funciones-elementalessoluciones1

SOLUCIONES: FUNCIONES ELEMENTALES
Ejercicio nº 1.Halla el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) y 
b) y 
2x
x  3  2
1
x 2
Solución:
a)
x  3 2
0
b) x  2  0


x 3
x2
 Dominio  R   3 
 Dominio   2,  
Ejercicio nº 2.A partir de la gráfica de las siguientes funciones, indica cuál es su dominio de definición:
a)
b)
Solución:
a) Dominio  R   3
b) Dominio  2,  
Ejercicio nº 3.Vamos a considerar todos los rectángulos de 30 cm de perímetro. Si llamamos x a la
longitud de la base, el área será:
A  x 15  x 
¿Cuál es el dominio de definición de esta función?
1
Solución:
x puede tomar valores entre 0 y 15 cm. Por tanto, Dominio   0, 15 .
Ejercicio nº 4.Asocia cada una de estas gráficas con su correspondiente ecuación:
2
a) y  x
3
b) y  2x 2  3
c) y  3,5 x  0,75
d) y   x 2  4
I)
II)
III)
IV)
Solución:
a)
b)
c)
d)
III
I
II
IV
Ejercicio nº 5.Asocia a cada una de estas gráficas su ecuación:
1
a) y 
x 4
b) y  2 x
c) y 
1
2
x
d) y   x  1
2
I)
II)
III)
IV)
Solución:
a)
b)
c)
d)
IV
III
I
II
Ejercicio nº 6.Representa la gráfica de la siguiente función:
y 
3
x 1
5
Solución:
Ejercicio nº 7.Escribe la ecuación de la recta cuya gráfica es la siguiente:
3
Solución:
Vemos que la recta pasa por  0, 2 y por  1,  3. Su pendiente será:
m
3  2 5

 5
1 0
1
Por tanto, la ecuación es:
y  5 x  2
Ejercicio nº 8.Al apuntarnos en un gimnasio, hemos tenido que pagar una cantidad fija en concepto de
matrícula. Después tendremos que ir pagando las mensualidades. Si estamos 6 meses,
nos gastaremos en total 246 euros, y si estamos 15 meses, nos costará 570 euros.
¿Cuánto nos gastaríamos en total si estuviéramos yendo durante un año?
Solución:
Resolvemos el problema mediante una interpolación lineal.
Sabemos que f  6  246 y que f  15   570 .
Por tanto:
570  246
 x  6
f  x   246 
15  6
f  x   246  36  x  6 
f  x   36 x  30
Luego:
f  12  36  12  30  462
Si estamos 12 meses nos costará 462 euros.
Ejercicio nº 9.Obtén la gráfica de la función:
f x  
x2
 2x  1
2
4
Solución:
 Hallamos el vértice de la parábola:
x
b 2
 2
2a 1

y  1  Punto
 2,  1
 Puntos de corte con los ejes:
Con el eje X 
y 0
x
Con el eje Y 

x2
 2x  1  0
2
4  16  8
2
x 0


 x  3,41


 x  0,59

x 2  4x  2  0

Punto  3,41 ; 0 

Punto  0,59 ; 0 
y  1  Punto
 0, 1
 Hallamos algún otro punto:
 La gráfica es:
f (x) 
x2
 2x  1
2
Ejercicio nº 10.Representa gráficamente:
 2 x  1 si
y  2
si
x  2
x 1
x 1
Solución:
Si x  1, tenemos un trozo de recta.
Si x  1, es un trozo de parábola.
La gráfica es:
5
Ejercicio nº 11.El precio por establecimiento de llamada en cierta tarifa telefónica es de 0,12 euros. Si
hablamos durante 5 minutos, la llamada nos cuesta 0,87 euros en total. Halla la función
que nos da el precio total de la llamada según los minutos que estemos hablando.
Solución:
La función que buscamos será de la forma:
y  0,12  m · x,
donde x son los minutos que estamos hablando.
Para hallar el valor de m tenemos en cuenta que:
x 5
 0,87  0,12  m  5
 m  0,15
Así, la función es:
y  0,12  0,15x
Ejercicio nº 12.Sabiendo que la gráfica de y = f (x) es la siguiente:
construye, a partir de ella, las gráficas de:
a) y  f x  1
b) y  f x   1
6
Solución:
a)
b)
(La gráfica de f(x) no es necesario incluirla. La añadimos para que se aprecie más claramente
la transformación).
Ejercicio nº 13.-
Sabiendo que la gráfica de y  f ( x ) es la de la izquierda, representa la gráfica de y  f ( x ) .
Solución:
Ejercicio nº 14.-
7
Obtén la expresión analítica en intervalos de la función y   x  3 .
Solución:
 x  3 si x  3
y 
si x  3
x  3
Ejercicio nº 15.Averigua cuál es el dominio de definición de las siguientes funciones:
a) y 
1
3x  x 2
b) y 
x2 1
Solución:
a) 3 x  x 2  0

x  0
x 3  x   0 
 Dominio  R  0, 3
x  3
b) x 2  1  0  Dominio   ,1  1,
Ejercicio nº16.A partir de la gráfica de estas funciones, indica cuál es su dominio de definición:
a)
b)
Solución:
a) Dominio  R    1
b) Dominio   0 ,  
Ejercicio nº 17.De un cuadrado de lado 10 cm se recorta una tira de x cm en la base y otra de la misma
8
longitud en la altura, obteniéndose un nuevo cuadrado de lado (10  x ) :
El área de este nuevo cuadrado será:
A  10  x 
2
¿Cuál es el dominio de definición de esta función?
Solución:
x puede tener valores entre 0 y 10 cm. Por tanto, Dominio   0, 10 .
Ejercicio nº 18.Asocia a cada gráfica su ecuación:
a) y  3 x  5
b) y   x  2
c) y  
2
5
x
3
d) y  4 x 2
I)
II)
III)
IV)
Solución:
9
a)
b)
c)
d)
IV
I
III
II
Ejercicio nº 19.Asocia cada ecuación con su correspondiente gráfica:
1
a) y 
x 2
b) y 
c) y 
x 1
1
x 2
d) y  1  x
I)
II)
III)
IV)
Solución:
a)
b)
c)
d)
II
III
IV
I
Ejercicio nº 20.Haz la gráfica de la función:
y  0,5 x  3,5
Solución:
10
Ejercicio nº 21.Halla la ecuación de la recta que pasa por  1, 2  y cuya pendiente es 
1
.
3
Solución:
Escribimos la ecuación puntopendiente:
y 
1
x  1  2
3
Operando, llegamos a:
1
1
1
5
x 2
x
3
3
3
3
1
5
y 
x
3
3
y 
Ejercicio nº22.En el recibo de la luz del mes de agosto se reflejaba un consumo de 291 kwh y tuvimos
que pagar en total 47,37 euros. En el de diciembre, el consumo era de 690 kwh, y el
precio del recibo fue de 88,40 euros. Averigua cuál fue el precio del recibo del mes de
octubre sabiendo que el consumo fue de 346 kwh.
Solución:
Vamos a resolver el problema mediante una interpolación lineal.
Sabemos que f  291  47,37 y que f  690   88,40.
Por tanto:
88,40  47,37
 x  291
f  x   47,37 
690  291
f  x   47,37  0,103  x  291
f  x   0,103 x  17,40
Luego:
11
f  346   0,103  346  17,40  53,04
El precio del recibo fue de 53,04 euros.
Ejercicio nº 23.Representa la gráfica de la siguiente función:
y  x 2  4
Solución:
 El vértice de la parábola está en
 0, 4 .
 Puntos de corte con los ejes:
Con el eje X 
y  0   x2  4  0 
 x   4  2
Con el eje Y 
x 0

 Puntos
y 4
x2  4 
  2, 0 y  2, 0
 Punto  0, 4
 Hallamos algún otro punto:
 La gráfica es
Ejercicio nº 24.Dibuja la gráfica de la función:
 x  1/2
y 
2
 x
si x  1
si x  1
Solución:
Si x ≤ -1, es un trozo de recta.
Si x > -1, es un trozo de parábola.
12
La gráfica es:
Ejercicio nº 25.Un cántaro vacío con capacidad para 20 litros pesa 2550 gramos. Escribe la función que
nos da el peso total del cántaro según la cantidad de agua, en litros, que contiene.
Solución:
El peso del cántaro vacío es de 2,55 kg. Si echamos x litros de agua, pesará x kg más, es
decir, la función que buscamos es:
y  2,55  x
donde x e y están en kilos. Además, x varía entre 0 y 20, es decir, 0  x  20.
Ejercicio nº 26.Esta es la gráfica de la función y = f (x).
Representa, a partir de ella, las funciones:
a) f x  2
b) y  f x 
13
Solución:
a)
b)
(La gráfica de f(x) no es necesario incluirla. La añadimos para que se aprecie más claramente
la transformación).
Ejercicio nº 27.-
Representa gráficamen te la función y  f ( x ) , sabiendo que la gráfica de
y  f ( x ) es la siguiente :
Solución:
Ejercicio nº28.Obtén la expresión analítica, en intervalos, de la función y 
3x  1
.
2
Solución:
14
 3x  1
si x 
 2
y 
 3x  1
si x 
 2
1
3
1
3
Ejercicio nº 29.Halla el dominio de definición de las funciones:
a) y 
2x
x2
b) y  3 x  1
Solución:
a) x 2  0

b) 3 x  1  0
x 0

 Dominio  R   0
3x  1 
x 
1
3
1

 Dominio   ,   
3

Ejercicio nº 30.Averigua el dominio de definición de las siguientes funciones, a partir de sus gráficas:
a)
b)
Solución:
a) Dominio  R   0
b) Dominio  R
Ejercicio nº 31.A una hoja de papel de 30 cm  20 cm le cortamos cuatro cuadrados (uno en cada
esquina) y, plegando convenientemente, formamos una caja cuyo volumen es:
V  x 20  2 x 30  2 x 
15
¿Cuál es el dominio de definición de esta función?
Solución:
x puede tomar valores entre 0 y 10 cm. Por tanto, Dominio   0, 10 .
Ejercicio nº 32.Asocia cada ecuación con la gráfica correspondiente:
a) y  2 x  2
b) y  2 x 2
c) y  0,25 x
d) y  0,25x 2
I)
II)
III)
IV)
Solución:
a)
b)
c)
d)
II
I
IV
III
Ejercicio nº 33.Asocia a cada una de las gráficas una de las siguientes expresiones analíticas:
1
a) y 
x4
b) y 
c) y 
x 2
1
4
x
16
d) y  2  x
I)
II)
III)
IV)
Solución:
a)
b)
c)
d)
III
II
I
IV
Ejercicio nº 34.Representa gráficamente la siguiente función:
y
2x  3
4
Solución:
17
Ejercicio nº 35.Halla la expresión analítica de la recta cuya gráfica es:
Solución:
Observamos que la recta pasa por los puntos
m
 0, 20  y  50, 80 . Su pendiente será:
80  20 60 6


50  0
50 5
Por tanto, su ecuación es:
y 
6
x  20
5
Ejercicio nº 36.Si consumimos 60 m3 de gas tendremos que pagar un recibo de 35,96 euros, y por un
consumo de 80 m3 tendríamos que pagar 43,56 euros. ¿Cuál sería el precio del recibo si
consumiéramos 70 m3 de gas?
Solución:
Resolvemos el problema mediante una interpolación lineal.
Sabemos que f 60   35,96 y que f 80   43,56.
Por tanto:
43,56  35,96
 x  60 
80  60
f  x   35,96  0,38  x  60 
f  x   35,96 
f  x   0,38 x  13,16
Así:
f  70   0,38  70  13,16  39,76
El precio del recibo por un consumo de 70 m 3 de gas sería de 39,76 euros.
18
Ejercicio nº 37.Representa gráficamente la función:
y  x 2  4x  1
Solución:
 Hallamos el vértice:
x
b
4

2
2a  2

y 3
 Punto
 2, 3 .
 Puntos de corte con los ejes:
Con el eje X 
y 0

Con el eje Y 

 x 2  4x  1  0
 4  12 x  0,27

2
 x  3,73
x 0




x
 4  16  4

2
Punto  0,27 ; 0
Punto  3,73 ; 0
y  1  Punto
 0,  1
 Hallamos algún otro punto:
 La gráfica es:
Ejercicio nº 38.Representa la siguiente función:
2 x 2
y 
2 x  4
si
si
x  1
x  1
Solución:
Si x < -1, tenemos un trozo de parábola.
Si x ≥ -1, tenemos un trozo de recta.
19
La gráfica es:
Ejercicio nº 39.En algunos países se utiliza un sistema de medición de la temperatura distinto a los
grados centígrados que son los grados Farenheit. Sabiendo que 10 C  50 F y que 60
C  140 F, obtén la ecuación que nos permita traducir temperaturas de C a F.
Solución:
Llamamos x a la temperatura en grados centígrados e y a la temperatura en grados
Farenheit. La función que buscamos pasa por los puntos (10, 50) y (60, 140). Será una recta
con pendiente:
m
140  50 90 9


60  10
50 5
La ecuación es:
9
x  10   50  9 x  18  50  9 x  32
5
5
5
9
y  x  32
5
y 
Ejercicio nº 40.-
La siguiente gráfica correspond e a la función y  f x  :
A partir de ella, representa:
a) y  f x   3
b) y  f x  2
20
Solución:
a)
b)
(La gráfica de f(x) no es necesario incluirla. La añadimos para que se aprecie más claramente
la transformación).
Ejercicio nº 41.La siguiente gráfica corresponde a la función y = f (x). Representa, a partir de ella, la
función
y  f (x ) .
Solución:
21
Ejercicio nº 42.Expresa como función "a trozos":
y 
x 1
2
Solución:
 x 1
si x  1
 2
y 
x 1
si x  1
 2
22