sobre el comportamiento de la derivada de una funcion ai\monica

SOBRE EL COMPORTAMIENTO DE LA DERIVADA
DE UNA FUNCION AI\MONICA EN EL CONTORNO
(Tema N<¡ 17, Vol. VII, pág. 28)
La propi1edad de las funciones annonlcas u (xJ y) de adquirir sus valorles ll1áxÍlno y ll1ÍnÍlno en :el contorno se con-·
serva en las derivadas parcial,es r,especto de x y de y de cualqtüer orden puesto que estas nuevas funciones son tall1bién
annónicas.
J
En cambio, supuesto
I~~
1<
le siendo s el arco del contorno
y le un nú:o,l ero positivo, no s'e puede decir en general que la
derivada en cualqtlÍier dirección esté acotada en el interior. Lo
probar,emos con el siguiente 'ejmnplo:
l
La función
¡está definida en el círculo Iz I<1 siendo adenlás absolutmnente
conv1erg'ente en este recinto.
. Para Izl < 1, la función ,es analítica y por tanto la parte
rleal annónica.
Esta función arnlónica tOll1a en el contorno los valores
00
cos nB'
n2
nB'
&2
F(&)=.:E--=---+-.
1
71,2
6
2
6.
En el contorno la función F (&) es continua y acotada; y
la derivada r,especto de s (o de B') está acotada.
Si consideramos ,en la superficie annónica R[f( x)] la sec00 xn
ción x = 0, se obtiene la curva .:E - que tiene pendiente infinita
1 71,2
,
para x=
1
1,
puesto clue su derivada según x vale ---log (I-X).
x
JIJanuel Sadoslev
.1