Álgebra Lineal Ma1010 (2)

Álgebra Lineal Ma1010 Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Departamento de Matemáticas ITESM Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Álgebra Lineal - p. 1/44 Introducción En esta lectura veremos conjuntos y matrices ortogonales. Primero veremos algunas definiciones alternativas a los productos internos. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 2/44 Producto interno Un producto interno en un espacio vectorial es una función • : V × V → F , donde F es el conjunto de los escalares utilizados (F = R ó F = C), y que tiene que cumplir los siguientes axiomas: Para todos los vectores x, y y z de V y para todo escalar c de F 1. (x + y) • z = x • z + y • z 2. (c · x) • y = c (x y) 3. x • y = y • x. 4. x • x > 0 para todo x 6= 0. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 3/44 En el axioma 3, la línea horizontal encima de una expresión indica que se debe tomar el conjugado complejo: El conjugado comple de un número se obtiene cambiando el signo de la parte imaginaria. Así ■ 3 + 3i = 3 − 3i ■ 5 = 5 + 0 i = 5 − 0 i = 5, es decir: el conjugado de un real es él mismo. ■ −3 i = 0 − 3 i = 0 + 3 i = 3 i Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 4/44 Ejemplo Si V = Rn y x = (xi ) y y = (yi ) el producto punto estándar • es: n X x•y = xi · yi i=1 Si n = 3, x =< 1, 2, −1 > y y =< 1, −1, 3 >, entonces x • y = (1)(1) + (2)(−1) + (−1)(3) = −4 Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 5/44 Figura 1: El producto interno estándar de Rn en la TI. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 6/44 Ejemplo Mientras que si V = Cn con escalares C el producto punto estándar • es n X x•y = x i · yi i=1 Si n = 3, x =< 1, 2 + 2 i, −i > y y =< 1, −1 + i, 3 i >, entonces x•y = = = = = = (1)(1) + (2 + 2 i)(−1 + i) + (−i)(3 i) (1)(1) + (2 + 2 i)(−1 − i) + (−i)(−3 i) 1 − 2 − 2 i − 2 i − 2 i2 + 3 i2 −1 − 4 i + i2 −1 − 4 i + (−1) −2 − 4 i Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Álgebra Lineal - p. 7/44 Es importante comentar que este producto interno estándar en Cn esta implementado en la calculadora TI y coincide con el producto estándar en Rn . Esto se ilustra en la figura 2. Note la diferencia entre el número imaginario i y el símbolo i en su calculadora; en la voyage 200 i se obtiene con la combinación 2ND i mientras que en la TI 89 con la combinación 2ND catalog . No notar la diferencia le puede traer verdaderos dolores de cabeza. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 8/44 Figura 2: El producto interno estándar de Cn en la TI. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 9/44 Ejemplo Si V = C [a, b] es el conjunto de las funciones continuas de valor real el producto interno estándar es: Z b f •g = f (t) · g(t) dt a Si [a, b] = [0, 1], f (x) = x + 1 y g(x) = x2 − 1 entonces R1 f • g = 0 (x + 1) · (x2 − 1) dx R1 3 = 0 (x + x2 − x − 1) dx Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal = −11/12 Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Álgebra Lineal - p. 10/44 Ejemplo Si Si V = C [0, 2 π] es el conjunto de las funciones continuas complejas un producto interno es: Z 2π 1 f (t) · g(t) dt f •g = 2π 0 Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 11/44 Ejemplo Si Mn×m es el conjunto de las matrices reales con n renglones y m columnas el producto interno estándar es: A • B = tr (B′ · A) donde B′ representa la transpuesta de la matriz B y tr(X) representa la traza de la matriz cuadrada X que es la suma de los elementos de la diagonal. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 12/44 Por ejemplo, si A= " 1 2 3 −1 2 −3 # yB= " 1 −2 3 0 2 −3 # Entonces     # 1 0 " 1 2 3 1 2 3     T B · A =  −2 =  −4 0 −12  2  −1 2 −3 3 −3 6 0 18 y por tanto   1 2 3   A • B = tr  −4 0 −12  = 1 + 0 + 18 = 19 6 0 18 Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Álgebra Lineal - p. 13/44 Para realizar esto en la calculadora TI debemos programar la función traza puesto que en la configuración inicial no viene tal función. Una implementación posible para esta función viene ilustrada en la figura 3. Una vez programada la función traza, la figura 4 ilustra el cálculo del producto interno de dos matrices. Figura 3: Programando la función traza en la TI. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Álgebra Lineal - p. 14/44 Figura 4: Producto interno estándar de Mn×m (R) en la TI. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Álgebra Lineal - p. 15/44 Ejemplo Si Mn×m es el conjunto de las matrices complejas con n renglones y m columnas el producto interno estándar es: A • B = tr (B∗ · A) donde B∗ representa la adjunta de la matriz B es decir la transpuesta conjugada o también conocida como transpuesta hermitiana, a veces también se utiliza la notación BH para la matriz conjugada compleja de B. Aquí tr(X) representa la traza de la matriz cuadrada X que es la suma de los elementos de la diagonal. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 16/44 Por ejemplo, si  A= 1+i −1 2 − 3i i 2−i −3 i    y B= 1 + 2i 0 3 −2 2i −3 + i   y así  1−i  A =  2 + 3i −i ∗ −1   2+i   3i y por tanto  3+i  A ·B=  −4 + 7 i 2−i ∗ −2 −6 − 2 i −6 + 2 i 6 − 4i   −1 + 8 i   −3 − 12 i de donde B • A = (3 + i) + (−6 − 2 i) + (−3 − 12 i) = −6 − 13 i Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Álgebra Lineal - p. 17/44 Figura 5: Producto interno estándar de Mn×m (C) en la TI. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 18/44 Propiedades del producto interno Propiedades que satisfacen todos los productos internos: Teorema Sea V es espacio vectorial con producto interno •, x, y y z vectores de V y c un escalar: 1. x • (y + z) = x • y + x • x 2. x • (c · y) = c · (x • y) 3. x • x = 0 si y sólo si x = 0. 4. x • y = 0 si y sólo si y • x = 0. 5. Si ∀ x ∈ V se cumple x • y = x • x, entonces y = z. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 19/44 Norma de un vector Sea V un espacio vectorial con producto interior •, para todo vector x de definimos la norma o longitud de x como √ kxk = x • x Propiedades que se deducen de la norma: Teorema 1. kc xk = |c| · kxk 2. kxk = 0 si y sólo si x = 0. En cualquier caso, x ≥ 0. 3. Desigaldad de Cauchy-Schwarz: |x • y| ≤ kxk · kyk. 4. Desigualdad del triángulo: kx + yk ≤ kxk + kyk. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 20/44 Distancia entre dos vectores Sea V un espacio vectorial con producto interior •, para cualesquier dos vectores x y y definimos la distancia de x a y como d(x, y) = kx − yk Propiedades que se deducen de la función distancia: Teorema 1. d(x, y) = d(y, x) 2. d(x, y) = 0 si y sólo si x = y 3. Desigualdad del triángulo: d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 21/44 Vectores ortogonales Dos vectores x y y en Rn se dicen ortogonales si x • y = 0. Si esto pasa se expresará como x ⊥ y. Ejemplo Indique si los vectores x =< 1, 0, 2 > y y =< −2, 2, 1 > son ortogonales. Directamente de la definición: requerimos hacer x • y = (1)(−2) + (0)(2) + (2)(1) = −2 + 0 + 2 = 0 Por tanto, x ⊥ y. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 22/44 Ejemplo Determine el valor del parámetro a para que x =< 1, 1, 2 > y y =< −3, a, 1 > sean ortogonales. Directamente de la definición: requerimos hacer x • y = (1)(−3) + (1)(a) + (2)(1) = −3 + a + 2 = a − 1 Por tanto, x ⊥ y si y sólo si x • y = 0 si y sólo si a = 1. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 23/44 Conjunto ortogonal de vectores Un conjunto de vectores {v1 , v2 , . . . , vm } se dice conjunto ortogonal o simplemente ortogonal si se cumple vi • vj = 0 para i 6= j y i, j = 1, . . . , m Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 24/44 Ejemplo Indique si el conjunto formado por los siguientes vectores es ortogonal       −2 −2 1       v1 =  0  , v2 =  2  , v3 =  −5/2  1 1 2 Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 25/44 Ejemplo Indique si el conjunto formado por los siguientes vectores es ortogonal       −2 −2 1       v1 =  0  , v2 =  2  , v3 =  −5/2  1 1 2 Solución Calculando todos los productos punto entre vectores diferentes tenemos Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal v1 • v2 = (1)(−2) + (0)(2) + (2)(1) = 0 v1 • v3 = (1)(−2) + (0)(−5/2) + (2)(1) = 0 v2 • v3 = (−2)(−2) + (2)(−5/2) + (1)(1) = 0 así concluimos que es conjunto es ortogonal. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Álgebra Lineal - p. 25/44 Ortogonalidad e independencia lineal Teorema Cualquier conjunto ortogonal S = {v1 , ...., vk } de vectores distintos de cero es linealmente independiente. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 26/44 Ortogonalidad e independencia lineal Teorema Cualquier conjunto ortogonal S = {v1 , ...., vk } de vectores distintos de cero es linealmente independiente. Demostración: Si suponemos que c1 v 1 + c2 v 2 + · · · + ck v k = 0 Entonces, haciendo producto punto por vi obtenemos que: c1 v 1 • v i + c2 v 2 • v i + · · · + ck v k • v i = 0 • v i Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Observe que siendo el conjunto ortogonal todos los productos punto en el lado izquierdo se hacen cero, excepto uno: el correponiente a vi • vi . Mientras que en el segundo miembro el producto punto al ser uno de los vetores cero queda cero. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Álgebra Lineal - p. 26/44 Ortogonalidad y bases Teorema Cualquier conjunto generador ortogonal S = {v1 , ...., vk } de vectores distintos de cero es base para Gen(S). Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 27/44 Ortogonalidad y bases Teorema Cualquier conjunto generador ortogonal S = {v1 , ...., vk } de vectores distintos de cero es base para Gen(S). Por definición de Gen(S), S genera a Gen(S); y por el teorema anterior S es linealmente independiente. Por tanto, S es base para Gen(S). Demostración: Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 27/44 Ortogonalidad y descomposición de un vector Teorema Sea S = {v1 , ..., vk } un conjunto ortogonal de vectores distintos de cero. Si u está en Gen(S) y u = c1 v 1 + · · · + ck v k entonces u • vi para i = 1, . . . , k ci = vi • vi A las expresiones u • vi /vi • vi se les llama los coeficientes de Fourier de u respecto a S. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 28/44 Demostración: Si u = c1 v 1 + · · · + ck v k haciendo el producto punto con vi y considerando la ortogonalidad obtenemos: u • v i = ci v i • v i Al ser los vectores vi 6= 0, se tiene que vi • vi 6= 0 y por tanto se tiene: u • vi ci = vi • vi Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 29/44 Nota: Lo importante del teorema anterior es indica que para bases ortonormales no es necesario resolver sistemas de ecuaciones lineales para determinar los coeficientes de cada vector es suficientes calcular los coeficientes de Fourier. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 30/44 Ejemplo Utilizando el conjunto ortogonal S del primer ejemplo de esta lectura y el vector u = (1, 2, 3)′ , determine los coeficientes de Fourier u respecto a S y compruebe que se obtienen los mismos valores resolviendo el sistema de ecuaciones lineales correspondientes. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 31/44 Ejemplo Utilizando el conjunto ortogonal S del primer ejemplo de esta lectura y el vector u = (1, 2, 3)′ , determine los coeficientes de Fourier u respecto a S y compruebe que se obtienen los mismos valores resolviendo el sistema de ecuaciones lineales correspondientes. Solución: Calculemos u • v1 = (1)(1) + (2)(0) + (3)(2) = 7 u • v2 = (1)(−2) + (2)(2) + (3)(1) = 5 u • v3 = (1)(−2) + (2)(−5/2) + (3)(1) = −4 v1 • v1 = (1)(1) + (0)(0) + (2)(2) = 5 v2 • v2 = (−2)(−2) + (2)(2) + (1)(1) = 9 v3 • v3 = (−2)(−2) + (−5/2)(−5/2) + (1)(1) = 45/4 Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 31/44 y al aplicar las fórmulas obtenermos: c1 = 7/5, c2 = 5/9, c3 = −16/45 Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 32/44 y al aplicar las fórmulas obtenermos: c1 = 7/5, c2 = 5/9, c3 = −16/45 Si por otro lado armamos la matriz aumentada [v1 , v2 , v3 |u] y la reducimos:     7/5 1 −2 −2 1 1 0 0     5/9  2 −5/2 2  →  0 1 0  0 2 1 1 3 0 0 1 −16/45 de donde observamos que los valores de las constantes ci coinciden con los valores dados por los coeficientes de Fourier. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 32/44 Conjunto ortonormal de vectores Un conjunto de vectores {v1 , v2 , . . . , vm } se dice conjunto ortonormal o simplemente ortonormal si se cumple vi • vj = 0 para i 6= j y vi • vi = 1 para i, j = 1, . . . , m Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Note que en caso de una base ortonormal S para un espacio las fórmulas de Fourier para un u simplifican a ci = u • vi , por ello es que es deseable tener una base ortonormal a un espacio. Si ya se posee una base ortogonal dividiendo cada vector entre su norma se obtiene una ortonormal: 1 1 {v1 , . . . , vm } ortogonal → v1 , . . . , vm ortonormal ||v1 || ||vm || Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Álgebra Lineal - p. 33/44 Ejemplo Ortonormalize el conjunto ortogonal ejemplo de esta lectura:       1 −2 −2       v1 =  0  , v2 =  2  , v3 =  −5/2  2 1 1 Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 34/44 Ejemplo Ortonormalize el conjunto ortogonal ejemplo de esta lectura:       1 −2 −2       v1 =  0  , v2 =  2  , v3 =  −5/2  2 1 1 Solución: Tenemos ya realizados los siguientes cálculos √ v1 • v1 = 5 → ||v1 || = 5 v2 • v2 = 9 → ||v1 || = 3 √ v3 • v3 = 45/4 → ||v1 || = 45/2 Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 34/44 Por tanto, el conjunto ortonormalizado queda       −2 1 −2 1   1  2    √  0  ,  2  , √  −5/2  3 5 45 1 2 1 Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 35/44 Matriz ortogonal Una matriz A se dice matriz ortogonal o simplemente ortogonal si es una matriz cuadrada y las columnas de A forman un conjunto ortonormal. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 36/44 Matriz ortogonal Una matriz A se dice matriz ortogonal o simplemente ortogonal si es una matriz cuadrada y las columnas de A forman un conjunto ortonormal. Teorema A n × n: A es ortogonal ssi AT · A = I. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 36/44 Matriz ortogonal Una matriz A se dice matriz ortogonal o simplemente ortogonal si es una matriz cuadrada y las columnas de A forman un conjunto ortonormal. Teorema A n × n: A es ortogonal ssi AT · A = I. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 36/44 Observe que el teorema anterior se deduce de que para dos vectores x y y en Rn , x • y = x′ · y:       x1 y1 y1        x   y   h i  y2   2   2    •  = x 1 · y1 + · · · + x n · yn = x 1 x 2 · · · x n ·    ..   ..   ..   .   .   .        xn yn yn Con lo anterior se deduce que cuando se hace AT · v se calcula un vector donde cada componente es el producto punto de la columna correspondiente de A con el vector v. Con lo anterior se deduce que cuando se calcula AT · A la matriz resultante tiene en la posición (i, j) justo ai • aj es decir, el producto punto de la columna i de A con la columna j de A. De esta forma: AT · A = I si y sólo si se tiene que las columnas de A son ortogonales y que tienen norma 1. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Álgebra Lineal - p. 37/44 Ejemplo Indique si el conjunto formado por los siguientes vectores es ortogonal   v1 =   1 0 2     , v =  2   −2 2 1 Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales     , v =  3   −2 −5/2 1     Álgebra Lineal - p. 38/44 Ejemplo Indique si el conjunto formado por los siguientes vectores es ortogonal   v1 =   1 0 2     , v =  2     −2   , v =  3   2 1 −2 −5/2 1     Solución Formamos la matriz A cuyas columnas son los vectores:   A = [v1 v2 v3 ] =   Y calculamos AT · A:  A T · A =   1 −2 −2 0 2 −5/2 2 1 1 5 0 0 0 9 0 0 0 45/4         que sean cero los elementos que están fuera de la diagonal principal indica que el conjunto es ortogonal. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Álgebra Lineal - p. 38/44 Ejemplo Determina los valores de x, y y z para que el conjunto de vectores       v1 =      4 6 z     , v =  2   x 6 4     , v =  3   2 y 3         sea ortogonal. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Álgebra Lineal - p. 39/44 Ejemplo Determina los valores de x, y y z para que el conjunto de vectores       v1 =      4 6 z     , v =  2     x   , v =  3   6 4 2 y 3         sea ortogonal. Formamos la matriz A cuyas columnas son los vectores:   A = [v1 v2 v3 ] =   4 x 2 6 6 y z 4 3     Y calculamos AT · A: A T   ·A =   52 + z 2 4 x + 36 + 4 z 4 x + 36 + 4 z x2 + 52 8 + 6y + 3z 2 x + 6 y + 12 Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales 8 + 6y + 3z 2 x + 6 y + 12 13 + y 2     Álgebra Lineal - p. 39/44 Ejemplo Determina los valores de x, y y z para que el conjunto de vectores       v1 =      4 6 z     , v =  2     x   , v =  3   6 4 2 y 3         sea ortogonal. Formamos la matriz A cuyas columnas son los vectores:   A = [v1 v2 v3 ] =   4 x 2 6 6 y z 4 3     Y calculamos AT · A: A T   ·A =   52 + z 2 4 x + 36 + 4 z 4 x + 36 + 4 z x2 + 52 8 + 6y + 3z 2 x + 6 y + 12 4 x + 36 + 4 z = 0 8 + 6y + 3z = 0 2 x + 6 y + 12 = 0 8 + 6y + 3z 2 x + 6 y + 12 13 + y 2     de donde, los únicos valores que hacen ortogonal al conjunto son x = −31/5, y = 1/15 y z = −14/5 Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Álgebra Lineal - p. 39/44 Ejemplo Determine el vector de coordenadas de v =< 2, 2, −4 > respecto a la base ortonormal            B = u1 =      2/3 2/3 2/3 2/3 1/3   , u =  2   −2/3 Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales 1/3   , u =  3   1/3 −2/3        Álgebra Lineal - p. 40/44 Ejemplo Determine el vector de coordenadas de v =< 2, 2, −4 > respecto a la base ortonormal            B = u1 =      2/3 2/3 2/3 2/3 1/3   , u =  2   −2/3 1/3   , u =  3   1/3 −2/3        Recordemos que el vector de coordenadas de un vector respecto a una base son los coeficientes de la combinación lineal de la base que da tal vector. Si la base es ortonormal entonces los coeficientes de la combinación lineal son los coeficientes de Fourier, es decir los productos punto del vector con cada uno de los elementos de la base. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Álgebra Lineal - p. 40/44 Ejemplo Determine el vector de coordenadas de v =< 2, 2, −4 > respecto a la base ortonormal           2/3 2/3 2/3 2/3 1/3  B = u1 =        , u =  2   −2/3 1/3   , u =  3   1/3 −2/3        Recordemos que el vector de coordenadas de un vector respecto a una base son los coeficientes de la combinación lineal de la base que da tal vector. Si la base es ortonormal entonces los coeficientes de la combinación lineal son los coeficientes de Fourier, es decir los productos punto del vector con cada uno de los elementos de la base. Verifiquemos primero que el conjunto es ortonormal. Para ello, formamos la matriz A cuyas columnas son los vectores de B:   A = [u1 u2 u3 ] =   1/3 2/3 2/3 2/3 −2/3 1/3 2/3 1/3 −2/3     y calculamos AT · A:  A T · A =   1 0 0 0 1 0 0 0 1     Por tanto, dando la matriz diagonal el conjunto es ortogonal; dando la identidad el conjunto es ortonormal. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Álgebra Lineal - p. 40/44 Para calcular los productos punto de los elemento de B con v recurrimos al producto:  1/3  T A v=  2/3 2/3 2/3 −2/3 1/3 2/3   2   −2/3           1/3  ·  2  =  −4/3   14/3 −4 −2/3 Por tanto, c1 = v • u1 = −2/3, c2 = v • u2 = −4/3, y c3 = v • u3 = 14/3 y el vector de coordenadas de v respecto a la base B es < −2/3, −4/3, 14/3 >. Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Álgebra Lineal - p. 41/44 Teorema Sea A una matriz n × n, y u y v dos vectores en Rn . Entonces T (Au) • v = u • A v Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 42/44 Teorema Sea A una matriz n × n, y u y v dos vectores en Rn . Entonces T (Au) • v = u • A v Demostración (Au) • v = (Au)T v T T = u A v T T = u A v T = u• A v Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 42/44 Teorema Sea A una matriz n × n. Son equivalentes las siguientes afirmaciones: (1) A es ortogonal. (2) A preserva los productos punto: (Au) • (Au) = u • v ∀u, v (3) A preserva norma: ||Av|| = ||v|| ∀v Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 43/44 Teorema Sea A una matriz n × n. Son equivalentes las siguientes afirmaciones: (1) A es ortogonal. (2) A preserva los productos punto: (Au) • (Au) = u • v ∀u, v (3) A preserva norma: ||Av|| = ||v|| ∀v Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Demostración (1) implica (2) Si A es ortogonal, AT A = I. Así (A u)•(A v) = (A u)T ·A v = uT AT ·A v = uT ·(AT ·A)v = uT ·I·v = uT ·v Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Álgebra Lineal - p. 43/44 (2) implica (3) Se tiene ||A v||2 = (A v) • (A v) = v • v = ||v||2 tomando raíz cuadrada se tiene la igualdad de (3). Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 44/44 (2) implica (3) Se tiene ||A v||2 = (A v) • (A v) = v • v = ||v||2 tomando raíz cuadrada se tiene la igualdad de (3). (3) implica (1) Conjuntos de Vectores y Matrices Ortogonales Introducción Producto interno Propiedades Norma Distancia Ortogonalidad Conjunto Ortogonal Ortogonalidad e independencia lineal Ortogonalidad y Bases Ortogonalidad y descomposición Conjunto Ortonormal Matriz Ortogonal Álgebra Lineal - p. 44/44

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