Funciones 2 Ejercicios Resueltos

Funciones II – Ejercicios Resueltos
Nombre: ______________________________
Contenido de la guía:
Tema
Pendiente de una recta.
Función constante.
Función lineal.
Función cuadrática.
Función polinomial.
Función cúbica.
Función raíz cuadrada.
Función a trozos.
Función valor absoluto.
Función exponencial.
Función logarítmica.
Asíntotas.
Función racional.
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Pendiente de una recta
1. Calcular el valor de la pendiente de una recta
que tiene un ángulo de inclinación de:
a) 45° b) 67° c) 53° d) 30° e) 27°
2. Calcular el valor de la pendiente de una recta
que pasa por los puntos:
a) (3 ; 5) y (7 ; 9)
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b) (-3 ; -6) y el origen
c) (1 ; 1) y (4 ; 4)
d) (2 ; 3) y (-2 ; -3)
Función constante
Graficar las siguientes funciones constantes:
3. Calcular el valor de la pendiente que pasa por
los puntos: A = (0;0) ; B = (2;2) y C = (4;4)
4. Calcular el valor de la pendiente de una recta
que pasa por los puntos:
a) (-3 ; +2) y (+2 ; +2)
b) (-3 ; +1) y (+3 ; +2)
c) (+1 ; +1) y (+4 ; +1)
5. La recta que pasa por los puntos (-5;-5) y
(-5;0), ¿es una recta horizontal, vertical,
ascendente o descendente?
6. Una recta de pendiente 2/5 pasa por los
puntos P(3;4); A(c;-2) y B(-7;d). Hallar el valor
de c y d.
7. Se tiene un triángulo de vértices A = (2;6);
B =(7;12) y C = (10;4). Hallar las pendientes de
los 3 lados.
1.
( ) = +5
2.
= √2
3.
( )=
4.
( )=
5.
( )=
6. ¿Cuál es el valor de la pendiente de la función
y = -1 ?
7. ¿La expresión
¿Por qué?
8. Encontrar el dominio y rango de la función
( ) = −10
Función lineal
Graficar las siguientes funciones:
1.
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= 2 representa una función?
=2 −1
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1
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2.
=−
+1
3.
=
4.
= −2 +
9. Encontrar la ecuación de la siguiente función:
−1
12. El alquiler de una fotocopiadora, tiene un
costo base de $200 mensuales más $0,20 por
cada fotocopia realizada. Exprese el costo “c”
total de alquiler de la fotocopiadora en
función del número de fotocopias (F).
¿Cuánto sería el costo total de alquiler en un
mes en el que se realizaron 200 fotocopias?
5. Encontrar la ecuación de la recta que pasa
por el punto (3; -5) y tiene pendiente 7/3.
6. Encontrar la ecuación de la recta que pasa
por los puntos (2; 4) y (5; 1).
7. Encontrar la ecuación de la recta que pasa
por los puntos (-2; -4) y (5; 1).
8. Encontrar la ecuación de la recta que pasa
por el origen y por el punto (2; 4).
10. El precio de una camioneta nueva es de
$12000 y su valor disminuye $2000 por año
debido a la depreciación. A partir de ello
escriba una ecuación lineal que determine el
valor V de la camioneta “t” años después de
su compra. Calcular el valor pasados 4 años.
11. La empresa Delta Energy cobra a sus
consumidores de energía eléctrica una tarifa
base de $5 por mes más $0,10 por cada
kilowatt-hora (kwh). Exprese el costo
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mensual “C” en función de la energía “E”
consumida.
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Función cuadrática
1. Indicar si las siguientes funciones son
cuadráticas o no:
a) ( ) = 2 + 3 + 1
b) ( ) =
+1
c) = 10 + 1
d) = ( + 1)
e) ( ) = ( − 1)
2. Una función cuadrática de la forma =
+
+ para por el punto (1;9). Calcular “m”.
3. Hallar los puntos de intersección de la
función = 2 − 2 con los ejes “x” e “y”.
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4. Graficar la función
=
encontrar dominio, rango,
intersecciones.
+ 2 + 1;
vértice e
10. Encontrar la forma canónica de la función
cuadrática 2 +
+ , sabiendo que el
vértice está en (-2;-11).
14. Calcular las dimensiones de un rectángulo
para que su área sea máxima, teniendo en
cuenta que su perímetro es de 100 cm.
5. Obtener dominio, rango, intersecciones y
gráfica de la función =
− 4 + 5.
11. Pasar a forma canónica las siguientes
funciones cuadráticas:
Función polinomial
1. Determinar si las siguientes funciones son
polinomiales o no:
a)
=5− −
b) ( ) = 2 +
6. Calcular el vértice de la parábola
4 + 3.
=
−
7. Encontrar el vértice de las parábolas:
a)
= ( − 2) + 3
b)
= −2( + 3)
c)
= 2( + 2) − 4
8. Encontrar la forma canónica de las parábolas:
a)
=
−4 +5
b)
=
+2 +2
c)
=
−4 +3
d)
=
− 10 + 30
9. Encontrar la forma canónica de la parábola:
=
− 8 + 12
; e indicar
sus
intersecciones con los ejes.
a)
b)
c)
d)
e)
=
−2 +2
( )=
+6 +5
=
−4 +3
= 20 − 2 + 10
= 4 + 8 + 10
12. Pasar a forma factorizada las siguientes
funciones cuadráticas:
a)
=
+2 −3
b)
=
−6 −7
c)
= − + 8 − 15
d)
= −2 + 10 + 48
13. Un granjero dispone de 20 metros lineales
de malla de alambre para hacer un corral
rectangular. Encontrar el valor del área del
corral más grande (de mayor área) que puede
construir.
c)
=
d)
=√
+1
2. Encontrar los ceros de
=
− 2 − 3.
3. Encontrar los ceros de
=
− 6 + 11 − 6.
la
función:
la
función:
4. Encontrar los ceros
=
− 2 − + 2.
la
función:
5. Graficar la función
6. Graficar:
=
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−2
−3 .
− .
7. Graficar la función:
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=
de
=
−
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8. Graficar la función: ( ) =
+1
9. Se desea construir una caja con una plancha
de cartón de 1m por 2m. Para ello, se
cortarán cuadrados de longitud x de lado en
cada esquina de la plancha, y luego se
doblarán hacia arriba como en la figura.
a) Calcular el volumen en función de x.
b) Trazar la gráfica volumen-vs-x y estimar
el volumen máximo de la caja.
3. Encontrar
( )=
los ceros de
−2 − +2
la
función:
4. Encontrar
( )=
los ceros de la
+ 7 + 14 + 8
función:
5. Graficar la función: ( ) =
−1
6. Graficar la función: ( ) =
+2
7. Graficar la función: ( ) =
−2
8. Graficar la función:
=−
+2
Función raíz cuadrada
1. Sea ( ) = √ + . Encontrar el valor de a,
sabiendo que f(2) = 3.
+
+ −2
9. Una caja de madera tiene una base cuadrada,
siendo “x” la longitud de cada lado del cuadrado
que forma la base. En total, las 12 aristas de la
caja suman 120 cm. Tomar en cuenta el gráfico,
y determinar:
Función cúbica
1. Encontrar los ceros
( )=
−2 +
2. Encontrar
( )=
los ceros
−1
de
la
a)
El volumen (V) en función de “x”.
b)
El dominio de V.
c)
Usando un graficador, determinar el
volumen máximo de la caja.
2. Encontrar el dominio y rango de la función:
( ) = √ +2
3. Encontrar el dominio y rango de la función:
( ) = √ −3+1
4. Encontrar las intersecciones de la función f
con los ejes x e y: ( ) = √−2 + 4 + 1
5. Encontrar las intersecciones de la función f
con los ejes x e y: ( ) = √ − 3 + 1
función:
6. Encontrar
de
la
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( )=
función:
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el
dominio
de
la
función
√
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Funciones II – Ejercicios Resueltos
7. Encontrar
( )=√
el
dominio
de
la
función:
−9
8. El armazón de una cometa se construye con
6 piezas de madera como se muestra en la
figura. Las 4 piezas que forman su borde han
sido cortadas a las longitudes indicadas.
a) Encontrar el área de la cometa en función
de x.
b) Utilizando un graficador, indique la medida
de x que permite maximizar el área de la
cometa.
Función a trozos
Encontrar la gráfica, dominio y rango de las
siguientes funciones a trozos:
3;
<0
1. ( ) =
2;
≥0
2. ( ) =
3.
=
2 ;
0≤ <1
− 1;
≥1
−
;
;
<0
≥0
4. Encontrar las intersecciones de la función f,
con los ejes X e Y; donde:
+ 2;
≤1
( )=
− 3;
>1
5. Encontrar las intersecciones de la función f,
con los ejes X e Y; donde:
<2
( ) = − + 1;
;
≥3
9. Usando un graficador, encontrar el dominio
de la función ( ) = √
−4 +1
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7. Encontrar la expresión analítica de la función
graficada:
8. Se coloca una estufa, una olla con agua a
20°C. Después de 10 minutos, alcanza una
temperatura de 100°C y se inicia la evaporación.
Después de 30 minutos hirviendo a 100°C el
agua se evapora por completo. Represente la
función que describe este proceso.
6. Encontrar la gráfica, dominio y rango de la
función f:
− − 1;
≤ −1
( )=
;
− 1 < < +1
;
≥1
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Funciones II – Ejercicios Resueltos
Función valor absoluto
Graficar las siguientes funciones, encontrar
dominio y rango.
1. ( ) = | + 2|
8. A partir de la gráfica de la función
( )=
función ( ) =
− 2; encontrar la gráfica de la
−2
9. A partir de la gráfica de la función
( )=
− 4 ; encontrar la gráfica de la
función ( ) = | − 4 |
2. ( ) = |− − 1|
3. ( ) = | − 1| + 2
4.
= 2| | − 1
5. Encontrar las intersecciones de la función f
con los ejes X e Y.
( ) = | + 2| − 2
Expresar las siguientes
funciones a trozos.
6. ( ) = | − 4|
7. ( ) = |9 −
funciones
como
|
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Funciones II – Ejercicios Resueltos
Función exponencial
1. Determinar si las siguientes expresiones son
funciones exponenciales o no:
a)
( )=
b)
=
c)
d)
e)
f)
=9
( )=1
=
( ) = 10
7. Encontrar la función exponencial de la forma
= , a partir de la gráfica:
2. Hallar el dominio, rango y gráfica de la
función = 2
3. Hallar el dominio, rango y gráfica de la
función = 2
4. Hallar el dominio, rango y gráfica de la
función
8. Encontrar la función exponencial de la forma
= , a partir de la gráfica:
=−
5. Hallar el dominio, rango y gráfica de la
función = 1 + 3
10. El azúcar se disuelve en el agua, siguiendo la
fórmula ( ) = .
; donde “c” y “k” son
constantes. A(t) es el azúcar restante o no
disuelta. En un recipiente en el que inicialmente
6. Hallar el dominio, rango y gráfica de la
función = 3
−1
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9. Un cultivo tiene 120 bacterias inicialmente, y
en cada hora esta cantidad se duplica.
a) Encontrar la función que modele el
número de bacterias después de t horas.
b) Encontrar la cantidad de bacterias
después de 15 horas.
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Funciones II – Ejercicios Resueltos
se colocan 30 kilogramos de azúcar, esta
cantidad se reduce a 10kg luego de 4 horas.
Trazar la gráfica de azúcar no disuelta en función
del tiempo. e = número de Euler.
11. Un elemento radioactivo se desintegra a
( )=
gran velocidad según la función
.
10
; siendo m(t) la cantidad de masa
restante después de t días.
a) Encontrar la masa en el tiempo t = 0.
b) Encontrar la masa después de 15 días.
Función logarítmica
1. La función ( ) =
es una función
logarítmica con base igual a: _______ ;
f(9) = ______ ; f(3) = ______ ; f(1) = ______.
2. La función ( ) =
es una función
logarítmica con base igual a: _______ ;
f(e7) = ______ ; f(e) = ______ ; f(1) = ______.
3. Expresar la ecuación en forma exponencial:
a)
25 = 2
= −2
b)
c)
( + 1) = 3
d)
e) ln(1 − ) = 2
4. Graficar la función
dominio y rango.
( )=
; indicar
5. Graficar la función
dominio y rango.
( )=−
; indicar
6. Graficar la función
( )=
8. Encontrar el
= (1 − ).
a) Calcular el tiempo necesario para que el
cardumen crezca a 2 millones de peces.
b) ¿Cuál será el tamaño del cardumen
luego de 18 meses?
10.
+ 1;
indicar dominio y rango.
7. Graficar la función
dominio y rango.
100
2
= 3.
( )=
dominio
de
; indicar
la
función
9. Una variedad de peces fue introducida en el
océano ártico. Se estima que cada 3 meses, esta
población se duplica. Un cardumen inicia con
100 peces; y el tiempo t (en meses) que se
necesita para que dicho cardumen crezca a P
peces se establece por la función:
La función de demanda de un producto
está dada por
=
(
)
. Siendo “p” el precio
en dólares, y “q” la cantidad demandada de
productos
¿Cuántos
artículos
serán
demandados a un precio de 10 dólares?
Asíntotas
Encontrar las asíntotas verticales, horizontales y
oblicuas de las siguientes funciones:
1. ( ) =
2. ( ) =
3.
=
3=
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Funciones II – Ejercicios Resueltos
4.
=
5.
=
5. A partir de la gráfica, hallar intersecciones
con los ejes, asíntotas, dominio y rango.
medicamento en la sangre. En el tiempo ≥ 0
(en horas desde que se aplicó el medicamento),
la concentración (en mg/L), está dada por:
4
+1
Teniendo en cuenta el gráfico:
( )=
6. ( ) =
Función racional
1.
Hallar intersecciones con los ejes,
dominio y rango de la función:
1
=
+2
6. Graficar la función:
=
2. Determinar el comportamiento de la función
del ejercicio anterior cuando x se aproxima a -2.
7. Graficar la función:
=
3.
Hallar intersecciones con los ejes,
dominio y rango de la función:
8. Graficar la función:
=
9. Graficar la función:
=
=
1−
4. Determinar el comportamiento de la función
del ejercicio anterior cuando x se aproxima a 1.
10. Graficar la función:
Indicar:
a) ¿Qué ocurre con la concentración después de
muchas horas?
b) ¿Cuánto tarda la concentración en llegar a
2mg/L?
=
11. Se administra un medicamento a un
paciente, y se vigila la concentración de dicho
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