Subido por Beto Jose Mendoza

problemas antenas 1p

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Ejercicios de Antenas: Temas 1,2,3 y 4
Eugenio Jiménez Yguácel
Laboratorio de Electrónica de Comunicaciones
Ejercicio 1
Se desea cubrir un área circular de radio 35 Km utilizando un conjunto de antenas cada una
de las cuales tiene un diagrama de radiación que varı́a como D(α) = 12 cos5 (α). El diagrama
de radiación del conjunto y de cada una de las antenas es el que se muestra en la figura 1 y
podemos suponer que es prácticamente omnidireccional. La sensibilidad del equipo receptor es
de -102 dBm para una relación S/N de 25 dB y su ganancia 0 dB. La frecuencia de trabajo es
de 950 MHz y la atenuación por exceso debida al terreno y la altura de antenas es de 20 dB.
No hay pérdidas por polarización.
Calcule la potencia mı́nima que debe tener el transmisor para que haya cobertura en cualquier punto de la zona.
Compruebe si el receptor emitiendo 31 dBm es capaz de ser recibido por la estación central
suponiendo que ésta tenga una sensibilidad de -105 dBm.
Calcule la figura de ruido mı́nima del conjunto amplificador-antena del equipo receptor para
cumplir las especificaiones dadas; sensibilidad y relación S/N.
Datos: k = 1,38x10−23 J/K o T0 = 2900 K
90
14
120
12
60
10
8
150
30
6
4
2
180
0
210
330
240
300
270
Figura 1: Diagrama de radiación
1
Ejercicio 2
Sea un conjunto de tres antenas como el mostrado en la figura 2. Sabiendo que las tres antenas
~ 0 calcule el campo
son idénticas y que el campo creado por la antena que está en el origen vale E
~ 0 , λ, d y las coordenadas angulares θ y φ.
en cualquier punto del espacio en función de E
r̂ = x̂ sin θ cos φ + ŷ sin θ sin φ + ẑ cos θ
Z
d
Y
d
45
X
Figura 2: Geometrı́a del ejercicio 2
Ejercicio 3
La figura 3 muestra dos situaciones parecidas pero diferentes. Las dos primeras antenas están
contenidas en el plano ZY mientras que las otras dos están en planos verticales diferentes pues
la segunda antena está situada en un plano paralelo al ZX.
Calcule las pérdidas por polarización en los dos casos sabiendo que todas las antenas son
idénticas y que sus vectores de polarización son paralelos a los ejes de las antenas.
Z
Z
α
Y
β
Y
X
X
Figura 3: Geometrı́a del ejercicio 3
2
Ejercicio 4
Un radioenlace de vano 50 Km. consta de dos antenas idénticas, horizontalmente polarizadas y
correctamente alineadas. La directividad de las antenas a la frecuencia de funcionamiento del
radioenlace, 10 GHz, está dada por:
D(θ) = 100
sin(100π sin θ)
100π sin θ
2
siendo θ el ángulo medido a partir de la trayectoria (ver figura).
Obtener la relación señal-ruido en el receptor si la potencia del transmisor es 1 W, el ancho
de banda 30 MHz, las pérdidas por atenuación atmosférica y reflexiones en las antenas 20
dB y la temperatura equivalente de ruido 1000 K.
La antena transmisora sufre ahora un desapuntamiento de 0.1 grados. Calcule la nueva
relación señal-ruido si todos los parámetros anteriores permanecen constantes.
θ
Figura 4: Geometrı́a del ejercicio 4
Dato: K=1.38x10−23 Julios/K.
Ejercicio 5
Sea la antena de cuadro de la figura 5. Dicha antena puede considerarse como la unión de cuatro
antenas cortas con las corrientes dirigidas según indican las flechas. El campo creado por una
antena corta de longitud l situada sobre el eje x y por la que circula una corriente dirigida según
x̂ vale:
i
k0 η0 I0 l h
E~0x = j
cos θ cos φ θ̂ − sin φ φ̂
4π
El campo creado por una antena corta de longitud l situada sobre el eje y y por la que circula
una corriente dirigida según ŷ vale:
i
k0 η0 I0 l h
E~0y = j
cos θ sin φ θ̂ + cos φ φ̂
4π
Calcule el campo creado por la antena y su función ganancia directiva. Para simplificar los
cálculos, suponga que k0 l/2 << 1
Nota: r̂ = x̂ sin θ cos φ + ŷ sin θ sin φ + ẑ cos θ
Z
l
Y
X
Figura 5: Geometrı́a del ejercicio 5.
3
Ejercicio 6
Se desea cubrir una zona hexagonal regular como la mostrada en la figura 6. La estación base se
encuentra situada a una altura de 50m (h1 =50m) siendo el radio del hexágono 10Km (d=20Km).
Las caracterı́sticas de la estación base son las siguientes: potencia 30W, ganancia de la antena
17.15 dB (omnidireccional en la zona de cobertura) y sensibilidad (mı́nima potencia detectable)
-105 dBm. Las caracterı́sticas del terminal móvil son las siguientes: potencia 0.8W, ganancia
de la antena 0 dB (omnidireccional) y sensibilidad -102 dBm. La frecuencia de trabajo es de
900MHz y el ancho de banda equivalente de ruido es de 200KHz. T0 =290K y k=1,38 10−23 J/K
Calcule la potencia recibida en los puntos A,B y C. ¿Le parece mucha o poca la potencia
recibida teniendo en cuenta la sensibilidad del terminal móvil?
Compruebe si el enlace está balanceado entre la estación base y el punto C. Esto es, compruebe si la potencia que recibe la estación base procedente del móvil es suficiente para que
haya enlace.
Vuelva a repetir los apartados anteriores utilizando para el cálculo de las pérdidas básicas
de propagación (L0 ) la fórmula empı́rica de Okumura. Comente los resultados
L0 = −69,55 − 26,16 log(f (M Hz)) + 13,82 log(h1 (m)) − log(d(Km)) (44,9 − 6,55 log(h1 (m)))
Calcule las figuras de ruido máximas de los amplificadores del terminal móvil y la estación
base si ambos receptores necesitan al menos una relación S/N de 20 dB a la salida dichos
amplificadores. Considere que los equipos están recibiendo la señal mı́nima que pueden detectar.
Desprecie la temperatura de antena en ambos casos.
Z
h1
C
A
Y
B
d
X
Figura 6: Geometrı́a del ejercicio 6
Ejercicio 7
Una antena está formada por dos dipolos colineales tal y como se presenta en la figura 7. Las
alimentaciones de ambos dipolos son idénticas en módulo y fase. La impedancia de entrada de
un dipolo en λ/2 es de 73,13 + j42,55Ω
0.5λ
0.2λ
0.5λ
Z
X
Figura 7: Geometrı́a del ejercicio 7
Calcule la impedancia de entrada de cada uno de los dipolos.
Calcule el campo total radiado por la estructutra y la directividad.
Notas: El campo creado por un dipolo en λ/2 situado en el origen y el vector r̂ valen:
I cos(π/2 cos θ)
E~0 = 60
θ̂
r
sin θ
r̂ = x̂ sin θ cos φ + ŷ sin θ sin φ + ẑ cos θ
4
η0 = 120π
Impedancia mutua entre dipolos de media onda
Configuracion colinear
30
25
Real[Z12]
Imag[Z12]
20
Z12 Omhs
15
10
5
0
-5
-10
0,00
0,10
0,05
0,20
0,15
0,30
0,25
0,35
0,40
0,45
0,50
Separacion en longitudes de onda
Figura 8: Impedancias mútuas en dipolos colineales
Ejercicio 8
Se quiere establecer una comunicación a larga distancia trabajando a 1 MHz y utilizando la
capa E de la ionosfera como reflector (figura 9). Las ondas al rebotar en dicha capa sufren una
atenuación de 20 dB. En el receptor utilizaremos una antena de lazo cargada con ferrita cuya
directividad es de 1.5 con una eficiencia de radiación ηl = 10−5 y una temperatura de antena
Ta = 1011 o K. La antena transmisora tiene una ganancia de 1.8 dB y el sistema un ancho de
banda de 10 KHz. La relación (S/N) a la salida de la antena receptora debe ser de, al menos,
30 dB.
Calcule el alcance del enlace si el ángulo de ataque ψ es de 24o
Calcule la potencia mı́nima necesaria en el transmisor para que el enlace cumpla los
requisitos de relación (S/N).
Notas: El ruido a la salida de la antena receptora se puede calcular como
N = kTa Bηl + kT0 B(1 − ηl ) k = 1,38 10−23 J/ o K
T0 = 300o K
Capa E
100 Km
ψ
ψ
Figura 9: Geometrı́a del ejercicio 8
Ejercicio 9
Sea la antena Yagi mostrada en la figura 10. Las dimensiones los elementos son l1 = 0,48λ,
l2 = 0,45λ y la distancia entre ellos d = 0,12λ. Para esas dimensiones, las impedancias mútuas
son Z11 = 75,8+j14,0Ω, Z12 = 51,9−j2,6Ω y Z22 = 60,6−j29,6Ω. En estas condiciones calcule:
La impedancia de entrada y la relación entre las corrientes I1 e I2 .
El campo total producido en función de I1 suponiendo que ambas antenas se comportan
como dipolos de longitud eléctrica λ/2.
La directividad del conjunto. Si no hubiera resuelta los apartados anteriores, suponga que
|Eyagi |max = 0,987|E0 |max y que Re[Zin ] = 38,25Ω.
5
Notas: El campo creado por un dipolo en λ/2 situado sobre el eje z y centrado en el origen
vale
e−jk0 r cos( π2 cos θ)
I
E~0 = j60
θ̂
r
sin θ
r̂ = x̂ sin θ cos φ + ŷ sin θ sin φ + ẑ cos θ η0 = 120π
l1
l2
d
Figura 10: Geometrı́a del ejercicio 9
Ejercicio 10
Sea una antena constituida por un dipolo de longitud eléctrica λ/2 situado a una distancia de
λ/2 del eje z y frente a un diedro conductor de 90o que supondremos infinito. La antena y el
conjunto de imágenes generado se pueden ver en la figura 11. Las impedancias mútuas de esta
geometrı́a valen: Z11 =73+j42Ω, Z12 =Z14 =-24Ω y Z13 =3+j18Ω
y
-I
I
3
2
-I λ/2
4
I x
1
Figura 11: Geometrı́a del ejercicio 10
Calcule la impedancia de entrada del dipolo en esta situación. Suponiendo que la Z11 se
puede escribir, para pequeñas variaciones de L, como:
Z11 = 73 + j43
L/λ − 0,45
Ω
0,05
y que las otras impedancias no varı́an significativamente, calcule la longitud L que deberı́a tener
el dipolo para que el conjunto dipolo-reflector presentara una impedancia de entrada resistiva
pura.
Calcule el campo creado por la antena y su directividad
Notas: El campo creado por un dipolo en λ/2 situado en el eje z y centrado en el origen vale:
I cos(π/2 cos θ)
E~0 = 60
θ̂
r
sin θ
6
Ejercicio 11
Se desea cubrir una zona rectangular como la mostrada en la figura 12. La distancia entre los
puntos AAés de 10 Km y la altura H a la que está situada la antena es de 500 m. El diagrama
normalizado de radiación en el plano horizontal se muestra en la figura 13 y su ganancia se
puede considerar constante para un ancho de haz de 120 grados.
d
A
A’
α
H
d
B
AA’
BB’
B’
Figura 12: Zona de cobertura del ejercicio 11
90
1.2
120
1.029
60
0.8571
0.6857
150
30
0.5143
0.3429
0.1714
180
0
210
330
240
300
270
Figura 13: Diagrama normalizado de radiación en plano horizontal.
Calcule la distancia d para que las pérdidas debidas al diagrama de radiación en el plano
horizontal sean nulas en la lı́nea AA0
Calcule el ángulo de inclinación α respecto la horizontal de la antena para que el borde
AA0 coincida con la caida a 3 dB del diagrama de radiación en el plano vertical. El ancho de
haz a 3dB en el plano vertical es de 13.7o . Si no ha resuelto el apartado anterior, suponga una
distancia d de 2.88 Km.
Calcule la diferencia entre los niveles de potencia recibidos en las lı́neas AA0 y BB0 siendo
BB0 la lı́nea donde apunta la dirección de máxima radiación. Si no ha resulelto el segundo
apartado tome para α un valor de 3 grados.
7
Ejercicio 12
Sea una antena situada sobre un plano de masa tal y como se muestra en la figura 14. Sabiendo
0 y)
que el campo creado en un punto del eje Y si la antena estuviera el origen valdrı́a C I exp (−jk
~x.
y
Calcule el campo en cualquier punto del eje Y y la distancia d para que el máximo de radiación
esté en el eje Y
Z
d Y
I X
Figura 14: Geometrı́a del ejercicio 12.
Ejercicio 13
Sea un array de tres dipolos de longitud λ2 situados como se muestra en la figura 15. Las
corrientes de los elementos del array son :I1 = 0,5, I2 = 1,0, I3 = 0,5.
A partir de la gráfica 16 y sabiendo que la impedancia de un dipolo es de 73+j42,5Ω, calcule
las tensiones que deberı́an alimentar a los dipolos para conseguir las corrientes indicadas.
λ/2
λ/2
z
Figura 15: Geometrı́a del ejercicio 13.
Impedancia mutua entre dos dipolos
10
Re[Z12]
Im[Z12]
5
0
-5
Ohmios
-10
-15
-20
-25
-30
-35
-40
0.4
0.42
0.44
0.46
0.48
0.5
0.52
0.54
0.56
Distancia entre los elementos (en longitudes de onda)
Figura 16: Gráfica de impedancias mútuas.
8
0.58
0.6
Ejercicio 14
Se desea cubrir un sector circular de 90o como el mostrado en la figura 17 utilizando una antena
cuya directividad varı́a como D(α) = 3 cos4 α2 . La PIRE de la antena transmisora es de 8
dBW, no hay pérdidas por polarización o desadaptación y la frecuencia de trabajo es de 1.5
GHz. Sabiendo que la sensibilidad mı́nima del receptor es de -80 dBm, calcule la ganancia
mı́nima que deberı́a tener la antena receptora (supuesta omnidireccional), de modo que hubiera
cobertura en cualquier punto de la zona.
α
10 Km.
1 Km.
Figura 17: Zona de cobertura del ejercicio 14.
90
3
120
60
2
150
30
1
180
0
210
330
240
300
270
Figura 18: Ganancia de la antena transmisora del ejercicio 14.
Ejercicio 15
Sea un conjunto de dos antenas como el mostrado en la figura 19. Sabiendo que las dos antenas
~ 0 calcule:
son idénticas y que el campo creado por la antena que está en el origen vale E
~ 0 , λ, d y las coordenadas angulares
El campo en cualquier punto del espacio en función de E
θ y φ.
La distancia d de modo que aparezca un nulo de radiación para φ =
r̂ = x̂ sin θ cos φ + ŷ sin θ sin φ + ẑ cos θ
9
π
4
y θ = π2 .
d
d
π/4
Figura 19: Geometrı́a del ejercicio 15.
Ejercicio 16
Sea un antena de cuadro constituida por cuatro dipolos de longitud eléctrica λ/2 unidos entre
sı́ mediante unos separadores cerámicos tal y como muestra la figura 20. Los valores de las
corrientes en cada uno de los tramos valen: I1 = I3 = I cos k0 x e I2 = I4 = I cos k0 y con las
direcciones y sentidos mostrados en la figura antes citada.
y
I1
λ/2
I4
x
I2
I3
λ/2
Figura 20: Geometrı́a del ejercicio 16
Calcule el campo eléctrico sobre el plano XY y la directividad del conjunto si la resistencia de
radiación de cada dipolo es de 85Ω y los máximos de radiación están en φ = 45o , 135o , 225o y 270o
Notas:
Z
~ = −jω A
~
r̂ = x̂ sin θ cos φ + ŷ sin θ sin φ + ẑ cos θ η0 = 120π ωµ0 = k0 η0 E
a sin ax + jb cos ax
cos ax exp(jbx)dx =
exp(jbx) En el plano XY x̂ = −φ̂ sin φ e ŷ = φ̂ cos φ
a2 − b2
Ejercicio 17
Las sondas Voyager 1 y 2 realizaron desde finales de los años 70 exploraciones de los planetas del
sistema solar, permitiendo obtener imágenes de Júpiter en el año 1979, de Saturno en 1981, de
Urano en 1986 y de Neptuno en 1989. Las caracterı́sticas de los sistemas de telecomunicación de
ambas sondas eran similares y, en particular, para el envı́o de las imágenes a la tierra radiaban
a una frecuencia de 8.466 GHz una potencia de 21.3 W con una antena de 3.4 m de diámetro y
una ganancia de 48.13 dB. El segmento terrestre del Voyager se conoce con las siglas DSN (Deep
Space Network está constituido por un conjunto de antenas parabólicas de grandes dimensiones
situadas en España, California y Australia. En 1979 estas antenas tenı́an un diámetro de 64 m
y una ganancia de 72.2 dB a la frecuencia indicada.
Sabiendo que la distancia ente la Tierra y Júpiter es de 6.8 108 Km calcule la relación S/N
si el ancho de banda de transmisión era de 115 KHz y la temperatura total de ruido 28.5 K.
Calcule la precisión angular, el máximo error permisible en grados, con la que el satélite
deberı́a apuntar a la Tierra si no queremos que la relación S/N empeore más de 3 dB. Suponga
que el lóbulo de radiación de la antena del satélite tiene simetrı́a de revolución respecto el eje
10
de apuntamiento y que la ganancia de dicha antena se puede calcular como G = ∆θ4π
donde
2
3dB
∆θ3dB es el ancho de haz a mitad de potencia de la antena expresado en radianes.
Entre la fecha de recepción de las imágenes de Júpiter (1979) y las de Neptuno (1989), las
instalaciones de la DSN fueron mejoradas para compensar la reducción de nivel que se iba a
producir debido al incremento de la distancia. Las antenas pasaron a tener 70 m de diámetro y
74.3 dB de ganacia; la temperatura de ruido se redujo a 25.5 K y se disminuyó la velocidad de
transmisión pasando a tener un ancho de banda de 21.6 KHz.
Como la distancia entre la Tierra y Neptuno es de 4.32 109 Km calcule cuál habrı́a sido
la relación S/N si no se hubiera mejorado la DSN y cuál fué la relación S/N que se obtuvo
tras la mejora. ¿Cómo influyeron en la nueva relación S/N cada una de las mejoras: ganancia,
temepratura de ruido y reducción del ancho de banda?
Datos: k = 1,38x10−23 J/K o
Ejercicio 18
Una antena conocida por los radioaficionados como W8JK consta en su configuración más simple
de dos dipolos de longitud λ/2 situados muy próximos; figura 21
z
λ/2
B
A
C
B’
A’
C’
x
λ/8
Figura 21: Geometrı́a la antena W8JK
Calcule la impedancia de entrada de cada uno de los dipolos teniendo en cuenta que las
alimentaciones son iguales en módulo y están en contrafase.
Calcule el campo radiado y la directividad de la antena.
Si los dipolos tuvieran unas pérdidas de 2Ω cada uno, ¿cuánto valdrı́a la ganancia de la
antena?
Impedancia mutua entre dipolos de media onda
Configuracion en paralelo
70
60
Z12 (Ohmios)
50
40
Real Z12
Imag Z12
30
20
10
0
-10
-20
0,000
0,025
0,050
0,075
0,100
0,125
0,150
0,175
0,200
0,225
0,250
Separacion entre dipolos (longitudes de onda)
Figura 22: Impedancias mútuas en dipolos en paralelo
11
Ejercicio 19
Sean dos antenas situadas tal y como se muestra en la figura 23. Por la antena situada en el
eje Z circula una corriente Io y por la situada en el plano XY la corriente vale Io exp(jβ).
Sabiendo que el campo creado por una antena situada según un vector genérico û y por la que
−jk0 r
circula una corriente I vale I K exp
û calcule el valor del campo sobre cualquier punto del
4πr
eje Y e indique valores de D y β para obtener polarizaciones lineares y circulares.
Z
Z
D
Y
X
X
Figura 23: Geometrı́a del ejercicio 19.
Ejercicio 20
Sea un conjunto de dos antenas situadas como se indica en la figura 24. El campo que crea la
antena situada sobre el eje z es
−jk0 r
~ = CI0 e
E
r
cos(π cos θ)
θ̂
sin θ
La corriente que circula por la antena situada en el eje x es I0 ejα , siendo I0 la corriente que
circula por la otra antena. Calcule el campo creado en un punto cualquiera del eje y e indique
z
y
x
Figura 24: Geometrı́a del ejercicio 20.
qué polarizaciones se pueden conseguir variando el desfase entre las corrientes.
Ejercicio 21
Se desea cubrir un área circular utilizando una antena situada en su centro. Los parámetros del
sistema son:
Transmisor: Antena omnidireccional con polarización circular
Receptor: Antena omnidireccional con poolarización lineal, ganancia 1 dB y sensibilidad
-75 dBm
Los datos generales son: Frecuencia 950 MHz, radio del cı́rculo 10 Km., ancho de banda 200
KHz, T0 = 290 K o , k = 1,38 10−23 J/K o .
Calcule la PIRE mı́nima del transmisor que nos asegura cobertura en toda la zona y la figura
de ruido máxima que debe tener el receptor si la relación (S/N) a la salida del amplificador es
de 40 dB para la señal mı́nima a recibir. Desprecie la temperatura equivalente de ruido de la
antena receptora.
12
Ejercicio 22
Un radioenlace de vano 50 Km. consta de dos antenas idénticas, horizontalmente polarizadas
y correctamente alineadas. El sistema trabaja a 10 GHz. La relación señal-ruido mı́nima en el
receptor debe ser de 35 dB. La potencia del transmisor es 1 W, el ancho de banda 30 MHz,
las pérdidas por atenuación atmosférica y reflexiones en las antenas 20 dB y la temperatura
equivalente de ruido (amplificador + antena) 1000 K.
Calcule: la ganancia mı́nima que deben tener las antenas para cumplir las especificaciones
del sistema y el nivel de campo que hay en el receptor. Dato: K=1.38x10−23 Julios/K η0 =120π.
Ejercicio 23
Sea una conjunto de cuatro antenas idénticas situadas tal y como se muestra en la figura 25.
~ 0 calcule:
Sabiendo que el campo creado por la antena situada en el origen vale E
~ 0 , λ, d y las coordenadas angulares
El campo en cualquier punto del espacio en función de E
θ y φ.
La distancia d de modo que aparezca un nulo de radiación para φ =
π
4
θ = π2 .
r̂ = x̂ sin θ cos φ + ŷ sin θ sin φ + ẑ cos θ
Z
Y
d
d
X
Figura 25: Geometrı́a del ejercicio 23.
Ejercicio 24
Sea un conjunto de cinco antenas idénticas equiespaciadas respecto al origen y dispuestas como
se muestra en la figura 26. Sabiendo que que el campo creado por la antena que está en el origen
0 r)
vale E0 exp(−jk
ẑ calcule la expresión del campo lejano en cualquier dirección.
r
Se quiere que en la dirección θ = π2 , φ = π4 aparezca un nulo de radiación. Calcule el valor
de h necesario para ello.
r̂ = sin θ cos φ x̂ + sin θ sin φ ŷ + cos θ ẑ
Z
Y
h
X Figura 26: Geometrı́a del ejercicio 24.
13
Ejercicio 25
Un radioaficionado instala como antena transmisora a 30 MHz un dipolo horizontal de media
onda y lo sitúa a una altura sobre el suelo h = λ
y
h
x
z
Figura 27: Geometrı́a del ejercicio 25.
Suponiendo que la tierra actua como un plano de masa indefinido, calcule los campos radiados por la estructura. Particularize para el plano H (θ = 90o ) y calcule la posición angular del
primer máximo sobre el suelo.
Suponiendo que la tierra y la ionosfera son planas, calcule la distancia a la que podrı́a
comunicarse con el haz más bajo mediante una reflexión en la capa F2, supuesta a una altura
de 350 Km., ası́ como la longitud del camino recorrido por el rayo.
Calcule la potencia que recibirı́a un receptor con una antena de ganancia 6 dB situado en el
punto antes calculado. La impedancia de la antena transmisora es de 75Ω, la potencia radiada
75 W y la atenuación en exceso debido al rebote ionosférico 20 dB. Si no ha resuelto el primer
apartado, suponga para la posición angular φ =15o
Calcule la altura a la que deberı́a situar la antena si quisiera que el alcance fuera de 4000
Km.
Notas: El campo creado por un dipolo en λ/2 situado sobre el eje z y centrado en el origen
vale
e−jk0 r cos( π2 cos θ)
I
E~0 = j60
θ̂
r
sin θ
r̂ = x̂ sin θ cos φ + ŷ sin θ sin φ + ẑ cos θ η0 = 120π
Ejercicio 26
Sea la antena de la figura 28 formada por un dipolo corto y una antena de lazo pequeña por
las que circula la misma corriente I. Sabiendo que los campos generados por cada una de las
antenas son
−jk0 r
ωµ0 e
E~d = −j
Il sin θθ̂
4π
r
−jk0 r
~ l = − ωµ0 e
E
Ik0 πa2 sin θφ̂
4π
r
Calcule, para l = ko πa2 , el campo en cualquier punto del espacio, la función ganancia
directiva y la polarización del campo resultante.
Z
a
l
Y
I
X
I
Figura 28: Antena del ejercicio 26.
14
Ejercicio 27
Sea una agrupación tipo cortina situada en el plano yz operando a 300 MHz. Dicha agrupación,
ver figura 29, está formada por cuatro dipolos de media onda separados λ/2 entre sı́ y situados
a λ/4 de un plano conductor.
1
λ/4
λ/2
2
λ/2
3
y
λ/2
x
z
4
λ/2
Figura 29: Geometrı́a del ejercicio 27.
Calcule el campo creado por la estructura suponiendo que las corrientes son iguales.
Ejercicio 28
En sistemas radiantes de TV es común el empleo de paneles de dipolos horizontales situados a
λ/4 de un plano conductor, tal y como se muestra en la figura 30. Suponga que que los dos dipolos
están alimentados en fase y que el máximo de radiación está en la dirección (θ = π/2, φ = 0).
Las impedancias mutuas entre dos dipolos de longitud eléctrica λ/2 situados paralelamente
y separados una distancia d valen: Z(d=0)=73+j42, Z(d=0.5λ)=-13-j29, Z(d=0.7λ)=-25-j2 y
Z(d=0.86λ)=-12+j16.
Calcule, cuando están los dos dipolos alimentados, el campo creado por la agrupación, la
impedancia que ve cada dipolo y la directividad.
cos θ)
θ̂
Notas: r̂ = x̂ sin θ cos φ + ŷ sin θ sin φ + ẑ cos θ y E~0 = 120 Ir cos(π/2
sin θ
y
y
z
0.25λ
0.7λ
x
y
x
z
Figura 30: Antena del ejercicio 28.
Ejercicio 29
Una antena bastante utilizada en la práctica es la formada por un dipolo con dos brazos iguales
y de longitud H=5λ/8. Esta antena tiene de particular el que es la antena de longitud de brazo
menor a 2.5λ que presenta la mayor directividad.
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El campo creado por una antena dipolo de brazo H con una distribución sinusoidal de
corriente cuya corriente máxima es Im obedece a la ecuación:
−jk0 r
~ = j60 e
E
r
Im
cos[k0 H cos θ] − cos k0 H
θ̂
sin θ
Sabiendo que la corriente que circula por el centro de la antena y que sirve para calcular la
potencia radiada vale I(0) = Im sin k0 H y que la resistencia de radiación vale 210 Ω, calcule la
directividad de esta antena. El máximo de radiación está en la dirección θ = π/2.
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