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funion cuadratica clase 1

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GUÍA 1
ANALICEMOS LOS CAMBIOS
Modificando los coeficientes de la función
Como ya sabes, la forma general de la función cuadrática es y = ax 2 + bx + c . Al modificar los
coeficientes, a, b y c, podemos ir generando diferentes funciones y a la vez diferentes
comportamientos gráficos.
Las acciones a realizar en esta guía te invitan a conocer , graficar y analizar lo que
sucede al modificar algunos valores pertenecientes a diferentes funciones
cuadráticas, utilizando el software gráfico Graphmatica.
Un primer acercamiento a GeoGebra
Una vez ejecutado el software, para ingresar una función debes escribir
la expresión en la celda "entrada" como muestra la figura.
Por ejemplo, para ingresar la función x2 debes digitar x seguido del botón
tal como se muestra en la figura.
Luego para que el gráfico se dibuje, presiona la tecla ENTER o el botón
y obtendrás el gráfico de la función ingresada.
Ahora comenzaremos a trabajar con el software Geo Gebrasobre
función cuadrática de la forma:
la
y = ax 2 , con a perteneciente al conjunto de los números reales (IR), matemáticamente: con a
y b = c = 0 ; y observa el comportamiento de los gráficos resultantes.
IR,
Entonces, sin borrar el gráfico obtenido anteriormente, escribe en la línea de ingreso y = 2x 2, y
presiona la tecla “Enter”, de la misma manera continua graficando, en un mismo plano, las funciones
y = 3x 2 , y = 4x 2 , y = 5x 2 , y = 30 x 2 . Observa lo que sucede con los gráficos de las funciones.
En el plano cartesiano que se encuentra a continuación, esboza con distintos colores los gráficos
obtenidos con el software, distinguiendo la expresión algebraica en cada caso, y responde las preguntas
que se presentan a continuación.
50
Unidad: Función Cuadrática y raíz cuadrada
• ¿Qué sucede con los distintos gráficos al ir aumentando el valor del coeficiente numérico a de
la función cuadrática de la forma y = ax 2 ?
• ¿Qué sucede gráficamente si el coeficiente a = 0 ?
Trabajemos con otros valores
A continuación limpia la pantalla , con la opción Borrar todo del menú con el botón
que se
encuentra en la esquina superior izquierda. Deja el plano sin gráficos y escribe en la línea de
entrada las funciones y = x 2; y = 0,7x 2; y = 0,5x 2 ; y = 0,2x2 ; y = 0,1x2 ; y = 0,02x2 e y = 0,009x2 .
Unidad: Función Cuadrática y raíz cuadrada
51
• Observando las funciones anteriores, ¿entre qué valores se encuentra el coeficiente a de la
función y = ax 2 ?
• En el plano cartesiano que se encuentra a continuación, esboza con distintos colores los gráficos
obtenidos con el software, distinguiendo la expresión algebraica en cada caso, y responde la
pregunta que se presenta a continuación.
• ¿Qué sucede con los gráficos de las funciones cuando el coeficiente numérico a de la función
y = ax 2 va disminuyendo sin llegar a ser negativo?
Ahora con los negativos
52
Nuevamente limpia la pantalla e ingresa las siguientes funciones y = x 2 , y = -x 2 , y = 3x 2 ,
y = -3x 2 , y = 0,8x 2 , y = -0,8x 2 . Observa los gráficos de las funciones que han resultado.
Unidad: Función Cuadrática y raíz cuadrada
En el plano cartesiano que se encuentra a continuación, esboza con distintos colores los gráficos
obtenidos con el software, distinguiendo la expresión algebraica en cada caso, y responde la pregunta
que se presenta a continuación.
• ¿Hacia donde se encuentra orientada la abertura del gráfico cuando el coeficiente a es positivo?
¿Y si es negativo?
2
Para resumir, marca la orientación del gráfico de la función y = ax , de acuerdo a las condiciones
que se presentan a continuación.
Si a > 0, es decir, si a es positivo
Si a < 0, es decir, si a es negativo
Unidad: Función Cuadrática y raíz cuadrada
53
Observemos el desplazamiento
Limpia la pantalla de Graphmatica. Ahora trabajarás con funciones de la forma y = x 2 + k .
Ingresa las siguientes funciones y = x 2 4 , y = x 2 3 , y = x 2 2 , y = x 2 1 y y = x 2 .
Observa los gráficos de las funciones que han resultado.
¿Hacia dónde se desplaza el gráfico de la función de la forma y = x 2 + k , cuando el coeficiente
k es negativo?
!
2
2
2
2
Ingresa las siguientes funciones y = x + 1 , y = x + 2 , y = x + 3 y y = x + 4 . Observa los
gráficos de las funciones que han resultado.
¿Hacia dónde se desplaza el gráfico de la función de la forma y = x 2 + k , cuando el coeficiente
k es positivo?
!
!
El desplazamiento del gráfico de la función y = x 2 + k es en forma:
Horizontal
!
Vertical
Diagonal
El desplazamiento del gráfico se realiza sobre el eje:
X
Y
En el siguiente plano cartesiano, esboza con distintos colores los gráficos obtenidos con el software,
distinguiendo las expresiones algebraicas de cada uno de ellos.
54
Unidad: Función Cuadrática y raíz cuadrada
Otra forma de desplazamiento
2
Limpia la pantalla y trabaja con las funciones cuadráticas de la forma y = (x h ) . Ingresa las
2
2
2
2
siguientes funciones cuadráticas: y = (x 4) , y = (x 3) , y = (x 2) , y = (x 1) y y = x 2 .
Observa los gráficos de las funciones que han resultado.
2
• ¿Hacia dónde se desplaza el gráfico de la función cuadrática de la forma y = (x h ) , cuando
el coeficiente h es positivo?
Ingresa las siguientes funciones cuadráticas:: y = (x + 1) 2, y = (x + 2 ) 2, y = (x + 3) 2 y
2
y = (x + 4 ) . Observa los gráficos de las funciones que han resultado.
Unidad: Función Cuadrática y raíz cuadrada
55
• ¿Hacia dónde se desplaza el gráfico de la función de la forma y = (x h ) 2 , cuando el coeficiente
h es negativo?
2
• El desplazamiento del gráfico de la función y = (x h ) es en forma:
Horizontal
Vertical
Diagonal
2
• El desplazamiento del gráfico de la función y = (x h ) se realiza sobre el eje:
X
Y
• En el siguiente plano cartesiano que se encuentra a continuación, esboza con distintos colores los
gráficos obtenidos con el software.
56
Unidad: Función Cuadrática y raíz cuadrada
La forma canónica de una función de segundo grado
2
2
Haz trabajado hasta el momento con tres formas de funciones cuadráticas: y = ax , y = x + k ,
2
y = (x h ) , si combinas estas tres formas, tienes la posibilidad de graficar cualquier función
cuadrática. Esta expresión de la función cuadrática es conocida como la forma canónica de la
función cuadrática.
2
y = a(x h ) + k
2
A continuación analiza el comportamiento de la función y = a(x h ) + k , con el applet (parabolavariacion2.html) que se encuentra disponible para esta sección de la guía de trabajo.
!
En caso de utilizar el applet mencionado anteriormente, mueve los deslizadores que representan
los valores en cada función cuadrática, de acuerdo a las formas canónicas siguientes.
2
d)
y = 3(x 2 )
(x + 1) 2 6
2
2(x 4) + 3
e)
y = 0, 2(x + 3)
f)
y = 2(x 0,5) + 5
a)
y = (x + 5) + 2
b)
y=
c)
y=
2
4
2
3
2
A continuación anota cada uno de los coeficientes de las funciones cuadrática.
a) a =
h=
k=
d) a =
h=
k=
b) a =
h=
k=
e) a =
h=
k=
c) a =
h=
k=
f) a =
h=
k=
• De lo observado en el trabajo con el applet de las variaciones de los coeficiente a, h y k, sobre
las funciones cuadráticas de la forma y = a(x h ) 2 + k . ¿Qué sucede al variar el valor de a?
!
¿Qué sucede al variar el valor de k en las respectivas funciones cuadráticas?
Unidad: Función Cuadrática y raíz cuadrada
57
• ¿Qué sucede al variar el valor de h en las respectivas funciones cuadráticas?
• Con tus propias palabras, qué podrías decir de lo que sucede gráficamente en el punto (h, k).
2
• De acuerdo a la forma canónica y = a(x h ) + k de la función cuadrática, y lo realizado hasta
el momento, a continuación anota las coordenadas del punto (h, k) en cada una de las funciones.
(h, k)
2
a) y = 2(x 4 ) + 3
2
b) y = (x + 5) + 2
c) y = 3(x 2 )
2
d) y = 0, 2(x + 3)
4
2
3
El vértice de la parábola
Como se pudo observar gráficamente, el punto (h, k) es conocido como el vértice de la parábola y
es factible de obtener de la función cuadrática expresada en su forma canónica y = a(x h ) 2 + k .
58
Unidad: Función Cuadrática y raíz cuadrada
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