9 ELECTROMAGNETISMO

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9º ELECTROMAGNETISMO
Ejercicios del capítulo
1. INTRODUCCIÓN.
Los fenómenos que hoy llamamos magnéticos fueron conocidos cientos de años antes
de nuestra era. En la antigua Grecia se conocieron ciertas propiedades de unas piedras,
que probablemente serían de magnetita, (Fe3O4), que corresponden a lo que hoy
llamamos imanes. Sin embargo hasta el siglo XIX no se relacionaron estos fenómenos
con la Electricidad. Los imanes naturales como la magnetita o los artificiales muestran
un comportamiento de atracción o repulsión entre sí que permite distinguir los
extremos del imán: a uno se le denomina polo norte (N) y al otro, polo sur (S). La
interacción entre imanes consiste en que polos del mismo nombre se repelen y los de
nombre diferente se atraen. Además los polos de un imán atraen materiales como el
hierro. Esta interacción se puede describir por medio de un campo vectorial al que
denominamos densidad de flujo magnético, B. Este campo tendría unas líneas de
fuerza que saldrían del polo norte y entrarían al polo sur. Naturalmente el flujo de B a
través de una superficie cualquiera S será:
y dimensionalmente:
2. ACCIÓN DE LOS CAMPOS MAGNÉTICOS ESTACIONARIOS SOBRE
CARGAS ELÉCTRICAS EN MOVIMIENTO.
Si en el seno de una densidad de flujo magnético B estacionaria (es decir, no
dependiente del tiempo) hay una carga eléctrica q moviéndose con una velocidad v,
hay una interacción que puede describirse matemáticamente por la expresión vectorial:
(9.1)
La fuerza, denominada fuerza de Lorentz, resulta pues proporcional a la carga, su
dirección es perpendicular simultáneamente a v y a B estando determinado su sentido
por la regla del sacacorchos o regla de la mano derecha. Se trata por lo tanto de una
fuerza centrípeta. La fuerza resulta nula tanto si la carga está en reposo como si la
velocidad tiene su dirección coincidente con la de B. De la (9.1) se deduce que el
campo magnético tiene dimensiones de fuerza/(intensidad x longitud), su unidad S.I.
será: 1 NA-1m-1 y esta unidad se denomina tesla (T), o sea, 1 T=1 NA-1m-1. La unidad
2
S.I. de flujo magnético de denomina Weber (símbolo 1 Wb) y por lo tanto 1T=
1Wb/m2.
2.1 Trabajo sobre una carga móvil debido a una densidad de flujo magnético
estacionaria.
El trabajo realizado por una fuerza es
, pero tratándose de la
fuerza de Lorentz tal como la hemos definido en (9.1), como F y v son
perpendiculares, resultará W = 0, lo que quiere decir que los campos magnéticos
estacionarios no pueden modificar la energía cinética de la partícula cargada, aunque
sí su dirección.
2.2 Movimiento de una carga en un B perpendicular a la velocidad inicial.
En este caso la F estará en el plano perpendicular a B y que contenga a v0 , y por lo
tanto la trayectoria estará en ese mismo plano. Además al ser la fuerza centrípeta el
movimiento será circular uniforme. El módulo de la fuerza centrípeta será según la
(9.1): F = q B v0 y por lo tanto la aceleración centrípeta será:
(9.2)
pero la aceleración centrípeta en un movimiento circular uniforme es v2/R , siendo R el
radio de la circunferencia. Por tanto:
(9.3)
El periodo, frecuencia y pulsación del movimiento serán:
(9.4)
Esta frecuencia  se denomina frecuencia ciclotrón.
2.3 Caso general del movimiento de una carga en un campo magnético.
La velocidad v puede considerarse suma de dos componentes v= y v ; la primera
paralela al B y la segunda perpendicular a B: v = v= + v :
(9.5)
3
Aplicando el principio de superposición, podemos estudiar por separado el efecto del
campo magnético sobre cada una de las dos componentes. Sobre la v el efecto
corresponde a lo visto en el § 2.2, por lo tanto la proyección del movimiento sobre un
plano perpendicular a B será un movimiento circular uniforme de radio R igual a (9.3)
y de periodo igual a T (9.4). Sobre la el efecto será nulo, ya que v= x B = 0. La
composición de los 2 movimientos será un hélice de paso (v= x T) inscrita en un
cilindro de radio R.
2.4 Acción de una densidad de fujo magnético uniforme sobre un conductor.
Supongamos que una porción rectilínea de un conductor cilíndrico de longitud l y área
se la sección recta A, que es recorrido por una intensidad de corriente I y que se
encuentra en una región en la que existe una densidad de flujo magnético uniforme, B.
Podemos considerar que la intensidad es el resultado de un desplazamiento de los
portadores de corriente (electrones libres). Sobre cada uno de dichos electrones se
producirá una fuerza y el efecto total sobre la porción de conductor será la suma de
todos los efectos individuales. Podemos considerar que como vimos en el capítulo 7
los electrones se desplazan con una velocidad media vn. Por tanto podemos considerar
que sobre un electrón la fuerza media será:
(9.6)
El número de electrones que se desplazan será: A l n, siendo n la densidad de
electrones libres del material que constituya el conductor y por lo tanto la fuerza total
será:
(9.7)
recordando que I = J A = e n v n A y transformando l en un vector l de la misma
dirección y sentido que vn, se puede escribir:
(9.8)
Si tenemos un conductor cualquiera, sobre un elemento del mismo dl se producirá una
fuerza dF:
(9.9)
y la fuerza sobre una porción de conductor finita (entre a y b) será:
4
(9.10)
5
Fig. 9.1
Si el conductor fuese una espira cerrada la fuerza total sería lógicamente cero, aunque
puede no ser cero el momento total de la fuerza, como veremos en ejemplos.
Fig. 9.2
3. LEY DE BIOT Y SAVART.
Fue el físico danés Christian Oersted quien descubrió que el origen del campo
magnético está en las corrientes eléctricas o más generalmente en las cargas en
movimiento. La reproducción experimental de los hechos descubiertos de forma
casual permitió cuantificar el valor de la densidad de flujo magnético creada en un
punto P situado a una distancia R de un conductor rectilíneo y muy largo (es decir,
longitud   R) por la corriente de intensidad I circulando por dicho conductor
(fig.9.1). Suponiendo que estamos en el vacío, el módulo de B será:
(9.11)
donde k vale, en el sistema internacional 10-7 TA-1 m y  0 es la llamada permeabilidad
magnética del vacío. La dirección será perpendicular al conductor y al radio R y el
sentido vendrá dado por la regla del sacacorchos o de la mano derecha.
Como vemos en (9.11), la densidad de flujo magnético B depende de la constante  0,
que en principio se puede considerar característica del material en el que estemos
considerando definido B (en este caso el vacío). En la mayor parte de los casos
prácticos el medio no será el vacío. Si el material puede considerarse homogéneo e
isótropo,  0 deberá ser sustituida por otra constante  de las mismas dimensiones,
denominada permeabilidad magnética del material. En este caso se denomina
6
permeabilidad relativa del medio a
. Como veremos más adelante, la mayor
parte de los materiales tienen una permeabilidaad relativa casi igual a 1, aunque
ligeramente mayor (
). Estos materiales se denominan paramagnéticos. Unos
pocos de gran interés cintífico y tecnológico tienen en cambio valores de  r muy
grandes; son los llamados materiales ferromagnéticos (hierro, niquel, cobalto,
gadolinio, ferritas, .. etc). Otros pocos tienen valores de y se denominan materiales
diamagnéticos.
Interesa definir otra magnitud relacionada con B, pero no dependiente del medio
material:
; H se denomina intensidad de campo magnético, (a veces,
simplemente campo magnético).
Respecto al significado de la constante  0, hay que destacar que aplicando el análisis
dimensional podemos comprobar que las dimensiones de
, donde  0
Permeablidad  r
Materiales
Paramagnéticos
Aluminio
1.000021
Magnesio
1.000012
Paladio
1.00082
Titanio
1.00018
Diamagnéticos
Bismuto
0.99983
Oro
0.99996
Plata
0.99998
Cobre
0.99999
Ferromagnéticos
Niquel
250
Cobalto
600
7
Hierro (puro)
4000
Mumetal
100000
Tabla 9.1
Fig. 9.3
es la constante dieléctrica del vacío que fue introducida en el capítulo 6, corresponden
a las de una velocidad. Pero las leyes se Maxwell del Electromagnetismo establecen
que esta magnitud debe ser concretamente el módulo de la velocidad de propagación
de las ondas electromagnéticas (entre ellas la luz) en el vacío:
.
3.1 Acción mutua entre conductores paralelos.
Supongamos dos conductores paralelos separados por una distancia a y muy largos
(longitudes   a) por los que circulan sendas intensidades I1 e I2 tal como vemos en
la figura 9.4. Cada uno de ellos producirá una densidad de flujo magnético que a su
vez ocasionará sobre el otro conductor una fuerza:
(9.12)
(9.13)
8
las direcciones y sentidos son los que se ven el la figura. Si las intensidades fueran en
sentidos opuestos, los resultados serían iguales pero las fuerzas serían repulsivas
en lugar de atractivas. El módulo de la fuerza entre los conductores por unidad de
longitud será:
(9.14)
Fig. 9.4
3.2 Forma diferencial de la ley de Biot y Savart.
La ley de Biot y Savart puede escribirse en forma vectorial y diferencial, de manera
que pueda aplicarse (por integración) a conductores de cualquier forma y longitud
(Fig. 9.5); suponemos para ello que el campo magnético total B es debido a la
contribución de elementos de conductor dl considerados como un vector en la
dirección y sentido de la corriente. Entonces la ley se Biot y Savart se escribirá así:
(9.15)
y el campo magnético total será:
(9.16)
Esta expresión podemos aplicarla ahora al caso de un conductor recto y largo (longitud
tomada como infinita) y veríamos que la expresión del módulo del campo magnético
que obtenemos coincide con la (9.11), coincidiendo también dirección y sentido. El
ángulo  lo mediremos siempre desde dl a r.
9
Fig. 9.5
3.3 Aplicaciones de la ley de Biot y Savart a casos concretos.
3.3.1 Conductor recto de longitud finita (Fig. 9.6).
;
10
y teniendo en cuenta que
;
y finalmente nos queda:
(9.17)
siendo la dirección perpendicular al plano del dibujo y el sentido, hacia delante del
dibujo
3.3.2 Campo manético producido por un conductor circular en un punto del eje.
Aplicando la ley de Biot y Savart:
y teniendo en cuenta que las proyecciones de dB en las direcciones paralelas al plano
del conductor se anularán tendremos que:
,
y
(9.18)
o en función de x:
o en función de  :
(9.19)
(9.20)
3.3.3 B producido por un solenoide cilíndrico en un punto del eje.
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Un solenoide es un arrollamiento helicoidal de hilo conductor. En la figura 9.8 vemos
un solenoide recto cilíndrico (a) y un solenoide recto prismático (b). Hay también
solenoides de estructura toroidal de sección cilíndrica o rectangular. Por razones de
sencillez matemática se supone que las vueltas del solenoide están muy apretadas, es
decir, que el paso de la hélice es muy pequeño y lo podemos considerar infinitesimal.
Los resultados obtenidos a partir de esta aproximación no serán exactos, pero nos dan
una idea aproximada del comportamiento de estos sistemas.
Aplicando el resultado anterior a una rodaja de solenoide de grosor dx, (Fig. 9.9):
siendo n el número de vueltas por unidad de longitud de solenoide. Tomamos P como
origen de las x, y por lo tanto -x = R cotg  , lo que implica que:
12
,
y sustituyendo en la anterior nos quedará:
(9.21)
siendo:
Casos particulares:
- P en el centro:
- P en el centro, solenoide largo:
(9.22)
(9.23)
- P en el centro del extremo del solenoide:
(9.24)
- Igual que en el caso anterior y solenoide largo:
(9.25)
13
Ejercicio interactivo
4. LEY DE AMPERE.
Queremos calcular la circulación del vector B a lo largo de la circunferencia de
la figura 9.1:
(9.26)
Este resultado que hemos obtenido en un caso particular puede generalizarse a
cualquier disposición de conductor y curva, pero su demostración se sale de los límites
de este curso. Así pues, podemos afirmar que la circulación del vector B a lo largo de
cualquier curva cerrada es igual a intensidad que atraviesa una superficie limitada
por la citada curva por la permeabilidad :
(9.27)
Este enunciado se denomina ley de Ampere.
5. LEY DE FARADAY-LENZ.
Es bien conocido que si acercamos y alejamos alternativamente una espira conductora
a la fuente de un campo magnético, se produce en dicha espira una intensidad de
corriente. Si la espira permanece en reposo respecto al campo magnético la intensidad
se hace cero. Vamos a describir este hecho experimental a partir de la definición del
flujo del campo magnético. Como para cualquier campo vectorial, para B , el flujo
magnético a través de una superficie cualquiera será:
(9.28)
Así como en el caso del campo eléctrico su flujo a través de una superficie cerrada era
proporcional a la carga eléctrica encerrada por la citada superficie, el flujo magnético
 B a través de una superficie cerrada será siempre cero, puesto que no existen
monopolos magnéticos N ó S independientes.
14
Si a través de una superficie limitada por una línea cerrada, C, hay un flujo magnético
variable con el tiempo, a lo largo de esa línea se induce una diferencia de potencial,
llamada d.d.p. inducida, cuyo valor viene expresado así:
(9.29)
por lo tanto debe de haber un campo eléctrico inducido E en cada punto de dicha línea
tal que
. En el caso de que la línea cerrada esté recorrida por un coductor
de resistenia R, la intensidad inducida, i =  /R, producirá una densidad de flujo
magnético, y por lo tanto un flujo magnético a través de la espira conductora que
"tratará" de contrarrestar la variación de flujo causante de la misma. Esto constituye la
llamada ley de Faraday-Lenz, que tiene importantes aplicaciones prácticas. Así por
ejemplo, toda la producción industrial de energía eléctrica o, más concretamente los
alternadores, están basados en esta ley.
5.1 Campos eléctricos creados por campos magnéticos variables.
La ley de Faraday que acabamos de enunciar no necesita de la presencia del conductor
para inducir un campo eléctrico, es decir, un flujo magnético variable atravesando la
porción superficie delimitada por una curva cerrada produce un campo eléctrico E tal
que se verifica:
(9.30)
La integral del segundo miembro es la circulación del vector E. Recordemos que en
electrostática la circulación de E vale cero (E es un campo vectorial conservativo), por
lo que concluimos que el campo eléctrico inducido no es conservativo. Por ejemplo si
tuviésemos una densidad de flujo magnético B uniforme en el espacio pero variable en
con el tiempo, perpendicular al plano del papel penetrando en él, el campo eléctrico
inducido en los puntos de una circunferencia contenida en dicho plano tendría el
mismo módulo E por simetría, su dirección sería tangente a la circunferencia en cada
punto y su sentido el determinado por la regla del sacacorchos (Fig. 9.10). Si
aplicamos la (9.30) tendremos que  = 2 R E, o sea, E =  /2 R.
5.2 Corrientes de Eddy.
Si tenemos un bloque de material conductor en presencia de un flujo magnético
variable en el interior del conductor se generan corrientes inducidas, que producirán
por lo tanto una disipación de energía calorífica por efecto Joule. Esta energía se
15
Fig. 9.10
(a)
(b)
Fig. 9.11
toma naturalmente de la causa que esté ocasionando la variación del flujo. Así por
ejemplo si tenemos una lámina conductora de forma de disco oscilando entre los polos
de un imán como vemos en la figura 9.11, en la lamina se producirá un flujo variable
cuando el disco entra o sale de la zona en la que existe el camo B (zona rectangular
gris claro). Por ello, aún suponiendo que no hubiera rozamientos de tipo mecánico en
la oscilación, se produciría un frenado de la misma en los momentos de entrada y
salida del disco. El frenado sería menor en (b) que en (a) ya que las corrientes de Eddy
en (b) se ven dificultadas por las rendijas y por lo tanto no habrá tanta disipación de
calor.
6. AUTOINDUCCIÓN.
En cualquier espira conductora cualquier variación de la intensidad que circula a su
través pruducirá un flujo  B dependiente de la intensidad. Si la intensidad varía con
el tiempo  B variará y esta variación a su vez causará una d.d.p. vL inducida entre los
16
extremos del conductor que tenderá a oponerse a la variación de intensidad. Esta d.d.p.
autoinducida será proporcional a la rapidez con que varíe la intensidad:
(9.31)
La constante de proporcionalidad L se denomina autoinductancia. Sus dimensiones,
según la (9.31) serán [resistencia x tiempo] y su unidad SI sería 1  s que recibe el
nombre especial de henrio de símbolo H (1 H=1  s). El efecto inductivo descrito por
(9.31) significa un almacenamiento en el conductor de una energía electrocinética;
para calcularla supondremos que la intensidad va variando desde cero hasta el valor i.
La potencia instantánea será:
y la energía almacenada en un intervalo dt:
Por lo tanto la energía total almacenada cuando la intensidad alcanza el valor I será:
(9.32)
Este comportamiento de la inductancia tiene cierta similitud, que en teoría de circuitos
lineales se denomina dualidad, con el de una capacidad; de hecho todas las
expresiones coinciden con la siguiente correspondencia de variables:
Inductancia (1 H = 1  s)
Capacidad (1 F = 1  -1s)
v
i
i
v
1/R
R
L
C
La expresión (9.31) no considera la d.d.p. debida a la resistencia del conductor, es
decir, el efecto autoinductivo puro no se dará nunca ya que no es posible tener una
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espira en la que no exista un efecto resistivo (descrito por la ley de Ohm), salvo el caso
especial de una espira superconductora. Una espira conductora real se modelaría de
una forma bastante aproximada por una inductancia en serie con una resistencia.
6.1 Carga y descarga de una inductancia.
El circuito podría ser como el de la figura 9.12, donde vemos el símbolo habitualmente
utilizado para representar la inductancia y apreciamos una resistencia que representaría
en general la del hilo conductor empleado para construir la inductancia más la
resistencia externa a la misma si la hubiere. Las leyes de Kirchoff
Fig. 9.12
de las mallas nos permiten escribir la ecuación del circuito de una sola malla.
Considerando la intensidad i(t) como variable básica, siendo t el intervalo de tiempo
transcurrido desde el instante (t=0 s) en que se cierra el interruptor, la ecuación sería:
(9.33)
que es una ecuación diferencial lineal de primer orden y cuya solución es:
(9.34)
siendo L/R una constante del circuito que tiene dimensiones de t y que se llama
constante de tiempo. i0 es el valor de i para t=0 con el sentido que corresponda (si la
espira está inicialmente descargada, i0 = 0). i es el valor de i para t  , o sea, en
este caso i =VA/R. Aunque i =VA/R cuando t  , en la práctica el valor se
alcanzará cuando t sea igual a unas cuantas veces L/R. Si nos interesa la expresión de
vL, bastará calcularla a partir de la (9.31). Sin embargo su expresión directa tiene la
misma forma que la (9.34):
18
(9.35)
En la Fig. 9.13 vemos la representación gráfica de la carga de una inductancia
inicialmente descargada.
7. INDUCTANCIA MUTUA.
Supongamos una bobina (1) (Fig. 9.14) de N1 vueltas por la que circula una intensidad
I1 y una segunda bobina próxima a la primera de N2 vueltas recorrida por una
intensidad I2. Llamemos  21 a la parte del flujo magnético producido por la bobina
(1) que atraviesa la bobina (2). Definimos la inductancia mutua de la bobina (2) con
respecto a la bobina (1) de la siguiente forma:
(9.36)
La f.e.m. inducida en la bobina (2) por la bobina (1) será:
Fig. 9.14
19
(9.37)
De la misma manera, la inductancia mutua de la bobina (1) con respecto a la bobina
(2) será:
(9.38)
y la f.e.m. inducida en la bobina (1) por la bobina (2) será:
(9.39)
Se puede demostrar que M12 = M21 = M, que se denomina inductancia mutua del par
de bobinas considerado. M se medirá en henrios como la autoinductancia.
7.1 Transformador.
Un transformador es un sistema de dos bobinas arrolladas sobre un núcleo
ferromagnético, (generalmente hierro dulce), de manera que casi todo el flujo que
produce una de las bobinas atraviesa también la otra. La (1) se denomina primario y la
(2) secundario (Fig. 9.15). En realidad el estudio detallado del sitema es bastante
complejo y no lo abordaremos. Un transformador ideal sería un modelo simplificado
en el que se supone que:
1- el flujo total atraviesa ambos arrollamientos
2- en el núcleo no se disipa energía no por corrientes de Eddy ni por histéresis.
3- la inductancia de cada bobina es muy grande (se considera  ).
20
Fig. 9.15
para que en el transformador real se cumpla con cierta aproximación la condición 2 el
núcleo se construye de hierro dulce y laminado en lugar de macizo. El rendimiento de
los transformadores reales puede estar comprendido entre el 90 y el 99 %. Si
consideramos un transformador ideal (rendimiento 100 %),  21 =  12 =  :
(9.40)
Los transformadores tienen muchas aplicaciones como elevadores-reductores de
tensiones alternas. Así por ejemplo, la tensión alterna producida en una central, que en
Europa tiene una frecuencia de 50 Hz, (pulsación,  =100  s-1, periodo, T=20 ms),
debe elevarse hasta valores de 370 kV eficaces o incluso más con objeto de que la
intensidad en la línea de transmisión hasta los centros de consumo sea menor, (9.31), y
por lo tanto sean menores las perdidas en la línea por efecto Joule. Esta elevación se
realiza por medio de grandes transformadores con una relación N1 / N2 > 1
adecuadamente grande. Por el contrario, en los centros de consumo se debe rebajar la
tensión eficaz por motivos de seguridad de equipos y personas y por lo tanto habrá que
usar de nuevo transformadores con N1 / N2 < 1 adecuadamente pequeño. En el circuito
de la figura 9.14, I1 es la intensidad que circula por el primario e I2 la que pasa por el
secundario. R=V2/I2 y desde el primario se tiene una resistencia aparente R'=V1/I1.
Teniendo en cuenta la (9.40):
(9.41)
Como se estudia en Teoría de Circuitos Eléctricos, este cambio aparente de resistencia
(adaptación de impedancias) es muy útil para conseguir una transferencia óptima de
21
energía desde un sistema productor de energía a un sistema receptor de energía. Así
pues, otra aplicación de los transformadores es la adaptación de impedancias.
8. LEYES DE MAXWELL.
8.1 Campos estacionarios.
Si consideramos una región del espacio en la que hay un campo eléctrico E y una
densidad de flujo magnético B estacionarios, es decir, no dependientes del tiempo,
entre ellos se verifican las siguientes relaciones, según acabamos de ver:
;
para una superficie s cerrada (9.42)
;
para una superficie s cerrada
(9.43)
;
para una curva c cerrada
(9.44)
;
(9.45)
para una curva c cerrada
La (9.42) es la ley de Gauss para campos eléctricos, que vimos en el capítulo 6. La
(9.43) es la ley de Gauss para campos magnéticos, que expresa la inexistencia de
monopolos magnéticos. La (9.44) indica que el campo E estacionario es conservativo,
mientras que la (9.45) es la ley de Ampere para campos conservativos. Estas 4
ecuaciones, junto con la expresión de la fuerza de Lorentz,
, describen
completamente todo el electromagnetismo para campos estacionarios.
8.2 Caso general.
Si queremos generalizar las leyes de Maxwell a campos estacionarios o no, las (9.42) y
(8,43) quedararían igual, si bien la (9.42) puede escribirse de forma más general:
, donde el segundo miembro es una integral extendida al volumen v
encerrado por la superficie s, y donde  es la densidad de carga en puntos de dicho
volumen. La (9.44) se generaliza dando lugar a la ley de Faraday-Lenz que hemos
visto:
. Esta ley nos dice que el campo eléctrico no es
conservativo en general. La (9.45) se ajusta a los datos experimentales en los que hay
22
una intensidad de corriente I que fluye de forma continua por un conductor. Sin
embargo vamos a ver que es inconsistente si la intendidad no fluye de forma continua.
Maxwell ideó la forma de resolver la inconsistencia añadiendo un témino proporcional
a la variación del flujo del campo eléctrico con el tiempo a través de la superficie s
limitada por la curva c. La ecuación (9.45) quedaría así:
Para entender la inconsistencia de la (9.45), vamos a suponer (Fig. 9.16) un
condensador que se está cargando. Por el terminal de la izquierda llega una intensidad
I, que atraviesa la superfice s limitada por la curva c. Por lo tanto, en este caso se
cumpliría sin problemas que
. Pero en cambio la superficie s', que también
está limitada por la misma curva c, no es atravesada por la intensidad y por lo tanto,
según la (9.45), sería
, lo que resulta contradictorio con lo anterior. En
cambio, si añadimos segundo término, resultaría
, en donde el
témino
tiene dimensiones de intensidad y valdría lo mismo que I. Este
témino fue denominado por Maxwell "corriente de desplazamiento". Así pues, las
ecuaciones de Maxwell en su forma general quedan así:
Fig. 9.16
;
;
para una superficie s cerrada (9.46)
para una superficie s cerrada (9.47)
23
;
;
para una curva c cerrada
(9.48)
para una curva c cerrada (9.49)
9. PROPIEDADES MAGNÉTICAS DE LA MATERIA.
9.1 Momentos angulares y magnéticos en los átomos.
Según la Mecánica Clásica, cada electrón cortical de un átomo está sometido a una
fuerza central y describe una órbita aproximadamente circular alrededor del núcleo.
Por lo tanto tendrá un momento angular que sería:
(9.50)
siendo me la masa en reposo del electrón y v su velocidad lineal. El módulo de esta es
mucho menor que la velocidad de la luz en el vacío y por lo tanto no haría falta utilizar
la Mecánica Relativista. Como tenemos una carga eléctrica, e, circulando, se producirá
en N una densidad de flujo magnético, B, que es un vector que tiene la
Fig. 9. 17
misma dirección que J, pero sentido contrario:
24
siendo m un vector denominado momento dipolar magnético o simplemente
momento magnético de esta pequeña espira a la denominamos dipolo magnético:
m = I  r2 j ;
(9.51)
siendo I la intensidad de corriente eléctrica producida por la carga e orbitando con
velocidad v. Este planteamiento de la Física Clásica resulta también correcto para la
Mecánica Cuántica, pero no podemos esperar que todo lo que prediga la Fíca Clásica
sea igualmente válido: Así por ejemplo, según la Mecánica Cuántica, el propio
electrón tiene un momento angular y un momento magnético intrínsecos que tienen la
misma dirección. Es lo que se llama espín del electrón, que a veces interpretamos
como debido a un giro del electrón sobre si mismo, pero que realmente no tiene
justificación en la Física Clásica. Además también los protones de los núcleos parecen
describir órbitas y girar sobre si mismos (espín del protón). Y todavía es más
sorprendente desde un punto de vista clásico que los neutrones nucleares tengan
también espín.
9.2 Comportamientos magnéticos de la materia.
Unos pocos materiales interaccionan fuertemente con los campos magnéticos. El más
representativo de este pequeño conjunto de materiales, denominados ferromagnéticos,
es el hierro; los otros son el niquel, el cobalto y el gadolinio y aleaciones especiales
denominadas genéricamente ferritas. En cambio una gran mayoría de materiales
interaccionan con campos magnéticos de forma similar, pero mucho más débilmente.
Los materiales de este grupo, mucho más numeroso, se denominan paramagnéticos.
Así pues, entre ferromagnetismo y paramagnetismo sólo hay una diferencia
cuntitativa.
En los átomos de los materiales existen cargas eléctricas en movimiento que producen
momentos magnéticos. Puede ocurrir que todos los momentos magnéticos en cada
átomo se compensen dando como resultado átomos sin momento magnético. Estos
materiales se denominan diamagnéticos. En un material diamagnético, cuando no está
sometido a ningún campo magnético exterior, la densidad de flujo magnético interno,
B, será cero, mientras que si aplicamos un campo magnético exterior, el módulo de B
en el interior será ligeramente menor que el exterior.
Hay otros materiales cuyos átomos sí tienen momento magnético al no compensarse
entre si los momentos magnéticos orbitales de los electrones y sus momentos
intrínsecos o espines. En este caso los momentos magnéticos de los átomos tratarán de
alinearse con el campo magnético aplicado (exterior) y por lo tanto el campo
magnético interno se verá reforzado. Estos son los materiales paramagnéticos. Si
tenemos un material paramagnético, en ausencia de campo magnético exterior, el
25
campo magnético interno será cero debido a que la agitación térmica desordena los
momentos magnéticos de los átomos individuales. Si por el contrario, tenemos un
campo magnético exterior, el campo B interior será ligeramente mayor que el campo B
en el exterior. En los materiales paramagnéticos la interacción con el campo
magnético exterior, que tiende a ordenar los momentos magnéticos atómicos, se ve
contrarrestada por la agitación térmica, que tiende a desordenarlos. Por ello el
paramagnetismo es más intenso normalmente a bajas temperaturas (poca agitación).
En cambio en los materiales diamagnéticos, la influencia de la temperatura es muy
pequeña.
En los materiales ferromagnéticos, como el hierro, los átomos no sólo tienen
momentos magnéticos no nulos (como en los paramagnéticos), sino que se acoplan
entre si alineándose en una dirección preferente sin que intervenga un campo
magnético exterior. Este comportamiento no se explica desde un punto de vista
clásico, ya que al ser las intercciones magnéticas relativamente débiles, el
ordenamiento debería ser destruido por la agitación térmica. En realidad
ferromagnetismo, paramagnetismo y diamagnetismo son comportamientos que sólo
tienen explicación coherente en la Mecánica Cuántica. En el vacío una intensidad de
campo magnético H produce una densidad de flujo magnético B tal que B =  0.H. Si
el medio no es el vacío, la densidad de flujo producida por el mismo H será diferente y
podrá exprearse así:
B =  0.( H+M ) (9.52)
donde M es un campo vectorial de las mismas dimensiones que H y que se denomina
vector de magnetización. Si el material es paramagnético, M lo interpretamos como
una alineación de los momentos magnéticos, m, microscópicos (atómicos) que
refuerzan el efecto del campo magnético exterior H. Este reforzamiento lo podemos
expresar también definiendo una constante  , denominada permeabilidad del material
de que se trate, tal que
B =  .H (9.53)
donde  tiene las mismas dimensiones que  0 y es     0 cuando se trata de un
material paramagnético. Se denomina permeabilidad relativa del material a una
magnitud adimensional
. Para materiales paramagnéticos
ecuación (9.52) también se suele escribir así:
(9.54)
. La
26
donde hemos expresado que
; es decir, el vector magnetización es
función de la intensidad de campo magnético y de una magnitud adimensional  m,
denominada susceptibilidad magnética del material.
La mayoría de los materiales paramagnéticos tienen un comportamiento lineal, o sea,
 ,  r, y  m son constantes y
, o bien
(9.55)
Los materiales diamagnéticos tienen  r<1, lo que significa que el material no refuerza
el flujo magnético respecto al que existiría si el medio fuera el vacío, sino que ocurre
todo lo contrario. En el caso de materiales ferromagnéticos se verifica que
, ( r desde 50 a 106 para algunas aleaciones especiales llamadas
ferritas) , es decir, el material refuerza fuertemente el efecto del campo exterior H.
Pero además el comportamiento del material es fuertemente no lineal, es decir  ,  r,
y  m dependen del campo magnético exterior H y de la historia magnética del
material,
9.2.1 Comportamiento de los materiales ferromagnéticos.
Como hemos dicho, si un material tiene un comportamiento lineal, al aplicarle un
campo magnético H, se producirá en su interior una densidad de flujo magnético B, tal
que B = .H siendo  una constante. Esto representado gráficamente correspondería a
la Fig. 9.18 (a): al aumentar el valor de H, aumenta linealmente el valor de B y la
pendiente de la recta es constante,  = B/H. Si vamos variando cíclicamente el valor
de H desde P1, P2, P3, P4, P3, P2, P1, el proceso es reversible.
Fig. 9.18 (a)
Fig. 9.18 (b)
27
Los materiales ferromagnéticos refuerzan el efecto del campo magnético exterior y
además se comportan de una forma no lineal, que puede representarse de forma
cualitativa por la Fig. 9.18 (b). En cuanto el módulo de H sobrepasa un determinado
valor, la relación B/H depende de H (es decir  , es variable) y además depende de la
"historia" del material. Así por ejemplo, si H va variando de forma cíclica, el proceso
P1, P2, P3, P4, P5, P6, P1, no es reversible y el ciclo se denomina ciclo de histéresis. Si
después del estado P1 anulamos H, vemos que el material conserva una densidad de
flujo magnético Br, que se denomina densidad de flujo magnético remanente. Es lo
que ocurre en el caso de los imanes permanentes. El magnetismo remanente, es decir,
la permanencia de un flujo magnético sin que haya un campo magnético aplicado, es
lo que explica las muchísimas aplicaciones de los diversos tipos de memorias
magnéticas usadas en informática (discos duros, disquetes, cintas magnéticas, ..)
EJERCICIOS DEL CAPÍTULO 9
ELECTROMAGNETISMO
EM. 1 Aceleramos iones de los isótopos C-12, C-13 y C-14 con una d.d.p. de 100 kV y los
hacemos llegar a un espectrógrafo de masas perpendicularmente a la densidad de flujo magnético
que es de 0.15 T. Calcule: a) radios de las trayectorias dentro del espectrógrafo; b) separación
entre las trazas dejadas por los iones en la película.
___________________________________________
EM. 2 Conductor y espira circular son coplanarios. Calcular la densidad de flujo magnético en el
centro de la espira, P.
28
____________________________________________
EM. 3 Calcular la densidad de flujo magnético en el centro del rectángulo, siendo a = 2 cm; b = 4
cm; I = 10 A.
Cada lado producirá en P un campo magnético perpendicular al plano de la espira y hacia
adelante. Por lo tanto los 4 vectores correspondientes a cada uno de los 4 lados se pueden sumar
como si fueran escalares. Calculamos el campo debido a uno de los lados b:
29
y operando queda para los 2 lados b:
Calculamos el campo debido a uno de los lados a:
y operando queda para los 2 lados a:
y la densidad de flujo magnético total será:
y operando con los valores numéricos que nos dan nos sale:
BT = 4.4721 x 10-4T
___________________________________________________
EM. 4 ¿ Qué fuerza tendremos que realizar para desplazar la barra de resistencia R con una
velocidad constante v, si el conductor en U tiene una resistencia despreciable y el rozamiento
mecánico también es despreciable ? Aplicación: a = 2 cm; B = 0.5 T; R = 10  ; v = 10 m/s
__________________________________________________
______________________________________________
30
EM. 5 ¿ Qué fuerza total ejercerá el conductor (1) sobre la espira rectangular ? Aplicación: a = 2
cm; b = 2 cm; c = 5 cm; I = 100 A; I' = 50 A.
________________________________________________
______________________________________________
EM.6 Calcular la densidad de flujo magnético en el punto P. Aplicación: a = 2 cm; b = 4 cm; I =
100 A;  = 120 grados sexagesimales.
_________________________________________________
____________________________________________________
EM. 7 Calcular la densidad de flujo magnético en el punto P. Aplicación: a = 1 cm; I1 = 20
A; I2 = 20 A;I3 = 10 A;.
31
____________________________________________________
____________________________________________
EM. 8 Calcular la intensidad de corriente I1 que circulará por el conductor recto de longitud L
sabiendo que la densidad de flujo magnético en P es nulo. (El conductor de la izquierda se supone
muy largo).
________________________________________________
_____________________________________________
EM. 9 En el interior de un solenoide largo que tiene 200/ vueltas/cm hay una bobina de 100
vueltas y un diámetro de
cm, de forma que ambos tienen común el eje. Si por el solenoide
32
hacemos circular una intensidad que crece de 0 a 2 A en 0.1 s y luego decrece hata 0 en el mismo
tiempo repitiéndose periódicamente el proceso, calcular la d.d.p. inducida en la bobina interior.
_________________________________________________
; módulo de la densidad de flujo magnético en la zona central del solenoide largo. La
dirección, la del eje del solenoide. El flujo del B a través de la bobina interior será:
y la d.d.p. inducida será por lo tanto:
luego:
___________________________________________________
EM. 10 Calcular la intensidad de corriente que deberíamos hacer circular por la expira exterior
para que el campo eléctrico en el centro de ambas fuera cero. El radio interior es 4 cm y el
exterior 10 cm, la intensidad I = 50 A.
33
________________________________________________
EM. 11 a- La espira de la figura tiene una resistencia de R = 20  y la desplazamos de izquierda
a derecha con una velocidad v = 0.5 m/s. Represente gráficamente el flujo de la densidad de flujo
magnético a través de la espira y la intensidad de corriente que circulará por dicha espira en
función de x. B = 4 T; a = 6 cm; b = 10 cm; c = 12 cm.
;
_____________________________________________
EM. 12 El anillo de aluminio que rodea al solenoide largo, de 15 vueltas/cm y radio r = 4 cm
tiene una resistencia de 0.1  y un radio R = 10 cm. La intensidad de corriente I que circula por
el solenoide va aumentando a razón de 250 A/s. Averiguar:
a - La intensidad de corriente inducida en el anillo. b - La densidad de flujo magnético creado por
la corriente inducida en el centro del anillo (dirección, sentido y módulo).
34
_____________________________________________
EM. 13 Hacemos girar una varilla conductora de 1 m de longitud con velocidad angular
constante  = 6 radianes/s alrededor de uno de sus extremos en el seno de un campo magnético
uniforme de 5 T perpendicular al plano de giro. Calcular la d.d.p. entre los extremos de la varilla.
(Considere que el conductor tiene una densidad de cargas negativas, electrones, libres).
;
y la d.d.p. se calculará así:
_____________________________________________
EM. 14 La espira de la figura tiene 50 vueltas y es recorrida por una intensidad I = 2 A en el
sentido indicado. Si dicha espira puede girar sobre el eje indicado, averigüe el valor del momento
de la la furza total ejercida por la densidad de flujo magnético B = 4 T. a =10 cm; b = 12 cm.
35
_____________________________________________
EM. 15 La intensidad de corriente que circula por el hilo recto y muy largo varía con el tiempo
en forma sinusoidal, I = I0 sen  t (A). La espira rectangular paralela al hilo tiene una resistencia
R. Determine la expresión de la intensidad inducida en la espira. Aplique al caso de a = 5 cm; b =
10 cm; I0 = 10 A;  = 100  s-1; R = 2  .
_____________________________________________
EM. 16 Determinar la densidad de flujo magnético en el punto P situado en el plano del
conductor plano y muy largo de la figura.
36
_____________________________________________
EM. 17 Dos conductores largos rectilíneos y paralelos son coplanarios con una espira circular de
radio R por la que circula una intensidad i0 en sentido CCW. Los conductores están dispuestos
simétricamente, distan entre si R y por ellos circulan intensidades i1 =i2 iguales en módulo.
a) Averiguar el sentido de estas corrientes para que la densidad de flujo magnético en el centro de
la espira sea nulo.
b) Hallar el valor de i1 para que resulte nulo la densidad de flujo magnético en el centro de la
espira, cuando R=6 cm e i0=100 A
_____________________________________________
37
EM. 18 Si V(t) = A sen t, siendo  = 150  s-1, R =200 , L = 25 mH, C = 0.5 F, calcule la
potencia media entregada por el generador. Calcule lo mismo si la frecuencia de la tensión fuera
la de resonancia.
_____________________________________________
EM. 19 La horquilla es de material conductor y su resistencia la despreciamos por ser mucho
menor que la de la varilla AB. Esta varilla tiene una masa m = 2 g y una resistencia R = 1.5  .
La horquilla está formando un ángulo de 30º respecto de la horizontal. ¿Con qué velocidad
descenderá por el plano inclinado? Entre la varilla y la horquilla hay un coeficiente de rozamiento
 = 0.1.
38
Resp.: Con rozamiento:
; sin rozamiento:
_____________________________________________
EM. 20 Calcular el coeficiente de autoinducción de un solenoide de 10 cm de longitud que está
formado por 800 espiras circulares de 2 cm de diámetro. (Resp.: 2.5 mH).
_____________________________________________
EM. 21 El coeficiente de autoinducción de una bobina de 400 espiras es 8 mH. ¿Qué flujo
magnético atraviesa la bobina cuando la intensidad es 5 mA? (Resp.: 10-7 Wb).
_____________________________________________
EM. 22 La intensidad que circula por una inductancia de 10 H varía con el tiempo según la
expresión: i = 2t2 - 3t (i en A t en s). a) Calcular el valor de la fuerza lectromotriz inducida
cuando t=0 y t=3 s. b) ¿En qué instante se anula dicha f.e.m.? (Resp.: a) 30 V, -90 V; b) 0.75 s).
_____________________________________________
EM. 23 En una zona del espacio hay un campo magnético E = i-k (V/m) y una intensidad de
flujo magnético B = 3i-j+2k (T). Calcular la fuerza total ejercida sobre una partícula cargada con
3  C que se mueve con una velocidad v = 2i-j (m/s).
Resp.: F = -3 (i+4j)  N
_____________________________________________
CUESTIONES
C1. Teniendo en cuenta la ley de Coulomb y la ley de Boit y Savart, deduzca las dimensiones de
.
39
_____________________________________________
C2. Explique por qué el flujo a través de una superficie cerrada de un campo eléctrico
estacionario no es nulo en general y en cambio el de un campo magnético estacionario siempre es
cero.
_____________________________________________
C3. Explique por qué cuando se corta la corriente que alimenta un circuito por medio de un
interruptor, entre las bornas de éste se produce una chispa.
_____________________________________________
C4. Una espira conductora rectangular de lados AB y BC y de resistencia eléctrica R se encuentra
dentro de un campo magnético uniforme B, paralelo al plano de la espira (ver figura). Si la espira
está inicialmente en el plano del papel y comienza a girar sobre el lado AD hacia el interior,
¿Cuál será el sentido de la corriente inducida? (Razonar la respuesta).