Guía de Electromagnetismo
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Mario Cosenza
Electromagnetismo
Versión A-15
Mario Cosenza
Universidad de Los Andes
Mérida, Venezuela
Electromagnetismo
Versión A-2015
c
MMXV
a Bernarda
Y Dios dijo:
∇ · E = 4πρ
∇×E+
1 ∂B
= 0
c ∂t
∇·B = 0
∇×B−
1 ∂E
4π
=
J,
c ∂t
c
y se hizo la luz.
Fórmulas vectoriales
A · (B × C) = (A × B) · C = C · (A × B) = (C × A) · B = B · (C × A)
(A × B) · (C × D) = (A · C)(B · D) − (A · D)(B · C)
A × (B × C) = B(A · C) − C(A · B)
∇(A · B) = A × (∇ × B) + B × (∇ × A) + (A · ∇)B + (B · ∇)A
∇ × (A × B) = A(∇ · B) − B(∇ · A) + (B · ∇)A − (A · ∇)B
∇ · (A × B) = B · (∇ × A) − A · (∇ × B)
∇ × (φA) = φ(∇ × A) − A × (∇φ)
∇ · (φA) = φ(∇ · A) + A · ∇φ
∇(φψ) = φ∇ψ + ψ∇φ
∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A
∇ · (∇ × A) = 0
∇ × (∇φ) = 0
∇ × [r̂f (r)] = 0
∇×r=0
∇·r=3
Z
V
I
θ∇2 ψ + ∇ψ · ∇θ d3 r =
θ ∇ψ · n̂ da
Primera identidad de Green
Z
IS
(φ∇2 ψ − ψ∇2 φ) d3 r = (φ∇ψ − ψ∇φ) · n̂ da
Teorema de Green
V
Z
I S
(∇ · A) d3 r =
A · n̂ da
Teorema de Gauss (divergencia)
V
S
Z
I
(∇ × A) · n̂ da =
A · dl
Teorema de Stokes
S
C
Z
I
3
∇ × Ad r =
n̂ × A da
V
S
Z
I
n̂ × (∇ψ) da =
ψ dl
S
C
Z
I
∇ψ d3 r =
ψ n̂ da
V
S
Índice general
1. Electrostática.
1.1. Ecuaciones de Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Campo electrostático. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Potencial escalar eléctrico. . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Expansión multipolar del potencial eléctrico. . . . . . .
1.5. Ecuaciones de Poisson y de Laplace. . . . . . . . . . .
1.6. Energía electrostática. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Interacción de una distribución de carga con un campo
1.8. Potencial y campo eléctrico en conductores. . . . . . .
1.9. Capacitancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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externo.
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2. Problemas de frontera en Electrostática
2.1. Teorema de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Función de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. Método de imágenes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Funciones ortogonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas. . . . . . .
2.6. Ecuación de Laplace en coordenadas polares. . . . . . . . .
2.7. Ecuación de Laplace en coordenadas esféricas. . . . . . . . .
2.8. Problemas de frontera con simetría azimutal. . . . . . . . .
2.9. Armónicos esféricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10. Expansión de la función de Green en coordenadas esféricas.
2.11. Aplicaciones de la expansión esférica de la función de Green.
2.12. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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1
6
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29
37
39
43
47
51
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59
62
68
78
81
87
90
95
105
110
118
126
3. Campos eléctricos en la materia
3.1. Polarizabilidad molecular. . . . . . . . . . . . . .
3.2. Modelos estadísticos de polarizabilidad molecular.
3.3. Electrostática en medios dieléctricos. . . . . . . .
3.4. Problemas de frontera con dieléctricos. . . . . . .
3.5. Energía electrostática en medios dieléctricos. . . .
3.6. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. Magnetostática
4.1. Ecuaciones de la Magnetostática. . . . . .
4.2. Ley de Biot-Savart y Ley de Ampère. . . .
4.3. Fuerza magnética entre corrientes. . . . .
4.4. Expansión multipolar del potencial vector.
4.5. Momento magnético. . . . . . . . . . . . .
4.6. Magnetostática en medios materiales. . . .
4.7. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5. Campos electromagnéticos dependientes del tiempo.
5.1. Ley de Faraday y ecuaciones de Maxwell. . . . . . . . . . . . .
5.2. Transformaciones de calibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Energía del campo magnético. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Conservación de energía del campo electromagnético. . . . . . .
5.5. Momento del campo electromagnético. . . . . . . . . . . . . . .
5.6. Momento angular del campo electromagnético. . . . . . . . . .
5.7. Ondas electromagnéticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8. Polarización, reflexión y refracción de ondas electromagnéticas.
5.9. Ondas electromagnéticas en medios materiales. . . . . . . . . .
5.10. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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203
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211
218
222
230
6. Transformaciones relativistas de campos electromagnéticos.
6.1. Revisión de Relatividad Especial. . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Corrimiento Doppler relativista. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Transformaciones de campos electromagnéticos. . . . . . . . . .
6.4. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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A. Bibliografía
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267
Capítulo 1
Electrostática.
1.1.
Ecuaciones de Maxwell.
Los fenómenos electromagnéticos macroscópicos están descritos por las ecuaciones
de Maxwell,
∇·E
1 ∂B
∇×E+
c ∂t
∇·B
1 ∂E
∇×B−
c ∂t
= 4πρ
(1.1)
= 0
(1.2)
= 0
4π
=
J.
c
(1.3)
(1.4)
Estas ecuaciones corresponden a fuentes y campos en el vacío, en el sistema de unidades cgs o gaussiano. En medios materiales, aparecen algunos factores adicionales,
pero la forma de las ecuaciones es la misma.
Las cantidades físicas que aparecen en las ecuaciones de Maxwell y sus unidades
en el sistema cgs Gaussiano son
E:
B:
ρ:
J:
c:
campo eléctrico [statvoltio/cm],
campo magnético [Gauss],
densidad de carga eléctrica [statcoulomb/cm3 ],
densidad de corriente eléctrica [statampère/cm2 ],
velocidad constante de la luz en el vacío [cm/s].
1
(1.5)
2
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
La conversión de unidades entre el sistema mks y el cgs Gaussiano es
1 coulomb = 3 × 109 statcoulombs.
1 ampère = 3 × 109 statampères.
1 voltio
= 300−1 statvoltios.
(1.6)
Las ecuaciones de Maxwell describen leyes de la naturaleza descubiertas experimentalmente en una serie de trabajos monumentales debidos a Oersted, Coulomb,
Faraday, Ampère, Biot, Savart y otros grandes físicos.
La Ec. (1.1) también se conoce como la ley de Gauss para el Electromagnetismo,
y es consecuencia de la ley de Coulomb para las fuerzas entre cargas eléctricas. La
Ec. (1.2) corresponde a la ley de inducción de Faraday. La Ec. (1.3) describe la
ausencia de cargas (monopolos) magnéticas, mientras que la Ec. (1.4) contiene la ley
de Ampère para el campo magnético producido por una corriente eléctrica, es decir,
por cargas eléctricas en movimiento.
Maxwell dió forma matemática a estas leyes e introdujo una notación conveniente. La inclusión del término 1c ∂E
∂t (denominado corriente de desplazamiento) en la
Ec. (1.4), mediante un requerimiento de simetría en relación con la Ec. (1.2), constituye la contribución fundamental de Maxwell al Electromagnetismo. Con la adición
de este término, las ecuaciones de Maxwell pemitieron la predicción de ondas electromagnéticas cuya velocidad de propagación es igual a la velocidad de la luz.
Las ecuaciones de Maxwell expresan la relación física entre los campos E y B, y
de éstos con sus fuentes ρ y J. Desde el punto de vista matemático, las ecuaciones
de Maxwell son un conjunto de ocho ecuaciones diferenciales acopladas, en derivadas
parciales de primer orden con respecto al espacio y al tiempo, para las seis componentes los campos vectoriales E(r, t) y B(r, t); dadas las fuentes ρ(r, t) y J(r, t).
Para aplicar estas ecuaciones en situaciones físicas se requiere un sistema de coordenadas (cartesianas, esféricas, cilíndricas, etc.) apropiado para el problema considerado.
En coordenadas cartesianas, el vector de posición en el espacio tridimensional con
respecto a un origen dado O es r = (x, y, z) = (x1 , x2 , x3 ), y el campo eléctrico (o
magnético) en el punto r y en el instante t es
E(r, t) = (Ex (r, t), Ey (r, t), Ez (r, t)) ,
(1.7)
donde Ex (r, t) = Ex (x, y, z, t), etc. En general, escribimos las componentes cartesianas Ei (r, t) = Ei (x1 , x2 , x3 , t), i = 1, 2, 3. El vector unitario en la dirección xi se
denota por x̂i .
1.1. ECUACIONES DE MAXWELL.
3
Figura 1.1: Campos E(r, t) y B(r, t) en un sistema de coordenadas cartesianas.
Los operadores diferenciales vectoriales en las ecuaciones de Maxwell, en coordenadas cartesianas, son:
Gradiente:
∇φ(x, y, z) =
∂φ ∂φ ∂φ
,
,
∂x ∂y ∂z
.
(1.8)
Divergencia:
∇·E=
∂Ex ∂Ey
∂Ez
+
+
∂x
∂y
∂z
.
(1.9)
Rotacional:
x̂
ŷ
ẑ
∂Ey
∂Ez
∂Ex ∂Ey
∂Ez
∂Ex
∇ × E = Ex Ey Ez =
x̂ +
ŷ +
ẑ.
−
−
−
∂z
∂y
∂x
∂z
∂y
∂x
∂
∂
∂
∂x
∂y
∂z
(1.10)
Derivada temporal:
∂E
=
∂t
∂Ex ∂Ey ∂Ez
,
,
∂t
∂t ∂t
.
(1.11)
Una consecuencia inmediata de las ecuaciones de Maxwell es la conservación de la
carga eléctrica. Para ver esto, consideremos la siguiente derivada parcial con respecto
4
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
a t, tomando en cuenta que las coordenadas de r y t son independientes,
∂
∂ ∂Ex ∂Ey
∂Ez
(∇ · E) =
+
+
∂t
∂t ∂x
∂y
∂z
2
2
2
∂ Ex ∂ Ey
∂ Ez
=
+
+
∂x∂t
∂y∂t
∂z∂t
∂E
= ∇·
.
∂t
Derivando parcialmente la Ec. (1.1) con respecto a t, tenemos
∂ρ
∂E
= 4π .
∇·
∂t
∂t
Sustituyendo el término
∂E
∂t
(1.12)
(1.13)
de la Ec. (1.4), tenemos
c∇ · (∇ × B) − 4π∇ · J = 4π
∂ρ
.
∂t
(1.14)
Pero ∇ · (∇ × B) = 0 (identidad vectorial). Luego,
∂ρ
+ ∇ · J = 0.
∂t
(1.15)
Esta es la ecuación de continuidad para el flujo de carga eléctrica, similar a la ecuación
de continuidad de un fluido incompresible. Si la densidad de carga disminuye en una
region, debemos tener ∂ρ
∂t < 0 en esa region; mientras que la divergencia de la corriente
eléctrica debe ser ∇ · J > 0; es decir, hay un flujo de corriente (cargas en movimiento)
que sale de dicha región. Por otro lado, un aumento de carga en una región, ∂ρ
∂t > 0,
está asociado a una divergencia negativa de la corriente, ∇ · J < 0; es decir, las cargas
eléctricas deben entrar a esa región. La Ec. (1.15) expresa la conservación de la carga
eléctrica.
En el Electromagnetismo clásico las distribuciones de cargas y de corrientes se
asumen continuas en el espacio, aunque con frecuencia consideramos distribuciones
de cargas localizadas como puntos. Sabemos que la carga eléctrica está cuantizada a
nivel microscópico; toda carga q es un múltiplo entero de la carga fundamental del
electrón, e = 1,6 × 10−19 Coulomb.
1.1. ECUACIONES DE MAXWELL.
5
Figura 1.2: Conservación de la carga eléctrica: la disminución de la densidad de carga ρ en una
región del espacio está asociada a la divergencia positiva de la densidad de corriente J en esa región.
Las ecuaciones de Maxwell describen la dinámica de los campos E y B producidos
por cargas y corrientes eléctricas; no describen el movimiento de cargas sujetas a esos
campos. La dinámica de una carga eléctrica q que se mueve con velocidad v en
presencia de campos electromagnéticos externos E, B (es decir, no producidos por q)
es un resultado experimental adicional a las ecuaciones de Maxwell, y está descrita
por la fuerza de Lorentz,
v
F=q E+ ×B .
(1.16)
c
Los campos E y B contribuyen diferentemente a la fuerza de Lorentz sobre una
carga en movimiento. La fuerza que el campo eléctrico E produce en un punto del
espacio donde está ubicada la carga permite medir E en ese punto y, similarmente,
la componente magnética de la fuerza determina B.
Los campos E, B tienen significado propio independiente de las fuentes que los
producen; ellos pueden existir en regiones lejos de sus fuentes en forma de ondas, y
pueden llevar energía, momento lineal y momento angular.
Las ecuaciones de Maxwell se simplifican considerablemente si las cantidades son
estacionarias, es decir, si E, B, ρ y J, no dependen del tiempo,
∂E
=0 ,
∂t
∂B
=0 ,
∂t
∂ρ
= 0.
∂t
(1.17)
En este caso, los campos E(r), B(r) se desacoplan y las ecuaciones de Maxwell
se pueden separar en dos pares de ecuaciones, correspondientes a la Electrostática y
a la Magnetostática,
)
∇ · E = 4πρ
(1.18)
Electrostática
∇×E=0
(1.19)
+
6
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
(1.20)
∇·B=0
∇×B=
1.2.
4π
J.
c
Magnetostática
(1.21)
Campo electrostático.
Consideremos dos cargas puntuales q1 y q2 ubicadas en las posiciones r1 y r2 ,
respectivamente.
Figura 1.3: Dos cargas puntuales en el espacio.
La fuerza sobre q2 debida a la interacción con q1 está dada experimentalmente
por la Ley de Coulomb,
Fsobre q2 = k
q1 q2
(r2 − r1 ) ,
|r2 − r1 |3
(1.22)
donde k es una constante de proporcionalidad que depende del sistema de unidades;
en el sistema cgs, k ≡ 1. Debido a la Tercera Ley de Newton, tenemos
Fsobre q2 = −Fsobre q1 .
(1.23)
La fuerza entre cargas eléctricas debida a la Ley de Coulomb puede ser atractiva
o repulsiva. Esto permite distinguir dos tipos de cargas existentes en la Naturaleza,
designadas como positivas o negativas; cargas de signos opuestos se atraen y cargas
de signos iguales se repelen.
El campo electrostático E(r) en un punto r del espacio se mide en términos de la
fuerza ejercida sobre una carga de prueba puntual q colocada en la posición r,
F(r) = qE(r).
(1.24)
1.2. CAMPO ELECTROSTÁTICO.
7
La fuerza F(r) experimentada por la carga q es debida a su interacción con otras
cargas que producen el campo E(r).
Figura 1.4: Campo eléctrico E externo en la posición de una carga q.
El campo eléctrico E(r) se define cuando el campo creado por la carga de prueba
en r es despreciable; es decir, cuando q → 0,
F(r)
.
q→0 q
E(r) = lı́m
(1.25)
El campo eléctrico producido en la posición r2 por una carga q1 , cuando q2 → 0 es
Fsobre q2
q1
=
(r2 − r1 ) .
q2 →0
q2
|r2 − r1 |3
E(r2 ) = lı́m
(1.26)
Figura 1.5: Campo eléctrico E(r) producido en la posición r por una carga q ubicada en r1 .
La dirección de E(r2 ) depende del signo de la carga q1 . En general, el campo
producido en la posición r por una carga q ubicada en r1 es
E(r) =
q
(r − r1 ) .
|r − r1 |3
(1.27)
8
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
Una carga q ubicada en el origen O (r1 = 0) produce un campo radial
q
q
E(r) = 3 r = 2 r̂ ,
(1.28)
r
r
donde usamos la notación r = |r|.
Las ecuaciones de Maxwell son lineales para los campos E y B. Los campos
cumplen el principio de superposición: si E1 y E2 son campos independientes que
satisfacen las ecuaciones de Maxwell, entonces su suma E1 + E2 también satisface
estas ecuaciones. Luego, el campo total en la posición r debido a un conjunto de
cargas puntuales qi ubicadas en los puntos ri , i = 1, 2, . . . , N , es
E(r) =
N
X
i=1
qi
(r − ri )
.
|r − ri |3
(1.29)
Figura 1.6: Campo eléctrico creado en la posición r por un conjunto de cargas qi ubicadas en ri .
Si las cargas son muy pequeñas (qi → 0) y N es muy grande (N → ∞), tenemos el
límite de una distribución continua de carga ρ, tal que ri → r0 y qi → dq = ρ(r0 )d3 r0 ,
donde denotamos el elemento infinitesimal de volumen por d3 r0 . En el límite continuo,
la sumatoria sobre las cargas se convierte en una integral de la densidad de carga sobre
el volumen. El campo eléctrico producido por una densidad de carga resulta en
Z
(r − r0 ) 3 0
E(r) = ρ(r0 )
d r ,
(1.30)
|r − r0 |3
donde empleamos la notación:
r : punto de observación fijo.
(1.31)
0
(1.32)
r
: posición de fuentes, variable de integración.
1.2. CAMPO ELECTROSTÁTICO.
9
Figura 1.7: Campo eléctrico producido por una densidad de carga. La coordenada de integración
es r0 y la de observación es r.
El campo eléctrico en la Ec. (1.30) constituye una expresión de la Ley de Coulomb
para distribuciones continuas de carga. La Ec. (1.30) es compatible con las dos ecuaciones de la Electrostática, como veremos.
Dada una distribución arbitraria de carga, la Ec. (1.30) permite, en principio,
calcular el campo eléctrico producido por esa carga en cualquier punto del espacio.
En la práctica, el cálculo de la integral en la Ec. (1.30) puede resultar difícil, salvo
en configuraciones geométricas que posean mucha simetría.
Las ecuaciones de la Electrostática pueden expresarse en forma integral. En particular, la fórmula integral de la Ley de Gauss constituye una alternativa útil para
calcular el campo eléctrico producido por ciertas distribuciones simétricas de carga.
La ecuación de la Electrostática ∇ · E = 4πρ se puede expresar en forma integral
empleando el teorema de la divergencia:
I
Z
A · n̂ da =
∇ · A d3 r.
(1.33)
S
V
donde A es un campo vectorial definido dentro de un volumen V y sobre la superficie
S que encierra a V , y n̂ es el vector unitario normal a cada punto de S. La integral
10
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
sobre la superficie se denomina flujo de A a través de S.
Si integramos la ecuación ∇ · E = 4πρ sobre un volumen V que contenga a ρ,
tenemos
Z
Z
ρ(r) d3 r,
(1.34)
∇ · E d3 r = 4π
V
V
y el teorema de la divergencia implica que
I
E · n̂ da = 4πqenc ,
(1.35)
S
donde qenc es la carga total encerrada por la superficie S. La Ec. (1.35) es la Ley de
Gauss en forma integral.
Figura 1.8: Ley de Gauss.
Note que solamente se consideran las cargas encerradas por S, aunque el campo
eléctrico E usado en la evaluación del flujo a través de S contenga contribuciones
de otras fuentes ubicadas fuera de S. El flujo neto a través de S, debido a campos
producidos fuera de S, es cero.
Por otro lado, la ecuación de la Electrostática ∇ × E = 0 puede escribirse en
forma integral mediante el teorema de Stokes:
I
Z
A · dl =
(∇ × A) · n̂ da.
(1.36)
C
S
donde A es un campo vectorial definido sobre una superficie S y en el contorno C
que encierra esa superficie.
Si integramos la ecuación ∇ × E = 0 sobre una superficie arbitraria S, encerrada
por una curva C, y aplicando el teorema de Stokes, tenemos
Z
(∇ × E) · n̂ da = 0
S
I
⇒
E · dl = 0.
(1.37)
C
1.2. CAMPO ELECTROSTÁTICO.
11
Figura 1.9: Teorema de Stokes.
Las ecuaciones de la Electrostática en forma integral permiten establecer las condiciones de frontera para el campo eléctrico sobre una superficie S que posee una
distribución superficial de carga.
Figura 1.10: Campo eléctrico en ambos lados de una superficie cargada.
La densidad superficial de carga en la posición r0 es σ(r0 ). Sean E1 y E2 los
campos eléctricos en la posición r0 sobre la superficie S en el lado 1 y en el lado 2,
respectivamente. Sea n̂ la normal a S que apunta hacia el lado 2.
Para evaluar la condición de frontera para la componente normal de los campos
producida por la carga superficial σ en el punto r0 , usamos la ley de Gauss con una
superficie S 0 cilíndrica que atraviesa transversalmente a la superficie cargada S.
Tomando el límite h → 0 en la superficie cilíndrica S 0 , tenemos
I
Z
Z
E · n̂ da = E2 · n̂ da + E1 · (−n̂) da = 4πqenc
S0
2Z
1
Z
⇒ (E2 − E1 ) · n̂ da = 4π
σ(r0 ) da.
(1.38)
A
A
En el límite A → 0, tenemos en el punto r0 ,
E2 (r0 ) · n̂ − E1 (r0 ) · n̂ = 4πσ(r0 ).
(1.39)
12
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
Figura 1.11: Superficie gaussiana para evaluar la discontinuidad de la componente normal del
campo eléctrico a través de una superficie cargada.
La Ec. (1.39) expresa la discontinuidad de la componente normal del campo eléctrico
a través de una superficie cargada.
Figura 1.12: Contorno C para evaluar la componente tangencial del campo eléctrico a través de
una superficie cargada.
Para evaluar la condición de frontera para la componente tangencial del campo
eléctrico, consideremos la integral de línea de E a lo largo de un rectángulo C de
lados b y l que atraviesa la superficie del conductor. Entonces,
I
E · dl = 0.
(1.40)
C
Tomamos el límite b → 0,
I
Z
E · dl =
lı́m
b→0 c
Z
E2 · dl +
2
E1 · dl = 0
(1.41)
1
Haciendo l → 0, tenemos dl → dl t̂ en el lado 1, y dl → −dl t̂ en el lado 2; luego
Z
Z
lı́m E2 · t̂ dl − lı́m E1 · t̂ dl = 0
l→0 2
l→0 1
⇒ E2 · t̂ = E1 · t̂.
(1.42)
1.2. CAMPO ELECTROSTÁTICO.
13
La Ec. (1.42) indica que la componente tangencial del campo eléctrico es continua a
través de una superficie cargada.
Ejemplos.
1. Calcular el campo eléctrico de un plano infinito con densidad uniforme de carga
superficial σ.
Figura 1.13: Aplicación de la Ley de Gauss para un plano infinito con carga superficial uniforme.
Por simetría, E es perpendicular al plano y paralelo al eje z. Usamos la Ley de
Gauss en su forma integral para una superficie cilíndrica S, como se muestra
en la figura.
I
E · n̂ da = 4πqenc .
(1.43)
S
La integral del flujo a través de S contiene contribuciones de tres integrales de
superficie: dos términos correspondientes a las tapas del cilindro, de área A cada
una, indicadas como 1 y 2; y un término correspondiente al lado del cilindro,
identificado con 3.
Sobre el lado 3 del cilindro, el campo eléctrico E3 es perpendicular a la normal
n̂3 asociada a ese lado. Luego, E3 · n̂3 = 0, y la contribución del término 3 al
flujo a través de S, es nula. Sobre la tapa 1, E1 = Eẑ y n̂1 = ẑ; mientras que
14
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
sobre la tapa 2, E2 = −Eẑ y n̂2 = −ẑ. Entonces,
Z
I
Z
E · n̂ da =
E1 · n̂1 da + E2 · n̂2 da
S
Z 2
Z1
Eẑ · ẑ da + E(−ẑ) · (−ẑ) da = 2EA
=
1
=
2
4πq [total sobre A] = 4πσA
⇒ E = 2πσ.
(1.44)
Luego,
E1 = 2πσẑ ,
E2 = −2πσẑ.
(1.45)
Función delta de Dirac.
Muchas distribuciones de carga eléctrica de interés en Electrostática están localizadas en superficies, planos, líneas, o puntos; es decir, corresponden a distribuciones
confinadas en algunas dimensiones. La función delta de Dirac resulta útil para expresar este tipo de distribuciones.
Figura 1.14: Ilustración de la función delta de Dirac en una y en tres dimensiones.
La función delta de Dirac en un intervalo real I se define mediante las propiedades:
1. δ(x − a) = 0,
si x 6= a
n
R
1, si a ∈
2. I δ(x − a)dx = 0, si a ∈/
R
3. I f (x)δ(x − a)dx = f (a)
I
I
1.2. CAMPO ELECTROSTÁTICO.
15
La función delta de Dirac también se puede definir en tres dimensiones y posee
las siguientes propiedades:
1. δ(r − A) = δ(x − Ax )δ(y − Ay )δ(z − Az )
2.
R
3.
R
V
V
δ(r − A)d3 r =
n
1,
0,
si A ∈
si A ∈/
V
V
f (r)δ(r − A)d3 r = f (A)
Note que las unidades de la función delta de Dirac definida en un espacio de dimensión d son [distancia−d ].
Ejemplos.
1. Expresar ρ para una distribución de N cargas puntuales qi situadas en posiciones ri .
Figura 1.15: Distribución de cargas puntuales.
La densidad es
ρ(r) =
N
X
i=1
qi δ(r − ri ).
(1.46)
16
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
Empleando la Ec. (1.30), el campo eléctrico en la posición r debido a un conjunto
de cargas puntuales se puede expresar como
Z
(r − r0 ) 3 0
d r
E(r) =
ρ(r0 )
|r − r0 |3
Z
N
X
(r − r0 ) 3 0
=
δ(r0 − ri )
qi
d r
|r − r0 |3
i=1
=
N
X
i=1
qi
(r − ri )
.
|r − ri |3
(1.47)
Una carga ubicada en el origen se expresa como ρ(r) = q δ(r). El campo eléctrico
correspondiente en una posición r es
Z
(r − r0 ) 3 0
q
r
E(r) = q δ(r0 )
(1.48)
3 d r = q r 3 = r 2 r̂.
0
|r − r |
2. Expresar la densidad de carga de volumen para un plano infinito con densidad
superficial de carga σ.
Figura 1.16: Plano z = 0 con densidad superficial de carga σ.
Escojamos el plano en z = 0. Entonces, la densidad de carga en coordenadas
cartesianas es ρ(x, y, z) = σδ(z).
El elemento de volumen en coordenadas cartesianas es d3 r = dx dy dz. La integral de ρ sobre todo el volumen debe dar la carga total,
Z
Z ∞
Z ∞
Z ∞
3
ρd r = σ
dx
dy
δ(z)dz
(1.49)
−∞
−∞
−∞
Z ∞
Z ∞
= σ
dx
dy = q total.
−∞
−∞
1.2. CAMPO ELECTROSTÁTICO.
17
3. Expresar ρ en coordenadas esféricas para una carga q distribuida uniformemente
sobre un cascarón esférico de radio a.
Figura 1.17: Cascarón esférico cargado.
Solamente hay carga en r = a; superficie de la esfera. Proponemos la forma
ρ(r, θ, φ) = k q δ(r − a), donde k es un factor de proporcionalidad que debe
contener información sobre la geometría, tal que
Z
ρ(r)d3 r = q,
(1.50)
donde d3 r = r2 sin θ dθ dφ dr en coordenadas esféricas. Luego,
Z 2π
Z π
Z ∞
kq
dφ
sin θ dθ
r2 δ(r − a)dr = q
0
0
kq × 2π × 2 × a2 = q ⇒ k =
⇒ ρ(r, θ, φ) =
(1.51)
0
1
4πa2
q
δ(r − a).
4πa2
(1.52)
(1.53)
4. Expresar la función delta de Dirac
δ(r − r0 ) = δ(x − x0 )δ(y − y 0 )δ(z − z 0 )
(1.54)
en coordenadas esféricas.
Tenemos, en coordenadas cartesianas,
Z
Z
Z
δ(r − r0 ) d3 r =
δ(r − r0 ) dx dy dz =
δ(x − x0 )δ(y − y 0 )δ(z − z 0 ) dx dy dz
V
V
V
(1.55)
18
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
En coordenadas esféricas d3 r = r2 sin θ dθ dφ dr, y tenemos
Z
Z
Z
3
0
0 2
δ r−r d r =
δ(r − r )r dr dφ sin θ dθ =
δ r − r0 r2 dr dφ d(cos θ).
V
V
V
(1.56)
La Ec. (1.56) posee la misma forma que la Ec. (1.55) si, en coordenadas esféricas,
tenemos
1
δ(r − r0 ) = 2 δ r − r0 δ φ − φ0 δ cos θ − cos θ0 .
(1.57)
r
5. Expresar ρ en coordenadas cilíndricas para una densidad lineal de carga uniforme λ distribuida sobre un cilindro de radio b.
Figura 1.18: Cilindro con densidad lineal de carga.
Proponemos la forma ρ(R, φ, z) = k λ δ(R − b), donde λ = q/L. Determinamos
el factor k tal que
Z
ρ(r)d3 r = q,
(1.58)
donde d3 r = R dφ dz dR en coordenadas cilíndricas. Luego,
Z
ρ d3 r
Z
=
kλ
2π
Z
∞
Z
dφ
0
−∞
∞
δ(R − b)R dR
dz
0
=
kλ2πLb = q
1
⇒ k=
2πb
⇒
ρ(R, φ, z) =
λ
δ(R − b).
2πb
1.3. POTENCIAL ESCALAR ELÉCTRICO.
1.3.
19
Potencial escalar eléctrico.
De la ley de Coulomb, obtuvimos el campo eléctrico en r creado por una distribución de carga ρ(r0 ),
Z
(r − r0 ) 3 0
d r
(1.59)
E(r) = ρ(r0 )
|r − r0 |3
donde la integral se extiende a todo el volumen donde exista ρ.
Este campo E(r) debe satisfacer las ecuaciones de Maxwell correspondientes a la
Electrostática,
∇ × E = 0,
∇ · E = 4πρ.
(1.60)
(1.61)
Para demostrar que E(r) satisface la ecuación ∇ × E = 0, calculemos primero la
siguiente expresión,
1
∇
,
(1.62)
|r − r0 |
donde
h
i1/2
r − r0 = x − x0 2 + y − y 0 2 + z − z 0 2
,
y el operador ∇ actúa sobre las coordenadas de r, no de r0 .
Tenemos,
−1 h
2
2
2 i− 23
1
∂ = − 2 x − x0
r − r0 x − x0 + y − y 0 + z − z 0
∂x
2
(x − x0 )
= −
.
|r − r0 |3
Similarmente,
−1 ∂ (y − y 0 )
r − r0 = −
∂y
|r − r0 |3
−1 ∂ (z − z 0 )
r − r0 = −
,
∂z
|r − r0 |3
(1.63)
20
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
Luego,
∇
1
|r − r0 |
(x − x0 ) (y − y 0 ) (z − z 0 )
,
,
|r − r0 |3 |r − r0 |3 |r − r0 |3
(r − r0 )
= −
.
|r − r0 |3
= −
(1.64)
En particular, si r0 = 0,
1
r
r̂
∇
=− 3 =− 2.
r
r
r
(1.65)
Un cálculo relacionado es ∇r, donde
r = x2 + y 2 + z 2
1
2
.
(1.66)
Tenemos,
∂r
1
x
= 2 x(x2 + y 2 + z 2 )−1/2 = .
∂x
2
r
(1.67)
Similarmente,
y
∂r
=
∂y
r
;
∂r
z
=
∂z
r
(1.68)
Luego,
∇r =
∂r ∂r ∂r
, ,
∂x ∂y ∂z
1
r
= (x, y, z) = = r̂ .
r
r
(1.69)
El campo eléctrico puede expresarse entonces como
Z
E (r) =
(r − r0 ) 3 0
ρ r
d r =−
|r − r0 |3
0
Z
0
ρ(r ) ∇
1
|r − r0 |
d3 r0 .
(1.70)
Recordemos que el operador diferencial ∇ actúa sobre r, no sobre la variable de
integración r0 . Luego, podemos escribir
Z
ρ(r0 ) 3 0
E(r) = −∇
d r .
(1.71)
|r − r0 |
1.3. POTENCIAL ESCALAR ELÉCTRICO.
21
La expresión entre paréntesis es una función que depende del punto de observación
r. Denotamos esta función por
Z
ρ (r0 ) 3 0
ϕ(r) ≡
d r.
(1.72)
|r − r0 |
La función ϕ(r) se denomina potencial escalar eléctrico. Entonces, podemos escribir
E(r) = −∇ϕ(r) .
(1.73)
Esto es, el campo electrostático se puede expresar como (menos) el gradiente de un
potencial escalar.
El campo E expresado en la Ec. (1.73) satisface la ecuación de la Electrostática
∇ × E = −∇ × (∇ϕ(r)) = 0 ,
(1.74)
lo cual es una identidad vectorial.
Para demostrar que el campo electrostático satisface la ecuación ∇·E(r) = 4πρ(r),
requerimos un importante resultado adicional. Consideremos el teorema de la divergencia,
Z
I
∇ · A d3 r =
V
A · n̂ da,
(1.75)
S
para el campo vectorial
A=∇
1
|r − r0 |
.
donde r, r0 ∈ V . Entonces,
I
Z
1
1
3
2
d r =
∇
· n̂ da
∇
|r − r0 |
|r − r0 |
S
V
I
(r − r0 )
= −
· n̂ da
0 3
S |r − r |
(1.76)
(1.77)
Definimos R ≡ r − r0 . Tomamos la superficie S como una esfera con origen O0
en r0 y con radio R = |r − r0 |. Entonces, la normal en la superficie S es n̂ = R̂ y
da = R2 dΩ. Sustituyendo en la integral de superficie, obtenemos
I
I
I
(r − r0 )
R̂
2
· R̂ R dΩ =
dΩ = 4π.
(1.78)
· n̂ da =
2
0 3
S |r − r |
S R
S
22
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
Figura 1.19: Coordenadas para la integral de superficie Ec. (1.78).
Luego,
1
d3 r = −4π.
0|
|r
−
r
V
Recordemos la propiedad de la función delta de Dirac tridimensional,
Z
δ(r − r0 ) d3 r = 1,
si r0 ∈ V .
Z
∇2
(1.79)
(1.80)
V
Entonces, podemos escribir la Ec. (1.79) como
Z
Z
1
3
∇2
d
r
=
−4π
δ(r − r0 ) d3 r,
0|
|r
−
r
V
V
(1.81)
lo cual implica que
1
0
∇
=
−4πδ
r
−
r
.
(1.82)
|r − r0 |
Esta relación es una propiedad general de la función delta de Dirac y se puede tomar
como una definición de esta función en tres dimensiones. En particular, si r0 = 0,
tenemos la relación
1
∇2
= −4πδ (r) .
(1.83)
r
2
Entonces, tomando la divergencia de E en la Ec. (1.71), obtenemos
Z
ρ(r0 ) 3 0
2
∇ · E(r) = −∇
d r
|r − r0 |
Z
1
0
2
= − ρ(r )∇
d3 r0
|r − r0 |
Z
= − ρ(r0 ) δ r − r0 d3 r0
= −4πρ(r).
(1.84)
1.3. POTENCIAL ESCALAR ELÉCTRICO.
23
En general, si se conoce la densidad de carga ρ(r0 ) en todo el espacio, el cálculo
de ϕ(r) a partir de la Ec. (1.72) resulta más fácil que la determinación directa del
campo eléctrico E(r) usando la integral Ec. (1.59). En la práctica, se calcula el campo
eléctrico a partir de ϕ(r), mediante la relación E = −∇ϕ(r).
Note que para calcular la integral de ϕ (r), hay que conocer ρ (r0 ) sobre todo el
espacio; esto implica que r0 → ∞ y que el punto de observación incluye r → ∞.
Interpretación física del potencial escalar eléctrico.
Consideremos una carga q en una región donde existe un campo eléctrico E.
Figura 1.20: Carga q llevada por fuerza externa entre puntos A y B en un campo eléctrico.
La fuerza que ejerce el campo sobre la carga q es
Felect = q E.
(1.85)
Consideremos el trabajo que debe realizar una fuerza externa Fext para llevar una
carga q en equilibrio desde un punto A a otro punto B en esa región,
Z B
WAB =
Fext · dl,
(1.86)
A
donde dl = (dx, dy, dz) es el vector tangente en cada punto de la trayectoria que une
los puntos A y B. La fuerza externa debe ser
Fext = −Felect .
(1.87)
Luego,
Z
B
WAB = −q
Z
B
E · dl = q
A
(∇ϕ) · dl.
A
(1.88)
24
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
Pero
∇ϕ · dl =
X ∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
dxi = dϕ(x, y, z).
dx +
dy +
dz =
∂x
∂y
∂z
∂xi
(1.89)
i
Luego,
Z
B
dϕ = q (ϕB − ϕA ) .
WAB = q
(1.90)
A
El trabajo depende solamente de la diferencia de la función potencial evaluada en los
puntos A y B, no de la trayectoria entre esos puntos. Entonces,
(ϕB − ϕA ) =
WAB
,
q
(1.91)
es decir, la diferencia de potencial eléctrico entre dos puntos es el trabajo por unidad
de carga que debe realizar un agente externo para llevar una carga entre esos puntos.
Adicionalmente, la integral de linea
Z
B
E · dl = ϕA − ϕB
(1.92)
A
es independiente del camino entre A y B. Si el camino es cerrado, A = B; entonces
I
E · dl = 0,
(1.93)
por lo tanto,
I
Felect · dl = 0.
(1.94)
lo cual significa que las fuerzas electrostáticas son conservativas (el trabajo realizado
por una fuerza conservativa a lo largo de una trayectoria cerrada es cero).
Aplicando el Teorema de Stokes a la Ec. (1.93), tenemos
Z
(∇ × E) · n̂ da = 0 ⇒ ∇ × E = 0.
(1.95)
S
Luego, la ecuación de la Electrostática ∇ × E = 0 expresa el hecho de que las fuerzas
electrostáticas son conservativas.
1.3. POTENCIAL ESCALAR ELÉCTRICO.
25
La Ec. (1.72) implica que el potencial ϕ(r) debido a cualquier distribución localizada de carga tiende a cero cuando r → ∞. Si el punto A es r → ∞, entonces
ϕA = ϕ(r → ∞) = 0. Luego, la Ec. (1.90) implica que el trabajo para traer una
carga q desde un punto A en r = ∞ hasta un punto B correspondiente a un r finito
es
W (r) = q ϕB = q ϕ(r).
(1.96)
En la práctica, el infinito se refiere a un reservorio con potencial fijo ϕ = 0 desde
el cual se pueden extraer cargas indefinidamente. Con una buena aproximación, la
Tierra funciona como un reservorio inagotable de cargas y se le asigna potencial cero.
Supongamos que el potencial ϕ(r) es producido por una carga puntual q 0 colocada
en r0 ; entonces
q0
ϕ (r) =
.
(1.97)
|r − r0 |
Figura 1.21: Potencial producido en r por carga q0 ubicada en r0 .
El trabajo que debe hacer un agente externo para traer una carga q desde r = ∞
hasta r en presencia de una carga q 0 colocada en r0 es
W (r) = q ϕ(r) =
q q0
≡ U.
|r − r0 |
(1.98)
Este trabajo está acumulado en forma de energía potencial U en el campo electrostático de la configuración de las dos cargas.
26
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
Ejemplos.
1. El potencial escalar eléctrico producido por un conjunto de cargas puntuales qi
colocadas en las posiciones ri puede expresarse mediante la densidad de carga
X
ρ(r0 ) =
qi δ(r0 − ri ) ,
(1.99)
i
esto es,
ϕ(r) =
X
i
Z
qi
δ(r0 − ri ) 3 0 X qi
d r =
.
|r − r0 |
|r − ri |
(1.100)
i
El potencial producido por una carga q colocada en el origen (r1 = 0) es
ϕ(r) =
q
.
r
(1.101)
2. Potencial producido por un plano infinito con densidad superficial de carga
uniforme σ.
E = 2πσẑ = −∇ϕ(r)
(z > 0)
∂ϕ
⇒ 2πσ = −
∂z
⇒ ϕ(z) = −2πσz + cte.
(1.102)
3. Potencial producido por plano z = 0 con densidad superficial de carga σ(x, y).
Figura 1.22: Plano z = 0 con densidad de carga no uniforme.
ρ r0 = σ x0 , y 0 δ z 0 .
(1.103)
1.3. POTENCIAL ESCALAR ELÉCTRICO.
27
h
i1
r − r0 = x − x0 2 + y − y 0 2 + z − z 0 2 2 .
(1.104)
Luego,
Z
ρ (r0 ) 3 0
σ (x0 , y 0 ) δ (z 0 ) 0 0 0
d
r
=
dx dy dz .
|r − r0 |
|r − r0 |
Z
Z
0 0 δ (z 0 ) dz 0
0 0
=
σ x , y dx dy
|r − r0 |
Z
0
0
0
0
σ (x , y ) dx dy
=
|r − r0 |z 0 =0
Z
σ (x0 , y 0 ) dx0 dy 0
=
.
[(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + z 2 ]1/2
Z
ϕ (r) =
(1.105)
4. Potencial producido por un disco de radio a, cargado con σ uniforme.
Figura 1.23: Disco con densidad de carga uniforme.
La densidad superficial de carga es
σ, si R = x02 + y 02 1/2 ≤ a
0 0
σ(x , y ) =
0, si R = (x02 + y 02 )1/2 > a.
(1.106)
Podemos usar la Ec. (1.105) para calcular el potencial. La simetría del problema
sugiere el empleo de coordenadas polares; dx0 dy 0 → R dR dφ. Entonces,
Z
2π
Z
ϕ(r) = σ
0
0
a
R dR dφ
.
|r − r0 |z 0 =0
(1.107)
28
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
Cuando z 0 = 0, la variable de integración en coordenadas polares es r0 = R;
luego
h
π
i 1
2
2
2
r − r0 0
=
|r
−
R|
=
r
+
R
−
2
r
R
cos
−
θ
z =0
2
2
1
2
2
= r + R − 2 r R sin θ
1/2
= z 2 sec2 θ + R2 − 2zR tan θ
,
donde hemos usado
z = r cos θ
⇒
r = z sec θ.
(1.108)
Luego,
Z
ϕ(r) = ϕ(z, θ) = 2π σ
0
a
R dR
[z 2 sec2 θ + R2 − 2zR tan θ]1/2
.
(1.109)
Las coordenadas θ y z del punto de observación r son fijas. El potencial Ec. (1.109)
producido por el disco en el espacio posee simetría azimutal (no depende del
ángulo φ). La evaluación de la integral en la Ec. (1.109) para todos los valores
de θ es difícil. Sin embargo, podemos calcular el potencial sobre el eje z, que
corresponde al caso especial θ = 0.
Z a
R dR
ϕ (z) = 2πσ
1/2
0 [z 2 + R2 ]
1 R=a
= 2πσ z 2 + R2 2 R=0
h
i
2
2 1/2
= 2πσ z + a
− |z| .
(1.110)
Consideremos los casos límites:
a) |z| a, muy cerca del disco → |z| /a 1
" #
1/2
z2
ϕ (z) = 2πσ a 1 + 2
− |z| .
a
(1.111)
Empleamos la expansión de Taylor,
(1 ± x)m ≈ 1 ± mx . . . ,
si |x| 1.
(1.112)
1.4. EXPANSIÓN MULTIPOLAR DEL POTENCIAL ELÉCTRICO.
29
z2
ϕ(z) ≈ 2πσ a 1 + 2 − |z|
2a
≈ 2πσ [a − |z|]
2πσ (a − z) , z > 0
=
2πσ (a + z) , z < 0.
El campo eléctrico es
2πσ , z > 0
∂ϕ
=
,
Ez = −
∂z
−2πσ , z < 0
Ex = 0,
Ey = 0,
(1.113)
es decir; muy cerca del disco, E es perpendicular a la superficie de éste,
similar al campo de un plano infinito con densidad uniforme de carga σ.
b) |z| a, muy lejos del disco → a/|z| 1
"
a2
1+ 2
z
ϕ (z) = 2πσ |z|
#
1/2
−1
a2
≈ 2πσ |z| 1 + 2 − 1
2z
2
q
a
=
,
= πσ
|z|
|z|
(1.114)
lo cual corresponde al potencial de una carga puntual. Es decir, para distancias grandes comparadas con el tamaño del disco, la estructura del disco
o del objeto que produce el campo es irrelevante; sólo importa su carga
total.
1.4.
Expansión multipolar del potencial eléctrico.
En el espacio libre, el potencial producido por una distribución de carga ρ(r0 ) en
un punto r es
Z
ρ (r0 ) 3 0
ϕ(r) =
d r.
(1.115)
|r − r0 |
30
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
El cálculo analítico de esta integral, salvo en situaciones que posean suficientes simetrías, es en general difícil. Sin embargo, es posible obtener una expresión del potencial
en el espacio libre para distancias alejadas de la fuente r > r0 en forma de serie de
potencias de r0 /r.
Figura 1.24: Potencial producido por una distribución de carga lejos de la fuente, r > r0 .
En tal sentido, podemos escribir
1
1
1
=√
= s
.
0
|r − r |
r2 + r02 − 2r · r0
2r · r0 − r02
r 1−
r2
(1.116)
donde r0 /r < 1. Definamos
2r · r0 − r02
< 1,
r2
y recordemos la siguiente expansión en serie de Taylor válida para x < 1,
x≡
1
1·3 2 1·3·5 3
(1 − x)−1/2 = 1 + x +
x +
x + ···
2
2·4
2·4·6
(1.117)
(1.118)
Entonces podemos expresar,
06 1
1
1 2r · r0 r02
3 4(r · r0 )2 4(r · r0 )r02 r04
r
=
1+
− 2 +
−
+ 4 +O
.
0
2
4
4
|r − r |
r
2
r
r
8
r
r
r
r6
(1.119)
Manteniendo los términos hasta orden O 1/r3 , tenemos
1
|r − r0 |
=
≈
1 r · r0
r02
3 (r · r)2
+ 3 − 3+
+ ···
r
r
2r
2 r5
1 r · r0
1 + 3 + 5 3(r · r0 )2 − r02 r2 .
r
r
2r
(1.120)
1.4. EXPANSIÓN MULTIPOLAR DEL POTENCIAL ELÉCTRICO.
31
Sustituyendo en la Ec. (1.115), tenemos el potencial para r > r0 ,
Z
3 0
1 r · r0
1 0
0 2
02 2
d r
(1.121)
ϕ(r) ≈
ρ(r )
+ 3 + 5 3(r · r ) − r r
r
r
2r
Z
Z
Z
1
r
1
≈
ρ(r0 ) d3 r0 + 3 · ρ(r0 ) r0 d3 r0 + 5 ρ(r0 ) 3(r · r0 )2 − r02 r2 d3 r0 .
r
r
2r
El primer término en la Ec. (1.121) equivale a
Z
q
, donde
r
ρ(r0 ) d3 r0 ,
q=
(1.122)
es la carga total, que también se denomina momento monopolar de la distribución de
carga.
El segundo término en la Ec. (1.121) se puede expresar como
r·p
,
r3
(1.123)
donde se define el vector momento dipolar de la distribución de carga como
Z
p = ρ(r0 ) r0 d3 r0 .
(1.124)
Para expresar el tercer término en la Ec. (1.121), consideremos
0 2
(r · r )
=
x1 x01
+
x2 x02
+
2
x3 x03
=
3
X
xi xj x0i x0j
(1.125)
i,j=1
r2 = x21 + x22 + x23 =
3
X
xi xj δij .
(1.126)
i,j=1
Entonces,
0 2
2 02
3(r · r ) − r r
= 3
3
X
i,j=1
=
3
X
i,j=1
xi xj x0i x0j
−r
02
3
X
xi xj δij
(1.127)
i,j=1
xi xj 3x0i x0j − r02 δij .
(1.128)
32
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
Luego, el tercer término se puede escribir
1
2r5
Z
Z
3
3 0
1 X
0 2
02 2
ρ(r ) 3(r · r ) − r r d r = 5
xi xj ρ(r0 ) 3x0i x0j − r02 δij d3 r0 .
2r
0
i,j=1
(1.129)
Definimos los momentos cuadripolares de la distribución de carga como
Z
Qij = ρ(r0 ) 3x0i x0j − r02 δij d3 r0 .
(1.130)
Los momentos cuadripolares son simétricos, Qij = Qji .
Entonces, el tercer término se puede expresar como
3
1 X
xi xj Qij .
2r5
(1.131)
i,j=1
Los momentos multipolares son una propiedad de la fuente que produce el potencial y de su geometrìa; es decir, dependen de la forma como está distribuida la
carga en el espacio con respecto a un sistema de coordenadas particular. El momento
monopolar es un escalar, el momento dipolar es un vector y el momento cuadripolar
es un tensor.
Reuniendo los resultados, podemos expresar la expansión del potencial para r > r0
en términos de los momentos multipolares de la distribución de carga en la siguiente
forma,
3
q r·p
1 X
ϕ(r) ≈ + 3 + 5
xi xj Qij .
(1.132)
r
r
2r
i,j=1
Note que el potencial del monopolo va como 1r , el del dipolo va como r12 , el del
cuadripolo cae como r13 .
El momento dipolar está asociado a una distribución de carga a lo largo de una
dirección espacial. El dipolo más simple está constituido por dos cargas q y −q separadas por una distancia a. Podemos escoger el eje z en la dirección de la línea que
une las dos cargas y el origen de coordenadas en el punto medio de esa línea.
La densidad de carga del dipolo está dada por
ρ(r0 ) = q δ(r0 − a/2) − q δ(r0 + a/2).
(1.133)
1.4. EXPANSIÓN MULTIPOLAR DEL POTENCIAL ELÉCTRICO.
33
Figura 1.25: Dipolo elemental.
El potencial en r es
Z
ρ (r0 ) 3 0
ϕ(r) =
d r
|r − r0 |
q
q
=
−
|r − a/2| |r + a/2|
q
q
−p
= p
2
2
2
r − r · a + a /4
r + r · a + a2 /4
"
−1/2 −1/2 #
q
a2
r·a
a2
r·a
=
− 1+ 2 + 2
.
1− 2 + 2
r
r
4r
r
4r
(1.134)
(1.135)
Consideremos el punto de observación muy alejado de la fuente; es decir, a/r 1.
Empleamos las siguientes expansiones en serie, válidas para x < 1,
1
3
(1 ± x)−1/2 = 1 ∓ x + x2 ∓ · · ·
2
8
Haciendo x =
r·a
< 1, podemos expresar
r2
2
q h
r · a r · a i
a
ϕ(r) =
1+ 2 − 1− 2
+O
r
2r
2r
r2
a·r
≈ q 3 .
r
El momento dipolar de la distribución de carga es
Z
p = ρ(r0 ) r0 d3 r0 = q a = qaẑ.
(1.136)
(1.137)
(1.138)
(1.139)
34
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
Note que la dirección del vector p va de la carga negativa a la carga positiva. Luego,
el potencial para r > a se puede escribir como
p · r̂
p·r
= 2 .
(1.140)
3
r
r
Esta expresión es exacta en el límite a → 0, manteniendo p constante y corresponde
al potencial de un dipolo elemental. Si tomamos p = pẑ, el potencial del dipolo en
coordenadas esféricas (r, θ, φ) se puede expresar como
ϕ(r) ≈
p cos θ
,
(1.141)
r2
el cual es independiente del ángulo φ; es decir el potencial de un dipolo posee simetría
azimutal. El campo eléctrico producido por un dipolo puede calcularse en coordenadas
esféricas, a partir de
∂ϕ
1 ∂ϕ
1 ∂ϕ
E = −∇ϕ(r) = −
r̂ +
θ̂ +
φ̂ .
(1.142)
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
ϕ(r) = ϕ(r, θ) =
Luego,
∂ϕ
2p cos θ
=
∂r
r3
1 ∂ϕ
p sin θ
= −
=
r ∂θ
r3
= 0.
Er = −
(1.143)
Eθ
(1.144)
Eφ
(1.145)
En coordenadas cartesianas, el campo eléctrico puede calcularse a partir de
p · r
.
(1.146)
E = −∇
r3
La componente Ei es
P
∂
j pj xj
Ei = −
∂xi
r3
P
∂
j p j xj
= −
∂xi (x21 + x22 + x23 )3/2
P
P
3 2xi j pj xj
j pj δij
= −
−
r3
2
r5
3xi (p · r) pi
=
− 3.
(1.147)
r5
r
1.4. EXPANSIÓN MULTIPOLAR DEL POTENCIAL ELÉCTRICO.
35
Luego, empleando la notación r̂ = r/r, el campo eléctrico del dipolo se puede escribir
como
3r(p · r)
p
3(p · r̂)r̂ − p
E(r) =
− 3 =
.
(1.148)
5
r
r
r3
Ejemplos comunes de dipolos eléctricos son muchas moléculas. Las moléculas no
tienen carga eléctrica neta; sin embargo; muchas de ellas poseen momentos dipolares
debido a la distribución preferencial de los electrones en la dirección de los enlaces
interatómicos presentes.
Figura 1.26: Campo eléctrico de un dipolo.
Los momentos cuadripolares Qij se pueden
tensor o matriz 3 × 3,
Q11 Q12
Q21 Q22
Q=
Q31 Q32
interpretar como componentes de un
Q13
Q23 .
Q33
(1.149)
Debido a la simetría Qij = Qji , solamente 6 componentes de la matriz Q son independientes. Por otro lado,
Z
X
X
3 0
02
Qii =
ρ(r0 )
3x02
d r
(1.150)
i −r
i
i
Z
=
!
ρ(r0 ) 3
X
i
Z
=
x02
i −
X
r02
d3 r0
(1.151)
i
ρ(r0 ) 3r02 − 3r02 d3 r0 = 0 .
(1.152)
36
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
Es decir, solamente 2 de las componentes diagonales Qii son independientes. Luego,
el tensor de momento cuadripolar Q posee 5 componentes independientes.
La distribución de carga más simple que da lugar a momentos cuadripolares consiste en un arreglo de cuatro cargas puntuales muy cercanas, con signos alternativos,
formando un cuadrado. Note que, para esta configuración, q = 0 y p = 0.
Figura 1.27: Campo eléctrico del cuadripolo más simple.
Ejemplo.
1. Calcular los momentos multipolares de una distribución de carga esféricamente
simétrica.
La densidad de carga depende sólo de la coordenada radial; ρ(r0 ) = ρ(r0 ). El
momento monopolar, o la carga total, es
Z
Z
Z 2π
Z
Z
0
3 0
0 02
0
0
0
q = ρ(r ) d r = ρ(r ) r dr
dφ sin θ dθ = 4π ρ(r0 )r02 dr0 6= 0,
0
π
donde hemos empleado el elemento de volumen d3 r0 = r02 sin θ0 dr0 dθ0 dφ0 .
El momento dipolar es
Z
p=
ρ(r0 ) r0 d3 r0 .
1.5. ECUACIONES DE POISSON Y DE LAPLACE.
37
Las componentes de r0 en coordenadas cartesianas son
x0 = r0 sin θ0 cos φ0
y 0 = r0 sin θ0 sin φ0
z 0 = r0 cos θ0 .
Entonces,
*0
Z π
φ0 dφ0
px = ρ(r0 )x0 d3 r0 = ρ(r0 )r03 dr0
sin2 θ0 dθ0 = 0
cos
0
0
*Z0 π
Z 2π
Z
Z
φ0 dφ0
sin2 θ0 dθ0 = 0
sin
py = ρ(r0 )y 0 d3 r0 = ρ(r0 )r03 dr0
0
0
Z π
Z
Z
Z 2π
:0
0
0 0
0
0 0 3 0
0 03
0
dφ
cos
pz = ρ(r )z d r = ρ(r )r dr
θ sin θ dθ = 0.
0
0
Z
Z
Z
2π
Luego, p = 0.
La componente Q12 del momento cuadripolar es
Z
Q12 = 3
0
0 0 3 0
Z
ρ(r ) x y d r = 3
0
04
ρ(r )r dr
0
Z
2π
0 π
:Z
0
0 0
sin
φ cos φ dφ
0
sin3 θ0 dθ0 .
0
= 0.
Similarmente, las otras componentes Qij = 0.
1.5.
Ecuaciones de Poisson y de Laplace.
La ecuación de la Electrostática
∇×E=0
implica que el campo eléctrico se puede expresar como el gradiente de un potencial
escalar
E = −∇ϕ (r) ,
(1.153)
38
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
el cual debe satisfacer también la otra ecuación de la Electrostática,
∇ · E = 4πρ .
(1.154)
Por lo tanto,
∇ · (∇ϕ) = −4πρ
∇2 ϕ = −4πρ.
(1.155)
Esta es la ecuación de Poisson.
En sitios donde no hay cargas (ρ = 0), el potencial escalar satisface
∇2 ϕ = 0.
(1.156)
Esta ecuación se conoce como la ecuación de Laplace. En coordenadas cartesianas,
2
∇ ϕ=
3
X
∂2ϕ
i=1
∂x2i
=
∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ
+
+ 2
∂x2
∂y 2
∂z
.
En coordenadas esféricas, el operador laplaciano tiene la forma
∂2ϕ
1 ∂2
1
∂
∂ϕ
1
2
∇ ϕ=
(rϕ)
+
sin
θ
+
.
r ∂r2
r2 sin θ ∂θ
∂θ
r2 sin2 θ ∂φ2
(1.157)
(1.158)
Las ecuaciones de Poisson y de Laplace son ecuaciones diferenciales parciales en
derivadas espaciales de segundo orden. En general, la solución ϕ de la ecuación de
Poisson o de Laplace en regiones del espacio limitadas por superficies o fronteras S
requiere conocer ciertas condiciones sobre esas fronteras; especificamente, el conocimiento del valor del potencial y de su derivada en la dirección normal sobre S:
∂ϕ ϕ|S ,
.
(1.159)
∂n S
En principio, el cálculo directo del potencial a través de la integral de la densidad
de carga es posible si se conoce ésta en todo el espacio. Sin embargo, hemos visto que
este método es limitado. La alternativa para calcular el potencial en regiones donde se
conocen las condiciones de frontera Ec. (1.159) es resolver la ecuación de Poisson o de
Laplace en esa region. En el Capítulo 2 estudiaremos varios métodos de solución de
1.6. ENERGÍA ELECTROSTÁTICA.
39
estas ecuaciones con condiciones de frontera. La solución de la ecuación de Poisson
en una región del espacio que contiene una densidad de carga ρ puede obtenerse
utilizando la función de Green o método de imágenes. La solución de la ecuación
de Laplace puede encontrarse en muchos casos mediante separación de variables y
expansión en series de funciones ortogonales.
Algunas consecuencias de las ecuaciones de Poisson y Laplace son:
1. En un punto donde ρ(r) = 0, no existe máximo o mínimo local de ϕ(r). Si existe
2
un extremo (máximo o mínimo), cada término ∂∂xϕ2 tendría el mismo signo (+
i
P 2
ó −), de modo que i ∂∂xϕ2 6= 0.
i
2. En una región donde ρ = 0, ϕ no puede ser simultáneamente periódico en todas
las tres dimensiones (puede ser periódico en una o en dos de las dimensiones).
Si ϕ es periódico en la dirección xi , entonces tiene la forma ϕ ∝ sin(ki xi ) ó ϕ ∝
2
cos(ki xi ), donde ki es una constante, y por lo tanto, satisface ∂∂xϕ2 = −ki2 ϕ. Si ϕ
i
es periódico es las tres dimensiones, tendríamos ∇2 ϕ = − k12 + k22 + k32 ϕ 6= 0,
incompatible con la ecuación de Laplace.
1.6.
Energía electrostática.
Consideremos el trabajo total Wtotal para ensamblar una configuración de N
cargas qi en las posiciones ri , trayendo sucesivamente cada carga desde el infinito
hasta su correspondiente posición en presencia de las cargas precedentes. Esto es,
Wtotal = Wq1 + Wq2 + Wq3 + . . . + WqN
(1.160)
donde Wqi significa el trabajo para traer la carga qi a la posición ri , en presencia de
las anteriores cargas q1 , q2 , . . . , qi−1 .
Tenemos,
Wq1 = 0
(no hay otras cargas presentes, ni campos externos.)
q2 q1
Wq2 = q2 ϕ (r2 ) =
|r2 − r1 |
q3 q1
q3 q2
Wq3 = q3 ϕ (r3 ) =
+
|r3 − r1 | |r3 − r2 |
q4 q1
q4 q2
q4 q3
Wq4 = q4 ϕ (r4 ) =
+
+
|r4 − r1 | |r4 − r2 | |r4 − r3 |
(1.161)
40
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
Figura 1.28: Configuración de N cargas qi en posiciones ri .
Sumando todos los términos,
Wtotal =
1 X qi qj
,
2
|ri − rj |
(1.162)
i,j
i6=j
donde el factor 12 se introduce para no repetir la suma de términos simétricos i ↔ j.
El trabajo Wtotal es equivalente a la energía potencial total almacenada en esta
configuración,
U = Wtotal .
(1.163)
Figura 1.29: Energía electrostática de una distribución de carga.
Para una distribución continua de carga, sustituimos los elementos de carga infinitesimales qi → dq = ρd3 r y qj → dq 0 = ρd3 r0 en el límite continuo de la suma:
1.6. ENERGÍA ELECTROSTÁTICA.
Wtotal = U
=
=
=
41
Z
Z
1
ρ (r) ρ (r0 ) 3 0
3
d r
d r
2
|r − r0 |
Z
Z
1
ρ (r0 ) 3 0
3
d r ρ (r)
d r
2
|r − r0 |
Z
1
ρ (r) ϕ (r) d3 r ,
2
(1.164)
donde la integral de volumen se extiende a todo el espacio (r → ∞). La Ec. (1.164) es
el trabajo para ensamblar la distribución de cargas en contra de sus propio campos;
mientras que la Ec. (1.183) expresa el trabajo para colocar una distribución de cargas
ya formada en un campo externo.
Utilizamos la ecuación de Poisson ∇2 ϕ = −4πρ, de donde ρ (r) = −∇2 ϕ/4π.
Sustituyendo en Ec. (1.164), tenemos
Z
1
U =−
ϕ ∇2 ϕ d3 r.
(1.165)
8π
Empleamos la identidad vectorial
∇ · (ϕa) = a · ∇ϕ + ϕ ∇ · a,
(1.166)
y haciendo a = ∇ϕ, obtenemos
ϕ∇2 ϕ = ∇ · (ϕ∇ϕ) − |∇ϕ|2 .
Sustituyendo en la Ec. (1.165)
Z
Z
1
1
2 3
U=
|∇ϕ| d r −
∇ · (ϕ∇ϕ) d3 r.
8π
8π
Evaluamos la segunda integral mediante el teorema de la divergencia:
Z
I
∇ · (ϕ∇ϕ) d3 r =
ϕ∇ϕ · n̂ da.
V
(1.167)
(1.168)
(1.169)
S
Tomemos S como una esfera de radio R → ∞, dentro de la cual se encuentra la
densidad de carga ρ que produce el potencial ϕ en todo el espacio. La normal n̂
apunta en la dirección radial.
42
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
Figura 1.30: Integral de volumen se extiende a todo el espacio cuando la superficie tiende a infinito.
Entonces,
ϕsobre S ≈
Q
R
(Q = carga total encerrado en S)
∂ϕ
Q
∂ϕ =
≈ 2
∇ϕ · n̂|S =
∂n S
∂R
R
da = R2 sin θ dθ dφ = R2 dΩ
(1.170)
(1.171)
(1.172)
Luego,
I
I
∂ϕ
R2
1
ϕ∇ϕ · n̂ da =
ϕ
da ∼
dΩ =
dΩ
3
∂n
S
S
S R
S R
En el límite R → ∞ obtenemos
Z
I
∇ · (ϕ∇ϕ) d3 r =
ϕ∇ϕ · n̂ da = 0.
I
I
V
(1.173)
(1.174)
S
Luego, tenemos la energía potencial
1
U=
8π
Z
|∇ϕ|2 d3 r .
Usando E = −∇ϕ, también se puede expresar
Z
1
|E|2 d3 r ,
U=
8π
(1.175)
(1.176)
lo que describe la energía potencial almacenada en todo el espacio donde existe un
campo eléctrico E. Puesto que ésta es una integral sobre un volumen, se define la
densidad de energía [energía/volumen] de un campo electrostático E como
u=
|E|2
.
8π
(1.177)
1.7. INTERACCIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA CON UN CAMPO EXTERNO.43
Ejemplo.
1. Calcular la fuerza por unidad de área entre dos planos infinitos paralelos, con
densidades superficiales de carga σ y −σ, respectivamente.
Sea x la dirección perpendicular entre los planos. El campo eléctrico en el
espacio entre los planos es E = 4πσx̂.
La densidad de energía electrostática entre los planos es
u=
1
|E|2 = 2πσ 2 .
8π
(1.178)
Consideremos un desplazamiento dx de uno de los planos en la dirección x̂, tal
que el volumen entre los planos aumenta en una cantidad A dx. Consequentemente, la energía electrostática del sistema aumenta en
dU = uA dx = 2πσ 2 A dx.
La fuerza sobre un plano es F = −
(1.179)
dU
x̂, y la fuerza por unidad de área es
dx
F
1 dU
=−
x̂ = −2πσ 2 x̂
A
A dx
(1.180)
es decir, la fuerza entre los planos es atractiva.
1.7.
Interacción de una distribución de carga con un campo externo.
Supongamos una región del espacio donde existe un campo eléctrico externo Eext
y un potencial externo dado por Eext (r) = −∇ϕext (r). Recordemos que el trabajo
para traer una carga q desde r = ∞ hasta una posición r, donde existe un potencial
externo ϕext , es
W (r) = q ϕext (r) = U,
(1.181)
44
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
donde U es la energía potencial de la interacción de la carga con el campo externo.
Para un conjunto de N cargas qi en posiciones ri en presencia de un potencial
externo ϕext , no producido por las cargas, la energía potencial de interacción es
U=
N
X
qi ϕext (ri ).
(1.182)
i
Para una distribución continua de carga ρ(r) en presencia de un potencial externo
ϕext (r), la energía potencial de la interacción corresponde a
Z
U = ρ(r) ϕext (r) d3 r.
(1.183)
Esta es la energía potencial de una distribución de cargas ya formada, interactuando
con un campo externo. No es el trabajo para ensamblar la distribución de las cargas
en contra de sus propios campos.
Figura 1.31: Distribución de carga en un campo eléctrico externo.
Supongamos que la distribución de carga ρ(r) en el espacio incluye el origen
r = 0 y que el potencial externo varía sobre la extensión de la distribución. Entonces,
podemos hacer una expansión de Taylor del potencial alrededor de r = 0,
3
X
∂ϕ 1 X ∂ 2 ϕ ϕext (r) = ϕ(0) +
xi +
xi xj + · · ·
∂xi 0
2
∂xi ∂xj 0
i
i,j
1X ∂
∂ϕ xi xj + · · ·
= ϕ(0) + (∇ϕ)0 · r +
2
∂xi ∂xj 0
i,j
(1.184)
1.7. INTERACCIÓN DE UNA DISTRIBUCIÓN DE CARGA CON UN CAMPO EXTERNO.45
donde hemos suprimido la notación “ext”, por simplicidad.
Utilizando la relación Eext = −∇ϕext (r), podemos escribir
1 X ∂Ej
ϕext (r) = ϕ(0) − r · E(0) −
xi xj + · · ·
2
∂xi 0
(1.185)
i,j
Sustitución en la Ec. (1.183) permite obtener la expansión de la energía potencial
Z
Z
Z
∂Ej
1X
3
3
ρ(r) xi xj
d3 r + · · ·
U = ϕ(0) ρ(r) d r − E(0) · ρ(r) r d r −
2
∂xi 0
i,j
(1.186)
lo cual se puede escribir como
1X
U = q ϕ(0) − p · E(0) −
2
Z
ρ(r) xi xj
i,j
∂Ej
∂xi
d3 r + · · ·
(1.187)
0
donde hemos usado las definiciones de los momentos monopolar q y dipolar p.
El tercer término se puede poner en forma cuadripolar usando el hecho de que el
campo electrostático externo, lejos de sus fuentes y en la región donde se localiza la
distribución ρ(r), satisface ∇ · Eext = 0. Luego,
X ∂Ei X X ∂Ej
X ∂Ej
∇ · Eext =
=
δij =
δij = 0 .
(1.188)
∂xi
∂xi
∂xi
i
i
i,j
j
En particular, en r = 0, el campo externo satisface
X ∂Ej ∇ · E(0) =
δij = 0 .
∂xi 0
(1.189)
i,j
Restando la cantidad nula 16 ∇ · E(0) r2 en el integrando, el tercer término puede
escribirse como
Z
Z
∂Ej
∂Ej
1X
1X
1 ∂Ej
3
2
−
ρ(r) xi xj
d r = −
ρ(r) xi xj
−
r δij d3 r
2
∂xi 0
2
∂xi 0 3 ∂xi 0
i,j
i,j
Z
X
∂Ej
1
2
= −
ρ(r) 3xi xj − r δij
d3 r
6
∂xi 0
i,j
X
∂Ej
1
= −
Qij
(1.190)
6
∂xi 0
i,j
46
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
donde hemos usado la definición de los momentos cuadripolares
Z
Qij = ρ(r0 ) 3x0i x0j − r02 δij d3 r0 .
(1.191)
Finalmente, podemos expresar la energía de una distribución de carga en presencia
de un campo eléctrico externo como la siguiente expansión multipolar,
∂Ej
1X
U = q ϕ(0) − p · E(0) −
Qij
+ ···
(1.192)
6
∂xi 0
i,j
El primer término corresponde a la interacción del monopolo con el potencial externo;
el segundo término expresa la interacción del dipolo de la distribución de carga con
el campo eléctrico externo; y el tercer término describe la interacción del momento
cuadripolar de la distribución con el gradiente del campo.
La interacción de un dipolo con un campo externo corresponde en general a
U = −p · Eext ,
(1.193)
donde Eext es el campo externo evaluado en la posición del dipolo.
En particular, si tenemos un dipolo p1 en presencia del campo E2 producido por
un dipolo p2 , entonces la energía de interacción será
U = −p1 · E2 .
(1.194)
Figura 1.32: Campo eléctrico de un dipolo p2 en la posición de un dipolo p1 .
Si r es la posición del dipolo p1 con respecto al dipolo p2 , el campo E2 producido
por p2 en la posición de p1 está dado por la Ec. (1.148),
E2 =
3(p2 · r̂)r̂ − p2
.
r3
(1.195)
1.8. POTENCIAL Y CAMPO ELÉCTRICO EN CONDUCTORES.
Luego, la energía de interacción de los dos dipolos es
3(p2 · r̂)r̂ − p2
Udip = −p1 ·
r3
p1 · p2 − 3(p1 · r̂)(p2 · r̂)
=
.
r3
47
(1.196)
En general, si p1 está en la posición r1 y p2 está en r2 , la energía potencial de
interacción de los dos dipolos es
Udip =
donde r̂ ≡
p1 · p2 − 3(p1 · r̂)(p2 · r̂)
,
|r2 − r1 |3
(1.197)
r2 − r1
.
|r2 − r1 |
Figura 1.33: Interacción entre dos dipolos p1 y p2 .
La fuerza de interacción entre dos dipolos p1 y p2 está dada por Fdip = −∇Udip .
Note que la fuerza entre dos dipolos eléctricos depende de la distancia como 1/r4 ,
mientras que la fuerza entre dos cargas puntuales varía como 1/r2 (Ley de Coulomb).
1.8.
Potencial y campo eléctrico en conductores.
La solución de la ecuación de Poisson o de Laplace en una región del espacio
limitada por objetos o fronteras, denotadas por S, requiere conocer las siguientes
condiciones para el potencial ϕ sobre las fronteras:
∂ϕ ϕ|S ,
.
(1.198)
∂n S
Estas condiciones son particularmente simples en fronteras constituidas por materiales conductores, los cuales además tienen muchas aplicaciones prácticas.
48
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
Un conductor es un material donde las cargas son capaces de moverse libremente
en su interior y sobre su superficie. En Electrostática, las distribuciones de cargas y
los campos en un conductor deben alcanzar un estado de equilibrio (independiente
del tiempo).
Los conductores poseen las siguientes propiedades:
i. Toda carga neta en un conductor debe estar en su superficie.
Consideremos una densidad de carga neta ρ colocada inicialmente dentro de un
conductor. La carga ρ neta corresponde a partículas con carga de un mismo
signo; es decir que se repelen (si hay cargas con signos opuestos, se atraen hasta
anularse; el exceso corresponde a ρ). Puesto que tienen la posibilidad de moverse
libremente dentro del conductor, las cargas alcanzarán su máxima separación.
Esto implica que las cargas deben alcanzar la superficie del conductor. Luego,
si un conductor posee una carga neta, ésta debe estar justo en su superficie,
distribuida como una densidad superficial de carga σ.
Figura 1.34: La carga neta se encuentra en la superficie de un conductor.
ii. El campo eléctrico dentro de un conductor es cero.
Apliquemos la Ley de Gauss dentro del conductor. Tomemos una superficie
gaussiana S justo debajo y arbitrariamente cerca de la superficie del conductor.
Puesto que no hay carga encerrada dentro de S, tenemos
I
E · n̂ da = 0 ⇒ E = 0 dentro de S.
(1.199)
S
Puesto que S está arbitrariamente cerca de la superficie del conductor, esto
implica que E = 0 en todo punto dentro del conductor. Luego, E = −∇ϕ
implica, a su vez, que ϕ es constante dentro de un conductor.
1.8. POTENCIAL Y CAMPO ELÉCTRICO EN CONDUCTORES.
49
Figura 1.35: El campo eléctrico dentro de un conductor es cero.
iii. Un conductor es una superficie equipotencial.
Consideremos un conductor en campo eléctrico externo E. El campo externo
mueve las cargas libres dentro del conductor e induce una densidad de carga σ
no uniforme en la superficie del conductor.
Figura 1.36: Campo eléctrico en la superficie de un conductor.
El campo dentro del conductor es E1 = 0, mientras que el campo en un punto
sobre la superficie se puede escribir como
E2 = En n̂ + Et t̂,
(1.200)
donde n̂ y t̂ son el vector normal y el vector tangente a la superficie, respectivamente.
Figura 1.37: Campo eléctrico e integral de línea a través de la superficie de un conductor.
50
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
Recordemos que las componentes tangenciales del campo eléctrico en ambos
lados de una superficie con densidad de carga σ son continuas; esto es
E2 · t̂ = E1 · t̂.
(1.201)
Pero E1 = 0 dentro del conductor. Luego
E2 · t̂ = Et = 0;
(1.202)
es decir, la componente del campo eléctrico tangente a la superficie de un conductor es cero.
El potencial sobre la superficie S del conductor satisface
∂ϕ =0
E2 · t̂ = −∇ϕ|S · t̂ =
∂l S
⇒ ϕ = constante sobre S.
(1.203)
Luego, tanto el interior como la superficie de un conductor poseen un potencial
ϕ constante.
iv. El campo eléctrico en la superficie S de un conductor siempre es normal a S y
su magnitud es En = 4πσ.
Vimos que las componentes normales de los campos E1 E2 a ambos lados de
una superficie con densidad de carga σ están relacionados localmente por
(E2 − E1 ) · n̂ = 4πσ.
(1.204)
Pero E1 = 0 (dentro del conductor). Luego,
E2 · n̂ = En = 4πσ.
(1.205)
Puesto que
E2 · n̂ = −∇ϕ|S · n̂
∂ϕ ⇒ En = −
= 4πσ.
∂n (1.206)
S
En general, resolver la ecuación de Poisson o de Laplace en regiones limitadas
por conductores requiere encontrar un ϕ que satisface las condiciones de frontera
Ec. (1.203) y Ec. (1.206) sobre los conductores.
1.9. CAPACITANCIA.
1.9.
51
Capacitancia.
Supongamos un sistema de N conductores con cargas qi y potenciales ϕi , i =
1, . . . , N , colocados en el espacio libre.
La energía electrostática total del sistema es
Z
1
U=
|E|2 d3 r ,
(1.207)
8π V
donde el volumen V se extiende a todo el espacio, excluyendo el volumen ocupado
por los conductores donde el campo eléctrico es cero.
Figura 1.38: Sistema de conductores con cargas qi y potenciales ϕi .
Usando la relación E = −∇ϕ, podemos escribir la Ec. (1.207) como
U
Z
1
E · ∇ϕ d3 r
8π V
Z
1
= −
[∇ · (Eϕ) − ϕ(∇ · E)] d3 r
8π V
I
1
= −
(Eϕ) · n̂ da,
8π S
= −
(1.208)
donde hemos usado el teorema de la divergencia para el primer término en la Ec. (1.208)
y la Ley de Gauss, ∇ · E = 0 (puesto no hay cargas en el volumen V ), en el segundo
término de dicha ecuación. La superficie S que delimita al volumen V incluye el infinito (S → ∞) y las superficies Si de los conductores, mientras que el vector normal n̂
apunta hacia fuera de toda la S; en particular, hacia dentro de la superficie de cada
52
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
conductor. Luego,
1
U =−
8π
Z
I
1 X
(Eϕ) · n̂ da −
(Eϕi ) · (−n̂i ) dai ,
8π
S→∞
Si
(1.209)
i
donde n̂i es la normal sobre cada Si (−n̂i apunta hacia dentro del conductor). La
integral en el primer término tiende a cero en el límite S → ∞; entonces,
U
=
=
=
I
1 X
ϕi
E · n̂i dai (ϕi es constante sobre cada Si ),
8π
Si
i
1 X
ϕi (4πqi) (usando la Ley de Gauss sobre cada Si ),
8π
i
1X
qi ϕ i .
(1.210)
2
i
Las cargas qi y los potenciales ϕi en la Ec. (1.210) no son independientes. El potencial
del conductor i se debe a la carga qi y a las contribuciones de todas las cargas en
los demás conductores. Supongamos que tenemos una carga qk 6= 0 y qi = 0, ∀i 6= k;
entonces el potencial en cada conductor debe ser simplemente proporcional a qk , es
decir, ϕi = pik qk . Puesto que las ecuaciones de la Electrostática son lineales, podemos
escribir los potenciales para un conjunto de cargas mediante la superposición lineal
ϕi =
N
X
aij qj ,
(1.211)
j=1
donde los aij son coeficientes de proporcionalidad. Las Ecs. (1.211) constituyen un
conjunto de N ecuaciones lineales que se pueden invertir para obtener
qi =
N
X
Cij ϕj .
(1.212)
j=1
La matriz Cij se denomina tensor de capacitancia. Sus elementos poseen dimensiones
de longitud y dependen de factores geométricos, tales como la forma de los conductores y la posición relativa entre éstos. Si tenemos solamente un conductor con carga
q, el único elemento C se denomina la capacidad del conductor,
q = Cϕ .
(1.213)
1.9. CAPACITANCIA.
53
La capacidad C expresa la cantidad de carga que el conductor puede contener cuando
está sujeto a un potencial dado. La capacidad está relacionada con el tamaño del
conductor. Por ejemplo, para una esfera de radio R que tiene una carga q, el potencial
sobre su superficie es ϕ = q/R. Comparando con la definición Ec. (1.213), obtenemos
C = R para una esfera conductora.
La capacitancia de un sistema formado por dos conductores que poseen cargas
iguales y opuestas se define como el cociente entre la carga de un conductor y la
diferencia de potencial entre ellos. Se pueden diseñar diversas configuraciones de
conductores para almacenar carga eléctrica sujetos a potenciales; tales dispositivos se
llaman capacitores o condensadores.
Usando el tensor de capacitancia, la energía potencial electrostática del sistema
de conductores, Ec. (1.210), se puede expresar como
U=
1X
Cij ϕi ϕj .
2
(1.214)
i,j
La energía almacenada en un capacitor con capacitancia C sujeto a un potencial ϕ
es
1
(1.215)
U = Cϕ2 .
2
54
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
Resumen.
1. Función delta de Dirac:
Z
I
f (x)δ(x − a)dx
1
2
∇
|r − r0 |
= f (a).
= −4πδ (r − r0 ) .
2. Ecuaciones de la Electrostática:
∇ · E = 4πρ.
∇ × E = 0.
3. Forma integral de la ley de Gauss:
I
E · n̂ da = 4πqenc .
S
4. Condiciones de frontera del campo eléctrico a través de una superficie cargada:
E2 (r0 ) · n̂ − E1 (r0 ) · n̂
=
4πσ(r0 ).
E2 · t̂
=
E1 · t̂.
5. Potencial escalar:
E = −∇ϕ.
Z
ρ (r0 ) 3 0
d r.
ϕ(r) =
|r − r0 |
6. Diferencia de potencial entre dos puntos A y B:
(ϕB − ϕA ) =
WAB
.
q
7. Ecuaciones de Poisson y de Laplace,
∇2 ϕ = −4πρ
2
(Ec. Poisson).
∇ ϕ = 0 (Ec. Laplace).
1.9. CAPACITANCIA.
55
8. Energía electrostática de una configuración de cargas puntuales:
1 X qi qj
Wtotal =
.
2 i , j |ri − rj |
i6=j
9. Energía de un campo electrostático:
1
U=
8π
Z
2
|E| d3 r.
10. Expansión del potencial de una distribución de carga para r > r0 ,
ϕ(r) ≈
3
1 X
q r·p
+ 3 + 5
xi xj Qij .
r
r
2r i,j=1
11. Momento dipolar de una distribución de carga,
Z
p = ρ(r0 ) r0 d3 r0 .
12. Potencial de un dipolo,
ϕ(r) =
p · r̂
.
r2
13. Campo eléctrico de un dipolo,
E(r) =
3(p · r̂)r̂ − p
.
r3
14. Energía de un dipolo en un campo eléctrico externo,
U = −p · E .
15. Energía potencial de interacción de dos dipolos,
Udip =
p1 · p2 − 3(p1 · r̂)(p2 · r̂)
3
|r2 − r1 |
.
16. Propiedades de conductores:
E = 0,
ϕ = cte,
∂ϕ En = −
= 4πσ,
∂n S
dentro del conductor.
dentro y sobre la superficie del conductor.
en la superficie del conductor.
17. Capacidad de un conductor:
q = Cϕ.
56
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
1.10.
Problemas.
1. Usando funciones delta de Dirac en las coordenadas indicadas, exprese las siguientes densidades de carga:
a) Una carga q uniformemente distribuida sobre un cascarón esférico de radio
a, en coordenadas esféricas.
b) Una carga uniforme por unidad de longitud λ distribuida sobre una superficie cilíndrica de radio b, en coordenadas cilíndricas.
c) Una carga q distribuida uniformemente sobre un disco de radio R y espesor
despreciable, en coordenadas cilíndricas.
d) Igual que c), pero en coordenadas esféricas.
2. Dos planos conductores paralelos e infinitos se encuentran en x = 0 y x = b,
y tienen potenciales V1 y V2 , respectivamente. Hay un plasma con densidad de
carga constante ρo en el espacio entre los planos.
a) Encuentre el potencial en todo punto entre los planos.
b) Encuentre la densidad de carga superficial sobre el plano en x = 0.
c) Calcule el campo eléctrico entre los planos.
3. Una carga Q se distribuye en una esfera no conductora de radio a. Encuentre
la energía electrostática de la configuración en los siguientes casos:
a) La carga se distribuye uniformemente en el volumen de la esfera.
b) La carga se distribuye uniformemente en la superficie de la esfera.
c) Explique por qué los resultados a) y b) son diferentes.
4. El potencial promedio de un átomo de hidrógeno se puede expresar como
e−2r/ao
r
ϕ=q
1+
,
r
ao
donde q es la magnitud de la carga del electrón y ao es el radio de Bohr.
a) Encuentre la distribución de carga que produce este potencial.
b) Calcule la carga orbital total del átomo de hidrógeno.
c) Interprete físicamente los resultados.
5. Una carga q se encuentra a una distancia a perpendicular a un cable recto
infinito y muy delgado que posee una densidad lineal de carga λ. Calcule la
fuerza sobre la carga q.
1.10. PROBLEMAS.
57
6. Una carga q se distribuye uniformemente sobre un anillo de radio a. Calcule la
frecuencia para pequeñas oscilaciones de una partícula de masa m y carga −q
que se mueve sobre el eje perpendicular al plano del anillo y que pasa por su
centro.
7. Tres esferas conductoras concéntricas de radios R1 , R2 , y R3 (R1 < R2 < R3 )
poseen potenciales V1 , V2 , y V3 , respectivamente. Determine la carga de cada
esfera.
8. Una pompa de jabón de radio 1 cm se encuentra a un potencial de 100 voltios.
Si la pompa colapsa hasta un radio de 1 mm, ¿cuál es el cambio en su energía
electrostática?
9. Considere una esfera de radio a y con carga total q. En un caso, la esfera
es conductora; en otro caso, la esfera tiene una densidad uniforme de carga;
y en una tercera situación, la esfera posee una densidad de carga que varía
radialmente como rn , con n > −3.
a) Calcule el campo eléctrico dentro y fuera de la esfera en cada caso.
b) Dibuje esquemáticamente el campo eléctrico en función de la distancia radial
r en los dos primeros casos; y para n = 2 y n = −2 en el tercer caso.
10. Una lámina plana infinita, con densidad de carga superficial uniforme σ, tiene
un agujero circular de radio a. Una carga q se encuentra a una distancia z sobre
el eje perpendicular al plano de la lámina que pasa por el centro del agujero.
Calcule la dirección y magnitud de fuerza sobre la carga q.
11. Un cable coaxial infinito está formado por un conductor cilíndrico interior de
radio a sujeto a un potencial Vo y otro conductor cilíndrico exterior de radio
b, conectado a tierra. Encuentre la densidad de carga lineal λ en el conductor
interior.
12. Una esfera de radio R posee una densidad de carga uniforme ρ y tiene una
cavidad esférica no concéntrica de radio a (a < R). El centro de la cavidad se
encuentra a una distancia b del centro de la esfera. Calcule la energía electrostática en la cavidad.
13. Calcule la capacitancia de un sistema formado por dos esferas conductoras
concéntricas, de radios R1 y R2 .
58
CAPÍTULO 1. ELECTROSTÁTICA.
14. Dos cilindros conductores muy largos y paralelos, ambos de radio a, están separados por una distancia d a. Calcule la capacitancia por unidad de longitud
de este sistema.
15. Dos dipolos idénticos p = pẑ se encuentran en posiciones (−a, 0, 0) y (a, 0, 0).
a) Calcule la fuerza ejercida por los dipolos sobre una carga q ubicada en la
posición (d, 0, 0).
b) ¿Cúál sería la fuerza sobre un dipolo p0 = −pẑ ubicado en (d, 0, 0)?
16. Calcule las componentes del tensor de capacitancia de un sistema conformado
por tres esferas conductoras concéntricas de radios R1 < R2 < R3 , con cargas
q1 , q2 y q3 , respectivamente.
17. La densidad de carga correspondiente a los estados m = ±1 del nivel 2p del
átomo de hidrógeno es
1 2 −r 2
ρ(r) =
r e sin θ .
64π
a) Calcule la expansión multipolar del potencial eléctrico debido a esta densidad
de carga, incluyendo términos cuadrupolares.
b) Demuestre que el potencial cerca del origen, correcto hasta orden r2 , es
aproximadamente
1
r2
ϕ(r) ' −
P2 (cos θ) .
4 120
Capítulo 2
Problemas de frontera en
Electrostática
2.1.
Teorema de Green.
Muchos problemas en Electrostática involucran la determinación del potencial (o
el campo) eléctrico en regiones finitas del espacio que pueden contener distribuciones
de carga y que se encuentran limitadas por superficies sujetas a determinadas condiciones de frontera. Para encontrar la solución a este tipo de problemas, resulta útil
el Teorema de Green, el cual derivamos a continuación.
Consideremos el teorema de la divergencia para un campo vectorial A en un
volumen V , limitado por una superficie cerrada S,
Z
I
3
∇ · Ad r =
A · n̂ da .
(2.1)
V
S
Supongamos A = θ∇ψ; donde θ y ψ son funciones escalares arbitrarias de r. Usamos
la identidad vectorial
∇ · (θa) = a · ∇θ + θ∇ · a.
(2.2)
Haciendo a = ∇ψ, obtenemos
∇ · A = ∇ · (θ∇ψ) = ∇ψ · ∇θ + θ∇2 ψ.
Por otro lado
A · n̂ = θ∇ψ · n̂ = θ
59
∂ψ
,
∂n
(2.3)
(2.4)
60
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
donde ∇ψ · n̂ = ∂ψ
∂n es la derivada de ψ en la dirección normal n̂ a la superficie S,
que apunta hacia fuera de S.
Figura 2.1: Volumen V encerrado por superficie S; vector normal a la superficie n̂.
Sustituyendo en la Ec. (2.1),
Z
I
3
∂ψ
2
da.
θ∇ ψ + ∇ψ · ∇θ d r =
θ
V
S ∂n
La Ec. (2.5) se denomina la primera identidad de Green.
Intercambiando θ y ψ en la Ec. (2.5), tenemos
Z
I
∂θ
ψ∇2 θ + ∇θ · ∇ψ d3 r =
ψ
da.
∂n
V
S
Restando la Ec. (2.6) de la Ec. (2.5), obtenemos
Z
I 3
∂θ
∂ψ
2
2
−ψ
da .
θ∇ ψ − ψ∇ θ d r =
θ
∂n
∂n
V
S
(2.5)
(2.6)
(2.7)
La Ec. (2.7) se conoce como el Teorema de Green, y se puede considerar como una
generalización del teorema de la divergencia.
Ejemplo.
1. Demostrar que un campo vectorial v está unívocamente determinado en una
región del espacio si se conocen su divergencia y su rotacional en esa región.
2.1. TEOREMA DE GREEN.
61
Sean
∇·v =s
(2.8)
∇×v =c
(2.9)
la divergencia y el rotacional de v, respectivamente, y llamemos vn la componente normal de v sobre la superficie S que encierra al volumen V de la región
del espacio.
Supongamos que existe un segundo vector u que satisface las mismas condiciones de divergencia y rotacional, y que posee la misma normal sobre S, un = vn .
Definamos el vector
w = v − u.
(2.10)
Sobre la superficie S, tenemos wn = vn − un = 0. Entonces, w satisface
∇ · w = 0,
(2.11)
∇ × w = 0.
(2.12)
La Ec. (2.12) implica que podemos escribir
w = ∇ψ,
(2.13)
debido a la identidad ∇×(∇ψ) = 0, para toda función ψ. Entonces, la Ec. (2.11)
conduce a
∇2 ψ = 0.
(2.14)
Usamos la primera identidad de Green, en la forma
Z
I
3
2
θ∇ ψ + ∇ψ · ∇θ d r =
θ ∇ψ · n̂ da.
V
(2.15)
S
Esta identidad es válida ∀ θ, ψ; en particular para θ = ψ, donde ψ satisface
Eqs. (2.13) y (2.14). Entonces, la identidad Ec. (2.15) se puede expresar como
Z
I
I
(w · w) d3 r =
ψ ∇ψ · n̂ da =
ψ wn da = 0.
(2.16)
V
S
S
Puesto que w · w = w2 ≥ 0, la Ec. (2.16) implica que w = v − u = 0 en V .
Luego v = u, y por lo tanto, el vector v es único.
62
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
En particular, las ecuaciones de la Electrostática, más una condición de frontera para E sobre S, garantizan la existencia de una solución única E de esas
ecuaciones en un volumen V limitado por S.
2.2.
Función de Green.
El Teorema de Green, Ec. (2.7), permite encontrar la solución de la ecuación
de Poisson ∇2 ϕ = −4πρ, en un volumen V encerrado por una superficie S, dadas
condiciones de frontera para el potencial ϕ sobre S.
Figura 2.2: Densidad de carga ρ(r0 ) en el volumen V , superficie S y normal n̂.
Puesto que ψ y θ son funciones escalares arbitrarias, en particular podemos usar
en la Ec. (2.7)
1
ψ=
,
(2.17)
|r − r0 |
tal que r sea un punto de observación y r0 la variable de integración. Entonces,
1
2
2
= −4πδ(r − r0 ).
(2.18)
∇ ψ=∇
|r − r0 |
Además, podemos tomar θ = ϕ, el potencial escalar que satisface la ecuación de
Poisson, ∇2 ϕ = −4πρ, en V . Sustituyendo estas funciones escalares en la Ec. (2.7),
empleando r0 como variable de integración, tenemos
Z 3 0
4π
0
−4πϕ r0 δ r − r0 +
ρ
r
d r
|r − r0 |
V
I ∂
1
1
∂ϕ
=
ϕ 0
−
da0 .
(2.19)
∂n |r − r0 |
|r − r0 | ∂n0
S
2.2. FUNCIÓN DE GREEN.
63
Si r está dentro del volumen V , la Ec. (2.19) da
Z
I 1
1
∂ϕ
ρ (r0 ) 3 0
∂
−
da0 ,
− 4πϕ (r) + 4π
d r =
ϕ 0
0|
0 | ∂n0
|r − r0 |
∂n
|r
−
r
|r
−
r
S
(2.20)
luego,
Z
ϕ (r) =
V
ρ (r0 ) 3 0
1
d r +
|r − r0 |
4π
I S
1
∂ϕ
∂
−ϕ 0
|r − r0 | ∂n0
∂n
1
|r − r0 |
da0 .
(2.21)
Si r está fuera del volumen V , el lado izquierdo de la Ec. (2.21) es igual a 0.
La Ec. (2.21) implica que ϕ(r) está determinado en un volumen V limitado por
una superficie S, si se conocen la distribución de carga ρ(r0 ) en V y los valores de
ϕ y/o de su derivada normal sobre S. Es decir, la función ϕ(r) en la Ec. (2.21) es
2
solución de
la ecuación de Poisson ∇ ϕ = −4πρ, en V , con condiciones de frontera
∂ϕ ϕ|S y ∂n sobre S.
S
El potencial en el espacio libre se puede obtener considerando el límite S → ∞,
∂ϕ
1
para el cual r0 → ∞. Puesto que ϕ ∼ r10 y ∂n
0 ∼ r 02 , los términos del integrando
1
1
1
en la integral sobre S van como r0 × r02 = r03 , Hy el elemento de area crece como
da0 ∼ r02 . Luego, en el límite S → ∞, la integral S → 0, y la Ec. (2.21) da
Z
ϕ(r) =
ρ(r0 ) 3 0
d r ,
|r − r0 |
(2.22)
lo cual corresponde al potencial ϕ en el espacio libre, si se conoce la ρ en todo el
espacio, ya obtenido en el Capítulo 1.
La condición de frontera ϕ|S se llama condición tipo Dirichlet, mientras que ∂ϕ
∂n ,
S
se denomina tipo Neumann. Se puede demostrar que la solución ϕ de la Ec. (2.21)
que satisface un tipo dado de condición de frontera, Dirichlet o Neumann, es única.
Note que en la superficie S,
∂ϕ = ∇ϕ · n̂ = − En |S ,
(2.23)
∂n S
esto es, la condición de frontera ∂ϕ
∂n S es equivalente a dar el valor de la componente
del campo eléctrico normal sobre S.
64
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
1
Se puede interpretar la función ψ = |r−r
0 | como el potencial producido en la
posición r por una carga q = 1 ubicada en r0 , cuya densidad corresponde a ρ(r) =
δ(r − r0 ), tal que ψ satisface la ecuación de Poisson
∇2 ψ = −4πρ.
(2.24)
1
La función ψ = |r−r
0 | pertenece a una clase de funciones llamadas funciones de
Green, que poseen la forma general
G r, r0 ≡
1
0
+
F
r,
r
,
|r − r0 |
(2.25)
y que satisfacen las siguientes propiedades
i) ∇2 G (r, r0 ) = −4π δ (r − r0 ).
ii) ∇2 F (r, r0 ) = 0
(F satisface la Ec. de Laplace dentro de V ).
iii) G (r, r0 ) = G (r0 , r) (representa la equivalencia física de intercambiar el punto
de observación r y la fuente r0 ).
Si sustituimos ψ = G (r, r0 ) en el Teorema de Green, tenemos
I Z
∂ϕ
∂
1
0
0
ϕ (r) =
ρ r0 G r, r0 d3 r0 +
G r, r0
−
ϕ
r
G
r,
r
da0
0
0
4π
∂n
∂n
S
V
(2.26)
Hay que recordar que los términos en la integral cerrada de superficie deben ser
evaluados sobre toda la superficie S. En general, la superficie total S que encierra
al volumen V puede consistir en dos superficies no conexas, una exterior Sext y una
interior Sint .
Figura 2.3: Volumen V encerrado por superficies Sext y Sint .
2.2. FUNCIÓN DE GREEN.
65
Existe libertad para escoger la función F (r, r0 ) en la función de Green G (r, r0 ).
Esto permite diseñar G (r, r0 ) para adaptarse a los dos tipos de condiciones de frontera
sobre S:
i) Condiciones tipo Dirichlet ϕ|S : requerir GD (r, r0 )|S = 0.
Esto da la solución
Z
I
∂GD 0
1
ϕ (r) =
ρ r0 GD r, r0 d3 r0 −
ϕ r0
da .
4π S
∂n0
V
(2.27)
En particular, si S es una superficie de un conductor, ϕ (r0 ) |S = ϕ0 = cte. Si
S es conductor conectado a tierra, ϕ (r)S = 0. En este caso, el potencial tiene
una expresión simple
Z
ϕ (r) =
ρ r0 GD r, r0 d3 r0 .
(2.28)
V
Si ρ = 0 en el volumen V , entonces el potencial satisface la ecuación de Laplace,
∇2 ϕ(r) = 0, en V . Luego, la solución de la ecuación de Laplace en V , con
condiciones de frontera tipo Dirichlet en S, tiene la forma
I
∂GD 0
1
ϕ r0
da .
(2.29)
ϕ(r) = −
4π S
∂n0
ii) Condiciones tipo Neumann
total de S.
∂ϕ ∂n S :
requerir
∂GN ∂n0 S
= − 4π
S donde S es el área
Esta es la condición más simple para la derivada normal de G (r, r0 ) sobre S en
el problema de Neumann. Para ver esto, consideremos
∇2 G r, r0
= −4πδ r − r0
(2.30)
0
0
(2.31)
⇒ ∇ · ∇G r, r
= −4πδ r − r .
Luego, aplicando el teorema de la divergencia,
Z
Z
I
I
3 0
∂G 0
2
0
3 0
0
0
∇ G r, r d r =
∇ · (∇G) d r =
∇G · n̂ da =
da .
0
V
V
S
S ∂n
66
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
Por otro lado,
Z
2
0
Z
3 0
∇ G r, r d r = −4π
δ r − r0 d3 r0 = −4π.
(2.32)
V
V
Luego,
I
S
∂G 0
da = −4π.
∂n0
(2.33)
La relación no trivial más simple que se puede tomar en la Ec. (2.33) es cuando
el integrando es constante; esto da
∂G = −4π,
(2.34)
S
∂n0 S
que corresponde a la condición escogida para G en el problema de frontera tipo
Neumann.
Esto conduce a la solución
Z
I
I
∂ϕ 0 1
0
1
0
da .
ϕ (r) =
ρ r0 G r, r0 d3 r0 +
GN r, r0
da
+
ϕ
r
4π S
∂n0
S S
V
(2.35)
Definimos la cantidad
I
1
hϕiS ≡
ϕ r0 da0 ,
(2.36)
S S
como el valor promedio de ϕ sobre S.
Un problema típico de Newmann consiste en un volumen V limitado por dos
superficies, una exterior Sext y una interior Sint ; tal que la superficie exterior
Sext en el infinito.
Figura 2.4: Volumen V limitado por superficies Sint y Sext → ∞.
2.2. FUNCIÓN DE GREEN.
67
En este caso, la superficie total S → ∞, y hϕiS → 0. Entonces,
I
Z
∂ϕ 0
3 0
1
0
0
ϕ (r) =
ρ r G r, r d r +
GN r, r0
da ,
4π Sint
∂n0
V
(2.37)
donde la integral de área se refiere a la superficie interior de V .
En ambos tipos de problemas de frontera, la función de Green G(r, r0 ) representa
una especie de modulación de la acción de la fuente ρ(r0 ) en el punto r. La función
G(r, r0 ) no depende de ρ(r0 ), sino de la geometría de la superficie S solamente; por
lo que se puede ver como una función de respuesta de la geometría del sistema ante
el campo creado por la fuente.
La función F (r, r0 ) satisface la ecuación de Laplace dentro de V , por lo que representa el potencial de un conjunto de cargas fuera de V . Luego, la función de Green
1
G = 0 sobre S
0
0
G r, r ≡
(2.38)
+ F r, r
tal que ∂G
0
|r − r |
∂n = 0 sobre S → ∞
se puede interpretar físicamente como el potencial de una carga puntual ubicada en r0
combinado con el potencial F (r, r0 ) de una distribución de cargas fuera de V , demodo
que resulte en un potencial total G igual a 0 sobre S (o derivada normal ∂G
∂n = 0)
cuando S → ∞.
Ejemplo.
1. Encontrar G(r, r0 ) en un volumen limitado por una única superfice S, tal que
S → ∞. Esto incluye a puntos de observación tales que |r| → ∞; es decir, todo
el espacio.
Tenemos la condición ϕ|S →∞ = 0, tipo Dirichlet. Luego,
Z
ϕ (r) =
ρ r0 G r, r0 d3 r0 .
(2.39)
V
Recordemos que el potencial ϕ(r) de una distribución de carga ρ(r0 ) en el espacio
libre es
Z
ρ (r0 ) 3 0
d r.
(2.40)
ϕ(r) =
|r − r0 |
68
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
Figura 2.5: Densidad de carga en volumen V con frontera en el infinito.
Comparando estas dos expresiones para ϕ, tenemos
G r, r0 =
1
,
|r − r0 |
(2.41)
que satisface ∇2 G (r, r0 ) = −4πδ (r − r0 ). Luego, la función G(r, r0 ) tiene la
forma
1
0
G r, r0 =
+
F
r,
r
,
(2.42)
|r − r0 |
con
F r, r0 = 0
(2.43)
y satisface la condición de frontera GD (r, r0 ) = 0 sobre S, cuando |r| → ∞.
2.3.
Método de imágenes.
El método de imágenes permite construir la función de Green G(r, r0 ) en determinados casos; por ejemplo cuando ρ(r0 ) describe cargas puntuales en presencia de
fronteras conductoras S, donde ϕ|S = cte, ó ϕ|S = 0.
Este método consiste en inferir, a partir del conocimiento de la geometría del
sistema, una distribución de carga ρI denominada carga imagen, o carga virtual, externa al volumen V de interés, tal que simule las condiciones de frontera que satisface
el potencial ϕ sobre S. Esta distribución de carga imagen externa a V satisface la
ecuación de Laplace ∇2 F = 0 en V ; mientras que la densidad de carga ρ(r0 ) satisface
la ecuación de Poisson ∇2 ϕ = −4πρ en V , con condiciones de frontera ϕ|S .
2.3. MÉTODO DE IMÁGENES.
69
Ejemplos.
1. Consideremos una distribución de carga ρ ubicada en z > 0 frente a plano conductor infinito en z = 0, conectado a tierra. Calcular el potencial ϕ producido
en el espacio z > 0.
Conductor a tierra significa ϕ|S = 0 sobre la superficie S correspondiente al
plano z = 0, es decir una condición de frontera tipo Dirichlet.
Figura 2.6: Método de imágenes para una distribución de carga ρ en z > 0 frente al plano conductor
z = 0.
El volumen V de interés está constituido por el subespacio z > 0, encerrado
por la superficie S infinita que incluye al plano z = 0. Usando el teorema de
Green con condición de frontera tipo Dirichlet, el potencial está dado por
Z
I
3 0
1
∂GD 0
0
0
ϕ (r) =
ρ r GD r, r d r −
ϕ|S
da
(2.44)
4π S
∂n0
V
donde ϕ|S = 0 y el volumen V es el subespacio z > 0.
La función GD (r, r0 ) =
siguientes propiedades
1
|r−r0 |
+ F (r, r0 ) para este problema debe satisfacer las
a) GD (r, r0 ) = 0 para r en z = 0, tal que ϕ(r)|z=0 = 0.
70
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
b) GD (r, r0 ) → 0, para |r| → ∞, tal que ϕ(r → ∞) → 0, en V .
c) ∇2 GD (r, r0 ) = −4πδ(r − r0 ) (∇2 F (r, r0 ) = 0), en V .
Probemos con la siguiente forma para GD (r, r0 ),
G r, r0 =
1
1
,
− 0
|r − r |
r − r0I (2.45)
donde r0 = (x0 , y 0 , z 0 ), dentro de V (z > 0); y r0I = (x0 , y 0 , −z 0 ), fuera de V
(z < 0). Note que el vector r0I = (x0 , y 0 , −z 0 ) corresponde a la imagen especular
del vector r0 = (x0 , y 0 , z 0 ) con respecto al plano z = 0.
Luego,
h
i1/2
r − r0 = x − x0 2 + y − y 0 2 + z − z 0 2
h
i1/2
r − r0I = x − x0 2 + y − y 0 2 + z + z 0 2
(2.46)
(2.47)
Vemos que GD (r, r0 ) satisface G(r, r0 )|z=0 = 0 y GD (r, r0 ) → 0, para |r| → ∞.
Además,
∇2 GD (r, r0 ) = −4πδ(r − r0 ) + 4πδ r − r0I ,
(2.48)
pero el punto de observación r está en V y r0I está fuera de V . Luego, en V
siempre tenemos r0I 6= r, y la segunda función delta siempre es 0 en V .
Entonces, el potencial para z > 0 es
Z
Z
3 0
0
0
ϕ(r) =
ρ(r )GD r, r d r =
z>0
z>0
Explícitamente tenemos,
Z
ϕ (r) =
z>0
Z
z>0
ρ(r0 ) 3 0
r − r0 d r .
I
(2.49)
ρ (r0 ) d3 r0
h
(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2
ρ (r0 ) d3 r0
Z
−
z>0
ρ(r0 ) 3 0
d r −
|r − r0 |
h
(x −
x0 )2
+ (y −
y 0 )2
+ (z +
z 0 )2
i1
2
i1 .
2
(2.50)
2.3. MÉTODO DE IMÁGENES.
71
Este potencial puede interpretarse como el potencial resultante de dos contribuciones: el primer término corresponde al potencial producido por la densidad
dada ρ en el volumen V (z > 0), y el segundo término proviene del potencial
asociado a una densidad de carga virtual o imagen ρI = −ρ, ubicada fuera de
V (z < 0) y correspondiente a la imagen especular de ρ con respecto al plano
z = 0.
En el subespacio z < 0 no hay carga. Luego, por la ley de Gauss, E = 0 y,
por tanto, ϕ es constante alli. Por continuidad con la condición de frontera
ϕ|z=0 = 0, debemos tener ϕ = 0 para z < 0.
2. Calcular el potencial producido para z > 0 por una carga puntual q colocada
en ro = (0, 0, zo ) frente al plano conductor z = 0, conectado a tierra.
Figura 2.7: Método de imágenes para una carga q ubicada en ro = (0, 0, zo ) frente al plano
conductor z = 0.
El volumen V es el subespacio z > 0. En este caso, ρ(r0 ) = q δ(r0 − ro ) =
q δ(x0 ) δ(y 0 ) δ(z 0 − zo ) y rI = (0, 0, −zo ).
Sustituyendo ρ(r0 ) en la Ec. (2.50), obtenemos
q
q
ϕ (r) = h
i1 − h
i1 .
2 2
2 2
2
2
2
2
x + y + (z − zo )
x + y + (z + zo )
(2.51)
Vemos que el potencial satisface la condición de frontera ϕ(x, y, 0) = 0 sobre
z = 0, y ϕ = 0 para |r| → ∞. Este potencial se puede expresar también como
ϕ(r) =
q
q
−
,
|r − r0 | |r − rI |
(2.52)
72
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
donde
h
i1
2 2
2
2
|r − r0 | = x + y + (z − z0 )
,
1
h
i
2
|r − rI | = x2 + y 2 + (z + z0 )2 ,
(2.53)
(2.54)
y se puede interpretar como el potencial resultante de la carga q colocada en
r0 , más el potencial de una carga virtual −q ubicada en rI como la imagen
especular de q con respecto al plano z = 0.
Podemos calcular el campo eléctrico E = −∇ϕ para z > 0, tal que
Ez = −
∂ϕ
q (z − z0 )
q (z + z0 )
=h
3 − h
i
i3
∂z
2 2
2 2
2
2
2
2
x + y + (z − z0 )
x + y + (z + z0 )
Ex = −
qx
qx
∂ϕ
=h
3 − h
i
i3
∂x
2
2
x2 + y 2 + (z − z0 )2
x2 + y 2 + (z + z0 )2
Ey = −
qy
∂ϕ
qy
=h
i3 − h
i3 .
∂y
2 2
2 2
2
2
2
2
x + y + (z − z0 )
x + y + (z + z0 )
Figura 2.8: Izquierda: campo eléctrico para z ≥ 0. Derecha: densidad de carga inducida sobre el
plano z = 0.
El campo eléctrico sobre z = 0 es
Ez |z=0 =
−2 q z0
3
[x2 + y 2 + z0 2 ] 2
,
Ex |z=0 = Ey |z=0 = 0.
(2.55)
2.3. MÉTODO DE IMÁGENES.
73
Luego, E|z=0 = Ez |z=0 ẑ. La normal al plano hacia fuera del volumen V es
n̂ = −ẑ; es decir E|z=0 es normal a la superficie, como debe ser sobre un
conductor. El campo eléctrico normal sobre el conductor satisface
En = Ez |z=0 = 4π σ|z=0 .
(2.56)
Podemos calcular la densidad de carga superficial inducida sobre el plano z = 0,
q z0
En
= −
.
2
4π
2π (x + y 2 + z0 2 )3/2
σ|z=0 = σ (x, y) =
La carga total inducida sobre el conductor es
Z ∞
Z ∞
Qtotal =
dx
dy σ (x, y) .
−∞
(2.57)
(2.58)
−∞
Esta integral se puede evaluar más fácilmente en coordenadas polares (R, φ),
donde R2 = x2 + y 2 , y dx dy = R dR dφ. Entonces,
σ(R, φ) = −
q z0
(2.59)
+ z0 2 )3/2
2π (R2
y
Qtotal = −
=
q z0
2π
Z
+q z0
2π
Z
dφ
0
0
∞
R dR
(R2
+ z0 2 )3/2
− 1 ∞
R2 + z0 2 2 0
= −q ,
(2.60)
donde hemos usado la integral
Z
x dx
(x2
+
a2 )
3
2
= − x2 + a2
− 1
2
.
(2.61)
Luego, la carga total inducida sobre el plano conductor es igual y opuesta a la
carga q colocada frente al plano. Esta carga proviene de la Tierra, a la cual el
plano está conectado.
74
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
La carga inducida sobre el plano ejerce una fuerza atractiva sobre la carga q,
equivalente a la fuerza eléctrica entre q y una carga imagen qI = −q colocada
en z = −zo ; esto es
q2
F = − 2 ẑ .
(2.62)
4zo
El trabajo que debe realizar un agente externo para traer la carga q desde el
infinito a su posición zo frente al plano requiere una fuerza Fext = −F y un
desplazamiento dl = −dz ẑ. Luego,
Z
zo
Wext =
∞
q2
Fext · dl =
4
Z
zo
∞
z
q2
1
q 2 1 o
=
−
dz
=
−
.
z2
4 z ∞
4zo
(2.63)
Este trabajo es la mitad de la energía potencial eléctrica almacenada en un
sistema de dos cargas q y −q separadas por una distancia 2zo .
3. Carga puntual q colocada a una distancia ro del centro de una esfera conductora
de radio a < ro conectada a tierra. Calcular el potencial fuera de la esfera.
Figura 2.9: Método de imágenes para una carga q frente a una esfera conductora conectada a
tierra.
El volumen V donde se busca el potencial corresponde a todo el espacio exterior
a la esfera conductora, r > a. Puesto que la esfera está conectada a tierra, la
condición de frontera sobre ella es ϕ(r = a) = 0.
Supongamos una carga imagen qI ubicada en la posición rI dentro de la esfera, es decir, fuera de V . Por simetría, rI debe estar en la dirección de ro . El
problema consiste en encontrar |rI | y qI tal que ϕ(r = a) = 0. Definimos los
2.3. MÉTODO DE IMÁGENES.
75
siguientes vectores normales a la superficie S de la esfera,
n̂o = vector unitario en dirección ro .
(2.64)
n̂ = vector unitario en dirección r.
(2.65)
El potencial total en un punto r fuera de la esfera es el resultado de las contribuciones de los potenciales de la carga q y de la carga virtual qI , esto es
ϕ(r) =
=
q
qI
+
|r − ro |
|r − rI |
q
qI
+
.
|rn̂ − ro n̂o | |rn̂ − rI n̂o |
(2.66)
Evaluamos en r = a,
ϕ (r = a) =
q
qI
+
= 0.
|an̂ − ro n̂o | |an̂ − rI n̂o |
(2.67)
La Ec. (2.67) debe satisfacerse para todos los posibles ángulos θ entre n̂ y n̂o ,
en particular para θ = 0 cuando n̂ es paralelo a n̂o . En ese caso n̂ = n̂o , y de
la Ec. (2.67) obtenemos
q
|a − ro |
q
⇒
(ro − a)
+
+
qI
=0
|a − rI |
qI
= 0,
(a − rI )
(2.68)
puesto que ro > a, y a > rI . Luego, podemos escribir
q
q
+ I r = 0.
I
a
a 1−
ro 1 −
a
ro
(2.69)
La relación (2.69) requiere satisfacer simultáneamente las siguientes condiciones
q
ro
a
ro
= −
=
qI
,
a
rI
,
a
(2.70)
(2.71)
76
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
lo que conduce a
qI
= −
rI
=
a
q
ro
a2
ro
Luego,
ϕ(r) =
(2.72)
⇒
rI = rI n̂o =
q
−
|r − ro |
a2
ro .
ro2
qa
.
a2 ro r − 2 ro r0
(2.73)
(2.74)
El potencial (2.74) se puede expresar en coordenadas esféricas como
ϕ(r, θ) =
q
− 2rro cos θ + ro2 ]1/2
q (a/ro )
−"
2
4 #1/2 ,
a
a
r2 − 2
rro cos θ +
ro2
ro
ro
[r2
(2.75)
donde θ es el ángulo entre r y ro . Se puede verificar que ϕ(a, θ) = 0 en la
Ec. (2.75).
El potencial (2.74) corresponde a la solución del problema de Dirichlet
Z
ϕ (r) =
ρ r0 GD r, r0 d3 r0
(2.76)
V
en el volumen r > a, con condición de frontera ϕ(r = a) = 0. La densidad de
carga corresponde a la carga puntual ubicada en ro ,
ρ r0 = q δ r0 − ro .
(2.77)
Comparando con la solución (2.74), vemos que la función de Green para este
problema es
a
1
.
− (2.78)
G r, r0 =
0
|r − r |
a2 0 0
r r − 0 2 r r
2.3. MÉTODO DE IMÁGENES.
77
La fuerza entre la carga q y la esfera corresponde a la fuerza atractiva entre q
y la carga virtual qI , separadas por una distancia
|r − rI | = ro −
a2
.
ro
(2.79)
Luego, la magnitud de la fuerza es
F =
aro q 2
q qI
=
.
(ro2 − a2 )2
|r − rI |2
(2.80)
La densidad de carga superficial inducida sobre la superficie S de la esfera
conductora puede ser calculada mediante la relación
1 ∂ϕ En |S = 4πσ ⇒ σ = −
.
(2.81)
4π ∂r r=a
A partir de la Ec. (2.75), calculamos
!
2
a
a
q
r−
ro cos θ
ro
ro
∂ϕ
q(r − ro cos θ)
+"
=−
2
4 #3/2 ,
∂r
[r2 − 2rro cos θ + ro2 ]3/2
a
a
r2 − 2
rro cos θ +
ro2
ro
ro
r a
a
o
q
− cos θ
q
1 − cos θ
∂ϕ ro
a
ro
=
−
+
.
3/2
2
2 3/2
∂r r=a
a
a
a
a
ro2 1 − 2 cos θ + 2
ro2 1 − 2 cos θ + 2
ro
ro
ro
ro
Después de algunas simplificaciones, obtenemos
1 ∂ϕ q
a
=−
σ=−
2
4π ∂r r=a
4πa
ro a2
1− 2
ro
a
a2
1 − 2 cos θ + 2
ro
ro
3/2 .
(2.82)
Se puede verificar que la integral de área de σ sobre la superficie de la esfera
a
da el valor de la carga imagen, qI = − q.
ro
78
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
4. Carga puntual q colocada a una distancia ro del centro de una esfera conductora
aislada, de radio a < ro y con carga total Q. Calcular el potencial fuera de la
esfera.
Figura 2.10: Principio de superposición para el ejemplo 4.
Este problema se resuelve usando el principio de superposición. El potencial en
un punto r fuera de la esfera se puede considerar como la composición de dos
procesos:
a) el potencial producido por una carga q frente a una esfera conductora
conectada a tierra, con carga qI en equilibrio electrostático.
b) se corta la conexión a tierra y se agrega una carga Q − qI , la cual se
distribuye uniformente sobre la esfera debido al equilibrio electrostático.
Por el teorema de Gauss, para r > a esto es equivalente al potencial
producido por una carga Q − qI colocada en el centro de la esfera.
Luego, el potencial fuera de la esfera es
ϕ (r) =
q
qa
+
−
2
|r − ro |
ro r − ar2 ro Q+
r
qa
ro
.
(2.83)
o
2.4.
Funciones ortogonales.
En muchas situaciones, las soluciones de problemas de potencial que involucran la
ecuación de Laplace se pueden expresar mediante expansiones en series de funciones
2.4. FUNCIONES ORTOGONALES.
79
ortogonales. El conjunto de funciones ortogonales apropiado para un problema dado
depende de la geometría y de las simetrías presentes en el sistema.
Se dice que una función real o compleja f (ξ), para ξ ∈ (a, b), es de cuadrado
integrable en el intervalo (a, b), si
Z b
Z b
|f (ξ)|2 dξ
es finito.
(2.84)
f ∗ (ξ)f (ξ) dξ =
a
a
Consideremos un conjunto de funciones reales o complejas {un (ξ)}, n = 1, 2, . . . ,
de cuadrado integrable y ortonormales en el intervalo (a, b).
Ortonormalidad significa que
Z b
1, si m = n
∗
(2.85)
un (ξ)um (ξ) dξ = δnm =
0, si m 6= n.
a
El concepto de ortogonalidad de funciones es análogo al de ortogonalidad de vectores:
a · b = 0 ⇒ a ⊥ b.
Cualquier función f (ξ) de cuadrado integrable en el intervalo (a, b) puede representarse mediante una expansión en serie de las funciones ortonormales {un (ξ)},
∞
X
f (ξ) =
an un (ξ),
(2.86)
n=1
donde los coeficientes an están unívocamente determinados. Para ver esto, multipliquemos la Ec. (2.86) por u∗m (ξ) e integremos en el intervalo (a, b),
!
Z b
Z b
∞
X
u∗m (ξ) f (ξ) dξ =
u∗m (ξ)
an un (ξ) dξ
a
a
n=1
∞
X
=
Z
an
n=1
∞
X
=
b
u∗m (ξ) un (ξ)
dξ
a
an δmn = am .
(2.87)
n=1
Luego,
Z
an =
a
b
u∗n (ξ) f (ξ) dξ .
(2.88)
80
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
Se dice que las funciones u(ξ) forman una base completa en el intervalo (a, b) para
las funciones cuyo cuadrado es integrable en ese intervalo.
Sustituyendo los coeficientes an de la Ec. (2.88) en la Ec. (2.86), obtenemos
X Z b
0
∗
0
0
un ξ f ξ dξ un (ξ)
f (ξ) =
a
n
Z
!
b
=
f ξ
X
0
a
0
u∗n ξ un (ξ) dξ 0 ,
(2.89)
n
lo cual implica que
X
u∗n ξ 0 un (ξ) = δ ξ − ξ 0 .
(2.90)
n
La Ec. (2.90) se denomina la relación de clausura o completitud del conjunto {un (ξ)}.
Si una función de cuadrado integrable f (ξ, η) depende de dos variables, ξ ∈ (a, b)
y η ∈ (c, d), entonces esa función se puede representar mediante una doble expansión
en serie de conjuntos de funciones ortogonales {un (ξ)}, definidas en (a, b), y {vn (η)},
definidas en (c, d), en la forma
XX
f (ξ, η) =
anm un (ξ) v(η),
(2.91)
n
Z
donde
anm =
m
b
Z
dξ
a
d
∗
dη u∗n (ξ) vm
(η) f (ξ, η).
(2.92)
c
Ejemplos.
1. Las series de Fourier constituyen uno de los ejemplos más conocidos de expansión de funciones f (x) en un intervalo x ∈ [−c, c] (ó x ∈ [0, 2c]), en términos
del conjunto de funciones ortonormales
nπx 1
nπx 1
{un (x)}n=1,2,... = √ sin
, √ cos
.
(2.93)
c
c
c
c
Se expresa
f (x) =
∞
∞
n=1
n=1
nπx X
nπx b0 X
+
bn cos
+
an sin
2
c
c
(2.94)
2.5. ECUACIÓN DE LAPLACE EN COORDENADAS CARTESIANAS.
1
an =
c
bn =
1
c
Z
c
f (x) sin
−c
Z c
f (x) cos
−c
nπx c
nπx c
81
dx
(2.95)
dx
(2.96)
2. Integrales de Fourier. Si el intervalo (a, b) es (−∞, ∞), las funciones ortogonales
un (ξ) son no contables n 6= 1, 2, . . . . Este es el caso de las funciones u(x) = eikx ,
x ∈ (−∞, ∞), que satisfacen la condición de ortonormalidad,
Z ∞
1
0
ei(k−k )x dx = δ k − k 0 ,
(2.97)
2π −∞
y que permiten la expansión de una función f (x) de cuadrado integrable en
x ∈ (−∞, ∞),
Z ∞
1
f (x) = √
a(k) eikx dk,
(2.98)
2π −∞
Z ∞
1
f (x) e−ikx dx.
(2.99)
a(k) = √
2π −∞
La condición de clausura es
Z ∞
1
0
eik(x−x ) dk = δ x − x0 .
2π −∞
2.5.
(2.100)
Ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas.
La ecuación de Laplace, ∇2 ϕ(r) = 0, en coordenadas cartesianas es
∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ
+
+ 2 = 0.
∂x2
∂y 2
∂z
(2.101)
La ecuación de Laplace es una ecuación diferencial homogénea en derivadas parciales. Este tipo de ecuaciones se puede resolver en muchos casos mediante el método
de separación de variables. Este método consiste en transformar una ecuación diferencial en derivadas parciales en un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias.
82
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
Como ejemplo de este método, buscamos una solución de la Ec. (2.101) en la forma
de un producto de funciones con variables independientes,
ϕ (r) = ϕ (x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z).
(2.102)
Sustitución en la Ec. (2.101) da
Y ZX 00 + XZY 00 + XY Z 00 = 0.
(2.103)
Dividiendo por XY Z, obtenemos
1 d2 X
1 d2 Y
1 d2 Z
+
+
= 0.
X dx2
Y dy 2
Z dz 2
(2.104)
La Ec. (2.104) contiene la suma de tres términos que son funciones independientes,
y se debe satisfacer ∀ x, y, z. Luego, cada término por separado debe ser igual a una
constante diferente, tal que la suma sea cero,
1 d2 X
= −α2
X dx2
1 d2 Y
= −β 2
Y dy 2
1 d2 Z
= γ2
Z dz 2
⇒
X 00 + α2 X = 0
(2.105)
⇒
Y 00 + β 2 Y = 0
(2.106)
⇒
Z 00 − γ 2 Z = 0
(2.107)
donde
γ 2 = α2 + β 2 .
(2.108)
Escogemos las constantes α y β reales, tales que α2 > 0, β 2 > 0.
Las ecuaciones para X y Y son análogas a la ecuación de un oscilador armónico.
Sus soluciones tienen la forma
X(x) = A cos (αx) ± B sin (αx) = A0 eiαx ± B 0 e−iαx
0 iβy
Y (y) = A cos (βx) ± B sin (βx) = A e
0 −iβy
±B e
,
(2.109)
(2.110)
mientras que la ecuación para Z tiene solución de la forma
Z(z) = A sinh (γz) ± B cosh (γz) = A0 eγz ± B 0 e−γz .
(2.111)
2.5. ECUACIÓN DE LAPLACE EN COORDENADAS CARTESIANAS.
83
La solución ϕ = XY Z es una solución particular de la ecuación de Laplace. Los
coeficientes y la forma específica de la solución particular para un problema dado se
determinan mediante las condiciones de frontera del sistema. La solución general se
encuentra por superposición de todas las soluciones particulares que satisfacen las
condiciones de frontera.
Ejemplos.
1. Encontrar el potencial dentro de una caja rectangular de lados a, b y c, cuyas
caras están todas conectadas a tierra, excepto la cara superior z = c, que está
sujeta a un potencial V (x, y).
Figura 2.11: Caja rectangular con potencial ϕ(x, y, c) = V (x, y) y demas lados con potencial cero.
Puesto que no hay cargas dentro de la caja, se cumple la ecuación de Laplace en
la región donde se busca el potencial escalar. Se trata de encontrar la solución
en la forma ϕ = XY Z. Para determinar las funciones X, Y y Z, examinamos
las condiciones de frontera en cada coordenada x, y y z.
Condiciones de frontera para X(x):
ϕ = 0 en x = 0 ⇒ X(0) = 0. Sugiere la forma: X ∼ sin(αx). (2.112)
ϕ = 0 en x = a ⇒ X(a) = 0. Luego, X ∼ sin(αa) = 0.
(2.113)
84
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
Entonces, debemos tener
⇒
αa = nπ
αn =
nπ
,
a
n = 0, 1, 2, . . .
(2.114)
La forma de X que satisface las condiciones de frontera en x = 0 y x = a es
nπ X(x) = sin
x .
(2.115)
a
Similarmente, evaluando las condiciones de frontera para Y , tenemos
ϕ = 0 en y = 0 ⇒ Y (0) = 0. → Y ∼ sin(βy).
(2.116)
ϕ = 0 en y = b ⇒ Y (b) = 0. → Y ∼ sin(βb) = 0.
(2.117)
βm =
mπ
,
b
m = 0, 1, 2, . . .
mπ ⇒ Y (y) = sin
y .
b
Condición de frontera en z = 0,
ϕ = 0 en z = 0 ⇒ Z(0) = 0. Sugiere la forma: Z ∼ sinh(γz).
(2.118)
(2.119)
(2.120)
Esto conduce a
r
γ 2 = α2 + β 2
⇒
γnm = π
n2 m2
+ 2
a2
b
Z(z) = sinh (γnm z) .
Entonces, la solución parcial para el potencial tiene la forma
mπ nπ ϕnm = sin
x sin
y sinh (γnm z) .
a
b
(2.121)
(2.122)
(2.123)
La solución general se obtiene como la combinación lineal de todas las soluciones
parciales; es decir, sumando sobre todos los índices n y m,
ϕ(x, y, z) =
∞ X
∞
X
n=1 m=1
anm sinh (γnm z) sin
nπ mπ x sin
y ,
a
b
(2.124)
2.5. ECUACIÓN DE LAPLACE EN COORDENADAS CARTESIANAS.
85
donde anm son coeficientes que se pueden obtener evaluando la condición de
frontera faltante en z = c,
∞ X
∞
X
nπ mπ x sin
y .
a
b
n=1 m=1
(2.125)
Los factores anm sinh (γnm c) pueden interpretarse como coeficientes de la expansión de V (x, y) en una doble serie de Fourier en x ∈ (0, a) y y ∈ (0, b).
Luego,
Z
Z b
nπ mπ 2 2 a
anm sinh (γnm c) =
dx
dy V (x, y) sin
x sin
y
(2.126)
a b 0
a
b
0
Z a Z b
nπ mπ 4
anm =
dx
dy V (x, y) sin
x sin
y . (2.127)
ab sinh(γnm c) 0
a
b
0
ϕ(x, y, c) = V (x, y) =
anm sinh (γnm c) sin
Luego, la solución general ϕ(x, y, z), dada en la Ec. (2.124), está determinada.
Note que esta solución es equivalente a la expansion en series de Fourier de la
integral de superficie en la solución de la ecuación de Laplace, Ec. (2.29), con
condiciones tipo Dirichlet en la caja rectangular.
2. Ecuación de Laplace en dos dimensiones.
En ciertos problemas, el potencial escalar eléctrico no depende de alguna coordenada espacial. En esos casos, la ecuación de Laplace en dos dimensiones, en
coordenadas cartesianas, es
∂2ϕ ∂2ϕ
+
= 0.
∂x2
∂y 2
(2.128)
El potencial debe tener la forma ϕ(x, y) = X(x)Y (y), independiente de z.
Sustituyendo en la ecuación de Laplace bidimensional y dividiendo por XY ,
obtenemos
1 d2 X
1 d2 Y
+
= 0.
(2.129)
X dx2
Y dy 2
Cada término debe ser constante por separado, es decir,
X 00 + α2 X = 0 → X = A sin(αx) ± B cos(αx)
00
2
αy
Y − α Y = 0 → Y = Ae
± Be
−αy
.
(2.130)
(2.131)
86
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
Como ejemplo, calculemos el potencial dentro de un canal rectangular de ancho
a en la dirección x, que se extiende infinitamente en la dirección z y en la
dirección y. El potencial es cero en las paredes laterales y el piso inferior en
y = 0 está sujeto a un potencial constante V .
Figura 2.12: Problema de potencial en dos dimensiones en coordenadas catersianas.
Las condiciones de frontera para X(x) son
ϕ = 0 en x = 0 ⇒ X(0) = 0 → X ∼ sin(αx).
(2.132)
ϕ = 0 en x = a ⇒ X(a) = 0 → X ∼ sin(αa) = 0.
(2.133)
⇒
αn =
nπ
,
a
n = 0, 1, 2, . . .
(2.134)
La condición de frontera para Y (y) en y = ∞ es
Y (∞) = 0
→
Y ∼ e−αy .
(2.135)
nπ x .
a
(2.136)
Luego, tenemos la solución parcial
ϕn = e−αn y sin
La solución general es
ϕ(x, y) =
∞
X
n=1
an e−αn y sin
nπ x .
a
(2.137)
2.6. ECUACIÓN DE LAPLACE EN COORDENADAS POLARES.
87
Los coeficientes an se obtienen evaluando la condición de frontera en y = 0,
∞
nπ X
x ,
(2.138)
ϕ(x, 0) = V =
an sin
a
n=1
lo que representa la expansión en serie de Fourier de la función constante V en
el intervalo x ∈ (0, a). Luego,
Z
nπ 2 a
an =
V sin
x dx
a 0
a
nπ 0
2V a cos
x =
a nπ
a
a
2V
=
[1 − cos(nπ)]
nπ
(
0,
n par
=
(2.139)
4V
, n impar.
nπ
Entonces, la solución general se puede expresar como
nπ 4V X 1 − nπ y
e a sin
x .
(2.140)
ϕ(x, y) =
π n impar n
a
2.6.
Ecuación de Laplace en coordenadas polares.
La ecuación de Laplace, ∇2 ϕ = 0, para ϕ(r, φ) en coordenadas polares tiene la
forma
1 ∂
∂ϕ
1 ∂2ϕ
r
+ 2 2 = 0.
(2.141)
r ∂r
∂r
r ∂φ
Buscamos una solución de la Ec. (2.141) por el método de separación de variables,
tal que
ϕ(r, φ) = R(r)Φ(φ).
(2.142)
La función Φ(φ) debe ser periódica para φ ∈ [0, 2π] con periodo 2π; es decir, Φ(0) =
Φ(2π). Sustitución de (2.142) en la Ec. (2.141) da
Φ d
dR
R d2 Φ
r
+ 2 2 = 0.
(2.143)
r dr
dr
r dφ
88
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
r2
y obtenemos
RΦ
Φ00
r d
(rR0 ) +
= 0.
R dr
Φ
Cada término por separado en la Ec. (2.144) debe ser constante; es decir
Multiplicamos la Ec. (2.143) por
(2.144)
r d
rR0 = n2
(2.145)
R dr
Φ00
= −n2 .
(2.146)
Φ
Si n 6= 0, buscamos una solución de la ecuación para R en la forma R = rα , lo
cual conduce a α = ±n. Luego, R = rn y R = r−n son soluciones. Por otro lado,
la ecuación para Φ corresponde a un oscilador armónico. Luego, las soluciones para
n 6= 0 se pueden expresar como
R(r) = arn + br−n
(2.147)
Φ(φ) = A cos(nφ) + B sin(nφ).
(2.148)
La condición de periodicidad para Φ debe cumplirse ∀ A, B. En particular, debemos
tener sin(n2π) = 0. Esta condición implica que n 6= 0 debe ser un número entero.
Si n = 0, la ecuación para R tiene la forma
rR0 = cte,
(2.149)
R = c1 ln r + c2 ,
(2.150)
y su solución es
donde c1 , c2 son constantes, mientras que la ecuación para Φ se convierte en
Φ00 = 0,
(2.151)
Φ = A0 + B0 φ.
(2.152)
cuya solución es
Para que Φ sea periódica en φ, debemos tener B0 = 0. Juntando los resultados para
n 6= 0 y n = 0, podemos expresar la solución general de la ecuación de Laplace en
coordenadas polares como
ϕ(r, φ) = a0 + b0 ln r +
∞
X
n=1
an rn + bn r−n [An cos(nφ) + Bn sin(nφ)] .
(2.153)
2.6. ECUACIÓN DE LAPLACE EN COORDENADAS POLARES.
89
Si el origen r = 0 se incluye en el volumen donde no hay carga, todos los coeficientes
bn son iguales a cero, y solamente las potencias positivas de r aparecen en la solución.
Si se excluye el origen, los coeficientes bn pueden ser diferentes de cero. En particular,
el término ln r representa el potencial de una línea de carga ubicada en r = 0.
Ejemplo.
1. Encontrar el potencial dentro de un tubo infinitamente largo, de radio a, separado en dos mitades longitudinales mantenidas a potenciales constantes V y
−V , respectivamente, y separadas por una brecha muy estrecha.
Figura 2.13: Problema de potencial en coordenadas polares.
Puesto que el origen se incluye en la región r < a, debemos tener bn = 0, ∀n.
Medimos el ángulo φ como se indica en la figura. Las condiciones de frontera
para el potencial ϕ son
V, φ ∈ (0, π)
ϕ(a, φ) = R(a)Φ(φ) =
(2.154)
−V, φ ∈ (π, 2π).
Note que Φ(φ) = −Φ(−φ). Luego, Φ debe ser una función impar, es decir
An = 0. La solución general queda
ϕ(r, φ) = a0 +
∞
X
Cn rn sin(nφ).
(2.155)
Cn an sin(nφ),
(2.156)
n=1
En r = a,
ϕ(a, φ) = a0 +
∞
X
n=1
90
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
lo que equivale a una serie de Fourier para la función ϕ(a, φ), y cuyos coeficientes
se determinan como
Z
Z
Z
1 2π
V π
V 2π
a0 =
ϕ(a, φ) dφ =
dφ −
dφ = 0.
(2.157)
π 0
π 0
π π
n
Cn a
Z
1 2π
ϕ(a, φ) sin (nφ) dφ
π 0
Z
Z
1 π
1 2π
V sin(nφ)dφ −
V sin(nφ)dφ
π 0
π π
V
V
cos(nφ)|0π −
cos(nφ)|π2π
πn
πn
V
[1 − cos(nπ) − cos(nπ) + cos(2nπ)]
πn
2V
[1 − cos(nπ)]
πn
(
0, n par
4V
, n impar
πn
=
=
=
=
=
=
(2.158)
Luego,
ϕ(r, φ) =
4V X 1 r 2n−1
sin[(2n − 1)φ].
π
2n − 1 a
(2.159)
n=1
2.7.
Ecuación de Laplace en coordenadas esféricas.
La ecuación de Laplace, ∇2 ϕ(r) = 0, en coordenadas esféricas tiene la forma
1 ∂2
1
∂
∂ϕ
1
∂2ϕ
(rϕ)
+
sin
θ
+
= 0.
(2.160)
r ∂r2
r2 sin θ ∂θ
∂θ
r2 sin2 θ ∂φ2
Buscamos solución ϕ(r, θ, φ) por separación de variables:
ϕ(r, θ, φ) =
U (r)
Y (θ, φ),
r
(2.161)
2.7. ECUACIÓN DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFÉRICAS.
91
Figura 2.14: Coordenadas esféricas.
donde
Y (θ, φ) = P (θ) Q(φ).
(2.162)
Sustitución da
Y d2 U
U
∂
+ 3
2
r dr
r sin θ ∂θ
Multiplicamos por
∂Y
U
∂2Y
sin θ
+ 3 2
= 0.
∂θ
r sin θ ∂φ2
(2.163)
∂Y
1 ∂2Y
sin θ
+
=0
∂θ
sin2 θ ∂φ2
(2.164)
r3
,
UY
00
1
r
+
U
Y
2U
1 ∂
sin θ ∂θ
El primer término de la Ec. (2.164) es función sólo de r, y el segundo término
corresponde a una función de θ y φ. Puesto que la Ec. (2.164) debe ser válida para
todos los valores de r, θ y φ, cada término por separado debe ser igual a una constante.
Luego, podemos expresar el primer término de la Ec. (2.164) como
r2
U 00
= cte ≡ l (l + 1) ,
U
l (l + 1)
U 00 −
U = 0,
r2
(2.165)
donde l es una constante. Buscamos una solución de la forma U = rn ; sustituyendo
92
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
en la Ec. (2.169) tenemos,
− l (l + 1) =0
n (n − 1) r(n−2)
r(n−2)
n2 − n − l (l + 1) = 0
l+1
⇒n=
.
−l
(2.166)
Luego,
U (r) = Ar(l+1) + Br−l .
(2.167)
Por otro lado, el segundo término de la Ec. (2.164) conduce a la siguiente ecuación
para la función Y (θ, φ) de las variables angulares,
1 ∂
sin θ ∂θ
∂Y
1 ∂2Y
sin θ
+ l (l + 1) Y +
= 0.
∂θ
sin2 θ ∂φ2
Sustituyendo Y (θ, φ) = P (θ) Q(φ) y multiplicando por
sin θ d
P dθ
(2.168)
sin2 θ
, obtenemos
PQ
dP
1 d2 Q
sin θ
+ l (l + 1) sin2 θ +
= 0.
dθ
Q dφ2
(2.169)
Los primeros dos términos en la Ec. (2.169) representan una función que depende
solamente de θ, mientras que el tercer término corresponde a una función que depende
sólo de φ. Para satisfacer la Ec. (2.169), ambas funciones deben ser constantes por
separado y con signo opuesto. Entonces podemos escribir el tercer término como
Q00
Q
= −m2
→
Q00 + m2 Q = 0,
(2.170)
donde m es una constante real. La Ec. (2.170) posee dos soluciones independientes,
Q(φ) = e±i mφ . La solución general de esta ecuación será la combinación lineal de
estas soluciones, la cual se puede expresar como
Q(φ) = A cos (mφ) + B sin (mφ) ,
donde A y B son coeficientes.
(2.171)
2.7. ECUACIÓN DE LAPLACE EN COORDENADAS ESFÉRICAS.
La ecuación resultante para θ es
sin θ d
dP
sin θ
+ l(l + 1) sin2 θ − m2 = 0
P dθ
dθ
dP
m2
1 d
sin θ
+ l (l + 1) −
P = 0.
⇒
sin θ dθ
dθ
sin2 θ
93
(2.172)
La Ec. (2.172) es la ecuación satisfecha por la función P (θ). Haciendo el cambio
de variable x = cos θ, tal que
dx
= − sin θ,
dθ
dP
dP dx
dP
=
= − sin θ
dθ
dx dθ
dx
⇒
1 d
d
=− ,
sin θ dθ
dx
la Ec. (2.172) adquiere la forma
d
m2
2 dP
1−x
+ l (l + 1) −
P = 0.
dx
dx
1 − x2
(2.173)
(2.174)
La Ec. (2.174) tiene la forma de la ecuación generalizada de Legendre.
Consideremos el caso particular m = 0; es decir, Q = cte y por lo tanto, ϕ es
independiente del ángulo φ. Entonces, la Ec. (2.174) queda
dP
d
1 − x2
+ l (l + 1) P = 0.
(2.175)
dx
dx
La Ec. (2.175) se conoce como la ecuación de Legendre. Esta ecuación tiene solución
en serie convergente en el intervalo x ∈ [−1, 1], si el valor de l es entero. Las soluciones
para valores enteros de l son los polinomios de Legendre Pl (x), definidos por la fórmula
de Rodrigues:
l
1 dl
2
Pl (x) = l
x
−
1
,
(2.176)
2 l! dxl
donde l = 0, 1, 2, . . . . La función P (l (x) es un polinomio de grado l. Los primeros
polinomios de Legendre son
P0 (x)
P1 (x)
P2 (x)
P3 (x)
P4 (x)
= 1
= x
= 21 (3x2 − 1)
= 21 (5x3 − 3x)
= 81 (35x4 − 30x2 + 3).
(2.177)
94
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
Los polinomios Pl (x) son un conjunto de funciones de cuadrado integrable y ortogonales en el intervalo x ∈ [−1, 1]; esto es
Z
1
Pl0 (x)Pl (x)dx =
−1
2
δl l0 .
(2l + 1)
(2.178)
Note que los polinomios Pl son ortogonales, pero no ortonormales.
Los polinomios de Legendre constituyen una base ortogonal para funciones f (x)
de cuadrado integrable definidas en el intervalo x ∈ [−1, 1],
f (x) =
∞
X
Al Pl (x)
(2.179)
l=0
Al =
(2l + 1)
2
Z
1
f (x)Pl (x)dx.
(2.180)
−1
En términos de la variable angular θ ∈ [0, π], tal que x = cos θ, tenemos
∞
X
f (θ) =
Al Pl (cos θ)
(2.181)
l=0
Al =
(2l + 1)
2
Z
π
f (θ)Pl (cos θ) sin θ dθ.
0
Algunas propiedades de los polinomios de Legendre son
i) Pl (x) es par, si l es par.
Pl (x) es impar, si l es impar.
ii) Pl (1) = 1, ∀ l. Pl (−1) = (−1)l .
0, si l es impar.
iii) Pl (0) =
(l − 1)!!
(−1)l/2
, si l es par.
l!!
donde
(l − 1) !! = 1 × 3 × 5 × 7 · · · × (l − 1) .
l !! = 2 × 4 × 6 × · · · × l.
(2.182)
2.8. PROBLEMAS DE FRONTERA CON SIMETRÍA AZIMUTAL.
iv)
R1
0
0, si l es par.
(l−1) (l − 2)!!
Pl (x) dx =
,
(−1) 2
(l + 1)!!
95
si l es impar.
Luego, una solución parcial de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas
con simetría azimutal (independiente del ángulo φ, o con m = 0) es
ϕl =
U (r)
Pl (cos θ).
r
(2.183)
La solución general de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas con simetría
azimutal corresponde a la superposición de soluciones parciales y tiene la forma
ϕ(r, θ) =
∞ h
X
i
Al rl + Bl r−(l+1) Pl (cos θ).
(2.184)
l=0
Los coeficientes Al y Bl se determinan mediante las condiciones de frontera del problema.
2.8.
Problemas de frontera con simetría azimutal.
A continuación, presentamos algunas aplicaciones de la solución de la ecuación de
Laplace en problemas de frontera con simetría azimutal, Ec. (2.184).
1. Encontrar la expresión del potencial producido dentro y fuera de una esfera no
conductora de radio a, que posee un potencial V (θ) sobre su superficie.
Figura 2.15: Esfera con potencial V (θ) sobre su superficie.
96
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
Para r < a, dentro de la esfera, no hay cargas eléctricas. Luego, el potencial
ϕ debe ser no singular (finito) para r → 0, lo que implica que Bl = 0, ∀l. Es
decir, la solución interna debe poseer la forma
ϕin (r, θ) =
∞
X
Al rl Pl (cos θ) ,
r < a.
(2.185)
l=0
Para r > a, fuera de la esfera, debemos tener ϕ → 0 para r → ∞. Esto implica
que Al = 0 para r > a. Por lo tanto, la solución externa debe tener la forma
ϕex (r, θ) =
∞
X
Bl r−(l+1) Pl (cos θ) ,
r > a.
(2.186)
l=0
Las soluciones interna y externa deben coincidir en r = a:
∞
X
l=0
l
Al a Pl (cos θ) =
∞
X
Bl a−(l+1) Pl (cos θ) = V (θ) ,
(2.187)
l=0
lo que implica
Al al = Bl a−(l+1)
⇒ Bl = Al a2l+1 .
(2.188)
En r = a, la solución interna da
ϕin (a, φ) = V (θ) =
∞
X
Al al Pl (cos θ) .
(2.189)
l=0
La Ec. (2.189) representa la expansión de la función V (θ) en una serie de polinomios de Legendre para θ ∈ [0, π]. Luego,
Z
(2l + 1) π
V (θ)Pl (cos θ) sin θ dθ.
(2.190)
Al =
2al
0
Entonces el potencial puede escribirse
P∞
l
r < a.
l=0 Al r Pl (cos θ) ,
ϕ(r, θ) =
P∞
a2l+1
r > a.
l=0 Al l+1 Pl (cos θ) ,
r
donde el coeficiente Al determinado por la Ec. (2.190).
(2.191)
2.8. PROBLEMAS DE FRONTERA CON SIMETRÍA AZIMUTAL.
97
2. Encontrar el potencial dentro de una esfera de radio a, la cual está dividida en
dos hemisferios sujetos a potenciales constantes V y −V , respectivamente.
Figura 2.16: Esfera dividida en hemisferios sujetos a potenciales V y −V .
En este caso,
π
0≤θ< ,
2
(2.192)
V (θ) =
π
−V,
< θ ≤ π.
2
El coeficiente Al en la Ec. (2.190) puede calcularse explícitamente
Z
(2l + 1) π
V (θ)Pl (cos θ) sin θ dθ
Al =
2al
0
"Z π
#
Z π
2
(2l + 1)
=
V
Pl (cos θ) sin θ dθ −
Pl (cos θ) sin θ dθ (2.193)
π
2al
0
V,
2
En términos de la variable x = cos θ, las integrales definidas corresponden a
Z 0
Z 1
Z 1
Pl (x) dx −
Pl (x) dx = 2
Pl (x) dx,
para l impar.
(2.194)
−1
0
0
Luego,
(2l + 1)
Al =
V
al
Z
1
Pl (x) dx,
para l impar,
(2.195)
0
mientras que Al = 0 para l par. Usando la propiedad (iv) de los polinomios de
Legendre, obtenemos
Al =
(l−1) (l − 2)!!
(2l + 1)
(−1) 2
V,
l
(l + 1)!!
a
l impar,
(2.196)
98
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
donde
(l − 2)!! ≡ (l − 2) (l − 4) (l − 6) . . . 4 × 2
(2.197)
(l + 1)!! ≡ (l + 1) (l − 1) (l − 3) . . . 5 × 3 × 1.
(2.198)
Luego, el potencial para r < a está dado por la Ec. (2.185) con los coeficientes
Al dados en la Ec. (2.196),
ϕ(r, θ) = V
X
(−1)
(l−1)
2
(2l + 1)
l impar
r l (l − 2)!!
Pl (cos θ) ,
a (l + 1)!!
r < a. (2.199)
Los primeros términos de esta expresión son
3r
7 r 3
11 r 5
ϕ(r, θ) = V
P1 (cos θ) −
P3 (cos θ) +
P5 (cos θ) + . . . .
2a
8 a
16 a
(2.200)
3. Calcular el potencial fuera de una esfera conductora aislada de radio a, sin
carga, en presencia de un campo eléctrico externo uniforme.
Figura 2.17: Esfera conductora en un campo eléctrico externo uniforme.
Tomemos el campo eléctrico externo en la dirección z, E = Eẑ. El sistema tiene
simetría azimutal, por lo que buscamos una solucion de la forma
ϕ(r, θ) =
∞ h
i
X
Al rl + Bl r−(l+1) Pl (cos θ) .
l=0
Las condiciones de frontera son
(2.201)
2.8. PROBLEMAS DE FRONTERA CON SIMETRÍA AZIMUTAL.
99
a) En r = a, ϕ(a, θ) = cte, puesto que la esfera es conductora.
b) Para r → ∞, ϕ debe corresponder al potencial del campo externo E = Eẑ.
La condición ϕ(a, θ) = cte significa que en r = a el potencial no depende de
θ. Luego, el único polinomio de Legendre que debe aparecer en el potencial
Ec. (2.201) evaluado en r = a es el término correspondiente a l = 0, para el
cual P0 (cos θ) = 1. Esto implica que
Al al + Bl a−(l+1) = 0,
⇒ Bl = −Al a
2l+1
∀l > 0
(2.202)
, ∀l > 0.
(2.203)
Puesto que Ez = − ∂ϕ
∂z = E, la condición para el potencial en r → ∞ debe
tener la forma ϕ = −Ez, donde z = r cos θ. Es decir, la condición de frontera
en r → ∞ es
ϕ(r → ∞, θ) = −Er cos θ,
(2.204)
lo cual significa que solamente los términos Al rl Pl (cos θ) sobreviven en la solución Ec. (2.201) para poder satisfacer esta condición para r → ∞. De estos
términos, sólo el término l = 1, que tiene la forma P1 (cos θ) = cos θ, satisface
la condición de ϕ para r → ∞. Los demás términos debe ser cero; es decir,
Al = 0,
Bl = 0,
si l 6= 1.
(2.205)
Manteniendo sólo el término l = 1 para r → ∞ en la Ec. (2.201), tenemos
ϕ(r → ∞, θ) = A1 r cos θ = −Er cos θ,
(2.206)
lo que implica que
A1 = −E,
3
3
B1 = −A1 a = Ea
(2.207)
(usando Ec. (2.203).
(2.208)
Entonces, la solución Ec. (2.201) para r > a, con el único término sobreviviente
l = 1, queda
Ea3
(2.209)
ϕ(r, θ) = −Er cos θ + 2 cos θ.
r
Esta solución satisface ambas condiciones de frontera en r = a y en r → ∞.
100
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
El primer término corresponde al potencial asociado al campo externo, si no
hubiera esfera presente, y el segundo término corresponde al potencial producido
por la carga inducida sobre la esfera conductora.
La densidad de carga inducida sobre la esfera se puede calcular mediante la
relación En = 4πσ para una superficie conductora, donde n̂ = r̂; esto da
1
σ(θ) =
Er 4π
r=a
1 ∂ϕ = −
4π ∂r r=a
3E
=
cos θ.
4π
(2.210)
Note que
σ(θ) > 0,
0≤θ<
σ(θ) < 0,
π
2
π
2
< θ ≤ π.
La carga total inducida sobre la esfera aislada es
Z
Qtotal =
=
=
=
σda
Z
Z π
3E 2 2π
a
dφ
sin θ cos θ dθ
4π
0
0
Z
3E 2 1 π
a
d(sin2 θ)
2
2 0
π
3E 2
a sin2 θ0 = 0.
4
(2.211)
4. Expansión del potencial de una carga puntual en polinomios de Legendre.
Consideremos el potencial producido en la posición r por una carga puntual
q = 1 ubicada en r0 ,
1
ϕ(r) =
.
(2.212)
|r − r0 |
2.8. PROBLEMAS DE FRONTERA CON SIMETRÍA AZIMUTAL.
101
Figura 2.18: Expansión de |r − r0 |−1 en polinomios de Legendre.
Si escogemos r0 en la dirección ẑ, el sistema tiene simetría azimutal con respecto
al eje z. Entonces, podemos escribir
1
1
=
2
02
|r − r0 |
(r + r − 2rr0 cos θ)1/2
∞ h
i
X
Al rl + Bl r−(l+1) Pl (cos θ) ,
= ϕ(r, θ) =
ϕ(r) =
(2.213)
l=0
donde θ = γ es el ángulo entre r0 y r. Esta relación es válida ∀θ, en particular
para θ = 0, lo cual da
∞
ϕ(r, 0) =
i
Xh
1
l
−(l+1)
.
=
A
r
+
B
r
l
l
|r − r0 |
(2.214)
l=0
La expresión para ϕ(r, 0) se puede interpretar como una condición de frontera
para el potencial cuando θ = 0.
Supongamos r0 < r, es decir, r0 /r ≡ x < 1. Entonces,
1
1
= (r − r0 )−1 =
0
|r − r |
r
r0 −1
1−
.
r
(2.215)
Utilizamos la siguiente expansión en serie para x < 1,
(1 − x)−1 =
∞
X
l=0
xl = 1 + x + x2 + x3 + x4 + · · ·
(2.216)
102
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
Luego, para r0 < r,
∞
1X
r
l=0
0 l X
∞ h
i
r
=
Al rl + Bl r−(l+1) ,
r
(2.217)
l=0
lo cual implica que
1
r
0 l
r
= Al rl + Bl r−(l+1) .
r
Entonces, para r0 < r y ∀ θ, la Ec. (2.213) da
∞ 1
1 X r0 l
=
Pl (cos θ).
|r − r0 |
r
r
(2.218)
(2.219)
l=0
Si r0 > r, una expansión similar se puede obtener intercambiando r ↔ r0 .
En general, si γ es el ángulo entre r0 y r, podemos escribir la expansión
∞ 1
1 X r< l
=
Pl (cos γ),
(2.220)
|r − r0 |
r>
r>
l=0
donde r< es el menor entre r y r0 , y r> es el mayor entre r y r0 .
5. Expansión de la función de Green en polinomios de Legendre para el problema
de una carga frente a una esfera conductora conectada a tierra.
Vimos que la función de Green, Ec. (2.78), para este problema es
G r, r0 =
1
−
|r − r0 |
a
.
a2 0 0
r r − 0 2 r r
(2.221)
donde a es el radio de la esfera y, tanto r como r0 , son mayores que a. Si
escogemos r0 en la dirección ẑ, entonces θ es el ángulo entre r0 y r, y el sistema
posee simetría azimutal con respecto al eje z.
Vimos que el primer término en la función de Green se puede expresar como
∞ 1 X r< l
1
=
Pl (cos θ).
(2.222)
|r − r0 |
r>
r>
l=0
2.8. PROBLEMAS DE FRONTERA CON SIMETRÍA AZIMUTAL.
103
Consideremos la expansión del segundo término cuando r0 y r son paralelos,
a 2 −1
a
r − 0 r0
=
r0
r
=
−1
a
a2
1− 0
rr0
rr
l
∞
a X a2
.
rr0
rr0
(2.223)
l=0
Luego, podemos escribir el segundo término de la función de Green como
l
∞ a2
a X
a
Pl (cos θ) ,
=
0
0
2 r
r
r
r
a
>
>
<
<
l=0
r0 r − 0 2 r0 r
(2.224)
0 = rr 0 . Entonces, la función de Green para este problema se puede
donde r> r<
expresar como
G r, r0
l
∞ ∞ 1 X r< l
a2
a X
Pl (cos θ)
Pl (cos θ) −
0
0
r>
r>
r> r<
r> r<
l=0
l=0
!
∞
2l+1
X
a
1
l
r<
− l+1 Pl (cos θ).
=
(2.225)
l+1
r
r>
l=0 >
=
6. Calcular el potencial producido en todo el espacio por una carga q uniformemente distribuida sobre un aro de radio a.
Figura 2.19: Potencial producido por un aro cargado.
Tomemos el eje z perpendicular al plano del aro y que pasa por su centro. Este
sistema posee simetría azimutal. El diferencial de potencial producido sobre el
104
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
eje z por un elemento del aro de longitud ds es
ds
q
.
dϕ(z) =
2πa (a2 + z 2 )1/2
El potencial total para una distancia z sobre el eje es
q
ϕ(z) = 2
,
(a + z 2 )1/2
(2.226)
(2.227)
el cual, en coordenadas esféricas con simetría azimutal, corresponde a la condición de frontera para θ = 0,
q
ϕ(r, 0) = 2
.
(2.228)
(a + r2 )1/2
La solución para el potencial en todo el espacio tiene la forma
∞ h
i
X
ϕ(r, θ) =
Al rl + Bl r−(l+1) Pl (cos θ).
(2.229)
l=0
Para θ = 0 debemos tener,
∞
i
Xh
q
l
−(l+1)
=
A
r
+
B
r
.
l
l
(a2 + r2 )1/2
l=0
(2.230)
Para determinar los coeficientes Al y Bl , debemos expandir la función en el
lado izquierdo de la Ec. (2.230) en serie de potencias de r, y comparar esa serie
con la expresión en el lado derecho. En tal sentido, consideremos la siguiente
expansión válida para x < 1,
1
1·3 2 1·3·5 3 1·3·5·7 4
(1 ± x)−1/2 = 1 ∓ x +
x ∓
x +
x ∓ ···
(2.231)
2
2·4
2·4·6
2·4·6·8
Supongamos r > a, y definamos x ≡ a2 /r2 < 1. Entonces, la función en el lado
izquierdo de la Ec. (2.230) puede expandirse en serie como
−1/2
q
a2
q
=
1+ 2
r
r
(a2 + r2 )1/2
2
4
1 a
1·3 a
1 · 3 · 5 a 6 1 · 3 · 5 · 7 a 8
q
=
1−
+
−
+
+ ···
r
2 r
2·4 r
2·4·6 r
2·4·6·8 r
∞
qX
(l − 1)!! a l
(−1)l/2
, l = 0, 2, 4, . . . (2.232)
=
r
l!!
r
l par
2.9. ARMÓNICOS ESFÉRICOS.
105
Comparando la Ec. (2.232) con la Ec. (2.230) para θ = 0, tenemos
q
∞
X
(−1)l/2
l par
∞ h
i
X
al (l − 1)!!
l
−(l+1)
=
A
r
+
B
r
,
l
l
l!!
rl+1
(2.233)
l=0
lo que implica que
Al = 0
Bl
(2.234)
(l − 1)!!
,
= q (−1)l/2 al
l!!
l = 0, 2, 4, . . .
(2.235)
Luego, el potencial para r > a es
ϕ(r, θ) = q
∞
X
(−1)l/2
l par
al (l − 1)!!
Pl (cos θ) .
l!!
rl+1
(2.236)
Similarmente, intercambiando r ↔ a, obtenemos para r < a,
ϕ(r, θ) = q
∞
X
(−1)l/2
l par
rl (l − 1)!!
Pl (cos θ).
l!!
al+1
(2.237)
Ambos resultados pueden expresarse en la siguiente forma
ϕ(r, θ) = q
∞
X
(−1)l/2
l par
l
r<
(l − 1)!!
Pl (cos θ) ,
l+1
l!!
r>
(2.238)
donde r< es el menor entre r y a, y r> es el mayor entre r y a.
2.9.
Armónicos esféricos.
Hemos visto que la solución de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas
puede encontrarse en la forma
ϕ(r, θ, φ) =
U (r)
Y (θ, φ).
r
(2.239)
106
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
El método de separación de variables, empleando la solución Ec. (2.239), conduce
a la Ec. (2.168) para la función Y (θ, φ), esto es,
1 ∂
∂Y
1 ∂2Y
sin θ
+ l (l + 1) Y +
= 0.
(2.240)
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂φ2
Empleando Y (θ, φ) = P (θ) Q(φ), obtuvimos Q(φ) = e±imφ , donde m es constante;
mientras que la función P (θ) satisface la Ec. (2.172); es decir,
dP
m2
1 d
sin θ
+ l (l + 1) −
P = 0.
(2.241)
sin θ dθ
dθ
sin2 θ
En particular, si m = 0, el potencial no depende del ángulo φ, y el sistema
posee simetría azimutal. En ese caso, vimos que la solución para el potencial puede
expresarse mediante una expansión en serie de los polinomios de Legendre,
∞ h
i
X
(2.242)
Al rl + Bl r−(l+1) Pl (cos θ).
ϕ(r, θ) =
l=0
La Ec. (2.241), con el cambio de variables x = cos θ, se puede expresar como la
ecuación generalizada de Legendre,
d
m2
2 dP (x)
1−x
+ l (l + 1) −
P (x) = 0.
(2.243)
dx
dx
1 − x2
Las soluciones de la Ec. (2.243) para m 6= 0 corresponden a los polinomios asociados
de Legendre, definidos por la formula generalizada de Rodrigues,
Plm (x) =
l+m
l
(−1)m
2 m/2 d
(1
−
x
)
x2 − 1 ,
l
l+m
2 l!
dx
(2.244)
con
l = 0, 1, 2, . . .
m = −l, −(l − 1), . . . , 0, . . . , (l + 1), l .
(2.245)
(2.246)
Entonces, la parte angular de la solución Ec. (2.239) de la ecuación de Laplace tiene
la forma Y (θ, φ) = P (θ)Q(φ) = Plm (cos θ) e±imφ . La dependencia angular puede
expresarse mediante las funciones denominadas armónicos esféricos, definidas como
s
(2l + 1) (l − m)! m
Ylm (θ, φ) =
P (cos θ) eimφ .
(2.247)
4π
(l + m)! l
2.9. ARMÓNICOS ESFÉRICOS.
107
La forma explícita de los primeros armónicos esféricos es la siguiente,
l=0
l=1
1
Y00 = √ ,
4π
r
3
sin θ eiφ
Y11 = −
r 4π
3
Y10 =
cos θ
4π
r
3
sin θ e−iφ .
Y1,−1 =
4π
(2.248)
(2.249)
Algunas propiedades de los armónicos esféricos son
i) Conjugación:
∗
(θ, φ).
Yl,−m (θ, φ) = (−1)m Ylm
ii) Ortonormalidad:
Z 2π
Z
dφ
0
0
π
sin θ dθ Yl∗0 m0 (θ, φ) Ylm (θ, φ) = δl0 l δm0 m .
(2.250)
(2.251)
iii) Completitud:
∞ X
l
X
∗
Ylm
(θ0 , φ0 ) Ylm (θ, φ) = δ(φ − φ0 ) δ(cos θ − cos θ0 ) .
(2.252)
l=0 m=−l
iv) Teorema de la adición:
Si γ es el ángulo entre los vectores r0 = (r0 , θ0 , φ0 ) y r = (r, θ, φ), en coordenadas
esféricas, entonces
l
X
4π
∗
Pl (cos γ) =
Ylm
(θ0 , φ0 ) Ylm (θ, φ) .
(2l + 1)
(2.253)
m=−l
En particular, si γ = 0, tenemos θ0 = θ y φ0 = φ; entonces
l
X
m=−l
|Ylm (θ, φ)|2 =
(2l + 1)
.
4π
(2.254)
108
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
Figura 2.20: Teorema de la adición para armónicos esféricos.
Los armónicos esféricos forman una base completa para expresar cualquier función
f (θ, φ), definida en θ ∈ [0, π], φ ∈ [0, 2π]:
f (θ, φ) =
∞ X
l
X
Alm Ylm (θ, φ),
(2.255)
l=0 m=−l
donde los coeficientes está determinados por
Z 2π
Z π
∗
(θ, φ) f (θ, φ).
Alm =
dφ
sin θ dθ Ylm
0
(2.256)
0
La solución general Ec. (2.239) de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas
puede escribirse en términos de potencias de r y de los armónicos esféricos como
ϕ(r, θ, φ) =
∞ X
l
h
X
i
Alm rl + Blm r−(l+1) Ylm (θ, φ).
(2.257)
l=0 m=−l
Los coeficientes Alm y Blm se determinan mediante las condiciones de frontera del
problema particular. Note que para m = 0, la solución general Ec. (2.257) corresponde
a la solución con simetría azimutal, Ec. (2.242).
Los armónicos esféricos Ylm (θ, φ) satisfacen la ecuación para las variables angulares,
1 ∂
∂Ylm
1 ∂ 2 Ylm
sin θ
+ l (l + 1) Ylm +
= 0.
(2.258)
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂φ2
2.9. ARMÓNICOS ESFÉRICOS.
109
Ejemplos.
1. Expansión del potencial de una carga puntual en armónicos esféricos.
Vimos que el potencial producido en r por una carga puntual q = 1 ubicada en
r0 se puede expresar en la forma
∞ 1
1 X r< l
Pl (cos γ).
(2.259)
=
|r − r0 |
r>
r>
l=0
Empleando el teorema de la adición para los esféricos armónicos, podemos escribir
∞ X
l
l
X
r<
1
1
=
4π
Y ∗ (θ0 , φ0 ) Ylm (θ, φ).
l+1 lm
|r − r0 |
(2l + 1) r>
l=0 m=−l
(2.260)
Supongamos r> = r, y r< = r0 . Entonces, comparando la expansión anterior
con la solución general Ec. (2.257), obtenemos
Alm = 0
Blm =
(2.261)
4πr0l
(2l + 1)
∗
(θ0 , φ0 ),
Ylm
(2.262)
de modo que el potencial Ec. (2.257) se hace cero en el infinito.
2. Expansión multipolar del potencial ϕ(r) de una distribución de carga ρ(r0 ),
para r > r0 , en serie de armónicos esféricos.
Recordemos la siguiente expansión para r = (r, θ, φ) y r0 = (r0 , θ0 , φ0 ),
∞ X
l
l
X
r<
1
1
=
4π
Y ∗ (θ0 , φ0 ) Ylm (θ, φ).
l+1 lm
|r − r0 |
(2l + 1) r>
l=0 m=−l
(2.263)
En este caso, r< = r0 , r> = r. Entonces,
"∞ l
#
Z
Z
0l
X X
ρ(r0 ) 3 0
1
r
ϕ(r) =
d r = 4π ρ(r0 )
Y ∗ (θ0 , φ0 ) Ylm (θ, φ) d3 r0
|r − r0 |
(2l + 1) rl+1 lm
l=0 m=−l
110
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
lo cual se puede escribir
ϕ(r) = 4π
∞ X
l
X
l=0 m=−l
= 4π
∞ X
l
X
l=0 m=−l
1
(2l + 1)
Z
∗
ρ(r0 )r0l Ylm
(θ0 , φ0 ) d3 r0
qlm Ylm (θ, φ)
(2l + 1) rl+1
Ylm (θ, φ)
rl+1
(2.264)
donde hemos denotado los momentos multipolares generalizados como
Z
∗
(θ0 , φ0 ) d3 r0 .
(2.265)
qlm = ρ(r0 ) r0l Ylm
Las cantidades qlm se pueden expresar en términos de los momentos q, p, Qij ,
etc. Por ejemplo,
Z
Z
1
1
0
∗
0 0
3 0
q00 = ρ(r )Y00 (θ , φ ) d r = √
ρ(r0 ) d3 r0 = √ q.
4π
4π
r Z
Z
3
∗
q10 = ρ(r0 ) r0 Y10
(θ0 , φ0 ) d3 r0 =
ρ(r0 ) r0 cos θ0 d3 r0
4π
r Z
r
3
3
0
0 3 0
=
ρ(r ) z d r =
pz .
4π
4π
r
Z
Z
3
0 0 ∗
0 0
3 0
q11 = ρ(r ) r Y11 (θ , φ ) d r = −
ρ(r0 ) r0 sin θ eiφ d3 r0
4π
r Z
3
= −
ρ(r0 ) (x − iy) d3 r0
4π
r
3
= −
(px − ipy ).
4π
2.10.
Expansión de la función de Green en coordenadas
esféricas.
Vimos que la solución de la ecuación de Poisson, ∇2 ϕ(r) = −4πρ, dentro de un
volumen V con condiciones de frontera tipo Dirichlet ϕ|S sobre la superficie S que
2.10. EXPANSIÓN DE LA FUNCIÓN DE GREEN EN COORDENADAS ESFÉRICAS.111
encierra a V , se puede expresar como
Z
I
3 0
∂GD 0
1
0
0
ρ r GD r, r d r −
ϕ r0
da ,
ϕ(r) =
4π S
∂n0
V
(2.266)
donde la función de Green satisface G(r, r0 )|S = 0.
Consideremos un volumen V limitado por dos esferas concéntricas que constituyen
la superficie S. Sean a el radio de la esfera interior y b el radio de la esfera exterior.
Entonces, la magnitud de r en la región de interés para la solución es tal que a ≤ r ≤ b.
Figura 2.21: Volumen V para la expansión de la función de Green en coordenadas esféricas.
Para este tipo de problemas que poseen simetría esférica, es conveniente expresar
la función de Green en coordenadas esféricas. En esta sección, mostraremos que la
función de Green GD (r, r0 ) se puede representar como una expansión en serie de
armónicos esféricos.
La función GD (r, r0 ) = G (r, r0 ) satisface
(2.267)
∇2r G r, r0 = −4πδ r − r0 ,
donde el subíndice del Laplaciano indica derivadas con respecto a las coordenadas de
r, con condición de frontera G (r, r0 )|S = 0, para r ó r0 en r = a y en r = b.
Vimos en el Cap. 1 que la función delta de Dirac δ(r − r0 ) se puede expresar en
coordenadas esféricas como
1
δ(r − r0 ) = 2 δ r − r0 δ φ − φ0 δ cos θ − cos θ0 .
(2.268)
r
Usando la relación de completitud de los armónicos esféricos,
0
δ φ − φ δ cos θ − cos θ
0
=
∞ X
l
X
l=0 m=−l
∗
θ0 , φ0 Ylm (θ, φ) ,
Ylm
(2.269)
112
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
podemos escribir
∞ X
l
X
1
∗
δ r − r0 = 2 δ r − r0
Ylm
θ0 , φ0 Ylm (θ, φ) .
r
(2.270)
l=0 m=−l
Luego,
∞ X
l
X
4π
∗
Ylm
θ0 , φ0 Ylm (θ, φ) .
∇2r G r, r0 = − 2 δ r − r0
r
(2.271)
l=0 m=−l
Supongamos una solución G (r, r0 ), como función de r (r, θ, φ), en forma de expansión en armónicos esféricos:
0
0
0
0
G r, r = G r, r , θ, θ , φ, φ =
∞ X
l
X
Alm r, r0 , θ0 , φ0 Ylm (θ, φ) .
(2.272)
l=0 m=−l
Para determinar los coeficientes Alm , debemos sustituir esta expansión en la Ec. (2.271)
y comparar ambos lados de la relación resultante.
El lado izquierdo de la Ec. (2.271) conduce a
1
∂
∂G
1
1 ∂2
∂2G
2
0
(r
G)
+
sin
θ
+
∇r G(r, r ) =
r ∂r2
r2 sin θ ∂θ
∂θ
r2 sin2 θ ∂φ2
X X Ylm (θ, φ) ∂ 2
0 0 0
=
r
A
r,
r
,
θ
,
φ
+
lm
2
r
∂r
m
l
Alm (r, r0 , θ0 , φ0 )
1 ∂
∂
1 ∂2
sin θ Ylm (θ, φ) +
Ylm (θ, φ) . (2.273)
r2
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂φ2
Recordemos que Ylm (θ, φ) satisface la ecuación angular
1 ∂
∂
1 ∂2
sin θ Ylm (θ, φ) + l (l + 1) Ylm +
Ylm (θ, φ) = 0.
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂φ2
(2.274)
Sustitución de esta relación en la Ec. (2.273) da
X Ylm (θ, φ) ∂ 2
Alm (r, r0 , θ0 , φ0 )
0 0 0
r
A
r,
r
,
θ
,
φ
l
(l
+
1)
Y
(θ,
φ)
∇2r G(r, r0 ) =
−
lm
lm
r
∂r2
r2
l,m
X 1 ∂2
l (l + 1) Alm (r, r0 , θ0 , φ0 )
0 0 0
=
r Alm r, r , θ , φ −
Ylm (θ, φ).(2.275)
r ∂r2
r2
l,m
2.10. EXPANSIÓN DE LA FUNCIÓN DE GREEN EN COORDENADAS ESFÉRICAS.113
Luego, comparando con la Ec. (2.271), debemos tener la siguiente relación entre los
coeficientes de Ylm (θ, φ),
l (l + 1) Alm (r, r0 , θ0 , φ0 )
∗ 0 0
4π
1 ∂2
0 0 0
θ ,φ .
r
A
r,
r
,
θ
,
φ
−
= − 2 δ r − r0 Ylm
lm
2
2
r ∂r
r
r
(2.276)
0
La Ec. (2.276) constituye una ecuación en derivadas parciales para Alm (r, r , θ0 , φ0 ).
Su forma sugiere buscar una solución por separación de variables, tal como
∗ 0 0
θ ,φ .
(2.277)
Alm r, r0 , θ0 , φ0 = gl r, r0 Ylm
Sustitución en la Ec. (2.276) da la siguiente ecuación para gl (r, r0 ):
l (l + 1)
1 d2
4π
r gl r, r0 −
gl r, r0 = − 2 δ r − r0 .
2
2
r dr
r
r
(2.278)
Consideremos primero la Ec. (2.278) para el caso r 6= r0 ,
(rg)00 −
l (l + 1)
g = 0.
r
(2.279)
Si hacemos la sustitución U = rg, se obtiene la ecuación
U 00 −
l (l + 1)
U = 0,
r2
(2.280)
cuya solución ya fue encontrada en la forma
U = A rl+1 + B r−l ;
(2.281)
g(r, r0 ) = A rl + B r−(l+1) .
(2.282)
por lo tanto,
La función g(r, r0 ) corresponde a la parte radial de la función de Green en la Ec. (2.272),
y por lo tanto debe satisfacer las condiciones de frontera
g(a, r0 ) = 0 , r = a
G|S = 0 ⇒
(2.283)
g(b, r0 ) = 0 , r = b.
Evaluando la función g(r, r0 ) de la Ec. (2.282) en r = a, obtenemos
A al + B a−(l+1) = 0
⇒
B = −A a2l+1 ,
(2.284)
114
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
luego,
g r, r
0
a2l+1
l
= A r − l+1 ,
r
válida para r < r0 .
(2.285)
Similarmente, en r = b obtenemos
A = −B b−(2l+1) ,
(2.286)
luego,
0
g(r, r ) = B
1
rl+1
−
rl
b2l+1
,
válida para r > r0 .
(2.287)
Puesto que la función de Green debe tener simetría ante el intercambio r ↔ r0 , la
función g(r, r0 ) se puede expresar en general como
!
!
l
2l+1
r
a
1
>
l
− l+1
g r, r0 = C r<
,
(2.288)
− 2l+1
l+1
b
r<
r>
donde r> es el mayor entre r y r0 , y r< es el menor entre r y r0 .
Para determinar la constante C, consideramos la Ec. (2.278) para g (r, r0 ), en el
caso r → r0 tal que δ(r − r0 ) 6= 0,
l (l + 1)
d2
4π
rg r, r0 −
g r, r0 = − δ r − r0 .
2
dr
r
r
(2.289)
Integramos todos los términos de esta ecuación desde r = r0 − ε hasta r = r0 + ε,
Z r=r0 +ε 2
Z r=r0 +ε
d
g (r, r0 )
0
rg
r,
r
dr
−
l
(l
+
1)
dr
2
r
r=r0 −ε dr
r=r0 −ε
Z r=r0 +ε
δ (r − r0 )
dr,
(2.290)
= −4π
r
r=r0 −ε
y tomamos el límite ε → 0:
d 0 rg r, r −
dr
r=r0 +ε
d 0 rg r, r dr
r=r0 −ε
4π
= − 0.
r
Existe una discontinuidad en la derivada de rg (r, r0 ) en r = r0 .
(2.291)
2.10. EXPANSIÓN DE LA FUNCIÓN DE GREEN EN COORDENADAS ESFÉRICAS.115
Figura 2.22: Discontinuidad en la derivada de la parte radial de la función de Green en r = r0 .
Debemos evaluar las derivadas (rg)0 r=r0 +ε y (rg)0 r=r0 −ε , y tomar el límite ε → 0:
i) Para r = r0 + ε, tenemos r > r0 , y por lo tanto, r< = r0 , r> = r. Luego,
utilizando la Ec. (2.288),
rg r, r
0
a2l+1
= C r − l+1
r0
0l
1
rl+1
−
rl b2l+1
.
(2.292)
Evaluamos la derivada en r = r0 + ε, y hacemos ε → 0,
a2l+1
d
l
(l + 1) rl 0l
(rg)
= −C r − l+1
+
0
r=r 0 +ε
dr
rl+1
b2l+1
r0
r=r
ε→0
"
#
l
2l+1
0
l
a
(l + 1) r
l
+
= −C r0 − l+1
l+1
b2l+1
r0
r0
"
#
a2l+1
1
r0 2l+1
0l
l + (l + 1) 2l+1
= −Cr 1 − 2l+1
b
r0
r0 l+1
"
0 2l+1 #
a 2l+1 r
C
l + (l + 1)
. (2.293)
= − 0 1− 0
r
r
b
ii) Para r = r0 − ε, tenemos r < r0 , y por lo tanto r< = r, r> = r0 . Luego,
utilizando la Ec. (2.288),
!
a2l+1
1
r0 l
0
l+1
rg r, r = C r
−
−
.
(2.294)
rl
r0 l+1 b2l+1
116
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
Evaluamos la derivada en r = r0 − ε, y hacemos ε → 0,
d
(rg)
r=r 0 +ε
dr
ε→0
!
1
r0 l l a2l+1
l
−
= C (l + 1) r + l+1
r
r0 l+1 b2l+1 r=r0
!
r0 l
l a2l+1
r0 2l+1
= C l+1 (l + 1) + 2l+1
1 − 2l+1
b
r0
r0
"
0 2l+1 #
a 2l+1 r
C
1−
(l + 1) + l 0
. (2.295)
=
0
r
r
b
Sustituyendo en la Ec. (2.291), tenemos
−
−
"
0 2l+1 #
a 2l+1 C
r
1− 0
l + (l + 1)
0
r
r
b
"
#
a 2l+1
r0 2l+1
C
(l + 1) + l 0
1−
r0
r
b
= −
4π
,
r0
de donde podemos obtener C,
"
0 2l+1
a 2l+1
a 2l+1 r0 2l+1
r
−l 0
C l + (l + 1)
− (l + 1) 0
b
r
r
b
#
0 2l+1
a 2l+1
a 2l+1 r0 2l+1
r
+ (l + 1) − (l + 1)
+l 0
−l 0
=
b
r
r
b
a 2l+1 a 2l+1
+ (l + 1) − l
=
C l − (l + 1)
b
b
a 2l+1
C (2l + 1) 1 −
=
b
4π
⇒C=
a 2l+1 .
(2l + 1) 1 −
b
(2.296)
4π
,
r0
4π
,
r0
4π
r0
(2.297)
2.10. EXPANSIÓN DE LA FUNCIÓN DE GREEN EN COORDENADAS ESFÉRICAS.117
Luego, la función g(r, r0 ) en la Ec. (2.288) es
g(r, r0 ) =
4π
a 2l+1 (2l + 1) 1 −
b
a2l+1
l
r<
− l+1
r<
!
1
l+1
r>
−
l
r>
!
b2l+1
.
(2.298)
Entonces, la función de Green en la Ec. (2.272)
G(r, r0 ) =
∞ X
l
X
Alm r, r0 , θ, θ0 , φ, φ0 Ylm (θ, φ)
l=0 m=−l
=
∞ X
l
X
∗ 0 0
gl r, r0 Ylm
θ , φ Ylm (θ, φ) ,
(2.299)
l=0 m=−l
se puede expresar, sustituyendo g(r, r0 ), como
!
!
l
2l+1
r
1
a
>
l −
− 2l+1
r<
∞ X
l
l+1
l+1
b
X
r
r
<
>
∗
G(r, r0 ) = 4π
(θ0 , φ0 ) Ylm (θ, φ) . (2.300)
Ylm
a 2l+1 l=0 m=−l
(2l + 1) 1 −
b
La Ec. (2.300) constituye la expansión de la función de Green G(r, r0 ) en coordenadas
esféricas, donde r> es el mayor entre r y r0 , y r< es el menor entre r y r0 .
Algunos casos particulares de interés son
i) Potencial de una carga puntual en el espacio libre, que corresponde al caso
a → 0, b → ∞,
0
G(r, r ) = 4π
∞ X
l
X
l
r<
1
1
∗
0 0
θ
,
φ
Ylm (θ, φ) =
Y
. (2.301)
lm
l+1
(2l + 1) r>
|r − r0 |
l=0 m=−l
ii) Problema interior de la esfera, que corresponde a a → 0, b finito, igual al radio
de la esfera.
iii) Problema exterior de la esfera, que corresponde a a finito, igual al radio de la
esfera, y b → ∞.
118
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
2.11.
Aplicaciones de la expansión esférica de la función
de Green.
La solución general de la ecuación de Poisson con condiciones de frontera tipo
Dirichlet es
Z
I
1
∂G 0
ρ(r0 )G(r, r0 ) d3 r0 −
ϕ(r0 )
ϕ(r) =
da .
(2.302)
4π
∂n
V
S
En problemas de potencial con simetría esférica, podemos emplear la función de Green
en términos de su expansión esférica, Ec. (2.300).
Ejemplos.
1. Calcular el potencial dentro de esfera radio b, sin carga en su interior, sujeta a
un potencial V (θ, φ) en su superficie.
Figura 2.23: Esfera sujeta a potencial V (θ, φ) en su superficie.
Para este problema, tomamos G(r, r0 ) en la Ec. (2.300) con a = 0,
!
∞ X
l
∗ (θ 0 , φ0 ) Y (θ, φ)
l
X
Ylm
r>
1
lm
0
l
− 2l+1
G(r, r ) = 4π
r<
l+1
(2l + 1)
b
r>
(2.303)
l=0 m=−l
donde r> es el mayor entre r y r0 ; r< es el menor entre r y r0 , y la sustituimos
en la solución para ϕ en la Ec. (2.302). Puesto que no hay cargas dentro del
volumen V correspondiente a la esfera de radio b, tenemos ρ = 0 en V y, por lo
tanto,
I
∂G 0
1
ϕ(r0 )
da
(2.304)
ϕ(r) = −
4π S
∂n
2.11. APLICACIONES DE LA EXPANSIÓN ESFÉRICA DE LA FUNCIÓN DE GREEN.119
donde ϕ|S = V (θ, φ).
Calculamos
∂G ∂G =
.
∂n0 S
∂r0 r0 =b
(2.305)
Cuando r0 = b, tenemos r0 > r; luego r< = r y r> = r0 . Entonces, la forma de
la función de Green que se debe tomar en la frontera r0 = b es
!
∞ X
l
∗ (θ 0 , φ0 ) Y (θ, φ)
0l
X
Y
r
1
lm
lm
−
G(r, r0 ) = 4π
rl
.
(2.306)
(2l + 1)
r0 l+1 b2l+1
l=0 m=−l
Luego,
∞ X
l
∗ (θ 0 , φ0 ) Y
X
Ylm
l r0l−1
∂G
lm (θ, φ) l l + 1
+
=
−4π
r
.
∂r0
(2l + 1)
b2l+1
r0 l+2
(2.307)
l=0 m=−l
En la superficie de la esfera,
∞ X
l
∗ (θ 0 , φ0 ) Y
X
Ylm
∂G lbl−1
lm (θ, φ) l l + 1
r
+ 2l+1
= −4π
∂r0 r0 =b
(2l + 1)
bl+2
b
l=0 m=−l
∞
l
r l
4π X X ∗ 0 0 Ylm θ , φ Ylm (θ, φ)
= − 2
.
b
b
(2.308)
l=0 m=−l
Sustituyendo en la Ec. (2.304), con diferencial de área da0 = b2 dφ0 sin θ0 dθ0 ,
obtenemos
"∞ l
#
I
r l
X X
1
0 0
∗
0 0
ϕ(r) = 2
V (θ , φ )
Ylm (θ , φ ) Ylm (θ, φ)
b2 dφ0 sin θ0 dθ0
b S
b
l=0 m=−l
=
∞ X
l
X
Alm
l=0 m=−l
donde
r l
b
Z
Alm =
Ylm (θ, φ),
0
0
V (θ , φ
∗
)Ylm
(θ0 , φ0 ) dφ0 sin θ0 dθ0
(2.309)
.
(2.310)
120
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
Note que el potencial Ec. (2.309) tiene la misma forma que la solución general
de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas, Ec. (2.257), para el interior
de una esfera sin cargas.
2. Calcular ϕ dentro de una esfera conductora de radio b, conectada a tierra, y
en cuyo centro se encuentra un aro de radio a < b que posee una carga q
uniformemente distribuida.
Figura 2.24: Esfera conectada a tierra, con un aro cargado en su interior.
Debemos expresar la densidad de carga del aro en términos de funciones delta
de Dirac. Esto es, ρ(r0 ) ∝ qδ(r − r0 ). Recordemos que la función delta de Dirac,
en coordenadas esféricas, corresponde a (Cap. 1, Ec. (1.57))
1
(2.311)
δ(r − r0 ) = 2 δ r − r0 δ φ − φ0 δ cos θ − cos θ0 .
r
La carga está localizada en r = a, θ = π/2, ∀ φ. Luego,
q
ρ(r0 ) = k 2 q δ r0 − a δ (cos θ) ,
(2.312)
a
donde k es una constante que se determina mediante la condición
Z
ρ r0 d3 r0 = q .
(2.313)
Entonces,
Z
Z
q
2
0 3 0
ρ(r )d r = k 2 δ(r0 − a)δ(cos θ)r0 dr dφ d(cos θ)
a
Z b
Z π
Z 2π
q
0
02
= k 2
dφ
δ(r − a)r dr
δ(cos θ)d(cos θ)
a 0
0
0
1
= kq 2π = q ⇒ k =
.
(2.314)
2π
2.11. APLICACIONES DE LA EXPANSIÓN ESFÉRICA DE LA FUNCIÓN DE GREEN.121
Luego,
ρ(r0 ) =
q
δ r0 − a δ (cos θ) .
2
2πa
(2.315)
La solución para el potencial dentro del volumen V de la esfera es
Z
I
1
∂G 0
0
0
3 0
ρ(r )G(r, r ) d r −
ϕ(r) =
ϕ(r0 )
da ,
4π S
∂n
V
(2.316)
con las siguientes condiciones de frontera
a) ϕ|S = 0 sobre la la superficie S de la esfera. Luego, la integral sobre la
superficie S es cero, y el potencial dentro de la esfera es
Z
ϕ(r) =
ρ(r0 ) G(r, r0 )d3 r0 .
(2.317)
V
b) a = 0 en la función de Green G(r, r0 ) expandida en coordenadas esféricas.
c) Simetría azimutal: ϕ(r) independiente de φ; esto implica que m = 0 en la
expansión de G(r, r0 ) en coordenadas esféricas.
Estas condiciones implican que la función de Green debe tener la forma
∞ X
l
X
Yl0∗ (θ0 , φ0 )Yl0 (θ, φ) l
0
G(r, r ) = 4π
r<
(2l + 1)
1
l+1
r>
l=0 m=−l
−
!
l
r>
b2l+1
.
(2.318)
donde
r
Yl0 (θ, φ) =
2l + 1
Pl (cos θ) .
4π
(2.319)
Luego,
0
G(r, r ) =
∞
X
l=0
Pl cos θ
0
l
Pl (cos θ) r<
1
l+1
r>
−
l
r>
b2l+1
!
.
(2.320)
Consideremos el caso r > r0 . Entonces r> = r, r< = r0 , y el potencial Ec. (2.317))
122
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
resulta en
ϕ(r) =
q
2πa2
"
Z
0
0
δ(r − a)δ(cos θ )
∞
X
0
Pl (cos θ )Pl (cos θ)r
0l
l=0
1
rl+1
−
rl
#
b2l+1
×
× r02 dr0 dφ0 d cos θ0
Z π
Z b
∞ Z 2π
q X
0
0
0
0
02+l 0
0
δ(cos θ )Pl (cos θ )d(cos θ ) ×
δ(r − a)r
dr
=
dφ
2πa2
0
0
0
l=0
1
rl
×
Pl (cos θ).
−
rl+1 b2l+1
Esto es,
∞
X
ϕ(r) = q
l
a Pl (0)
1
rl+1
l=0
−
rl
Pl (cos θ).
b2l+1
(2.321)
En el caso r < r0 , tenemos r< = r, r> = r0 , y
"∞
#
Z
0l
X
r
q
1
δ(r0 − a)δ(cos θ0 )
−
×
ϕ(r) =
Pl (cos θ0 )Pl (cos θ)rl
2πa2 V
r0l+1 b2l+1
l=0
02
0
0
0
× r dr dφ d(cos θ )
Z b
Z
∞ Z 2π
q X
1
r0l
0
0
02
0
0
0
0
=
dφ
δ(r − a)r
−
dr
δ(cos θ )Pl (cos θ )d(cos θ ) ×
2πa2
r0l+1 b2l+1
0
0
l=0
× rl Pl (cos θ).
Esto es,
0
ϕ(r ) = q
∞
X
l
r Pl (0)
l=0
1
al+1
−
al
b2l+1
Pl (cos θ).
(2.322)
Pl (cos θ).
(2.323)
Ambos casos se pueden expresar como
ϕ(r) = q
∞
X
l=0
l
r<
Pl (0)
1
l+1
r>
−
l
r>
b2l+1
!
2.11. APLICACIONES DE LA EXPANSIÓN ESFÉRICA DE LA FUNCIÓN DE GREEN.123
Sustituyendo
Pl (0) =
0,
l impar
(−1)l/2 (l − 1)!! ,
l!!
lpar,
(2.324)
podemos escribir
ϕ(r) = q
∞
X
l par
l/2
(1)
(l − 1)!! l
r<
l!!
1
l+1
r>
−
l
r>
b2l+1
!
Pl (cos θ),
(2.325)
donde r> es el mayor entre r y a, y r< es el menor entre r y a.
En el límite b → ∞, tenemos un aro cargado en el espacio libre, y el potencial
da
∞
l
X
(l − 1)!! r<
ϕ(r) = q
(−1)l/2
P (cos θ),
(2.326)
l+1 l
l!!
r>
lpar
el cual es el mismo resultado obtenido anteriormente en la Sec. 2.8.
124
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
Resumen
1. Potencial con condiciones de frontera tipo Dirichlet ϕ|S ,
Z
I
1
∂GD 0
0
0
3 0
ϕ (r) =
ρ (r ) GD (r, r ) d r −
da .
ϕ (r0 )
4π S
∂n0
V
2. Serie de Fourier para f (x), x ∈ [−c, c], ó x ∈ [0, 2c],
f (x) =
∞
∞
nπx nπx X
b0 X
+
+
an sin
bn cos
2
c
c
n=1
n=1
Z c
nπx 1
f (x) sin
dx
an =
c −c
c
Z
nπx 1 c
bn =
f (x) cos
dx
c −c
c
3. Solución de la ecuación de Laplace en coordenadas cartesianas, ϕ(x, y, z) = XY Z,
X
=
A cos (αx) ± B sin (αx)
Y
=
A cos (βx) ± B sin (βx)
Z
=
γ
=
A0 sinh (γz) ± B 00 cosh (γz) = Aeγz ± Be−γz
p
α2 + β 2 .
4. Solución de la ecuación de Laplace en coordenadas polares,
ϕ(r, φ) = a0 + b0 ln r +
∞
X
an rn + bn r−n [An cos(nφ) + Bn sin(nφ)] .
n=1
5. Solución de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas con simetría azimutal,
ϕ(r, θ) =
∞ h
X
i
Al rl + Bl r−(l+1) Pl (cos θ).
l=0
Los coeficientes Al y Bl se determinan mediante las condiciones de frontera del
problema.
∞
X
f (θ) =
Al Pl (cos θ)
(2l + 1)
Al =
2
Z
l=0
π
f (θ)Pl (cos θ) sin θ dθ.
0
2.11. APLICACIONES DE LA EXPANSIÓN ESFÉRICA DE LA FUNCIÓN DE GREEN.125
6. Solución general de la ecuación de Laplace en coordenadas esféricas,
∞ X
l
i
h
X
ϕ(r, θ, φ) =
Alm rl + Blm r−(l+1) Ylm (θ, φ).
l=0 m=−l
Los coeficientes Alm y Blm se determinan mediante las condiciones de frontera del
problema,
∞ X
l
X
f (θ, φ) =
Alm Ylm (θ, φ),
l=0 m=−l
Z
Alm =
2π
Z
dφ
0
π
∗
sin θ dθ Ylm
(θ, φ) f (θ, φ).
0
7. Expansión de la función de Green en armónicos esféricos,
l
r>
1
a2l+1
l
−
−
r
∞ X
l
<
l+1
l+1
X
b2l+1
r<
r>
∗
Ylm
(θ0 , φ0 ) Ylm (θ, φ) .
G(r, r0 ) = 4π
a 2l+1 l=0 m=−l
(2l + 1) 1 −
b
126
2.12.
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
Problemas.
1. Demuestre que el potencial eléctrico en cualquier punto en una región libre
de cargas es igual al promedio del potencial sobre cualquier superficie esférica
centrada en ese punto, dentro de la región considerada.
2. Si ϕ es el potencial dentro de un volumen V , debido a una densidad de carga
ρ dentro de V y a una densidad de carga superficial σ sobre una superficie
conductora que encierra a V , mientras que Ψ es el potencial debido a otras
densidades de cargas ρ0 y σ 0 en V y S, respectivamente, demuestre que
Z
Z
Z
Z
3
0
3
ρΨd r +
σΨda =
ρ ϕd r +
σ 0 ϕda.
V
S
V
S
3. Suponga que los planos xy y zy son conductores conectados a tierra. Calcule
el trabajo para traer una carga +q desde el infinito hasta un punto ubicado a
una igual distancia d perpendicular a cada uno de estos planos.
4. Un cubo conductor está definido por los seis planos x = 0, y = 0, z = 0, y
x = a, y = a, z = a. Los lados z = 0 y z = a se mantienen a un potencial
constante V , mientras que los otros lados están conectados a tierra.
a) Encontrar el potencial en todo punto dentro del cubo.
b) Determinar la carga superficial inducida en la cara z = a.
5. Un hemisferio de radio a sobresale de un plano conductor infinito conectado a
tierra. Una carga q se encuentra a una distancia b > a del plano, sobre el eje
de simetría azimutal del hemisferio.
a) Encuentre la distribución superficial de carga inducida en el conductor.
b) Calcule la fuerza sobre la carga q.
c) Calcule el trabajo necesario para traer la carga q desde el infinito hasta su
ubicación.
6. El espacio entre dos esferas conductoras concéntricas de radios R1 y R2 > R1
se encuentra lleno de un plasma con densidad constante de carga ρ. Las esferas
están a potenciales constantes V1 y V2 , respectivamente. Encuentre el potencial
en cualquier punto entre las esferas.
2.12. PROBLEMAS.
127
7. Una esfera de radio a tiene un potencial constante Vo . Encuentre la fuerza sobre
una carga q colocada a una distancia R del centro de la esfera en los casos R > a
y R < a.
8. Dos cargas +q y −q se encuentran en las posiciones (x = a, y = 0, z = a) y
(x = −a, y = 0, z = a), respectivamente. Suponga que el plano z = 0 es un
conductor conectado a tierra. Encuentre:
a) la fuerza sobre la carga +q;
b) el trabajo realizado por un agente externo para ensamblar esta configuración
de cargas;
c) la densidad superficial de carga en el punto (a, 0, 0).
9. Tres cargas puntuales q,−2q y q están localizadas sobre el eje z en z = a, z = 0
y z = −a, respectivamente. Encuentre el potencial eléctrico lejos de las cargas.
10. Un cilindro conductor sin carga, de radio a y longitud infinita, se coloca en un
campo eléctrico uniforme de magnitud E dirigido perpendicularmente al eje del
cilindro.
a) Encuentre el potencial eléctrico dentro y fuera del cilindro.
b) Calcule la densidad de carga superficial inducida en el cilindro.
11. Dos mitades longitudinales de un tubo cilíndrico hueco, de longitud infinita y
radio b, están sujetas a potenciales constantes V1 y V2 , respectivamente. Calcule
el potencial dentro del tubo.
12. Dos cargas iguales +q están separadas una distancia d. Una esfera conductora
conectada a tierra se coloca justo en la mitad de la distancia entre las cargas.
a) Calcule el radio que debe tener la esfera para que las cargas permanezcan en
equilibrio.
b) Encuentre el potencial fuera de la esfera en el caso (a).
c) Calcule la fuerza entre las cargas si la esfera, con el radio determinado en
(a), ahora se mantiene a un potencial constante V .
13. Un dipolo p se coloca a una distancia h de un plano conductor infinito conectado
a tierra, formando un ángulo α con respecto a la normal al plano.
a) Calcule la magnitud y dirección de la fuerza sobre el dipolo.
b) Calcule el trabajo requerido para llevar el dipolo al infinito.
128
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
14. Dos cargas puntuales q y −q están ubicadas sobre el eje z en z = a y z = −a,
respectivamente. Encontrar el potencial en el espacio para r < a y r > a.
15. Un condensador está formado por dos conductores planos, uno de los cuales
tiene una pequeña protuberancia hemisférica de radio a en su superficie interna,
y el cual está conectado a tierra. El conductor plano se encuentra a un potencial
tal que el campo eléctrico en el condensador, lejos del hemisferio, es uniforme
y de magnitud Eo . Calcule la densidad de carga inducida en el hemisferio.
16. Un disco de radio a posee una carga q uniformemente distribuida en su superficie. Determine el potencial eléctrico para distancias mayores que a.
17. El potencial de una esfera de radio a es V = Vo cos θ, donde θ es el ángulo con
respecto al eje z en coordenas esféricas. Encuentre el potencial en todo punto
del espacio, dentro y fuera de la esfera.
18. Un disco muy delgado de radio a posee una densidad de carga superficial σ =
k(a2 − R2 )−1/2 , donde k es una constante y R es la distancia desde el centro
del disco. Encuentre el potencial eléctrico para distancias mayores que a.
19. Una varilla infinita con densidad lineal de carga λ uniforme se coloca paralela
y a una distancia R del eje de un cilindro conductor infinito de radio b < R,
conectado a tierra.
a) Calcule el potencial en todo punto del espacio.
b) Encuentre la densidad superficial de carga inducida sobre el cilindro.
c) La fuerza por unidad de longitud ejercida sobre la varilla.
20. Una esfera de radio a tiene una densidad de carga superficial σ(θ) = σo cos θ,
con σo constante. Calcule el campo eléctrico dentro y fuera de la esfera.
21. Una partícula con carga q y velocidad inicial muy pequeña v = v0 x̂, (v0 c),
pasa por el entorno de una esfera conductora fija de radio a, centrada en el
origen de coordenadas, con parámetro de impacto b a. Sea R(t) la posición
de la partícula en un instante t.
a) Encuentre el potencial en todo punto fuera de la esfera como función de
R(t).
b) Calcule la fuerza sobre la partícula en términos de R(t). Indique en cuál
dirección se desvía la partícula.
2.12. PROBLEMAS.
129
22. Una varilla de longitud L posee una densidad lineal uniforme de carga λ. Calcule
el potencial para distancias mayores que L.
23. Un dipolo eléctrico p se coloca a una distancia b del centro de una esfera conductora de radio a < b conectada a tierra. Encuentre el potencial eléctrico para
distancias r b.
24. Dos cargas puntuales q y −q están localizadas sobre el eje z en z = a y z = −a,
respectivamente. Las cargas están dentro de un cascarón esférico conductor
conectado a tierra de radio b con centro en el origen de coordenadas. Encontrar
el potencial dentro de la esfera.
130
CAPÍTULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROSTÁTICA
Capítulo 3
Campos eléctricos en la materia
3.1.
Polarizabilidad molecular.
En general, los átomos poseen distribuciones esféricas de carga electrónica, por
lo que no exhiben momentos dipolares apreciables. Sin embargo, muchas moléculas
tienen momentos dipolares intrínsecos debido a la distribución de los electrones en
los enlaces atómicos, o pueden adquirirlo en presencia de un campo eléctrico externo.
Como consecuencia, las propiedades eléctricas son afectadas en materiales compuestos
por estas moléculas, debido a que, en adición a los potenciales producidos por las
cargas netas presentes en el medio, cada dipolo p contribuye con un potencial
ϕ(r) =
p · r̂
.
r2
(3.1)
La intensidad de un momento dipolar se mide en unidades denominadas debyes; 1
debye= 10−18 [Coul]×[cm]. Algunos ejemplos de moléculas intrínsicamente dipolares
son H Cl (1,03 debye), H2 O (1,86 debye), N H3 (1,47 debye).
Figura 3.1: Algunas moléculas dipolares.
131
132
CAPÍTULO 3. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA
Un momento dipolar también puede ser inducido en un átomo o molécula con
carga total nula en presencia de un campo eléctrico externo. Se observa que el campo
externo produce una separaciòn o redistribución de las cargas, tal que el átomo o
molécula adquiere un momento inducido pind que es proporcional al campo externo
aplicado Eext , esto es,
pind = γ Eext ,
(3.2)
donde la constante de proporcionalidad γ se denomina polarizabilidad y depende de
propiedades físicas o geométricas del objeto.
Ejemplos.
1. Como un ejemplo simple de un elemento polarizable, consideremos el problema
de una esfera conductora aislada de radio a, sin carga neta, sujeta a un campo
externo uniforme Eext = Eẑ.
Figura 3.2: Esfera conductora en un campo eléctrico externo.
Recordemos que el potencial resultante fuera de la esfera es
Ea3
cos θ.
(3.3)
r2
El primer término es el potencial asociado al campo externo, ϕext = Ez, mientras que el segundo término corresponde al potencial producido por la carga
superficial inducida por el campo externo sobre la esfera,
ϕ(r, θ) = −Er cos θ +
Ea3
Ea3
pind · r̂
cos
θ
=
ẑ · r̂ =
,
r2
r2
r2
el cual describe el potencial de un dipolo inducido
ϕind =
pind = E a3 ẑ = γ Eext ,
(3.4)
(3.5)
3.1. POLARIZABILIDAD MOLECULAR.
133
donde la polarizabilidad de la esfera conductora está dada por γ = a3 .
Este ejemplo sirve para ilustrar el comportamiento de un átomo neutro en un
campo externo. El resultado permite estimar la polarizabilidad típica de un
átomo como γ ∼ (radio atómico)3 ∼ (10−8 cm)3 = 10−24 cm3 .
2. Modelo simple de polarizabilidad de un átomo o molécula.
Figura 3.3: Momento dipolar inducido en un átomo por un campo eléctrico externo.
Consideremos un átomo con una distribución electrónica, sujeto a un campo
externo Eext . Supongamos que la interacción núcleo-electrón se puede describir
como una fuerza restauradora de constante mω 2 , es decir, F = −mω 2 r, donde m
es la masa del electrón, ω es la frecuencia típica átómica y r es el desplazamiento
de la nube electrónica desde su posición de equilibrio. La fuerza sobre el electrón
debida al campo es Fext = −eEext . Entonces, en el equilibrio de fuerzas debemos
tener
e Eext
− e Eext − mω 2 r = 0 ⇒ r = −
.
(3.6)
mω 2
El momento dipolar inducido es
pind = −er =
e2
Eext = γ Eext
mω 2
(3.7)
y la polarizabilidad del átomo es
γ=
e2
≈ 6 × 10−24 cm3 ,
mω 2
(3.8)
donde hemos empleado e = 1,6 × 10−19 Coul (carga del electrón); m = 10−27
gr; ω = 2πc/λ; λ = 4000 Å (visible).
134
CAPÍTULO 3. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA
Los medios materiales pueden contener muchos momentos dipolares, tanto permanentes como inducidos por campos externos. En general, ambos tipos de dipolos
tienden a alinearse con un campo externo aplicado. El momento dipolar promedio
por átomo o molécula es proporcional al campo externo,
hpi = γ Eext ,
(3.9)
donde γ es la polarizabilidad molecular característica.
La polarización P de un medio se define como el momento dipolar por unidad de
volumen. Si n es el número de moléculas por unidad de volumen, entonces P = n hpi.
En un medio isotrópico, cuyas propiedades son iguales en todas las direcciones, se
observa experimentalmente que P es proporcional al campo externo aplicado,
P = χe Eext ,
(3.10)
donde la constante de proporcionalidad χe se llama susceptibilidad eléctrica del medio.
Note que χe = nγ.
Un dieléctrico es un medio material no conductor que puede ser polarizado mediante un campo eléctrico externo. Cuando un dieléctrico es colocado en un campo
eléctrico, las cargas no fluyen libremente como en un conductor, sino que se separan
ligeramente desde sus posiciones de equilibrio promedio, causando polarización en el
medio. Como resultado, la polarización afecta el campo eléctrico neto en el medio.
3.2.
Modelos estadísticos de polarizabilidad molecular.
En un medio material aislado pueden existir muchos dipolos permanentes a nivel
molecular. El momento dipolar promedio por molécula en el material es cero, puesto
que los dipolos permanentes a temperaturas finitas están orientados al azar.
Sin embargo, si el material está sujeto a un campo eléctrico externo, los dipolos
moleculares permanentes pper tienden a alinearse con el campo; y éste a su vez puede
inducir momentos dipolares adicionales pind en otras moléculas presentes. Luego, el
momento dipolar promedio resultante hpi en un medio sometido a un campo externo
Eext proviene tanto de los momentos dipolares permanentes como de los momentos
inducidos, lo cual puede dar lugar a un momento dipolar neto distinto de cero en el
medio.
Calculemos cada una de estas contribuciones al momento dipolar promedio de un
material a temperatura T , basados en la Física Estadística.
3.2. MODELOS ESTADÍSTICOS DE POLARIZABILIDAD MOLECULAR.
135
i) Dipolos permanentes en presencia de un campo externo.
Consideremos que el medio es homogéneo, es decir que sus dipolos poseen igual
magnitud p0 . A temperatura T , estos dipolos están orientados al azar.
Supongamos el campo externo uniforme Eext = Eẑ. Entonces, la energía de
interacción de un dipolo con el campo es U = −p0 · Eext = p0 E cos θ. Puesto
que la orientación de los dipolos permanentes en el medio es aleatoria debido a
la agitación térmica, existe una distribución de ángulos θ que se debe tomar en
cuenta para calcular el momento dipolar promedio hpiper al aplicar un campo
Eext a una temperatura T .
En Mecánica Estadística, la distribución de probabilidad de partículas en el
espacio de fase (q̃, p̃) de un sistema a una temperatura T , donde q̃ representa el
conjunto de las coordenadas y p̃ el conjunto de los correspondientes momentos
conjugados del sistema, es una función de la forma Maxwell-Boltzmann
f (H) = e−H/kB T ,
(3.11)
donde H es el Hamiltoniano del sistema y kB = 1,4 × 10−16 erg/o K es la
constante de Boltzmann.
El Hamiltoniano o la energía de una molécula con dipolo p0 en el material
sujeto al campo externo es
H = H0 − p0 E cos θ,
(3.12)
donde H0 sólo depende de coordenadas internas de la molécula. Entonces, utilizando la distribución de probabilidad de Maxwell-Boltzmann y puesto que
las variables angulares son continuas, podemos calcular el promedio estadístico
hpiper en el espacio de fase, correspondiente al momento dipolar permanente
promedio por molécula en el medio,
R 3 R 3
d p̃ d r p exp − kBHT
,
hpiper = R
(3.13)
R
d3 p̃ d3 r exp − kBHT
donde d3 q̃ ≡ d3 r = r2 dr dφ sin θ dθ es el elemento de volumen de las coordenadas q̃, y d3 p̃ es el elemento de volumen de los momentos p̃ en el espacio de fase.
136
CAPÍTULO 3. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA
El factor exponencial se puede expresar como
H0
p0 E cos θ
H
= exp −
exp
.
exp −
kB T
kB T
kB T
(3.14)
Las componentes de hpiper están definidas como
hpx iper = p0 sin θ cos φ
(3.15)
hpy iper = p0 sin θ sin φ
(3.16)
hpz iper = p0 cos θ.
(3.17)
Calculamos
hpx iper =
=
R
R
0 θ
H
p0 exp
d3
p̃ d3 r sin θ cos φ exp p0 kEBcos
−kB T T
R
R
p
E
cos
θ
H
3
0
0
exp
d p̃ d3 r exp
−kB T kB T
0
:R π
R 2
R 2π θ
cos φ dφ 0 sin2 θ exp p0 kEBcos
dθ
p 0 r dr 0
T
R
R 2
R
2π
π
θ
r dr 0 dφ 0 sin θ exp p0 kEBcos
dθ
T
= 0.
(3.18)
R 2π
Similarmente, hpy iper contiene un factor 0 sin φ dφ = 0 en su numerador, por
lo que hpy iper = 0. Para hpz iper obtenemos
R 2
R 2π R π
θ
dφ 0 cos θ sin θ exp p0 kEBcos
r dr 0
p 0 dθ
T
hpz iper =
.
(3.19)
R
R
R 2
π
2π θ
dφ 0 sin θ exp p0 kE cos
r
dr
dθ
T
0
B
Hacemos el cambio de variable x = cos θ, y obtenemos
R1
p0 E
x
x
exp
dx
kB T
−1
hpz iper = p0 R
.
1
p0 E
−1 exp kB T x dx
(3.20)
Recordemos la expansión de la función exponencial,
ex =
∞
X
xn
n=0
n!
(3.21)
3.2. MODELOS ESTADÍSTICOS DE POLARIZABILIDAD MOLECULAR.
Para la temperatura ambiente, T = 300K◦ , tenemos el factor
podemos hacer la expansión
p0 E
p0 E
x '1+
x + ···
exp
kB T
kB T
137
p0 E
1. Luego,
kB T
(3.22)
despreciando términos de orden superior, que son muy pequeños. Entonces,
podemos escribir
R1
p0 E
−1 x 1 + k T x dx
B
hpz iper ' p0
R1
p0 E
−1 1 + k T x dx
B
1
2
3
1 p0 E x =
2 kB T 3 −1
=
1 p0 2 E
.
3 kB T
(3.23)
Luego,
1 p0 2 E
1 p0 2
ẑ =
Eext .
(3.24)
3 kB T
3 kB T
Esta expresión no es válida para T → 0, puesto que en ese límite no se cumple
p0 E
la condición
1.
kB T
hpiper = hpz iper ẑ =
ii) Medio sin dipolos permanentes sujeto a un campo externo.
En este caso, el campo externo Eext = Eẑ induce momentos dipolares pind = er
en las partículas presentes en el medio, con r variable, de modo que hpiind 6= 0.
El Hamiltoniano de una molécula en un campo externo Eext , correspondiente
al modelo simple de polarizabilidad molecular, es
H=
p̃2
1
+ mω 2 r2 + U,
2m 2
(3.25)
donde U = −pind · Eext = −er · Eext = −E r cos θ. Luego,
H=
p̃2
1
+ mω 2 r2 − eEz.
2m 2
(3.26)
138
CAPÍTULO 3. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA
El promedio estadístico hpiind corresponde a
R
d3 p̃ d3 r pind exp − kBHT
R
R
d3 p̃ d3 r exp − kBHT
R
R
e d3 p̃ d3 r r exp − kBHT
.
R
R
d3 p̃ d3 r exp − kBHT
R
hpiind =
=
(3.27)
(3.28)
Calculemos la componente
hpz iind
R
R
e d3 p̃ d3 r z exp − kBHT
.
= R
R
d3 p̃ d3 r exp − kBHT
(3.29)
Hagamos el siguiente cambio de variables
eE
ẑ
mω 2
eE
⇒ r = r0 +
ẑ
mω 2
eE 2
eE 0
2
02
z +
,
⇒r = r +2
mω 2
mω 2
r0 = r −
(3.30)
(3.31)
(3.32)
donde z 0 = r0 · ẑ. En las nuevas variables, el Hamiltoniano Ec. (3.26) se puede
expresar como
"
#
p̃2
1
2eE 0
eE 2
eE
2
02
0
H =
+ mω r +
z +
− eE z +
2m 2
mω 2
mω 2
mω 2
=
1
1 e2 E 2
p̃2
+ mω 2 r02 −
.
2m 2
2 mω 2
Escribimos la Ec. (3.29) en las nuevas variables,
h
2
i
R
R
p̃
1
eE
1
2 r 02
e d3 p̃ d3 r z 0 + mω
exp
−
+
mω
2
kB T 2m
2
h
2
i
hpz iind =
,
R
R
p̃
d3 p̃ d3 r0 exp − kB1T 2m
+ 12 mω 2 r02
(3.33)
(3.34)
3.2. MODELOS ESTADÍSTICOS DE POLARIZABILIDAD MOLECULAR.
139
h
2 2 i
E
donde el factor exp kB1T emω
se simplifica en el denominador y el nume2
rador de la Ec. (3.34). Entonces,
i R
h
i
h
R 3
1
p̃2
3 r 0 z 0 exp − mω 2 r02
d
d
p̃
exp
−
2
kb T 2m
2kB T
e E
(3.35)
hpz iind =
+ e R
i R
h
i .
h
2
mω 2
1 p̃
3 r 0 exp − mω 2 r02
d
d3
p̃ exp
−
kb T 2m
2kB T
Si expresamos
resulta en
Z
z0
=
r0 cos θ0 ,
la integral en el numerador del segundo término
Z 2π
Z π
mω 2 r02
0
0
r exp −
dr
dφ
cos θ sin θ dθ = 0.
(3.36)
kB T
0
0
R1
Rπ
puesto que, haciendo x = cos θ, tenemos 0 cos θ sin θ dθ = −1 x dx = 0.
03
Luego,
e2 E
.
(3.37)
mω 2
Se puede demostrar que, al igual que el caso de un medio con dipolos permanentes, las componentes hpx iind y hpy iind se anulan. Entonces,
hpz iind =
hpiind = hpz i ẑ =
e2
e2 E
ẑ
=
Eext .
mω 2
mω 2
(3.38)
En general, en un medio sujeto a un campo eléctrico externo Eext coexisten dipolos
permanentes e inducidos. Por lo tanto, el momento dipolar promedio por molécula
tendrá contribuciones de ambas fuentes, es decir,
hpi = hpiind + hpiper
e2
p0 2
E
+
Eext
ext
mω 2
3 kB T
2
e
p0 2
=
+
Eext .
mω 2 3 kB T
=
(3.39)
Comparando con la definición hpi = γEext , vemos que la polarizabilidad molecular a
temperatura T es
e2
p0 2
γ=
+
.
(3.40)
mω 2 3 kB T
140
3.3.
CAPÍTULO 3. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA
Electrostática en medios dieléctricos.
Consideremos un material dieléctrico en el cual existe una densidad de carga libre
ρlibre (r0 ) y una polarización P(r0 ). El potencial producido en la posición r (dentro o
fuera del dieléctrico) por un volumen ∆V ubicado en r0 se debe a las contribuciones
de la carga libre y del momento dipolar contenido en ∆V ,
∆ϕ(r) =
ρlibre (r0 )∆V
P(r0 )∆V · (r − r0 )
+
.
0
|r − r |
|r − r0 |3
(3.41)
Figura 3.4: Contribuciones al potencial en un medio dieléctrico.
El potencial total en r se obtiene integrando sobre todo el volumen donde existan
carga y polarización,
Z
Z
P(r0 ) · (r − r0 ) 3 0
ρlibre (r0 ) 3 0
d
r
+
d r.
(3.42)
ϕ(r) =
|r − r0 |
|r − r0 |3
Para evaluar el segundo término en la Ec. (3.42), consideremos el siguiente gradiente
X
1
∂
1
0
∇
=
x̂i .
(3.43)
|r − r0 |
∂x0i |r − r0 |
i
Calculamos las componentes la Ec. (3.43),
1
∂
xi − x0i
=
.
∂x0i |r − r0 |
|r − r0 |3
Luego,
∇
0
1
|r − r0 |
=
r − r0
.
|r − r0 |3
(3.44)
(3.45)
3.3. ELECTROSTÁTICA EN MEDIOS DIELÉCTRICOS.
Entonces, podemos expresar el potencial en la Ec. (3.42) como
Z
Z
1
ρlibre (r0 ) 3 0
0
0
d3 r0 .
ϕ(r) =
d
r
+
P(r
)
·
∇
|r − r0 |
|r − r0 |
141
(3.46)
Para evaluar la segunda integral en la Ec. (3.46), usamos la identidad vectorial
a · ∇ψ = ∇ · (ψa) − ψ∇ · a ,
que permite escribir esa integral como
Z
Z
Z
P(r0 )
1
∇0 · P(r0 ) 3 0
0
0
0
3 0
3 0
·
∇
r
=
r
−
P(r ) · ∇
d
d
d r.
|r − r0 |
|r − r0 |
|r − r0 |
Usamos el teorema de la divergencia para evaluar
Z
I
P(r0 )
P(r0 )
0
3 0
∇ ·
d
r
=
· n̂ da0 .
0
|r − r0 |
S |r − r |
(3.47)
(3.48)
(3.49)
Figura 3.5: Superficie que justo encierra al medio dieléctrico.
Si tomamos la superficie S tal que encierre a todo el material dieléctrico y justo
por encima de éste, tenemos P = 0 sobre S y, por lo tanto, esta integral se anula.
Entonces, nos queda
Z
Z
∇0 · P(r0 ) 3 0
ρlibre (r0 ) 3 0
d
r
−
d r
ϕ(r) =
|r − r0 |
|r − r0 |
Z
ρef (r0 ) 3 0
=
d r ,
(3.50)
|r − r0 |
donde hemos definido la densidad efectiva o equivalente de carga en el medio,
ρef ≡ ρlibre − ∇ · P.
(3.51)
142
CAPÍTULO 3. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA
La Ec. (3.50) implica que el medio dieléctrico contribuye al potencial de la misma
forma que lo haría una densidad de carga asociada a la polarización, dada por
ρpol = −∇ · P.
(3.52)
La existencia del potencial en la Ec. (3.50) implica que se puede definir el campo
eléctrico
E = −∇ϕ ,
(3.53)
el cual debe satisfacer las ecuaciones de la Electrostática en el medio
∇ × E = 0,
∇ · E = 4πρef .
(3.54)
(3.55)
Se define el vector de desplazamiento eléctrico como
D = E + 4πP.
(3.56)
En medio isotrópico, P = χe E, por lo que podemos escribir
D = (1 + 4πχe )E = E ,
(3.57)
donde se ha definido la permitividad eléctrica o la constante dieléctrica del medio
como
≡ 1 + 4πχe .
(3.58)
Note que > 1 en un medio material. El vacío corresponde a = 1, mientras que un
conductor perfecto posee → ∞. Un conductor puede considerarse como un medio
altamente polarizable, hasta el punto en que las cargas pueden separarse y desplazarse
hasta su superficie.
El desplazamiento eléctrico satisface
∇ · D = ∇ · E + 4π∇ · P
= 4πρef + 4π∇ · P
= 4π(ρlibre − ∇ · P) + 4π∇ · P
= 4πρlibre .
(3.59)
3.3. ELECTROSTÁTICA EN MEDIOS DIELÉCTRICOS.
143
Las ecuaciones de la Electrostática en un medio dieléctrico se pueden expresar en
términos de E y D como
∇×E = 0
∇ · D = 4πρlibre .
(3.60)
(3.61)
Note que D está relacionado con ρlibre , mientras que E está asociado con ρef .
Consideremos las condiciones de frontera en una interfase entre dos medios dieléctricos, caracterizados por constantes 1 y 2 , respectivamente. Denominamos n̂ al
vector normal a la interfase, dirigido de (1) hacia (2), y t̂ al vector unitario tangente
a la interfase. Sean E1 y E2 los campos eléctricos en el medio 1 y en el medio 2,
respectivamente, justo sobre la interfase.
Figura 3.6: Direcciones normal y tangencial en la frontera entre dos medios dieléctricos.
i. Condición de frontera para la componente tangencial de E.
Figura 3.7: Evaluación de la componente tangencial de E en la frontera entre dos dieléctricos.
La integral de línea del campo eléctrico E sobre un rectángulo C, de lados a y
b, que atraviesa la interfase satisface
I
Z
E · dl = (∇ × E) · ŝ da = 0.
(3.62)
C
S
donde ŝ es el vector normal a la superficie S encerrada por C.
144
CAPÍTULO 3. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA
En el límite a → 0,
Z
I
lı́m
a→0 C
b
(E2 · t̂ − E1 · t̂) dl = 0 ,
E · dl =
(3.63)
0
lo cual es válido ∀b; luego localmente tenemos
E2 · t̂ = E1 · t̂ .
(3.64)
Es decir, la componente tangencial de E es continua en la frontera entre dos
medios dieléctricos.
ii. Condición de frontera para la componente normal de D.
Figura 3.8: Evaluación de la componente normal de D en la frontera entre dos dieléctricos.
Aplicamos la ley de Gauss en un cilindro de longitud h y área A que atraviesa
la interfase,
Z
Z
∇ · D d3 r = 4π
ρlibre d3 r,
(3.65)
VI
V
D · n̂da = 4πqlibre .
(3.66)
S
Tomamos el límite h → 0,
Z
Z
(D2 · n̂ − D1 · n̂)da = 4π
σlibre da ,
A
(3.67)
A
lo cual es válido ∀A, luego localmente tenemos
D2 · n̂ − D1 · n̂ = 4πσlibre .
(3.68)
Es decir, la componente normal de D es discontinua si existe una densidad de
carga libre superficial σlibre en la frontera entre dos medios dieléctricos.
3.4. PROBLEMAS DE FRONTERA CON DIELÉCTRICOS.
145
iii. La relación ρpol = −∇ · P permite encontrar la densidad de carga superficial
de polarización inducida sobre la interfase. Aplicando la ley de Gauss, al igual
que en el caso anterior, podemos obtener
− (P2 − P1 ) · n̂ = σpol .
3.4.
(3.69)
Problemas de frontera con dieléctricos.
Las ecuaciones para la Electrostática en un medio dieléctrico son
∇×E = 0
∇ · D = 4πρlibre ,
(3.70)
(3.71)
donde D = E en un medio isotrópico. Estas ecuaciones implican que existe un
potencial eléctrico ϕ que satisface
E = −∇ϕ,
ρlibre
∇2 ϕ = −4π
.
(3.72)
(3.73)
Las condiciones de frontera en la superficie que separa dos medios con constantes
dieléctricas 1 y 2 son
E2 · t̂ = E1 · t̂ ,
(3.74)
D2 · n̂ − D1 · n̂ = 4πσlibre .
(3.75)
Ejemplos.
1. Calcular el potencial dentro y fuera de una esfera de radio a y constante dieléctrica , sin cargas libres, sujeta a un campo eléctrico externo Eext = Eẑ.
Puesto que ρlibre = 0, el potencial satisface la ecuación de Laplace ∇2 ϕ = 0,
dentro y fuera de la esfera. Entonces, buscamos soluciones del potencial ϕ con
simetría azimutal para r < a, en un medio con constante dieléctrica 1 = ,
y para r > a, en un medio con 2 = 1, tales que cumplan las condiciones de
frontera en r → ∞ y r = a.
146
CAPÍTULO 3. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA
Figura 3.9: Esfera dieléctrica en un campo externo uniforme.
El potencial dentro de la esfera no debe poseer singularidades en r = 0, luego
para r < a, tenemos
X
ϕ1 (r, θ) =
Al rl Pl (cos θ).
(3.76)
l=0
Para r > a,
ϕ2 (r, θ) =
Xh
i
Bl rl + Cl r−(l+1) Pl (cos θ).
(3.77)
l=0
Para r → ∞, la condición de frontera es ϕ2 = −Er cos θ. Luego, en r → ∞,
tenemos
X
Bl rl Pl (cos θ) = −ErP1 (cos θ) ,
(3.78)
l=0
lo cual implica,
B1 = −E
Bl = 0,
(3.79)
∀ l 6= 1.
(3.80)
X
(3.81)
Luego, podemos escribir
ϕ2 (r, θ) = (−Er + C1 r−2 )P1 (cos θ) +
Cl r−(l+1) Pl (cos θ).
l6=1
En coordenadas esféricas, el campo eléctrico se puede expresar como
∂ϕ
1 ∂ϕ
1 ∂ϕ
E = −∇ϕ = −
r̂ +
θ̂ +
φ̂ .
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
(3.82)
3.4. PROBLEMAS DE FRONTERA CON DIELÉCTRICOS.
147
En r = a, tenemos las siguientes condiciones:
(a) continuidad de la componente tangencial de E, dada por Eθ = −
1 ∂ϕ
:
r ∂θ
1 ∂ϕ2 1 ∂ϕ1 = −
(3.83)
−
a ∂θ r=a
a ∂θ r=a
∂P1 X
∂P1 X
∂Pl (cos θ)
∂Pl (cos θ)
A1 a
+
Al a l
= −Ea + C1 a−2
+
Cl a−(l+1)
∂θ
∂θ
∂θ
∂θ
l6=1
l6=1
de donde, comparando coeficientes en ambos lados, obtenemos
l = 1,
l 6= 1,
A1 a = −Ea + C1 a−2 ⇒ A1 = −E +
Al al = Cl a−(l+1) ⇒ Al =
C1
a3
Cl
.
a2l+1
(3.84)
(3.85)
(b) continuidad de la componente normal de D = E, correspondiente a Dn =
∂ϕ
Dr = − , puesto que σlibre = 0.
∂r
∂ϕ2 ∂ϕ1 =−
.
(3.86)
−
∂r r=a
∂r r=a
Calculamos,
∂ϕ1
∂r
= A1 P1 (cos θ) +
∂ϕ2
∂r
= −(E + 2C1 r−3 )P1 (cos θ) −
X
lAl rl−1 Pl (cos θ)
l6=1
X
(l + 1)Cl r−(l+2) Pl (cos θ).
l6=1
Comparando coeficientes en ambos lados de la Ec. (3.86), obtenemos
l = 1,
l 6= 1,
2C1
(3.87)
a3
Cl
⇒ lAl = −(l + 1) 2l+1 . (3.88)
a
A1 = −E − 2C1 a−3 ⇒
lAl a(l−1) = −(l + 1)Cl a−(l+2)
A1 = −E −
148
CAPÍTULO 3. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA
Comparando las cuatro ecuaciones para las condiciones de frontera de E tangencial y D normal en r = a, encontramos los coeficientes
l = 1, C1 =
l 6= 1,
( − 1)
Ea3 ,
( + 2)
Cl = 0,
A1 = −
3
E
( + 2)
Al = 0.
(3.89)
(3.90)
Luego, el potencial dentro y fuera de la esfera dieléctrica es
3
Er cos θ,
( + 2)
( − 1) a3
E cos θ,
ϕ2 (r, θ) = −Er cos θ +
( + 2) r2
ϕ1 (r, θ) = −
r<a
(3.91)
r > a.
(3.92)
El potencial dentro de la esfera puede expresarse como
ϕ1 = −
3
Ez,
( + 2)
(3.93)
luego, el campo eléctrico dentro de la esfera es
E1 = −
∂ϕ1
3
ẑ =
Eẑ.
∂z
( + 2)
(3.94)
Note que la intensidad del campo eléctrico dentro de la esfera diélectrica es
menor que la del campo externo, puesto que > 1. En el límite → ∞,
tenemos un conductor perfecto, y el campo eléctrico dentro de la esfera es cero,
como debe esperarse.
Figura 3.10: Polarización y su densidad de carga asociada de la esfera en un campo externo.
3.4. PROBLEMAS DE FRONTERA CON DIELÉCTRICOS.
149
La polarización de la esfera puede calcularse a partir de
P1 = χe E1 =
=
( − 1)
E1
4π
3 ( − 1)
Eẑ.
4π ( + 2)
(3.95)
(3.96)
La densidad superficial de carga inducida por la polarización en la superficie de
la esfera puede calcularse a partir de la relación
σpol = −(P2 − P1 ) · n̂ = P1 · r̂ ,
(3.97)
puesto que P2 = 0. Luego,
σpol =
=
3
4π
3
4π
( − 1)
E ẑ · r̂
( + 2)
( − 1)
E cos θ .
( + 2)
(3.98)
Note que σpol > 0 para θ ∈ [0, π/2), y σpol < 0 para θ ∈ (π/2, π].
Figura 3.11: Momento dipolar de la esfera inducido por el campo externo.
El momento dipolar total inducido en la esfera es
Z
p =
P1 d3 r
esfera
=
( − 1) 3
a Eẑ.
( + 2)
(3.99)
Note que los dos términos en el potencial ϕ2 fuera de la esfera dieléctrica,
Ec. (3.92), corresponden justamente al potencial asociado al campo externo,
más el potencial producido por este dipolo p.
150
CAPÍTULO 3. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA
Recordemos que la polarizabilidad γ de un objeto en un campo externo se define
como p = γEext . Entonces, la polarizabilidad de la esfera es
γ=
( − 1) 3
a .
( + 2)
(3.100)
En el límite → ∞, recobramos la polarizabilidad de una esfera conductora en
un campo externo, γ = a3 .
2. Encontrar el potencial dentro de una cavidad esférica de radio a dentro de un
material con constante dieléctrica , sujeto a un un campo eléctrico externo
uniforme.
Figura 3.12: Cavidad esférica en un dieléctrico con un campo eléctrico externo uniforme.
Este problema es equivalente al anterior, haciendo ahora = 1 (vacío) dentro de
la esfera y > 1 fuera de la esfera. La solución se puede obtener directamente
de la anterior, sustituyendo → 1/.
3.5.
Energía electrostática en medios dieléctricos.
La energía potencial electrostática de una densidad de carga ρlibre en un potencial
externo ϕext es
Z
U=
ρlibre (r) ϕ(r) d3 r .
(3.101)
Si el medio es un dieléctrico, la fuente del potencial es la densidad efectiva de carga
presente en el medio, ρef = ρlibre + ρpol .
3.5. ENERGÍA ELECTROSTÁTICA EN MEDIOS DIELÉCTRICOS.
151
Figura 3.13: Energía electrostática de una densidad carga δρlibre en un medio dieléctrico.
Supongamos que traemos una pequeña carga libre δρlibre desde el infinito hasta
la posición r en un medio diélectrico. Entonces, el cambio de energía electrostática
en el sistema es
Z
δU = δρlibre (r) ϕ(r) d3 r .
(3.102)
En el medio diélectrico, el vector de desplazamiento eléctrico satisface ∇·D = 4πρlibre .
Correspondientemente, D en el medio cambia en una cantidad δD, tal que
∇ · δD = 4π δρlibre .
(3.103)
Luego, podemos expresar
δU
=
=
Z
1
ϕ ∇ · δD d3 r
4π
Z
Z
1
1
∇ · (ϕδD) d3 r −
∇ϕ · δD d3 r .
4π
4π
(3.104)
El primer término es la integral de volumen de la divergencia de un campo vectorial,
la cual, mediante el teorema de la divergencia, se puede expresar como una integral
sobre la superficie que encierra ese volumen,
Z
I
3
∇ · (ϕδD) d r =
ϕ δD · n̂ da .
(3.105)
V
S
Puesto que para r → ∞, ϕ ∼ r−1 y D ∼ r−2 , si tomamos S → ∞, la integral de
superficie que encierra al volumenV se hace cero. Por lo tanto, el primer término en
la Ec. (3.104) se anula, y tenemos
Z
Z
1
1
∇ϕ · δD d3 r =
E · δD d3 r ,
(3.106)
δU = −
4π
4π
152
CAPÍTULO 3. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA
donde hemos sustituido E = −∇ϕ. Suponemos un medio dieléctrico lineal e isotrópico; es decir, D = E. Entonces, usando la relación
E · δD =
1
11
D · δD =
δ(D · D) ,
2
(3.107)
podemos escribir
Z
δ(D · D) 3
1
δU =
d r.
(3.108)
8π
La energía eléctrostática total de la configuración de carga en el medio dieléctrico es
Z D
Z
Z D
1
δ(D0 · D0 )
U =
δU =
d3 r
8π
0
0
Z
1
D·D 3
=
d r
8π
Z
1
=
E · D d3 r .
(3.109)
8π
Para = 1, la Ec. (3.109) describe la energía de un campo electrostático en el vacío,
encontrada en el Cap. 1.
La Ec. (3.109) también permite inferir la fuerza experimentada por un dieléctrico
en las proximidades de una región donde hay un campo eléctrico. Consideremos, por
ejemplo, un trozo de un material dieléctrico con constante , siendo introducido en
el espacio entre dos planos paralelos que poseen cargas opuestas, y donde existe un
campo eléctrico E.
Figura 3.14: Fuerza sobre un dieléctrico introducido en una región donde existe un campo eléctrico.
En el dieléctrico, D = E, mientras que en el espacio vacío entre las placas, D = E.
La energía electrostática en el espacio ocupado por el dieléctrico es U2 ∼ |E|2 , y en
el vacío es U1 ∼ |E|2 . Luego, U2 > U1 y existe un gradiente ∇U en la dirección desde
el vacío (1) hacia el dieléctrico (2). La fuerza sobre el dieléctrico es F = −∇U y está
dirigida desde (2) hacia (1). Luego, el dieléctrico es atraído hacia la regíon del campo
eléctrico entre las placas.
3.5. ENERGÍA ELECTROSTÁTICA EN MEDIOS DIELÉCTRICOS.
Resumen
1. Potencial de un dipolo,
ϕ(r) =
p · r̂
.
r2
2. Momento dipolar en un campo externo,
hpi = γ Eext ,
3. Polarización (momento dipolar por unidad de volumen),
P = χe Eext ,
4. Desplazamiento eléctrico,
D = (1 + 4πχe )E = E ,
5. Ecuaciones de la Electrostática en un medio dieléctrico,
∇×E
=
0
∇·D
=
4πρlibre .
o, equivalentemente,
E = −∇ϕ
ρ
∇ ϕ = −4π libre
2
6. Densidad de carga asociada a la polarización,
ρpol = −∇ · P
7. Condiciones de frontera en la interfase entre dos dieléctricos,
E2 · t̂ = E1 · t̂ .
D2 · n̂ − D1 · n̂ = 4πσlibre .
8. Energía eléctrostática en un medio dieléctric,o
Z
1
U=
E · D d3 r .
8π
153
154
3.6.
CAPÍTULO 3. CAMPOS ELÉCTRICOS EN LA MATERIA
Problemas.
1. Un polvo compuesto de partículas esféricas de radio 10 µ y constante dieléctrica igual a 4 se encuentra disperso en el vacío con una concentración de 1012
partículas por cm3 . Calcule la constante dieléctrica resultante de este medio.
2. Una carga puntual q se encuentra a una distancia R del centro de una esfera
de radio a (a < R) y constante dieléctrica .
a) Encuentre el potencial eléctrico dentro y fuera de la esfera.
b) Demuestre que en el límite → ∞, el resultado anterior corresponde al
obtenido con una esfera conductora.
3. Un cilindro muy largo, de radio a, constante dieléctrica , y con su eje sobre el
eje z, se coloca en un campo eléctrico uniforme E = Eo x̂.
a) Encuentre el potencial dentro y fuera del cilindro.
b) Calcule la densidad de carga superficial inducida en el cilindro.
4. El volumen entre dos esferas conductoras concéntricas de radios a y b, (a < b),
se encuentra lleno de un medio inhomogéneo con constante dieléctrica (r) =
o /(1 + kr), donde k y o son constantes y r es la coordenada radial. Una carga
q se coloca sobre la esfera interna, mientras la otra se conecta a tierra.
a) Encuentre el campo eléctrico entre las dos esferas.
b) Encuentre el vector de polarización en el medio dieléctrico.
5. Un tubo cilíndrico muy largo, de radio interior a, radio exterior b, y constante
dieléctrica , se coloca en el vacío en un campo eléctrico uniforme de magnitud
E, cuya dirección es perpendicular al eje del cilindro. Calcule el potencial y
el campo eléctrico en todo el espacio, despreciando efectos en los extremos del
tubo.
6. Un capacitor consiste en dos tubos conductores cilíndricos coaxiales, de radios
a y b (b > a). El capacitor se baja verticalmente en un líquido dieléctrico
cuya densidad es ρ. La superficie del líquido sube una distancia h entre los
tubos cuando se aplica una diferencia de potencial V entre ellos. Calcule la
susceptibilidad eléctrica del líquido.
Capítulo 4
Magnetostática
4.1.
Ecuaciones de la Magnetostática.
Existen medios en los cuales las cargas eléctricas pueden moverse en presencia
de un campo eléctrico externo. Por ejemplo, los electrones en un material conductor
pueden moverse si se aplica un campo externo. Una carga en movimiento constituye
una corriente eléctrica.
Figura 4.1: Densidad de corriente el’ectrica.
La densidad de corriente eléctrica producida por una densidad de carga ρ que se
mueve con velocidad v se define como
J = ρv.
(4.1)
Supongamos que un flujo de carga eléctrica con densidad ρ atraviesa un área A con
velocidad v en la dirección x, tal que v = dx
dt . Entonces, la cantidad de carga que
atraviesa el área A en un tiempo dt es dq = ρA dx. Luego, podemos expresar la
magnitud de J como
dq
dx
dq
I
J=
×
=
= ,
(4.2)
A dx
dt
A dt
A
155
156
CAPÍTULO 4. MAGNETOSTÁTICA
donde
dq
,
(4.3)
dt
se denomina intensidad de corriente eléctrica y es la cantidad de carga eléctrica que
pasa por un punto por unidad de tiempo. Es decir, la densidad de corriente eléctrica
J es la cantidad de corriente por unidad de área que se mueve en dirección de v. La
unidad de corriente eĺéctrica en el sistema mks es el amperio, que corresponde a un
Coulomb por segundo. En el sistema cgs la unidad de corriente es el statamperio; 1
amperio = 3 × 109 statamperios.
En muchos materiales conductores se observa experimentalmente que la densidad
de corriente es proporcional al campo eléctrico externo aplicado en el medio,
I=
J = σ Eext ,
(4.4)
donde la constante de proporcionalidad σ es una propiedad específica del medio y se
denomina conductividad eléctrica. El inverso de esta cantidad se llama resistividad,
% = σ −1 . La Ec. (4.4) es la Ley de Ohm.
Figura 4.2: Ley de Ohm.
Si tenemos un trozo de material de área A y longitud l sujeto a un campo eléctrico
externo uniforme en la dirección de l, entonces Eext = Vl , donde V es la diferencia de
potencial entre los extremos. Luego, la Ec. (4.4) puede expresarse en forma escalar
como
I
V
=σ
A
l
V
⇒ I= ,
R
donde la cantidad
R≡
l
l
=%
Aσ
A
(4.5)
(4.6)
4.1. ECUACIONES DE LA MAGNETOSTÁTICA.
157
se denomina resistencia del material y depende de la conductividad y de propiedades
geométricas del material. La Ec. (4.5) es una expresión más común de la Ley de Ohm.
El campo externo produce una fuerza sobre las cargas; sin embargo, en general
éstas no se aceleran indefinidamente sino que alcanzan una velocidad terminal debido
a la resistencia del medio. La resistencia se origina en las interacciones de las cargas
con el medio (por ejemplo, con la red cristalina en medios sólidos; o con otras cargas
en plasmas). En estas situaciones, la densidad de corriente J es constante.
Las ecuaciones de Maxwell muestran que las cargas en movimiento producen
campo magnético, además de campo eléctrico. Si J es constante, el campo magnético
satisface las ecuaciones de Maxwell para la Magnetostática,
∇ · B = 0,
4π
∇×B=
J.
c
(4.7)
(4.8)
El campo B también se denomina inducción magnética. La Ec. (4.7) expresa la ausencia de fuentes monopolares para B; la Ec. (4.8) es la Ley de Ampère e indica que
una densidad de corriente J produce un campo magnético B.
Si tomamos la divergencia en ambos lados de la Ec. (4.8), obtenemos
∇ · (∇ × B) =
4π
∇ · J.
c
(4.9)
Pero ∇ · (∇ × a) = 0, ∀a; luego, en Magnetostática,
∇ · J = 0.
(4.10)
La Ec. (4.10) es compatible con la ecuación de conservación de la carga eléctrica
∂ρ
+ ∇ · J = 0,
∂t
(4.11)
si la densidad de carga ρ es constante. Como vimos en ese caso, el campo eléctrico
satisface las ecuaciones de la Electrostática,
∇ · E = 4πρ
(4.12)
∇ × E = 0.
(4.13)
158
CAPÍTULO 4. MAGNETOSTÁTICA
La Ec. (4.7) implica que B se puede expresar como
B = ∇ × A,
(4.14)
donde el campo vectorial A(r) se denomina el potencial vector. Sustituyendo en la
Ec. (4.8), obtenemos
4π
∇ × (∇ × A) =
J.
(4.15)
c
Usamos la identidad vectorial ∇ × (∇ × A) = ∇(∇ · A) − ∇2 A, donde
∇2 A(r) =
3
X
∇2 Ai (r) x̂i ,
(4.16)
i=1
y
2
∇ Ai (r) =
3
X
∂ 2 Ai (r)
j
∂x2j
.
(4.17)
Luego, podemos escribir
4π
J.
(4.18)
c
La determinación del potencial vector asociado a un campo magnético está sujeta
a la adición de un gradiente de un campo escalar. Supongamos un vector potencial
A0 tal que
B = ∇ × A0 .
(4.19)
∇(∇ · A) − ∇2 A =
Entonces el vector
A = A0 + ∇Λ,
(4.20)
donde Λ es un campo escalar arbitrario, está asociado al mismo campo magnético B,
:0
B = ∇ × A0 = ∇ × A − ∇
×
∇Λ = ∇ × A.
(4.21)
La transformación A → A + ∇Λ constituye una transformación de calibre para el
potencial vector, la cual deja invariante el campo magnético B. La invarianza de
B ante esta transformación es análoga a la invarianza del campo eléctrico E si al
potencial escalar ϕ se le agrega una cantidad constante, ϕ → ϕ + c,
E = −∇(ϕ + c) = −∇ϕ.
(4.22)
4.1. ECUACIONES DE LA MAGNETOSTÁTICA.
159
Puesto que el campo escalar Λ es arbitrario, podemos escogerlo tal que
∇2 Λ = −∇ · A0
(4.23)
Con esta selección, el potencial vector en la Ec. (4.20) satisface
∇ · A = ∇ · A0 + ∇2 Λ = ∇ · A0 − ∇ · A0 = 0.
(4.24)
La condición ∇ · A = 0, Ec. (4.24), se conoce como calibre de Coulomb. Con esta
condición, la Ec. (4.14) y la Ec. (4.18) se pueden expresar como las ecuaciones de la
Magnetostática en términos de A,
B = ∇ × A,
4π
∇2 A = − J.
c
(4.25)
(4.26)
Estas ecuaciones son análogas a las ecuaciones para la Electrostática en términos del
potencial escalar ϕ,
∇2 ϕ = −4πρ,
(4.27)
E = −∇ϕ.
(4.28)
La componente i de Ec. (4.26) satisface
∇2 Ai = −
4π
Ji .
c
(4.29)
Esta relación es similar a la ecuación de Poisson ∇2 ϕ = −4πρ para el potencial
escalar ϕ, haciendo las analogías ϕ ↔ Ai , ρ ↔ Ji /c. La solución de la ecuacion de
Poisson en el espacio libre es
Z
ρ (r0 ) 3 0
ϕ(r) =
d r.
(4.30)
|r − r0 |
Luego, por analogía, debemos tener
1
Ai (r) =
c
Z
Ji (r0 ) 3 0
d r
|r − r0 |
(4.31)
160
CAPÍTULO 4. MAGNETOSTÁTICA
y, por lo tanto, la solución de la Ec. (4.26) en el espacio libre es
A(r) =
1
c
Z
J (r0 ) 3 0
d r.
|r − r0 |
El campo magnético se determina a partir de
Z
1
J (r0 )
d3 r0 ,
B(r) = ∇ × A(r) =
∇×
c
|r − r0 |
(4.32)
(4.33)
donde el operador ∇ actúa sobre las componentes de r. Para evaluar la Ec. (4.33),
usamos la identidad vectorial ∇ × (φA) = φ ∇ × A − A × ∇φ. Haciendo,
A = J,
φ=
1
,
|r − r0 |
podemos expresar el integrando en la Ec. (4.33) como
:0
J (r0 )
1
1
0
0
∇×
=
.
∇
×
J(r ) − J(r ) × ∇
|r − r0 |
|r − r0 | |r − r0 |
(4.34)
(4.35)
Pero ∇ × J(r0 ) = 0, puesto que el operador ∇ actúa sobre las componentes de r, y
1
|r − r0 )
=
−
∇
.
(4.36)
|r − r0 |
|r − r0 |3
Luego, la Ec. (4.33), que da el campo magnético en el espacio libre debido a una
densidad de corriente J, se puede expresar como
Z
1
J (r0 ) × (r − r0 ) 3 0
B(r) =
d r.
(4.37)
c
|r − r0 |3
La Ec. (4.37) para B es análoga a la expresión del campo eléctrico en el espacio
libre producido por una distribución de carga ρ (Cap. 1),
Z
E(r) =
ρ(r0 )
(r − r0 ) 3 0
d r .
|r − r0 |3
(4.38)
4.2. LEY DE BIOT-SAVART Y LEY DE AMPÈRE.
161
Figura 4.3: Campo magnético B y potencial vector A producidos en posición r por una densidad
de corriente J(r0 ).
4.2.
Ley de Biot-Savart y Ley de Ampère.
En general, la corriente eléctrica (carga por unidad de tiempo) debida a una
densidad de corriente J que atraviesa una superficie A es
Z
J · ds ,
I=
(4.39)
A
donde ds es el elemento de área con vector normal a la superficie A.
En muchos casos de interés, J fluye en materiales en forma de tubos o cables. Un
cable se puede describir como un circuito o curva C, con un vector tangente dl, cuya
sección transversal de área A posee un vector normal ds. En un cable, J es paralelo
a dl. El elemento de volumen del cable se puede expresar como d3 r = dl · ds.
Figura 4.4: Densidad de corriente J fluyendo a través de un cable C.
Luego, si J fluye por el cable, tenemos J d3 r = J(dl · ds) = dl(J · ds). La integral
de volumen de J en el cable se puede expresar como
Z
3 0
Z
Jd r =
dl
C
0
Z
0
Z
J · ds =
A
C
I dl0 .
(4.40)
162
CAPÍTULO 4. MAGNETOSTÁTICA
La Ec. (4.37) para densidades de corriente fluyendo por cables se puede escribir como
Z
1
J(r0 ) d3 r0 × (r − r0 )
B(r) =
c
|r − r0 |3
Z
Z
dl0 × (r − r0 )
1
J(r0 ) · ds0
=
c C |r − r0 |3
A
Z
1
I dl0 × (r − r0 )
=
.
(4.41)
c C
|r − r0 |3
La Ec. (4.41) es la Ley de Biot-Savart.
En forma diferencial, la Ley de Biot-Savart se puede expresar como
I dl × r
.
(4.42)
c r3
El diferencial de campo magnético dB en la posición r es producido por la corriente
I que pasa por el elemento de línea dl.
dB(r) =
Figura 4.5: Ley de Biot-Savart en forma diferencial.
El campo magnético instantáneo producido en r por una carga puntual q que se
dl
mueve en una trayectoria con velocidad v = dt
, es
B(r) =
=
I vdt × r
c
r3
q v×r
,
c r3
(4.43)
donde q = Idt.
En muchas situaciones que poseen simetrías, el campo magnético producido por
una corriente también puede ser calculado utilizando la forma integral de la segunda
ecuación de la Magnetostática,
∇×B=
4π
J,
c
(4.44)
4.2. LEY DE BIOT-SAVART Y LEY DE AMPÈRE.
163
la cual constituye la Ley de Ampère en forma diferencial. Integramos esta ecuación
en una superficie S con normal n̂,
Z
Z
4π
(∇ × B) · n̂ da =
J · n̂ da.
(4.45)
c S
S
Usando el teorema de Stokes en el lado izquierdo,
I
Z
B · dl,
(∇ × B) · n̂ da =
(4.46)
C
S
y la definición de corriente eléctrica, podemos escribir la Ec. (4.45) como
I
4π
B · dl =
Ienc ,
c
C
(4.47)
donde Ienc es la corriente circundada por el contorno C. La Ec. (4.47) es la Ley de
Ampère en forma integral, análoga a la ley de Gauss en forma integral
I
E · n̂ da = 4πqenc .
(4.48)
S
Ejemplos.
1. Calcular el campo magnético producido por un cable recto e infinito, ubicado a
lo largo del eje z, por el cual fluye una corriente constante I en la dirección ẑ.
Figura 4.6: Campo magnético B producido por un cable infinito en la dirección z con corriente I.
164
CAPÍTULO 4. MAGNETOSTÁTICA
Sea R una distancia fija perpendicular al cable. De la figura, tenemos
r − r0 = R + z 0 ẑ
r − r0 = R2 + z 02 1/2
dl0 = dz 0 ẑ.
Luego,
B =
=
=
=
I dl0 × (r − r0 )
|r − r0 |3
C
Z
I ∞ dz 0 ẑ × (R + z 0 ẑ)
c −∞ (R2 + z 02 )3/2
Z ∞
I
dz 0
R φ̂
3/2
c
−∞ (R2 + z 02 )
∞
z0
I
R φ̂
1/2
c
R2 (R2 + z 02 ) 1
c
Z
−∞
=
2I
φ̂ ,
cR
(4.49)
donde hemos usado ẑ × R = R φ̂. Las líneas de campo magnético forman
circunferencias alrededor del eje z, en la dirección que se obtiene con la regla
de la mano derecha.
El campo magnético también se puede calcular directamente usando la ley
de Ampère en forma integral, Ec. (4.47). Tomamos el contorno C como una
circunferencia de radio R en un plano perpendicular a la dirección del cable.
Por simetría, la magnitud de B es constante sobre esta circunferencia, y su
dirección es paralela al vector tangente dl = dl φ̂. Entonces, de la Ec. (4.47)
obtenemos
4π
B 2πR =
Ienc
c
2I
⇒B=
.
(4.50)
cR
2. Calcular el campo magnético dentro de un solenoide infinito, con n vueltas por
unidad de longitud, por el cual fluye una corriente constante I.
4.2. LEY DE BIOT-SAVART Y LEY DE AMPÈRE.
165
Figura 4.7: Campo magnético B dentro de un solenoide que lleva una corriente I.
Por simetría, el campo magnético dentro del solenoide debe estar en la dirección
de su eje z. El campo magnético fuera de un solenoide infinito es cero (las líneas
de campo nunca alcanzan a cerrarse). Aplicamos la Ley de Ampère en forma
integral al rectángulo C de longitud L, como se muestra en la figura. Entonces,
I
4π
B · dl = B L =
N I,
(4.51)
c
C
donde N es el número de vueltas (espiras) contenidas en la longitud L del
solenoide y n = N/L. Luego, la magnitud del campo magnético es
B=
4π
nI.
c
(4.52)
3. Calcular el campo magnético sobre el eje perpendicular de una espira de radio
a que lleva una corriente constante I.
Figura 4.8: Campo magnético B sobre el eje perpendicular de un aro de radio a con corriente I.
El campo producido en r por un elemento de corriente de la espira es
dB(r) =
I dl × r
,
c r3
(4.53)
166
CAPÍTULO 4. MAGNETOSTÁTICA
donde r = (a2 + z 2 )1/2 . El vector tangente dl es perpendicular a r. Luego,
dB =
I dl
.
c r2
(4.54)
La componente de dB en la dirección z es
dBz = dB cos θ = dB
I a dl
a
=
.
r
c r3
(4.55)
Las componentes de dB perpendiculares a z se anulan entre sí. Luego,
Z
I
a
B(z) =
dl
c (a2 + z 2 )3/2 C
a2
2πI
=
.
(4.56)
c (a2 + z 2 )3/2
4.3.
Fuerza magnética entre corrientes.
Experimentalmente sabemos que un campo magnético externo ejerce una fuerza
sobre una carga en movimiento. Por lo tanto, una corriente eléctrica experimenta
una fuerza en presencia de un campo magnético externo. Consideremos la fuerza
magnética sobre una densidad de carga dq = ρ d3 r0 en la posición r0 que se mueve
con velocidad v en un campo externo Bext ,
dFmag =
=
1
ρ(r0 ) v × Bext (r0 ) d3 r0
c
1
J(r0 ) × Bext (r0 ) d3 r0 .
c
Entonces, la fuerza magnética total sobre una distribución de corriente es
Z
1
Fmag =
J(r0 ) × Bext (r0 ) d3 r0 .
c
(4.57)
(4.58)
4.3. FUERZA MAGNÉTICA ENTRE CORRIENTES.
167
Figura 4.9: Fuerza sobre un elemento de corriente Idl en un campo magnético externo.
Si J fluye en un cable, podemos expresar J d3 r = I dl. Luego, la fuerza sobre un
elemento de corriente Idl en un cable es
dFmag =
1
Idl × Bext .
c
(4.59)
La fuerza total sobre un circuito C que lleva una corriente I en un campo magnético
externo es
Z
1
Fmag =
I dl0 × Bext (r0 ).
(4.60)
c C
Si el campo externo que actúa sobre un circuito C1 que lleva una corriente constante I1 es producido por otro circuito C2 por el que pasa una corriente constante I2 ,
la fuerza magnética sobre C1 será
Z
Z
I1 I2
dl2 × r21
Fmag12 = 2
dl1 ×
,
(4.61)
3
c
r21
C1
C2
donde empleamos la Ley de Biot-Savart, Ec. (4.41), y donde r21 = r1 − r2 es el vector
de distancia desde el elemento de línea dl2 al elemento de línea dl1 .
Figura 4.10: Fuerza entre corrientes paralelas (izquierda) y entre corrientes opuestas (derecha).
Utilizando la identidad vectorial a × (b × c) = b(a · c) − c(a · b), el triple producto
vectorial en la Ec. (4.61) se puede expresar como
dl1 × (dl2 × r21 ) = (dl1 · r21 )dl2 − (dl1 · dl2 )r21 .
(4.62)
168
CAPÍTULO 4. MAGNETOSTÁTICA
Luego, podemos escribir la integral en la Ec. (4.61) como
Z Z
Z Z Z Z
(dl1 · dl2 )r21
r21
(dl2 × r21 )
dl
·
dl
−
dl1 ×
=
.
1
2
3
3
3
r21
r21
r21
C 1 C2
C 1 C2
C 1 C2
(4.63)
Usando la relación ∇(1/r) = −r̂/r2 , calculamos la primera integral en la Ec. (4.63),
Z
Z Z Z
1
r21
dl1 · 3 dl2 = −
dl1 · ∇1
dl2
r21
r21
C 1 C2
C1
C2
Z
Z
1
= −
d
dl2
r21
C1
C2
= 0,
(4.64)
puesto que
Z
d
C1
1
r21
=
1 ro
= 0,
r21 ro
si C1 es cerrado,
1 ∞
= 0, si C1 es infinito.
r21 −∞
Entonces, la fuerza magnética sobre C1 debido a C2 se puede escribir como
Z Z
(dl1 · dl2 )r21
I1 I2
.
Fmag12 = − 2
3
c
r21
C1 C2
(4.65)
(4.66)
La Ec. (4.66) es la expresión matemática de la fuerza entre dos corrientes que fluyen
por respectivos circuitos, descubierta por Ampère.
La correspondiente fuerza magnética que experimenta el cable C2 debido a la
corriente del cable C1 es Fmag21 = −Fmag12 , de acuerdo con la Tercera Ley de Newton.
La Ec. (4.66) implica que corrientes paralelas (dl1 · dl2 > 0) se atraen, mientras que
corrientes antiparalelas (dl1 · dl2 < 0) se repelen.
Ejemplo.
1. Fuerza magnética por unidad de longitud entre dos cables paralelos e infinitos,
con corrientes I1 y I2 .
4.4. EXPANSIÓN MULTIPOLAR DEL POTENCIAL VECTOR.
169
Figura 4.11: Fuerza por unidad de longitud entre dos corrientes paralelas.
Sea d la distancia perpendicular entre los cables con corrientes I1 y I2 , paralelas
en la dirección z. Por simetría, solamente la componente perpendicular de la
fuerza dFmag12 contribuye a la fuerza neta sobre el elemento de longitud dl1 .
La magnitud de esa componente perpendicular por unidad de longitud es
dF⊥
dl1
=
=
=
=
dFmag12
cos θ
dl1
Z
I1 I2
dl2 d
2
2
c
C2 r21 r21
Z ∞
I1 I2
dz
d
2 + z 2 )3/2
c2
(d
−∞
∞
I1 I2
z
d 2 2
2
1/2
2
c
d (d + z ) −∞
=
4.4.
2 I1 I2
.
c2 d
(4.67)
Expansión multipolar del potencial vector.
Consideremos una densidad de corriente localizada J(r0 ). El potencial vector creado por esta distribución en el espacio libre es
Z
1
J(r0 ) 3 0
A(r) =
d r.
(4.68)
c
|r − r0 |
170
CAPÍTULO 4. MAGNETOSTÁTICA
Figura 4.12: Potencial vector A(r) lejos de una distribución de corriente J(r0 ), r r0 .
Queremos calcular A(r) para distancias r r0 , lejos de la distribución de corriente. Para ello, utilizamos la expansión de Taylor empleada en el Cap. 1 para la
expansión multipolar del potencial escalar,
i
1 r · r0
1 h
1
0 2
02 2
=
+
+
3
r
·
r
−
r
r
+ ··· .
|r − r0 |
r
r3
2r5
Luego, podemos escribir para r r0 ,
Z
Z
3 0
1
1
0
A(r) =
J r d r + 3 J r0 r · r0 d3 r0 + · · · .
cr
cr
(4.69)
(4.70)
El primer término en la Ec. (4.70) es la contribución monopolar, mientras que el
segundo término constituye la contribución dipolar al potencial vector. Consideremos
la componente i del término monopolar,
Z
Z
Z
0
3 0
3 0
Ji (r ) d r = J · x̂i d r = J · ∇xi d3 r0 ,
(4.71)
donde hemos usado ∇xi = x̂i . Empleando la identidad ∇ · (ψa) = a · ∇ψ + ψ∇ · a,
podemos escribir
Z
Z
Z
Z
:0 3 0
Ji (r0 ) d3 r0 = J · ∇xi d3 r0 = ∇ · (xi J) d3 r0 − xi (∇·
J)
d r
(4.72)
puesto que, en Magnetostática, ∇ · J = 0. Empleamos el teorema de la divergencia
con una superficie S ubicada completamente fuera de la distribución localizada de
corriente J, de modo que J = 0 sobre S.
4.4. EXPANSIÓN MULTIPOLAR DEL POTENCIAL VECTOR.
171
Figura 4.13: Evaluación del término monopolar en la expansión multipolar del potencial vector.
Entonces, para tal S el primer término en la Ec. (4.72) da
Z
I
∇ · (xi J) d3 r0 = (xi J) · n̂ da = 0,
(4.73)
S
donde n̂ es la normal a la superficie S. Luego, la contribución monopolar al potencial
A se anula,
Z
Z
Ji (r0 )d3 r0 = 0 ⇒
J r0 d3 r0 = 0.
(4.74)
Entonces, el potencial vector lejos de la distribución de corriente se puede expresar,
hasta la contribución dipolar, como
Z
1
A(r) = 3 J(r0 ) r · r0 d3 r0 .
(4.75)
cr
La componente i de A es
Ai (r) =
=
=
1
cr3
Z
r · r0 Ji (r0 ) d3 r0
Z X
1
xj x0j Ji (r0 ) d3 r0
cr3
j
Z
X
1
xj x0j Ji (r0 ) d3 r0 .
cr3
(4.76)
j
El integrando de la Ec. (4.76) puede escribirse como
1
1
x0j Ji = (x0j Ji + x0i Jj ) + (x0j Ji − x0i Jj ).
2
2
(4.77)
172
CAPÍTULO 4. MAGNETOSTÁTICA
El primer término de la Ec. (4.77) se puede expresar como
x0j Ji + x0i Jj
= x0j J · ∇x0i + x0i J · ∇x0j
= J · (x0j ∇x0i + x0i ∇x0j )
= J · ∇(x0i x0j )
:0
= ∇ · (x0i x0j J) − x0i x0j (
∇
· J).
puesto que ∇ · J = 0 en Magnetostática. Luego,
Z
Z
(x0j Ji + x0i Jj ) d3 r0 = ∇ · (x0i x0j J) d3 r0 .
(4.78)
(4.79)
Puesto que la distribución de J se encuentra localizada, ésta se puede encerrar completamente con una superficie S tal que J = 0 sobre S. Empleando el teorema de la
divergencia para tal S con normal n̂, tenemos
Z
Z
I
0
0
3 0
0 0
3 0
(xj Ji + xi Jj ) d r = ∇ · (xi xj J) d r = (x0i x0j J) · n̂ da0 = 0.
(4.80)
S
Luego, la Ec. (4.76) se puede escribir como
Z
1 X
Ai (r) =
x
x0j Ji (r0 ) d3 r0
j
cr3
j
Z
0
1 X
=
xj
xj Ji (r0 ) − x0i Jj (r0 d3 r0
3
2cr
j
Z
X
X
1
xj x0j Ji (r0 ) −
xj Jj (r0 ) x0i d3 r0
=
2cr3
j
j
Z
3 0
1
0
0
0
0
r
·
r
J
(r
)
−
r
·
J(r
)
x
d r.
=
i
i
2cr3
(4.81)
(4.82)
(4.83)
(4.84)
Por lo tanto, podemos escribir
A(r) =
1
2cr3
Z
r · r0 J(r0 ) − (J(r0 ) · r) r0 d3 r0 .
(4.85)
Recordemos la identidad vectorial a × (b × c) = (a · c)b − (a · b)c. Entonces,
r · r0 J − (J · r) r0 = r × (J × r0 ) = (r0 × J) × r.
(4.86)
4.4. EXPANSIÓN MULTIPOLAR DEL POTENCIAL VECTOR.
173
Luego,
Z
0
1
A(r) =
(r × J(r0 )) × r d3 r0
3
2cr
Z
1
r
0
0
3 0
=
r × J(r ) d r × 3 .
2c
r
(4.87)
La integral en la Ec. (4.87) depende solamente de propiedades de la distribución
de corriente y se define como el momento magnético dipolar (o dipolo magnético) de
la distribución,
Z
1
m≡
r0 × J(r0 ) d3 r0 .
(4.88)
2c
El integrando en la Ec. (4.88) es el momento magnético por unidad de volumen y se
denomina magnetización,
1 0
r × J(r0 ).
(4.89)
M(r0 ) =
2c
Entonces, la Ec. (4.87) implica que el potencial vector para r r0 se puede escribir
como
m×r
.
(4.90)
A(r) =
r3
Figura 4.14: Potencial vector A(r) producido por un dipolo magnético m.
Si m apunta en la dirección ẑ, en coordenadas esféricas tenemos
A(r) =
m sin θ
φ̂.
r2
(4.91)
La Ec. (4.90) es comparable al potencial escalar de un dipolo eléctrico p, (Cap. 1),
ϕ(r) =
p·r
.
r3
(4.92)
174
4.5.
CAPÍTULO 4. MAGNETOSTÁTICA
Momento magnético.
El campo magnético debido a un dipolo magnético m se puede calcular mediante
B = ∇ × A, empleando el potencial vector de un dipolo, Ec. (4.90),
r
B(r) = ∇ × m × 3 .
r
(4.93)
Usamos la identidad vectorial ∇ × (a × b) = a(∇ · b) − b(∇ · a) + (b · ∇)a − (a · ∇)b.
Haciendo a = m y b = r/r3 , vemos que los términos b(∇ · m) = 0 y (b · ∇)m = 0,
puesto que m no depende de las coordenadas del punto de observación r. Entonces,
B(r) = m ∇ ·
r
r
−
(m
·
∇)
.
r3
r3
(4.94)
Para evaluar el primer término en la Ec. (4.94), recordemos las siguientes relaciones,
1
r
∇
= − 3;
r
r
1
∇
= −4πδ(r),
r
2
(4.95)
de manera que
r
1
2 1
∇ · 3 = −∇ · ∇
= −∇
= 4πδ(r).
r
r
r
(4.96)
Luego,
B(r) = 4πm δ(r) − (m · ∇)
r
.
r3
(4.97)
Si r 6= 0, el campo magnético del dipolo es
r
.
r3
(4.98)
∂ xi ,
∂xj r3
(4.99)
B(r) = −(m · ∇)
La componente i de B en la Ec. (4.98) es
Bi = −
X
j
mj
4.5. MOMENTO MAGNÉTICO.
175
donde r = (x2 + y 2 + z 2 )1/2 . Obtenemos,
Bi
3xi xj
δij
= −
mj 3 −
r
r5
j
mi 3xi X
= − 3 + 5
m j xj
r
r
X
j
mi 3xi
= − 3 + 5 (m · r) .
r
r
(4.100)
Luego,
B(r) =
=
3r(m · r) m
− 3
r5
r
3(m · r̂)r̂ − m
.
r3
(4.101)
(4.102)
Figura 4.15: Campo magnético B producido por un dipolo magnético m.
El campo magnético producido por un dipolo magnético m, Ec. (4.101), tiene la
misma forma que el campo eléctrico debido a un dipolo eléctrico p (Cap. 1),
E(r) =
3r(p · r)
p
− 3.
5
r
r
(4.103)
176
CAPÍTULO 4. MAGNETOSTÁTICA
La analogía entre un dipolo magnético y un dipolo eléctrico puede ser extendida
a otros fenómenos. En particular, la energía de interacción de un dipolo m con un
campo magnético externo Bext es
U = −m · Bext ,
(4.104)
y la fuerza ejercida por el campo externo sobre el dipolo magnético es
F = ∇(m · Bext ).
(4.105)
Ejemplos.
1. Momento magnético de un circuito de área A que lleva una corriente I.
Figura 4.16: Momento magnético m de un circuito cerrado de corriente.
Para una distribución de corriente que fluye en un cable tenemos
Z
1
m =
r0 × J r0 d3 r0
2c
I
I
=
r0 × dl0 .
2c C
El elemento de área del circuito C es da0 =
m=
1
2
I
A n̂,
c
(4.106)
|r0 × dl0 |. Luego,
(4.107)
donde n̂ es el vector normal al área del circuito, en la dirección r0 × dl0 .
4.5. MOMENTO MAGNÉTICO.
177
2. Momento magnético de un sistema de N partículas con cargas qi y masas µi en
las posiciones ri , que se mueven con velocidad vi , i = 1, 2, . . . , N .
Figura 4.17: Momento angular Li de una partícula con carga qi , velocidad vi , en la posición ri .
La densidad de carga es ρ(r) =
P
i qi δ(r
J(r0 ) =
X
− ri ) y la densidad de corriente es
qi vi δ(r0 − ri ).
(4.108)
i
Luego,
m =
=
=
=
Z
X
1
r ×J r d r =
r0 ×
qi vi δ(r0 − ri ) d3 r0
2c
i
Z
1 X
qi (r0 × vi ) δ(r0 − ri ) d3 r0
2c
i
1 X qi
1 X
qi (ri × vi ) =
(ri × µi vi )
2c
2c
µi
i
i
1 X qi
Li .
(4.109)
2c
µi
1
2c
Z
0
0
3 0
i
donde Li = ri × µi vi es el momento angular de la partícula i. Si las partículas
qi
q
son idénticas,
= es constante. Entonces,
µi
µ
q
m=
L,
(4.110)
2µc
donde L es el momento angular total del sistema. El momento mágnético y el
momento angular de un sistema con carga eléctrica están relacionados clásicamente mediante la Ec. (4.110).
178
4.6.
CAPÍTULO 4. MAGNETOSTÁTICA
Magnetostática en medios materiales.
Existen materiales, como la magnetita o los imanes naturales, que poseen magnetización a temperatura ambiente. La presencia de dipolos magnéticos a nivel atómico
o molecular contribuye a crear una magnetización macroscópica M en el medio. Por
otro lado, un campo magnético puede contribuir a generar corrientes en un medio
material que dan lugar a momentos dipolares magnéticos inducidos. La magnetización, ya sea intrínseca o inducida, produce un campo magnético adicional al campo
creado por las corrientes libres en el medio.
El potencial vector debido a una densidad de corriente libre J es
1
A(r) =
c
Z
J (r0 ) 3 0
d r.
|r − r0 |
(4.111)
Igualmente, un dipolo magnético m puede producir un potencial vector
A(r) = m ×
(r − r)
.
|r − r0 |3
(4.112)
El momento dipolar de un elemento de volumen que posee una magnetización M es
dm = M d3 r. Luego, el potencial vector producido en la posición r por un elemento
de volumen d3 r0 ubicado en r0 en un medio material donde existen una densidad de
corriente J(r0 ) y una magnetización M(r0 ) será
dA(r) =
1 J (r0 ) 3 0 M(r0 ) × (r − r0 ) 3 0
d r.
d r +
c |r − r0 |
|r − r0 |3
(4.113)
Por lo tanto,
1
A(r) =
c
Z
J (r0 ) 3 0
d r +
|r − r0 |
Z
M(r0 ) × (r − r0 ) 3 0
d r.
|r − r0 |3
(4.114)
Consideremos el segundo término en la Ec. (4.114),
Z
M(r0 ) × (r − r0 ) 3 0
d r =
|r − r0 |3
Z
0
M(r ) × ∇
0
1
|r − r0 |
d3 r0 .
(4.115)
4.6. MAGNETOSTÁTICA EN MEDIOS MATERIALES.
179
Utilizamos la identidad vectorial ∇ × (ψa) = ∇ψ × a + ψ∇ × a. Haciendo a = M
1
, podemos escribir
yψ=
|r − r0 |
Z
0
M(r ) × ∇
0
1
|r − r0 |
3 0
∇0 × M(r0 ) 3 0
d r −
|r − r0 |
Z
d r =
Z
0
∇ ×
M(r0 )
|r − r0 |
d3 r0 .
(4.116)
El segundo término en la Ec. (4.116) se puede convertir en una integral de superficie
mediante el teorema integral
Z
I
3
∇ × Ad r =
n̂ × A da,
∀A.
(4.117)
V
S
Para demostrar el teorema Ec. (4.117), consideremos un vector constante arbitrario
c y definamos
Z
X=
∇ × A d3 r.
(4.118)
V
Luego,
Z
c·X=
(c · ∇ × A) d3 r.
(4.119)
V
Usamos la identidad vectorial ∇ · (A × c) = c · (∇ × A) − A · (∇ × c). Pero ∇ × c = 0,
puesto que c es un vector constante. Luego,
Z
c·X =
∇ · (A × c) d3 r
IV
=
(A × c) · n̂ da
(por el teorema de la divergencia)
SI
= c · (n̂ × A) da.
(4.120)
S
Puesto que c es un vector constante arbitrario, se cumple el teorema integral Ec. (4.117).
Empleamos este teorema con una superficie S ubicada completamente fuera del
medio material, de modo que M = 0 sobre S. Entonces, para tal S tenemos
Z
I
M(r0 )
M(r0 )
0
3 0
∇ ×
d r =
n̂ ×
da0 = 0.
(4.121)
|r − r0 |
|r − r0 |
S
180
CAPÍTULO 4. MAGNETOSTÁTICA
Luego, la Ec. (4.114) se puede escribir como
Z
Z
J(r0 ) 3 0
1
∇0 × M(r0 ) 3 0
A(r) =
d
r
+
d r
c
|r − r0 |
|r − r0 |
Z
[J(r0 ) + c∇0 × M(r0 )] 3 0
1
=
d r
c
|r − r0 |
Z
Jef (r0 ) 3 0
1
=
d r ,
c
|r − r0 |
(4.122)
donde hemos definido una corriente efectiva
Jef ≡ J + c∇ × M.
(4.123)
El potencial vector en un medio puede puede considerarse como debido a una densidad
de corriente Jef . El término ∇ × M se puede interpretar como una corriente adicional
contribuida por la magnetización presente en el medio.
El campo magnético B correspondiente debe satisfacer la segunda ecuación de la
Magnetostática, Ec. (4.8), con Jef ,
∇×B=
4π
Jef .
c
(4.124)
Sustituyendo Jef , obtenemos
4π
(J + c∇ × M)
c
4π
∇ × (B − 4πM) =
J
c
4π
∇×H=
J,
c
∇×B=
(4.125)
donde definimos el campo magnético en el medio,
H = B − 4πM.
(4.126)
En muchos medios isotrópicos se encuentra experimentalmente que la magnetización es proporcional a H,
M = χm H,
(4.127)
4.6. MAGNETOSTÁTICA EN MEDIOS MATERIALES.
181
donde χm es una propiedad del medio denominada susceptibilidad magnética. Luego,
se puede expresar
B = (1 + 4πχm )H = µ H.
(4.128)
donde µ = 1 + 4πχm se llama permeabilidad magnética del medio. La relación H =
µ−1 B para campos magnéticos es análoga a la relación D = E para campos eléctricos
en un medio. Sin embargo, mientras que siempre > 1 en medios materiales, la
permeabilidad magnética puede tener valores
µ > 1, χm > 0, materiales paramagnéticos,
µ < 1, χm < 0, materiales diamagnéticos.
Los materiales paramagnéticos se caracterizan por poseer momentos magnéticos permanentes que tienden a alinearse con el campo, de manera que M es paralelo a H.
En materiales diamagnéticos no existen momentos magnéticos permanentes, sino que
éstos son inducidos por el campo; en este caso M es opuesto a H.
Adicionalmente, existen materiales ferromagnéticos para los cuales no se cumple
la relación B = µH, sino una relación funcional no lineal
B = F (H).
(4.129)
El fenómeno de histéresis es un ejemplo de una relación no trivial entre B y H, donde
la función F (H) depende de la historia de la preparación del material.
Figura 4.18: Histéresis.
Las ecuaciones de la Magnetostática en medios materiales toman la forma
∇·B=0
4π
∇×H=
J.
c
(4.130)
(4.131)
182
CAPÍTULO 4. MAGNETOSTÁTICA
Estas ecuaciones son análogas a las ecuaciones para la Electrostática en medios materiales,
∇ · D = 4πρ
(4.132)
∇ × E = 0.
(4.133)
Las condiciones de frontera en la superficie que separa dos medios caracterizados
por permeabilidades magnéticas µ1 y µ2 son también análogas a las correspondientes
en Electrostática,
B2 · n̂ = B1 · n̂
4π
H2 · t̂ − H1 · t̂ =
Jsup · t̂,
c
(4.134)
(4.135)
donde n̂ y t̂ son los vectores normal y tangente a la superficie, respectivamente, y
Jsup es la densidad de corriente sobre la superficie. Si Jsup = 0, tanto la componente
normal de B como la componente tangencial de H = µ−1 B, son continuas.
Por último, existen materiales superconductores que no son penetrados por campos magnéticos ni eléctricos para temperaturas T por debajo de cierto valor crítico Tc .
La resistencia de un superconductor se hace cero para temperaturas T < Tc . Para el
mercurio, T c = 4,2o K. La corriente eléctrica puede permanecer por largo tiempo (105
años) en un circuito superconductor sin fuente externa, una vez establecida. En los últimos años, se han descubierto materiales cerámicos (no metálicos) superconductores
a altas temperaturas.
Figura 4.19: Temperatura crítica para superconductividad.
La conductividad en un superconductor σ ∝ R−1 → ∞ para T < Tc . Puesto
que J = σE, si hay una corriente finita establecida en un circuito superconductor,
debemos tener E = 0 en el superconductor. La ecuación de Maxwell
∇×E+
1 ∂B
= 0,
c ∂t
(4.136)
4.6. MAGNETOSTÁTICA EN MEDIOS MATERIALES.
183
implica entonces que B debe ser constante dentro del superconductor. Luego, si inicialmente B = 0 cuando T > T c, entonces B = 0 para T < T c, aunque se apliquen
campos después. Por otro lado, si inicialmente B 6= 0 cuando T > T c, entonces para
T < T c se observa el efecto Meissner : el campo magnético es expulsado del superconductor. El superconductor actúa como un medio diamagnético perfecto. Éste es
un efecto de origen cuántico; la explicación completa del fenómeno de superconductividad requiere de la Mecánica Cuántica.
184
CAPÍTULO 4. MAGNETOSTÁTICA
Resumen
1. Ecuaciones de Maxwell para la Magnetostática,
∇ · B = 0,
4π
∇×B=
J.
c
2. Densidad de corriente eléctrica,
J = ρv.
3. Ley de Ohm,
J = σ Eext
4. Ecuaciones de la Magnetostática en términos del potencial vector A,
B = ∇ × A,
4π
J.
∇2 A = −
c
5. Potencial vector de una distribución de corriente,
Z
1
J (r0 ) 3 0
A(r) =
d r.
c
|r − r0 |
6. Campo magnético debido a una densidad de corriente,
Z
1
J (r0 ) × (r − r0 ) 3 0
B(r) =
d r.
3
c
|r − r0 |
7. Ley de Biot-Savart en forma diferencial,
dB(r) =
I dl × r
.
c r3
8. Ley de Ampère en forma integral,
I
B · dl =
C
4π
Ienc .
c
9. Fuerza magnética entre dos circuitos de corrientes,
Z Z
I1 I2
(dl1 · dl2 )r21
.
Fmag12 = − 2
3
c
r21
C1 C2
4.6. MAGNETOSTÁTICA EN MEDIOS MATERIALES.
10. Dipolo magnético de una distribución de corriente,
Z
1
r0 × J(r0 ) d3 r0 .
m=
2c
11. Potencial vector de un dipolo magnético,
A(r) = m ×
r
.
r3
12. Campo magnético de un dipolo magnético,
B(r) =
3r(m · r) m
− 3.
r5
r
13. Energía de un dipolo en un campo magnético externo.
U = −m · Bext
14. Ecuaciones de la Magnetostática en medios materiales,
∇·B=0
4π
∇×H=
J.
c
donde B = µH, µ = 1 + 4πχm .
15. Condiciones de frontera en la superficie que separa dos medios,
B2 · n̂ = B1 · n̂
4π
Jsup · t̂.
H2 · t̂ − H1 · t̂ =
c
185
186
4.7.
CAPÍTULO 4. MAGNETOSTÁTICA
Problemas.
1. Una esfera de radio a y con densidad de carga superficial σ está rotando con
velocidad angular constante ω alrededor de un eje que pasa por su centro.
a) Encuentre el potencial vector fuera de la esfera.
b) Encuentre el campo magnético fuera de la esfera.
2. Un tubo conductor cilíndrico muy largo, con radio interior a y radio externo
b, lleva una corriente uniforme I. Encuentre el campo magnético producido en
todo el espacio.
3. Un solenoide de longitud finita L, radio a y con n vueltas por unidad de longitud, lleva una corriente I. Calcule el campo magnético dentro del solenoide en
cualquier punto sobre su eje.
4. Tres cables rectos, infinitos y coplanares están igualmente espaciados por una
distancia a y llevan una corriente I cada uno. La dirección de la corriente en el
cable central es opuesta a la de los cables externos.
a) Encuentre los puntos del espacio donde el campo magnético se anula.
b) Si el cable central se desplaza una distancia x a sobre el plano común,
calcule la frecuencia de oscilación del movimiento resultante.
5. Un electrón gira con velocidad angular constante ω en un plano ecuatorial
alrededor de una esfera conductora de conectada a tierra, a una distancia a del
centro de la esfera. El radio de la esfera es b < a.
a) Calcule la magnitud y la dirección del campo magnético en el centro de la
esfera.
b) Calcule el momento magnético resultante.
6. Un conductor cilíndrico de radio a tiene un hueco de radio b paralelo a su eje
y centrado a una distancia d del eje del cilindro, con d + b < a. Una corriente
I fluye a lo largo del cilindro. Calcule la magnitud y la dirección del campo
magnético en el hueco.
7. Un disco de radio a y densidad de carga superficial uniforme σ rota con velocidad
angular constante ω sobre un eje perpendicular a su plano y que pasa por su
centro. Calcule el momento magnético resultante.
4.7. PROBLEMAS.
187
8. Demuestre que el vector potencial correspondiente a un campo magnetico uniforme B se puede expresar como A = 21 B × r.
9. Un cascarón cilíndrico muy largo, de radio a, posee una densidad superficial
de carga σ y rota sobre su eje con velocidad angular constante ω. Encuentre el
campo magnético dentro y fuera del cilindro.
10. a) Demuestre que el campo magnético y la magnetización en un medio material
libre de corrientes satisfacen la relación
I
I
B · dl = 4π
M · dl,
C
C
b) Encuentre el campo magnético dentro de una barra de imán de radio a,
infinitamente larga, que posee magnetización uniforme M a lo largo de su eje.
11. Un cilindro dieléctrico de longitud infinita y radio R posee una polarización
eléctrica P = krr̂, donde r̂ es el vector unitario en la dirección radial y k
es una constante. El cilindro rota alrededor de su eje con velocidad angular
constante no relativista ω. Calcule el campo magnético generado dentro y fuera
del cilindro.
188
CAPÍTULO 4. MAGNETOSTÁTICA
Capítulo 5
Campos electromagnéticos
dependientes del tiempo.
5.1.
Ley de Faraday y ecuaciones de Maxwell.
Los experimentos de Faraday constituyen las primeras observaciones cuantitativas
de los efectos de campos electromagnéticos dependientes del tiempo. Faraday encontró
que una corriente eléctrica transitoria aparece en un circuito C en las siguientes
situaciones:
i) se enciende o se apaga una corriente en un circuito cercano;
ii) se mueve un circuito cercano por el cual fluye una corriente;
iii) se mueve un imán en relación a C.
En todos los casos, la aparición de corriente en C ocurre cuando las corrientes adyacentes cambian, o cuando existe movimiento relativo entre C y los fuentes de campos
magnéticos. Faraday interpretó que la corriente transiente en C se debía al cambio
de flujo del campo magnético Φm encerrado por C, definido como
Z
Φm =
B · n̂ da,
(5.1)
S
donde S es el área encerrada por C, cuya normal es n̂, y B es el campo magnético
en la vecindad de C.
189
190CAPÍTULO 5. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
Figura 5.1: Flujo magnético y corriente inducida en un circuito C.
Por otro lado, la aparición de una corriente en C está asociada a la existencia de
una diferencia de potencial sobre C. La diferencia de potencial entre dos puntos del
circuito C es
Z
Z
2
∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 =
2
∇ϕ · dl = −
1
E · dl,
(5.2)
1
donde E es el campo eléctrico en la posición del elemento de longitud dl de C. Si
ϕ1 > ϕ2 , la corriente fluye del punto 1 al punto 2 en C. La diferencia de potencial
total a lo largo del circuito se denomina fuerza electromotriz, y se define como
I
ε = E · dl.
(5.3)
c
La ley de inducción descubierta por Faraday se expresa matemáticamente de la siguiente forma
1 dΦm
ε=−
.
(5.4)
c dt
El signo menos es la expresión de la ley de Lenz, que establece que la corriente inducida
en C (y el flujo magnético asociada a esa corriente) ocurre en una dirección tal que
se opone siempre al cambio de flujo a traves de C. La constante de proporcionalidad
depende de la escogencia del sistema de unidades para medir cantidades eléctricas
y magnéticas. En el sistema GCS, la constante, medida experimentalmente, es 1/c,
donde c es la velocidad de la luz.
La ley de Faraday Ec. (5.3) se puede escribir como
I
Z
1 d
E · dl = −
B · n̂ da.
(5.5)
c dt S
c
5.1. LEY DE FARADAY Y ECUACIONES DE MAXWELL.
191
Usando el teorema de Stokes en el lado izquierdo y en un sistema de referencia donde
C esté en reposo, podemos escribir
Z
Z
1
dB
∇ × E · n̂ da = −
· n̂ da.
(5.6)
c
S
S dt
Calculamos la derivada total de B(r, t) con respecto al tiempo,
dB
dt
=
∂B X ∂B dxi
∂B X ∂B
+
=
+
vi
∂t
∂xi dt
∂t
∂xi
i
=
i
∂B
∂B
+ (v · ∇)B =
+ ∇ × (B × v),
∂t
∂t
(5.7)
donde v es la velocidad del circuito, y hemos usado la identidad ∇ × (B × v) =
B(∇·v)−v(∇·B)+(v·∇)B−(B·∇)v y el hecho de que la velocidad es independiente
∂B
de la posición. Pero v = 0 en el sistema de referencia empleado. Luego, dB
dt = ∂t .
Entonces, podemos escribir la Ec. (5.6) como
Z 1 ∂B
∇×E+
· n̂ da = 0.
(5.8)
c ∂t
S
Puesto que el circuito C y el área encerrada S son arbitrarios, el integrando debe ser
cero en todo punto del espacio,
∇×E+
1 ∂B
= 0.
c ∂t
(5.9)
La Ec. (5.9) es la ley de inducción de Faraday en forma diferencial. Ambos campos E
y B están definidos en el sistema de referencia donde C está en reposo. Sin embargo,
el principio de relatividad implica que la ley de Faraday es válida en cualquier sistema
de referencia inercial.
Hasta la época de Maxwell, las ecuaciones que describían los fenómenos electromagnéticos conocidos en un medio material podían escribirse como
∇ · D = 4πρ
1 ∂B
(ii) ∇ × E +
=0
c ∂t
(iii)
∇·B=0
4π
(iv)
∇×H=
J
c
(i)
(Ley de Coulomb)
(Ley de Faraday)
(ausencia de monopolos magnéticos)
(Ley de Ampère)
192CAPÍTULO 5. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
donde D = E y B = µH en un medio isotrópico. Además, se conocía experimentalmente la conservación de la carga eléctrica,
dρ
= 0,
dt
la cual puede ser descrita mediante la ecuación de continuidad,
dρ
∂ρ X ∂ρ dxi
∂ρ
=
+
=
+ v · ∇ρ
dt
∂t
∂xi dt
∂t
(5.10)
i
∂ρ
:0
+ ∇ · (ρv) − ρ
=
(∇·
v)
∂t
∂ρ
+ ∇ · J = 0,
(5.11)
⇒
∂t
donde ∇·v = 0, puesto que la velocidad es independiente de la posición. Sin embargo,
la Ley de Ampère en su forma (iv) fue derivada para corrientes estacionarias y da
4π
∇ · J = 0,
(5.12)
c
lo cual es inconsistente con la ecuación de continuidad, Ec. (5.11), en situaciones
dependientes del tiempo, donde ∇ · J 6= 0.
Utilizando la ley de Coulomb (i), la ecuación de continuidad puede expresarse
como
∂ρ
1 ∂
∇·J+
= ∇·J+
(∇ · D)
∂t
4π ∂t 1
∂D
= ∇·J+
∇·
4π
∂t
1 ∂D
= ∇· J+
= 0.
(5.13)
4π ∂t
∇ · (∇ × H) =
Maxwell propuso sustituir
1 ∂D
(5.14)
4π ∂t
en la Ley de Ampère (iv) como una generalización para campos dependientes del
tiempo. Maxwell llamó corriente de desplazamiento eléctrico al término adicional
∂D
∂t . Entonces, la Ley de Ampère se convierte en
J→J+
∇×H=
4π
1 ∂D
J+
.
c
c ∂t
(5.15)
5.1. LEY DE FARADAY Y ECUACIONES DE MAXWELL.
193
Con la adición de la corriente de desplazamiento, las ecuaciones de Maxwell en
medios materiales se convierten en
∇ · D = 4πρ
1 ∂B
∇×E+
=0
c ∂t
∇·B=0
1 ∂D
4π
∇×H−
=
J.
c ∂t
c
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
La ecuación de continuidad Ec. (5.11) es ahora consecuencia de las ecuaciones
de Maxwell. La adición del término ∂D
∂t tiene consecuencias importantes: un campo
eléctrico que varía en el tiempo puede dar lugar a un campo magnético, aún en ausencia de corrientes. Por ejemplo, un campo eléctrico que varía en el tiempo entre
dos placas de un condensador, produce un campo magnético. Esto es análogo a la
ley de Faraday (ii), donde un campo magnético dependiente del tiempo produce un
campo eléctrico. De esta manera, los campo eléctricos y magnéticos dependientes del
tiempo se acoplan y las ecuaciones de Maxwell permiten la existencia de ondas electromagnéticas. Las ecuaciones de Maxwell constituyen la base de todos los fenómenos
electromagnéticos clásicos.
Figura 5.2: Campo eléctrico variable en el tiempo produce un campo magnético.
En el vacío, donde E = D y H = B, las ecuaciones de Maxwell son
∇ · E = 4πρ
1 ∂B
∇×E+
=0
c ∂t
∇·B=0
1 ∂E
4π
∇×B−
=
J.
c ∂t
c
(1)
(2)
(3)
(4)
194CAPÍTULO 5. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
La Ec. (3) implica que B puede expresarse como el rotacional de un vector,
B = ∇ × A.
(5.16)
El campo vectorial A se denomina potencial vector, como vimos en el Cap. 4. Sustituyendo en la Ec. (2), tenemos
1 ∂
1 ∂A
= 0.
(5.17)
∇×E+
(∇ × A) = ∇ × E +
c ∂t
c ∂t
El término entre paréntesis en la Ec. (5.17) puede expresarse como el gradiente de
un campo escalar,
1 ∂A
= −∇ϕ
c ∂t
1 ∂A
E = −∇ϕ −
.
c ∂t
E+
⇒
(5.18)
La Ec. (5.18) se reduce a la correspondiente expresión en Electrostática cuando los
campos son independientes del tiempo. Las Ecs. (5.16 y (5.18) implican que, dados
los potenciales A y ϕ, se pueden determinar los campos B y E.
Las ecuaciones de Maxwell se pueden expresar en función de los potenciales A y
ϕ. Sustituyendo la Ec. (5.18) en la ecuación de Maxwell (1), obtenemos
1 ∂A
∇ · −∇ϕ −
= 4πρ
c ∂t
1 ∂
∇2 ϕ +
(∇ · A) = −4πρ.
(5.19)
c ∂t
Sustituyendo las Ecs. (5.16) y (5.18) en la ecuación de Maxwell (4), obtenemos
1 ∂
1 ∂A
4π
∇ × (∇ × A) +
∇ϕ +
=
J
c ∂t
c ∂t
c
1
∂ϕ
1 ∂2A
4π
+ 2 2 =
J
∇(∇ · A) − ∇2 A + ∇
c
∂t
c ∂t
c
1 ∂2A
1 ∂ϕ
4π
2
∇ A− 2 2 −∇ ∇·A+
= − J.
(5.20)
c ∂t
c ∂t
c
5.2. TRANSFORMACIONES DE CALIBRE.
195
Las Ecs. (5.19) y (5.20) constituyen cuatro ecuaciones acopladas de segundo orden
para el potencial escalar ϕ y las tres componentes Ai del potencial vectorial A,
en función de las fuentes ρ y J. Estas ecuaciones son equivalentes a las ecuaciones
de Maxwell (1)-(4), que corresponden a ocho ecuaciones de primer orden para las
componentes Ei y Bi de los campos E y B.
5.2.
Transformaciones de calibre.
Consideremos las ecuaciones de Maxwell en términos de los potenciales A y ϕ,
1 ∂
∇2 ϕ +
(∇ · A) = −4πρ,
c ∂t
1 ∂2A
1 ∂ϕ
4π
2
∇ A− 2 2 −∇ ∇·A+
= − J.
c ∂t
c ∂t
c
(5.21)
(5.22)
Las Ecs. (5.21) y (5.22) pueden desacoplarse haciendo uso de la indeterminación
implícita en las definiciones de los potenciales A y ϕ. Nótese que el campo magnético
es invariante si al potencial vector se le añade el gradiente de algún campo escalar Λ,
A → A0 = A + ∇Λ.
(5.23)
Esto significa que B = ∇ × A0 = ∇ × A + ∇ × ∇Λ = ∇ × A.
Por otro lado, el campo eléctrico tampoco cambia si el potencial escalar se transforma simultáneamente de la forma
ϕ → ϕ0 = ϕ −
1 ∂Λ
.
c ∂t
(5.24)
En este caso,
E = −∇ϕ0 −
1 ∂A0
c ∂t
1
∂Λ
1 ∂A 1 ∂
∇
−
−
∇Λ
c
∂t
c ∂t
c ∂t
1 ∂A
= −∇ϕ −
.
c ∂t
= −∇ϕ +
(5.25)
Las transformaciones Ecs. (5.23) y (5.24) que dejan invariantes los campos B y
E se llaman transformaciones de calibre. La invarianza de los campos E y B ante
las transformaciones de calibre revela la existencia de simetrías fundamentales en
196CAPÍTULO 5. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
las ecuaciones de Maxwell. Aunque no es materia correspondiente a este curso, las
ecuaciones de Maxwell se pueden derivar como ecuaciones de movimiento a partir de
un Lagrangiano apropiado que describe el campo electromagnético. Por el teorema de
Noether, sabemos que una transformación que deja invariante el Lagrangiano y, por
lo tanto, las ecuaciones de movimiento de un sistema, está asociada a una cantidad
conservada. Se puede demostrar que la simetría de calibre presente en las ecuaciones
de Maxwell implica la ecuación de continuidad, Ec. (5.11); es decir, la conservación
local de la carga eléctrica.
La libertad que existe en las transformaciones de calibre permite escoger los potenciales A y ϕ tal que satisfagan alguna condición específica. En particular, la relación
∇·A+
1 ∂ϕ
=0
c ∂t
(5.26)
se llama calibre de Lorentz y simplifica las Ecs. (5.19) y (5.20) en la forma
1 ∂2ϕ
= −4πρ
c2 ∂t2
4π
1 ∂2A
∇2 A − 2 2 = − J.
c ∂t
c
∇2 ϕ −
(5.27)
(5.28)
Las Ecs. (5.27) y (5.28) constituyen dos ecuaciones de onda inhomogéneas e independientes para A y ϕ las cuales, junto con el calibre de Lorentz, son equivalentes a las
ecuaciones de Maxwell. Note que el calibre de Lorentz para los potenciales transformados A0 y ϕ0 , en las Ecs. (5.23) y (5.24), implica que el campo escalar Λ satisface
una ecuación de onda,
1 ∂ϕ
1 ∂2Λ
− 2
=0
c ∂t
c ∂t2
1 ∂2Λ
⇒ ∇2 Λ − 2
= 0.
(5.29)
c ∂t2
Otra condición sobre las transformaciones de calibres que resulta útil es el calibre
de Coulomb, donde
∇ · A = 0.
(5.30)
∇ · A + ∇2 Λ +
Esta condición fue utilizada en Magnetostática, Cap. 4. Con esta escogencia de calibre,
la Ec. (5.19) para el potencial ϕ(r, t) queda
∇2 ϕ = −4πρ,
(5.31)
5.3. ENERGÍA DEL CAMPO MAGNÉTICO.
197
cuya solución es
Z
ϕ(r, t) =
ρ (r0 , t) 3 0
d r.
|r − r0 |
(5.32)
Si ρ es independiente del tiempo, el potencial ϕ en la Ec. (5.2) se reduce al potencial
de Coulomb en Electrostática, como vimos en el Cap. 1. Con el calibre de Coulomb,
la Ec. (5.22) para el potencial A(r, t) conduce a la ecuación inhomogénea de onda,
∇2 A −
1 ∂2A
4π
1 ∂ϕ
=− J+ ∇ .
2
2
c ∂t
c
c ∂t
(5.33)
El calibre de Coulomb para el potencial A0 en la Ec. (5.23), es equivalente a haber
escogido un campo Λ tal que ∇2 Λ = 0.
5.3.
Energía del campo magnético.
Un campo magnético posee una energía almacenada similar a la energía acumulada en un campo eléctrostático (Cap. 1). La energía del campo magnético proviene
de la interacción entre distribuciones de corrientes; es equivalente al trabajo realizado para traer circuitos de corriente desde el infinito hasta formar una configuración
dada.
El trabajo para traer un primer circuito C1 desde el infinito hasta una posición
dada es cero, puesto que no hay campos magnéticos externos presentes y no contamos
auto-energías. Consideremos dos circuitos C1 y C2 con corrientes constantes I1 y I2 ,
respectivamente, en una configuración dada. Sean S1 y S2 las áreas encerradas por
C1 y C2 , respectivamente, y sean n̂1 y n̂2 sus vectores normales correspondientes.
Recordemos que la fuerza magnética sobre C2 debido a C1 es (Cap. 4),
Fmag 21
I1 I2
=− 2
c
I
C1
I
C2
(dl1 · dl2 ) r̂
,
r2
(5.34)
donde hemos denotado r = r12 = r2 − r1 como el vector de posición relativa desde
dl1 a dl2 . El trabajo realizado por un agente externo en contra de la fuerza magnética
198CAPÍTULO 5. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
para traer el circuito C2 desde el infinito hasta su posición relativa a C1 , es
Z r
Wext = −
Fmag 21 (r0 ) · dr0
∞
I I
Z r 0
I1 I2
dr
=
(dl1 · dl2 )
2
02
c
C1 C 2
∞ r
I I
I1 I2
dl1 · dl2
= − 2
.
c
r
C1 C2
(5.35)
El signo negativo en Wext es compatible con el hecho que circuitos con corrientes
paralelas; es decir dl1 ·dl2 > 0, se atraen (Cap. 4); por lo tanto se debe hacer un trabajo
negativo para acercarlos. Similarmente, se requiere realizar un trabajo negativo en
contra de la fuerza eléctrica para acercar dos cargas cuyos signos son opuestos.
Sin embargo, existe una contribución adicional al trabajo necesario para construir
el campo magnético en una configuración de dos circuitos de corriente. A medida que
se acercan, cada circuito crea un campo que produce un cambio de flujo magnético
a través del área encerrada por el otro circuito. La ley de Faraday implica entonces
que campos eléctricos son inducidos en los circuitos, los cuales alteran las corrientes
en cada circuito. Por lo tanto, el agente externo debe realizar un trabajo adicional
en contra de los campos eléctricos inducidos para mantener los valores constantes
establecidos para las corrientes en cada circuito, hasta alcanzar la configuración final.
El flujo del campo magnético B2 del circuito C2 a través del circuito C1 es
Z
Φ21 =
B2 (r1 ) · n̂1 da1
S1
Z
=
(∇ × A2 (r1 )) · n̂1 da1
S1
I
A2 (r1 ) · dl1
(usando el teorema de Stokes).
(5.36)
=
C1
El potencial vector A2 (r1 ) es
I2
A2 (r1 ) =
c
I
C2
dl2
I2
=
|r2 − r1 |
c
I
Sustituyendo en la Ec. (5.36), obtenemos
I I
I2
dl1 · dl2
Φ21 =
.
c C1 C 2
r
C2
dl2
.
r
(5.37)
(5.38)
5.3. ENERGÍA DEL CAMPO MAGNÉTICO.
199
Se acostumbra definir la inductancia mutua de dos circuitos C1 y C2 como la cantidad
simétrica
I I
1
dl1 · dl2
M12 = M21 ≡ 2
,
(5.39)
c C 1 C2
r
la cual depende exclusivamente de la geometría y de la disposición relativa de los
circuitos C1 y C2 .
La fuerza electromotriz inducida en C1 debido al cambio del flujo magnético Φ21
al mover C2 hacia C1 es
1 dΦ21
ε1 = −
.
(5.40)
c dt
La potencia (energía por unidad de tiempo) disipada en el circuito C1 es I12 R1 = I1 ε1 ,
donde R1 = ε1 /I1 es la resistencia de C1 . Luego, el trabajo por unidad de tiempo
que debe suministrar el agente externo para contrarrestar la disipación causada por
la fuerza electromotriz inducida y mantener I1 constante es
I1 dΦ21
dW1
= −I1 ε1 =
.
dt
c dt
Integrando con I1 constante, obtenemos
I I
1
dl1 · dl2
W1 = I1 Φ21 = I1 I2
.
c
r
C1 C2
(5.41)
(5.42)
Similarmente, el circuito C2 disipa una energía W2 = 1c I1 Φ12 = W1 debido al cambio
de flujo Φ12 . La energía total disipada debido a las fuerzas electromotrices inducidas
mutuamente en ambos circuitos debe ser suministrada por el trabajo realizado por el
agente externo que construye la configuración. Este trabajo es
Wfem = W1 + W2
I I
I1 I2
dl1 · dl2
= 2 2
.
c
r
C1 C2
(5.43)
Luego, el trabajo total requerido para alcanzar la configuración final de los dos circuitos C1 y C2 es
W
= Wext + Wfem
I I
I I
I1 I2
dl1 · dl2
I1 I2
dl1 · dl2
= − 2
+2 2
c
r
c
r
C1 C 2
I CI1 C2
I1 I2
dl1 · dl2
=
.
2
c
C1 C2 |r2 − r1 |
(5.44)
200CAPÍTULO 5. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
Este trabajo total es igual a la energía potencial Umag almacenada en el campo magnético producido por la configuración de los dos circuitos. Por extensión, la energía
potencial total almacenada en el campo magnético de una configuración de N circuitos con corrientes Ii (i = 1, . . . , N ) es
I I
dli · dlj
1 X Ii Ij
Wtotal =
,
(5.45)
2
2
c
C1 C2 |ri − rj |
i,j
i6=j
donde el factor 12 se introduce para no repetir la suma de términos simétricos i ↔ j.
La generalización de la Ec. (5.45) para densidades de corriente generales es
Z Z
J(r) · J(r0 ) 3 3 0
1
d rd r
Umag =
2
2c
|r − r0 |
Z
Z
1
J(r0 ) 3
3
=
J(r)
d
r
·
d r.
(5.46)
2c2
|r − r0 |
donde hemos empleado la equivalencia Idl ↔ Jd3 r para integrales de corrientes en
cables. Utilizando la expresión para el potencial vector
Z
1
J(r0 ) 3
A(r) =
d r
(5.47)
c
|r − r0 |
4π
y la ley de Ampère, ∇ × B =
J, podemos escribir la Ec. (5.46) como
c
Z
1
Umag =
(∇ × B) · A d3 r
8π
Z
Z
1
1
=
B(∇ × A) d3 r −
∇ · (A × B) d3 r,
8π
8π
(5.48)
donde hemos usado la identidad vectorial (∇ × B) · A = B · (∇ × A) − ∇ · (A × B).
Usamos el teorema de la divergencia para la integral
Z
I
3
∇ · (A × B) d r = (A × B) · n̂ da.
(5.49)
S
Puesto que la superficie S es arbitraria, se puede tomar en el infinito, donde los
campos B y A tienden a cero. Luego,
Z
I
3
∇ · (A × B) d r =
(A × B) · n̂ da = 0.
(5.50)
S→∞
5.4. CONSERVACIÓN DE ENERGÍA DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO.201
Entonces, la energía del campo magnetostático queda
Z
1
Umag =
B · (∇ × A) d3 r
8π
Z
1
=
B · B d3 r
8π
Z
1
=
|B|2 d3 r.
8π
(5.51)
La densidad de energía del campo magnético se define como
umag =
1
|B|2 .
8π
(5.52)
Esta expresión es análoga a la correspondiente a la densidad de energía de un campo
eléctrico,
1
uelec =
|E|2 .
(5.53)
8π
En general, la densidad de energía de un campo electromagnético, cuando ambos
campos eléctrico y magnético están presentes en una región del espacio, es
uem =
5.4.
1
|E|2 + |B|2 .
8π
(5.54)
Conservación de energía del campo electromagnético.
El trabajo por unidad de tiempo (potencia) realizado por un campo electromagnético E y B, sobre una carga q que se mueve con velocidad v es
v
F · v = q E + × B · v = q E · v.
(5.55)
c
El campo magnético no realiza trabajo, puesto que la fuerza magnética es perpendicular a la velocidad. Consideremos un volumen V que contiene una distribución
de cargas ρ en movimiento, en presencia de campos E y B. El trabajo por unidad de
tiempo hecho por los campos es
Z
Z
dW
3
=
ρv · E d r =
J · E d3 r.
(5.56)
dt
V
V
202CAPÍTULO 5. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
Esta potencia representa la conversión de energía electromagnética en energía
mecánica empleada en mover las cargas y producir corrientes. Debe ser balanceada
por el cambio de energía del campo electromagnético por unidad de tiempo en el
volumen V . Entonces, expresamos la Ec. (5.56) en términos de los campos E y B,
usando las ecuaciones de Maxwell. Sustituimos J mediante la ley de Ampère,
4π
1 ∂E
J=∇×B−
,
c
c ∂t
(5.57)
y obtenemos
Z
V
1
J · Ed r =
4π
3
Z ∂E 3
cE · (∇ × B) − E ·
d r.
∂t
V
(5.58)
Usamos la identidad vectorial
E · (∇ × B) = B · (∇ × E) − ∇ · (E × B)
para obtener
Z Z
∂E 3
1
3
cB · (∇ × E) − c∇ · (E × B) − E ·
d r.
J · Ed r =
4π V
∂t
V
(5.59)
(5.60)
Sustituimos la ley de Faraday,
∇×E=−
1 ∂B
,
c ∂t
de manera que
Z Z
∂E
∂B 3
1
3
c∇ · (E × B) + E ·
+B·
d r.
J · Ed r = −
4π V
∂t
∂t
V
(5.61)
(5.62)
Recordemos que la densidad de energía (energía por unidad de volumen) del campo
electromagnético es
1
uem =
(|E|2 + |B|2 );
(5.63)
8π
entonces, su derivada parcial temporal es
∂uem
1
∂E
∂B
=
E·
+B·
.
(5.64)
∂t
4π
∂t
∂t
5.5. MOMENTO DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO.
203
Luego, podemos escribir la Ec. (5.62) como
Z c
∂uem
J·E+
d3 r = 0.
∇ · (E × B) +
4π
∂t
V
(5.65)
Puesto que el volumen V es arbitrario, el integrando en la Ec. (5.65) debe ser cero.
Se acostumbra escribir
∂uem
+ ∇ · S + J · E = 0,
(5.66)
∂t
donde hemos definido el vector de Poynting como
S≡
c
E × B.
4π
(5.67)
El vector de Poynting representa el flujo de energía del campo electromagnético por
unidad de tiempo (energía/área×tiempo) en la dirección de S. La Ec. (5.56) se conoce
como el teorema de Poynting y expresa la conservación de energía en una región
donde coexisten campos electromagnéticos, cargas y corrientes: el cambio de energía
del campo electromagnético por unidad de tiempo en un volumen, más el flujo de
energía por unidad de tiempo a través de la superficie que encierra ese volumen, más
el trabajo total hecho por los campos dentro de ese volumen, debe ser cero.
Si no hay cargas ni corrientes en V , tenemos la ecuación de continuidad
∂uem
+ ∇ · S = 0,
∂t
(5.68)
análoga a la ecuación de conservación de la carga eléctrica,
∂ρ
+ ∇ · J = 0.
∂t
5.5.
(5.69)
Momento del campo electromagnético.
La fuerza electromagnética sobre una partícula con carga q en presencia de campos
E y B es
v
F=q E+ ×B .
(5.70)
c
204CAPÍTULO 5. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
Si consideramos una distribución de cargas ρ en un volumen V donde existan campos
electromagnéticos, la fuerza por unidad de volumen será
v
f = ρ E+ ×B
c
J
= ρE + × B,
(5.71)
c
donde J = ρv es la densidad de corriente. La segunda ley de Newton correspondiente
al cambio de momento de todas las cargas y corrientes en V se puede expresar como
Z dPmec
J
ρE + × B d3 r.
=
(5.72)
dt
c
V
Usando las ecuaciones de Maxwell, podemos expresar
1
∇·E
4π
c
1 ∂E
⇒ J=
∇×B−
,
4π
4π ∂t
∇ · E = 4πρ ⇒ ρ =
∇×B=
4π
1 ∂E
J+
c
c ∂t
y sustituir en la Ec. (5.72), para obtener
Z dPmec
1
1 ∂E
=
(∇ · E)E + (∇ × B) × B −
× B d3 r.
dt
4π V
c ∂t
(5.73)
(5.74)
(5.75)
El término con la derivada parcial temporal se puede escribir como
1 ∂E
×B =
c ∂t
=
1∂
1
∂B
(E × B) − E ×
c ∂t
c
∂t
1∂
(E × B) + E × (∇ × E),
c ∂t
(5.76)
donde hemos empleado la ley de Faraday,
∇×E=−
1 ∂B
.
c ∂t
(5.77)
Sustituyendo en la Ec. (5.75), tenemos
Z dPmec
1
1∂
=
(∇ · E)E + (∇ × B) × B −
(E × B) − E × (∇ × E) d3 r .
dt
4π V
c ∂t
5.5. MOMENTO DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO.
205
Podemos escribir
dPmec
1 d
+
dt
4πc dt
1
4π
Z
Z
(E × B) d3 r =
V
[(∇ · E)E + (∇ · B)B + (∇ × B) × B + (∇ × E) × E] d3 r,
(5.78)
V
donde hemos sumado el término (∇ · B)B = 0 en el lado izquierdo. Podemos usar la
identidad vectorial
∇(a · b) = a × (∇ × b) + b × (∇ × a) + (a · ∇)b + (b · ∇)a,
(5.79)
con a = b = E, para expresar
∇(E 2 ) = 2E × (∇ × E) + 2(E · ∇)E
1
⇒ (∇ × E) × E = (E · ∇)E − ∇(E 2 ) .
2
(5.80)
Similarmente,
1
(∇ × B) × B = (B · ∇)B − ∇(B 2 ) .
2
(5.81)
La integral de volumen de los campos en el lado izquierdo de la Ec. (5.78) puede
interpretarse como el momento total del campo electromagnético en el volumen V ,
Z
1
(E × B) d3 r.
(5.82)
Pem ≡
4πc V
El integrando puede ser interpretado como la densidad de momento electromagnético,
g≡
1
1
E × B = 2 S.
4πc
c
(5.83)
Sustituyendo en la Ec. (5.78), obtenemos
dPmec dPem
+
=
dt
dt
1
4π
Z V
3
1
2
2
(∇ · E)E + (E · ∇)E + (∇ · B)B + (B · ∇)B − ∇ E + B
d r. (5.84)
2
206CAPÍTULO 5. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
Consideremos las componentes i de los siguientes términos en la Ec. (5.84),
[(∇ · E)E + (E · ∇)E]i =
X
[(∇ · B)B + (B · ∇)B]i =
X
Ei
∂Ej X ∂Ei
+
Ej
∂xj
∂xj
Bi
∂Bj
+
∂xj
j
j
j
∇ E2 + B2 i =
X
Bj
j
∂Bi
∂xj
X ∂
∂
E2 + B2 =
E 2 + B 2 δij .
∂xi
∂xj
j
Luego, la componente i de la Ec. (5.84) se puede escribir como
Z X
3
dPmec dPem
∂
1
1
2
2
+
=
(Ei Ej + Bi Bj ) −
δij E + B
d r.
dt
dt i
∂xj 4π
8π
V
j
Se define el tensor de tensiones de Maxwell para un campo electromagnético como
1
1
2
2
(Ei Ej + Bi Bj ) − δij E + B
,
(5.85)
Tij ≡
4π
2
de modo que podemos escribir
d
[Pmec + Pem ]i =
dt
Z X
∂Tij 3
d r.
∂xj
V
(5.86)
j
El teorema de la divergencia para un vector A se puede expresar en la forma
Z X
I X
∂Aj 3
d r=
Aj nj da,
(5.87)
∂xj
V
S
j
j
luego, podemos escribir la Ec. (5.86) como
d
[Pmec + Pem ]i =
dt
I X
S
Tij nj da.
(5.88)
j
P
La cantidad j Tij nj es la componente i del flujo de momento por unidad de área
que cruza la superficie S hacia el volumen V . En otras palabras, es la fuerza por
5.5. MOMENTO DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO.
207
unidad de área que se transmite a través de S y que actúa sobre las cargas y campos
dentro de V . La Ec. (5.88) representa la conservación de momento lineal del sistema
de cargas y campos electromagnéticos en el volumen V encerrado por la superficie S.
La Ec. (5.88) se puede expresar en forma diferencial como
X ∂Tij
dg
f+
.
(5.89)
=
dt i
∂xj
j
Ejemplo.
1. Fuerza sobre un conductor en un campo eléctrico uniforme E = Eo ẑ.
Figura 5.3: Fuerza sobre un conductor en un campo eléctrico.
Puesto que B = 0 en todo el espacio, E × B = 0 y Pem = 0.
La componente z de la fuerza sobre el conductor es
I X
dPmec
=
Fz =
Tzj nj da.
dt
S
z
(5.90)
j
Tomamos la superficie S tal que justo encierre el conductor. Considerando el
área del plano xy , tenemos n̂ = −ẑ. El tensor de tensiones de Maxwell es
1
1
2
Tzj =
(Ez Ej ) − δzj E
;
4π
2
1
1
1 2
Tzz =
(E 2 − E 2 ) =
E ;
4π o 2 o
8π o
Tzx = Tzy = 0
208CAPÍTULO 5. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
Luego,
Z
Tzz nz da = −
Fz =
A
A 2
E ,
8π o
(5.91)
donde A es el área perpendicular a E. Luego, la fuerza sobre esta área del
conductor es opuesta a E; el conductor tendrá allí una densidad de carga superficial negativa y será atraído por las cargas positivas que producen el campo.
La magnitud de la presión ejercida por el campo eléctrico sobre el conductor es
Fz
E2
= o.
A
8π
5.6.
(5.92)
Momento angular del campo electromagnético.
Del mismo modo que derivamos la ley de conservación del momento lineal, Ec. (5.88),
podemos encontrar la conservación del momento angular en un sistema de cargas y
campos electromagnéticos contenido en un volumen V . La derivada temporal del momento angular mecánico del sistema es igual al torque total sobre la distribución de
cargas y corrientes, dado por
Z
dLmec
=
r × f d3 r,
(5.93)
dt
V
donde f = ρE +
Ec. (5.89),
J
c
× B es la densidad de fuerza, cuya componente i satisface la
dg
fi = −
dt
+
i
X ∂Tij
j
∂xj
=−
1 dSi X ∂Tij
+
.
c2 dt
∂xj
(5.94)
j
Recordemos que la componente i del producto vectorial a × b puede expresarse como
(a × b)i = εijk aj bk ,
donde utilizamos el tensor de Levi-Civita, definido como
1, si i, j, k son permutaciones pares (o cíclicas) de 1, 2, 3.
−1, si i, j, k son permutaciones impares de 1, 2, 3.
εijk =
0, si dos índices son iguales.
(5.95)
(5.96)
5.6. MOMENTO ANGULAR DEL CAMPO ELECTROMAGNÉTICO.
209
Empleando esta notación, la componente i de la Ec. (5.93) puede expresarse como
Z X
dLmec
=
εijk xj fk d3 r
dt i
V j,k
"
#
Z X
1 dSk X ∂Tkl 3
=
εijk xj 2
+
d r
c dt
∂xl
V j,k
l
Z X
Z
X
∂Tkl 3
1 d
3
= − 2
εijk xj Sk d r +
εijk
xj
d r
c dt V
∂xl
V
jk
jkl
Z X
Z
X
∂Tkl 3
1 d
dLmec
3
xj
+ 2
εijk xj Sk d r =
εijk
d r. (5.97)
⇒
dt i
c dt V
∂xl
V
jk
jkl
El segundo término del lado izquierdo de la Ec. (5.97) puede interpretarse como la
derivada con respecto al tiempo de la componente i de la cantidad
Z
Z
1
3
Lem ≡ 2
r × Sd r =
r × g d3 r,
(5.98)
c V
V
la cual puede identificarse como el momento angular del campo electromagnético. El
integrando de la Ec. (5.98) corresponde a la densidad del momento angular del campo
electromagnético,
l = r × g.
(5.99)
Entonces, podemos escribir la Ec. (5.97) en la forma
Z
X
d
∂Tkl 3
[Lmec + Lem ]i =
εijk
xj
d r.
dt
∂xl
V
jkl
Z
Z
X
X
∂(xj Tkl ) 3
∂xj
=
εijk
d r−
εijk
Tkl d3 r.(5.100)
∂x
∂x
l
l
V
V
jkl
jkl
Consideremos el siguiente término en la Ec. (5.100),
Z X
Z
X
∂xj
3
εijk
Tkl d r =
εijk δjl Tkl d3 r
∂xl
V
V
jkl
jkl
Z
X
=
εijk Tkj d3 r = 0.
V
jk
(5.101)
210CAPÍTULO 5. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
Este término contiene la suma sobre los índices k, j del producto de εijk , que es
antisimétrico en el cambio k ↔ j, y Tkj , que es simétrico en el cambio k ↔ j. El
producto resultante es antisimétrico bajo el cambio k ↔ j. Por lo tanto, la doble
suma sobre los índices k, j en la Ec. (5.101) se hace cero.
Luego, la Ec. (5.100) queda
Z
X
∂(xj Tkl ) 3
d
[Lmec + Lem ]i =
εijk
d r
dt
∂xl
V
jkl
Z X
∂(xj Tkl ) 3
d r
=
εijk
∂xl
V jkl
Z X
X
∂
=
εijk xj Tkl d3 r.
(5.102)
∂x
l
V
l
jk
Se define el tensor de flujo de momento angular del campo como
X
Mil ≡
εijk xj Tkl .
(5.103)
jk
Entonces, podemos escribir
d
[Lmec + Lem ]i =
dt
Z X
∂Mil 3
d r.
∂xl
V
(5.104)
l
El teorema de la divergencia para un tensor Mil se puede expresar en la forma,
I X
Z X
∂Mil 3
d r=
Mil nl da,
(5.105)
∂xl
S
V
l
l
donde S es la superficie que encierra al volumen V . Por lo tanto, Ec. (5.104) se puede
expresar como
I X
d
[Lmec + Lem ]i =
Mil nl da.
(5.106)
dt
S
l
La Ec. (5.106) expresa la conservación de momento angular del sistema de cargas y
campos electromagnéticos en el volumen V encerrado por la superficie S. La cantidad
P
l Mil nl es la componente i del flujo de momento angular por unidad de área que
cruza la superficie S.
5.7. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS.
5.7.
211
Ondas electromagnéticas.
Las ecuaciones de Maxwell fuera de las fuentes (ρ = 0, J = 0), en un medio
caracterizado por y µ, son
∇·E=0
1 ∂B
∇×E+
=0
c ∂t
∇·B=0
µ ∂E
=0
∇×B−
c ∂t
(1)
(2)
(3)
(4)
Si tomamos el rotacional en la Ec. (2), obtenemos
1
∂B
∇ × (∇ × E) + ∇ ×
= 0
c
∂t
1∂
:0
(∇ × B) = 0
∇
(∇·
E) − ∇2 E +
c ∂t
µ ∂ 2 E
= 0
−∇2 E + 2
c ∂t2
µ ∂ 2 E
∇2 E − 2
= 0.
c ∂t2
Igualmente, tomando el rotacional en la Ec.
µ
∂E
∇ × (∇ × B) −
∇×
c
∂t
µ ∂
:0
∇
(∇·
B) − ∇2 B −
(∇ × E)
c ∂t
µ ∂ 2 B
−∇2 B + 2
c ∂t2
µ ∂ 2 B
∇2 B − 2
c ∂t2
(usando (1))
(usando (4))
(5.107)
(4), obtenemos
= 0
= 0
(usando (3))
= 0
(usando (2))
= 0.
(5.108)
Las Ecs. (5.107) y (5.108) muestran que, como consecuencia de las ecuaciones de
Maxwell dependientes del tiempo, tanto el campo eléctrico como el campo magnético
satisfacen una ecuación de onda.
212CAPÍTULO 5. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
Cada componente de E o de B satisface la ecuación
∇2 Ei −
µ ∂ 2 Ei
= 0,
c2 ∂t2
(5.109)
que corresponde a la ecuación onda para un campo escalar u(r, t) en un medio,
∇2 u −
1 ∂2u
= 0,
v 2 ∂t2
(5.110)
donde v es la velocidad de propagación de la onda en el medio. En una dimensión
(por ejemplo, una onda propagándose en una cuerda en la dirección x), la ecuación
de onda es
∂2u
1 ∂2u
−
= 0.
(5.111)
∂x2 v 2 ∂t2
Se puede verificar que la solución general de la Ec. (5.111) tiene la forma
u(x, t) = f (x − vt) + g(x + vt),
(5.112)
donde f (z) y g(z) son funciones arbirarias. El término f (x − vt) describe una perturbación con la forma f (z) moviéndose con velocidad v hacia la dirección +x̂, con
z = x − vt; mientras que g(x + vt) representa una función g(z) moviéndose con v
hacia −x̂, con z = x + vt. La velocidad v se denomina velocidad de fase de la onda.
Figura 5.4: Onda moviéndose con velocidad v en la dirección x̂.
Recordemos que una función f (z), donde z ∈ (−∞, ∞), puede expresarse como
una integral de Fourier de términos exponenciales de la forma
f (z) ∝ eikz ,
(5.113)
donde k es un parámetro tal que el argumento del exponencial es adimensional. Luego,
con esta representación podemos encontrar una solución u(x, t) de tipo oscilatorio,
u(x, t) = A ei(kx−ωt) + B ei(kx+ωt) ,
(5.114)
5.7. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS.
213
donde
ω
(5.115)
v
corresponde el número de onda y ω es la frecuencia. La longitud de onda λ está dada
por la condición
k=
u(x, t) = u(x + λ, t)
⇒ eikλ = 1
2π
.
⇒λ=
k
(5.116)
Similarmente, una solución de la ecuación de onda tridimensional Ec. (5.110) puede
expresarse como
u(r, t) = A ei(k·r−ωt) + B ei(k·r+ωt) ,
(5.117)
donde el vector k indica la dirección de la propagación de la onda con velocidad
v = k/ω, y k · r = kx x + ky y + kz z. Las soluciones de este tipo se llaman ondas
planas.
Figura 5.5: Vector de onda k.
Verifiquemos que la onda plana Ec. (5.117) satisface la ecuación de onda Ec. (5.110),
∂u
= ikj u ⇒ ∇u = ik u,
∂xj
(5.118)
∂2u
= −kj2 u ⇒ ∇2 u = −k 2 u,
∂x2j
(5.119)
∂2u
= −ω 2 u.
∂t2
(5.120)
Sustitución en la Ec. (5.110) da
− k2 u +
ω2
u=0
v2
⇒k=
ω
.
v
(5.121)
214CAPÍTULO 5. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
Comparando la ecuación de onda general Ec. (5.110) con la ecuación de onda
Ec. (5.109) satisfecha por una componente Ei o Bi , vemos que
1
µ
= 2
2
v
c
c
c
⇒v= √ = ,
µ
n
(5.122)
donde hemos definido el índice de refracción del medio como
n=
√
µ.
(5.123)
En el vacío, = 1, µ = 1, y n = 1, por lo que la velocidad de una onda electromagnética en el vacío es igual a la velocidad de la luz c. Luego, para ondas electromagnéticas
tenemos
ω
k=n .
(5.124)
c
Existen medios dispersivos donde el índice de refracción depende de la frecuencia,
n(ω). En estos medios, la forma de la onda puede cambiar a medida que ésta se
propaga.
La solución de onda plana de la ecuación de onda para el vector E se puede
expresar como
h
i
E(r, t) = ê1 Re Eo ei(k·r−ωt) ,
(5.125)
donde Re indica que se debe tomar la parte real de la expresión entre corchetes, Eo
es la amplitud (en general compleja) de la oscilación, k es la dirección de propagación
y ê1 es un vector unitario que indica la dirección del campo eléctrico. Similarmente,
la solución de la ecuación de onda para B se puede escribir
h
i
B(r, t) = ê2 Re Bo ei(k·r−ωt) ,
(5.126)
donde ê2 y Bo son la dirección y la amplitud compleja de B, respectivamente. Ejemplos de ondas electromagnéticas planas son los lásers y la luz proveniente de fuentes
muy lejanas, como las estrellas.
Los campos E y B que describen ondas planas también deben satisfacer las
ecuaciones de Maxwell. El campo eléctrico en la Ec. (5.125) se puede escribir como E = ê1 u, con u = Eo ei(k·r−ωt) (se acostumbra obviar la notación Re en los
5.7. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS.
215
cálculos). Luego, la ecuación de Maxwell ∇ · E = 0 conduce a
∇·E
=
∇ · (ê1 u)
=
:
ê1 · ∇u + u ∇
· ê
1
=
ê1 · (iku) = 0
0
⇒ k ⊥ ê1
(5.127)
(las derivadas espaciales de los vectores ê1 y de ê2 son cero, puesto que son fijos
en el espacio). Es decir, el campo E de la onda electromagnética es perpendicular a
la dirección de propagación. Por otro lado, si escribimos el campo magnético en la
Ec. (5.126) como B = ê2 u, la ecuación de Maxwell ∇ · B = 0 conduce a
∇·B
=
∇ · (ê2 u)
=
:
∇
· ê
ê1 · ∇u + u 2
=
ê1 · (iku) = 0
0
⇒ k ⊥ ê1 .
(5.128)
Por lo tanto, la dirección de propagación de la onda k es perpendicular a ambos
campos, E y B, los cuales deben yacer sobre un mismo plano.
Consideremos la Ley de Faraday,
∇×E=−
1 ∂B
,
c ∂t
(5.129)
que también deben satisfacer los campos en la onda electromagnética. Tenemos las
expresiones
∇ × E = ∇ × (ê1 u)
0
:
= ∇u × ê1 − u ∇
×
ê1
= iku × ê1
= iEo ei(k·r−ωt) k × ê1
= ik × E
(5.130)
y
∂B
= −iω ê2 Bo ei(k·r−ωt) = −iω B.
∂t
(5.131)
216CAPÍTULO 5. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
Sustituyendo en la ley de Faraday, Ec. (5.129), obtenemos
k
×E
ω
= nk̂ × E
Eo
= n
k̂ × ê1 ,
Bo
B = c
⇒ ê2
(5.132)
(5.133)
donde hemos usado k = nω/c. Luego, el campo magnético es perpendicular al campo
eléctrico y a la dirección de propagación de la onda. Puesto que E y B están en un
mismo plano, la Ec. (5.132) implica que k, E y B son perpendiculares entre sí. La
Ec. (5.133) conduce a k̂ ∝ ê1 × ê2 ; es decir que la dirección de k es la del producto
E×B. Las oscilaciones de los campos electromagnéticos son transversales con respecto
a la dirección de propagación de la onda.
Figura 5.6: Longitud de onda λ, campos E, B y vector k en una onda electromagnética plana.
Puesto que ê1 , ê2 y k̂ son vectores unitarios, la Ec. (5.133) implica que las amplitudes de los campos en un medio material están relacionadas por
Bo = n Eo .
(5.134)
La dirección del flujo de energía, dada por el vector de Poynting, y el momento lineal
de la onda van ambos en la dirección de propagación,
S=
c
E × B ∝ k,
4π
1
g = 2 S ∝ k.
c
(5.135)
(5.136)
5.7. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS.
217
Las ecuaciones de Maxwell permiten la existencia de ondas electromagnéticas.
La variación temporal del campo magnetico B da origen a un campo eléctrico E,
cuya variación temporal a su vez produce un B. Esto significa que los campos E y
B variando en el tiempo pueden auto-sostenerse en el espacio libre, dando lugar a
ondas electromagnéticas.
Para la época de Maxwell, la naturaleza ondulatoria de la luz y su velocidad habían sido establecidas por Huygens, Young, Fresnel, Fizeau y otros, mediante diversos
experimentos ópticos y observaciones astronómicas. Por otro lado, las constantes de
proporcionalidad en la ley de Faraday y en la Ley de Ampère fueron medidas por
Kohlrausch y Weber mediante experimentos puramente eléctricos y magnéticos. La
velocidad de las ondas electromagnéticas predichas por las ecuaciones de Maxwell
puede ser determinada a partir de dichas constantes, obteniéndose un valor que coincide con la velocidad medida para la luz. Este hecho condujo a Maxwell a inferir que
la luz es una onda electromagnética; una predicción verificada posteriormente por los
experimentos de Hertz. De este modo, Maxwell unificó la electricidad, el magnetismo
y la óptica.
Las ondas electromagnéticas pueden producirse, en principio, con cualquier frecuencia ω. Se denomina espectro electromagnético al conjunto de frecuencias de las
ondas electromagnéticas. Distintos rangos de frecuencias reciben diferentes nombres
y tienen propiedades y aplicaciones específicas.
Figura 5.7: Espectro electromagnético.
218CAPÍTULO 5. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
5.8.
Polarización, reflexión y refracción de ondas electromagnéticas.
Las ondas electromagnéticas planas son transversales a la dirección de propagación
k. Escojamos k = k ẑ y (x, y) como el plano de E y B. Entonces, la forma general
del campo eléctrico en una onda plana con frecuencia ω se puede expresar como
E(r, t) = (E1 x̂ + E2 ŷ) ei(kz−ωt) = Eo ei(kz−ωt) ,
(5.137)
donde E1 , E2 son números complejos y se debe recordar tomar la parte real.
Figura 5.8: Onda electromagnética plana en el plano (x, y).
El campo magnético correspondiente a esta onda está determinado por las ecuaciones de Maxwell. Usando la ley de Faraday, obtuvimos en la Ec. (5.132),
B = nk̂ × E.
(5.138)
Usando los resultados k̂ = ẑ, ẑ × x̂ = ŷ, y ẑ × ŷ = −x̂, obtenemos
B(r, t) = n(E1 ŷ − E2 x̂) ei(kz−ωt) .
(5.139)
La dirección del campo E define la polarización de la onda electromagnética plana.
Podemos expresar el campo eléctrico como
E(r, t) = Ex (r, t)x̂ + Ey (r, t)ŷ,
(5.140)
5.8. POLARIZACIÓN, REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS.219
donde
h
i
Ex (r, t) = Re E1 ei(kz−ωt)
h
i
Ey (r, t) = Re E2 ei(kz−ωt) .
(5.141)
(5.142)
Existen varias posibilidades de polarización:
1. Polarización lineal, E1 , E2 ∈ <. Entonces
Ex (r, t) = E1 cos(kz − ωt)
(5.143)
Ey (r, t) = E2 cos(kz − ωt)
Ey
E2
⇒
=
= tan θ = cte.
Ex
E1
(5.144)
(5.145)
Figura 5.9: Onda electromagnética plana con polarización lineal.
En este caso, la dirección de E es fija en el plano perpendicular a la propagación
de la onda. Si tomamos el plano z = 0, podemos visualizar las oscilaciones de
las componentes de E como
Ex = E1 cos ωt
(5.146)
Ey = E2 cos ωt,
(5.147)
es decir, Ex y Ey oscilan en fase. La magnitud de E es
|E| = (Ex2 + Ey2 )1/2 = (E12 + E22 )1/2 | cos ωt|.
(5.148)
Por lo tanto, el campo E oscila con frecuencia ω en una dirección fija sobre el
plano (x, y)
220CAPÍTULO 5. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
2. Polarización circular, E2 = ±iE1 , con E1 ∈ <. Entonces,
Ex (r, t) = E1 cos(kz − ωt)
(5.149)
Ey (r, t) = ∓E1 sin(kz − ωt)
(5.150)
(Ex2
(5.151)
⇒ |E| =
+
Ey2 )1/2
= E1 = cte.
Figura 5.10: Onda electromagnética plana con polarización circular y helicidad postiva.
En el plano z = 0, si E2 = iE1 tenemos
Ex = E1 cos ωt
(5.152)
Ey = E1 sin ωt
Ey
⇒
= tan ωt.
Ex
(5.153)
(5.154)
El campo E rota con frecuencia ω sobre el plano (x, y), manteniendo su magnitud constante. El campo tiene la forma
E(r, t) = (x̂ + iŷ)E1 ei(kz−ωt) .
(5.155)
Se dice que la onda está circularmente polarizada con helicidad positiva; E rota
en la dirección de los dedos de la mano derecha (contra reloj) y el pulgar indica
la dirección de propagación hacia el observador. Por otro lado, si E2 = −iE1 ,
tenemos
E(r, t) = (x̂ − iŷ)E1 ei(kz−ωt) ,
(5.156)
y el campo E rota en sentido opuesto y posee helicidad negativa.
5.8. POLARIZACIÓN, REFLEXIÓN Y REFRACCIÓN DE ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS.221
En Mecánica Cuántica, la helicidad de la onda se interpreta como el estado de
spin del fotón.
3. No polarizada; E2 , E1 arbitrarios.
En este caso, en general ni la dirección de E ni su módulo son constantes. La
configuración correspondiente de E se denomina polarización elíptica.
Figura 5.11: Onda electromagnética plana con polarización elíptica.
Cuando una onda electromagnética incide sobre una superficie que separa dos
medios con diferentes índices de refracción, se observa que una parte de la onda se
transmite y otra se refleja en direcciones que siguen ciertas relaciones geométricas.
Figura 5.12: Onda incidente k1 , onda reflejada k0 y onda refractada k2 en la interfase z = 0.
Supongamos que el plano z = 0 con normal n̂ = ẑ es una interfase que separa un
medio con índice de refracción n1 (z < 0) de un medio cuyo índice de refracción es
n2 (z > 0). Una onda electromagnética plana en el medio con n1 , incidente sobre la
interfase z = 0, se puede escribir
E1 = Eo ei(k1 ·r−ωt)
(5.157)
B1 = n1 k̂1 × E1 .
(5.158)
222CAPÍTULO 5. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
La onda reflejada en el medio con índice n1 tiene la forma
0
E0 = E0o ei(k ·r−ωt)
(5.159)
La onda transmitida o refractada en el medio caracterizado por n2 es
E2 = E00o ei(k2 ·r−ωt)
(5.160)
Las magnitudes de los correspondientes números de onda son
|k1 | = |k0 | = n1
ω
,
c
|k2 | = n2
ω
.
c
(5.161)
Las condiciones de frontera sobre las componentes paralelas y normales de E y B
deben cumplirse en todo punto del plano z = 0, para cualquier tiempo. Esto implica
que la variación espacial de todas las ondas en un instante dado, contenida en el
factor de fase (k · r), debe ser la misma en z = 0; es decir, las fases deben satisfacer
(k1 · r)z=0 = (k0 · r)z=0 = (k2 · r)z=0 .
(5.162)
Luego, k1 , k2 y k0 deben yacer en un plano. Escojamos r sobre el plano z = 0. De
acuerdo a la figura, obtenemos
k1 sin θ1 = k 0 sin θ0 ⇒ θ1 = θ0
(Ley de reflexión).
k1 sin θ1 = k2 sin θ2 ⇒ n1 sin θ1 = n2 sin θ2
(Ley de Snell).
(5.163)
(5.164)
La reflexión total interna consiste en la ausencia de onda refractada cuando n1 > n2 .
El ángulo de incidencia θ1 para la ocurrencia de este fenómeno corresponde al valor
θ2 = π/2 en la ley de Snell,
−1 n2
θ1 = sin
.
(5.165)
n1
5.9.
Ondas electromagnéticas en medios materiales.
Las propiedades de respuesta de los medios materiales pueden depender de la
frecuencia de las ondas electromagnéticas que se propagan en ellos. Con el fin de
estudiar estos fenómenos, consideremos un modelo simple microscópico de un átomo
consistente en un electrón ligado a un ión con carga positiva, similar al usado en el
Capítulo 3 para polarizabilidad.
5.9. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN MEDIOS MATERIALES.
223
Describimos la interacción ión-electrón como una fuerza tipo resorte con constante mωo2 , donde m es la masa del electrón y ωo es la frecuencia característica del
movimiento del electrón en el átomo, la cual es comparable con la frecuencia de radiación electromagnética emitida por el átomo. Un valor típico para esta frecuencia
en el rango visible del espectro es ωo ∼ 1016 seg−1 . El electrón está sujeto a una onda
electromagnética de frecuencia ω y a una fuerza de amortiguación proporcional a su
velocidad. Por simplicidad, consideramos que la velocidad del electron es pequeña
con respecto a la velocidad de la luz, v c, por lo cual podemos despreciar la fuerza
magnética sobre el electrón, que es del orden evB/c, frente a la fuerza eléctrica, que
es eE, aunque las magnitudes de E y B sean comparables.
Entonces, la ecuación de movimiento del electrón es
mr̈ = −mωo2 r − mκṙ − eE,
(5.166)
donde κ es el coeficiente de amortiguamiento del medio.
Asumimos que el desplazamiento del electrón es pequeño, de manera que la variación espacial de E puede ser despreciada y E es evaluado en la posición del ión.
Entonces, el campo eléctrico tiene la forma E = Eo e−iωt . Buscamos una solución de
la forma
r = ro e−iωt .
(5.167)
Sustituyendo E y r en la Ec. (5.166), obtenemos
ro =
m(ω 2
eEo
.
− ωo2 + iκω)
(5.168)
El momento dipolar inducido en el átomo es
p = −er = −
m(ω 2
e2 Eo
e−iωt .
− ωo2 + iκω)
(5.169)
Si suponemos una densidad de η átomos por unidad de volumen, la polarización del
medio es
ηe2 Eo
e−iωt
m(ω 2 − ωo2 + iκω)
ηe2
= −
E
m(ω 2 − ωo2 + iκω)
= χe (ω) E,
P = ηp = −
(5.170)
224CAPÍTULO 5. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
donde la susceptibilidad eléctrica depende de la frecuencia de la onda. La constante
dieléctrica del medio también depende de la frecuencia y resulta en
(ω) = 1 + 4πχe (ω)
4πηe2
= 1−
m(ω 2 − ωo2 + iκω)
(ω 2 − ωo2 )
(κω)
= 1 − ωp2 2
+ i ωp2 2
,
2
2
2
(ω − ωo ) + (κω)
(ω − ωo2 )2 + (κω)2
(5.171)
donde hemos definido la frecuencia de plasma,
ωp2 ≡
4πηe2
.
m
(5.172)
El índice de refracción del medio es
n2 = µ(ω) = µ(Re (ω) + i Im (ω)).
(5.173)
Puesto que estamos despreciando efectos magnéticos, tomamos µ = 1. El número de
onda en el medio es una cantidad compleja que se puede expresar como
k 2 = n2
ω2
ω2
=
(Re (ω) + i Im (ω)).
c2
c2
(5.174)
La propagación de la onda electromagnética en la dirección z es proporcional a eikz ;
luego el término Re (ω) está relacionado con la propagación de la onda oscilatoria
en el medio, mientras que el término Im (ω) representa la atenuación de la onda, o
la disipación de energía en el medio.
Note que para valores ω → ωo , la cantidad Im (ω) presenta una resonancia y se
hace grande, lo cual implica absorción de la onda electromagnética en el medio. Por
otro lado, Re (ω) es una función creciente de ω, excepto para ω → ωo . Las regiones
donde Re (ω) crece con ω corresponden a una dispersión normal, mientras que los
valores de ω donde Re (ω) decrece se asocian con dispersión anómala.
Consideremos algunos casos de interés.
1. Caso estático, ω = 0.
Entonces,
(0) = 1 + 4π
ηe2
,
mωo2
(5.175)
5.9. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN MEDIOS MATERIALES.
225
2
ηe
donde podemos interpretar χe = mω
2 . Puesto que, como vimos en el Capítulo 3,
o
χe = ηγ, donde γ es la polarizabilidad molecular, obtenemos
γ=
e2
,
mωo2
(5.176)
lo cual concuerda con el resultado obtenido en el Capítulo 3 para un modelo
simple de polarizabilidad de un átomo.
2. Medio conductor, ωo = 0.
Un material conductor se caracteriza porque sus átomos poseen electrones que
no se encuentran completamente ligados. Esto corresponde a tomar ωo = 0 en
la Ec. (5.166). Entonces, la constante dieléctrica del medio queda
(ω) = 1 −
ωp2
.
(ω 2 + iκω)
El desplazamiento r del electrón en este caso da
e
Eo e−iωt .
r=
2
m(ω + iκω)
(5.177)
(5.178)
La polarización del medio es
P = ηp = −ηer
(5.179)
La densidad de corriente asociada con el movimiento de los electrones es
J = −neṙ = iωner = −iωP
(5.180)
Puesto que P = χe (ω) E y J = σ E, obtenemos para la conductividad del medio
con ωo = 0,
σ(ω) = −iωχe
(ω) − 1
= −iω
4π
2
iωηe
=
m(ω 2 + iκω)
ηe2
=
m(κ − iω)
(5.181)
226CAPÍTULO 5. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
Para frecuencias pequeñas comparadas con el coeficiente de amortiguamiento,
ω κ, el medio posee una conductividad aproximadamente independiente de
la frecuencia de la onda.
ηe2
ηe2 τ
σ≈
=
(5.182)
mκ
m
donde τ = κ−1 es el tiempo de relajación o tiempo entre colisiones. La condición
ω κ, o ωτ 1 significa que el tiempo entre colisiones es muy pequeño
comparado con el período de la onda. Entonces, en este régimen dominado por
colisiones, obtenemos el índice de refracción del medio usando la Ec. (5.177),
s
p
ωp2
n = (ω) ≈ 1 −
.
(5.183)
iκω
El índice de refracción posee tanto parte real como parte imaginaria, por lo que
k = n ωc también. Luego, la onda que se propaga en el medio, caracterizada por
el factor eikz , presenta oscilación y atenuación.
Consideremos el caso ω κ, o ωτ 1, donde el tiempo entre colisiones es
muy grande comparado con el período de la onda. Esto corresponde al régimen
sin colisiones. En este caso, usando la Ec. (5.177), tenemos
s
ωp2
n ≈ 1 − 2.
(5.184)
ω
Supongamos que ω < ωp . Entonces,
s
n≈i
ωp2
− 1.
ω2
(5.185)
El índice de refracción es puramente imaginario y, por lo tanto, no ocurre oscilación sino completa atenuación de la onda en el medio. Por otro lado, si ω > ωp ,
el índice de refracción en el régimen sin colisiones es
s
ωp2
n ≈ 1 − 2,
(5.186)
ω
el cual corresponde a una cantidad puramente real. Luego, para frecuencias
mayores que la frecuencia de plasma, existe propagación oscilatoria de la onda
5.9. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN MEDIOS MATERIALES.
227
sin ninguna atenuación. Para frecuencias por debajo de ω = ωp , la propagación
en el medio es imposible, y solamente puede ocurrir reflexión de una onda
incidente en una interfase que separa a ese medio. La frecuencia de plasma ωp
es característica del medio y juega el papel de límite inferior de las frecuencias
que pueden propagarse en un medio constituido por partículas cargadas no
ligadas, como por ejemplo, en un plasma.
Ejemplos.
1. Una observación del efecto de la frecuencia de plasma se encuentra en la ionosfera, que es una región de la atmósfera terrestre a una altura sobre los 80 Km.
A esa altura, la densidad del oxígeno y nitrógeno es muy baja, y sus moléculas
se encuentran disociadas en átomos. La radiación solar y los rayos cósmicos ionizan los átomos, produciendo una cantidad de electrones libres, cuya densidad
η varía con la altura y con la hora del día.
Una onda electromagnética de frecuencia ω que se mueve hacia arriba continua√
rá propagándose mientras que ω > ωp ∝ η. Cuando la densidad η sea lo
suficientemente grande para que ω = ωp , la onda no puede propagarse más,
y es reflejada. En promedio, la densidad crítica ocurre para ondas de longitud
λ =17 m o mayores. En particular, las ondas de radio AM (longitud de onda
100-300 m) pueden ser usadas para comunicaciones a grandes distancias por
encima del horizonte, aprovechando su reflexión en la ionosfera. Las longitudes
de onda cortas como radio FM o microondas, para las que ω > ωp , atraviesan la
ionosfera hacia el espacio, y solamente pueden ser usadas para comunicaciones
a través de antenas en línea de visión directa, o mediante reflexión en satélites
orbitando la Tierra.
2. En metales, la frecuencia de plasma corresponde al ultravioleta, por lo que
estos materiales son reflectantes para frecuencias de ondas electromagnéticas
en el rango visible y menores, pero dejan pasar frecuencias altas, como rayos X
y rayos gamma.
228CAPÍTULO 5. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
Resumen
1. Ley de inducción de Faraday,
1 dΦm
ε=−
,
Z c dt
Φm =
B · n̂ da.
S
2. Ecuaciones de Maxwell en el vacío,
∇ · E = 4πρ,
1 ∂B
=0
∇×E+
c ∂t
∇ · B = 0,
4π
1 ∂E
=
J.
∇×B−
c ∂t
c
3. Potenciales electromagnéticos,
B = ∇ × A,
E
= −∇ϕ −
1 ∂A
.
c ∂t
4. Calibre de Lorentz,
∇·A+
1 ∂ϕ
= 0.
c ∂t
5. Densidad de energía del campo electromagnético,
uem =
1
(|E|2 + |B|2 ).
8π
6. Vector de Poynting,
S≡
c
E × B.
4π
7. Ecuación de onda para el campo eléctrico (o magnético)
∇2 E −
µ ∂ 2 E
= 0.
c2 ∂t2
5.9. ONDAS ELECTROMAGNÉTICAS EN MEDIOS MATERIALES.
8. Onda plana,
i
h
E(r, t) = ê1 Re Eo ei(k·r−ωt) .
9. Número de onda,
k=n
ω
,
c
n=
√
µ.
10. Transversalidad de ondas electromagnéticas,
B = nk̂ × E
11. Polarización de ondas planas (E1 , E2 , ∈ <),
E(r, t) = (E1 x̂ + E2 ŷ) ei(kz−ωt) ,
polarización lineal.
E(r, t) = (E1 x̂ + iE1 ŷ) ei(kz−ωt) , polarización circular.
229
230CAPÍTULO 5. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
5.10.
Problemas.
1. Considere los potenciales
A(r, t) = Ao ei(k·r−ωt) ,
ϕ(r, t) = 0.
a) Encuentre el campo electromagnético asociado a estos potenciales.
b) Encuentre las condiciones para que el campo electromagnético sea físicamente
realizable.
2. Considere los campos electromagnéticos
E = A sin(ky − ωt)ẑ
B = B sin(ky − ωt)x̂.
a) ¿Qué relación debe existir entre A y B para que estos campos sean ondas
físicamente posibles en el vacío?.
b) Calcule los potenciales A y ϕ para este campo electromagnético en el calibre
de Lorentz.
3. Una varilla con conductividad σ y densidad de masa γ se mueve sin fricción
sobre rieles en presencia de un campo magnético constante B = Bo ẑ. Si la
velocidad inicial de la varilla en la dirección y es vo , calcule el tiempo requerido
para que la varilla se detenga.
4. Un aro de radio R está rotando con velocidad angular uniforme ω sobre un
eje que pasa por su diámetro. Un anillo de radio a R por el cual circula
una corriente I se encuentra en el centro del aro, con su plano perpendicular
al plano del aro. Encuentre la diferencia de potencial resultante entre los dos
extremos del diámetro del aro.
5.10. PROBLEMAS.
231
5. Un anillo de radio a está hecho de un cable de cierto diámetro, que posee
resistividad % y densidad de masa η. El anillo cae verticalmente en la direccion
z, con su plano perpendicular a z, en un campo magnético con una componente
Bz = Bo z, donde Bo =cte. Despreciando la resistencia del aire, encuentre la
velocidad terminal del anillo.
6. Un alambre muy largo, de longitud l y radio b, transporta una corriente I
cuando se le aplica una diferencia de potencial V entre sus extremos. Calcule
el flujo de energía por unidad de longitud en la superficie del alambre.
7. Considere la siguiente onda plana linealmente polarizada propagándose en un
medio caracterizado por constante dieléctrica , permeabilidad magnética µ y
conductividad σ,
n
E(r, t) = Eo eiω[t− c (k·r)] .
Calcule el índice de refración n del medio.
8. Considere un plasma neutro con conductividad σ y permeabilidad µ.
a) Suponga que el plasma es estacionario y que en t = 0 contiene un campo
magnético
Bo x̂, |x| < L,
B(r, 0) =
0,
|x| > L,
Determine el campo magnético en el espacio para todo tiempo posterior.
b) Si el plasma se mueve con velocidad v, encuentre la ecuación que satisface
el campo magnético.
9. Un plasma formado por electrones (carga e y masa m) tiene una densidad de
carga uniforme ρ muy pequeña. Suponga que las interacciones entre los electrones pueden ser despreciadas. Una onda electromagnética plana de frecuencia ω
y número de onda k incide sobre el plasma.
a) Encuentre la conductividad del plasma en función de ω.
b) Encuentre el índice de refracción del plasma en función de ω.
c) Si la onda incide paralelamente a la dirección de Bo y posee polarización
circular, determine el índice de refracción del plasma en función de ω para los
dos tipos de helicidad (positiva y negativa) de la onda.
232CAPÍTULO 5. CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
10. Un cable delgado de longitud l y orientado en la dirección z lleva una corriente
I = Io cos ωt.
a) Encuentre el momento dipolar eléctrico del cable.
b) Calcule el potencial vector para distancias r l.
Capítulo 6
Transformaciones relativistas de
campos electromagnéticos.
6.1.
Revisión de Relatividad Especial.
Hacia finales del siglo XIX, la Física consistía en dos grandes teorías para explicar
la mayoría de los fenómenos conocidos hasta entonces:
Mecánica, expresada en las leyes de Newton, que presentaba una descripción
unificada de los fenómenos del movimiento.
Electromagnetismo, contenido en las ecuaciones de Maxwell, que representaba
la unificación de la descripción de los fenómenos eléctricos, magnéticos y ópticos, y que condujo al descubrimiento de las ondas electromagnéticas y de la
naturaleza de la luz.
En sus estudios sobre el movimiento, Galileo estableció el principio de relatividad:
Principio de Relatividad de Galileo.
Las leyes de la Mecánica son las mismas en diferentes sistemas de coordenadas inerciales que se encuentran en movimiento relativo uniforme.
Dados dos sistemas de coordenadas S con origen O, y S’ con origen O0 , tal que O0
se mueve con velocidad constante v con respecto a O, las transformaciones de Galileo
233
234CAPÍTULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS.
entre estos sistemas de coordenadas son
r0 = r − vt
t0 = t.
(6.1)
Figura 6.1: Transformaciones de Galileo para sistemas inerciales en movimiento relativo.
Si v = vx̂, las transformaciones de Galileo resultan en
x0 = x − vt
y0 = y
z0 = z
t0 = t.
(6.2)
Derivando con respecto al tiempo la Ec. (6.1), se obtiene la suma de velocidades,
dr
dr0
= 0 +v
dt
dt
⇒ u = u0 + v,
(6.3)
puesto que dt = dt0 y donde u es la velocidad de una partícula medida en S y u0
corresponde a la velocidad de esa partícula medida en S’. En particular, si v = vx̂,
la suma de velocidades da
u0x = ux − v.
(6.4)
La forma de las leyes de Newton es invariante bajo las transformaciones de Galileo.
Consideremos la Segunda Ley de Newton en S’,
m
d2 r0
= −∇0 V (r0 ) = F(r0 ).
dt02
(6.5)
6.1. REVISIÓN DE RELATIVIDAD ESPECIAL.
235
Tenemos,
dr0
dr
=
− v,
(6.6)
0
dt
dt
d2 r0
d dr
d2 r
=
−
v
= 2.
(6.7)
02
dt
dt dt
dt
Por otro lado, notamos que para cualquier f ,
∂f
∂f ∂x
∂f
=
=
(6.8)
0
0
∂x
∂x ∂x
∂x
y similarmente
∂f
∂f
∂f
∂f
=
,
=
.
(6.9)
0
0
∂y
∂y
∂z
∂z
Luego,
∂
∂ ∂
∂ ∂ ∂
0
∇ =
,
,
=
, ,
= ∇.
(6.10)
∂x0 ∂y 0 ∂z 0
∂x ∂y ∂z
La coordenada r0 se puede expresar, en general, como la distancia entre la partícula
en consideración y otra partícula (o influencia externa) con la cual aquella interactúa.
Es decir,
r0 = r0i − r0j = ri − rj = r.
(6.11)
Luego, ∇0 V (r0 ) = ∇V (r). De acuerdo a las transformaciones de Galileo Ec. (6.1), la
Ec. (6.5) en el sistema de referencia S’ se expresa en el sistema S como
d2 r
= −∇V (r) = F(r).
(6.12)
dt2
Por lo tanto, la Segunda ley de Newton es invariante (conserva su forma) bajo las
transformaciones de Galileo, y el principio de relatividad de Galileo es válido para
estas transformaciones.
Sin embargo, en contraste con el comportamiento de las leyes de la Mecánica, las
leyes del Electromagnetismo no son invariantes ante las transformaciones de Galileo.
Las ecuaciones de Maxwell para los campos E(r, t) y B(r, t) son
m
∇ · E = 4πρ
1 ∂B
∇×E+
=0
c ∂t
∇·B=0
1 ∂E
4π
∇×B−
=
J.
c ∂t
c
(6.13)
(6.14)
(6.15)
(6.16)
236CAPÍTULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS.
∂E
Note que las ecuaciones de Maxwell contienen términos de la forma ∂tj (r, t), donde Ej es la componente j del campo eléctrico (también contienen términos similares
para el campo magnético).
Consideremos la componente Ej (r0 , t0 ) en S’. Entonces,
X ∂Ej ∂x0
X ∂Ej
∂Ej
∂Ej
∂Ej 0 0
i
(r
,
t
)
=
+
=−
vi +
0
0
0
0
0
∂t
∂xi ∂t
∂t
∂xi
∂t
i
(6.17)
i
donde hemos usado las transformaciones de Galileo
x0i = xi − vi t, t0 = t
∂x0i
∂x0i
⇒
=
= −vi .
∂t0
∂t
(6.18)
(6.19)
Luego,
∂Ej
∂Ej
=
+ v · ∇0 Ej .
(6.20)
∂t
∂t0
Por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo las transformaciones
de Galileo sólo si v = 0; es decir, conservan su forma solamente en un sistema de
referencia inercial en reposo con respecto al medio en el cual se propaga la luz. (El
“medio” correspondiente al vacío se denominaba éter ).
Ante esta situación, se presentan los siguientes escenarios posibles:
i) Las transformaciones de Galileo son correctas, tanto para la Mecánica como
para el Electromagnetismo, lo cual implica que las ecuaciones de Maxwell son
incorrectas.
ii) Las transformaciones de Galileo son válidas para la Mecánica en todo sistema
inercial, pero las ecuaciones de Maxwell sólo son válidas en un sistema inercial
en reposo con respecto al éter (v = 0).
iii) Tanto las leyes de la Mecánica como las del Electromagnetismo son invariantes en
todo sistema inercial, pero no bajo las transformaciones de Galileo. Esto implica
que las leyes de Newton son incorrectas y que se requiere otra transformación
de coordenadas.
El éxito de las ecuaciones de Maxwell en la predicción de las ondas electromagnéticas (experimentos de Hertz, Marconi, y otros) sugiere descartar el escenario (i).
6.1. REVISIÓN DE RELATIVIDAD ESPECIAL.
237
Por otro lado, la falla en la detección del movimiento relativo al éter (experimento
de Michelson-Morley) requiere descartar la posibilidad (ii). El escenario (iii) fue el
camino elegido por Einstein en 1905.
Postulados de la Relatividad Especial.
1) Las leyes de la Naturaleza (los resultados de los experimentos) son
las mismas en todos los sistemas inerciales.
2) La velocidad de la luz es constante en todos los sistemas inerciales.
Según el postulado 1, la ecuación de onda electromagnética se cumple en los
sistemas de referencia S y S’. El postulado 2 implica que la forma de una onda electromagnética debe ser igual en los sistemas de referencia inerciales S y S’. Entonces,
consideremos un pulso esférico de luz emitido en el origen O de S en el instante
t = t0 = 0, cuando ambos orígenes O y O0 coinciden.
Figura 6.2: Pulso electromagnético emitido cuando los orígenes O y O0 coinciden.
Luego,
En S: |r| = ct
En S’: |r0 | = ct0
(6.21)
donde c es la magnitud constante de la velocidad de la luz en ambos sistemas. En
términos de las coordenadas en cada sistema, tenemos
En S:
En S’:
x2 + y 2 + z 2 = c2 t2
x02 + y 02 + z 02 = c2 t02 .
(6.22)
238CAPÍTULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS.
Las relaciones (6.22) no son compatibles con las transformaciones de Galileo. Esto
se puede verificar sustituyendo las transformaciones Ecs. (6.2) en la relación (6.22)
para S’, lo que da
x2 − 2vxt + v 2 t2 + y 2 + z 2 = c2 t2 ,
(6.23)
y lo cual es distinto de la expresión correspondiente en S.
Las transformaciones compatibles con los postulados de la Relatividad deben ser
lineales en t y en x para preservar la forma de una onda esférica en ambos sistemas
de coordenadas. Además, deben tender a las transformaciones de Galileo cuando la
velocidad relativa entre los dos sistemas es pequeña, puesto que la suma de velocidades derivada de esas transformaciones, Ec. (6.3), funciona en las práctica en tales
situaciones. La simetría de los sistemas sugiere invarianza en las coordenadas y, x
perpendiculares a la dirección del movimiento. Entonces, si la velocidad de O0 es
v = vx̂, supongamos unas transformaciones de la forma
x0 = γ(x − vt)
t0 = γ(t − f x)
y0 = y
z 0 = z,
(6.24)
donde γ y f son factores o funciones a determinar. Sustitución de las transformaciones
(6.24) en la relación (6.22) para S’ consistente con el segundo postulado, da
v2
x γ (1 − c f ) + 2(f c − v)γ xt + y + z = 1 − 2 γ 2 c2 t2 .
c
2 2
2 2
2
2
2
2
(6.25)
Comparando con la relación (6.22) para S, requerimos
γ2
f c2 − v = 0
v2
1− 2 =1
c
γ 2 (1 − f 2 c2 ) = 1,
(6.26)
(6.27)
(6.28)
lo cual conduce a
v
f= 2,
c
−1/2
v2
γ = 1− 2
.
c
(6.29)
6.1. REVISIÓN DE RELATIVIDAD ESPECIAL.
239
Luego, las transformaciones buscadas son
x − vt
x0 = r
v2
1− 2
v c
t − 2x
t0 = r c
v2
1− 2
c
y0 = y
z 0 = z.
(6.30)
Las Ecs. (6.30) son las transformaciones de Lorentz. Las ecuaciones de Maxwell (y la
ecuación de una onda electromagnética) son invariantes bajo estas transformaciones.
Se acostumbra emplear la notación β ≡ v/c, con la cual las transformaciones de
Lorentz se escriben en forma compacta como
x0 = γ(x
− βct)
β
t0 = γ t − x
c
y0 = y
z 0 = z.
(6.31)
Note que β ≤ 1 y γ ≥ 1.
En el límite de pequeñas velocidades v c, tenemos β 1 y γ ≈ 1, y las
transformaciones de Lorentz se aproximan a las transformaciones de Galileo,
x0 ≈ x − vt
t0 ≈ t.
(6.32)
Las transformaciones de Lorentz inversas se pueden obtener haciendo v → −v,
x → −x0 , t → t0 , en las Ecs. (6.31),
0
0
x = γ(x
+ βct )
β
t = γ t0 + x0
c
y = y0
z = z0.
(6.33)
240CAPÍTULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS.
A partir de las transformaciones de Lorentz se obtiene la regla de adición de
velocidades,
dx
dt
dx0
−
βc
,
u0x = 0 = γ
dt
dt0
dt0
(6.34)
dx
dx dt
dt
=
= ux 0 ,
dt0
dt dt0
dt
luego,
u0x
dt
= γ (ux − βc) 0 = γ (ux − βc)
dt
dt0
β
= γ 1 − ux ,
dt
c
dt0
dt
−1
,
(6.35)
(6.36)
lo cual conduce a
u0x =
ux − v
.
β
1 − ux
c
(6.37)
La relación inversa de la suma de velocidades se obtiene haciendo v → −v, ux → u0x ,
en la Ec. (6.37),
u0 + v
ux = x
.
(6.38)
β 0
1 + ux
c
Contracción de la longitud.
Consideremos un objeto de longitud Lo en reposo a lo largo del eje x en el sistema
S. Luego, independiente de t,
Lo = x2 − x1 ,
(6.39)
Consideremos la longitud del objeto medida en el sistema S’. Un observador en
S’ debe realizar una medida de los extremos x02 y x01 simultáneamente en S’, es decir,
para un mismo tiempo t0 ,
L0 = x02 (t0 ) − x01 (t0 ).
(6.40)
6.1. REVISIÓN DE RELATIVIDAD ESPECIAL.
241
Figura 6.3: Contracción de la longitud.
Las transformaciones de Lorentz, Ecs. (6.31), dan las coordenadas x1 y x2 en S
para un mismo tiempo t0 en S’ ,
x2 = γ(x02 + βct0 )
x1 = γ(x01 + βct0 )
⇒ x2 − x1 = γ(x02 − x01 ) .
(6.41)
Luego,
Lo
L =
= Lo
γ
0
r
1−
v2
.
c2
(6.42)
Como γ > 1, la longitud L0 del objeto medida en S’ es menor que la longitud Lo en
S donde el objeto se encuentra en reposo.
Dilatación del tiempo.
Un observador con un reloj en S, presente en dos eventos que ocurren en las
mismas coordenadas con respecto al observador, mide el tiempo propio entre esos
eventos. El tiempo propio entre dos eventos que ocurren en un mismo punto x de S
es
τ ≡ t2 (x) − t1 (x).
(6.43)
Las transformaciones de Lorentz inversas, Ecs. (6.33), dan para ese intervalo de
242CAPÍTULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS.
tiempo en S’,
0
∆t =
t02
−
t01
β
β
= γ t2 − x − γ t1 − x = γ(t2 − t1 ).
c
c
Luego,
∆t0 = γτ = r
τ
v2
1− 2
c
.
(6.44)
(6.45)
Figura 6.4: Un observador en S mide el tiempo propio entre dos eventos que ocurren en las
mismas coordenadas en S.
Puesto que γ > 1, el intervalo de tiempo medido en S’ es mayor que el tiempo
propio medido en S. En general, el tiempo propio es el intervalo de tiempo más corto
posible entre dos eventos.
Dinámica relativista.
Los postulados de la Relatividad y las transformaciones de Lorentz son compatibles con las ecuaciones de Maxwell, pero requieren modificaciones de las leyes de
Newton. Einstein propuso redefinir el momento lineal de una partícula que se mueve
con velocidad u en un sistema S, del siguiente modo
pi = m
dxi
,
dτ
(6.46)
6.1. REVISIÓN DE RELATIVIDAD ESPECIAL.
243
donde τ es el tiempo propio (el tiempo medido en el sistema donde la partícula está
en reposo), el cual está definido unívocamente (tiene el mismo valor) para todos los
observadores inerciales. Tenemos,
1
dxi
dxi dt
dxi
r
=
=
= γui .
dτ
dt dτ
dt
u2
1− 2
c
(6.47)
Luego, el momento relativista es
p= r
mu
u2
1− 2
c
= mγu ,
(6.48)
donde u es la velocidad de la partícula en el sistema de referencia S.
La Segunda Ley de Newton relativista se escribe entonces,
F=
dp
.
dt
(6.49)
donde p está definido en la Ec. (6.48). En esta forma, la Segunda Ley de Newton es
invariante bajo las transformaciones de Lorentz,
dp
dp0
= 0.
dt
dt
Note que en el límite de bajas velocidades, β =
(6.50)
v
1, obtenemos p ≈ mu.
c
Invariantes relativistas.
Existen cantidades escalares que tienen el mismo valor en todos los sistemas inerciales. Por ejemplo,
γ 2 (1 − β 2 ) = 1
(6.51)
tiene el mismo valor en todos los sistemas. Multiplicando por la constante m2 c4 ,
obtenemos otra cantidad invariante,
m2 c4 = m2 c4 γ 2 − p2 c2 = cte.
(6.52)
Una cantidad cuyo valor es independiente del sistema de coordenadas se denomina
invariante de Lorentz.
244CAPÍTULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS.
Energía relativista.
Si definimos la cantidad
E ≡ γmc2 ,
(6.53)
E 2 − p2 c2 = m2 c4 = cte.
(6.54)
entonces podemos expresar
Los términos en la Ec. (6.54) poseen unidades de energía al cuadrado. Luego, la
cantidad E es un tipo de energía que se puede interpretar físicamente si hacemos una
v
expansión en términos de β = 1,
c
1 2
4
2
2 −1/2
2
(6.55)
E = mc (1 − β )
= mc 1 + β − O(β )
2
Luego,
1
E = mc2 + mv 2 + · · ·
(6.56)
2
El primer término en la Ec. (6.56) es constante y no depende de la velocidad de la
partícula,
Eo = mc2 ,
(6.57)
por lo que representa la energía en reposo de la masa m. El segundo término en la
Ec. (6.56) corresponde a la energía cinética de la partícula para bajas velocidades.
Luego, la cantidad E se interpreta como la energía total relativista de una partícula
libre,
mc2
E=r
= mc2 + Trel .
(6.58)
v2
1− 2
c
Lagrangiano para una partícula relativista.
Las leyes de Newton se cumplen en Relatividad con la definición apropiada de p,
dada en la Ec. (6.48). Luego, las ecuaciones de Lagrange también se deben cumplir
para un Lagrangiano L definido apropiadamente,
d ∂L
∂L
−
= 0.
(6.59)
dt ∂ ẋi
∂xi
6.1. REVISIÓN DE RELATIVIDAD ESPECIAL.
245
Consideremos una partícula con velocidad v y posición r en un potencial V (r).
Luego,
∂L
∂V
∂L
= pi = γmẋi ,
=
= Fi .
(6.60)
∂ ẋi
∂xi
∂xi
Supongamos la velocidad a lo largo del eje xi , i.e., ẋi = v. Entonces,
∂L
∂L
=
= γmv ,
∂ ẋi
∂v
luego, la dependencia funcional del Lagrangiano con la velocidad es
Z
Z
β dβ
v dv
2
p
L(v) = m r
= mc
,
2
1 − β2
v
1− 2
c
(6.61)
(6.62)
lo cual da
L(v) = −mc2 (1 − β 2 )1/2 .
(6.63)
Para β 1, L(v) se aproxima a la energía cinética newtoniana
1
L(v) ≈ mv 2 + · · ·
2
(6.64)
Luego, el Lagrangiano para una partícula relativista debe tener la forma L = L(v) −
V (r), es decir,
r
v2
2
L = −mc 1 − 2 − V (r).
(6.65)
c
Note que L 6= E − V , y L 6= Trel − V . Sin embargo, puesto que L no depende
explícitamente del tiempo, la función de energía es una cantidad constante para este
sistema,
X ∂L
E=
ẋi − L = cte.
(6.66)
∂ ẋi
i
Utilizando L de la Ec. (6.65), obtenemos
P
p
ẋi ẋi
p
E=m i
+ mc2 1 − β 2 + V,
1 − β2
(6.67)
246CAPÍTULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS.
lo cual se reduce a
mc2
+ V = E + V = cte.
E=p
1 − β2
(6.68)
La inclusión de potenciales dependientes de la velocidad no representa problema,
y se hace del mismo modo que en el caso no relativista. En particular, recordemos que
en Mecánica Clásica la energía potencial de una partícula con carga q que se mueve
con velocidad v en un campo electromagnético caracterizado por los potenciales ϕ y
A está dada por
q
V = qϕ − A · v .
(6.69)
c
La fuerza de Lorentz sobre una partícula en un campo electromagnético se deriva
de este potencial. Luego, el Lagrangiano relativista para una partícula en un campo
electromagnético es
r
q
v2
2
(6.70)
L = −mc 1 − 2 − qϕ + A · v.
c
c
Ejemplo.
1. Partícula con masa m sujeta a la fuerza F = ma, donde a es una constante.
El potencial es V = −max y el Lagrangiano relativista es
p
L = −mc2 1 − β 2 + max,
donde β = ẋ/c. La ecuación de Lagrange para x da:
!
d
β
a
p
= .
2
dt
c
1−β
(6.71)
(6.72)
Integrando, tenemos
β
at + α
p
=
c
1 − β2
⇒
at + α
β=p
c2 + (at + α)2
donde α es una constante de integración. Integrando otra vez,
Z
(at + α)dt
x=c p
c2 + (at + α)2
(6.73)
(6.74)
6.2. CORRIMIENTO DOPPLER RELATIVISTA.
247
p
c p 2
c + (at + α)2 − c2 + a2
(6.75)
a
donde hemos introducido la condición inicial x = x0 en t = 0. Si la partícula
se encuentra en reposo ẋ(0) = 0 en el origen x0 en t = 0, entonces α = 0 y
tenemos
2
c2
c4
x+ 2
− c2 t2 = 2 ,
(6.76)
a
a
lo cual corresponde a una hipérbola en el plano (x, t). Note que en el límite no
relativista, β 1, la Ec. (6.73) da la trayectoria parábolica usual en el plano
(x, t),
1
x ≈ at2 + αt + x0 .
(6.77)
2
x − x0 =
6.2.
Corrimiento Doppler relativista.
Los postulados de la Relatividad implican que una onda plana tiene la misma forma en todos los sistemas de coordenadas inerciales. Puesto que las transformaciones
de Lorentz son lineales, una onda plana en S debe seguir siendo una onda plana en S’.
La fase de una onda debe ser una cantidad invariante, la misma en todos los sistemas
de coordenadas, puesto que la fase está determinada por el número de máximos y
mínimos de la onda que pasan por un observador; y toda operación de conteo de
objetos es independiente del sistema de coordenadas. Es decir, el número de objetos
es un invariante de Lorentz. Luego, la fase de una onda plana en el sistema S debe
tener el mismo valor en el sistema S’;
k · r − ωt = k0 · r0 − ω 0 t0 ,
(6.78)
donde k = (kx , ky , kz ) y ω son el vector de onda y la frecuencia en el sistema S,
y k0 = (kx0 , ky0 , kz0 ) y ω 0 son las correspondientes cantidades en S’. Las coordenadas
de los dos sistemas están relacionadas por las transformaciones de Lorentz. Luego,
sustituyendo las transformaciones inversas Ecs. (6.33) en la Ec. (6.78), tenemos
kx x + ky y + kz z − ωt = kx0 x0 + ky0 y 0 + kz0 z 0 − ω 0 t0 ,
v kx γ(x0 + vt) + ky y 0 + kz z 0 − ωγ t0 + 2 x0
= kx0 x0 + ky0 y 0 + kz0 z 0 − ω 0 t0 ,
c
v γ kx − 2 ω x0 + ky0 y 0 + kz0 z 0 − γ(ω − kx v)t0 = kx0 x0 + ky0 y + kz0 z − ω 0 t0 (6.79)
c
248CAPÍTULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS.
Comparando coeficientes en ambos lados de la Ec. (6.79), obtenemos
v kx0 = γ kx − 2 ω
c
ω 0 = γ(ω − vkx )
ky0
kz0
(6.80)
(6.81)
= ky
(6.82)
= kz .
(6.83)
En términos de componentes vectoriales perpendiculares y paralelas a la dirección
del movimiento, podemos expresar
ω
kk0 = γ kk − β
c ω
ω0
(6.84)
=γ
− β kk
c
c
k0 ⊥ = k ⊥
Note que las cantidades k y ω/c se transforman de la misma manera que r y t en
las transformaciones de Lorentz. Las transformaciones inversas se obtienen intercambiando variables primas por no primas y haciendo β → −β en las Ecs. (6.84).
Figura 6.5: Efecto Doppler relativista.
Una consecuencia inmediata de las transformaciones Ec. (6.84) es el corrimiento
Doppler relativista. Si una vector de onda k forma un ángulo θ con respecto con el
eje x en el sistema de coordenadas S, entonces en el sistema S’ que se mueve con
velocidad v = vx̂, la frecuencia de la onda es
ω 0 = γ(ω − v k cos θ),
⇒ ω 0 = γω (1 − β cos θ) ,
(6.85)
6.2. CORRIMIENTO DOPPLER RELATIVISTA.
249
donde hemos usado k = ω/c.
Para θ = 0, la Ec. (6.85) da el conocido corrimiento Doppler para la luz: si v > 0,
la fuente en S se aleja del observador en S’ y ω 0 < ω, lo que corresponde al corrimiento
hacia el rojo; mientras que si v < 0, la fuente en S se acerca al observador en S’ y
ω 0 > ω, lo que se denomina corrimiento hacia el azul.
En el límite no relativista, γ → 1, la Ec. (6.85) da
v
ω 0 = ω 1 − cos θ .
(6.86)
c
Note que en el límite no relativista, no existe corrimento Doppler para θ = π/2; es
decir ω 0 = ω. Sin embargo, la expresión relativista, Ec. (6.85), para θ = π/2, da
ω 0 = γω > ω;
(6.87)
este efecto relativista se conoce como el corrimiento Doppler transversal.
A pesar del corrimiento Doppler relativista, la velocidad de fase de la onda plana
sigue siendo la misma en los sistemas de referencia S y S’. En S tenemos,
v=
ω
= c,
k
(6.88)
ω0
,
k0
(6.89)
mientras que en S’,
v0 =
donde
ω 0 = γω(1 − β cos θ).
(6.90)
Por otro lado, calculamos k 0 como
k 02 = kx02 + ky02 + kz02
ω 2
= γ 2 kx − β
+ ky2 + kz2
c
= k 2 sin2 θ + k 2 (cos θ − β)2 ,
(6.91)
donde hemos usado
2
ky2 + kz2 = k⊥
= k 2 sin2 θ,
kx = kk = k cos θ,
k=
ω
.
c
(6.92)
250CAPÍTULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS.
Usando la identidad γ 2 (1 − β 2 ) = 1, podemos escribir la Ec. (6.91) como
k 02 = k 2 γ 2 (1 − β 2 ) sin2 θ + k 2 (cos θ − β)2
= k 2 γ 2 (sin2 θ − β 2 sin2 θ + cos θ2 − 2β cos θ + β 2 )
= k 2 γ 2 (1 + β 2 cos θ2 − 2β cos θ)
= k 2 γ 2 (1 − β cos θ)2
⇒ k 0 = kγ(1 − β cos θ).
(6.93)
Sustituyendo en la Ec. (6.89), obtenemos
v0 =
ω0
γω(1 − β cos θ)
ω
=
= = c.
0
k
kγ(1 − β cos θ)
k
(6.94)
La invarianza de la velocidad de fase es consecuencia del postulado 2 de la Relatividad.
El ángulo θ0 que el vector de onda k0 forma con la dirección de v en S’ es
tan θ0 =
⇒ tan θ0 =
0
k⊥
kk0
sin θ
.
γ(cos θ − β)
Ejemplo.
1. Experimento de Fizeau (1851).
Figura 6.6: Experimento de Fizeau.
(6.95)
6.2. CORRIMIENTO DOPPLER RELATIVISTA.
251
Este experimento buscaba medir el cambio en la velocidad de la luz en un
medio (agua) en movimiento. Hyppolite Fizeau encontró experimentalmente
que la velocidad de la luz en el laboratorio en este caso era
c
1
vluz = ± v 1 − 2 ,
(6.96)
n
n
donde n es el índice de refracción del agua; v es la velocidad del agua en movimiento; el signo + ocurre si el agua se mueve en la dirección de la luz, y el signo
− tiene lugar si el agua se mueve en dirección contraria a la luz. El aparato
separa dos rayos de luz monocromática provenientes de la misma fuente y los
transmite por un fluido moviéndose a favor o en contra de la dirección de la
onda electromagnética. Un observador mide el corrimiento de fase (k1 − k2 )L
mediante el patrón de interferencia resultante entre las dos ondas, donde k1
y k2 son los números de onda correspondientes y L es la longitud del recorrido para ambos rayos. El corrimiento de fase es proporcional a la diferencia de
velocidades de la luz en los dos casos.
Los resultados del experimento pueden explicarse mediante la Relatividad Especial. La invarianza de la fase de la onda debe ser válida aún en presencia de un
medio dieléctrico; luego las transformaciones relativistas de k y ω siguen siendo
válidos en un medio como el agua. Consideremos que el agua está estacionaria
en el sistema S’, el cual se mueve con velocidad v en la dirección x̂ con respecto
al sistema del laboratorio S. Entonces, en S’, donde el agua está en reposo, la
velocidad de la luz es
ω0
c
0
vluz
= 0 =
(6.97)
k
n
donde k0 = k 0 x̂ es el vector de onda y ω 0 la frecuencia de la luz en S’.
En el laboratorio S, la velocidad de la luz será
vluz =
ω
.
k
(6.98)
Utilizamos las transformaciones inversas de las Ecs. (6.84),
ω = γ(ω 0 + vk 0 )
ω0
0
k = γ k +β
,
c
(6.99)
(6.100)
252CAPÍTULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS.
y sustituyendo en la Ec. (6.98) obtenemos
vluz =
=
=
γ(ω 0 + vk 0 )
ω0
0
γ k +β
c
k0
1+v 0
ω0
ω
βω 0
k0
1+ 0
ck
c
β −1
(1 + nβ) 1 +
.
n
n
(6.101)
Puesto que el agua se mueve con velocidad pequeña comparada con la de la
v
luz, tenemos β = 1. Luego, despreciando términos de orden β 2 y mayores,
c
podemos escribir para la velocidad de la luz en el laboratorio S,
c
β
vluz =
(1 + nβ) 1 − + · · ·
n
n
c
β
=
1 − + nβ + · · ·
n
n
c
1
=
1+β n−
+ ···
n
n
c
1
⇒ vluz =
+v 1− 2 ,
(6.102)
n
n
lo cual está en completo acuerdo con el experimento de Fizeau cuando el agua
se mueve en la dirección de la luz. Para el agua moviéndose en dirección opuesta
a la de la luz, simplemente reemplazamos v → −v en el resultado anterior.
Note que las transformaciones de velocidades de Galileo dan, para la velocidad
de la luz en el laboratorio, la expresión
c
(6.103)
vluz = ± v,
n
que no está de acuerdo con el resultado experimental.
6.3. TRANSFORMACIONES DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS.
6.3.
253
Transformaciones de campos electromagnéticos.
La evidencia experimental indica que la carga eléctrica es un invariante relativista;
es decir, la carga eléctrica de una partícula, tal como el electrón o el protón, es
independiente de su velocidad. Se ha establecido que el cociente entre la carga del
electrón y el protón es el mismo para diversos átomos neutros; a pesar de que las
velocidades de los correspondientes electrones sean muy distintas. Igualmente, se han
realizado experimentos con haces de diversos átomos neutros moviéndose a altas
velocidades y sujetos a campos eléctricos; sin observación de efecto de desviación
alguno.
La invarianza de la carga eléctrica y la contracción de la longitud implican que la
densidad de carga medida en sistemas inerciales S y S’ en movimiento relativo debe
ser diferente. Como consecuencia, los campos eléctricos y magnéticos en S y en S’
también son diferentes; pero las ecuaciones de Maxwell conservan su forma en ambos
sistemas.
Para mostrar cómo la densidad de una distribución carga se transforma en distintos sistemas, consideremos una lámina paralela al plano (x, z) con carga q, largo
Lo (en la dirección x) y ancho l en reposo en un sistema S. La densidad superficial
de carga de la lámina en S es σo , donde
σo =
q
.
Lo l
(6.104)
Figura 6.7: Transformación de la componente Ey en S a Ey0 en S’ .
La longitud de la lámina, medida en un sistema S’ que se mueve con velocidad v
en la dirección x, es
r
Lo
v2
0
L =
= Lo 1 − 2 .
(6.105)
γ
c
254CAPÍTULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS.
Luego, la densidad de carga superficial de la lámina, medida en S’ es
σ0 =
q
q
=γ
= γσo .
L0 l
Lo l
(6.106)
Es decir, la densidad de carga medida en un sistema en movimiento es mayor que la
densidad de carga en reposo; σ 0 > σo , puesto que γ > 1.
Consideremos dos láminas paralelas al plano (x, z) en reposo en S, con densidades
de carga σo y −σo , y con sus longitudes Lo en la dirección x. El campo eléctrico en
S es uniforme entre las láminas y va en la dirección y,
Ey = 4πσo .
(6.107)
El campo eléctrico medido en S’ debe tener la misma forma que en S, puesto que en
S’ también que se cumplen las ecuaciones de Maxwell,
Ey0 = 4πσ 0
⇒
Ey0
(6.108)
= 4πγσo
(6.109)
= γEy .
(6.110)
Luego, Ey0 > Ey . Del mismo modo, si colocamos las láminas paralelas al plano (x, y)
en S, con sus longitudes Lo en la dirección x, obtenemos
Ez0 = γEz ,
(6.111)
puesto que la contracción de la longitud sigue afectando a Lo en la dirección x en S’.
Por otro lado, si las láminas se encuentran paralelas al plano (y, z) en S, la contracción de la longitud en la dirección x afecta la separación de las láminas medida
en S’, pero no sus áreas. Como consecuencia, la densidad de carga de las láminas
medida en S’ no cambia; y por lo tanto, el campo eléctrico en la dirección x0 tampoco
cambia,
σ 0 = σo
⇒
Ex0
= Ex .
(6.112)
(6.113)
6.3. TRANSFORMACIONES DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS.
255
Figura 6.8: Transformación de la componente Ex en S a Ex0 en S’ .
Entonces, las componentes del campo eléctrico perpendiculares a la dirección de
la velocidad cambian, mientras que las componentes del campo eléctrico paralelas a
la velocidad no se alteran en el sistema S’; esto es,
0
= γE⊥
E⊥
(6.114)
Ek0
(6.115)
= Ek .
Figura 6.9: Transformaciones de las componentes Ey y Bz en S a Ey0 y Bz0 en S’ .
Supongamos ahora que, además de un campo eléctrico, existe un campo magnético
en S. Para que exista un campo magnético en S, debemos tener cargas en movimiento
en S. Consideremos entonces que las láminas paralelas, cuyas densidades de carga en
reposo son ±σo , se mueven ambas en el sistema S en la dirección x con velocidad uo .
Entonces, la densidad de carga en S es
σ = γo σ o ,
donde γo = (1 −
uo
βo =
.
c
βo2 )−1/2
(6.116)
(6.117)
(6.118)
256CAPÍTULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS.
La densidad de carga en movimiento equivale a una corriente. Consideremos un
elemento diferencial de una lámina de largo dx. Su carga es
dq = σl dx.
(6.119)
La corriente que pasa en un tiempo dt en S es
I=
dq
dx
= σl
= σluo .
dt
dt
(6.120)
Figura 6.10: Ley de Ampère para calcular la componente Bz en S .
Para calcular el campo magnético producido por las corrientes laminares I que
van en las direcciones x y x, notamos que el campo magnético entre las láminas en
movimiento es uniforme y va en la dirección z, mientras que fuera de las láminas
el campo magnético es cero. Utilizando la ley de Ampère en forma integral para el
circuito C, obtenemos
I
4π
B · dl =
Ienc
c
C
4π
Bz l =
I
c
4π
⇒ Bz =
σuo .
(6.121)
c
El campo eléctrico en S va en la dirección y y su valor es
Ey = 4πσ.
(6.122)
6.3. TRANSFORMACIONES DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS.
257
Sustituyendo σ, podemos expresar los campos en S como
Ey = 4πγo σo
4π
Bz =
γo σo uo = 4πγo σo βo .
c
(6.123)
(6.124)
Las expresiones de los campos en el sistema S’ tienen la misma forma que en S,
Ecs. (6.121) y (6.122), pero en términos de cantidades medidas en S’; esto es
Ey0 = 4πσ 0
4π 0 0
σu,
Bz0 =
c
(6.125)
(6.126)
donde σ 0 es la densidad de carga en S’ y u0 es la velocidad de las láminas con respecto
a S’. Tenemos
σ 0 = γ 0 σo
−1/2
u02
0
donde γ =
1− 2
.
c
(6.127)
(6.128)
Utilizando la suma de velocidades relativistas, tenemos
u0 =
⇒
u0
c
=
uo − v
β
1 − uo
c
βo − β
,
1 − ββo
(6.129)
(6.130)
donde
β=
v
c
βo =
uo
.
c
(6.131)
258CAPÍTULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS.
Luego,
1−
u02
c2
⇒ γ0
βo − β 2
1 − ββo
(1 − βo2 )(1 − β 2 )
=
(1 − ββo )2
−1/2
u02
=
1− 2
c
= 1−
(6.132)
= (1 − βo2 )−1/2 (1 − β 2 )−1/2 (1 − ββo )
= γo γ (1 − ββo ).
(6.133)
Sustituyendo σ 0 y γ 0 en la Ec. (6.125), obtenemos
Ey0 = 4πσ 0
= 4πγ 0 σo
= 4πσo γo γ (1 − ββo )
= γ (4πσo γo − 4πσo γo βo β)
⇒
Ey0
= γ (Ey − βBz ) ,
(6.134)
donde hemos sustituido las Ecs. (6.123) y (6.124).
Del mismo modo, sustituyendo σ 0 , γ 0 y u0 /c en la Ec. (6.126), obtenemos
Bz0 = 4πσ 0
u0
c
= 4πγ 0 σo
(βo − β)
(1 − ββo )
(βo − β)
(1 − ββo )
= γ (4πσo γo βo − 4πσo γo β)
= 4πσo γγo (1 − ββo )
⇒
Bz0 = γ (Bz − βEy ) .
(6.135)
Por un procedimiento similar, se puede demostrar que las otras componentes de
E y B perpendiculares a la dirección x de la velocidad se transforman como
Ez0 = γ (Ez + βBy )
(6.136)
By0
(6.137)
= γ (By + βEz ) .
6.3. TRANSFORMACIONES DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS.
259
Figura 6.11: Transformaciones de las componentes Ez y By en S a Ez0 y By0 en S’ .
Por último, consideremos la transformación de la componente Bx del campo magnético, paralela a la velocidad. Supongamos que en el sistema S tenemos en reposo un
solenoide infinito en la dirección x, el cual transporta una corriente I y posee N/Lo
vueltas por unidad de longitud.
Figura 6.12: Transformación de la componente Bx en S a Bx0 en S’ .
Dentro del solenoide, el campo magnético es uniforme y va en la dirección x. La
ley de Ampère da el valor
4π N
Bx =
I
.
(6.138)
c Lo
La corriente medida en S es
dq
,
(6.139)
dτ
donde dτ es el intervalo de tiempo propio para el paso de una carga dq por el cable.
La corriente medida en S’ es
I=
I0 =
dq
1 dq
I
=
= ,
0
dt
γ dτ
γ
(6.140)
260CAPÍTULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS.
puesto que dt0 = γdτ debido a la dilatación del tiempo en S’. Debido a la contracción
de la longitud, la longitud del solenoide en S’ es
L0 =
Lo
.
γ
(6.141)
El número de espiras N es invariante. Entonces, el campo magnético en S’ es
4π 0 N
I 0
c L
4π I
N
γ
=
c γ
Lo
4π N
I
=
c Lo
= Bx .
Bx0 =
⇒ Bx0
(6.142)
(6.143)
Es decir, la componente del campo magnético paralela a la velocidad no cambia.
En resumen, las transformaciones relativistas de las componentes de los campos
electromagnéticos son
Ex0 = Ex
Ey0 = γ (Ey − βBz )
Ez0 = γ (Ez + βBy )
Bx0 = Bx
By0 = γ (By + βEz )
Bz0 = γ (Bz − βEy ) ,
(6.144)
donde la velocidad relativa del sistema S’ con respecto a S va en la dirección x. Las
componentes de los campos electromagnéticos paralelas a la dirección de la velocidad
no se alteran, mientras que las componentes perpendiculares se transforman. Si escribimos E = Ek + E⊥ y B = Bk + B⊥ , las transformaciones Ecs. (6.144) se pueden
expresar en forma vectorial como
E0k
E0⊥
B0k
B0⊥
donde
=
=
=
=
β=
Ek
γ(E⊥ + β × B)
Bk
γ(B⊥ − β × E),
v
x̂ ,
c
γ = (1 − β 2 )−1/2 .
(6.145)
(6.146)
6.3. TRANSFORMACIONES DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS.
261
Las transformaciones inversas se obtienen intercambiando variables primas por variables no primas, y haciendo β → −β en las Ecs. (6.144) y β → −β en las Ecs. (6.145).
Las transformaciones Ecs. (6.145) muestran que los campos eléctrico y magnético
siempre coexisten en algún sistema de referencia. Un campo puramente eléctrico en
un sistema aparece como una mezcla de campos elećtricos y magnéticos en otro sistema. Los campos E y B están completamente relacionados, formando una entidad
que es el campo electromagnético, y podemos considerar a las componentes de E y B
como seis componentes del campo electromagnético. El mismo campo electromagnético, visto desde distintos sistemas, estará representado por distintos valores para esas
seis componentes. De este modo, el campo electromagnético se puede expresar como
un tensor o una matriz 3 × 3 con seis componentes independientes que se transforman
en distintos sistemas de referencia de acuerdo a las Ecs. (6.144).
Ejemplos.
1. Carga puntual en movimiento.
Figura 6.13: Campos de una carga en movimiento.
Supongamos una carga q en reposo en S’. Luego, en S’ no hay campo magnético,
B0k = 0, B0⊥ = 0, y E0 es un campo electrostático radial.
Vista desde el sistema S, que podemos llamar laboratorio, la carga q se mueve
con velocidad v en la dirección x. El campo eléctrico en S está dado por las
transformaciones inversas correspondientes a la Ecs. (6.145),
Ek = E0k ,
E⊥ = γ(E0⊥ − β × B0 ),
(6.147)
262CAPÍTULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS.
es decir,
Ex = Ex0 ,
0
E⊥ = γE⊥
.
(6.148)
En S, las líneas radiales de campo eléctrico se pliegan en la dirección transversal al movimiento, concentrándose en un cilindro delgado perpendicular a la
dirección de v.
Similarmente, el campo magnético medido en S está dado por
B⊥ = γ(B0⊥ + β × E0 )
Bk = B0k ,
(6.149)
lo que conduce en este caso a
Bk = 0,
B⊥ = γβ × E0 .
(6.150)
En S se observa un campo magnético B = B⊥ perpendicular a la dirección del
movimiento β y al campo radial E0 . Las líneas de campo B son circunferencias alrededor de la dirección de movimiento, en el plano perpendicular a ésta.
La carga en movimiento constituye una corriente en la dirección v en S, y la
dirección del campo B que ésta produce satisface la regla de la mano derecha.
Figura 6.14: Direcciones de los campos E y B de una carga en movimiento.
Supongamos que la carga q se encuentra en el origen de coordenadas de S’,
de modo que E0 = rq03 r0 . Consideremos un instante t = t0 = 0 cuando los
orígenes de coordenadas de S’ y S coinciden. Entonces, para velocidades bajas
con respecto a c, γ ' 1, r ' r0 , y obtenemos campo magnético en S
B'
q v×r
,
c r3
(6.151)
6.3. TRANSFORMACIONES DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS.
263
el cual es el campo magnético dado por la ley de Biot-Savart para una corriente
correspondiente a una carga en movimiento.
Figura 6.15: Campo magnético de una carga en movimiento y la ley de Biot-Savart.
2. Supongamos que en S existe un campo eléctrico E, pero que no hay campo
magnético, B = 0. Entonces, en S’ se observa un campo magnético
B0k = 0,
B0⊥ = γE × β.
(6.152)
En el ejemplo de las láminas cargadas en reposo, Ey = 4πσo en S. Luego, el
campo magnético en S’ es
Bx0 = 0,
By0 = 0,
Bz0 = −γβEy = −4πσo γβ.
(6.153)
264CAPÍTULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS.
Resumen
1. Transformaciones de Lorentz,
x0 = γ(x
− βct)
β
t0 = γ t − x
c
y0 = y
z 0 = z.
−1/2
v
v2
.
β= ,
γ = 1− 2
c
c
2. Suma relativista de velocidades,
ux =
u0x + v
.
β 0
1 + ux
c
3. Contracción de la longitud,
L0 =
Lo
.
γ
4. Dilatación del tiempo,
∆t0 = γτ.
5. Momento relativista,
p = mγu.
6. Energía relativista,
E ≡ γmc2 ,
E 2 − p2 c2 = m2 c4 = cte.
7. Corrimiento Doppler relativista,
ω
ω0
=γ
− β kk ,
c
c
ω
kk0 = γ kk − β
.
c
8. Transformaciones de los campos electromagnéticos,
E0k
E0⊥
B0k
B0⊥
=
=
=
=
Ek
γ(E⊥ + β × B)
Bk
γ(B⊥ − β × E)
v
β = x̂.
c
6.4. PROBLEMAS.
6.4.
265
Problemas.
1. En un laboratorio se observa un cable recto infinito, con densidad lineal de
carga λo en reposo, moviéndose con velocidad v paralela a la dirección del cable.
¿Cuáles son los campos eléctrico y magnético observados en el laboratorio?.
2. Considere un sistema de referencia en el cual existe un campo eléctrico E = Eo ŷ
y un campo magnético B = Bo ẑ, tal que Eo < Bo .
a) Encuentre un sistema de referencia inercial donde el campo eléctrico sea nulo.
b) Demuestre que las cantidades E · B y E 2 − B 2 son iguales en ambos sistemas.
3. Una onda electromagnética plana con frecuencia ω incide sobre un espejo plano,
formando un ángulo α con respecto al espejo. Si el espejo se mueve con velocidad
constante v en la dirección de su normal al encuentro de la onda incidente,
determine el ángulo de reflexión respecto al plano del espejo y la frecuencia de
la onda reflejada
4. Una onda electromagnética plana en un sistema inercial S posee un campo
eléctrico E = Eo sin(kx − ωt)ŷ.
a) Encuentre el campo magnético correspondiente a esta onda en S.
b) Encuentre el número de onda y la frecuencia de esta onda en un sistema de
referencia S 0 que se mueve con velocidad constante vx̂ con respecto a S.
5. Un cable recto e infinito tiene una densidad lineal de carga uniforme λ y lleva
una corriente I.
a) Encuentre un sistema de referencia en el cual no exista campo magnético y
determine la magnitud del campo eléctrico medido en ese sistema.
b) Encuentre un sistema de referencia en el cual solamente se observe campo
magnético y determine la magnitud de ese campo en tal sistema.
6. En un laboratorio, se observan dos electrones moviéndose en trayectorias paralelas, uno al lado del otro, con la misma rapidez v y separados por una distancia
transversal d.
a) ¿Cuál es la fuerza entre ambas partículas, calculada en el laboratorio?.
b) Si los electrones se mueven en la misma línea uno delante del otro, separados
por una distancia d, ¿cuál es la fuerza medida en el laboratorio en este caso?.
266CAPÍTULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGNÉTICOS.
7. Una esfera conductora de radio R se mueve con velocidad constante v = vx̂. a
través de un campo magnético uniforme B = Bo ŷ.
a) Encuentre la densidad superficial de carga inducida sobre la esfera.
b) ¿Cuál es el límite no relativista de esta cantidad?.
8. Una partícula relativista de masa m y carga q, con velocidad inicial vo , se mueve
en un campo eléctrico Eo uniforme, constante y perpendicular a vo . Encuentre
la velocidad de la partícula en función del tiempo.
9. Una partícula relativista con carga q y masa m se mueve con velocidad v en el
campo de un dipolo magnético µ orientado en la dirección ẑ y cuyo potencial
vector, en coordenadas esféricas, es
A=
µ sin θ
φ̂.
r2
a) Encuentre el momento conjugado pφ de la partícula.
b) Demuestre que pφ es una constante del movimiento.
10. Este problema se refiere al efecto Sagnac. Se construye un interferómetro enviando rayos de luz de longitud de onda λ en direcciones opuestas a través de
un contorno plano cerrado (por ejemplo, una fibra óptica) de longitud L y que
encierra un área A. Todo el aparato, incluyendo la fuente de luz y el detector,
se hace rotar con velocidad angular Ω alrededor de un eje perpendicular a su
plano.
a) Demuestre que el corrimiento de fase observado entre los rayos de luz que se
mueven en direcciones opuestas es 4ΩA
cλ , hasta primer orden en Ω.
b) ¿Cómo depende la respuesta anterior de la localización del eje de rotación?.
c) ¿Podría este efecto ser observado en un laboratorio típico?.
.
Apéndice A
Bibliografía
1. J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd edition, Wiley (1999).
2. E. Konopinski, Electromagnetic Fields and Relativistic Particles, Mc Graw-Hill
(1981).
3. J. Vanderlinde, Classical Electromagnetic Theory, 2nd edition, Kluwer Academic
Publishers (2004).
4. L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Electrodynamics of Continuous Media, 2nd
edition, Adisson-Wesley (1984).
5. V. Batygin and I. N. Toptygin, Problems in Electrodynamics, 2nd edition, Academic Press (1978).
6. D. J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, 3rd edition, Prentice Hall (1999).
7. E. M. Purcell, Electricidad y Magnetismo, Berkeley Physics Course, Vol. II, 2da
edición, Editorial Reverté (1988).
8. W. H. Panofsky and M. Phillips,Classical Electricity and Magnetism, 2nd edition, Adisson-Wesley (1969).
267
