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DIVISIÓN ALGEBRAICA II
Colocamos los coeficientes del dividendo e igualamos
a cero el divisor.
MÉTODO DE RUFFINI
Es un caso particular del Método de Horner. Se aplica
para dividir un polinomio D(x) entre un divisor que tenga o
adopte la forma lineal:
d(x) = Ax + B, A 0
4x - 3 = 0
4
2. Valor que se obtiene para la variable cuando el divisor
se iguala a cero.
3. Coeficientes del cociente que se obtienen de sumar cada
columna, luego que el coeficiente anterior se ha multiplicado por (2) y colocando en la siguiente columna.
4. Resto de la división que se obtiene de sumar la última
columna.
10
0
-1
5
6
12
9
6
8
6
12
8
11
2
4
3
2
5
-6
0
18
-6
2
8
-16
-1
-4
8
2
x = 3/4
Pasos a seguir:
1. Coeficientes del dividendo ordenado decrecientemente, completo o completado, con respecto a
una variable.
8
Luego:
q(x) = 2x3 + 4x2 + 3x + 2
R(x) = 11
Ejemplo:
Dividir:
-
3x 4 5x3 6x2 18
x2
x+2=0
3
x = -2
ESQUEMA GENERAL
3
q(x) = 3x3 - x2 - 4x + 8
1
R(x) = 2
2
TEOREMA DEL RESTO
Nos permite hallar el resto de una división, sin
efectuarla:
3
4
Enunciado:
En toda división de la forma P(x) (Ax + B), el residuo
es igual al valor numérico de P(x) cuando x
Es decir:
Observación:
Si el coeficiente principal del divisor es diferente de
la unidad, el coeficiente obtenido se deberá dividir entre
este valor.
Ejemplo:
¬
Dividir:
8x 4 10 x3 x 5
4x 3
P( x)
–B
Re sto P
Ax B
A
B
.
A
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REGLA PRÁCTICA PARA CALCULAR EL RESTO DE UNA
DIVISIÓN
I.
2. Halle el resto en:
x 60 x24 x18 x6 x2 1
El divisor se iguala a cero.
x4 1
II. Se elige una variable conveniente y se despeja esta
Solución:
variable.
P(x) = x60 + x24 + x18 + x6 + x2 - 1
III. La variable elegida se busca en el dividendo para reemplazarlo por su equivalente, luego se realizan las
operaciones indicadas y obtenemos el resto.
Ejemplo:
1. Hallar el resto en:
Aplicamos regla práctica.
x4 = -1
x4 + 1 = 0
Luego:
P(x) = (x4)15 + (x4)6 + (x4)4 . x2 + (x4)x2 + x2 - 1
x3 3x2 3x 1
x 2
Reemplazando:
R = (-1)15 + (-1)6 + (-1)4x2 + (-1)x2 + x2 - 1
Solución:
2
2
2
R = -1 + 1 + 1 . x - x + x - 1
P(x) = x3 - 3x2 + 3x - 1
R = x2 - 1
Aplicamos regla práctica:
x + 2 = 0 x = -2
TEOREMAS
Luego:
R = P(-2) = (-2)3 - 3(-2)2 + 3(-2) - 1
R = -8 - 12 - 6 - 1 = -27
1. Si al dividendo y al divisor se le multiplica por un
polinomio no nulo, entonces el cociente no se altera
pero el resto queda multiplicado por dicho polinomio.
2. Si al dividendo y al divisor se le divide por un polinomio
no nulo, entonces el cociente no se altera pero el resto queda dividido por dicho polinomio.
R = -27
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Hallar la suma de coeficientes del cociente de:
4. Indicar el resto en:
2x 4 3x3 4 x2 5x 6
2x 1
a) 6
d) 15
b) 8
e) 20
c) 10
2. Hallar la suma de coeficientes del cociente:
2x 4 3x3 x2 2x 6
2x 1
a) 6
d) 1
b) 4
e) 0
2x4 5x3 4 x2 3x 1
x 3
a) 1
d) 4
b) 2
e) -1
c) 3
5. Hallar el término independiente del cociente, luego
de dividir:
6x 4 4 x3 x2 10 x 2
3x 1
c) 3
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
c) 3
3. Hallar el cociente:
15x 4 8x3 9x2 7 x 1
5x 1
a) 3x3 + 5x
b) 3x3 - x2 - 2x + 1
c) 3x2 + 6x + 2
d) 3x3 + 5x2 + 1
e) 3x3 + x2 + 1
6. Hallar el resto en:
x3 3x2 3x 1
x 2
a) -20
d) -25
b) -27
e) -18
c) -26
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7. Hallar el resto en:
15. Si en la división:
x80 x60 x 40 x20 3
ax a 1 (2n 1)x a 2 (3a 2)x a 3 .... ( a2 a 1)
ax 1
x4 1
a) 5
d) 2
b) 4
e) 1
El cuádruple del resto es igual a nueve veces la suma
de coeficientes del cociente.
c) 3
Hallar: “a”
8. Halle el resto de:
a) 10
d) 6
x2n 3 3x2n 2 x2n 4 5x 2
x 1
a) 5
d) 6
b) 3
e) 7
b) 9
e) 3
c) 8
c) 8
9. Halle el resto de dividir:
TAREA DOMICILIARIA Nº 2
x25 x37 x 7 2
x2 x 1
a) 2x + 1
d) 3x + 2
b) x + 5
e) 2x - 1
c) 2x + 7
1. Indique la suma de coeficientes del cociente de:
3x 4 5x3 x2 x 2
3x 1
10. Al dividir:
8x 4 18x3 ax2 bx c
2x 3
Los coeficientes del cociente disminuyen de 1 en 1.
Halle (a + b + c) si el resto es (-8).
a) 2
d) 3
b) 3
e) 5
c) 16
a) 2
d) 5
a) 1
d) 4
b) 2
e) 5
6x 4 4 x3 x2 10 x 2
3x 1
a) 1
d) 4
c) 3
x 2
d)
2 1
6
e)
3 2
a) -1
d) -8
c)
5 1
b) -2
e) -4
4x12 9x 9 4x3 5
ax 51 2bx 2b a
x 1
b) 2
e) 5
b) -14
e) -11
c) -13
5. Hallar el resto en:
c) 3
8x20 5x8 4x 4 3
14. Halle el resto que resulta al dividir: (x + 3) (x + 5)
entre (x + 4)(x + 1).
b) 2x + 1
e) 5x
x3 1
a) -15
d) -12
4
a) 128(x + 4)
d) 2x
c) -6
4. Hallar el resto en:
13. Calcular “a” si la suma de coeficientes del cociente es
161, tal que el resto es 16.
a) 1
d) 4
c) 3
x 4 3x3 2x2 5x 4
x2
( 3 1)x3 2x2 ( 3 2 )x 2 6 1
b)
b) 2
e) 5
3. Cuál es el resto en:
12. Encontrar el resto de dividir:
a) 3 6
c) 4
2. Hallar el término independiente del cociente, luego
de dividir:
11. Indicar la suma de coeficientes del cociente al dividir:
x 4 x3 3nx 3
nx 1
b) 3
e) 6
c) 85x + 341
2
x4 1
a) 8
d) 14
b) 10
e) 16
c) 12
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6. Hallar el resto en la siguiente división:
11. Calcular el resto en:
( x 1)(x 3)(x 5)(x 7) 21
(x 2)(x 6)
5x 4 16x3 8x 2
x 3
a) 1
d) 4
b) -2
e) 10
c) -1
7. Hallar el término independiente del cociente en:
b) 2
e) 5
b) 4
e) 10
c) 6
12. Al efectuar la división del polinomio P(x) por (x2 + 1),
se obtiene como residuo: (x - 2).
4 x 4 2x3 2x2 1
2x 1
a) 1
d) 4
a) 2
d) 8
Encontrar el residuo de dividir el cubo del polinomio
P(x) entre (x2 + 1).
c) 3
8. Al dividir:
Kx 5 (K 1)x 4 (K2 1) x3 Kx 2 7
Kx 1
a) 8x - 11
d) 11x - 1
b) 11x + 2
e) x - 11
c) 11x - 2
13. Calcule: P( 3 2 )
P( x) ( 3 2 ) x 5 2 2 x3 2 3 7
La suma de coeficientes del cociente es igual al resto.
a) 1
d) 6
Calcule: “K”
a) -7
d) 3
b) -2
e) 5
c) 4
9. Hallar el resto en:
2x 5 6x3 Kx 2 7
x 3
x4 1
b) 3
e) x2 + 1
c) x2
( x 1) 7 (4x 5)2
( x 1)(x 2)
b) 9
e) 3x + 3
a) 81
d) -72
b) -81
e) 0
c) 72
15. Si el resto en: P( x) es 3
x 1
10. Calcular el residuo al dividir:
a) 8
d) 8x - 9
c) 4
14. Determinar el valor de “K” para que el coeficiente del
término lineal del cociente entero valga (-45) en la
división:
x 60 x24 x18 x6 x2 1
a) 4
d) x2 - 1
b) 2
e) 8
Calcule el resto de:
c) 9x + 9
a) 343
d) 9
[P(x)] 4
x 1
b) 36
e) 81
c) 27
0
