frecuencia

Departamento de Control, División de Ingeniería Eléctrica
Facultad de Ingeniería UNAM
Respuesta en frecuencia
México D.F. a 23 de Octubre de 2006
Respuesta en frecuencia
Motivación:
La forma más natural de observar y analizar el comportamiento y
desempeño de los sistemas dinámicos, es a través del dominio del
tiempo.
Ejemplos de esto es cuando se dice que un sistema responde más
rápido que otro, o cuando se dice que el tiempo de establecimiento de
tal sistema es de 0.25 segundos. Entre otros ejemplos.
Sin embargo a medida que los sistemas se presentan más complejos
(en
dimensión,
parametrización,
identificación,
etc),
sus
comportamientos son más difíciles de determinar analíticamente.
Una forma de contrarrestar estos inconvenientes es analizar tales
sistemas complicados con técnicas de respuesta en frecuencia
Respuesta en frecuencia
Los métodos de respuesta en frecuencia en los sistemas de control,
proveen un conjunto de análisis y herramientas gráficas que no están
limitadas por el orden del sistema o por otras complejidades.
El análisis de respuesta en frecuencia:
• Se puede utilizar en funciones con alto grado de incertidumbre.
• Se puede utilizar en sistemas con retardo que no tienen funciones
racionales.
• Las pruebas de respuesta en frecuencia son fáciles de realizar.
• Se pueden determinar fácilmente funciones de transferencia complejas.
• Es un método alternativo para el diseño y control de sistemas lineales.
• Casi siempre existe una correlación entre la respuesta en frecuencia y
la respuesta transitoria en el tiempo.

Respuesta en frecuencia
La respuesta en frecuencia se basa en la respuesta en estado
estacionario de un sistema ante una entrada senoidal. Un sistema lineal
invariante en el tiempo, si es afectado por una entrada senoidal de
amplitud R y frecuencia 0 , su salida seguirá siendo senoidal de la
misma frecuencia 0 pero probablemente con otra magnitud C y fase 
r (t )  R sen0t
Sistema
c(t )  C sen (0t   )
Entrada
Salida
t
r (t )  R sen0t c(t )  C sen (0t   )
Figura1. Sistema lineal afectado por entrada senoidal y respuesta en el tiempo.
Respuesta en frecuencia
La transformada de Laplace de la salida del sistema de la figura 1 es:
C ( s )  G ( s ) R( s )
como es un análisis senoidal, se cambia la variable compleja s por j
C ( j )  G ( j ) R( j )
donde cada componente tiene magnitud y fase, ejemplo
C ( j)  C ( j) C ( j)
La relación de la salida C ( j ) entre la entrada R ( j ) en el régimen
senoidal permanente se llama función de transferencia senoidal:
C ( j )
G ( j ) 
R( j )
Respuesta en frecuencia
Gráficas polares
Es una representación de la magnitud y ángulo de fase de G ( j ) en
coordenadas polares al variar el valor de  de cero a infinito.
La función de transferencia senoidal puede ser vista:
• En su representación de magnitud y fase:
G( j)  G( j) G( j)
• En expresarse en términos de sus parte real e imaginaria.
G( j)  ReG( j)  ImG( j)
ReG( j )
Im
 
G ( j )
0
G( j )

G ( j )
Re
ImG( j )
Figura 2.
Gráfica polar
de G ( j ) .
Respuesta en frecuencia
Ejemplos de gráficas polares:
75
G
(
s
)

Obtener la gráfica polar de
s5
Solución. Como primer paso se cambia a variable compleja s por j
G ( j ) 
75
75

j  5 5  j
El siguiente paso es separar el valor real y el imaginario (solo para
facilitar el cálculo). Para esto se multiplica y divide por el complejo
conjugado del denominador de G ( j )
75 5  j 375  j 75
G ( j ) 


5  j 5  j
25   2
G( j )  ReG( j )  ImG( j ) 
375
25  
2
j
y se tiene
75
25   2
para plasmar este resultado en la gráfica polar, es necesario evaluar G ( j )
Respuesta en frecuencia
en diferentes frecuencias desde   0 hasta    . Se evaluarán solo
para algunas de las frecuencias.
Si   0 entonces:
G ( j 0)  ReG ( j 0)  ImG ( j 0) 
375
75(0)

j
 15
2
2
25  (0)
25  (0)
Si   
G ( j)  ReG ( j)  ImG ( j) 
Si   5
G ( j5)  ReG ( j5)  ImG ( j5) 
Si   2.88675
G ( j 2.88675 ) 
375
75()

j
 0  j0
2
2
25  ()
25  ()
375
375
75(5)

j
 7.5  j 7.5
2
2
25  (5)
25  (5)
75(2.88675 )

j
 11.25  j 6.49519
2
2
25  (2.88675 )
25  (2.88675 )
Respuesta en frecuencia
Si   8.66025
G ( j8.66025 ) 
375
25  (8.66025 )
2
j
75(8.66025 )
25  (8.66025 )
2
 3.75  j 6.49519
Dependiendo de la experiencia y de lo complicado de la gráfica polar, se
necesitarán más o menos frecuencias a evaluar.
Im
 
0
Re
Figura 2. Gráfica
polar de
.
  8.66025
 5
  2.88675
G( s) 
75
s5
Respuesta en frecuencia
Criterio de estabilidad de Nyquist
Respuesta en frecuencia
Criterio de estabilidad de Nyquist
Fundamentos: Transformación de contornos en el plano s
Suponga que se quiere transformar una serie de valores de s en el plano s,
donde todos ellos forman una trayectoria cerrada o contorno (
función F ( s)  2s  1
jv Plano F(s)
j
-1
 ), utilizando la
Plano s
1

F ( s )  2s  1
-1
1
2
3
u
Cada punto o elemento del contorno en el plano s, tiene su representación en
el plano F(s). Se evalúan todos los puntos del contorno y se obtiene un
contorno en el plano F(s). En este caso, el contorno en el plano F(s) conserva
la misma forma que el contorno del plano s, (Transformación conforme).
Ambos contornos se consideran que tienen un sentido positivo.
Respuesta en frecuencia
Ahora, se transforma el mismo contorno en plano s, utilizando otra función
de transformación:
jv Plano F(s)
j
d
-1
c
d
Plano s
a

1
b
s
F ( s) 
s3
a
u
c
b
En este caso la transformación es no conforme pero conserva el sentido
positivo.
Existe una característica muy interesante que ocurre cuando el contorno del
plano s encierra a ceros o polos la función:
1.- Si el contorno en el plano s encierra a un cero de la función, el contorno en
el plano F(s) encierra al origen en el mismo sentido del contorno en plano s
Respuesta en frecuencia
2.- Si el contorno en el plano s no encierra a ningún cero o polo de la
función, el contorno en el plano F(s) no encierra al origen.
jv
Plano F(s)
j
d
Plano s
a
a
d
-1

1
b
c
s
F ( s) 
s3
u
b
c
3.- Si el contorno en el plano s encierra a algún polo de la función, el
contorno en el plano F(s) encierra al origen en sentido contrario.
jv
Plano F(s)
j Plano s
a
d
d
a

-3
c
b
F ( s) 
s
s3
u
b
c
Respuesta en frecuencia
4.- Si el contorno en el plano s encierra a un cero y un polo de la función, el
contorno en el plano F(s) no encierra al origen.
jv
Plano F(s)
j
a Plano s
d
d
c

-3
b
F ( s) 
s
s3
a
u
b
c
Todos estos resultado son consecuencia del principio del argumento (teorema
de Cauchy).
Teorema de Cauchy (Principio del argumento). Si un contorno s en el
plano s rodea Z cero y P polos de F(s) y no pasa a través de ningún polo o
cero de F(s) cuando el recorrido es en la dirección del movimiento del reloj a lo
largo de contorno, el contorno correspondiente  f en el plano F(s), rodea al
origen de dicho plano, N  Z  P veces en la misma dirección.
Respuesta en frecuencia
El criterio de Nyquist
Sea la ecuación característica
F ( s)  1  P( s) 
k in1 ( s  si )
m
k 1 ( s  sk )
0
Para que el sistema sea estable, todos los ceros de F(s) deben de estar
localizados en la parte izquierda del plano s. Por tal motivo se escogen un
contorno s en el plano s que encierre toda la parte derecha del plano y por
medio del teorema de Cauchy se determina que ceros están dentro de s .
Esto se logra graficando  f en el plano F(s) y observando el número de
rodeos al origen.
Sin embargo es más común utilizar el polinomio en lazo abierto P(s) por ser
relativamente más sencillo, entonces:
F ( s )  1  P( s )

F ' ( s )  F ( s )  1  P( s )
Con este cambio de variables los rodeos se analizan sobre el punto ( 1  j 0)
del plano F(s)
Respuesta en frecuencia
j
jv
Plano s

s
F(s)
Plano F(s)
P

-1
u
Contorno de Nyquist.
Gráfica polar de P(s).
Criterio de estabilidad de Nyquist
Un sistema de retroalimentación es estable si y solamente si, el contorno P
en el plano P(s) no rodea el punto (-1 +j 0) cuando el número de polos de
P(s) en la parte derecha del plano s es cero.
.
Un sistema de control con retroalimentación es estable si y solamente si, en
el contorno P el número de rodeos al punto (-1 +j 0) en el sentido contrario
al movimiento del reloj es igual al número de polos de P(s) con partes reales
positivas.
Respuesta en frecuencia
Estabilidad relativa y criterio de Nyquist
El criterio de estabilidad de Nyquist se define en términos del punto (1  j 0)
en la gráfica polar. La proximidad a ese punto determina la estabilidad relativa
de un sistema.
jv
.
-1
d
u
El margen de ganancia se define como el recíproco de la ganancia GH ( j )
para la frecuencia en que el ángulo de fase alcanza 180°, es decir cuando v  0.
.
.
El margen de ganancia es el factor por el cual se tendrá que multiplicar la
ganancia del sistema para que el lugar geométrico pase a través del punto
( 1  j 0).
.
1
Margen de ganancia =
d
Respuesta en frecuencia
Otra medida de la estabilidad relativa es el margen de fase, que se define
como el ángulo de fase que se debe girar el lugar geométrico GH ( j ) para
que el punto de magnitud unitaria GH ( j )  1 pase a través del punto
(1  j 0) en el plano GH ( j ).
.
jv
mf   f
-1
u
GH ( j )  1
Margen de fase (mf )
Respuesta en frecuencia
Ejemplo:
Realice la gráfica de Nyquist y determine el rango de estabilidad de:
G( s) 
K
s( s  4)( s  5)
Solución
Para realizar el contorno p primero se divide el contorno s en cuatro tramos:
  j
T1
Plano s

s

0
  0
T3

T4
T2
   j
Contorno s
Tramo 1 (T1). Se evalúa la función desde la
frecuencia   0 hasta    , (gráfica polar).
Tramo 2 (T2). Desde la frecuencia   j a la
frecuencia    j . En este caso se cambia
j
la variable s de la función por e
donde 
representa un radio de valor infinito y e j
es
una evaluación angular de 90º a -90º.
Tramo 3 (T3). Se evalúa la función desde la
frecuencia    j hasta   0, (espejo de
la gráfica polar).
Respuesta en frecuencia
Tramo 4 (T4). Desde la frecuencia   0 a la
frecuencia   0 . En este caso se cambia la
variable s de la función por e j donde 
representa un radio de valor muy pequeño y e j
es una evaluación angular de -90º a 90º. El
tramo se diseña para rodear a posibles ceros o
polos en el origen de la función a evaluar.
T1. Se cambia en la función la variable s por j y se obtiene la gráfica polar
K
K
K
G( s) 
 G ( j ) 

s( s  4)( s  5)
j ( j  4)( j  5)  j 3  5 2  4 2  j 20
se separa la parte real e imaginaria utilizando el complejo conjugado del
denominador
G ( j ) 
K

 9 2  j (20   2 )
 9  j (20   )  9 2  j (20   2 )
2
2
Respuesta en frecuencia
(20   2 ) K
 9K
G( j )  4
j 5
2
  41  400   41 3  400
Para obtener la gráfica polar se evalúa la ecuación resultante desde   0
hasta   
0
(20  (0)2 ) K
 9K
9K
G (0)  4
j 5

 j
2
3
400
(0)  41(0)  400
(0)  41(0)  400 (0)
 
G (0) 
 9K
4
2
()  41()  400
j
(20  ()2 ) K
5
3
()  41()  400 ()
 0  j 0
Nota. Si se tienen dudas acerca de las evaluaciones, se recomienda utilizar
valores muy pequeños para aproximar   0 y valores muy grande de  para
aproximar cuando   .
Respuesta en frecuencia
Entonces se tiene el punto de inicio y el punto final en la gráfica polar.
como a la frecuencia    el valor es final
es  0  j 0 , se tiene que la gráfica polar llega
a cero por el cuadrante superior izquierdo.
Como se inició en el cuadrante inferior
izquierdo, existe un cruce por el eje real y su
valor se obtiene al igualar a cero la parte
imaginaria de la ecuación resultante:
(20   2 ) K
0j 5
  41 3  400
0  20   2    20
y esta frecuencia se evalúa en la parte real
 9K
Re( ) 
( 20 ) 4  41( 20 ) 2  400
 1K
Re( ) 
180
jv
 
 K 180
u
 j
 0
Figura. Gráfica polar.
Se obtiene otro punto para la
gráfica. Con ellos se dibuja de
manera aproximada la gráfica
polar. (Nota: para una mejor
aproximación de la gráfica, se
pueden evaluar más
frecuencias)
Respuesta en frecuencia
T2. Se cambia en la función la variable s por e j y se evalúa desde 90º a 90º
K
G( s) 
s( s  4)( s  5)
G ( j ) 

G ( j ) 
e j ( e j  4)( e j  5)
 j 3


0
e
e j ( e j )( e j ) e j 3
K
  j
K
Plano s
K
Infinito pequeño
Infinito pequeño
j 90
El punto e
en el plano s mapea al punto
0e j 3(90º )  090º en elplano F(s).
.

s
  0
  0
.

T2
   j
j80
El punto e
en el plano s mapea al punto
0240º en elplano F(s).
Contorno s
j 30
El punto e
en el plano s mapea al punto
090º en elplano F(s).
.
Se evalúan todos los puntos posible hasta
deducir que el tramo 2 forma en el plano F(s)
Respuesta en frecuencia
tres medias vueltas de radio cero empezando en 90º con dirección antihoraria.
jv
T3. Es el espejo de la gráfica polar (tramo 1)
j
  0
u
radio  0
jv
Plano F(s), tramo 2.
  
 K 180
u
Plano F(s), tramo 2.
T4. Se cambia en la función la variable s por e j y se evalúa desde -90º a
90º
K
G( s) 
s( s  4)( s  5)
G (e j ) 
K
e j (e j  4)(e j  5)
muy muy pequeño
relativ, grande
Respuesta en frecuencia
G (e j ) 
K
e j (4)(5)
  j
Plano s

s

0
  0

 j


e
e j
K
El punto e90º en el plano s mapea al punto e90º
en elplano F(s).
.
El punto e45º en el plano s mapea al punto e45º
en elplano F(s).
.

T2
j
Plano F(s)

   j
Contorno s
P
  0
 j
Contorno P . Tramo 4.
Respuesta en frecuencia
jv
T1
T2
T3
T4
Criterio de Nyquist:
 
1
u
K

180
 0
Como el sistema no tiene polos
inestables en lazo abierto, para que sea
estable se necesita que no haya rodeos
al punto -1. Entonces el rango de
estabilidad es
0  K  180
 j
Figura. Gráfica de Nyquist.
Respuesta en frecuencia
Diagramas de Bode
Respuesta en frecuencia
Los diagramas de bode son una representación de la magnitud y fase de
una función en estado senoidal permanente al variar la frecuencia de cero a
infinito. Sea la ecuación característica
1  G( s) H ( S )  0
Por ser estado senoidal permanente, se cambia s por j .
Por razones de sencillez se trabaja mejor con el polinomio en lazo abierto.
P( j )  G ( j ) H ( j )
Como la variable s es compleja se tiene magnitud y fase.
G( j) H ( j) G( j) H ( j)
Estos valores cambian mientras se varía la frecuencia  . Para graficar la
magnitud de G ( j ), se hace uso de la norma de magnitud:
Mag  20 log G( j )
Y el valor del ángulo de fase se obtiene dependiendo del elemento a analizar
Respuesta en frecuencia
La principal ventaja al usar Bode es que se puede analizar cada elemento
de una función de transferencia por separado y el efecto total del sistema, se
obtiene simplemente sumando las magnitudes y ángulos de fase de todos
ellos.
La ventaja anterior resalta más cuando es necesario agregar otros
elementos al sistema. En estos casos para obtener la nueva gráfica de
Bode no es necesario recalcular todo el sistema, simplemente se suman a
los elementos ya analizados.
Elementos básicos de una función de transferencia
1.
2.
3.
4.
Elementos de valor constante (Ganancia)
Elementos integrales y derivativos
Elementos de primer orden
Elementos cuadráticos
Respuesta en frecuencia
1. Elementos de valor constante (Ganancia)
dB  20 log K
  0
2. Elementos derivativos e integrales ( j )
Derivadores
Magnitud en decibelios
Ángulo de fase
1

Im


20 log j  20 log  dB
  90
Re
para todo rango de 
Integradores
20 log
1
 20 log  db
j
  90
para todo rango de 
Im



Re
Respuesta en frecuencia
Si existen más de un derivador o integrador:
Derivadores
n
20 log ( j )  20 n log  dB
para todo rango de 
  90  n
Integradores
20 log
1
 20 n log  db
( j )
  90  n
n
para todo rango de 
Bode Diagram
40
0
Magnitude (dB)
20
20
0
-20
-40
-20
270
-60
-90
225
-135
Phase (deg)
Phase (deg)
Magnitude (dB)
Bode Diagram
60
180
135
-180
-225
90
-270
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
Respuesta en frecuencia
3. Elementos de primer orden
Cero de primer orden
20 log 1  j  20 log 1   2 2 dB
  tan 1 
Bode Diagram
40
 1
c  frecuencia de corte 
1
30
20
System: sys
Frequency (rad/sec): 1
Magnitude (dB): 3.01
10
0
90

Phase (deg)
G ( j )  1  j
Magnitude (dB)
De la figura:
45
c
0
-2
10
-1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
1
10
2
10
Respuesta en frecuencia
Polo de primer orden
20 log
1
 20 log 1   2 2 dB
1  j
   tan 1 
Bode Diagram
0
 1
c  frecuencia de corte 

-20
-30
-40
0
1
Phase (deg)
1
G ( j ) 
1  j
Magnitude (dB)
De la figura:
System: sys
Frequency (rad/sec): 1
Magnitude (dB): -3.01
-10
-45
c
-90
-2
10
-1
10
0
10
Frequency (rad/sec)
1
10
2
10
Respuesta en frecuencia
3. Elementos de segundo orden
Cuando no se puedan descomponer en dos elementos de primer orden, se
normalizan de la siguiente forma:
2 1

      
G ( j )  1  2  j    j  
  n    n  

Ceros de segundo orden
2
    
20 log 1  2  j    j   20 log
 n   n 
2
   

1  2    2

 n   2 

 
 2

n 
  tan 1 
2 
 1  2 
 n 
2
c   n
Respuesta en frecuencia
Polos de segundo orden
20 log
2
1
  
1  2  j   
 n  
 2  





20
log
1



2

2
  2    

2


n 
j 
n 

 
 2

n 
   tan 1 
2 
 1  2 
 n 
c   n
Respuesta en frecuencia
Ceros de segundo orden
Bode Diagram
80
c   n  3
  1/ 6
s  3s  9
9
  0.5
20
-20
180
2
s 2  4.2s  9
G(s) 
9
  0.7
40
0
135
Phase (deg)
G( s) 
Magnitude (dB)
s2  s  9
G( s) 
9
60
90
45
0
-1
10
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
 3
2
10
Respuesta en frecuencia
Polos de segundo orden
Bode Diagram
20
c   n  3
  1/ 6
9
G( s)  2
s  3s  9
  0.5
9
G(s)  2
s  4.2s  9
  0.7
Magnitude (dB)
9
s2  s  9
-20
-40
-60
-80
0
-45
Phase (deg)
G( s) 
0
-90
-135
-180
-1
10
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
 3
2
10
Respuesta en frecuencia
Ejemplo: Obtener el diagrama de Bode del sistema
12( s  3)
s 2 ( s  5)( s 2  6 s  13)
Normalizando:
36 1
( s  1)
65 3
2
1
s
6
2
s ( s  1)(
 s  1)
5
13 13
Se tienen 5 elementos, Una constante, un cero en -3, un doble integrador,
un polo en -5 y polos cuadráticos. Se buscan la gráfica de Bode de cada
uno y después se suman.
Respuesta en frecuencia
Aportaciones individuales en magnitud. y ángulo
Elementos ind.
Bode Diagram
40
36 / 65
1
s2
Magnitude (dB)
1
s 1
3
20
-40
-80
90
Phase (deg)
2
-20
-60
1
s 1
5
s
6
 s 1
13 13
0
0
-90
-180
-1
10
0
1
10
10
Frequency (rad/sec)
2
10
Respuesta en frecuencia
Diagrama de Bode (Resultante)
Bode Diagram
50
Magnitude (dB)
0
-50
-100
-150
-200
-180
Phase (deg)
-225
-270
-315
-360
-1
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
2
10
3
10