Criterio Nyquist

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Al analizar el desempeño de un sistema de control una
de las características de mayor importancia es el
análisis de su estabilidad.
Por lo tanto nos vamos a enfocar en la posición de las
raíces dela ecuación característica.
F(S)= 1 + G(S)H(S)
Que son los polos de la función de transferencia de
lazo cerrado
R(S)/E(S) = G(s) / (1+G(S)H(S))
Nuestro criterio es detectar si la ecuación
característica del sistema, tiene ceros o polos con
parte real positiva. Si ocurre esto el sistema es
inestable.
El criterio de Nyquist es un método grafico para la
determinación de la estabilidad de un sistema de lazo
cerrado, que se basa en el estudio de las propiedades
graficas de F(S) o G(S)H(S) en el dominio de la
frecuencia.
Relación de polos y ceros respecto a las
funciones del sistema
R(S)/E(S) = Ganancia del sistema de lazo cerrado
G(S) = Ganancia directa
H(S) = Ganancia de realimentación
G(S)H(S) = Ganancia de lazo o ganancia de lazo abierto
Ceros de la función de transferencia de lazo = ceros G(S)H(S)
Polos de la función de transferencia de lazo = polos de G(S)H(S)
Polos de función transf. Lazo cerrado = ceros de F(S) = 1 + G(S)H(S)
Los Polos de 1+G(S)H(S) son iguales a los polos de G(S)(HS)
Para que un sistema de lazo cerrado sea
asintóticamente estable, no hay restricciones
en la posición de los polos y los ceros de la
función de transferencia de lazo, pero los
polos de la función de transferencia de lazo
cerrado o las raíces de la ecuación
característica deben estar todos situados en
el semiplano izquierdo del plano s
Conceptos Básicos
1- Punto Circundado : Se dice que un punto esta
circundado por una trayectoria cerrada cuando esta
situado en el interior de dicha trayectoria.
2- Punto Contenido: Un punto esta encerrado o
contenido por una trayectoria cerrada cuando aparece
a la izquierda de la trayectoria al recorrer la misma en
un dirección.
B
A
A
Numero de Circundamientos y
Encierros
Cuando esta circundado o encerrado por una trayectoria cerrada, se
puede asignar un numero N como como numero de encierros o
circundamientos.
Principio del Argumento
Sea ∆(S) una función analítica en una región especifica del plano S, excepto
en un numero finito de puntos. Supóngase que en el plano S se selecciona
en forma arbitraria una trayectoria cerrada ζs de tal manera que ∆(S) sea
analítica en todos los puntos de ζs; el lugar geométrico correspondiente
de ∆(S) trazado en el plano ∆(S) circundara al origen tantas veces como
la diferencia entre el numero de ceros y el numero de polos ∆(S) estén
circundados por el lugar geométrico de ζs el plano s
N=Z-P
N = Numero de vueltas alrededor del origen que da el lugar geométrico ζs
en el plano ∆s
Z = Numero de ceros de ∆s rodeados por el lugar geométrico ζs en el
plano s
P = Numero de polos de ∆s rodeados por el lugar geométrico ζs en el
plano s
1- N ˃ 0 El lugar geométrico del plano S circunda mas ceros que polos
de F(s) en una cierta dirección preestablecida. En este caso el lugar
geométrico del plano S circundara al origen del plano ∆s N veces en la
misma dirección que ζs
2- N = 0 El lugar geométrico del plano S circunda tantos ceros como
polos o ninguno de ∆s . En este caso el lugar geométrico de ζs en el plano
plano ∆(s) no circundara al origen del plano ∆(s)
3- N ˂ 0 El lugar geométrico del plano S circunda mas polos que ceros
de F(s) en una cierta dirección preestablecida. En este caso el lugar
geométrico de ζs del plano ∆(S) circundara al origen del plano ∆s N veces
en la dirección opuesta a la de ζs
Resumen de los resultados posibles del principio del argumento
N=Z-P
Lugar Geométrico del plano ∆S
Sentido de recorrido del lugar geométrico
en el plano S
Numero de vueltas del origen
N˃0
Igual al de las agujas del reloj
N
Contrario al de las agujas del reloj
N˂0
Igual al de las agujas del reloj
Igual al de las agujas del reloj
Contrario al de las agujas del reloj
Igual al de las agujas del reloj
Contrario al de las agujas del reloj
N
Contrario al de las agujas del reloj
N=0
Dirección de la vuelta
Contrario al de las agujas del reloj
Igual al de las agujas del reloj
0
No hay vuelta
No hay vuelta
Trayectoria de Nyquist
 Sección 1: desde s = +j∞ hasta +jω1+ a lo largo del eje jω
 Sección 2: desde +jω1+ hasta +jω1- a lo largo del
semicírculo de radio ε→ 0 que rodea a s = jω1
 Sección 3: desde +jω1- hasta +j0+ a lo largo del eje jω
 Sección 4: desde +j0+ hasta +j0- a lo largo del
semicírculo de radio ε → 0 que rodea a s = 0
 Sección 5: desde –j0+ hasta -jω1- a lo largo del eje jω
 Sección 6: desde -jω1- hasta +jω1+ a lo largo del
semicírculo de radio ε → 0 que rodea a s = -jω1
 Sección 7: desde -jω1+ hasta s = -j∞ a lo largo del eje jω
 Sección 8: Desde s = = -j∞ hasta s = +j∞ a lo largo del
semicírculo de radio infinito
Criterio de Estabilidad y la Traza de G(s)H(S)
En principio, una vez que se especifica la trayectoria de
Nyquist, la estabilidad del sistema se puede determinar
al graficar el lugar geométrico de F(s)=1+G(s)H(S)
cuando s toma valores a lo largo de la trayectoria de
Nyquist, e investigar el comportamiento de la traza de
F(s) con respecto al punto critico, que en este caso es el
origen del plano F(s).
Sin embargo, puesto que en un sistema de un solo lazo,
G(s)H(s), casi siempre son funciones conocidas, resulta
mas simple construir la traza de Nyquist de G(s)H(s).
La misma conclusión sobre la estabilidad del sistema
se puede obtener al observar el comportamiento de la
traza de G(s)H(s) con respecto al punto (-1,j0) en el
plano G(s)H(s).
Esto es cierto pues el origen del plano F(s)=1+G(s)H(s)
corresponde al punto (-1, j0) en el plano G(s)H(s). Por
tanto el punto (-1, j0) en el plano G(s)H(s) será el
punto critico para determinar la estabilidad del
sistema, como lo indican las figuras
Es importante recordar que la estabilidad de lazo
cerrado implica que F(s) = 1 + G(s)H(s) solo tiene ceros
en el semiplan0 izquierdo del plano s.
Para analizar la estabilidad debemos definir lo
siguiente:
- N0 = Número de vueltas alrededor del origen dadas por G(s)H(s)
- Zo = Número de ceros de G(s)H(s) que están rodeados por la trayectoria
de Nyquist, o en el semiplano derecho del plano s
- Po = Número de polos de G(s)H(s) que están rodeados por la trayectoria
de Nyquist, o en el semiplano derecho del plano s
- N-1 = Número de vueltas alrededor del pinto (-1,j0) dadas por G(s)H(s)
- Z-1 = Número de ceros de 1+G(s)H(s) que están rodeados por la trayectoria
de Nyquist, o en el semiplano derecho del plano s
- P-1 = Número de polos de G(s)H(s) que están rodeados por la trayectoria
de Nyquist, o en el semiplano derecho del plano s
Al llegar a este punto podemos ver que:
Po = P-1
Debido a que G(s)H(s) y 1 + G(s)H(s) siempre tienen los mismos polos ,
la estabilidad de lazo cerrado implica o requiere que
Z-1 = 0
Pero la estabilidad de lazo abierto requiere que:
P0 = 0
El procedimiento se resume de la siguiente
manera:
 Se construye la traza de Nyquist de G(s)H(s)
 Se determinan los valores de N0 y N-1 analizando el
comportamiento de la traza de Nyquist de G(s)H(s)
con respecto al origen y al punto (-1,j0)
 El valor de P0 si no se conoce todavía se calcula a partir
de N0 = Z0 – P0 cuando se cuenta con Z0. Después de
calcular P0, P-1 = P0 y Z-1 se calcula con N-1 = Z-1 – P-1
 Como se estableció que Z-1 debe ser cero para un lazo
cerrado estable N-1 = -P-1
Por consiguiente, el criterio de Nyquist puede
enunciarse de la siguiente manera:
Para que un sistema de lazo cerrado sea estable, la
traza de Nyquist de G(s)H(s) debe circundar al punto
(-1,j0) tantas veces como el numero de polos de
G(s)H(s) que hay en el semiplano derecho del plano s,
y estas vueltas si se presentan deben darse en la
dirección del movimiento de las agujas del reloj.
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