métodos matemáticos para físicos II 2

Métodos Matemáticos para Físicos II
Material de Estudio No 2
1.
CICLO 2018-2
(CF391-A)
Llevar la siguiente ecuación diferencial a su forma autoadjunta
y 00 + y 0 − xy = 0.
2.
Llevar la siguiente ecuación diferencial a su forma autoadjunta
y 00 − xy 0 + y = 0.
3.
Una de las soluciones de la ecuación
1
(xy 0 )0 + y = 0
x
es la función y = sen(ln x), la cual es acotada para x → +0. ¾Será la otra solución de la ecuación,
linealmente independiente con la primera, acotada para x → +0?
4.
Halle todos los valores propios y soluciones propias del siguiente problema de contorno:
y 00 + λy = 0;
con condiciones de contorno en el intervalo (0, l):
y(0) = 0; y 0 (l) = 0.
5.
Halle todos los valores propios y soluciones propias del siguiente problema de contorno:
y 00 + λy = 0;
con condiciones de contorno en el intervalo (a, b):
y(a) = 0; y(b) = 0.
6.
Halle todos los valores propios y soluciones propias del siguiente problema de contorno:
y 00 + 2y 0 + λy = 0;
con condiciones de contorno en el intervalo (0, l):
y(0) = 0; y(l) = 0.
7.
Halle todos los valores propios y soluciones propias del siguiente problema de contorno:
x2 y 00 + xy 0 + λy = 0;
con condiciones de contorno en el intervalo (1, l):
y(1) = 0; y 0 (l) = 0 (donde l > 1).
Llevarlo a su forma autoadjunta.
Observación: Esta ecuación es la Ecuación de Euler. Se puede llevar a su forma autoadjunta
con coecientes contantes realizando el cambio de variable x = et .
8.
Halle todos los valores propios y soluciones propias del siguiente problema de contorno:
y 00 + xy 0 + λy = 0;
con condiciones de contorno en el intervalo (0, l):
y(x) acotada para x → +0; y(l) = 0.
¾Cómo se explica la contradicción aparente entre el resultado obtenido y el teorema principal sobre
los números propios?
9.
Halle todos los valores propios y soluciones propias del siguiente problema de contorno:
2
y 00 + y 0 + λy = 0;
x
con condiciones de contorno en el intervalo (0, l):
y(x) acotada para x → +0; y(l) = 0.
10.
Halle todos los valores propios y soluciones propias del siguiente problema de contorno:
2
y 00 + y 0 + λy = 0;
x
con condiciones de contorno:
a) y(x) es acotada para x → +0;
b) y 0 (l) + Hy(l) = 0 (donde H > 0, Hl 6= 1).
¾Es el sistema de funciones propias de este problema de contorno, ortogonal en el intervalo (0, l)?
Si la respuesta es armativa ¾con que peso?
11.
Resuelva el problema anterior para Hl = 1.
12.
Halle todos los valores propios y soluciones propias del siguiente problema de contorno:
y0
y + + λy = 0;
x
00
con condiciones de contorno:
a) y(x) es acotada para x → +0;
b) y 0 (l) = 0.
13.
Halle la solución general de la ecuación
xy 00 + y 0 − λ2 xy = 0,
donde λ es un número positivo. Identicar, de la solución general, aquella solución que esté acotada
para x → +0. Sugerencia: Haga el cambio de variable τ = iλx (donde i es la unidad imaginaria).
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