Cálculo Integral Integral definida Tercera serie de ejercicios JACP 1. Integrales definidas. 2. Calcule cada una de las siguientes integrales definidas: Z 2 z dz √ 1. 25 − 4z 2 0 Z π/2 2. cos2 α dα 11. Encontrar el área total de la región entre la gráfica de f y el eje x: f (x) = x2 +4x+3, 0 ≤ x≤3 12. Encontrar√el área de la región encerrada por √ la región x + y = 1, x = 0, y = 0. 0 2 Z 3. −1 13. Encontrar el área de la región encerrada por la curva f (x) = 3(x3 − x) con el eje de las abscisas. 2 x dx x+2 14. Encontrar el área de la región encerrada por la curva f (x) = sen2 (2x), desde el origen, hasta su primera intersección con el eje x. π Z p 4. 2 + 2 cos φ, dφ 0 a Z 5. x2 0 3 Z 6. 1 7. 0 Z dx + a2 15. Encontrar el área de la región encerrada por la curva f (x) = 2 − cos(2x), x = 0, y = 0, x = π. Trazar la grfica. (2 − x2 ) dx + 3x2 + 2x x3 1 Z Área entre curvas. 16. Encontrar el área de la región encerrada por la curva g(y) = 3 − y 2 y la cuerda que une los puntos A(−1, −2) y B(2, 1). Trazar la gráfica de la región mostrando un elemento diferencial de área. 5x dx (x + 2)(x2 + 1) 3 dx √ 0 (x + 2) x + 1 R2 R2 9. Si 0 f (x)dx = π, 0 7g(x)dx = 7, R1 g(x)dx = 2, encuentre los valores de las 0 siguientes integrales: 8. a) R2 b) R0 c) R2 d) 0 2 17. Encontrar el área de la región encerrada por las curvas f (x) = −x2 − 4x + 3, g(x) = 2x2 + 2x + 3. Trazar la gráfica. 18. Encontrar el área de la región encerrada por las curvas f (x) = sec2 (x), g(x) = cos(x). Desde x = −π/4 hasta x = π/4 Trazar la gráfica. g(x)dx f (x)dx 19. Encontrar el área de la región encerrada por las curvas f (x) = x4 −2x2 , g(x) = 2x2 . Tazar la gráfica. g(x)dx 1 R2 (g(x) 0 0 − 3f (x))dx Z 20. Encontrar el área de la región encerrada por las curvas x = 4 − y 2 , x = y − 2. Tazar la gráfica de la región mostrando un elemento diferencial de área. x2 10. Encontrar f (x) si f (x) = 2 sen t dt x 1 JACP Cecyt 9 “Juan de Dios Bátiz” 3. Volumenes de sólidos de revolución. 21. Encontrar el volumen del sólido que se genera cuando la superficie encerrada por la elipse y2 x2 a2 + b2 = 1 gira alrededor del eje x. 22. Encontrar el volumen del sólido cuando la superficie anterior gira alrededor del eje y. 23. Encontrar el volumen del sólido formado al girar alrededor de la recta y = 1 la región acotada por f (x) = 2 − x2 y g(x) = 1 24. Encontrar el volumen del sólido formado al girar acotada por las gráficas de y = √ la región x y y = x2 alrededor del eje x. 25. Encontrar el volumen del sólido formado cuando la región anterior gira alrededor del eje x = 1 34. Encontrar la longitud de arco de y = 2x3/2 +3 desde x = 0 hasta x = 8. 35. Encontrar la longitud de arco de y = desde x = 1 hasta x = 2. x4 8 + 4x1 2 36. Encontrar la longitud de arco de x = 13 (y 2 + 2)3/2 en el intervalo 0 ≤ y ≤ 4. 37. Encontrar la longitud de arco de la catenaria y = 21 (ex + e−x ) desde x = 0 hasta x = 2. 38. Encontrar la longitud total de la gráfica de la astroide x2/3 + y 2/3 = 4. √ 39. Encontrar la longitud de arco de x = 31 y(y− 3) en el intervalo 1 ≤ y ≤ 4. 40. Encontrar x la longitud de arco de y +1 ln eex −1 desde x = ln 2 hasta x = ln 3. = 26. Encontrar el volumen del sólido formado cuando la región acotada por f (x) = ln(x), y = 0, x = 1, x = e gira alrededor del eje x. 27. Encontrar el volumen del sólido formado cuando la región anterior gira alrededor del eje y. 28. Encontrar el volumen del sólido formado cuando la región acotada por f (x) = ex , y = 0, x = 0, x = 1 gira alrededor del eje x. 29. Encontrar el volumen del sólido formado cuando la región anterior gira alrededor del eje y. 30. Un fabricante taladra un orificio a través del centro de una esfera de metal de 5 centı́metros de radio. El orificio tiene un radio de 3 centı́metros. ¿Cuál es el volumen del objeto de metal resultante? 4. Longitud de arco 31. Encontrar la longitud de arco de y = desde x = 12 hasta x = 2. x3 6 1 + 2x 32. Encontrar la longitud de arco de y ln(cos x) desde x = 0 hasta x = π4 . = 33. Encontrar la longitud de arco de y = 23 x3/2 +1 desde x = 0 hasta x = 1. Integral definida 2
