Demostración de los Vértices de una Función

Demostración de los Vértices de una Función Cuadrática.
La gráfica de la función Cuadrática general puede bosquejarse mediante el
procedimiento más directo de expresar la función cuadrática en términos de cuadrado de
una función lineal. Consideremos
( )=
+
+ .
Sacando Factor Común a y agrupando los términos en x2 y x, tenemos
( )=
+
+
.
Recordando la ecuación de algebra de productos especiales ( ± ) ≡
± 2 +
2
2
debemos sumar (b/2a) a x + (b/a)x para completar el cuadrado perfecto; luego,
sumando y restando b 2/4a 2 dentro de los paréntesis angulares,
( )=
+
+
+
4
−
4
,
Y simplificando, tenemos
( )=
+
+
4
−
4
.
Puesto que (x + b/2a)2 ≥ 0, la expresión entre paréntesis angulares toma su valor
mínimo cuando x = -b/2a. Si a ˃ 0, también la función toma su valor mínimo cuando x
= -b/2a; este valor de la función, (4ac – b2) / 4a se llama su mínimo. Si a ˂ 0, la
función toma su valor máximo cuando x = -b/2a; este valor se llama su máximo y es
también igual a (4ac – b 2) / 4a. En ambos caso, el punto
− 4 −
,
2
4
Recibe el nombre de Vértice de la parábola. Una vez ubicados este punto y uno o dos
puntos adicionales puede bosquearse la gráfica.
Bibliografía.
Protier – Morrey. Análisis Matemático No 8000 (Español e Inglés). 1977, pág: 185
Elaborado por: Gabriel Rafael Lacayo Saballos
e-mail: [email protected]
29 de Agosto de 2010.