Criterio de Nyquist El criterio de estabilidad de Nyquist relaciona la respuesta frecuencial a lazo abierto con la estabilidad a lazo cerrado; basado en un teorema de la variable compleja que se fundamenta en el mapeo de los contornos en el plano complejo Para un Γs que encierre Z ceros y P polos de F(s) sin pasar por encima de ningún cero o polo de F(s), el ΓF (s) encerrará el origen en sentido horario un número de veces igual a N = Z - P. F(s) = 1 + G(s)H(s) Z = # ceros de lazo cerrado de F(s) en el semiplano derecho del plano S P = # polos de G(s)H(s) en el semiplano derecho del plano S N = Z - P el número de vueltas en sentido horario que ΓF ( s ) le da al origen. • • • F(s) Criterio de Nyquist Para que el sistema sea estable Z debe ser cero Si P = 0 entonces N = 0 Si P ≠ 0 entonces N = - P F’(s) = F(s) – 1 = G(s)H(s) P’ y Z’ son los polos y ceros de lazo abierto P’= P (polos de lazo cerrado = Polos de lazo abierto) N’ corresponde al número de encierros que le da el ΓF’(s) al punto (-1,0) (N’ = N) La transformación sobre el Plano F’(s), se realiza tomando en cuenta que el Γs no debe pasar por ningún polo o cero de F’(s) El ΓF’(s) se conoce como el Diagrama de Nyquist. Los ceros de la Ecuación característica a lazo cerrado (Z) se puede conocer a partir de N’ y de P, pues N’ = Z – P’ Para que el sistema sea estable Z debe ser cero Si P = 0 entonces N’ = 0 Si P ≠ 0 entonces N’ = - P Criterio de Nyquist Ejemplos Tramo I (Diagrama Polar) Tramo II Tramo III (simétrico al Diagrama Polar) Criterio de Nyquist Ejemplos Conclusión Como P = 0 (el Γs no encierra ningún polo de G(s)H(s)) y N = 0 (el Diagrama de Nyquist no encierra el punto (-1,0)), entonces Z = 0 siendo el sistema estable. Además, también se puede concluir que será estable para cualquier ganancia pues nunca se encerrará al punto (-1,0) Criterio de Nyquist Ejemplos Tramo I (Diagrama Polar) Tramo II Tramo III (simétrico al Diagrama Polar) Criterio de Nyquist Ejemplos Tramo IV Conclusión Si la ganancia es tal que el Diagrama de Nyquist queda como el que se muestra, entonces como P = 0 (el Γs no encierra ningún polo de G(s)H(s)) y N = 0 (el Diagrama de Nyquist no encierra el punto (-1,0)), entonces Z = 0 siendo el sistema estable. Si por el contrario, la ganancia fuese mayor y el punto (-1,0) quedara dentro del diagrama, entonces N = 1 por lo que el sistema sería inestable a lazo cerrado. Por lo tanto la estabilidad depende del valor de la ganancia.