factorizacion I

Centro De Reforzamiento Estudiantil R Y F
CURSO: ÁLGEBRA
TEMA: Factorización I
DOCENTE: Est. Civil. Frank Alex Ramírez
Fasanando

DEFINICION:
Factorización
es
la
transformación de un polinomio en una
multiplicación de sus factores primos dentro de
un determinado campo numérico.
FACTOR O DIVISOR: Dado un polinomio se
dice que factor o divisor de el, es cualquier
polinomio que lo divide en forma exacta.

Aspa doble especial: Se utiliza para
factorizar polinomios enteros en “x” de
cuarto grado de la forma:
P( x)  ax 4  bx3  cx 2  dx  e

Divisores binómicos: Se descompone el
P(x) en factores binómicos (x – a) de tal
manera que P(a) = 0. Los posibles ceros se
hallan:
 Divisores del TI 
PC   

 Divisores de CP 
FACTOR PRIMO: Un polinomio es primo sobre
un campo numérico si ya no se le puede
factorizar sobre el mismo campo numérico.
1.
Ejemplo: Dado el polinomio factorizado
P  A B  C 
Factores primos (#Fp) = 3, es decir: A, B y C
Factores o divisores:
# Fact  # Div  (  1)(   1)(  1)
2.
METODOS DE FACTORIZACION:
 Factor común: Es el producto del MCD de
los coeficientes con las variables comunes
con su menor exponente.

Agrupación de términos: Se agrupan 2 o 3
términos bajo el criterio de los coeficientes
múltiplos o de las variables comunes.

Equivalencias: Se utiliza los productos
notables: Binomio al cuadrado, Diferencia
de cuadrados, Suma de cubos y diferencia
de cubos.

Aspa simple: Se utiliza para factorizar
trinomios de la forma: ax 2 m  bx m y n  cy 2n

Reducción a diferencia de cuadrados: Se
aplica a trinomios ax 2 m  bx m y n  cy 2n que no
se pueden factorizar mediante el aspa
simple.
Ciclo Verano 2019-I
Aspa doble: Se utiliza para factorizar
polinomios de la forma:
ax 2m  bx m y n  cy 2n  dx m  ey n  f
3.
4.
5.
PROBLEMAS
Señale un factor primo de:
P( x, y)  ( x 2  x)2  x 2  x  6
A) x + 2
B) x - 5
C) x - 7
D) x - 8
E) x
Señale un factor primo de:
P( x)  ( x 2  8 x)2  5( x 2  8 x)  14
A) x + 7
B) x + 4
C) x + 3
D) x + 8
E) x + 11
Luego de factorizar:
P( x)  10abx 2  5ax  1  2bx
Indique un término de uno de sus factores
primos.
A) bx
B) 10abx
C) 5ax
D) abx E) ax
Factorizar:
P( x, y)  6 x 2  2 xy  3x  24 y  8 y 2  18 Indicar
uno de sus factores primos.
A) 3x + 4y - 6 B) 2x + 2y + 3
C) 2x + 2y - 3 D) 3x + 4y + 6
E) 3x - 4y + 6
Los factores del polinomio:
P( x, y)  2 x 2  7 xy  6 y 2  11x  19 y  15
A) (2x + 3y + 5) (x + 2y + 3)
B) (2x - 3y + 5) (x - 2y + 3)
C) (2x + y - 5) (x + y - 3)
D) (2x + y + 5) (x - 2y + 3)
E) (2y – y + 15)(x + 2y – 1)
1
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6. Indicar la suma de factores del polinomio:
P( x, y)  12 x 2  xy  y 2
A) 3x + 5y
B) 6x + 2y C) 7x + 2y
D) 7x
E) 9x
7. Indicar la cantidad de factores lineales de:
P( x)  9 x 4  40 x 2  16
A) 1
B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
8. Cuantos factores primos presenta el
polinomio: P( x)  8x6  7 x3  1
A) 1
B) 2 C) 3 D) 4 E) 5
9. Reconocer un factor primo de:
P( x)  6 x 4  31x3  25x 2  13x  6
A) 6x2 + x + 1 B) x2 + 5x - 3
C) x2 - 5 x + 3 D) 6x2 - x + 1
E) x2 + x + 3
10. Para que valor de “n” el trinomio es un cuadrado
perfecto:
P( x, y )  nx 6  8 n  9.x 3 y  25 y 2
A) 12
B) 16 C) 14 D) 18 E) 20
11. Uno de los factores primos de:
P( x)  x 4  5x3  4 x 2  x  15
A) x 2  3x  3
B) x 2  2 x  3
C) x 2  3x  5
D) x 2  3x  5
E) x 2  2 x  5
12. Indicar la suma de coeficientes de uno de
sus factores del polinomio:
P( x)  5 x 4  22 x3  21x 2  16 x  6
A) 5
B) 8 C) 10 D) 13
E) 15
4
4
13. Factorizar x  64 y , y luego hallar el valor
absoluto del coeficiente correspondiente a la
diferencia de sus factores.
A) 2
B) 4 C) 8 D) 16 E) 24
14. Al factorizar P( x)  x 7  2 x 4  1 , se obtiene
un factor cúbico y un bicuadrático. El factor
cúbico es:
A) x3 + 2x + 1
B) x3 - x - 1
3
C) x - 2x + 1
D) x3 - x + 1
E) x3 + x + 1
15. Factorizar m 2  4  2mn  n 2 ; e indicar un
factor primo.
A) m + n - 4
B) m - n +2
C) m + n - 2
D) m - 2
E) n + 2
Ciclo Verano 2019-I
16. Indicar el número de factores irreductibles
de:
P( x, y, z )  x 4 y 2 z 7  xy 2 z 7  3x 2 y 2 z 7  3x3 y 2 z 7
A) 2
B) 3 C) 5 D) 4 E) 1
17. Señalar un factor primo de:
H ( x)  (2 x 2  x  1)2  ( x 2  3x  5)2
A) x - 2
B) x2 + x + 1 C) x + 2
D) x2 - x + 1
E) x2 +2
18. Señalar un factor primo, luego de factorizar
el polinomio:
P(x) = x2 + (b+c+2d)x + (b+c)d + bc
A) x + a + b
B) x + d + b C) x + b + 1
D) x + c + 1
E) x + d + 1
2
19. Factorizar 2a  2b2  (a 2  b2 )2  1 , e indicar
el número de factores primos.
A) 2
B) 3
C) 4
D) 5
E) 6
20. La suma de los factores de la expresión:
E  a 4  b 4  c 4  2a 2 b 2  2a 2 c 2  2b 2 c 2
A) 4a
B) 0
C) -2c
D) 2a + 2b + 2c E) - 4b
21. Uno de los factores de la expresión:
E  (2 x6  1)3  ( x  1)3 ( x  1)3 ( x 4  x 2  1)3
A) x6 + x3 - 1
B) 9x6
6
3
C) x - x - 1
D) 3x3 + x + 1
E) 8x6
22. La suma de los factores del polinomio:
P( x)  x5  x 4  1 , es:
A) x3 + x2 + 2
B) x3 + x2 + 1
3
2
C) x - x +1
D) x2 + x + 1
E) x5 + 2
23. Uno de los factores de la expresión:
16x3y + 28x2y2 – 30xy3, es:
A) 2x2y
B) 4x-3y
C) 2x-5y
2
D) 2xy
E) 4x+3y
24. Al factorizar la expresión:
(x+3)(x-2)(x+4)(x-3)-160, se obtienen dos
factores cuadráticos. La suma de sus
términos independientes es:
A) 18
B) -22
C) 20
D)-18
E) 44
25. Para que se pueda factorizar la expresión:
4x4 + 3x2y2 + y4, se debe agregar y restar el
término:
A) 3y4
B) 5x2y2
C) –x2y2
D) x2y2
E) – 5x2y2
2
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26. Uno de los factores de la expresión: 3x2 –
11xy + 6y2 + 10x – 16y + 8, es:
A) x-3y+2
B) 3x+2y+4 C) x+3y+2
D) x-3y-2
E) 3x-2y-4
27. Al factorizar la expresión:
x4 – x3 -11x2 + 9x +18, se obtienen 4
factores binómicos. La suma de sus
términos independientes es:
A) -2 B) -1 C) 0
D) 1 E) 2
28. El factor cuadrático que se obtiene al
factorizar el polinomio:
x4 – 3x3 – 12x2 + 13x – 15, es:
A) x2+1
B) x2-x+1
C) x2+x+1
2
2
D) x +3
E) x +5
29. La suma de los coeficientes de los factores
binómicos que se obtienen al factorizar el
polinomio:
6x4 + 5x3 – 38x2 + 5x + 6, es:
A) 6 B) 7 C) 8
D) 9 E) 10
30. Uno de los factores de la expresión:
a4x + a2xb2x + b4x, es:
A) a2x + b2x - axbx
B) a2x+b2x
2x
2x
C) a - b
D) ax + bx - ab
E) ax + bx
31. Son factores de la expresión:
(x-1)(x-2)(x-3)+(x-1)(x-2)-(x-1)
1) x+1 2) x-1
3) x-2
4) x+3 5) x-3
Son verdaderos:
A) 2 y 5
B) 1 y 3
C) 1, 2 y 3
D) 3, 4 y 5 E) 3 y 4.
32. ¿Cuántos factores tiene el polinomio: a6+b6a2b4-a4b2?
A) 2
B) 3 C) 4
D) 5
E) 6
Ciclo Verano 2019-I
3. Factorizar:
P( x, y)  ( x  y)2  4( x  y)2
A) (3x+y) (3y-x)
B) (3x-y) (3y+x)
C) (3x-y) (3y-x)
D) (3x+y) (3y+x)
E) (x+y) (x-y)
4. Calcular la suma de coeficientes de un
factor de:
2 x5  x 4  x3  x 2  1
A) 1
B) -2
C) -3
D) 3
E) -1
3
2
5. Factorizar: F ( x)  12 x  8 x  3x  2 .
Luego indicar el número de factores
lineales.
A) 18
B) 6
C) 3
D) 0
E) 7
6. Indicar un factor primo de:
(3x  2)( x  y  1)  (3x  2)(1  x  y )  2  3x
A) 3x-2 B) 2y+1 C) 2x-1 D) 2y-1 E) 2x+1
7. Al factorizar:
( x  y  a)3  3( x  y  a)  2
El número de factores primos lineales es:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3 E) 4
8. Señale el factor primo de menor suma de
coeficientes del polinomio:
P( x)  x8  12 x 4  16
A)
x4  2x2  4
x2  2 x  4
B)
x2  x  2
 6x3
x3  6
C)
D)
E)
9. Factorizar y dar como respuesta la suma de
coeficiente de un factor:
x6  2 x 4  8 x 2  12 x  4
A) 1
B) 2
C) 3
D) 5
E) 7
10. Marcar el factor de :
1+ xy + a (x + y ) – (x + y) –a (1 + xy)
PRACTICA DOMICILIARIA
1. Un factor de: ab(x2+y2) + xy(a2+b2), es:
A) ax+by
B) a+b
C) x+y
D) x
E) 1
A) (1-a) (1-x) (1-y)
B) (1-a) (1+x) (1-y)
C) (1-a) (1-x) (1+y) D) (1+a) (1-x) (1-y)
E) (1+a) (1+x) (1+y)
11. Hallar el número de factores de :
x7  4x6  4x5  x3  5x2  8x  4
2. Factorizar: ax  a  bx  b
A) (x+1) (a-b) B) (x-1) (a-b) C) (x-1) (a+b)
D) (x+a) (x-b) E) (ax-1) (bx+1)
A) 5
B) 4
C) 3
D) 2
3
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E) 6
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12. Determinar “m”, si: x3  2mx2  11x  6 y
tienen 2 factores
x3  3mx2  23x  15 ,
comunes :
A) 5
B) 2
C) 3
13. Uno de los factores de:
D) 4
3x  2 y  52  2 x  4 y  5
Ciclo Verano 2019-I
20. Al factorizar:
x2 y  yz 2  xy2  xz2  x2 z  y 2 z
la suma de los factores es:
A) 0
B) 2z-2y C) 2(x-y-z)
D) x-y
E) 2x
21. Factorizar:
E) 6
, es :
( y 2  2 yz  z 2  5 y  5 z  3) 2  4 y 2 
8 yz  4 z 2  20 y  20 z  15
A) 2x -4y -15
B) x-2y-10
C) x-2y
D) x-2y -4
E) x-2y +4
14. Halle la suma de los factores primos del
polinomio:
2
Qx   x4  2 a 2  b2  x2   a 2  b2 




A) 2a B) 2x C) 4x
D) 3ab
E) b2
la suma de sus factores primos es:
A) 4y+2z-6 B) 4y+4z-16
C) 6y+2z-8
D) 4y+4z-10
E) 4y+4z+4
22. Calcular el MCD de los polinomios:
A  x 4  3x3  10 x 2  7 x  1
B  x 4  8 x3  17 x 2  8 x  1
15. Hallar “m” si se sabe que el polinomio
3x 2  m  1 y 2  m  4 y  1  m  se puede
descomponer en 2 factores lineales.
A) -4
B) -2
C) 2
D) 3
E) 4
2
2
2
16. Al factorizar: 25 x  a  9 y  30 xy , la
suma de sus factores es:
A) 10x + 6y – 2a
B) 6x + 10y + 2a C) 2a
D) 10x – 6y
E) 6x - 10y
17. Después de factorizar al polinomio:
a 4 a  b  1  a 2 b  a  1 ; expresar la suma
de sus factores lineales :
A) 2a - b -1
B) a – b + 1 C) a - 3b – 1
D) 3a- b + 1
E) a + b + 1
6
4
2
18. Después de factorizar: x  4 x  16 x  16
expresar la suma de los coeficientes de los
términos de sus factores:
A) 2
B) 4
C) 6
D) 8
E) 12
19. Dados los polinomios:
Px   ax3  x 2  ax  1
;
4
2
Q x ax  x  a  1
2
2
2
A) x  3x  1 B) x  2 x  1 C) x  3x  1
2
2
D) x  4 x  1 E) x  5 x  1
23. La cantidad de factores primos de:
2n
3n
5n
P( x )  1  x  x  x
; es:
A) 3
B) 4
C) 6
D) 8
E) 12
24. La diferencia de factores primos de:
M ( x)  ( x  2 y  3z) 2  42(3 y  4)  9 z   12 x
es:
A) -8
B) -12
C) 6
D) 10
E) 4
25. La suma de coeficientes de todos los
factores primos de:
Q( x, y)  4 x4  3 y 4  11x2 y 2  4 y3 x  16 yx3
es:
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
26. La suma de los términos independientes de
los factores primos de:
P( x)  2 x3 ( x2  5)  x2 ( x2  5)  4(2 x  1)
A) 2
B) 1
C) 0
D) -1
Rx   ax 2  x 2  a  1
.
Hallar el MCD y expresar la suma de sus
factores.
A) x+1 B) x-1 C) 2x+2 D) 2x-2 E) 2x
4
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E) -2