Feb 01

TEORIA
T1.T2.T3.T4.-
Matriz de una aplicación lineal y cambios de bases.
Enunciado y demostración del teorema de Cayley-Hamilton.
Obtención de las ecuaciones normales.
Diagonalización de una forma cuadrática real mediante una matriz ortogonal.
PROBLEMAS
P1.-
Obténgase la descomposición LU de la siguiente matriz de orden n
1 
 1 1 1 ... 1
 1 2 2 ... 2
2 

 1 2 3 ... 3
3 
A

... 
... ... ... ... ...
 1 2 3 ... n  1 n  1


 1 2 3 ... n  1 n 
y como consecuencia hállese el determinante de A.
P2.-- Se considera R2[t], el espacio vectorial de polinomios de grado a lo sumo dos, con
coeficientes reales en la variable t. Se consideran así mismo sendas bases
B = 1, 1-t, (1-t)2
y
B' = 1, 1+t, (1+t)2.
Si a, 2, c son las componentes de un polinomio en la base B, y 17, b, 3 son las
componentes del mismo polinomio en la base B', ¿cuáles son sus componentes en la base
natural?
P3.- Una transformación lineal f de R3x1 transforma e1 en e2, e2 en e3 y e3 en e1. Se pide
hallar la matriz que la representa en la base e1+e2+e3, e1+e2, e1.
P4.- Se quiere proyectar ortogonalmente el vector x = [1 1 3]T de R3x1 sobre el
subespacio F cuyos vectores son de la forma
 ab 
u   a  b , a, b  R
 a  b 
Hállese la citada proyección de x mediante la matriz de proyección ortogonal sobre F =
R(A), siendo A una matriz cuyas columnas forman una base de F.
P5.-
Estúdiese la forma cuadrática real, en las variables x, y, z
x2 +a2y2 +b2z2 +2axy +2bxz +2abyz,
en función de los parámetros a y b. Nota: Solamente rango, signatura y clasificación.
P6.- Para resolver el sistema no lineal de 2 ecuaciones con dos incógnitas reales

12   22  2
,
21 2  2
se observa que los dos primeros miembros son formas cuadráticas en las variables
 la segunda de las cuales está sin diagonalizar. Para resolverlo se diagonaliza la
segunda forma cuadrática, se resuelve a continuación el sistema en las nuevas variables y
finalmente los resultados obtenidos se dan en las variables iniciales. Hállese por este
procedimiento las soluciones del sistema no lineal inicial.