Subido por roxana espinoza diaz

TRIGO 2 SET

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“Innova Schools”
Del colegio a la
Universidad
Mes: Setiembre 2013
TRIGONOMETRIA
SEMANA Nº 01
NIVEL: SECUNDARIA
SEGUNDO GRADO
REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE
(APLICACIONES GRÁFICAS)
MOTIVACIÓN:
LA TRIGONOMETRÍA EN EUROPA
Occidente se familiarize con la Trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que
comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue escrito por el
matemático y astrónomo alemán Johan Miller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, él también astrónomo alemán
Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en
vez de longitudes de ciertas líneas. El matemático francés Francois Viéte incorporó el triángulo polar en la Trigonometría
esférica y encontró fórmulas para expresar las funciones de ángulos múltiples, sennq y cosnq, en funcion de potencias de
senq y cosq.
Los cálculos trigonométricos recibieron un gran empuje gracias al matemático escocés John Neper, quién inventó los
logaritmos a principios del sigloXVII. Tambien encontró reglas mnemotécnicas para resolver triángulos esféricos, y algunas
proporciones (llamadas analogías de Neper) para resolver triángulos esféricos oblicuos.
Casi exactamente medio siglo después de la publicación de los logaritmos de Neper, Isaac Newton inventó el cálculo
diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones
matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el senx y series similares
para el cosx y la tgx. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía
hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.
Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler definió las funciones trigonométricas utilizando
expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones
de los números complejos; además Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente
producto de la aritmética de los números complejos.
REDUCCIÓN AL PRIMER CUADRANTE
Reducir al primer cuadrante un ángulo mayor a 90°; es determinar el valor equivalente de su razón trigonométrica de un
ángulo en el primer cuadrante.
Signos de las razones trigonométricas:
Y
II C
sen
csc
+
IC
Todas
+
X
tg
ctg
cos
sec
+
III C
Razones trigonométricas
positivos:
R.T.
R.T.
R.T.
R.T.
+
IV C
equivalentes
para
RT
CO-RT
sen
cos
cos
sen
tg
ctg
ctg
tg
sec
csc
csc
sec
ángulos
Donde a: Ángulo que pertenece al 1er cuadrante.
(180°  a)=(SIGNO).RT(a)
(360°-a)=(SIGNO).RT(a)
(90°+a)=(SIGNO).Co–RT(a)
(270°  a)=(SIGNO).Co–RT(a)
(SIGNO): Depende del cuadrante al cual pertenece la
R.T. del ángulo a reducir.
Lideres en Educación
2do Grado de Secundaria
1
“Innova Schools”
Del colegio a la
Universidad
Mes: Setiembre 2013
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1.
Determinar el signo de las siguientes razones
trigonométricas: sena; cos; tg
Y
Y

20 0º
X



X
6.
2.
Determinar el equivalente de ctg, si:
Y
Determinar el signo de las siguientes razones
trigonométricas: ctg; sec; csc.
Y
X


30 0º


X
7.
3.
Calcular el equivalente de sec, si:
Y
Calcular el equivalente de sen, si:
Y
15 0º

X
60º
X

8.
4.
Calcular el equivalente de csc, si:
Calcular el equivalente de cos, si:
Y
Y
X
14 0º

22 0º
X

9.
5.
Determinar el equivalente de sen, si:
Determinar el equivalente de tg, si:
Y
70º

X
Lideres en Educación
2do Grado de Secundaria
2
“Innova Schools”
Del colegio a la
Universidad
Mes: Setiembre 2013
10. Determinar el equivalente de cos, si:
Y
X
30 º

TALLER DE APRENDIZAJE Nº 01
1.
Determinar el equivalente de sen, si:
Y
Y
190º

70º
X

2.
X
4.
Determinar el equivalente de cosb, si:
Calcular el equivalente de ctg, si:
Y
Y

10 º
110º
X

3.
X
5.
Calcular el equivalente de tg, si:
Lideres en Educación
Calcular tg.
2do Grado de Secundaria
3
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Y
Y
26°
120°
6.

X

X
Calcular sen.
TAREA DOMICILIARIA Nº 01
1.
Calcular el equivalente de tg, si:
Y
Y

30°
X

X
40º
Rpta:...........................................................
4.
Rpta:...........................................................
2.
Calcular cos.
Y
Calcular el equivalente de ctg, si:
Y
240° 
X
130º

X
Rpta:...........................................................
5.
Rpta:...........................................................
3.
Calcular sen.
Y
Determinar tg.

60°
X
Lideres en Educación
2do Grado de Secundaria
4
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Universidad
Mes: Setiembre 2013
Y
Rpta:...........................................................
6.

Calcular sen .
60°
X
Y

74°
X
Rpta:...........................................................
8.
Determinar tg.
Y
Rpta:...........................................................
7.
Calcular csc.
40°

X
Rpta:...........................................................
REDUCCION AL PRIMER CUADRANTE
(APLICACIONES NUMÉRICAS)
CASOS DE REDUCCIÓN DE ANGULOS AL PRIMER CUADRANTE
autonomía trigonométrica; si se agrega a esto las fórmulas
MOTIVACIÓN:
•
para sen (A ± B) y para cos (A ± B), esencialmente conocidas
Hiparco:
por él, se comprenderá fácilmente por que Hiparco es
Segun Theón de Alejandría, entre 161 y 126 a.n.e., hay un
considerado
florecimiento científico, dentro del cual se debe
considerar
a
Hiparco
como
el
verdadero
creador de la Trigonometría.
•
Una relación constante: El seno establecía la relación
de
dicha
medición
valiéndose
del
facilitaron
es
considerado
la
habilidad
el
que
camino para llegar a las funciones
trigonométricas.
El tratado que en 12 libros escribió Hiparco sobre Las
círculo
es
definida intuición de esta ciencia, sus reglas
curso de Trigonometría).
del
admirable
afirmar que si bien no tuvo una clara y
teorema de Pitágoras (tal como ahora lo hacemos en el
cuerdas
la
área y sus lados; en lo que a la trigonometría atañe, se puede
triángulos rectángulos que tuviesen dicho ángulo agudo igual. Si el
valor
de
los triángulos, de los que da importantes reglas para hallar su
el seno, comprobó que esta relación era la misma en todos los
el
Padre
demostró Herón (aprox. 100 a.n.e.) en el estudio de
hipotenusa (en un triángulo rectángulo) o sea
hallar
el
Herón de Alejandría:
Verdaderamente
entre el cateto opuesto a un ángulo agudo y la
ángulo agudo era de 30°, 45° ó 60°, erafácil
coma
Trigonometría.
I) Cuando los ángulos son positivos
por
algunos como el movimiento pionero de la
a) Menores que una vuelta (360º)
Lideres en Educación
2do Grado de Secundaria
5
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Del colegio a la
Universidad
Se descompone en ángulo en
consideración como
suma o resta de un ángulo cuadrantal (90º, 180º,
270º, 360º) con un ángulo que sea agudo, para
luego aplicar los siguientes criterios.
1.
RT
180° +– 
360° – 
•
Mes: Setiembre 2013
sen 210   sen(180   30 )
III C
= 
= +– RT()
•
SIGNO
•
180°
1
2
sen(180   )
III C
sen  es (–)
  sen 
90°
II C
(180°– )
seno es (–)
=  sen 30
tg 300
0°
tg (360   60 )
IV C
tangente es (–)
360°
(180°+ )
III C
(180°– )
IV C
  tg 60 
C.T.
 3
Donde el (signo), depende del signo de la región
trigonométrica en el cuadrante al cual pertenece al
ángulo a reducir.
Ejemplo:

2.
•
90°
II C
(90°– )
180°
IC
(90°– )
tg150   tg (90   60 )
IIC
  ctg 60 

0°
360°
(270°– )
III C
b)
(270°+ )
IV C
C.T.
270°
3
2
3
3
Para ángulos positivos mayores de una
vuelta (360º)
En este caso el ángulo en consideración se
divide entre 360º, descartando el cociente y
tomando el residuo en lugar del ángulo original,
siguiendo luego el análisis.
Donde (SIGNO); depende del signo que tiene la razón
trigonométrica en el cuadrante al cual pertenece al
ángulo a reducir.
RT (360°n + )=
RT (2 n + ) =
RT( )
Ejemplo:
•
Donde:
sen 300   sen(270   30 )
IVC
n
  cos30
Lideres en Educación
:
Número entero
2do Grado de Secundaria
6
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a :
Ángulo
no necesariamente pertenece al
1er cuadrante (0°<a<360°).
Mes: Setiembre 2013
Cuando el ángulo es negativo se procede de la
siguiente manera:
sen (– ) = – sen ()
co s (– ) = cos
tg (– ) = – tg 
360°

ctg (– ) = – ctg
sec (– ) = sec 
(360°(n)+ )
csc (– ) = – csc 
0°
Ejemplo:
C.T.
•
Ejemplo:
•
360°
720°
2
sen 60  
tg 750  tg 30  
750°
360°
720°
2
•
sen (180   60 )
II C
120°
•
1
2
tg(70)   tg 70

sen 840 sen120
840°
sen(30 )   sen 30 
•
3
2
cos(60)  cos 60

3
3
1
2
30°
c)
Para ángulos negativos
PROBLEMAS PARA LA CLASE
1.
Reducir:
C
R  sen120
Rpta:...........................................................
2.
sen(180   )
sen(360  – )
Rpta:...........................................................
Reducir:
5.
E  cos210
Determinar:
F
tg(180   )
ctg(90   )
Rpta:...........................................................
Rpta:...........................................................
3.
Calcular:
M  tg 135   ctg 225 
6.
Determinar:
G  tg135   tg 225   tg 315 
Rpta:...........................................................
Rpta:...........................................................
4.
Calcular:
Lideres en Educación
2do Grado de Secundaria
7
7.
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Universidad
Calcular:
S  ctg 225   sen 330 
12. Calcular:
F
Rpta:...........................................................
8.
Mes: Setiembre 2013
sen(– 30 ) sec(60 )

sen(330 ) sec(120 )
Rpta:...........................................................
Calcular:
R  sec 240  csc 210
13. Reducir:
Rpta:...........................................................
9.
R  cos120   3 cos150 
Calcular:
P  tg 217   ctg 307 
Rpta:...........................................................
Rpta:...........................................................
14. Reducir:
 sen (90  x ) tg 240  
I


tg 60  
 cos( x )
10. Calcular:
C
sec(180   )  tg(360   )
csc(270   )  ctg(90   )
Rpta:...........................................................
Rpta:...........................................................
11.
15. Calcular:
C
Calcular:
 sen(150 ) tg(120 ) 
M


 sen(210 ) tg(300 ) 
2
2
sen(–50 ) sen(– x )

2
sen 50 
sen x
Rpta:...........................................................
Rpta:...........................................................
TAREA DOMICILIARIA Nº 02
1.
M  tg 240   sen 120 
Calcular:
P
sen(– x ) cos( x ) tg(– x )


sen x
cos x
tg x
Rpta:...........................................................
Rpta:...........................................................
2.
4.
S
Calcular:
M
sen(– x )
tg(180   x )

cos(90   x ) ctg(270   x )
tg(180  – x ) sec(180   )

tg(– x )
csc(90   )
Rpta:...........................................................
Rpta:...........................................................
3.
Calcular:
5.
Simplificar:
M  sen127  cos143
Calcular:
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8
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Rpta:...........................................................
6.
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Mes: Setiembre 2013
10. Calcular:
Calcular:
E=
sen (– x )
tg (90   x )

sen (180   x )
ctg x
R  sen120  cos150
A) 1
7.
B) 2
C) 0
D)
Calcular:
11.
A)
1
B)
0
C)
–2
D)
2
Calcular:
tg 225º
tg(180   x ) cos(90   x )

tg x
sen x
W
A) 0
B) 2
C) – 2
Rpta.:...........................................................
D) 1
12. Calcular:
M = sen120º + cos225º
8.
Reducir:
Rpta.:...........................................................
sen(– x )
tg (– x )
sen (180  – x )
2
3
sen(x )
tg x
sen x
E
13. Simplificar:
V
A) 6
9.
B) 3
C) 1
D) 0
tg  90º  x 
ctg  270º  x 
Rpta.:...........................................................
Reducir:
14. Simplificar:
M
sen (90   x )
1
cos(– x )
A) 2
B) 0
R
C) – 2
sen  90º  x 
tg  270º  x 

sen  270º  x  tg  90º  x 
Rpta.:...........................................................
D) 0,5
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2do Grado de Secundaria
9
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Mes: Setiembre 2013
TALLER DE APRENDIZAJE Nº 02
1.
Reducir: P 
sen   x  cos   x 

sen x
cosx
2.
Calcular: K 
tg  60º 
cos  45º 
3.
Calcular: M = sen(–30º)×cos(–45º)
4.
Calcular: E = cos(–60º) + tg(–37º)
Lideres en Educación
2do Grado de Secundaria
10
“Innova Schools”
Del colegio a la
Universidad
5.
Calcular: S = sen(–30º) + tg(–53º)
6.
Reducir: N 
7.
Calcular: sen150º
8.
Calcular el valor de: E 
Mes: Setiembre 2013
sen    tg  
sen   tg 
sen135º
tg315º
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