CIIP2-S1-2010sol.pdf

UNIVERSIDAD DEL VALLE
Departamento de Matemáticas
Solucionario Segundo Parcial Cálculo II A – Abril 22 de 2010
1.- a) Sea f (x) = 5x2 definida sobre I = [1, 3]. Defina una partición regular P del
intervalo con 5 subintervalos (n = 5). Determine la suma de Riemann correspondiente a
dicha partición regular P, tomando x∗i = xi (extremo derecho del intervalo [xi−1 , xi ]).
Notemos que ∆i x = 3−1
= 25 . Entonces x0 = 1, x1 = 75 , x2 = 95 , x3 = 11
, x4 =
5
5
x5 = 3. Por lo tanto, la suma de Riemann correspondiente es
5
X
49 81 121 169 225
2
∗
S=
f (xi )∆i x = 5
+
+
+
+
= 2(645) = 1290.
25 25
25
25
25
5
i=1
4
13
5
y
b) Encuentre la longitud de la curva C determinada por la gráfica de y = x16 + 2x12 sobre
el intervalo [1, 2].
3
Primero observemos que dy/dx = x4 − x13 . Por lo tanto,
3
3
2
2
2
x
1
1
x6 1
1
x
1
dy
x6 1
=1+
− 3
− +
=
+ +
=
+ 3
1+
=1+
dx
4
x
16 2 x6
16 2 x6
4
x
q
3
dy 2
= x4 + x13 , para x > 0. Utilizando esto,
Es decir que 1 + dx
s
2
4
Z 2
Z 2 3
dy
1
1 2 21
x
x
L(C) =
1+
+ 3 dx =
−
dx =
= .
dx
4
x
16 2x2 1 16
1
1
2.- Utilice el Teorema Fundamental del Cálculo en los siguiente problemas
a) Suponga que f es una función diferenciable en R y F está definida como
Z y
s2 f (s) ds.
F (y) =
0
0
00
Si f (1) = 0 y f (1) = 1, verifique que F (1) = 1.
Del TFC, F 0 (y) = y 2 f (y). Por lo tanto, F 00 (y) = 2yf (y) + y 2 f 0 (y). Ası́ que
F 00 (1) = 2f (1) + f 0 (1) = 1.
b) Encontrar una función continua f para z > 0 tal que
Z z3
Z 1√
√
3
(5 + t)f (t) dt +
1 + t3 dt = 5z 2
2
2z
Derivando en ambos lados y aplicando el TFC,
√
√
10z + 2 1 + 8z 3
3
3
3z (5 + z)f (z ) − 2 1 + 8z = 10z ⇔ f (z ) =
3z 2 (5 + z)
2
3
Es decir que f tiene la forma f (t) =
√
√
3
10 √
t+2 1+8t
√ .
3( 3 t)2 (5+ 3 t)
1
Para los siguientes problemas considere las funciones definidas como
y = (x − 2)2 e y = 2x − 4 (cortes: x = 2, x = 4)
3.- Sea R la región limitada por las gráficas dadas sobre el intervalo [2, 3]. Exprese (NO
CALCULE) el área A(R) como una integral en términos de las variables x e y.
a.- A(R) con respecto a x.
Z 3
([2x − 4] − [(x − 2)2 ]) dx.
A(R) =
2
b.- A(R) con respecto a y. Primero despejemos x en términos de y en ambas ecuaciones.
y
√
y = (x − 2)2 ⇔ x = 2 ± y, − − y = 2x − 4 ⇔ x = + 2.
2
Por la tanto, si x varı́a en [2, 3], entonces y varı́a de [0, 2]. Notemos que la altura cambia
de [0, 1] a [1, 2]. Entonces
Z 1
Z 2
hy
i
hy
i
√
A(R) =
[2 + y] −
+ 2 dy +
3−
+ 2 dy
2
2
0
1
4.- Sea R1 la región limitada por las gráficas dadas. Exprese (NO CALCULE) el
volumen del sólido de revolución S1 al rotar la región R1 alrededor del eje y = −2
mediantes secciones transversales.
Z
4
2
π (re ) − (ri )
V (S) =
2
Z
4
π [2 + (2x − 4)]2 − [2 + (x − 2)2 ]2 dx
dx =
2
2
Z
=
4
π [2x − 2]2 − [2 + (x − 2)2 ]2 dx
2
5.- Sea R1 la región limitada por las gráficas dadas. CALCULE el volumen del sólido
de revolución S2 al rotar R alrededor del eje x = −2, utilizando el método de capas
cilı́ndricas.
Z 4
Z 4
V (S) =
2π(radio)(altura) dx =
2π(x + 2) [2x − 4] − [(x − 2)2 ] dx
2
2
Z 4
=
2π(x + 2) 2x − 4 − [x2 − 4x + 4] dx
2
Z 4
=
2π(x + 2) −x2 + 6x − 8 dx
2
Z 4
= 2π
−x3 + 4x2 + 4x − 16 dx
2
4
1 4 4 3
2
= 2π − x + x + 2x − 16x 2
4
3
2
6.- Sea R1 la región limitada por las gráficas dadas. CALCULE el volumen del sólido
de revolución S3 al rotar R alrededro del eje x = 6, utilizando secciones transversales.
Recordemos que
y
√
y = (x − 2)2 ⇔ x = 2 ± y, − − y = 2x − 4 ⇔ x = + 2.
2
Por la tanto, si x varı́a en [2, 4], entonces y varı́a de [0, 4].
Z 4 h
Z 4
y
i2
√ 2
2
2
π 6−
π (re ) − (ri ) dy =
+2
V (S) =
− [6 − (2 + y)] dy
2
0
0
Z 4 h
y i2
√ 2
=
π 4−
− [4 − y] dy
2
0
Z 4 y2
√
=
π 16 − 4y +
− [16 − 8 y + y] dy
4
0
Z 4 2
y
√
+ 8 y − 5y dy
=
π
4
0
3
y
16 3/2 5 2 4
+ y − y
=π
0
12
3
2
3