Feb 01
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TEORIA T1.T2.T3.T4.- Matriz de una aplicación lineal y cambios de bases. Enunciado y demostración del teorema de Cayley-Hamilton. Obtención de las ecuaciones normales. Diagonalización de una forma cuadrática real mediante una matriz ortogonal. PROBLEMAS P1.- Obténgase la descomposición LU de la siguiente matriz de orden n 1 1 1 1 ... 1 1 2 2 ... 2 2 1 2 3 ... 3 3 A ... ... ... ... ... ... 1 2 3 ... n 1 n 1 1 2 3 ... n 1 n y como consecuencia hállese el determinante de A. P2.-- Se considera R2[t], el espacio vectorial de polinomios de grado a lo sumo dos, con coeficientes reales en la variable t. Se consideran así mismo sendas bases B = 1, 1-t, (1-t)2 y B' = 1, 1+t, (1+t)2. Si a, 2, c son las componentes de un polinomio en la base B, y 17, b, 3 son las componentes del mismo polinomio en la base B', ¿cuáles son sus componentes en la base natural? P3.- Una transformación lineal f de R3x1 transforma e1 en e2, e2 en e3 y e3 en e1. Se pide hallar la matriz que la representa en la base e1+e2+e3, e1+e2, e1. P4.- Se quiere proyectar ortogonalmente el vector x = [1 1 3]T de R3x1 sobre el subespacio F cuyos vectores son de la forma ab u a b , a, b R a b Hállese la citada proyección de x mediante la matriz de proyección ortogonal sobre F = R(A), siendo A una matriz cuyas columnas forman una base de F. P5.- Estúdiese la forma cuadrática real, en las variables x, y, z x2 +a2y2 +b2z2 +2axy +2bxz +2abyz, en función de los parámetros a y b. Nota: Solamente rango, signatura y clasificación. P6.- Para resolver el sistema no lineal de 2 ecuaciones con dos incógnitas reales 12 22 2 , 21 2 2 se observa que los dos primeros miembros son formas cuadráticas en las variables la segunda de las cuales está sin diagonalizar. Para resolverlo se diagonaliza la segunda forma cuadrática, se resuelve a continuación el sistema en las nuevas variables y finalmente los resultados obtenidos se dan en las variables iniciales. Hállese por este procedimiento las soluciones del sistema no lineal inicial.
