UNIVERSIDAD DE COSTA RICA
FACULTAD DE CIENCIAS
ESCUELA DE MATEMÁTICA
II Ciclo de 2015
MA–1003 Cálculo III
04 de diciembre de 2015
Tercer Examen Parcial
Este es un examen individual, de desarrollo, por lo tanto debe mostrar todos los cálculos y
razonamientos. El examen consta de 5 preguntas, cada una con un valor de 20 puntos. El
tiempo para realizarlo es de tres horas. Si escribe con lápiz, puede afectar su derecho a
reclamar. Se permite el uso de calculadora no programable.
Z
1. Hallar
~F · d~r , donde ~F (x, y) =
C
x
3
,
y
, a lo largo de la curva definida por
3
(x2 +y2 ) 2 (x2 +y2 ) 2
C :~r (t) = (et cost, et sent), del punto P(1, 0) al punto Q(e2π , 0). [[ Indicación: Aplique un
procedimiento sistemático para determinar f tal que ∇ f = ~F . ]]
2. Hallar el área de la porción del plano 2x + 3y + 4z = 28 que se encuentra sobre una región
simple y acotada D del plano xy, si se sabe que el área de esta región es A(D) = 1003.
Z
3. Calcular
puntos:
x3 senh x5 dx + 4x dy siendo C la unión de los segmentos de recta entre los
C
A(−1, 0), B(2, 0), C(2, 1), D(1, 2), E(−1, 2), F(−2, 1), G(−2, −1), H(−1, −1),
siguiendo ese orden.
[[ Indicación: Considerar la integral de lı́nea a lo largo del segmento que va de H a A y
relacionar con el Teorema de Green ]]
4. Usar el Teorema de Stokes para calcular la integral de lı́nea:
Z
I=
(tan x + z2 ) dx + (x2 + cos y) dy + (y2 + ez ) dz
C
en donde S es la superficie cuya frontera es C :
x+z = 2
. La curva C se recorre de
y2 = 2xz
forma tal que, vista desde el origen, el sentido de giro es el del movimiento de las agujas del
reloj.
5. Sea ~F (x, y, z) = xy~i + y2~j + yz~k . Verificar el Teorema de la Divergencia para el sólido T
limitado por las superficies:
z = 0,
y = 0,
con ~n el vector normal unitario exterior.
y = 2,
z = 1 − x2
0
