ESTUDIO DE LA FUNCIÓN CUADRATICA

ESTUDIO DE LA FUNCIÓN CUADRATICA
Una función cuadrática es de la forma: f(x) = ax2 + bx + c; siendo “a”,
“b” y “c”, números reales, donde “a” debe ser diferente de cero.
Sin importar los valores de “a”, “b” y “c”, el gráfico de una función
cuadrática es una parábola.
Concavidad
Para determinar si la gráfica de la función es cóncava hacia abajo o hacia
arriba, se toma en cuenta el valor de “a”:
1. Si “a” > 0, entonces el gráfico función es cóncava hacia arriba.
2. Si “a” < 0, entonces el gráfico de la función es cóncavo hacia abajo.
Cóncava hacia abajo
Corte con el eje “Y”
Para determinar el corte con el eje “y”, se usa el par ordenado ( 0 , c ).
Ejemplo:
Determine el corte con el eje “y” de cada una de las siguientes funciones
cuadráticas:
A)
f ( x)  3x 2  5x  4
_________________
B)
g ( x)   x 2  8x  10
_________________
C)
h( x ) 
1
 6 x  10 x 2
2
_________________
Corte con el eje “X”
Para determinar el corte con el eje “x”, se resuelve la función como una
ecuación de segundo grado, siendo x1 y x2 (las soluciones de la ecuación), los
puntos donde corta al eje “x”, siendo los pares ordenados:
ax2 bx  c  0
 X 1 ,0
 X 2 ,0
Debemos considerar para los cortes con el eje “X” lo siguiente:
1. Cuando el discriminante de la función cuadrática es mayor que cero,
corta el eje “x” en dos puntos diferentes.
Ejemplo.
Determine los cortes con el eje “x” de las siguientes funciones
cuadráticas:
A)
f ( x)  x 2  2x  3
_______________________________
B)
f ( x)  2x 2  9x  5
_______________________________
C)
f ( x)  x 2 
1
1
x
2
2
_______________________________
2. Cuando el discriminante es cero, corta al eje “x” en solo un punto.
Ejemplo.
Determine los cortes con el eje “x” de las siguientes funciones
cuadráticas:
A)
f ( x)  x 2  2x  1
_______________________________
B)
g ( x)  9x 2  6 x  1
_______________________________
C)
h( x)  25x 2  20x  4
_______________________________
3. Cuando el discriminante es menor a cero, no corta el eje “x”.
Ejemplo.
Determine los cortes con el eje “x” de las siguientes funciones
cuadráticas:
A)
g ( x)  x 2  x  4
_______________________________
B)
d ( x)  2 x 2  3x  19
_______________________________
C)
h( x)  4x 2  5x  15
_______________________________
Eje de Simetría.
El eje de simetría, es el punto medio de los dos valores que determinan
el corte con el eje “x”. Se obtiene utilizando la siguiente fórmula:
b
2a
Ejemplo.
Determine el eje de simetría de las siguientes funciones cuadráticas:
A)
g ( x)  x 2  x  4
_______________________________
B)
d ( x)  2 x 2  3x  19
_______________________________
C)
h( x)  4x 2  5x  15
_______________________________
Nota: El eje de simetría se utiliza para determinar los intervalos donde
la función cuadrática es estrictamente creciente o estrictamente decreciente.
Vértice
El vértice es el par ordenado, que determina el punto máximo o mínimo
de la función cuadrática, según sea su concavidad. Se determina por el
siguiente par ordenado:
b 
,


 2 a 4a 
Ejemplo.
Determine el vértice de cada una de las siguientes funciones
cuadráticas, e indique si el mismo, es punto mínimo o máximo.
A)
f ( x)  x 2  2x  1
_______________________________
B)
g ( x)  9x 2  6 x  1
_______________________________
C)
h( x)  25x 2  20x  4
_______________________________
Ambito de la Función Cuadrática.
El ámbito de la función cuadrática se determina utilizando la coordenada
“y” del vértice y tomando en cuenta su concavidad.
Ejemplo.
Determine el ámbito de las siguientes funciones cuadráticas:
A)
g ( x)  x 2  x  4
_______________________________
B)
d ( x)  2 x 2  3x  19
_______________________________
C)
h( x)  4x 2  5x  15
_______________________________
Intervalos donde la función cuadrática es Estrictamente Creciente y
Estrictamente Decreciente.
Para determinar el intervalo donde una función cuadrática crece o
decrece, se debe tomar en cuenta su concavidad y la coordenada “x” del
punto vértice.
Ejemplo.
Determine los intervalos donde cada función cuadrática es
estrictamente creciente y estrictamente decreciente.
A)
f ( x)  x 2  2x  1
_______________________________
B)
g ( x)  9x 2  6 x  1
_______________________________
C)
h( x)  25x 2  20x  4
_______________________________