Aplicaciones de la integral

Aplicaciones de la integral
Problemas de Cálculo de I.T.I.
1. Calcula el área limitada por la gráfica de f (x) = x2 + 2x y el eje OX sobre el intervalo [-2,2].
2. Halla el área de la región acotada por y = 2x e y = x2 de dos formas distintas (integrando
primero respecto a x y después respecto a y).
3. Calcula el área de la región limitada por las gráficas de y 2 = 1 − x y x = 2y − 2.
4. Halla el valor de c tal que la región limitada por y = 2x, y = 0 y x = 4 esté dividida en dos
regiones de áreas iguales por la recta y = c.
5. Deduce el volumen de una esfera de radio r de tres formas distintas, utilizando el método de
los discos, el de las capas y el de las secciones. Haz lo mismo para un cono circular recto de
radio r y altura h.
6. Sea la región del primer cuadrante acotada por las curvas de ecuación y = x2 , x = 0 e y = 1.
Halla el volumen del sólido de revolución obtenido al girar la región plana anterior alrededor
de:
i) el eje OX
ii) el eje OY
iii) la recta y = 3
iv) la recta x = −1
utilizando el método de los discos o el de las capas.
7. Sea un sólido de base plana y altura h. Supóngase que el área de una sección paralela a x
unidades de la base es c(h − x)2 para x ∈ [0, h] y alguna constante c independiente de x.
Prueba que el volumen del sólido es bh/3 donde b es el área de la base.
8. Se corta una cuña de un tronco (cilı́ndrico) de radio 2 dm dando dos cortes con una sierra
mecánica que llegan hasta el centro del tronco. Si uno de los cortes se hace perpendicular y el
otro formando un ángulo de 30◦ con el primero, ¿qué volumen tendrá la cuña?
9. Se va a diseñar un contenedor de papel para reciclar con la forma de una pirámide truncada,
en la que las bases inferior y superior son cuadrados de lado 100 y 60 cm, respectivamente.
¿Qué altura debe tener el contenedor para que su volumen sea exactamente un metro cúbico?
10. Se taladra una esfera de radio R por uno de sus diámetros con una broca de radio r. Halla el
volumen de la esfera taladrada.
Test Aplicaciones de la integral
Problemas de Cálculo de I.T.I.
1. El área de la región encerrada por las curvas y = x e y = x3 es igual a
1
2
a) √
b)
2
5
c) − 7
d) 1
√
2. El volumen del sólido generado al girar la región limitada por y = x, y = 0 y x = 4 alrededor
del eje OX es
8
a) π
b) 8
3
c) 23
d) 8π
3. El volumen del sólido generado al girar la región limitada por y = x2 e y = 1 alrededor de la
recta x = 2 es igual a
1
a) π
b)
2
16π
c) π 2
d)
3
4. Se considera la región determinada por la gráfica de f (x) =
{x ∈ IR : x ≥ 1}. Entonces,
1
x
sobre la semirrecta
a) la región tiene área finita
b) el sólido obtenido al girar alrededor del eje OX tiene volumen finito igual a π
c) el sólido obtenido al girar alrededor del eje OX no tiene volumen finito
d) ninguna de las anteriores