + 6x + 9 + y 2 + x 2 – 6x + 9 + y 2 = 68 →
→ 2x 2 + 2y 2 = 68 – 18 → 2x 2 + 2y 2 = 50 →
→ x 2 + y 2 = 25, que es la ecuación de una circunferencia de centro P (0, 0) y
radio r = 5.
Comprobemos que, efectivamente, se trata de esa circunferencia.
Despejamos y → y = √ 25 – x 2 → P (x, y) = (x, √ 25 – x 2 )
Debe verificarse que:
dist (O, P) = r
Es decir, que:
√ x 2 + y 2 = 5 → √ x 2 + (25 – x 2) = 5 → √ 25 = 5
Por tanto, como se cumple la condición, podemos asegurar que se trata de esa
circunferencia.
b) [dist (A, P)] 2 + [dist (B, P)] 2 = k → (x + a)2 + y 2 + (x – a)2 + y 2 = k →
→ x 2 + 2ax + a 2 + y 2 + x 2 – 2ax + a 2 + y 2 = k →
k
→ 2x 2 + 2y 2 = k – 2a 2 → x 2 + y 2 =
– a2
2
que es la ecuación de una circunferencia de centro (0, 0) y radio:
r=
√
k
– a2
2
Para que realmente sea una circunferencia, debe ocurrir que r > 0. Por tanto,
debe verificarse:
k
– a 2 > 0 → k > 2a
2
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
44
PARA PENSAR UN POCO MÁS
63
Sean las rectas: r : y =
1
1
x, s: y = – x. Tomamos un segmento de longitud
2
2
4, uno de cuyos extremos esté en r y el otro en s. Queremos hallar el lugar
geométrico de los puntos medios de dichos segmentos. Para ello:
a) Expresa r y s en coordenadas paramétricas, usa un parámetro distinto
para cada una.
b) Expresa un punto R de r y un punto S de s.
c) Obtén, mediante dos parámetros, la expresión del punto medio del segmento RS.
d) Expresa analíticamente dist (R, S ) = 4.
e) Relacionando las expresiones obtenidas en c) y en d), obtendrás la ecuación implícita del L. G. buscado: x 2 + 16y 2 = 16
f ) Identifica el tipo de curva de que se trata.
 x = 2λ
a) r: 
y = λ
 x = –2µ
s: 
y = µ
b) R (2λ, λ) ∈ r; S (–2µ, µ) ∈ s
c) Punto medio del segmento RS:
M=
(
) (
)
2λ – 2µ λ + µ
λ+µ
,
= λ – µ,
, es decir:
2
2
2
x = λ – µ → λ = x + µ

λ+µ
2y – x
x
 y = ———
→ 2y = x + µ + µ → 2y = x + 2µ → µ = ——— = y – —

2
2
2

λ=x+y–
x
x
=y+
2
2
→ λ=y+
x
x
; µ=y–
2
2
→
d) dist (R, S) = 4 → |SR| = 4
→
SR (2λ + 2µ, µ – λ)
√(2λ + 2µ) 2 + (µ – λ) 2 = 4
4λ2 + 4µ2 + 8λµ + µ2 + λ2 – 2λµ = 16
5λ2 + 5µ2 + 6λµ = 16
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
45
e) Utilizando lo obtenido en c) y d), tenemos que:
(
(
5 y+
x
2
) (
2
+5 y–
x
2
) (
2
+6 y+
) (
x
2
)(
y–
) (
)
x
= 16
2
)
x2
x2
x2
+ xy + 5 y 2 +
– xy + 6 y 2 –
= 16
4
4
4
5 y2 +
2
2
2
5y 2 + 5x + 5xy + 5y 2 + 5x – 5xy + 6y 2 – 3x = 16
4
4
2
x 2 + 16y 2 = 16
x 2 + y 2 = 1.
16
f) x 2 + 16y 2 = 16 →
Es una elipse, en la que a = 4, b = 1 y c = √15 .
(– √15 , 0). Excentricidad = √ 15 ≈ 0,97
Focos: ( √15 , 0) y
4
Página 240
RESUELVE TÚ
1. A veces, en el andén del metro se produce el siguiente fenómeno: una persona
oye hablar a otra con absoluta nitidez, pero no la encuentra cerca. Mirando a
su alrededor, llega a descubrir que la voz procede de alguien que está en el andén de enfrente y que no está hablando más fuerte que los demás. Explica a
qué se debe este hecho, partiendo de que la bóveda del andén es semielíptica.
La persona que habla está situada sobre uno de los focos de la elipse y la persona que
escucha está en el otro lado.
2. Lewis Caroll, el matemático autor de Alicia en el País de las Maravillas, se construyó una mesa de billar de forma elíptica. En ella, si una bola pasa por un foco, sin efecto, pasará necesariamente por el otro foco después de rebotar. Y
así, sucesivamente, hasta que se pare. Explica por qué.
P
α α
F'
t
F
r
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
Llamamos P al punto en el que rebota la bola que ha
pasado por F. Hemos visto que si t es tangente a la
elipse en P, entonces t es la bisectriz exterior de los
radios rectores PF y PF'. Llamamos r a la otra bisectriz. Tenemos que el ángulo formado por r y PF'
coincide con el ángulo formado por r y PF'. Por tanto, la bola que pase por F, necesariamente pasará por
el otro foco, F', al rebotar.
46
3. Halla la ecuación de la tangente a la elipse
x2
y2
+
= 1 en los puntos de abs25 16
cisa 3.
☛ Utiliza el hecho de que la recta tangente es la bisectriz del ángulo que forman los
radios vectores. De las dos bisectrices, tendrás que elegir la adecuada.
4
F'
–5 (–3, 0)
Los focos de la elipse son F (3, 0) y F'(–3, 0).
Hallamos los puntos de abscisa x = 3:
( )
P 3, 16
—
5
F
(3, 0)
–4
9
16
y2
+
=1 → y=±
25
5
16
5
(
(
Hay dos puntos: P 3,
)
P' 3, – 16
—
5
16
5
)
(
y P' 3, –
)
16
.
5
( )
16
: Obtenemos las bisectrices de los ángulos formados por las rectas que
5
pasan por PF y por PF':
• Para P 3,
— recta, r1, que pasa por PF → x = 3 → x – 3 = 0
— recta, r2, que pasa por PF' → m =
8
15
→ y=
8
(x + 3) → 8x – 15y + 24 = 0
15
Bisectrices: dist ((x, y), r1) = dist ((x, y), r2)
|x – 3| =
|8x – 15y + 24|
17
17x – 51 = 8x – 15y + 24 → 3x + 5y – 25 = 0
17x – 51 = –8x + 15y – 24 → 25x – 15y – 27 = 0
La tangente que buscamos es la que tiene pendiente negativa; es decir: 3x + 5y – 25 = 0
(
• Para P' 3, –
)
16
, tendríamos:
5
— recta, r3, que pasa por P'F → x = 3 → x – 3 = 0
— recta, r4, que pasa por P'F ' → m' = –
8
15
→ y=–
8
(x + 3) →
15
→ 8x + 15y + 24 = 0
Bisectrices: dist ((x, y), r3) = dist ((x, y), r4 )
|x – 3| =
|8x + 15y + 24|
17
17x – 51 = 8x + 15y + 24 → 3x – 5y – 25 = 0
17x – 51 = –8x – 15y – 24 → 25x + 15y – 27 = 0
La tangente en este caso es la que tiene pendiente positiva; es decir: 3x – 5y – 25 = 0
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
47
4. Halla la tangente a la hipérbola
x2 y2
–
= 1 en el punto de abscisa 5.
16
9
☛ Utiliza el hecho de que la tangente es la bisectriz de los radios vectores y elige la
adecuada.
t
3
Hallamos los puntos de abscisa x = 5:
25
81
y2
–
= 1 → y2 =
16
16
9
( )
9
P 5, —
4
F (5, 0)
F'(–5, 0)
–4
(
)
9
P' 5, – —
4
–3
( )
Hay dos puntos: P 5,
4
9
4
→ y=±
(
y P' 5, –
9
4
)
9
.
4
t'
( )
• Para P 5,
9
4
— recta, r1, que pasa por PF → x – 5 = 0
— recta, r2, que pasa por PF':
m=
9/4
9
=
10
40
→ y=
9
(x + 5) → 9x – 40y + 45 = 0
40
Bisectrices: dist ((x, y), r1) = dist ((x, y), r2 )
|x – 5| =
|9x – 40y + 45|
41
41x – 205 = 9x – 40y + 45 → 16x + 20y – 125 = 0
41x – 205 = –9x + 40y – 45 → 5x – 4y – 16 = 0
La recta que buscamos tiene pendiente positiva; por tanto, es 5x – 4y – 16 = 0.
( )
• Para P' 5,
–9
4
— recta, r3, que pasa por P'F → x – 5 = 0
— recta, r4, que pasa por P'F':
m' =
–9/4
–9
=
10
40
→ y=
–9
(x + 5) → 9x + 40y + 45 = 0
40
Bisectrices: dist ((x, y), r3) = dist ((x, y), r4 )
|x – 5| =
|9x + 40y + 45|
41
41x – 205 = 9x + 40y + 45 → 16x – 20y – 125 = 0
41x – 205 = –9x – 40y – 45 → 5x + 4y – 16 = 0
La recta que buscamos tiene pendiente negativa; por tanto, es 5x + 4y – 16 = 0.
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
48
5. Halla la tangente a la parábola y 2 = 12x en el punto de P (3, 6).
☛ Utiliza el hecho de que la tangente es la bisectriz del ángulo formado por el radio
vector PF y la recta perpendicular por P a la directriz.
t
6
P (3, 6)
• Hallamos el foco y la directriz de la parábola:
F (3, 0); d: x = –3
4
2
–3 –2 –1
1
2
F
(3, 0)
— recta, r1, que pasa por P y por F:
x=3 → x–3=0
— recta, r2, que pasa por P y es perpendicular a d:
y=6 → y–6=0
d
Bisectriz del ángulo formado por r1 y r2: dist ((x, y), r1 ) = dist ((x, y), r2 )
|x – 3| = |y – 6|
x–3=y–6 → x–y+3=0
x – 3 = –y + 6 → x + y – 9 = 0
La tangente que buscamos es la que tiene pendiente positiva, es decir, x – y + 3 = 0.
Unidad 9. Lugares geométricos. Cónicas
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