5.6
Estabilidad Nominal usando Nyquist.
Para conocer la estabilidad de un sistema realimentado se
puede usar la teoría de estabilidad de Nyquist. La estabilidad del
sistema realimentado se puede determinar usando la respuesta en
frecuencia del lazo abierto del sistema.
Se dibuja el diagrama polar del producto Go(s)C(s) y luego
se cuenta el número de encierros del punto (-1,0).
La teoría de estabilidad de Nyquist depende de dos planos
complejos. El plano s y el plano Go(s)C(s).
Trayectoria modificada de Nyquist
Si consideramos que: F(s) = 1 + Go(s)C(s)
Si se asume que Go(s)C(s) es estrictamente propio, de modo que:
lim F(s) 1
s
Se observa que:
a) Los ceros de F(s) son los polos del sistema realimentado.
b) Los polos de F(s) son los polos del sistema en lazo abierto.
Teorema de Nyquist.
Dada una función de transferencia de lazo abierto propia
Go(s)C(s) con P polos en el SPD abierto, entonces el sistema
de lazo cerrado tiene Z polos en el SPD abierto si y solo si el
diagrama polar de Go(s)C(s) encierra el punto (-1,0) en el
sentido del reloj N = Z – P veces cuando s viaja a lo largo de
la trayectoria Nyquist modificada.
NOTA:
Para evaluar la estabilidad interna usando el teorema de
Nyquist hay que saber adicionalmente que no hubo cancelación
de polos inestables entre C(s) y Go(s).
5.7
Estabilidad Relativa
Es útil saber lo cerca que se encuentra de la inestabilidad un
lazo nominal, es decir, la estabilidad relativa.
a) Usando Nyquist
Esta se define describiendo la distancia de la trayectoria
Go(jw)C(jw) al punto de estabilidad crítico (-1,0). Sólo cuando el
lazo abierto no tiene polos en el SPD abierto.
Se generan las siguientes mediciones desde la figura.
Mg = Margen de ganancia = -20 log10|a|
Mf = Margen de fase =
η = Peak de sensibilidad = |1 + Go(jw1)C(jw1)| = |So(jw1)|-1
Para mejorar una estabilidad relativa se puede usar:
n
M 2 arcsin
f
2
b) Usando Bode
Los márgenes de estabilidad relativa se pueden determinar
usando diagrama de Bode:
|Go(jw)C(jw)|
0 [dB]
w
Mg
-20log10|a|
[Go(jw)C(jw)]º
0º
wp
Mf =
-180º
wg
w
0
