Subido por Claudia Luarca

222453 3-Unidad-2-Tipos-de-ed-orden-1

Anuncio
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
FACULTAD DE C. NAT, MATEMÁTICAS Y DEL M. AMB.
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
LIDIA ORTEGA SILVA
UNIDAD 2: TIPOS DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS DE PRIMER
ORDEN
Estudiaremos los siguientes tipos de ecuaciones diferenciales de primer orden:
1.2.3.4.5.6.7.8.-
Ecuaciones diferenciales de variables separables
Ecuaciones diferenciales homogéneas
Ecuaciones diferenciales con coeficientes lineales
Ecuaciones diferenciales exactas
Ecuaciones diferenciales lineales
Ecuaciones de Bernoulli
Ecuaciones de Riccati
Ecuaciones de Clairaut
Las aplicaciones de estas ecuaciones diferenciales las podremos apreciar en la solución de
problemas del tipo: geométricos, físicos, químicos, mecánicos y circuitos eléctricos.
Forma general de una ecuación diferencial ordinaria de primer orden
dy
= F(x, y)
dx
que se puede llevar a la forma
M (x,y) dx + N(x,y) dy = 0
1.- Ecuaciones diferenciales de variables separables
Si la ecuación diferencial de 1er orden puede escribirse de la forma
M (x) dx + N (y) dy = 0
Entonces se puede integrar cada sumando para obtener la solución:

M (x) dx +  N (y) dy = C
En este caso decimos que la ecuación diferencial es del tipo de variable separables.
Ejemplo
Resolver la ecuación diferencial 2xy’ = y
Respuesta
dy
dy dx
2x
=y

2

dx
y
x
 2 ln |y| = ln |x| + c
11
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
FACULTAD DE C. NAT, MATEMÁTICAS Y DEL M. AMB.
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
LIDIA ORTEGA SILVA
ln y2 = ln| x |+ ln| c|
ln y2 = ln| x c|
y2 = x c
Solución general
(Familia de parábolas)
Ejercicio:
Resolver la ecuación diferencial:
dy
xy  3x  y  3

dx xy  2 x  4 y  8
2.- Ecuación diferencial homogénea
Definición
Una función f(x, y) se llama homogénea de grado n, si f(x, y) = n f(x, y), n  0,   0
Ejemplo 1 :
Sea f(x, y) = x3 y – y4 + x2 y2
f ( x, y) = (x)3 y – (y)4 + (x)2 (y)2
= 4 x3y - 4 y4 + 4 x2 y2
= 4 (x3 y – y4 + x2 y2) = 4 f(x, y)
 f es homogénea de grado 4.
Ejemplo 2 :
x
f(x, y) = sen  
 y
 x 
x
f(x, y) = sen   = sen   = f (x, y) = 0 f (x, y)
 y 
 y
 es homogénea de grado 0.
12
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
FACULTAD DE C. NAT, MATEMÁTICAS Y DEL M. AMB.
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
LIDIA ORTEGA SILVA
Definición
Una ecuación diferencial M(x, y) dx + N (x, y) dy = 0 es homogénea si M y N son funciones
homogéneas del mismo grado.
Observaciones:
1.- Esta ecuación puede escribirse en la forma:
dy
M ( x, y )

dx
N ( x, y )
, es decir,
dy
 F ( x, y )
dx
donde F (x, y) es una función homogénea de grado 0.
2.- La sustitución
y=vx
dy = v dx + x dv
convierte a la ecuación diferencial homogénea en una de variables separables.
Ejemplo
Resolver la ecuación diferencial: x + y – (x – y) y’ = 0
Solución
Llevándola a la forma M(x, y) dx + N (x, y) dy = 0 se tiene (x + y) dx – (x – y) dy = 0
M (x, y) = x + y
N (x, y) = x – y
 M y N son funciones homogéneas de grado 1
Reemplazando
y = vx
y
dy = vdx + x dv en la ecuación, se tiene:
(x + vx) dx - (x – vx ) (v dx + x dv) = 0
(x +vx – xv + v2 x) dx - (x2 – vx2) dv = 0
x (1 + v2) dx - x2 (1 – v) dv = 0
x (1 + v2 ) dx = x2 (1 – v) dv.
dx dv(1  v)

(variables separables)
x
1 v2
1
ln |x| = arctg v ln (1 + v2) + c
2
ln |x| + ln (1 + v2)1/2 = arctg v + c

y2 
 y
1  2  = arctg   + c
x 
x

 y
x 2  y 2 = arctg   + c
x
ln |x| + ln
ln
Observe que la solución general de esta ecuación diferencial homogénea ésta dada en forma
implícita.
13
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
FACULTAD DE C. NAT, MATEMÁTICAS Y DEL M. AMB.
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
LIDIA ORTEGA SILVA
Ejercicio:
Resolver la ecuación diferencial:
dy y
 y
  cosh   ,
dx x
x
3..- Ecuaciones diferenciales con coeficientes lineales
Forma general:
(ax + by + c) dx + (ex + fy + g) dy = 0
Solución:
a) Si las rectas ax + by + c = 0
se puede hacer la sustitución:
u= x–h
v=y–k
x=u+h
y=v+k
y (1)  0
a, b, c, e, f, g constantes.
y ex + fy + g = 0 se intersectan en un punto (h, k), entonces
dx = du
dy = dv
y se tiene :
(a u + a h + b v + b k + c) du + (eu + eh + fv + fk + g) dv = 0
que resulta ser una ecuación diferencial homogénea que puede resolverse como se indicó
anteriormente, pues ah + bk + c = 0 y eh + fk + g = 0, luego
(au + bv) du + (eu + fv) dv = 0
b) Si las rectas ax + by + c = 0 y ex + fy + g = 0 son paralelas, el método anterior no se
puede aplicar, pero la sustitución
u = ax + by
du = adx + bdy
a e
da origen a una ecuación diferencial de variables separables, pues en este caso , 
b f
(las pendientes son iguales).
Ejemplo
Resolver la ecuación diferencial: (2x – y – 4) dx - (x – 2y + 1) dy = 0
Solución
2x – y – 4 = 0
2x – y – 4 = 0
 3y – 6 = 0  y = 2 ,
x – 2y + 1 = 0
 - 2x + 4y – 2 = 0
x=3
 (h, k) = (3, 2).
Sea x = u + 3
, y = v + 2, dx = du, dy = dv, sustituyendo en la ecuación diferencial
se tiene
2 (u + 3) – (v + 2) - 4 du - u + 3 – 2 (v + 2) + 1 dv = 0
2u - v du - u – 2v dv = 0 (ec. dif. Homogénea)
Sea
v = tu
dv = t du + u dt
14
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
FACULTAD DE C. NAT, MATEMÁTICAS Y DEL M. AMB.
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
LIDIA ORTEGA SILVA
Reemplazando se obtiene de ecuación diferencial de variables separables.
2u – tu  du - u – 2t u  t du + u dt = 0
2u – tu - tu + 2t2 u du - u2 – 2 tu2  dt = 0
u ( 2 – 2t + 2t2 ) du - u2 (1 – 2t) dt = 0
2u (1 – t + t2) du = u2 (1 – 2t) dt
du
(1  2t )
dt ( ec. dif. de variables separables )
2u 2 
u
1 t  t2)
2 ln u = - ln 1  t  t 2 + ln c
u2 =
pero u = x – 3,
c
1 t  t2
v y2

t=
u x3
c
 (x – 3)2 =
1
y 2  y 2
1


x3  x3
c
=
2
( x  3)  ( y  2)( x  3)  ( y  2) 2
2
(x – 3)2 – (4 – 2) (x – 3) + (4 – 2)2 = c
Luego, la solución general es
Ejercicio:
Resolver la ecuación diferencial:
x2 – 4x + y2 – y – xy = c.
dy 1  x  y

dx
x y
4) Ecuaciones diferenciales exactas
Son ecuaciones diferenciales de la forma
Con la condición:
M (x, y) dx + N (x, y) dy = 0
N M

x
y
La solución general de esta ecuación es una función
F (x, y) = c
tal que
F
M
x
ya que en tal caso la ecuación :
y
F
N
y
, pues
F
F
dx 
dy  0
x
y
15
 2 F M
 2 F N
y


yx y
xy x
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
FACULTAD DE C. NAT, MATEMÁTICAS Y DEL M. AMB.
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
LIDIA ORTEGA SILVA
 F = cte.
corresponde a la ecuación diferencial dF = 0
En general, para determinar F se resuelve el sistema
F
= M
 F =  M dx +  (y)
x


F
= N
   Mdx  + ’ (y) = N
y
 y

De esta manera se determina ’(y) e integrando se obtiene (y) con lo cual se determina F(x, y).
Ejemplo
Resolver la ecuación diferencial:
Respuesta:
M = (y + y cos (xy))
(y + y cos (xy)) dx +
(x + x cos (xy)) dy = 0
y N = (x + x cos (xy))
M
= 1 + cos (xy) - yx sen (xy) ,
y
N
M

=
(es exacta)
x
y
F
= y + y cos (xy)
x
F
= x + x cos (xy)
y

N
= 1 + cos (xy) - xy sen (xy)
x
F=
 ( y  y cos( xy))dx   ( y)
y
sen (xy) +  (y)
y
F = xy + sen (xy) +  (y)
F = yx +
F
= x + x cos (xy) + ’ (y) = x + x cos (xy)
y
 ’ (y) = 0   (y) = c1
 F = xy + sen(xy) + c1
 La solución general de la ecuación diferencial dada es F = c2, luego xy + sen(xy) = c es la
solución general.
Ejercicio:
Determine si las siguientes ecuaciones diferenciales son exactas. Si lo son, resuélvalas.
1)  sen( y)  ysen( x) dx  cos( x)  x cos( y)  y  dy  0
2) ydx  ( x 2 y  x)dy  0
16
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
FACULTAD DE C. NAT, MATEMÁTICAS Y DEL M. AMB.
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
LIDIA ORTEGA SILVA
Factores integrantes ( F.I.)
Si la ecuación diferencial
M(x, y)dx + N(x, y)dy = 0
(1)
no es exacta, pero u(x, y)M(x, y)dx + u(x, y) N(x, y)dy = 0
(2)
si lo es, entonces la función u(x, y) se llama factor integrante de la ecuación diferencial (1)
 la solución de la ecuación diferencial de (1) es de la forma:
F(x, y) = c , donde
F
 uM
x

F
 uN
y
Como la ecuación diferencial (2) es exacta, entonces:


u
N u
M
(uN )  (uM ) 
N u

M u
x
y
x
x y
y

 M N 
u
u
 (3)
N
M  u

x
y

y

x


A partir de (3) se tienen las siguientes formas.
Formas para determinar el factor integrante (F.I)
M N

g ( x ) dx
y
x
1) Si u depende de x, y además
= g(x)  u = e 
N
M N

h ( y ) dy
y
x
2) Si u depende de y, y además
= h(y)  u = e 
M
M N

 ( z ) dz
y
x
3) Si u depende de z = x + y, y además
=  (z)  u = e 
N M
M N

 ( z ) dz
y
x
4) Si u depende de z = xy, y además
=  (z)  u = e 
yN  xM
Ejemplo
Resolver la ecuación diferencial:
Solución
M (x, y) = y
y dx + (x2 y – x) dy = 0
M
=1
y
17
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
FACULTAD DE C. NAT, MATEMÁTICAS Y DEL M. AMB.
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
LIDIA ORTEGA SILVA
N (x, y) = x2y – x
N
= 2xy – 1
x
M N
= 1 – 2x y + 1 = 2 – 2xy = 2 (1 – xy)
x
y
 M N 



x  =
 y


N





 u= e

2
dx
x
2(1  xy)
2
= g(x)

 x(1  xy)  x
= e 2 ln x =
e ln x
2
(función solo de x)
= x-2
Multiplicamos la ecuación diferencial dada por el F. I.
y
1

dx   y  dy  0
2
x
x

f
y
 2
x x
f
1
 y
y
x
x -2 ,
se tiene
(es exacta)
 f (x ,y) = y
x
2
dx +  (y) =
f
1
1
  + ’ (y) =   y
x
y
x
y
x
+  (y)
y2
  ‘(y) = y   (y) =
+ C1
2
y2
y
 f (x, y) = +
+ C1 = C2
x
2
 la solución general de la ecuación diferencial es
y2 y
=c
2 x
Sugerencias
A veces se puede hallar un factor integrante por simple inspección, después de agrupar
convenientemente los términos de la ecuación, al reconocer un cierto grupo de términos como
formando parte de una diferencial exacta.
Grupo de términos
F. I
x dy – y dx - - - - - - - - - - - - - - - - - 1/x2
x dy – y dx - - - - - - - - - - - - - - - - - 1/y2
x dy – y dx - - - - - - - - - - - - - - - - - 1/xy
x dy – y dx - - - - - - - - - - - - - - - - - 1/(x2 + y2)
x dy + y dx - - - - - - - - - - - - - - - - - 1/(xy)n
x dx + y dy - - - - - - - - - - - - - - - - - 1/(x2 + y2)n
18
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
FACULTAD DE C. NAT, MATEMÁTICAS Y DEL M. AMB.
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
LIDIA ORTEGA SILVA
Ejemplos de diferenciales exactas
 x  ydx  xdy
1) d   
y2
 y
2) d(xy) = x dy + y dx
3) d(x2 + y2) = 2(x dx + y dy)

x  ydx  xdy
4) d  arctg   2
y
x  y2

 x  ydx  xdy
5) d  ln  
xy
 y
Ejemplo
Encontrar un F. I para las siguientes ecuaciones diferenciales:
1) x dy – y dx = (1 + y2)dy
2) y dx – x dy = xy3 dy
3) x dy = (y + x2 + y2)dx
Respuesta:
1) FI = 1/ y2
2) FI = 1/xy
3) FI = 1/ x2+y2
5.- Ecuaciones diferenciales lineales
dy
 p( x) y  q( x)
Forma:
dx
Solución: Se busca un factor integrante para
[p(x)y – q(x)]dx + dy = 0
Sea
M(x,y) = p(x)y – q(x)
N(x,y) = 1
M N

p ( x ) dx
y
x
 p(x)  u = e 
N

( ecuación diferencial lineal en y )
F.I.
multiplicando por este F. I se tiene:
e
p ( x ) dx
p ( x ) dx
(p(x)y – q(x))dx + e 
dy = 0
(exacta)
19
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
FACULTAD DE C. NAT, MATEMÁTICAS Y DEL M. AMB.
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
LIDIA ORTEGA SILVA
Luego, la solución viene dada por F (x,y) = c, tal que
sistema:
1)
p ( x ) dx
F
 p ( x) y  q ( x)
 e
x
2)
p ( x ) dx
F
 e
y

F =  e
F
F
M
 N , luego se tiene el
x
y
p ( x ) dx
d y +  (x)
p ( x ) dx
F = e
y +  (x)
p ( x ) dx
p ( x ) dx
p ( x ) dx
F
 e
yp( x)   ' (x)  e 
yp( x)  e 
q( x)
x
’(x) = - e 
p ( x ) dx
q(x)
(x) =   q( x)e 

p ( x ) dx
F ( x, y)  e 
e
p ( x ) dx
dx  c1
p ( x ) dx
y   q( x)e 
y -  q( x)e 
p ( x ) dx
p ( x ) dx
dx  c1  c2
dx  c
 p ( x ) dx 
 p ( x ) dx dx
ye 
c

q
(
x
)
e



solución general de la ecuación
Ejemplo:
Resolver la ecuación diferencial: 2y’ + 3y = e-x
Solución:
Dividiendo por 2.
dy 3
1
 y  ex
dx 2
2
( lineal en y )
 p ( x ) dx 
 p ( x ) dx dx
c

q
(
x
)
e
y= e 
 

3
3
  dx 
1
 dx 
= e 2 c   e  x e 2 dx 
2


3
3
 x
x

1
= e 2 c   e  x e 2 dx 
2


20
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
FACULTAD DE C. NAT, MATEMÁTICAS Y DEL M. AMB.
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
LIDIA ORTEGA SILVA
3

1  x 2 x 
= e c   e
dx 
2


1
x

1
3 x 
= e 2 c   e 2 dx 
2


1
2 x
3 x 
= e 2 c  e 2 
2


1
x
3 x 
3 x
= e 2 c  e 2   ce 2  e  x


-3/2x
y= ce
+ e-x
3
 x
2
Ejercicio:
Resolver las siguientes ecuaciones diferenciales lineales:
dy
1) cos( x)  ysen( x)  1
dx
2) (1  x) y ' xy  x  x 2
dy
 y  senh( x)
3)
dx
6.- Ecuación de Bernoulli
Forma:
dy
+ p (x) y = q(x) yn
dx
Solución:
No es lineal para n  0 ó n  1.
Luego se divide por yn y se tiene
dy
y-n
+ p(x) y1-n = q(x)
2
dx
En seguida se hace la sustitución
Reemplazando estos resultados en 2
1
du
dy
= (1 – n) y-n
dx
dx
se tiene una ecuación diferencial lineal en u.
u = y1-n
1 du
 p ( x) u = q(x) . (1 – n)
1  n dx
du
+ (1 – n) p(x) u = (1 – n) q(x)
dx
 La solución general de esta ecuación diferencial es:
21
,
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
FACULTAD DE C. NAT, MATEMÁTICAS Y DEL M. AMB.
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
LIDIA ORTEGA SILVA
 (1 n ) p ( x ) dx 
 (1n) p ( x ) dx dx
u(x) = e 
c

(
1

n
)
q
(
x
)
e



Volviendo a la sustitución u = y1-n se obtiene la solución general de la ecuación diferencial de
Bernoulli (1)
Ejemplo:
Resolver
2
dy y
  5x 3 y 3
dx x
Solución:
2y-3
dy 1  2
 y  5x 3
dx x
hacemos u = y-2
du
dy
 2 y 3
dx
dx
Reemplazando, se tiene
du
1

u  5x 3
dx
x
du
1

u  5 x 3
dx
x
-
Solución general:
dx
dx

x
3  x
c


5
x
e
dx 
 


1
x5  c
u(x) = c  5    x 4
x
5 x
c
y-2 = - x4
x
u(x) = e

7.- Ecuación de Riccati
dy
+ Q2(x)y2 + Q1(x)y + Q0(x) = 0
dx
Donde Q0(x), Q1(x), Q2(x) son funciones continuas en algún intervalo I, Q2  0
Forma:
Solución:
Para resolver esta ecuación se necesita conocer una solución particular yp. Con la
sustitución
y = yp +
1 dz
1 dy
 y' p  2
,
donde z es función de x, la ecuación diferencial de
z dx
z dx
Riccati se transforma en una ecuación diferencial lineal en z.
Ejemplo:
22
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
FACULTAD DE C. NAT, MATEMÁTICAS Y DEL M. AMB.
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
LIDIA ORTEGA SILVA
2
 y
Resolver la ecuación diferencial: 2 y’ -    1  0 ,
x
Solución:
1
1
dy
1 dz
 1 2
Sea y = yp +
= x+
z
z
dx
z dx
yp = x
2
1 dz  
1

2 1  2
  1    1  0
xz 
z dx  

Reemplazando:
2-
2 dz
1
 2 2 ( xz  1) 2  1  0
2
z dx x z
-2 +
2 dz
1
 2 2 ( xz  1) 2  1  0
2
z dx x z
2
dz 
1
z
 1  2 2 ( xz  1) 2  
dx  x z
 2
dz z 2
1

 2 ( xz  1) 2
dx 2 2 x
dz z 2 x 2 z 2 2 xz
1


 2  2
2
dx 2
2x
2x
2x
dz 1
1
 z 2
dx x
2x
(lineal en z)
p(x) q(x)
z=
1
1
1
 1

c    2 xdx  c   ln x 

x
2
2x
 x

como
y  yp 
1
1
1
1

 y  yp   z 
y  yp y  x
z
z
1
1 1
 c  ln
yx x 2
x

x   y  yp 
1

c  ln x
2
y=x+
x
c  ln
x
23
–1
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
FACULTAD DE C. NAT, MATEMÁTICAS Y DEL M. AMB.
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
LIDIA ORTEGA SILVA
8.- La ecuación de Clairaut
Forma general
y = xy’ + f(y’)
Donde f (y’) define una función diferenciable de y’
Ejemplos:
y = xy’ + (y’)2
y = xy’ + tg( y’)
y = xy’ + 1  ( y' ) 2
son ecuaciones de Clairaut
Solución de la ecuación de Clairaut:
Hacer y’ = v en la forma general para obtener y = x v + f(v) y derivando con respecto a x queda
y’ = x v’ + v + f’(v) v’
se factoriza por v’ y se tiene v’(x + f’(v)) = 0
Caso 1: v’ = 0
 v=c
 y = c x + f(c) solución general de la ecuación diferencial (Familia de rectas)
x + f’(v) = 0
Caso 2:
y

, como y = x v + f(v)
x = - f’(v)
ecuaciones paramétricas de una curva con parámetro v.
y = - vf’(v) + f(v)
NOTA: Este no es un caso especial de la solución general, es una solución singular (envolvente
de la familia de rectas)
Ejemplo:
Resolver la ecuación diferencial y = xy’ + (y’)2
Solución:
Sea y’ = v
 y = x v + v2
derivando con respecto a x se tiene
y’ = x v’ + v + 2v v’
como y’ = v
 v’ (x + 2v) = 0
24
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
FACULTAD DE C. NAT, MATEMÁTICAS Y DEL M. AMB.
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
LIDIA ORTEGA SILVA
Caso 1:
v=0
 v = c y reemplazando en y = x v + v2
 y = c x + c2 solución general
Caso 2:
x + 2v = 0
x + 2v = 0
x = -2v
2
y=xv+v
como y = 

x2
 y= 
4
2
y = -v
x2
no es un caso especial de y = c x + c2, es una solución singular
4
Gráfico:
y = c x + c2
familia de tangentes a la
parábola
 x2
y=
4
envolvente de la familia de las rectas
Ejercicios propuestos
Determinar la solución general de las siguientes ecuaciones diferenciales:
1) ( y  x 3 )dx  ( x  y 3 )dy  0
2) dx  (2 xy  2 ye y )dy  0
dy
 2  y  y 2
3)
dx
4) xy'  y  x cos 2 ( y / x)
5) ( xy  1)dx  ( x 2  xy)dy  0
6) ( x  2 y  1)dx  (2 x  4 y  3)dy  0
7) y  xy'tg ( y ' )
dy
1
8) x  y  2
dx
y
2
9) (3x 2  y 2 )dy  2 xydx  0
10)
1, 0  x  3
dy
 2 y  f ( x), f ( x)  
,
dx
 0, x  3
y(0) = 1
25
UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
FACULTAD DE C. NAT, MATEMÁTICAS Y DEL M. AMB.
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS
LIDIA ORTEGA SILVA
26
Descargar
Fichas aleatorios
test cards set

10 Tarjetas Антон piter

tarjeta del programa pfizer norvasc

0 Tarjetas joseyepezsumino

“DIDÁCTICA PASADO Y PRESENTE

4 Tarjetas BENILDA RINCON PEÑA

Médicos de Francia del siglo XVI

15 Tarjetas Mr. Card

Portugueses del siglo XVIII

15 Tarjetas Mr. Card

Crear fichas