“Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Setiembre 2013 TRIGONOMETRIA SEMANA Nº 01 NIVEL: SECUNDARIA SEGUNDO GRADO REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE (APLICACIONES GRÁFICAS) MOTIVACIÓN: LA TRIGONOMETRÍA EN EUROPA Occidente se familiarize con la Trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el matemático y astrónomo alemán Johan Miller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, él también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas. El matemático francés Francois Viéte incorporó el triángulo polar en la Trigonometría esférica y encontró fórmulas para expresar las funciones de ángulos múltiples, sennq y cosnq, en funcion de potencias de senq y cosq. Los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje gracias al matemático escocés John Neper, quién inventó los logaritmos a principios del sigloXVII. Tambien encontró reglas mnemotécnicas para resolver triángulos esféricos, y algunas proporciones (llamadas analogías de Neper) para resolver triángulos esféricos oblicuos. Casi exactamente medio siglo después de la publicación de los logaritmos de Neper, Isaac Newton inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el senx y series similares para el cosx y la tgx. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas. Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos; además Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos. REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE Reducir al primer cuadrante un ángulo mayor a 90°; es determinar el valor equivalente de su razón trigonométrica de un ángulo en el primer cuadrante. Signos de las razones trigonométricas: Y II C sen csc + IC Todas + X tg ctg cos sec + III C Razones trigonométricas positivos: R.T. R.T. R.T. R.T. + IV C equivalentes para RT CO-RT sen cos cos sen tg ctg ctg tg sec csc csc sec ángulos Donde a: Ángulo que pertenece al 1er cuadrante. (180° a)=(SIGNO).RT(a) (360°-a)=(SIGNO).RT(a) (90°+a)=(SIGNO).Co–RT(a) (270° a)=(SIGNO).Co–RT(a) (SIGNO): Depende del cuadrante al cual pertenece la R.T. del ángulo a reducir. Lideres en Educación 2do Grado de Secundaria 1 “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Setiembre 2013 PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Determinar el signo de las siguientes razones trigonométricas: sena; cos; tg Y Y 20 0º X X 6. 2. Determinar el equivalente de ctg, si: Y Determinar el signo de las siguientes razones trigonométricas: ctg; sec; csc. Y X 30 0º X 7. 3. Calcular el equivalente de sec, si: Y Calcular el equivalente de sen, si: Y 15 0º X 60º X 8. 4. Calcular el equivalente de csc, si: Calcular el equivalente de cos, si: Y Y X 14 0º 22 0º X 9. 5. Determinar el equivalente de sen, si: Determinar el equivalente de tg, si: Y 70º X Lideres en Educación 2do Grado de Secundaria 2 “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Setiembre 2013 10. Determinar el equivalente de cos, si: Y X 30 º TALLER DE APRENDIZAJE Nº 01 1. Determinar el equivalente de sen, si: Y Y 190º 70º X 2. X 4. Determinar el equivalente de cosb, si: Calcular el equivalente de ctg, si: Y Y 10 º 110º X 3. X 5. Calcular el equivalente de tg, si: Lideres en Educación Calcular tg. 2do Grado de Secundaria 3 “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Setiembre 2013 Y Y 26° 120° 6. X X Calcular sen. TAREA DOMICILIARIA Nº 01 1. Calcular el equivalente de tg, si: Y Y 30° X X 40º Rpta:........................................................... 4. Rpta:........................................................... 2. Calcular cos. Y Calcular el equivalente de ctg, si: Y 240° X 130º X Rpta:........................................................... 5. Rpta:........................................................... 3. Calcular sen. Y Determinar tg. 60° X Lideres en Educación 2do Grado de Secundaria 4 “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Mes: Setiembre 2013 Y Rpta:........................................................... 6. Calcular sen . 60° X Y 74° X Rpta:........................................................... 8. Determinar tg. Y Rpta:........................................................... 7. Calcular csc. 40° X Rpta:........................................................... REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE (APLICACIONES NUMÉRICAS) CASOS DE REDUCCIÓN DE ANGULOS AL PRIMER CUADRANTE autonomía trigonométrica; si se agrega a esto las fórmulas MOTIVACIÓN: • para sen (A ± B) y para cos (A ± B), esencialmente conocidas Hiparco: por él, se comprenderá fácilmente por que Hiparco es Segun Theón de Alejandría, entre 161 y 126 a.n.e., hay un considerado florecimiento científico, dentro del cual se debe considerar a Hiparco como el verdadero creador de la Trigonometría. • Una relación constante: El seno establecía la relación de dicha medición valiéndose del facilitaron es considerado la habilidad el que camino para llegar a las funciones trigonométricas. El tratado que en 12 libros escribió Hiparco sobre Las círculo es definida intuición de esta ciencia, sus reglas curso de Trigonometría). del admirable afirmar que si bien no tuvo una clara y teorema de Pitágoras (tal como ahora lo hacemos en el cuerdas la área y sus lados; en lo que a la trigonometría atañe, se puede triángulos rectángulos que tuviesen dicho ángulo agudo igual. Si el valor de los triángulos, de los que da importantes reglas para hallar su el seno, comprobó que esta relación era la misma en todos los el Padre demostró Herón (aprox. 100 a.n.e.) en el estudio de hipotenusa (en un triángulo rectángulo) o sea hallar el Herón de Alejandría: Verdaderamente entre el cateto opuesto a un ángulo agudo y la ángulo agudo era de 30°, 45° ó 60°, erafácil coma Trigonometría. I) Cuando los ángulos son positivos por algunos como el movimiento pionero de la a) Menores que una vuelta (360º) Lideres en Educación 2do Grado de Secundaria 5 “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Se descompone en ángulo en consideración como suma o resta de un ángulo cuadrantal (90º, 180º, 270º, 360º) con un ángulo que sea agudo, para luego aplicar los siguientes criterios. 1. RT 180° +– 360° – • Mes: Setiembre 2013 sen 210 sen(180 30 ) III C = = +– RT() • SIGNO • 180° 1 2 sen(180 ) III C sen es (–) sen 90° II C (180°– ) seno es (–) = sen 30 tg 300 0° tg (360 60 ) IV C tangente es (–) 360° (180°+ ) III C (180°– ) IV C tg 60 C.T. 3 Donde el (signo), depende del signo de la región trigonométrica en el cuadrante al cual pertenece al ángulo a reducir. Ejemplo: 2. • 90° II C (90°– ) 180° IC (90°– ) tg150 tg (90 60 ) IIC ctg 60 0° 360° (270°– ) III C b) (270°+ ) IV C C.T. 270° 3 2 3 3 Para ángulos positivos mayores de una vuelta (360º) En este caso el ángulo en consideración se divide entre 360º, descartando el cociente y tomando el residuo en lugar del ángulo original, siguiendo luego el análisis. Donde (SIGNO); depende del signo que tiene la razón trigonométrica en el cuadrante al cual pertenece al ángulo a reducir. RT (360°n + )= RT (2 n + ) = RT( ) Ejemplo: • Donde: sen 300 sen(270 30 ) IVC n cos30 Lideres en Educación : Número entero 2do Grado de Secundaria 6 “Innova Schools” Del colegio a la Universidad a : Ángulo no necesariamente pertenece al 1er cuadrante (0°<a<360°). Mes: Setiembre 2013 Cuando el ángulo es negativo se procede de la siguiente manera: sen (– ) = – sen () co s (– ) = cos tg (– ) = – tg 360° ctg (– ) = – ctg sec (– ) = sec (360°(n)+ ) csc (– ) = – csc 0° Ejemplo: C.T. • Ejemplo: • 360° 720° 2 sen 60 tg 750 tg 30 750° 360° 720° 2 • sen (180 60 ) II C 120° • 1 2 tg(70) tg 70 sen 840 sen120 840° sen(30 ) sen 30 • 3 2 cos(60) cos 60 3 3 1 2 30° c) Para ángulos negativos PROBLEMAS PARA LA CLASE 1. Reducir: C R sen120 Rpta:........................................................... 2. sen(180 ) sen(360 – ) Rpta:........................................................... Reducir: 5. E cos210 Determinar: F tg(180 ) ctg(90 ) Rpta:........................................................... Rpta:........................................................... 3. Calcular: M tg 135 ctg 225 6. Determinar: G tg135 tg 225 tg 315 Rpta:........................................................... Rpta:........................................................... 4. Calcular: Lideres en Educación 2do Grado de Secundaria 7 7. “Innova Schools” Del colegio a la Universidad Calcular: S ctg 225 sen 330 12. Calcular: F Rpta:........................................................... 8. Mes: Setiembre 2013 sen(– 30 ) sec(60 ) sen(330 ) sec(120 ) Rpta:........................................................... Calcular: R sec 240 csc 210 13. Reducir: Rpta:........................................................... 9. R cos120 3 cos150 Calcular: P tg 217 ctg 307 Rpta:........................................................... Rpta:........................................................... 14. Reducir: sen (90 x ) tg 240 I tg 60 cos( x ) 10. Calcular: C sec(180 ) tg(360 ) csc(270 ) ctg(90 ) Rpta:........................................................... Rpta:........................................................... 11. 15. Calcular: C Calcular: sen(150 ) tg(120 ) M sen(210 ) tg(300 ) 2 2 sen(–50 ) sen(– x ) 2 sen 50 sen x Rpta:........................................................... Rpta:........................................................... TAREA DOMICILIARIA Nº 02 1. M tg 240 sen 120 Calcular: P sen(– x ) cos( x ) tg(– x ) sen x cos x tg x Rpta:........................................................... Rpta:........................................................... 2. 4. S Calcular: M sen(– x ) tg(180 x ) cos(90 x ) ctg(270 x ) tg(180 – x ) sec(180 ) tg(– x ) csc(90 ) Rpta:........................................................... Rpta:........................................................... 3. Calcular: 5. Simplificar: M sen127 cos143 Calcular: Lideres en Educación 2do Grado de Secundaria 8 Del colegio a la Universidad Rpta:........................................................... 6. “Innova Schools” Mes: Setiembre 2013 10. Calcular: Calcular: E= sen (– x ) tg (90 x ) sen (180 x ) ctg x R sen120 cos150 A) 1 7. B) 2 C) 0 D) Calcular: 11. A) 1 B) 0 C) –2 D) 2 Calcular: tg 225º tg(180 x ) cos(90 x ) tg x sen x W A) 0 B) 2 C) – 2 Rpta.:........................................................... D) 1 12. Calcular: M = sen120º + cos225º 8. Reducir: Rpta.:........................................................... sen(– x ) tg (– x ) sen (180 – x ) 2 3 sen(x ) tg x sen x E 13. Simplificar: V A) 6 9. B) 3 C) 1 D) 0 tg 90º x ctg 270º x Rpta.:........................................................... Reducir: 14. Simplificar: M sen (90 x ) 1 cos(– x ) A) 2 B) 0 R C) – 2 sen 90º x tg 270º x sen 270º x tg 90º x Rpta.:........................................................... D) 0,5 Lideres en Educación 2do Grado de Secundaria 9 Del colegio a la Universidad “Innova Schools” Mes: Setiembre 2013 TALLER DE APRENDIZAJE Nº 02 1. Reducir: P sen x cos x sen x cosx 2. Calcular: K tg 60º cos 45º 3. Calcular: M = sen(–30º)×cos(–45º) 4. Calcular: E = cos(–60º) + tg(–37º) Lideres en Educación 2do Grado de Secundaria 10 “Innova Schools” Del colegio a la Universidad 5. Calcular: S = sen(–30º) + tg(–53º) 6. Reducir: N 7. Calcular: sen150º 8. Calcular el valor de: E Mes: Setiembre 2013 sen tg sen tg sen135º tg315º Lideres en Educación 2do Grado de Secundaria 11
