Inecuaciones

INECUACIONES
U.D. 4
@ Angel Prieto Benito
* 2º BCS
Matemáticas 2º Bach. Sociales
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INECUACIONES LINEALES
U.D. 4.1
@ Angel Prieto Benito
* 2º BCS
Matemáticas 2º Bach. Sociales
2
Identidad, ecuación e inecuación
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IDENTIDAD
Es toda igualdad que siempre se cumple, sea cual sea el valor de la
incógnita o incógnitas:
x=x
(x – 2).(x + 2) = x2 – 4
ECUACIÓN
Es una igualdad que sólo se cumple para uno o varios valores
concretos de la incógnita o incógnitas que intervienen:
2x = 4
 Sólo para x = 2
x2 = 4
 Sólo para x = 2 y para x = - 2
INECUACIÓN
Es una desigualdad que se cumple en un intervalo finito o infinito de
valores de la incógnita o incógnitas que intervienen:
x < 2
 ( - oo , 2 )
x ≥ -4
 [ - 4 , + oo )
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Casuística de inecuaciones
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CASOS QUE PUEDEN DARSE CON INECUACIONES Y RESOLUCIÓN
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1.1 INECUACIONES LINEALES CON UNA INCÓGNITA
Se despeja la incógnita y se interpreta la solución.
Admite representación gráfica.
1.2 INECUACIONES POLINÓMICAS (CUADRÁTICAS, CÚBICAS, ETC)
Se factoriza y mediante la regla de los signos se deduce la solución.
Admite representación y resolución gráfica.
1.3 INECUACIONES RACIONALES
Se factoriza y mediante la regla de los signos se deduce la solución, donde los ceros
del denominador no pueden formar parte de la misma.
Admite representación y resolución gráfica.
1.4 INECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Se despeja una incógnita, generalmente la “y” y se resuelve gráficamente.
La gráfica es una línea recta, continua o discontinua. No tiene solución analítica
1.5 INECUACIONES NO LINEALES CON DOS INCÓGNITAS
Se despeja una incógnita, generalmente la “y” y se resuelve gráficamente.
La gráfica es una parábola, hipérbola, etc, continua o discontinua. No tiene solución
analítica
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Inecuaciones con una incógnita
• Una inecuación es toda desigualdad en la que intervienen
incógnitas o valores desconocidos.
• En las desigualdades se emplean símbolos que es necesario
saber leer e interpretar.
• Signo:
Se lee:
• x < -3
x es siempre MENOR que - 3
• x ≤ 5
x es MENOR o IGUAL que 5
• x > 7
x es siempre MAYOR que 7
• x ≥ -2
x es MAYOR o IGUAL que - 2
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Soluciones y equivalencia
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SOLUCIONES DE UNA INECUACIÓN
Las soluciones de una inecuación son los valores que pueden tomar las
incógnitas, tales que al sustituirlos en la inecuación la desigualdad sea
cierta.
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Ejemplos:
x>4
x2 – 4 < 0
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EQUIVALENCIA DE INECUACIONES
Dos o más inecuaciones son equivalentes cuando tienen la misma
solución.
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Ejemplos:
x>4
x2 – 4 < 0
@ Angel Prieto Benito


y
y
x = 5 es solución; también x = 6, x = 7, etc
x = 1 es solución; también x = - 1 , x = 0, etc
x–4>0
son inecuaciones equivalentes.
(x + 2).(x – 2) < 0
son equivalentes.
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Soluciones gráficas
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1.-
2+x ≥4 
x ≥4–2 
x ≥2
Solución = [ 2, + oo )
Como x puede valer 2, se empleará intervalos semicerrados.
En la gráfica, la inclusión del 2 se representa por un punto sólido.
R
2
•
•
•
•
2.-
2x < x -5 
2x – x < - 5 
x <-5
Solución = ( - oo, - 5 )
Como x no puede valer - 5, se empleará intervalos abiertos.
En la gráfica, la exclusión del - 5 se representa por un punto hueco.
R
-5
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Resolución de inecuaciones
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PRINCIPIOS DE EQUIVALENCIA
•
Si a los dos miembros de una inecuación se les suma o resta un mismo
número o expresión algebraica, resulta una inecuación equivalente a la
dada.
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Si x – 3 > 1  x – 3 + 3 > 1 + 3  x > 4
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica o divide por un
número real positivo, resulta una inecuación equivalente a la dada.
Si
x / 3 < 5  3. x / 3 < 3. 5  x < 15
Si a los dos miembros de una inecuación se les multiplica por un número
real negativo, resulta una inecuación equivalente a la dada, pero con el
signo de desigualdad contrario al de la inecuación original.
Si - x < 3  (- 1).( - x ) > (- 1).3
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 x > -3
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Ejercicios resueltos
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Sean las inecuaciones:
1.- 2 + x ≥ 4
2.-
2·x ≤ x – 5
3.-
x >x+2
• SOLUCIONES:
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1.-
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•
•

x ≥4–2 
x ≥2
Solución: x = [ 2, + oo )
2.-
•
•
2+x ≥4
2x < x – 5

2x – x < – 5

x <–5
Solución : x = (– oo, – 5 )
3.-
x >x+2
 x–x >2
Solución : x = Ø
@ Angel Prieto Benito

0>2
FALSO
(Conjunto vacío)
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4.-
•
•
SOLUCIÓN:
•
•
•
x+1
------- + 3 ≥ 4
2
x+1+6
-------------- ≥ 4
2
•
•
•
•
•
5.-
x–1
x
------------ + 2 < -----5
3
•
•
•
3.(x – 1) + 30
5.x
-------------------- < --------15
15
SOLUCIÓN:
•
x+7≥8
•
3.(x – 1) + 30 < 5.x
•
x≥8–7
•
3.x – 3 + 30 < 5.x
•
x≥1
•
– 3 + 30 < 5.x – 3.x
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Solución: x = [ 1 , oo ]
•
27 < 2.x  x > 13´5
•
Solución: x = ( 13´5 , oo )
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