# Guía de Electromagnetismo

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```Mario Cosenza
Electromagnetismo
Versi&oacute;n A-15
Mario Cosenza
M&eacute;rida, Venezuela
Electromagnetismo
Versi&oacute;n A-2015
c
MMXV
a Bernarda
Y Dios dijo:
∇ &middot; E = 4πρ
∇&times;E+
1 ∂B
= 0
c ∂t
∇&middot;B = 0
∇&times;B−
1 ∂E
4π
=
J,
c ∂t
c
y se hizo la luz.
F&oacute;rmulas vectoriales
A &middot; (B &times; C) = (A &times; B) &middot; C = C &middot; (A &times; B) = (C &times; A) &middot; B = B &middot; (C &times; A)
(A &times; B) &middot; (C &times; D) = (A &middot; C)(B &middot; D) − (A &middot; D)(B &middot; C)
A &times; (B &times; C) = B(A &middot; C) − C(A &middot; B)
∇(A &middot; B) = A &times; (∇ &times; B) + B &times; (∇ &times; A) + (A &middot; ∇)B + (B &middot; ∇)A
∇ &times; (A &times; B) = A(∇ &middot; B) − B(∇ &middot; A) + (B &middot; ∇)A − (A &middot; ∇)B
∇ &middot; (A &times; B) = B &middot; (∇ &times; A) − A &middot; (∇ &times; B)
∇ &times; (φA) = φ(∇ &times; A) − A &times; (∇φ)
∇ &middot; (φA) = φ(∇ &middot; A) + A &middot; ∇φ
∇(φψ) = φ∇ψ + ψ∇φ
∇ &times; (∇ &times; A) = ∇(∇ &middot; A) − ∇2 A
∇ &middot; (∇ &times; A) = 0
∇ &times; (∇φ) = 0
∇ &times; [r̂f (r)] = 0
∇&times;r=0
∇&middot;r=3
Z
V
I
θ∇2 ψ + ∇ψ &middot; ∇θ d3 r =
θ ∇ψ &middot; n̂ da
Z
IS
(φ∇2 ψ − ψ∇2 φ) d3 r = (φ∇ψ − ψ∇φ) &middot; n̂ da
Teorema de Green
V
Z
I S
(∇ &middot; A) d3 r =
A &middot; n̂ da
Teorema de Gauss (divergencia)
V
S
Z
I
(∇ &times; A) &middot; n̂ da =
A &middot; dl
Teorema de Stokes
S
C
Z
I
3
n̂ &times; A da
V
S
Z
I
n̂ &times; (∇ψ) da =
ψ dl
S
C
Z
I
∇ψ d3 r =
ψ n̂ da
V
S
&Iacute;ndice general
1. Electrost&aacute;tica.
1.1. Ecuaciones de Maxwell. . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.2. Campo electrost&aacute;tico. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3. Potencial escalar el&eacute;ctrico. . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Expansi&oacute;n multipolar del potencial el&eacute;ctrico. . . . . . .
1.5. Ecuaciones de Poisson y de Laplace. . . . . . . . . . .
1.6. Energ&iacute;a electrost&aacute;tica. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.7. Interacci&oacute;n de una distribuci&oacute;n de carga con un campo
1.8. Potencial y campo el&eacute;ctrico en conductores. . . . . . .
1.9. Capacitancia. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.10. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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externo.
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2. Problemas de frontera en Electrost&aacute;tica
2.1. Teorema de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.2. Funci&oacute;n de Green. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3. M&eacute;todo de im&aacute;genes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.4. Funciones ortogonales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.5. Ecuaci&oacute;n de Laplace en coordenadas cartesianas. . . . . . .
2.6. Ecuaci&oacute;n de Laplace en coordenadas polares. . . . . . . . .
2.7. Ecuaci&oacute;n de Laplace en coordenadas esf&eacute;ricas. . . . . . . . .
2.8. Problemas de frontera con simetr&iacute;a azimutal. . . . . . . . .
2.9. Arm&oacute;nicos esf&eacute;ricos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.10. Expansi&oacute;n de la funci&oacute;n de Green en coordenadas esf&eacute;ricas.
2.11. Aplicaciones de la expansi&oacute;n esf&eacute;rica de la funci&oacute;n de Green.
2.12. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
vii
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1
6
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39
43
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126
3. Campos el&eacute;ctricos en la materia
3.1. Polarizabilidad molecular. . . . . . . . . . . . . .
3.3. Electrost&aacute;tica en medios diel&eacute;ctricos. . . . . . . .
3.4. Problemas de frontera con diel&eacute;ctricos. . . . . . .
3.5. Energ&iacute;a electrost&aacute;tica en medios diel&eacute;ctricos. . . .
3.6. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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4. Magnetost&aacute;tica
4.1. Ecuaciones de la Magnetost&aacute;tica. . . . . .
4.2. Ley de Biot-Savart y Ley de Amp&egrave;re. . . .
4.3. Fuerza magn&eacute;tica entre corrientes. . . . .
4.4. Expansi&oacute;n multipolar del potencial vector.
4.5. Momento magn&eacute;tico. . . . . . . . . . . . .
4.6. Magnetost&aacute;tica en medios materiales. . . .
4.7. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . .
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5. Campos electromagn&eacute;ticos dependientes del tiempo.
5.1. Ley de Faraday y ecuaciones de Maxwell. . . . . . . . . . . . .
5.2. Transformaciones de calibre. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.3. Energ&iacute;a del campo magn&eacute;tico. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.4. Conservaci&oacute;n de energ&iacute;a del campo electromagn&eacute;tico. . . . . . .
5.5. Momento del campo electromagn&eacute;tico. . . . . . . . . . . . . . .
5.6. Momento angular del campo electromagn&eacute;tico. . . . . . . . . .
5.7. Ondas electromagn&eacute;ticas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5.8. Polarizaci&oacute;n, reflexi&oacute;n y refracci&oacute;n de ondas electromagn&eacute;ticas.
5.9. Ondas electromagn&eacute;ticas en medios materiales. . . . . . . . . .
5.10. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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230
6. Transformaciones relativistas de campos electromagn&eacute;ticos.
6.1. Revisi&oacute;n de Relatividad Especial. . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.2. Corrimiento Doppler relativista. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6.3. Transformaciones de campos electromagn&eacute;ticos. . . . . . . . . .
6.4. Problemas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
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265
A. Bibliograf&iacute;a
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267
Cap&iacute;tulo 1
Electrost&aacute;tica.
1.1.
Ecuaciones de Maxwell.
Los fen&oacute;menos electromagn&eacute;ticos macrosc&oacute;picos est&aacute;n descritos por las ecuaciones
de Maxwell,
∇&middot;E
1 ∂B
∇&times;E+
c ∂t
∇&middot;B
1 ∂E
∇&times;B−
c ∂t
= 4πρ
(1.1)
= 0
(1.2)
= 0
4π
=
J.
c
(1.3)
(1.4)
Estas ecuaciones corresponden a fuentes y campos en el vac&iacute;o, en el sistema de unidades cgs o gaussiano. En medios materiales, aparecen algunos factores adicionales,
pero la forma de las ecuaciones es la misma.
Las cantidades f&iacute;sicas que aparecen en las ecuaciones de Maxwell y sus unidades
en el sistema cgs Gaussiano son
E:
B:
ρ:
J:
c:
campo el&eacute;ctrico [statvoltio/cm],
campo magn&eacute;tico [Gauss],
densidad de carga el&eacute;ctrica [statcoulomb/cm3 ],
densidad de corriente el&eacute;ctrica [statamp&egrave;re/cm2 ],
velocidad constante de la luz en el vac&iacute;o [cm/s].
1
(1.5)
2
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.
La conversi&oacute;n de unidades entre el sistema mks y el cgs Gaussiano es
1 coulomb = 3 &times; 109 statcoulombs.
1 amp&egrave;re = 3 &times; 109 statamp&egrave;res.
1 voltio
= 300−1 statvoltios.
(1.6)
Las ecuaciones de Maxwell describen leyes de la naturaleza descubiertas experimentalmente en una serie de trabajos monumentales debidos a Oersted, Coulomb,
Faraday, Amp&egrave;re, Biot, Savart y otros grandes f&iacute;sicos.
La Ec. (1.1) tambi&eacute;n se conoce como la ley de Gauss para el Electromagnetismo,
y es consecuencia de la ley de Coulomb para las fuerzas entre cargas el&eacute;ctricas. La
Ec. (1.2) corresponde a la ley de inducci&oacute;n de Faraday. La Ec. (1.3) describe la
ausencia de cargas (monopolos) magn&eacute;ticas, mientras que la Ec. (1.4) contiene la ley
de Amp&egrave;re para el campo magn&eacute;tico producido por una corriente el&eacute;ctrica, es decir,
por cargas el&eacute;ctricas en movimiento.
Maxwell di&oacute; forma matem&aacute;tica a estas leyes e introdujo una notaci&oacute;n conveniente. La inclusi&oacute;n del t&eacute;rmino 1c ∂E
∂t (denominado corriente de desplazamiento) en la
Ec. (1.4), mediante un requerimiento de simetr&iacute;a en relaci&oacute;n con la Ec. (1.2), constituye la contribuci&oacute;n fundamental de Maxwell al Electromagnetismo. Con la adici&oacute;n
de este t&eacute;rmino, las ecuaciones de Maxwell pemitieron la predicci&oacute;n de ondas electromagn&eacute;ticas cuya velocidad de propagaci&oacute;n es igual a la velocidad de la luz.
Las ecuaciones de Maxwell expresan la relaci&oacute;n f&iacute;sica entre los campos E y B, y
de &eacute;stos con sus fuentes ρ y J. Desde el punto de vista matem&aacute;tico, las ecuaciones
de Maxwell son un conjunto de ocho ecuaciones diferenciales acopladas, en derivadas
parciales de primer orden con respecto al espacio y al tiempo, para las seis componentes los campos vectoriales E(r, t) y B(r, t); dadas las fuentes ρ(r, t) y J(r, t).
Para aplicar estas ecuaciones en situaciones f&iacute;sicas se requiere un sistema de coordenadas (cartesianas, esf&eacute;ricas, cil&iacute;ndricas, etc.) apropiado para el problema considerado.
En coordenadas cartesianas, el vector de posici&oacute;n en el espacio tridimensional con
respecto a un origen dado O es r = (x, y, z) = (x1 , x2 , x3 ), y el campo el&eacute;ctrico (o
magn&eacute;tico) en el punto r y en el instante t es
E(r, t) = (Ex (r, t), Ey (r, t), Ez (r, t)) ,
(1.7)
donde Ex (r, t) = Ex (x, y, z, t), etc. En general, escribimos las componentes cartesianas Ei (r, t) = Ei (x1 , x2 , x3 , t), i = 1, 2, 3. El vector unitario en la direcci&oacute;n xi se
denota por x̂i .
1.1. ECUACIONES DE MAXWELL.
3
Figura 1.1: Campos E(r, t) y B(r, t) en un sistema de coordenadas cartesianas.
Los operadores diferenciales vectoriales en las ecuaciones de Maxwell, en coordenadas cartesianas, son:
∇φ(x, y, z) =
∂φ ∂φ ∂φ
,
,
∂x ∂y ∂z
.
(1.8)
Divergencia:
∇&middot;E=
∂Ex ∂Ey
∂Ez
+
+
∂x
∂y
∂z
.
(1.9)
Rotacional:
x̂
ŷ
ẑ
∂Ey
∂Ez
∂Ex ∂Ey
∂Ez
∂Ex
∇ &times; E = Ex Ey Ez =
x̂ +
ŷ +
ẑ.
−
−
−
∂z
∂y
∂x
∂z
∂y
∂x
∂
∂
∂
∂x
∂y
∂z
(1.10)
∂E
=
∂t
∂Ex ∂Ey ∂Ez
,
,
∂t
∂t ∂t
.
(1.11)
Una consecuencia inmediata de las ecuaciones de Maxwell es la conservaci&oacute;n de la
carga el&eacute;ctrica. Para ver esto, consideremos la siguiente derivada parcial con respecto
4
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.
a t, tomando en cuenta que las coordenadas de r y t son independientes,
∂
∂ ∂Ex ∂Ey
∂Ez
(∇ &middot; E) =
+
+
∂t
∂t ∂x
∂y
∂z
2
2
2
∂ Ex ∂ Ey
∂ Ez
=
+
+
∂x∂t
∂y∂t
∂z∂t
∂E
= ∇&middot;
.
∂t
Derivando parcialmente la Ec. (1.1) con respecto a t, tenemos
∂ρ
∂E
= 4π .
∇&middot;
∂t
∂t
Sustituyendo el t&eacute;rmino
∂E
∂t
(1.12)
(1.13)
de la Ec. (1.4), tenemos
c∇ &middot; (∇ &times; B) − 4π∇ &middot; J = 4π
∂ρ
.
∂t
(1.14)
Pero ∇ &middot; (∇ &times; B) = 0 (identidad vectorial). Luego,
∂ρ
+ ∇ &middot; J = 0.
∂t
(1.15)
Esta es la ecuaci&oacute;n de continuidad para el flujo de carga el&eacute;ctrica, similar a la ecuaci&oacute;n
de continuidad de un fluido incompresible. Si la densidad de carga disminuye en una
region, debemos tener ∂ρ
∂t &lt; 0 en esa region; mientras que la divergencia de la corriente
el&eacute;ctrica debe ser ∇ &middot; J &gt; 0; es decir, hay un flujo de corriente (cargas en movimiento)
que sale de dicha regi&oacute;n. Por otro lado, un aumento de carga en una regi&oacute;n, ∂ρ
∂t &gt; 0,
est&aacute; asociado a una divergencia negativa de la corriente, ∇ &middot; J &lt; 0; es decir, las cargas
el&eacute;ctricas deben entrar a esa regi&oacute;n. La Ec. (1.15) expresa la conservaci&oacute;n de la carga
el&eacute;ctrica.
En el Electromagnetismo cl&aacute;sico las distribuciones de cargas y de corrientes se
asumen continuas en el espacio, aunque con frecuencia consideramos distribuciones
de cargas localizadas como puntos. Sabemos que la carga el&eacute;ctrica est&aacute; cuantizada a
nivel microsc&oacute;pico; toda carga q es un m&uacute;ltiplo entero de la carga fundamental del
electr&oacute;n, e = 1,6 &times; 10−19 Coulomb.
1.1. ECUACIONES DE MAXWELL.
5
Figura 1.2: Conservaci&oacute;n de la carga el&eacute;ctrica: la disminuci&oacute;n de la densidad de carga ρ en una
regi&oacute;n del espacio est&aacute; asociada a la divergencia positiva de la densidad de corriente J en esa regi&oacute;n.
Las ecuaciones de Maxwell describen la din&aacute;mica de los campos E y B producidos
por cargas y corrientes el&eacute;ctricas; no describen el movimiento de cargas sujetas a esos
campos. La din&aacute;mica de una carga el&eacute;ctrica q que se mueve con velocidad v en
presencia de campos electromagn&eacute;ticos externos E, B (es decir, no producidos por q)
es un resultado experimental adicional a las ecuaciones de Maxwell, y est&aacute; descrita
por la fuerza de Lorentz,
v
F=q E+ &times;B .
(1.16)
c
Los campos E y B contribuyen diferentemente a la fuerza de Lorentz sobre una
carga en movimiento. La fuerza que el campo el&eacute;ctrico E produce en un punto del
espacio donde est&aacute; ubicada la carga permite medir E en ese punto y, similarmente,
la componente magn&eacute;tica de la fuerza determina B.
Los campos E, B tienen significado propio independiente de las fuentes que los
producen; ellos pueden existir en regiones lejos de sus fuentes en forma de ondas, y
pueden llevar energ&iacute;a, momento lineal y momento angular.
Las ecuaciones de Maxwell se simplifican considerablemente si las cantidades son
estacionarias, es decir, si E, B, ρ y J, no dependen del tiempo,
∂E
=0 ,
∂t
∂B
=0 ,
∂t
∂ρ
= 0.
∂t
(1.17)
En este caso, los campos E(r), B(r) se desacoplan y las ecuaciones de Maxwell
se pueden separar en dos pares de ecuaciones, correspondientes a la Electrost&aacute;tica y
a la Magnetost&aacute;tica,
)
∇ &middot; E = 4πρ
(1.18)
Electrost&aacute;tica
∇&times;E=0
(1.19)
+
6
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.


(1.20)
∇&middot;B=0
∇&times;B=
1.2.
4π
J.
c
Magnetost&aacute;tica

(1.21)
Campo electrost&aacute;tico.
Consideremos dos cargas puntuales q1 y q2 ubicadas en las posiciones r1 y r2 ,
respectivamente.
Figura 1.3: Dos cargas puntuales en el espacio.
La fuerza sobre q2 debida a la interacci&oacute;n con q1 est&aacute; dada experimentalmente
por la Ley de Coulomb,
Fsobre q2 = k
q1 q2
(r2 − r1 ) ,
|r2 − r1 |3
(1.22)
donde k es una constante de proporcionalidad que depende del sistema de unidades;
en el sistema cgs, k ≡ 1. Debido a la Tercera Ley de Newton, tenemos
Fsobre q2 = −Fsobre q1 .
(1.23)
La fuerza entre cargas el&eacute;ctricas debida a la Ley de Coulomb puede ser atractiva
o repulsiva. Esto permite distinguir dos tipos de cargas existentes en la Naturaleza,
designadas como positivas o negativas; cargas de signos opuestos se atraen y cargas
de signos iguales se repelen.
El campo electrost&aacute;tico E(r) en un punto r del espacio se mide en t&eacute;rminos de la
fuerza ejercida sobre una carga de prueba puntual q colocada en la posici&oacute;n r,
F(r) = qE(r).
(1.24)
1.2. CAMPO ELECTROST&Aacute;TICO.
7
La fuerza F(r) experimentada por la carga q es debida a su interacci&oacute;n con otras
cargas que producen el campo E(r).
Figura 1.4: Campo el&eacute;ctrico E externo en la posici&oacute;n de una carga q.
El campo el&eacute;ctrico E(r) se define cuando el campo creado por la carga de prueba
en r es despreciable; es decir, cuando q → 0,
F(r)
.
q→0 q
E(r) = lı́m
(1.25)
El campo el&eacute;ctrico producido en la posici&oacute;n r2 por una carga q1 , cuando q2 → 0 es
Fsobre q2
q1
=
(r2 − r1 ) .
q2 →0
q2
|r2 − r1 |3
E(r2 ) = lı́m
(1.26)
Figura 1.5: Campo el&eacute;ctrico E(r) producido en la posici&oacute;n r por una carga q ubicada en r1 .
La direcci&oacute;n de E(r2 ) depende del signo de la carga q1 . En general, el campo
producido en la posici&oacute;n r por una carga q ubicada en r1 es
E(r) =
q
(r − r1 ) .
|r − r1 |3
(1.27)
8
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.
Una carga q ubicada en el origen O (r1 = 0) produce un campo radial
q
q
E(r) = 3 r = 2 r̂ ,
(1.28)
r
r
donde usamos la notaci&oacute;n r = |r|.
Las ecuaciones de Maxwell son lineales para los campos E y B. Los campos
cumplen el principio de superposici&oacute;n: si E1 y E2 son campos independientes que
satisfacen las ecuaciones de Maxwell, entonces su suma E1 + E2 tambi&eacute;n satisface
estas ecuaciones. Luego, el campo total en la posici&oacute;n r debido a un conjunto de
cargas puntuales qi ubicadas en los puntos ri , i = 1, 2, . . . , N , es
E(r) =
N
X
i=1
qi
(r − ri )
.
|r − ri |3
(1.29)
Figura 1.6: Campo el&eacute;ctrico creado en la posici&oacute;n r por un conjunto de cargas qi ubicadas en ri .
Si las cargas son muy peque&ntilde;as (qi → 0) y N es muy grande (N → ∞), tenemos el
l&iacute;mite de una distribuci&oacute;n continua de carga ρ, tal que ri → r0 y qi → dq = ρ(r0 )d3 r0 ,
donde denotamos el elemento infinitesimal de volumen por d3 r0 . En el l&iacute;mite continuo,
la sumatoria sobre las cargas se convierte en una integral de la densidad de carga sobre
el volumen. El campo el&eacute;ctrico producido por una densidad de carga resulta en
Z
(r − r0 ) 3 0
E(r) = ρ(r0 )
d r ,
(1.30)
|r − r0 |3
donde empleamos la notaci&oacute;n:
r : punto de observaci&oacute;n fijo.
(1.31)
0
(1.32)
r
: posici&oacute;n de fuentes, variable de integraci&oacute;n.
1.2. CAMPO ELECTROST&Aacute;TICO.
9
Figura 1.7: Campo el&eacute;ctrico producido por una densidad de carga. La coordenada de integraci&oacute;n
es r0 y la de observaci&oacute;n es r.
El campo el&eacute;ctrico en la Ec. (1.30) constituye una expresi&oacute;n de la Ley de Coulomb
para distribuciones continuas de carga. La Ec. (1.30) es compatible con las dos ecuaciones de la Electrost&aacute;tica, como veremos.
Dada una distribuci&oacute;n arbitraria de carga, la Ec. (1.30) permite, en principio,
calcular el campo el&eacute;ctrico producido por esa carga en cualquier punto del espacio.
En la pr&aacute;ctica, el c&aacute;lculo de la integral en la Ec. (1.30) puede resultar dif&iacute;cil, salvo
en configuraciones geom&eacute;tricas que posean mucha simetr&iacute;a.
Las ecuaciones de la Electrost&aacute;tica pueden expresarse en forma integral. En particular, la f&oacute;rmula integral de la Ley de Gauss constituye una alternativa &uacute;til para
calcular el campo el&eacute;ctrico producido por ciertas distribuciones sim&eacute;tricas de carga.
La ecuaci&oacute;n de la Electrost&aacute;tica ∇ &middot; E = 4πρ se puede expresar en forma integral
empleando el teorema de la divergencia:
I
Z
A &middot; n̂ da =
∇ &middot; A d3 r.
(1.33)
S
V
donde A es un campo vectorial definido dentro de un volumen V y sobre la superficie
S que encierra a V , y n̂ es el vector unitario normal a cada punto de S. La integral
10
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.
sobre la superficie se denomina flujo de A a trav&eacute;s de S.
Si integramos la ecuaci&oacute;n ∇ &middot; E = 4πρ sobre un volumen V que contenga a ρ,
tenemos
Z
Z
ρ(r) d3 r,
(1.34)
∇ &middot; E d3 r = 4π
V
V
y el teorema de la divergencia implica que
I
E &middot; n̂ da = 4πqenc ,
(1.35)
S
donde qenc es la carga total encerrada por la superficie S. La Ec. (1.35) es la Ley de
Gauss en forma integral.
Figura 1.8: Ley de Gauss.
Note que solamente se consideran las cargas encerradas por S, aunque el campo
el&eacute;ctrico E usado en la evaluaci&oacute;n del flujo a trav&eacute;s de S contenga contribuciones
de otras fuentes ubicadas fuera de S. El flujo neto a trav&eacute;s de S, debido a campos
producidos fuera de S, es cero.
Por otro lado, la ecuaci&oacute;n de la Electrost&aacute;tica ∇ &times; E = 0 puede escribirse en
forma integral mediante el teorema de Stokes:
I
Z
A &middot; dl =
(∇ &times; A) &middot; n̂ da.
(1.36)
C
S
donde A es un campo vectorial definido sobre una superficie S y en el contorno C
que encierra esa superficie.
Si integramos la ecuaci&oacute;n ∇ &times; E = 0 sobre una superficie arbitraria S, encerrada
por una curva C, y aplicando el teorema de Stokes, tenemos
Z
(∇ &times; E) &middot; n̂ da = 0
S
I
⇒
E &middot; dl = 0.
(1.37)
C
1.2. CAMPO ELECTROST&Aacute;TICO.
11
Figura 1.9: Teorema de Stokes.
Las ecuaciones de la Electrost&aacute;tica en forma integral permiten establecer las condiciones de frontera para el campo el&eacute;ctrico sobre una superficie S que posee una
distribuci&oacute;n superficial de carga.
La densidad superficial de carga en la posici&oacute;n r0 es σ(r0 ). Sean E1 y E2 los
campos el&eacute;ctricos en la posici&oacute;n r0 sobre la superficie S en el lado 1 y en el lado 2,
respectivamente. Sea n̂ la normal a S que apunta hacia el lado 2.
Para evaluar la condici&oacute;n de frontera para la componente normal de los campos
producida por la carga superficial σ en el punto r0 , usamos la ley de Gauss con una
superficie S 0 cil&iacute;ndrica que atraviesa transversalmente a la superficie cargada S.
Tomando el l&iacute;mite h → 0 en la superficie cil&iacute;ndrica S 0 , tenemos
I
Z
Z
E &middot; n̂ da = E2 &middot; n̂ da + E1 &middot; (−n̂) da = 4πqenc
S0
2Z
1
Z
⇒ (E2 − E1 ) &middot; n̂ da = 4π
σ(r0 ) da.
(1.38)
A
A
En el l&iacute;mite A → 0, tenemos en el punto r0 ,
E2 (r0 ) &middot; n̂ − E1 (r0 ) &middot; n̂ = 4πσ(r0 ).
(1.39)
12
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.
Figura 1.11: Superficie gaussiana para evaluar la discontinuidad de la componente normal del
campo el&eacute;ctrico a trav&eacute;s de una superficie cargada.
La Ec. (1.39) expresa la discontinuidad de la componente normal del campo el&eacute;ctrico
a trav&eacute;s de una superficie cargada.
Figura 1.12: Contorno C para evaluar la componente tangencial del campo el&eacute;ctrico a trav&eacute;s de
Para evaluar la condici&oacute;n de frontera para la componente tangencial del campo
el&eacute;ctrico, consideremos la integral de l&iacute;nea de E a lo largo de un rect&aacute;ngulo C de
lados b y l que atraviesa la superficie del conductor. Entonces,
I
E &middot; dl = 0.
(1.40)
C
Tomamos el l&iacute;mite b → 0,
I
Z
E &middot; dl =
lı́m
b→0 c
Z
E2 &middot; dl +
2
E1 &middot; dl = 0
(1.41)
1
Haciendo l → 0, tenemos dl → dl t̂ en el lado 1, y dl → −dl t̂ en el lado 2; luego
Z
Z
lı́m E2 &middot; t̂ dl − lı́m E1 &middot; t̂ dl = 0
l→0 2
l→0 1
⇒ E2 &middot; t̂ = E1 &middot; t̂.
(1.42)
1.2. CAMPO ELECTROST&Aacute;TICO.
13
La Ec. (1.42) indica que la componente tangencial del campo el&eacute;ctrico es continua a
Ejemplos.
1. Calcular el campo el&eacute;ctrico de un plano infinito con densidad uniforme de carga
superficial σ.
Figura 1.13: Aplicaci&oacute;n de la Ley de Gauss para un plano infinito con carga superficial uniforme.
Por simetr&iacute;a, E es perpendicular al plano y paralelo al eje z. Usamos la Ley de
Gauss en su forma integral para una superficie cil&iacute;ndrica S, como se muestra
en la figura.
I
E &middot; n̂ da = 4πqenc .
(1.43)
S
La integral del flujo a trav&eacute;s de S contiene contribuciones de tres integrales de
superficie: dos t&eacute;rminos correspondientes a las tapas del cilindro, de &aacute;rea A cada
una, indicadas como 1 y 2; y un t&eacute;rmino correspondiente al lado del cilindro,
Sobre el lado 3 del cilindro, el campo el&eacute;ctrico E3 es perpendicular a la normal
n̂3 asociada a ese lado. Luego, E3 &middot; n̂3 = 0, y la contribuci&oacute;n del t&eacute;rmino 3 al
flujo a trav&eacute;s de S, es nula. Sobre la tapa 1, E1 = Eẑ y n̂1 = ẑ; mientras que
14
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.
sobre la tapa 2, E2 = −Eẑ y n̂2 = −ẑ. Entonces,
Z
I
Z
E &middot; n̂ da =
E1 &middot; n̂1 da + E2 &middot; n̂2 da
S
Z 2
Z1
Eẑ &middot; ẑ da + E(−ẑ) &middot; (−ẑ) da = 2EA
=
1
=
2
4πq [total sobre A] = 4πσA
⇒ E = 2πσ.
(1.44)
Luego,
E1 = 2πσẑ ,
E2 = −2πσẑ.
(1.45)
Funci&oacute;n delta de Dirac.
Muchas distribuciones de carga el&eacute;ctrica de inter&eacute;s en Electrost&aacute;tica est&aacute;n localizadas en superficies, planos, l&iacute;neas, o puntos; es decir, corresponden a distribuciones
confinadas en algunas dimensiones. La funci&oacute;n delta de Dirac resulta &uacute;til para expresar este tipo de distribuciones.
Figura 1.14: Ilustraci&oacute;n de la funci&oacute;n delta de Dirac en una y en tres dimensiones.
La funci&oacute;n delta de Dirac en un intervalo real I se define mediante las propiedades:
1. δ(x − a) = 0,
si x 6= a
n
R
1, si a ∈
2. I δ(x − a)dx = 0, si a ∈/
R
3. I f (x)δ(x − a)dx = f (a)
I
I
1.2. CAMPO ELECTROST&Aacute;TICO.
15
La funci&oacute;n delta de Dirac tambi&eacute;n se puede definir en tres dimensiones y posee
1. δ(r − A) = δ(x − Ax )δ(y − Ay )δ(z − Az )
2.
R
3.
R
V
V
δ(r − A)d3 r =
n
1,
0,
si A ∈
si A ∈/
V
V
f (r)δ(r − A)d3 r = f (A)
Note que las unidades de la funci&oacute;n delta de Dirac definida en un espacio de dimensi&oacute;n d son [distancia−d ].
Ejemplos.
1. Expresar ρ para una distribuci&oacute;n de N cargas puntuales qi situadas en posiciones ri .
Figura 1.15: Distribuci&oacute;n de cargas puntuales.
ρ(r) =
N
X
i=1
qi δ(r − ri ).
(1.46)
16
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.
Empleando la Ec. (1.30), el campo el&eacute;ctrico en la posici&oacute;n r debido a un conjunto
de cargas puntuales se puede expresar como
Z
(r − r0 ) 3 0
d r
E(r) =
ρ(r0 )
|r − r0 |3
Z
N
X
(r − r0 ) 3 0
=
δ(r0 − ri )
qi
d r
|r − r0 |3
i=1
=
N
X
i=1
qi
(r − ri )
.
|r − ri |3
(1.47)
Una carga ubicada en el origen se expresa como ρ(r) = q δ(r). El campo el&eacute;ctrico
correspondiente en una posici&oacute;n r es
Z
(r − r0 ) 3 0
q
r
E(r) = q δ(r0 )
(1.48)
3 d r = q r 3 = r 2 r̂.
0
|r − r |
2. Expresar la densidad de carga de volumen para un plano infinito con densidad
superficial de carga σ.
Figura 1.16: Plano z = 0 con densidad superficial de carga σ.
Escojamos el plano en z = 0. Entonces, la densidad de carga en coordenadas
cartesianas es ρ(x, y, z) = σδ(z).
El elemento de volumen en coordenadas cartesianas es d3 r = dx dy dz. La integral de ρ sobre todo el volumen debe dar la carga total,
Z
Z ∞
Z ∞
Z ∞
3
ρd r = σ
dx
dy
δ(z)dz
(1.49)
−∞
−∞
−∞
Z ∞
Z ∞
= σ
dx
dy = q total.
−∞
−∞
1.2. CAMPO ELECTROST&Aacute;TICO.
17
3. Expresar ρ en coordenadas esf&eacute;ricas para una carga q distribuida uniformemente
sobre un cascar&oacute;n esf&eacute;rico de radio a.
Solamente hay carga en r = a; superficie de la esfera. Proponemos la forma
ρ(r, θ, φ) = k q δ(r − a), donde k es un factor de proporcionalidad que debe
contener informaci&oacute;n sobre la geometr&iacute;a, tal que
Z
ρ(r)d3 r = q,
(1.50)
donde d3 r = r2 sin θ dθ dφ dr en coordenadas esf&eacute;ricas. Luego,
Z 2π
Z π
Z ∞
kq
dφ
sin θ dθ
r2 δ(r − a)dr = q
0
0
kq &times; 2π &times; 2 &times; a2 = q ⇒ k =
⇒ ρ(r, θ, φ) =
(1.51)
0
1
4πa2
q
δ(r − a).
4πa2
(1.52)
(1.53)
4. Expresar la funci&oacute;n delta de Dirac
δ(r − r0 ) = δ(x − x0 )δ(y − y 0 )δ(z − z 0 )
(1.54)
Z
Z
Z
δ(r − r0 ) d3 r =
δ(r − r0 ) dx dy dz =
δ(x − x0 )δ(y − y 0 )δ(z − z 0 ) dx dy dz
V
V
V
(1.55)
18
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.
En coordenadas esf&eacute;ricas d3 r = r2 sin θ dθ dφ dr, y tenemos
Z
Z
Z
3
0
0 2
δ r−r d r =
δ(r − r )r dr dφ sin θ dθ =
δ r − r0 r2 dr dφ d(cos θ).
V
V
V
(1.56)
La Ec. (1.56) posee la misma forma que la Ec. (1.55) si, en coordenadas esf&eacute;ricas,
tenemos
1
δ(r − r0 ) = 2 δ r − r0 δ φ − φ0 δ cos θ − cos θ0 .
(1.57)
r
5. Expresar ρ en coordenadas cil&iacute;ndricas para una densidad lineal de carga uniforme λ distribuida sobre un cilindro de radio b.
Figura 1.18: Cilindro con densidad lineal de carga.
Proponemos la forma ρ(R, φ, z) = k λ δ(R − b), donde λ = q/L. Determinamos
el factor k tal que
Z
ρ(r)d3 r = q,
(1.58)
donde d3 r = R dφ dz dR en coordenadas cil&iacute;ndricas. Luego,
Z
ρ d3 r
Z
=
kλ
2π
Z
∞
Z
dφ
0
−∞
∞
δ(R − b)R dR
dz
0
=
kλ2πLb = q
1
⇒ k=
2πb
⇒
ρ(R, φ, z) =
λ
δ(R − b).
2πb
1.3. POTENCIAL ESCALAR EL&Eacute;CTRICO.
1.3.
19
Potencial escalar el&eacute;ctrico.
De la ley de Coulomb, obtuvimos el campo el&eacute;ctrico en r creado por una distribuci&oacute;n de carga ρ(r0 ),
Z
(r − r0 ) 3 0
d r
(1.59)
E(r) = ρ(r0 )
|r − r0 |3
donde la integral se extiende a todo el volumen donde exista ρ.
Este campo E(r) debe satisfacer las ecuaciones de Maxwell correspondientes a la
Electrost&aacute;tica,
∇ &times; E = 0,
∇ &middot; E = 4πρ.
(1.60)
(1.61)
Para demostrar que E(r) satisface la ecuaci&oacute;n ∇ &times; E = 0, calculemos primero la
siguiente expresi&oacute;n,
1
∇
,
(1.62)
|r − r0 |
donde
h
i1/2
r − r0 = x − x0 2 + y − y 0 2 + z − z 0 2
,
y el operador ∇ act&uacute;a sobre las coordenadas de r, no de r0 .
Tenemos,
−1 h
2
2
2 i− 23
1
∂ = − 2 x − x0
r − r0 x − x0 + y − y 0 + z − z 0
∂x
2
(x − x0 )
= −
.
|r − r0 |3
Similarmente,
−1 ∂ (y − y 0 )
r − r0 = −
∂y
|r − r0 |3
−1 ∂ (z − z 0 )
r − r0 = −
,
∂z
|r − r0 |3
(1.63)
20
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.
Luego,
∇
1
|r − r0 |
(x − x0 ) (y − y 0 ) (z − z 0 )
,
,
|r − r0 |3 |r − r0 |3 |r − r0 |3
(r − r0 )
= −
.
|r − r0 |3
= −
(1.64)
En particular, si r0 = 0,
1
r
r̂
∇
=− 3 =− 2.
r
r
r
(1.65)
Un c&aacute;lculo relacionado es ∇r, donde
r = x2 + y 2 + z 2
1
2
.
(1.66)
Tenemos,
∂r
1
x
= 2 x(x2 + y 2 + z 2 )−1/2 = .
∂x
2
r
(1.67)
Similarmente,
y
∂r
=
∂y
r
;
∂r
z
=
∂z
r
(1.68)
Luego,
∇r =
∂r ∂r ∂r
, ,
∂x ∂y ∂z
1
r
= (x, y, z) = = r̂ .
r
r
(1.69)
El campo el&eacute;ctrico puede expresarse entonces como
Z
E (r) =
(r − r0 ) 3 0
ρ r
d r =−
|r − r0 |3
0
Z
0
ρ(r ) ∇
1
|r − r0 |
d3 r0 .
(1.70)
Recordemos que el operador diferencial ∇ act&uacute;a sobre r, no sobre la variable de
integraci&oacute;n r0 . Luego, podemos escribir
Z
ρ(r0 ) 3 0
E(r) = −∇
d r .
(1.71)
|r − r0 |
1.3. POTENCIAL ESCALAR EL&Eacute;CTRICO.
21
La expresi&oacute;n entre par&eacute;ntesis es una funci&oacute;n que depende del punto de observaci&oacute;n
r. Denotamos esta funci&oacute;n por
Z
ρ (r0 ) 3 0
ϕ(r) ≡
d r.
(1.72)
|r − r0 |
La funci&oacute;n ϕ(r) se denomina potencial escalar el&eacute;ctrico. Entonces, podemos escribir
E(r) = −∇ϕ(r) .
(1.73)
Esto es, el campo electrost&aacute;tico se puede expresar como (menos) el gradiente de un
potencial escalar.
El campo E expresado en la Ec. (1.73) satisface la ecuaci&oacute;n de la Electrost&aacute;tica
∇ &times; E = −∇ &times; (∇ϕ(r)) = 0 ,
(1.74)
lo cual es una identidad vectorial.
Para demostrar que el campo electrost&aacute;tico satisface la ecuaci&oacute;n ∇&middot;E(r) = 4πρ(r),
Z
I
∇ &middot; A d3 r =
V
A &middot; n̂ da,
(1.75)
S
para el campo vectorial
A=∇
1
|r − r0 |
.
donde r, r0 ∈ V . Entonces,
I
Z
1
1
3
2
d r =
∇
&middot; n̂ da
∇
|r − r0 |
|r − r0 |
S
V
I
(r − r0 )
= −
&middot; n̂ da
0 3
S |r − r |
(1.76)
(1.77)
Definimos R ≡ r − r0 . Tomamos la superficie S como una esfera con origen O0
en r0 y con radio R = |r − r0 |. Entonces, la normal en la superficie S es n̂ = R̂ y
da = R2 dΩ. Sustituyendo en la integral de superficie, obtenemos
I
I
I
(r − r0 )
R̂
2
&middot; R̂ R dΩ =
dΩ = 4π.
(1.78)
&middot; n̂ da =
2
0 3
S |r − r |
S R
S
22
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.
Figura 1.19: Coordenadas para la integral de superficie Ec. (1.78).
Luego,
1
d3 r = −4π.
0|
|r
−
r
V
Recordemos la propiedad de la funci&oacute;n delta de Dirac tridimensional,
Z
δ(r − r0 ) d3 r = 1,
si r0 ∈ V .
Z
∇2
(1.79)
(1.80)
V
Entonces, podemos escribir la Ec. (1.79) como
Z
Z
1
3
∇2
d
r
=
−4π
δ(r − r0 ) d3 r,
0|
|r
−
r
V
V
(1.81)
lo cual implica que
1
0
∇
=
−4πδ
r
−
r
.
(1.82)
|r − r0 |
Esta relaci&oacute;n es una propiedad general de la funci&oacute;n delta de Dirac y se puede tomar
como una definici&oacute;n de esta funci&oacute;n en tres dimensiones. En particular, si r0 = 0,
tenemos la relaci&oacute;n
1
∇2
= −4πδ (r) .
(1.83)
r
2
Entonces, tomando la divergencia de E en la Ec. (1.71), obtenemos
Z
ρ(r0 ) 3 0
2
∇ &middot; E(r) = −∇
d r
|r − r0 |
Z
1
0
2
= − ρ(r )∇
d3 r0
|r − r0 |
Z
= − ρ(r0 ) δ r − r0 d3 r0
= −4πρ(r).
(1.84)
1.3. POTENCIAL ESCALAR EL&Eacute;CTRICO.
23
En general, si se conoce la densidad de carga ρ(r0 ) en todo el espacio, el c&aacute;lculo
de ϕ(r) a partir de la Ec. (1.72) resulta m&aacute;s f&aacute;cil que la determinaci&oacute;n directa del
campo el&eacute;ctrico E(r) usando la integral Ec. (1.59). En la pr&aacute;ctica, se calcula el campo
el&eacute;ctrico a partir de ϕ(r), mediante la relaci&oacute;n E = −∇ϕ(r).
Note que para calcular la integral de ϕ (r), hay que conocer ρ (r0 ) sobre todo el
espacio; esto implica que r0 → ∞ y que el punto de observaci&oacute;n incluye r → ∞.
Interpretaci&oacute;n f&iacute;sica del potencial escalar el&eacute;ctrico.
Consideremos una carga q en una regi&oacute;n donde existe un campo el&eacute;ctrico E.
Figura 1.20: Carga q llevada por fuerza externa entre puntos A y B en un campo el&eacute;ctrico.
La fuerza que ejerce el campo sobre la carga q es
Felect = q E.
(1.85)
Consideremos el trabajo que debe realizar una fuerza externa Fext para llevar una
carga q en equilibrio desde un punto A a otro punto B en esa regi&oacute;n,
Z B
WAB =
Fext &middot; dl,
(1.86)
A
donde dl = (dx, dy, dz) es el vector tangente en cada punto de la trayectoria que une
los puntos A y B. La fuerza externa debe ser
Fext = −Felect .
(1.87)
Luego,
Z
B
WAB = −q
Z
B
E &middot; dl = q
A
(∇ϕ) &middot; dl.
A
(1.88)
24
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.
Pero
∇ϕ &middot; dl =
X ∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
∂ϕ
dxi = dϕ(x, y, z).
dx +
dy +
dz =
∂x
∂y
∂z
∂xi
(1.89)
i
Luego,
Z
B
dϕ = q (ϕB − ϕA ) .
WAB = q
(1.90)
A
El trabajo depende solamente de la diferencia de la funci&oacute;n potencial evaluada en los
puntos A y B, no de la trayectoria entre esos puntos. Entonces,
(ϕB − ϕA ) =
WAB
,
q
(1.91)
es decir, la diferencia de potencial el&eacute;ctrico entre dos puntos es el trabajo por unidad
de carga que debe realizar un agente externo para llevar una carga entre esos puntos.
Z
B
E &middot; dl = ϕA − ϕB
(1.92)
A
es independiente del camino entre A y B. Si el camino es cerrado, A = B; entonces
I
E &middot; dl = 0,
(1.93)
por lo tanto,
I
Felect &middot; dl = 0.
(1.94)
lo cual significa que las fuerzas electrost&aacute;ticas son conservativas (el trabajo realizado
por una fuerza conservativa a lo largo de una trayectoria cerrada es cero).
Aplicando el Teorema de Stokes a la Ec. (1.93), tenemos
Z
(∇ &times; E) &middot; n̂ da = 0 ⇒ ∇ &times; E = 0.
(1.95)
S
Luego, la ecuaci&oacute;n de la Electrost&aacute;tica ∇ &times; E = 0 expresa el hecho de que las fuerzas
electrost&aacute;ticas son conservativas.
1.3. POTENCIAL ESCALAR EL&Eacute;CTRICO.
25
La Ec. (1.72) implica que el potencial ϕ(r) debido a cualquier distribuci&oacute;n localizada de carga tiende a cero cuando r → ∞. Si el punto A es r → ∞, entonces
ϕA = ϕ(r → ∞) = 0. Luego, la Ec. (1.90) implica que el trabajo para traer una
carga q desde un punto A en r = ∞ hasta un punto B correspondiente a un r finito
es
W (r) = q ϕB = q ϕ(r).
(1.96)
En la pr&aacute;ctica, el infinito se refiere a un reservorio con potencial fijo ϕ = 0 desde
el cual se pueden extraer cargas indefinidamente. Con una buena aproximaci&oacute;n, la
Tierra funciona como un reservorio inagotable de cargas y se le asigna potencial cero.
Supongamos que el potencial ϕ(r) es producido por una carga puntual q 0 colocada
en r0 ; entonces
q0
ϕ (r) =
.
(1.97)
|r − r0 |
Figura 1.21: Potencial producido en r por carga q0 ubicada en r0 .
El trabajo que debe hacer un agente externo para traer una carga q desde r = ∞
hasta r en presencia de una carga q 0 colocada en r0 es
W (r) = q ϕ(r) =
q q0
≡ U.
|r − r0 |
(1.98)
Este trabajo est&aacute; acumulado en forma de energ&iacute;a potencial U en el campo electrost&aacute;tico de la configuraci&oacute;n de las dos cargas.
26
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.
Ejemplos.
1. El potencial escalar el&eacute;ctrico producido por un conjunto de cargas puntuales qi
colocadas en las posiciones ri puede expresarse mediante la densidad de carga
X
ρ(r0 ) =
qi δ(r0 − ri ) ,
(1.99)
i
esto es,
ϕ(r) =
X
i
Z
qi
δ(r0 − ri ) 3 0 X qi
d r =
.
|r − r0 |
|r − ri |
(1.100)
i
El potencial producido por una carga q colocada en el origen (r1 = 0) es
ϕ(r) =
q
.
r
(1.101)
2. Potencial producido por un plano infinito con densidad superficial de carga
uniforme σ.
E = 2πσẑ = −∇ϕ(r)
(z &gt; 0)
∂ϕ
⇒ 2πσ = −
∂z
⇒ ϕ(z) = −2πσz + cte.
(1.102)
3. Potencial producido por plano z = 0 con densidad superficial de carga σ(x, y).
Figura 1.22: Plano z = 0 con densidad de carga no uniforme.
ρ r0 = σ x0 , y 0 δ z 0 .
(1.103)
1.3. POTENCIAL ESCALAR EL&Eacute;CTRICO.
27
h
i1
r − r0 = x − x0 2 + y − y 0 2 + z − z 0 2 2 .
(1.104)
Luego,
Z
ρ (r0 ) 3 0
σ (x0 , y 0 ) δ (z 0 ) 0 0 0
d
r
=
dx dy dz .
|r − r0 |
|r − r0 |
Z
Z
0 0 δ (z 0 ) dz 0
0 0
=
σ x , y dx dy
|r − r0 |
Z
0
0
0
0
σ (x , y ) dx dy
=
|r − r0 |z 0 =0
Z
σ (x0 , y 0 ) dx0 dy 0
=
.
[(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + z 2 ]1/2
Z
ϕ (r) =
(1.105)
4. Potencial producido por un disco de radio a, cargado con σ uniforme.
Figura 1.23: Disco con densidad de carga uniforme.
La densidad superficial de carga es

 σ, si R = x02 + y 02 1/2 ≤ a
0 0
σ(x , y ) =
 0, si R = (x02 + y 02 )1/2 &gt; a.
(1.106)
Podemos usar la Ec. (1.105) para calcular el potencial. La simetr&iacute;a del problema
sugiere el empleo de coordenadas polares; dx0 dy 0 → R dR dφ. Entonces,
Z
2π
Z
ϕ(r) = σ
0
0
a
R dR dφ
.
|r − r0 |z 0 =0
(1.107)
28
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.
Cuando z 0 = 0, la variable de integraci&oacute;n en coordenadas polares es r0 = R;
luego
h
π
i 1
2
2
2
r − r0 0
=
|r
−
R|
=
r
+
R
−
2
r
R
cos
−
θ
z =0
2
2
1
2
2
= r + R − 2 r R sin θ
1/2
= z 2 sec2 θ + R2 − 2zR tan θ
,
z = r cos θ
⇒
r = z sec θ.
(1.108)
Luego,
Z
ϕ(r) = ϕ(z, θ) = 2π σ
0
a
R dR
[z 2 sec2 θ + R2 − 2zR tan θ]1/2
.
(1.109)
Las coordenadas θ y z del punto de observaci&oacute;n r son fijas. El potencial Ec. (1.109)
producido por el disco en el espacio posee simetr&iacute;a azimutal (no depende del
&aacute;ngulo φ). La evaluaci&oacute;n de la integral en la Ec. (1.109) para todos los valores
de θ es dif&iacute;cil. Sin embargo, podemos calcular el potencial sobre el eje z, que
corresponde al caso especial θ = 0.
Z a
R dR
ϕ (z) = 2πσ
1/2
0 [z 2 + R2 ]
1 R=a
= 2πσ z 2 + R2 2 R=0
h
i
2
2 1/2
= 2πσ z + a
− |z| .
(1.110)
Consideremos los casos l&iacute;mites:
a) |z| a, muy cerca del disco → |z| /a 1
&quot; #
1/2
z2
ϕ (z) = 2πσ a 1 + 2
− |z| .
a
(1.111)
Empleamos la expansi&oacute;n de Taylor,
(1 &plusmn; x)m ≈ 1 &plusmn; mx . . . ,
si |x| 1.
(1.112)
1.4. EXPANSI&Oacute;N MULTIPOLAR DEL POTENCIAL EL&Eacute;CTRICO.
29
z2
ϕ(z) ≈ 2πσ a 1 + 2 − |z|
2a
≈ 2πσ [a − |z|]
2πσ (a − z) , z &gt; 0
=
2πσ (a + z) , z &lt; 0.
El campo el&eacute;ctrico es
2πσ , z &gt; 0
∂ϕ
=
,
Ez = −
∂z
−2πσ , z &lt; 0
Ex = 0,
Ey = 0,
(1.113)
es decir; muy cerca del disco, E es perpendicular a la superficie de &eacute;ste,
similar al campo de un plano infinito con densidad uniforme de carga σ.
b) |z| a, muy lejos del disco → a/|z| 1
&quot;
a2
1+ 2
z
ϕ (z) = 2πσ |z|
#
1/2
−1
a2
≈ 2πσ |z| 1 + 2 − 1
2z
2
q
a
=
,
= πσ
|z|
|z|
(1.114)
lo cual corresponde al potencial de una carga puntual. Es decir, para distancias grandes comparadas con el tama&ntilde;o del disco, la estructura del disco
o del objeto que produce el campo es irrelevante; s&oacute;lo importa su carga
total.
1.4.
Expansi&oacute;n multipolar del potencial el&eacute;ctrico.
En el espacio libre, el potencial producido por una distribuci&oacute;n de carga ρ(r0 ) en
un punto r es
Z
ρ (r0 ) 3 0
ϕ(r) =
d r.
(1.115)
|r − r0 |
30
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.
El c&aacute;lculo anal&iacute;tico de esta integral, salvo en situaciones que posean suficientes simetr&iacute;as, es en general dif&iacute;cil. Sin embargo, es posible obtener una expresi&oacute;n del potencial
en el espacio libre para distancias alejadas de la fuente r &gt; r0 en forma de serie de
potencias de r0 /r.
Figura 1.24: Potencial producido por una distribuci&oacute;n de carga lejos de la fuente, r &gt; r0 .
En tal sentido, podemos escribir
1
1
1
=√
= s
.
0
|r − r |
r2 + r02 − 2r &middot; r0
2r &middot; r0 − r02
r 1−
r2
(1.116)
donde r0 /r &lt; 1. Definamos
2r &middot; r0 − r02
&lt; 1,
r2
y recordemos la siguiente expansi&oacute;n en serie de Taylor v&aacute;lida para x &lt; 1,
x≡
1
1&middot;3 2 1&middot;3&middot;5 3
(1 − x)−1/2 = 1 + x +
x +
x + &middot;&middot;&middot;
2
2&middot;4
2&middot;4&middot;6
(1.117)
(1.118)
Entonces podemos expresar,
06 1
1
1 2r &middot; r0 r02
3 4(r &middot; r0 )2 4(r &middot; r0 )r02 r04
r
=
1+
− 2 +
−
+ 4 +O
.
0
2
4
4
|r − r |
r
2
r
r
8
r
r
r
r6
(1.119)
Manteniendo los t&eacute;rminos hasta orden O 1/r3 , tenemos
1
|r − r0 |
=
≈
1 r &middot; r0
r02
3 (r &middot; r)2
+ 3 − 3+
+ &middot;&middot;&middot;
r
r
2r
2 r5
1 r &middot; r0
1 + 3 + 5 3(r &middot; r0 )2 − r02 r2 .
r
r
2r
(1.120)
1.4. EXPANSI&Oacute;N MULTIPOLAR DEL POTENCIAL EL&Eacute;CTRICO.
31
Sustituyendo en la Ec. (1.115), tenemos el potencial para r &gt; r0 ,
Z
3 0
1 r &middot; r0
1 0
0 2
02 2
d r
(1.121)
ϕ(r) ≈
ρ(r )
+ 3 + 5 3(r &middot; r ) − r r
r
r
2r
Z
Z
Z
1
r
1
≈
ρ(r0 ) d3 r0 + 3 &middot; ρ(r0 ) r0 d3 r0 + 5 ρ(r0 ) 3(r &middot; r0 )2 − r02 r2 d3 r0 .
r
r
2r
El primer t&eacute;rmino en la Ec. (1.121) equivale a
Z
q
, donde
r
ρ(r0 ) d3 r0 ,
q=
(1.122)
es la carga total, que tambi&eacute;n se denomina momento monopolar de la distribuci&oacute;n de
carga.
El segundo t&eacute;rmino en la Ec. (1.121) se puede expresar como
r&middot;p
,
r3
(1.123)
donde se define el vector momento dipolar de la distribuci&oacute;n de carga como
Z
p = ρ(r0 ) r0 d3 r0 .
(1.124)
Para expresar el tercer t&eacute;rmino en la Ec. (1.121), consideremos
0 2
(r &middot; r )
=
x1 x01
+
x2 x02
+
2
x3 x03
=
3
X
xi xj x0i x0j
(1.125)
i,j=1
r2 = x21 + x22 + x23 =
3
X
xi xj δij .
(1.126)
i,j=1
Entonces,
0 2
2 02
3(r &middot; r ) − r r
= 3
3
X
i,j=1
=
3
X
i,j=1
xi xj x0i x0j
−r
02
3
X
xi xj δij
(1.127)
i,j=1
xi xj 3x0i x0j − r02 δij .
(1.128)
32
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.
Luego, el tercer t&eacute;rmino se puede escribir
1
2r5
Z
Z
3
3 0
1 X
0 2
02 2
ρ(r ) 3(r &middot; r ) − r r d r = 5
xi xj ρ(r0 ) 3x0i x0j − r02 δij d3 r0 .
2r
0
i,j=1
(1.129)
Definimos los momentos cuadripolares de la distribuci&oacute;n de carga como
Z
Qij = ρ(r0 ) 3x0i x0j − r02 δij d3 r0 .
(1.130)
Los momentos cuadripolares son sim&eacute;tricos, Qij = Qji .
Entonces, el tercer t&eacute;rmino se puede expresar como
3
1 X
xi xj Qij .
2r5
(1.131)
i,j=1
Los momentos multipolares son una propiedad de la fuente que produce el potencial y de su geometr&igrave;a; es decir, dependen de la forma como est&aacute; distribuida la
carga en el espacio con respecto a un sistema de coordenadas particular. El momento
monopolar es un escalar, el momento dipolar es un vector y el momento cuadripolar
es un tensor.
Reuniendo los resultados, podemos expresar la expansi&oacute;n del potencial para r &gt; r0
en t&eacute;rminos de los momentos multipolares de la distribuci&oacute;n de carga en la siguiente
forma,
3
q r&middot;p
1 X
ϕ(r) ≈ + 3 + 5
xi xj Qij .
(1.132)
r
r
2r
i,j=1
Note que el potencial del monopolo va como 1r , el del dipolo va como r12 , el del
El momento dipolar est&aacute; asociado a una distribuci&oacute;n de carga a lo largo de una
direcci&oacute;n espacial. El dipolo m&aacute;s simple est&aacute; constituido por dos cargas q y −q separadas por una distancia a. Podemos escoger el eje z en la direcci&oacute;n de la l&iacute;nea que
une las dos cargas y el origen de coordenadas en el punto medio de esa l&iacute;nea.
ρ(r0 ) = q δ(r0 − a/2) − q δ(r0 + a/2).
(1.133)
1.4. EXPANSI&Oacute;N MULTIPOLAR DEL POTENCIAL EL&Eacute;CTRICO.
33
Figura 1.25: Dipolo elemental.
El potencial en r es
Z
ρ (r0 ) 3 0
ϕ(r) =
d r
|r − r0 |
q
q
=
−
|r − a/2| |r + a/2|
q
q
−p
= p
2
2
2
r − r &middot; a + a /4
r + r &middot; a + a2 /4
&quot;
−1/2 −1/2 #
q
a2
r&middot;a
a2
r&middot;a
=
− 1+ 2 + 2
.
1− 2 + 2
r
r
4r
r
4r
(1.134)
(1.135)
Consideremos el punto de observaci&oacute;n muy alejado de la fuente; es decir, a/r 1.
Empleamos las siguientes expansiones en serie, v&aacute;lidas para x &lt; 1,
1
3
(1 &plusmn; x)−1/2 = 1 ∓ x + x2 ∓ &middot; &middot; &middot;
2
8
Haciendo x =
r&middot;a
&lt; 1, podemos expresar
r2
2
q h
r &middot; a r &middot; a i
a
ϕ(r) =
1+ 2 − 1− 2
+O
r
2r
2r
r2
a&middot;r
≈ q 3 .
r
El momento dipolar de la distribuci&oacute;n de carga es
Z
p = ρ(r0 ) r0 d3 r0 = q a = qaẑ.
(1.136)
(1.137)
(1.138)
(1.139)
34
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.
Note que la direcci&oacute;n del vector p va de la carga negativa a la carga positiva. Luego,
el potencial para r &gt; a se puede escribir como
p &middot; r̂
p&middot;r
= 2 .
(1.140)
3
r
r
Esta expresi&oacute;n es exacta en el l&iacute;mite a → 0, manteniendo p constante y corresponde
al potencial de un dipolo elemental. Si tomamos p = pẑ, el potencial del dipolo en
coordenadas esf&eacute;ricas (r, θ, φ) se puede expresar como
ϕ(r) ≈
p cos θ
,
(1.141)
r2
el cual es independiente del &aacute;ngulo φ; es decir el potencial de un dipolo posee simetr&iacute;a
azimutal. El campo el&eacute;ctrico producido por un dipolo puede calcularse en coordenadas
esf&eacute;ricas, a partir de
∂ϕ
1 ∂ϕ
1 ∂ϕ
E = −∇ϕ(r) = −
r̂ +
θ̂ +
φ̂ .
(1.142)
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
ϕ(r) = ϕ(r, θ) =
Luego,
∂ϕ
2p cos θ
=
∂r
r3
1 ∂ϕ
p sin θ
= −
=
r ∂θ
r3
= 0.
Er = −
(1.143)
Eθ
(1.144)
Eφ
(1.145)
En coordenadas cartesianas, el campo el&eacute;ctrico puede calcularse a partir de
p &middot; r
.
(1.146)
E = −∇
r3
La componente Ei es
P
∂
j pj xj
Ei = −
∂xi
r3
P
∂
j p j xj
= −
∂xi (x21 + x22 + x23 )3/2
P
P
3 2xi j pj xj
j pj δij
= −
−
r3
2
r5
3xi (p &middot; r) pi
=
− 3.
(1.147)
r5
r
1.4. EXPANSI&Oacute;N MULTIPOLAR DEL POTENCIAL EL&Eacute;CTRICO.
35
Luego, empleando la notaci&oacute;n r̂ = r/r, el campo el&eacute;ctrico del dipolo se puede escribir
como
3r(p &middot; r)
p
3(p &middot; r̂)r̂ − p
E(r) =
− 3 =
.
(1.148)
5
r
r
r3
Ejemplos comunes de dipolos el&eacute;ctricos son muchas mol&eacute;culas. Las mol&eacute;culas no
tienen carga el&eacute;ctrica neta; sin embargo; muchas de ellas poseen momentos dipolares
debido a la distribuci&oacute;n preferencial de los electrones en la direcci&oacute;n de los enlaces
interat&oacute;micos presentes.
Figura 1.26: Campo el&eacute;ctrico de un dipolo.
Los momentos cuadripolares Qij se pueden
tensor o matriz 3 &times; 3,

Q11 Q12

Q21 Q22
Q=
Q31 Q32
interpretar como componentes de un

Q13
Q23  .
Q33
(1.149)
Debido a la simetr&iacute;a Qij = Qji , solamente 6 componentes de la matriz Q son independientes. Por otro lado,
Z
X
X
3 0
02
Qii =
ρ(r0 )
3x02
d r
(1.150)
i −r
i
i
Z
=
!
ρ(r0 ) 3
X
i
Z
=
x02
i −
X
r02
d3 r0
(1.151)
i
ρ(r0 ) 3r02 − 3r02 d3 r0 = 0 .
(1.152)
36
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.
Es decir, solamente 2 de las componentes diagonales Qii son independientes. Luego,
el tensor de momento cuadripolar Q posee 5 componentes independientes.
La distribuci&oacute;n de carga m&aacute;s simple que da lugar a momentos cuadripolares consiste en un arreglo de cuatro cargas puntuales muy cercanas, con signos alternativos,
formando un cuadrado. Note que, para esta configuraci&oacute;n, q = 0 y p = 0.
Figura 1.27: Campo el&eacute;ctrico del cuadripolo m&aacute;s simple.
Ejemplo.
1. Calcular los momentos multipolares de una distribuci&oacute;n de carga esf&eacute;ricamente
sim&eacute;trica.
momento monopolar, o la carga total, es
Z
Z
Z 2π
Z
Z
0
3 0
0 02
0
0
0
q = ρ(r ) d r = ρ(r ) r dr
dφ sin θ dθ = 4π ρ(r0 )r02 dr0 6= 0,
0
π
donde hemos empleado el elemento de volumen d3 r0 = r02 sin θ0 dr0 dθ0 dφ0 .
El momento dipolar es
Z
p=
ρ(r0 ) r0 d3 r0 .
1.5. ECUACIONES DE POISSON Y DE LAPLACE.
37
Las componentes de r0 en coordenadas cartesianas son
x0 = r0 sin θ0 cos φ0
y 0 = r0 sin θ0 sin φ0
z 0 = r0 cos θ0 .
Entonces,
*0
Z π
φ0 dφ0
px = ρ(r0 )x0 d3 r0 = ρ(r0 )r03 dr0
sin2 θ0 dθ0 = 0
cos
0
0
*Z0 π
Z 2π
Z
Z
φ0 dφ0
sin2 θ0 dθ0 = 0
sin
py = ρ(r0 )y 0 d3 r0 = ρ(r0 )r03 dr0
0
0
Z π
Z
Z
Z 2π
:0
0
0 0
0
0 0 3 0
0 03
0
dφ
cos
pz = ρ(r )z d r = ρ(r )r dr
θ sin θ dθ = 0.
0
0
Z
Z
Z
2π
Luego, p = 0.
La componente Q12 del momento cuadripolar es
Z
Q12 = 3
0
0 0 3 0
Z
ρ(r ) x y d r = 3
0
04
ρ(r )r dr
0
Z
2π
0 π
:Z
0
0 0
sin
φ cos φ dφ
0
sin3 θ0 dθ0 .
0
= 0.
Similarmente, las otras componentes Qij = 0.
1.5.
Ecuaciones de Poisson y de Laplace.
La ecuaci&oacute;n de la Electrost&aacute;tica
∇&times;E=0
implica que el campo el&eacute;ctrico se puede expresar como el gradiente de un potencial
escalar
E = −∇ϕ (r) ,
(1.153)
38
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.
el cual debe satisfacer tambi&eacute;n la otra ecuaci&oacute;n de la Electrost&aacute;tica,
∇ &middot; E = 4πρ .
(1.154)
Por lo tanto,
∇ &middot; (∇ϕ) = −4πρ
∇2 ϕ = −4πρ.
(1.155)
Esta es la ecuaci&oacute;n de Poisson.
En sitios donde no hay cargas (ρ = 0), el potencial escalar satisface
∇2 ϕ = 0.
(1.156)
Esta ecuaci&oacute;n se conoce como la ecuaci&oacute;n de Laplace. En coordenadas cartesianas,
2
∇ ϕ=
3
X
∂2ϕ
i=1
∂x2i
=
∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ
+
+ 2
∂x2
∂y 2
∂z
.
∂2ϕ
1 ∂2
1
∂
∂ϕ
1
2
∇ ϕ=
(rϕ)
+
sin
θ
+
.
r ∂r2
r2 sin θ ∂θ
∂θ
r2 sin2 θ ∂φ2
(1.157)
(1.158)
Las ecuaciones de Poisson y de Laplace son ecuaciones diferenciales parciales en
derivadas espaciales de segundo orden. En general, la soluci&oacute;n ϕ de la ecuaci&oacute;n de
Poisson o de Laplace en regiones del espacio limitadas por superficies o fronteras S
requiere conocer ciertas condiciones sobre esas fronteras; especificamente, el conocimiento del valor del potencial y de su derivada en la direcci&oacute;n normal sobre S:
∂ϕ ϕ|S ,
.
(1.159)
∂n S
En principio, el c&aacute;lculo directo del potencial a trav&eacute;s de la integral de la densidad
de carga es posible si se conoce &eacute;sta en todo el espacio. Sin embargo, hemos visto que
este m&eacute;todo es limitado. La alternativa para calcular el potencial en regiones donde se
conocen las condiciones de frontera Ec. (1.159) es resolver la ecuaci&oacute;n de Poisson o de
Laplace en esa region. En el Cap&iacute;tulo 2 estudiaremos varios m&eacute;todos de soluci&oacute;n de
1.6. ENERG&Iacute;A ELECTROST&Aacute;TICA.
39
estas ecuaciones con condiciones de frontera. La soluci&oacute;n de la ecuaci&oacute;n de Poisson
en una regi&oacute;n del espacio que contiene una densidad de carga ρ puede obtenerse
utilizando la funci&oacute;n de Green o m&eacute;todo de im&aacute;genes. La soluci&oacute;n de la ecuaci&oacute;n
de Laplace puede encontrarse en muchos casos mediante separaci&oacute;n de variables y
expansi&oacute;n en series de funciones ortogonales.
Algunas consecuencias de las ecuaciones de Poisson y Laplace son:
1. En un punto donde ρ(r) = 0, no existe m&aacute;ximo o m&iacute;nimo local de ϕ(r). Si existe
2
un extremo (m&aacute;ximo o m&iacute;nimo), cada t&eacute;rmino ∂∂xϕ2 tendr&iacute;a el mismo signo (+
i
P 2
&oacute; −), de modo que i ∂∂xϕ2 6= 0.
i
2. En una regi&oacute;n donde ρ = 0, ϕ no puede ser simult&aacute;neamente peri&oacute;dico en todas
las tres dimensiones (puede ser peri&oacute;dico en una o en dos de las dimensiones).
Si ϕ es peri&oacute;dico en la direcci&oacute;n xi , entonces tiene la forma ϕ ∝ sin(ki xi ) &oacute; ϕ ∝
2
cos(ki xi ), donde ki es una constante, y por lo tanto, satisface ∂∂xϕ2 = −ki2 ϕ. Si ϕ
i
es peri&oacute;dico es las tres dimensiones, tendr&iacute;amos ∇2 ϕ = − k12 + k22 + k32 ϕ 6= 0,
incompatible con la ecuaci&oacute;n de Laplace.
1.6.
Energ&iacute;a electrost&aacute;tica.
Consideremos el trabajo total Wtotal para ensamblar una configuraci&oacute;n de N
cargas qi en las posiciones ri , trayendo sucesivamente cada carga desde el infinito
hasta su correspondiente posici&oacute;n en presencia de las cargas precedentes. Esto es,
Wtotal = Wq1 + Wq2 + Wq3 + . . . + WqN
(1.160)
donde Wqi significa el trabajo para traer la carga qi a la posici&oacute;n ri , en presencia de
las anteriores cargas q1 , q2 , . . . , qi−1 .
Tenemos,
Wq1 = 0
(no hay otras cargas presentes, ni campos externos.)
q2 q1
Wq2 = q2 ϕ (r2 ) =
|r2 − r1 |
q3 q1
q3 q2
Wq3 = q3 ϕ (r3 ) =
+
|r3 − r1 | |r3 − r2 |
q4 q1
q4 q2
q4 q3
Wq4 = q4 ϕ (r4 ) =
+
+
|r4 − r1 | |r4 − r2 | |r4 − r3 |
(1.161)
40
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.
Figura 1.28: Configuraci&oacute;n de N cargas qi en posiciones ri .
Sumando todos los t&eacute;rminos,
Wtotal =
1 X qi qj
,
2
|ri − rj |
(1.162)
i,j
i6=j
donde el factor 12 se introduce para no repetir la suma de t&eacute;rminos sim&eacute;tricos i ↔ j.
El trabajo Wtotal es equivalente a la energ&iacute;a potencial total almacenada en esta
configuraci&oacute;n,
U = Wtotal .
(1.163)
Figura 1.29: Energ&iacute;a electrost&aacute;tica de una distribuci&oacute;n de carga.
Para una distribuci&oacute;n continua de carga, sustituimos los elementos de carga infinitesimales qi → dq = ρd3 r y qj → dq 0 = ρd3 r0 en el l&iacute;mite continuo de la suma:
1.6. ENERG&Iacute;A ELECTROST&Aacute;TICA.
Wtotal = U
=
=
=
41
Z
Z
1
ρ (r) ρ (r0 ) 3 0
3
d r
d r
2
|r − r0 |
Z
Z
1
ρ (r0 ) 3 0
3
d r ρ (r)
d r
2
|r − r0 |
Z
1
ρ (r) ϕ (r) d3 r ,
2
(1.164)
donde la integral de volumen se extiende a todo el espacio (r → ∞). La Ec. (1.164) es
el trabajo para ensamblar la distribuci&oacute;n de cargas en contra de sus propio campos;
mientras que la Ec. (1.183) expresa el trabajo para colocar una distribuci&oacute;n de cargas
ya formada en un campo externo.
Utilizamos la ecuaci&oacute;n de Poisson ∇2 ϕ = −4πρ, de donde ρ (r) = −∇2 ϕ/4π.
Sustituyendo en Ec. (1.164), tenemos
Z
1
U =−
ϕ ∇2 ϕ d3 r.
(1.165)
8π
∇ &middot; (ϕa) = a &middot; ∇ϕ + ϕ ∇ &middot; a,
(1.166)
y haciendo a = ∇ϕ, obtenemos
ϕ∇2 ϕ = ∇ &middot; (ϕ∇ϕ) − |∇ϕ|2 .
Sustituyendo en la Ec. (1.165)
Z
Z
1
1
2 3
U=
|∇ϕ| d r −
∇ &middot; (ϕ∇ϕ) d3 r.
8π
8π
Evaluamos la segunda integral mediante el teorema de la divergencia:
Z
I
∇ &middot; (ϕ∇ϕ) d3 r =
ϕ∇ϕ &middot; n̂ da.
V
(1.167)
(1.168)
(1.169)
S
Tomemos S como una esfera de radio R → ∞, dentro de la cual se encuentra la
densidad de carga ρ que produce el potencial ϕ en todo el espacio. La normal n̂
42
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.
Figura 1.30: Integral de volumen se extiende a todo el espacio cuando la superficie tiende a infinito.
Entonces,
ϕsobre S ≈
Q
R
(Q = carga total encerrado en S)
∂ϕ
Q
∂ϕ =
≈ 2
∇ϕ &middot; n̂|S =
∂n S
∂R
R
da = R2 sin θ dθ dφ = R2 dΩ
(1.170)
(1.171)
(1.172)
Luego,
I
I
∂ϕ
R2
1
ϕ∇ϕ &middot; n̂ da =
ϕ
da ∼
dΩ =
dΩ
3
∂n
S
S
S R
S R
En el l&iacute;mite R → ∞ obtenemos
Z
I
∇ &middot; (ϕ∇ϕ) d3 r =
ϕ∇ϕ &middot; n̂ da = 0.
I
I
V
(1.173)
(1.174)
S
Luego, tenemos la energ&iacute;a potencial
1
U=
8π
Z
|∇ϕ|2 d3 r .
Usando E = −∇ϕ, tambi&eacute;n se puede expresar
Z
1
|E|2 d3 r ,
U=
8π
(1.175)
(1.176)
lo que describe la energ&iacute;a potencial almacenada en todo el espacio donde existe un
campo el&eacute;ctrico E. Puesto que &eacute;sta es una integral sobre un volumen, se define la
densidad de energ&iacute;a [energ&iacute;a/volumen] de un campo electrost&aacute;tico E como
u=
|E|2
.
8π
(1.177)
1.7. INTERACCI&Oacute;N DE UNA DISTRIBUCI&Oacute;N DE CARGA CON UN CAMPO EXTERNO.43
Ejemplo.
1. Calcular la fuerza por unidad de &aacute;rea entre dos planos infinitos paralelos, con
densidades superficiales de carga σ y −σ, respectivamente.
Sea x la direcci&oacute;n perpendicular entre los planos. El campo el&eacute;ctrico en el
espacio entre los planos es E = 4πσx̂.
La densidad de energ&iacute;a electrost&aacute;tica entre los planos es
u=
1
|E|2 = 2πσ 2 .
8π
(1.178)
Consideremos un desplazamiento dx de uno de los planos en la direcci&oacute;n x̂, tal
que el volumen entre los planos aumenta en una cantidad A dx. Consequentemente, la energ&iacute;a electrost&aacute;tica del sistema aumenta en
dU = uA dx = 2πσ 2 A dx.
La fuerza sobre un plano es F = −
(1.179)
dU
x̂, y la fuerza por unidad de &aacute;rea es
dx
F
1 dU
=−
x̂ = −2πσ 2 x̂
A
A dx
(1.180)
es decir, la fuerza entre los planos es atractiva.
1.7.
Interacci&oacute;n de una distribuci&oacute;n de carga con un campo externo.
Supongamos una regi&oacute;n del espacio donde existe un campo el&eacute;ctrico externo Eext
y un potencial externo dado por Eext (r) = −∇ϕext (r). Recordemos que el trabajo
para traer una carga q desde r = ∞ hasta una posici&oacute;n r, donde existe un potencial
externo ϕext , es
W (r) = q ϕext (r) = U,
(1.181)
44
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.
donde U es la energ&iacute;a potencial de la interacci&oacute;n de la carga con el campo externo.
Para un conjunto de N cargas qi en posiciones ri en presencia de un potencial
externo ϕext , no producido por las cargas, la energ&iacute;a potencial de interacci&oacute;n es
U=
N
X
qi ϕext (ri ).
(1.182)
i
Para una distribuci&oacute;n continua de carga ρ(r) en presencia de un potencial externo
ϕext (r), la energ&iacute;a potencial de la interacci&oacute;n corresponde a
Z
U = ρ(r) ϕext (r) d3 r.
(1.183)
Esta es la energ&iacute;a potencial de una distribuci&oacute;n de cargas ya formada, interactuando
con un campo externo. No es el trabajo para ensamblar la distribuci&oacute;n de las cargas
en contra de sus propios campos.
Figura 1.31: Distribuci&oacute;n de carga en un campo el&eacute;ctrico externo.
Supongamos que la distribuci&oacute;n de carga ρ(r) en el espacio incluye el origen
r = 0 y que el potencial externo var&iacute;a sobre la extensi&oacute;n de la distribuci&oacute;n. Entonces,
podemos hacer una expansi&oacute;n de Taylor del potencial alrededor de r = 0,
3
X
∂ϕ 1 X ∂ 2 ϕ ϕext (r) = ϕ(0) +
xi +
xi xj + &middot; &middot; &middot;
∂xi 0
2
∂xi ∂xj 0
i
i,j
1X ∂
∂ϕ xi xj + &middot; &middot; &middot;
= ϕ(0) + (∇ϕ)0 &middot; r +
2
∂xi ∂xj 0
i,j
(1.184)
1.7. INTERACCI&Oacute;N DE UNA DISTRIBUCI&Oacute;N DE CARGA CON UN CAMPO EXTERNO.45
donde hemos suprimido la notaci&oacute;n “ext”, por simplicidad.
Utilizando la relaci&oacute;n Eext = −∇ϕext (r), podemos escribir
1 X ∂Ej
ϕext (r) = ϕ(0) − r &middot; E(0) −
xi xj + &middot; &middot; &middot;
2
∂xi 0
(1.185)
i,j
Sustituci&oacute;n en la Ec. (1.183) permite obtener la expansi&oacute;n de la energ&iacute;a potencial
Z
Z
Z
∂Ej
1X
3
3
ρ(r) xi xj
d3 r + &middot; &middot; &middot;
U = ϕ(0) ρ(r) d r − E(0) &middot; ρ(r) r d r −
2
∂xi 0
i,j
(1.186)
lo cual se puede escribir como
1X
U = q ϕ(0) − p &middot; E(0) −
2
Z
ρ(r) xi xj
i,j
∂Ej
∂xi
d3 r + &middot; &middot; &middot;
(1.187)
0
donde hemos usado las definiciones de los momentos monopolar q y dipolar p.
El tercer t&eacute;rmino se puede poner en forma cuadripolar usando el hecho de que el
campo electrost&aacute;tico externo, lejos de sus fuentes y en la regi&oacute;n donde se localiza la
distribuci&oacute;n ρ(r), satisface ∇ &middot; Eext = 0. Luego,


X ∂Ei X X ∂Ej
X ∂Ej

∇ &middot; Eext =
=
δij  =
δij = 0 .
(1.188)
∂xi
∂xi
∂xi
i
i
i,j
j
En particular, en r = 0, el campo externo satisface
X ∂Ej ∇ &middot; E(0) =
δij = 0 .
∂xi 0
(1.189)
i,j
Restando la cantidad nula 16 ∇ &middot; E(0) r2 en el integrando, el tercer t&eacute;rmino puede
escribirse como
Z
Z
∂Ej
∂Ej
1X
1X
1 ∂Ej
3
2
−
ρ(r) xi xj
d r = −
ρ(r) xi xj
−
r δij d3 r
2
∂xi 0
2
∂xi 0 3 ∂xi 0
i,j
i,j
Z
X
∂Ej
1
2
= −
ρ(r) 3xi xj − r δij
d3 r
6
∂xi 0
i,j
X
∂Ej
1
= −
Qij
(1.190)
6
∂xi 0
i,j
46
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.
Z
Qij = ρ(r0 ) 3x0i x0j − r02 δij d3 r0 .
(1.191)
Finalmente, podemos expresar la energ&iacute;a de una distribuci&oacute;n de carga en presencia
de un campo el&eacute;ctrico externo como la siguiente expansi&oacute;n multipolar,
∂Ej
1X
U = q ϕ(0) − p &middot; E(0) −
Qij
+ &middot;&middot;&middot;
(1.192)
6
∂xi 0
i,j
El primer t&eacute;rmino corresponde a la interacci&oacute;n del monopolo con el potencial externo;
el segundo t&eacute;rmino expresa la interacci&oacute;n del dipolo de la distribuci&oacute;n de carga con
el campo el&eacute;ctrico externo; y el tercer t&eacute;rmino describe la interacci&oacute;n del momento
La interacci&oacute;n de un dipolo con un campo externo corresponde en general a
U = −p &middot; Eext ,
(1.193)
donde Eext es el campo externo evaluado en la posici&oacute;n del dipolo.
En particular, si tenemos un dipolo p1 en presencia del campo E2 producido por
un dipolo p2 , entonces la energ&iacute;a de interacci&oacute;n ser&aacute;
U = −p1 &middot; E2 .
(1.194)
Figura 1.32: Campo el&eacute;ctrico de un dipolo p2 en la posici&oacute;n de un dipolo p1 .
Si r es la posici&oacute;n del dipolo p1 con respecto al dipolo p2 , el campo E2 producido
por p2 en la posici&oacute;n de p1 est&aacute; dado por la Ec. (1.148),
E2 =
3(p2 &middot; r̂)r̂ − p2
.
r3
(1.195)
1.8. POTENCIAL Y CAMPO EL&Eacute;CTRICO EN CONDUCTORES.
Luego, la energ&iacute;a de interacci&oacute;n de los dos dipolos es
3(p2 &middot; r̂)r̂ − p2
Udip = −p1 &middot;
r3
p1 &middot; p2 − 3(p1 &middot; r̂)(p2 &middot; r̂)
=
.
r3
47
(1.196)
En general, si p1 est&aacute; en la posici&oacute;n r1 y p2 est&aacute; en r2 , la energ&iacute;a potencial de
interacci&oacute;n de los dos dipolos es
Udip =
donde r̂ ≡
p1 &middot; p2 − 3(p1 &middot; r̂)(p2 &middot; r̂)
,
|r2 − r1 |3
(1.197)
r2 − r1
.
|r2 − r1 |
Figura 1.33: Interacci&oacute;n entre dos dipolos p1 y p2 .
La fuerza de interacci&oacute;n entre dos dipolos p1 y p2 est&aacute; dada por Fdip = −∇Udip .
Note que la fuerza entre dos dipolos el&eacute;ctricos depende de la distancia como 1/r4 ,
mientras que la fuerza entre dos cargas puntuales var&iacute;a como 1/r2 (Ley de Coulomb).
1.8.
Potencial y campo el&eacute;ctrico en conductores.
La soluci&oacute;n de la ecuaci&oacute;n de Poisson o de Laplace en una regi&oacute;n del espacio
limitada por objetos o fronteras, denotadas por S, requiere conocer las siguientes
condiciones para el potencial ϕ sobre las fronteras:
∂ϕ ϕ|S ,
.
(1.198)
∂n S
Estas condiciones son particularmente simples en fronteras constituidas por materiales conductores, los cuales adem&aacute;s tienen muchas aplicaciones pr&aacute;cticas.
48
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.
Un conductor es un material donde las cargas son capaces de moverse libremente
en su interior y sobre su superficie. En Electrost&aacute;tica, las distribuciones de cargas y
los campos en un conductor deben alcanzar un estado de equilibrio (independiente
del tiempo).
Los conductores poseen las siguientes propiedades:
i. Toda carga neta en un conductor debe estar en su superficie.
Consideremos una densidad de carga neta ρ colocada inicialmente dentro de un
conductor. La carga ρ neta corresponde a part&iacute;culas con carga de un mismo
signo; es decir que se repelen (si hay cargas con signos opuestos, se atraen hasta
anularse; el exceso corresponde a ρ). Puesto que tienen la posibilidad de moverse
libremente dentro del conductor, las cargas alcanzar&aacute;n su m&aacute;xima separaci&oacute;n.
Esto implica que las cargas deben alcanzar la superficie del conductor. Luego,
si un conductor posee una carga neta, &eacute;sta debe estar justo en su superficie,
distribuida como una densidad superficial de carga σ.
Figura 1.34: La carga neta se encuentra en la superficie de un conductor.
ii. El campo el&eacute;ctrico dentro de un conductor es cero.
Apliquemos la Ley de Gauss dentro del conductor. Tomemos una superficie
gaussiana S justo debajo y arbitrariamente cerca de la superficie del conductor.
Puesto que no hay carga encerrada dentro de S, tenemos
I
E &middot; n̂ da = 0 ⇒ E = 0 dentro de S.
(1.199)
S
Puesto que S est&aacute; arbitrariamente cerca de la superficie del conductor, esto
implica que E = 0 en todo punto dentro del conductor. Luego, E = −∇ϕ
implica, a su vez, que ϕ es constante dentro de un conductor.
1.8. POTENCIAL Y CAMPO EL&Eacute;CTRICO EN CONDUCTORES.
49
Figura 1.35: El campo el&eacute;ctrico dentro de un conductor es cero.
iii. Un conductor es una superficie equipotencial.
Consideremos un conductor en campo el&eacute;ctrico externo E. El campo externo
mueve las cargas libres dentro del conductor e induce una densidad de carga σ
no uniforme en la superficie del conductor.
Figura 1.36: Campo el&eacute;ctrico en la superficie de un conductor.
El campo dentro del conductor es E1 = 0, mientras que el campo en un punto
sobre la superficie se puede escribir como
E2 = En n̂ + Et t̂,
(1.200)
donde n̂ y t̂ son el vector normal y el vector tangente a la superficie, respectivamente.
Figura 1.37: Campo el&eacute;ctrico e integral de l&iacute;nea a trav&eacute;s de la superficie de un conductor.
50
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.
Recordemos que las componentes tangenciales del campo el&eacute;ctrico en ambos
lados de una superficie con densidad de carga σ son continuas; esto es
E2 &middot; t̂ = E1 &middot; t̂.
(1.201)
Pero E1 = 0 dentro del conductor. Luego
E2 &middot; t̂ = Et = 0;
(1.202)
es decir, la componente del campo el&eacute;ctrico tangente a la superficie de un conductor es cero.
El potencial sobre la superficie S del conductor satisface
∂ϕ =0
E2 &middot; t̂ = −∇ϕ|S &middot; t̂ =
∂l S
⇒ ϕ = constante sobre S.
(1.203)
Luego, tanto el interior como la superficie de un conductor poseen un potencial
ϕ constante.
iv. El campo el&eacute;ctrico en la superficie S de un conductor siempre es normal a S y
su magnitud es En = 4πσ.
Vimos que las componentes normales de los campos E1 E2 a ambos lados de
(E2 − E1 ) &middot; n̂ = 4πσ.
(1.204)
Pero E1 = 0 (dentro del conductor). Luego,
E2 &middot; n̂ = En = 4πσ.
(1.205)
Puesto que
E2 &middot; n̂ = −∇ϕ|S &middot; n̂
∂ϕ ⇒ En = −
= 4πσ.
∂n (1.206)
S
En general, resolver la ecuaci&oacute;n de Poisson o de Laplace en regiones limitadas
por conductores requiere encontrar un ϕ que satisface las condiciones de frontera
Ec. (1.203) y Ec. (1.206) sobre los conductores.
1.9. CAPACITANCIA.
1.9.
51
Capacitancia.
Supongamos un sistema de N conductores con cargas qi y potenciales ϕi , i =
1, . . . , N , colocados en el espacio libre.
La energ&iacute;a electrost&aacute;tica total del sistema es
Z
1
U=
|E|2 d3 r ,
(1.207)
8π V
donde el volumen V se extiende a todo el espacio, excluyendo el volumen ocupado
por los conductores donde el campo el&eacute;ctrico es cero.
Figura 1.38: Sistema de conductores con cargas qi y potenciales ϕi .
Usando la relaci&oacute;n E = −∇ϕ, podemos escribir la Ec. (1.207) como
U
Z
1
E &middot; ∇ϕ d3 r
8π V
Z
1
= −
[∇ &middot; (Eϕ) − ϕ(∇ &middot; E)] d3 r
8π V
I
1
= −
(Eϕ) &middot; n̂ da,
8π S
= −
(1.208)
donde hemos usado el teorema de la divergencia para el primer t&eacute;rmino en la Ec. (1.208)
y la Ley de Gauss, ∇ &middot; E = 0 (puesto no hay cargas en el volumen V ), en el segundo
t&eacute;rmino de dicha ecuaci&oacute;n. La superficie S que delimita al volumen V incluye el infinito (S → ∞) y las superficies Si de los conductores, mientras que el vector normal n̂
apunta hacia fuera de toda la S; en particular, hacia dentro de la superficie de cada
52
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.
conductor. Luego,
1
U =−
8π
Z
I
1 X
(Eϕ) &middot; n̂ da −
(Eϕi ) &middot; (−n̂i ) dai ,
8π
S→∞
Si
(1.209)
i
donde n̂i es la normal sobre cada Si (−n̂i apunta hacia dentro del conductor). La
integral en el primer t&eacute;rmino tiende a cero en el l&iacute;mite S → ∞; entonces,
U
=
=
=
I
1 X
ϕi
E &middot; n̂i dai (ϕi es constante sobre cada Si ),
8π
Si
i
1 X
ϕi (4πqi) (usando la Ley de Gauss sobre cada Si ),
8π
i
1X
qi ϕ i .
(1.210)
2
i
Las cargas qi y los potenciales ϕi en la Ec. (1.210) no son independientes. El potencial
del conductor i se debe a la carga qi y a las contribuciones de todas las cargas en
los dem&aacute;s conductores. Supongamos que tenemos una carga qk 6= 0 y qi = 0, ∀i 6= k;
entonces el potencial en cada conductor debe ser simplemente proporcional a qk , es
decir, ϕi = pik qk . Puesto que las ecuaciones de la Electrost&aacute;tica son lineales, podemos
escribir los potenciales para un conjunto de cargas mediante la superposici&oacute;n lineal
ϕi =
N
X
aij qj ,
(1.211)
j=1
donde los aij son coeficientes de proporcionalidad. Las Ecs. (1.211) constituyen un
conjunto de N ecuaciones lineales que se pueden invertir para obtener
qi =
N
X
Cij ϕj .
(1.212)
j=1
La matriz Cij se denomina tensor de capacitancia. Sus elementos poseen dimensiones
de longitud y dependen de factores geom&eacute;tricos, tales como la forma de los conductores y la posici&oacute;n relativa entre &eacute;stos. Si tenemos solamente un conductor con carga
q, el &uacute;nico elemento C se denomina la capacidad del conductor,
q = Cϕ .
(1.213)
1.9. CAPACITANCIA.
53
La capacidad C expresa la cantidad de carga que el conductor puede contener cuando
conductor. Por ejemplo, para una esfera de radio R que tiene una carga q, el potencial
sobre su superficie es ϕ = q/R. Comparando con la definici&oacute;n Ec. (1.213), obtenemos
C = R para una esfera conductora.
La capacitancia de un sistema formado por dos conductores que poseen cargas
iguales y opuestas se define como el cociente entre la carga de un conductor y la
diferencia de potencial entre ellos. Se pueden dise&ntilde;ar diversas configuraciones de
conductores para almacenar carga el&eacute;ctrica sujetos a potenciales; tales dispositivos se
Usando el tensor de capacitancia, la energ&iacute;a potencial electrost&aacute;tica del sistema
de conductores, Ec. (1.210), se puede expresar como
U=
1X
Cij ϕi ϕj .
2
(1.214)
i,j
La energ&iacute;a almacenada en un capacitor con capacitancia C sujeto a un potencial ϕ
es
1
(1.215)
U = Cϕ2 .
2
54
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.
Resumen.
1. Funci&oacute;n delta de Dirac:
Z
I
f (x)δ(x − a)dx
1
2
∇
|r − r0 |
= f (a).
= −4πδ (r − r0 ) .
2. Ecuaciones de la Electrost&aacute;tica:
∇ &middot; E = 4πρ.
∇ &times; E = 0.
3. Forma integral de la ley de Gauss:
I
E &middot; n̂ da = 4πqenc .
S
4. Condiciones de frontera del campo el&eacute;ctrico a trav&eacute;s de una superficie cargada:
E2 (r0 ) &middot; n̂ − E1 (r0 ) &middot; n̂
=
4πσ(r0 ).
E2 &middot; t̂
=
E1 &middot; t̂.
5. Potencial escalar:
E = −∇ϕ.
Z
ρ (r0 ) 3 0
d r.
ϕ(r) =
|r − r0 |
6. Diferencia de potencial entre dos puntos A y B:
(ϕB − ϕA ) =
WAB
.
q
7. Ecuaciones de Poisson y de Laplace,
∇2 ϕ = −4πρ
2
(Ec. Poisson).
∇ ϕ = 0 (Ec. Laplace).
1.9. CAPACITANCIA.
55
8. Energ&iacute;a electrost&aacute;tica de una configuraci&oacute;n de cargas puntuales:
1 X qi qj
Wtotal =
.
2 i , j |ri − rj |
i6=j
9. Energ&iacute;a de un campo electrost&aacute;tico:
1
U=
8π
Z
2
|E| d3 r.
10. Expansi&oacute;n del potencial de una distribuci&oacute;n de carga para r &gt; r0 ,
ϕ(r) ≈
3
1 X
q r&middot;p
+ 3 + 5
xi xj Qij .
r
r
2r i,j=1
11. Momento dipolar de una distribuci&oacute;n de carga,
Z
p = ρ(r0 ) r0 d3 r0 .
12. Potencial de un dipolo,
ϕ(r) =
p &middot; r̂
.
r2
13. Campo el&eacute;ctrico de un dipolo,
E(r) =
3(p &middot; r̂)r̂ − p
.
r3
14. Energ&iacute;a de un dipolo en un campo el&eacute;ctrico externo,
U = −p &middot; E .
15. Energ&iacute;a potencial de interacci&oacute;n de dos dipolos,
Udip =
p1 &middot; p2 − 3(p1 &middot; r̂)(p2 &middot; r̂)
3
|r2 − r1 |
.
E = 0,
ϕ = cte,
∂ϕ En = −
= 4πσ,
∂n S
dentro del conductor.
dentro y sobre la superficie del conductor.
en la superficie del conductor.
q = Cϕ.
56
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.
1.10.
Problemas.
a) Una carga q uniformemente distribuida sobre un cascar&oacute;n esf&eacute;rico de radio
b) Una carga uniforme por unidad de longitud λ distribuida sobre una superficie cil&iacute;ndrica de radio b, en coordenadas cil&iacute;ndricas.
c) Una carga q distribuida uniformemente sobre un disco de radio R y espesor
d) Igual que c), pero en coordenadas esf&eacute;ricas.
2. Dos planos conductores paralelos e infinitos se encuentran en x = 0 y x = b,
y tienen potenciales V1 y V2 , respectivamente. Hay un plasma con densidad de
carga constante ρo en el espacio entre los planos.
a) Encuentre el potencial en todo punto entre los planos.
b) Encuentre la densidad de carga superficial sobre el plano en x = 0.
c) Calcule el campo el&eacute;ctrico entre los planos.
3. Una carga Q se distribuye en una esfera no conductora de radio a. Encuentre
la energ&iacute;a electrost&aacute;tica de la configuraci&oacute;n en los siguientes casos:
a) La carga se distribuye uniformemente en el volumen de la esfera.
b) La carga se distribuye uniformemente en la superficie de la esfera.
c) Explique por qu&eacute; los resultados a) y b) son diferentes.
4. El potencial promedio de un &aacute;tomo de hidr&oacute;geno se puede expresar como
e−2r/ao
r
ϕ=q
1+
,
r
ao
donde q es la magnitud de la carga del electr&oacute;n y ao es el radio de Bohr.
a) Encuentre la distribuci&oacute;n de carga que produce este potencial.
b) Calcule la carga orbital total del &aacute;tomo de hidr&oacute;geno.
5. Una carga q se encuentra a una distancia a perpendicular a un cable recto
infinito y muy delgado que posee una densidad lineal de carga λ. Calcule la
fuerza sobre la carga q.
1.10. PROBLEMAS.
57
6. Una carga q se distribuye uniformemente sobre un anillo de radio a. Calcule la
frecuencia para peque&ntilde;as oscilaciones de una part&iacute;cula de masa m y carga −q
que se mueve sobre el eje perpendicular al plano del anillo y que pasa por su
centro.
7. Tres esferas conductoras conc&eacute;ntricas de radios R1 , R2 , y R3 (R1 &lt; R2 &lt; R3 )
poseen potenciales V1 , V2 , y V3 , respectivamente. Determine la carga de cada
esfera.
8. Una pompa de jab&oacute;n de radio 1 cm se encuentra a un potencial de 100 voltios.
Si la pompa colapsa hasta un radio de 1 mm, &iquest;cu&aacute;l es el cambio en su energ&iacute;a
electrost&aacute;tica?
9. Considere una esfera de radio a y con carga total q. En un caso, la esfera
es conductora; en otro caso, la esfera tiene una densidad uniforme de carga;
y en una tercera situaci&oacute;n, la esfera posee una densidad de carga que var&iacute;a
radialmente como rn , con n &gt; −3.
a) Calcule el campo el&eacute;ctrico dentro y fuera de la esfera en cada caso.
b) Dibuje esquem&aacute;ticamente el campo el&eacute;ctrico en funci&oacute;n de la distancia radial
r en los dos primeros casos; y para n = 2 y n = −2 en el tercer caso.
10. Una l&aacute;mina plana infinita, con densidad de carga superficial uniforme σ, tiene
un agujero circular de radio a. Una carga q se encuentra a una distancia z sobre
el eje perpendicular al plano de la l&aacute;mina que pasa por el centro del agujero.
Calcule la direcci&oacute;n y magnitud de fuerza sobre la carga q.
11. Un cable coaxial infinito est&aacute; formado por un conductor cil&iacute;ndrico interior de
radio a sujeto a un potencial Vo y otro conductor cil&iacute;ndrico exterior de radio
b, conectado a tierra. Encuentre la densidad de carga lineal λ en el conductor
interior.
12. Una esfera de radio R posee una densidad de carga uniforme ρ y tiene una
encuentra a una distancia b del centro de la esfera. Calcule la energ&iacute;a electrost&aacute;tica en la cavidad.
13. Calcule la capacitancia de un sistema formado por dos esferas conductoras
conc&eacute;ntricas, de radios R1 y R2 .
58
CAP&Iacute;TULO 1. ELECTROST&Aacute;TICA.
14. Dos cilindros conductores muy largos y paralelos, ambos de radio a, est&aacute;n separados por una distancia d a. Calcule la capacitancia por unidad de longitud
de este sistema.
15. Dos dipolos id&eacute;nticos p = pẑ se encuentran en posiciones (−a, 0, 0) y (a, 0, 0).
a) Calcule la fuerza ejercida por los dipolos sobre una carga q ubicada en la
posici&oacute;n (d, 0, 0).
b) &iquest;C&uacute;&aacute;l ser&iacute;a la fuerza sobre un dipolo p0 = −pẑ ubicado en (d, 0, 0)?
16. Calcule las componentes del tensor de capacitancia de un sistema conformado
por tres esferas conductoras conc&eacute;ntricas de radios R1 &lt; R2 &lt; R3 , con cargas
q1 , q2 y q3 , respectivamente.
17. La densidad de carga correspondiente a los estados m = &plusmn;1 del nivel 2p del
&aacute;tomo de hidr&oacute;geno es
1 2 −r 2
ρ(r) =
r e sin θ .
64π
a) Calcule la expansi&oacute;n multipolar del potencial el&eacute;ctrico debido a esta densidad
b) Demuestre que el potencial cerca del origen, correcto hasta orden r2 , es
1
r2
ϕ(r) ' −
P2 (cos θ) .
4 120
Cap&iacute;tulo 2
Problemas de frontera en
Electrost&aacute;tica
2.1.
Teorema de Green.
Muchos problemas en Electrost&aacute;tica involucran la determinaci&oacute;n del potencial (o
el campo) el&eacute;ctrico en regiones finitas del espacio que pueden contener distribuciones
de carga y que se encuentran limitadas por superficies sujetas a determinadas condiciones de frontera. Para encontrar la soluci&oacute;n a este tipo de problemas, resulta &uacute;til
el Teorema de Green, el cual derivamos a continuaci&oacute;n.
Consideremos el teorema de la divergencia para un campo vectorial A en un
Z
I
3
A &middot; n̂ da .
(2.1)
V
S
Supongamos A = θ∇ψ; donde θ y ψ son funciones escalares arbitrarias de r. Usamos
∇ &middot; (θa) = a &middot; ∇θ + θ∇ &middot; a.
(2.2)
Haciendo a = ∇ψ, obtenemos
∇ &middot; A = ∇ &middot; (θ∇ψ) = ∇ψ &middot; ∇θ + θ∇2 ψ.
A &middot; n̂ = θ∇ψ &middot; n̂ = θ
59
∂ψ
,
∂n
(2.3)
(2.4)
60
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
donde ∇ψ &middot; n̂ = ∂ψ
∂n es la derivada de ψ en la direcci&oacute;n normal n̂ a la superficie S,
que apunta hacia fuera de S.
Figura 2.1: Volumen V encerrado por superficie S; vector normal a la superficie n̂.
Sustituyendo en la Ec. (2.1),
Z
I
3
∂ψ
2
da.
θ∇ ψ + ∇ψ &middot; ∇θ d r =
θ
V
S ∂n
La Ec. (2.5) se denomina la primera identidad de Green.
Intercambiando θ y ψ en la Ec. (2.5), tenemos
Z
I
∂θ
ψ∇2 θ + ∇θ &middot; ∇ψ d3 r =
ψ
da.
∂n
V
S
Restando la Ec. (2.6) de la Ec. (2.5), obtenemos
Z
I 3
∂θ
∂ψ
2
2
−ψ
da .
θ∇ ψ − ψ∇ θ d r =
θ
∂n
∂n
V
S
(2.5)
(2.6)
(2.7)
La Ec. (2.7) se conoce como el Teorema de Green, y se puede considerar como una
generalizaci&oacute;n del teorema de la divergencia.
Ejemplo.
1. Demostrar que un campo vectorial v est&aacute; un&iacute;vocamente determinado en una
regi&oacute;n del espacio si se conocen su divergencia y su rotacional en esa regi&oacute;n.
2.1. TEOREMA DE GREEN.
61
Sean
∇&middot;v =s
(2.8)
∇&times;v =c
(2.9)
la divergencia y el rotacional de v, respectivamente, y llamemos vn la componente normal de v sobre la superficie S que encierra al volumen V de la regi&oacute;n
del espacio.
Supongamos que existe un segundo vector u que satisface las mismas condiciones de divergencia y rotacional, y que posee la misma normal sobre S, un = vn .
Definamos el vector
w = v − u.
(2.10)
Sobre la superficie S, tenemos wn = vn − un = 0. Entonces, w satisface
∇ &middot; w = 0,
(2.11)
∇ &times; w = 0.
(2.12)
La Ec. (2.12) implica que podemos escribir
w = ∇ψ,
(2.13)
debido a la identidad ∇&times;(∇ψ) = 0, para toda funci&oacute;n ψ. Entonces, la Ec. (2.11)
conduce a
∇2 ψ = 0.
(2.14)
Usamos la primera identidad de Green, en la forma
Z
I
3
2
θ∇ ψ + ∇ψ &middot; ∇θ d r =
θ ∇ψ &middot; n̂ da.
V
(2.15)
S
Esta identidad es v&aacute;lida ∀ θ, ψ; en particular para θ = ψ, donde ψ satisface
Eqs. (2.13) y (2.14). Entonces, la identidad Ec. (2.15) se puede expresar como
Z
I
I
(w &middot; w) d3 r =
ψ ∇ψ &middot; n̂ da =
ψ wn da = 0.
(2.16)
V
S
S
Puesto que w &middot; w = w2 ≥ 0, la Ec. (2.16) implica que w = v − u = 0 en V .
Luego v = u, y por lo tanto, el vector v es &uacute;nico.
62
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
En particular, las ecuaciones de la Electrost&aacute;tica, m&aacute;s una condici&oacute;n de frontera para E sobre S, garantizan la existencia de una soluci&oacute;n &uacute;nica E de esas
ecuaciones en un volumen V limitado por S.
2.2.
Funci&oacute;n de Green.
El Teorema de Green, Ec. (2.7), permite encontrar la soluci&oacute;n de la ecuaci&oacute;n
de Poisson ∇2 ϕ = −4πρ, en un volumen V encerrado por una superficie S, dadas
condiciones de frontera para el potencial ϕ sobre S.
Figura 2.2: Densidad de carga ρ(r0 ) en el volumen V , superficie S y normal n̂.
Puesto que ψ y θ son funciones escalares arbitrarias, en particular podemos usar
en la Ec. (2.7)
1
ψ=
,
(2.17)
|r − r0 |
tal que r sea un punto de observaci&oacute;n y r0 la variable de integraci&oacute;n. Entonces,
1
2
2
= −4πδ(r − r0 ).
(2.18)
∇ ψ=∇
|r − r0 |
Adem&aacute;s, podemos tomar θ = ϕ, el potencial escalar que satisface la ecuaci&oacute;n de
Poisson, ∇2 ϕ = −4πρ, en V . Sustituyendo estas funciones escalares en la Ec. (2.7),
empleando r0 como variable de integraci&oacute;n, tenemos
Z 3 0
4π
0
−4πϕ r0 δ r − r0 +
ρ
r
d r
|r − r0 |
V
I ∂
1
1
∂ϕ
=
ϕ 0
−
da0 .
(2.19)
∂n |r − r0 |
|r − r0 | ∂n0
S
2.2. FUNCI&Oacute;N DE GREEN.
63
Si r est&aacute; dentro del volumen V , la Ec. (2.19) da
Z
I 1
1
∂ϕ
ρ (r0 ) 3 0
∂
−
da0 ,
− 4πϕ (r) + 4π
d r =
ϕ 0
0|
0 | ∂n0
|r − r0 |
∂n
|r
−
r
|r
−
r
S
(2.20)
luego,
Z
ϕ (r) =
V
ρ (r0 ) 3 0
1
d r +
|r − r0 |
4π
I S
1
∂ϕ
∂
−ϕ 0
|r − r0 | ∂n0
∂n
1
|r − r0 |
da0 .
(2.21)
Si r est&aacute; fuera del volumen V , el lado izquierdo de la Ec. (2.21) es igual a 0.
La Ec. (2.21) implica que ϕ(r) est&aacute; determinado en un volumen V limitado por
una superficie S, si se conocen la distribuci&oacute;n de carga ρ(r0 ) en V y los valores de
ϕ y/o de su derivada normal sobre S. Es decir, la funci&oacute;n ϕ(r) en la Ec. (2.21) es
2
soluci&oacute;n de
la ecuaci&oacute;n de Poisson ∇ ϕ = −4πρ, en V , con condiciones de frontera
∂ϕ ϕ|S y ∂n sobre S.
S
El potencial en el espacio libre se puede obtener considerando el l&iacute;mite S → ∞,
∂ϕ
1
para el cual r0 → ∞. Puesto que ϕ ∼ r10 y ∂n
0 ∼ r 02 , los t&eacute;rminos del integrando
1
1
1
en la integral sobre S van como r0 &times; r02 = r03 , Hy el elemento de area crece como
da0 ∼ r02 . Luego, en el l&iacute;mite S → ∞, la integral S → 0, y la Ec. (2.21) da
Z
ϕ(r) =
ρ(r0 ) 3 0
d r ,
|r − r0 |
(2.22)
lo cual corresponde al potencial ϕ en el espacio libre, si se conoce la ρ en todo el
espacio, ya obtenido en el Cap&iacute;tulo 1.
La condici&oacute;n de frontera ϕ|S se llama condici&oacute;n tipo Dirichlet, mientras que ∂ϕ
∂n ,
S
se denomina tipo Neumann. Se puede demostrar que la soluci&oacute;n ϕ de la Ec. (2.21)
que satisface un tipo dado de condici&oacute;n de frontera, Dirichlet o Neumann, es &uacute;nica.
Note que en la superficie S,
∂ϕ = ∇ϕ &middot; n̂ = − En |S ,
(2.23)
∂n S
esto es, la condici&oacute;n de frontera ∂ϕ
∂n S es equivalente a dar el valor de la componente
del campo el&eacute;ctrico normal sobre S.
64
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
1
Se puede interpretar la funci&oacute;n ψ = |r−r
0 | como el potencial producido en la
posici&oacute;n r por una carga q = 1 ubicada en r0 , cuya densidad corresponde a ρ(r) =
δ(r − r0 ), tal que ψ satisface la ecuaci&oacute;n de Poisson
∇2 ψ = −4πρ.
(2.24)
1
La funci&oacute;n ψ = |r−r
0 | pertenece a una clase de funciones llamadas funciones de
Green, que poseen la forma general
G r, r0 ≡
1
0
+
F
r,
r
,
|r − r0 |
(2.25)
y que satisfacen las siguientes propiedades
i) ∇2 G (r, r0 ) = −4π δ (r − r0 ).
ii) ∇2 F (r, r0 ) = 0
(F satisface la Ec. de Laplace dentro de V ).
iii) G (r, r0 ) = G (r0 , r) (representa la equivalencia f&iacute;sica de intercambiar el punto
de observaci&oacute;n r y la fuente r0 ).
Si sustituimos ψ = G (r, r0 ) en el Teorema de Green, tenemos
I Z
∂ϕ
∂
1
0
0
ϕ (r) =
ρ r0 G r, r0 d3 r0 +
G r, r0
−
ϕ
r
G
r,
r
da0
0
0
4π
∂n
∂n
S
V
(2.26)
Hay que recordar que los t&eacute;rminos en la integral cerrada de superficie deben ser
evaluados sobre toda la superficie S. En general, la superficie total S que encierra
al volumen V puede consistir en dos superficies no conexas, una exterior Sext y una
interior Sint .
Figura 2.3: Volumen V encerrado por superficies Sext y Sint .
2.2. FUNCI&Oacute;N DE GREEN.
65
Existe libertad para escoger la funci&oacute;n F (r, r0 ) en la funci&oacute;n de Green G (r, r0 ).
Esto permite dise&ntilde;ar G (r, r0 ) para adaptarse a los dos tipos de condiciones de frontera
sobre S:
i) Condiciones tipo Dirichlet ϕ|S : requerir GD (r, r0 )|S = 0.
Esto da la soluci&oacute;n
Z
I
∂GD 0
1
ϕ (r) =
ρ r0 GD r, r0 d3 r0 −
ϕ r0
da .
4π S
∂n0
V
(2.27)
En particular, si S es una superficie de un conductor, ϕ (r0 ) |S = ϕ0 = cte. Si
S es conductor conectado a tierra, ϕ (r)S = 0. En este caso, el potencial tiene
una expresi&oacute;n simple
Z
ϕ (r) =
ρ r0 GD r, r0 d3 r0 .
(2.28)
V
Si ρ = 0 en el volumen V , entonces el potencial satisface la ecuaci&oacute;n de Laplace,
∇2 ϕ(r) = 0, en V . Luego, la soluci&oacute;n de la ecuaci&oacute;n de Laplace en V , con
condiciones de frontera tipo Dirichlet en S, tiene la forma
I
∂GD 0
1
ϕ r0
da .
(2.29)
ϕ(r) = −
4π S
∂n0
ii) Condiciones tipo Neumann
total de S.
∂ϕ ∂n S :
requerir
∂GN ∂n0 S
= − 4π
S donde S es el &aacute;rea
Esta es la condici&oacute;n m&aacute;s simple para la derivada normal de G (r, r0 ) sobre S en
el problema de Neumann. Para ver esto, consideremos
∇2 G r, r0
= −4πδ r − r0
(2.30)
0
0
(2.31)
⇒ ∇ &middot; ∇G r, r
= −4πδ r − r .
Luego, aplicando el teorema de la divergencia,
Z
Z
I
I
3 0
∂G 0
2
0
3 0
0
0
∇ G r, r d r =
∇ &middot; (∇G) d r =
∇G &middot; n̂ da =
da .
0
V
V
S
S ∂n
66
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
Z
2
0
Z
3 0
∇ G r, r d r = −4π
δ r − r0 d3 r0 = −4π.
(2.32)
V
V
Luego,
I
S
∂G 0
da = −4π.
∂n0
(2.33)
La relaci&oacute;n no trivial m&aacute;s simple que se puede tomar en la Ec. (2.33) es cuando
el integrando es constante; esto da
∂G = −4π,
(2.34)
S
∂n0 S
que corresponde a la condici&oacute;n escogida para G en el problema de frontera tipo
Neumann.
Esto conduce a la soluci&oacute;n
Z
I
I
∂ϕ 0 1
0
1
0
da .
ϕ (r) =
ρ r0 G r, r0 d3 r0 +
GN r, r0
da
+
ϕ
r
4π S
∂n0
S S
V
(2.35)
I
1
hϕiS ≡
ϕ r0 da0 ,
(2.36)
S S
como el valor promedio de ϕ sobre S.
Un problema t&iacute;pico de Newmann consiste en un volumen V limitado por dos
superficies, una exterior Sext y una interior Sint ; tal que la superficie exterior
Sext en el infinito.
Figura 2.4: Volumen V limitado por superficies Sint y Sext → ∞.
2.2. FUNCI&Oacute;N DE GREEN.
67
En este caso, la superficie total S → ∞, y hϕiS → 0. Entonces,
I
Z
∂ϕ 0
3 0
1
0
0
ϕ (r) =
ρ r G r, r d r +
GN r, r0
da ,
4π Sint
∂n0
V
(2.37)
donde la integral de &aacute;rea se refiere a la superficie interior de V .
En ambos tipos de problemas de frontera, la funci&oacute;n de Green G(r, r0 ) representa
una especie de modulaci&oacute;n de la acci&oacute;n de la fuente ρ(r0 ) en el punto r. La funci&oacute;n
G(r, r0 ) no depende de ρ(r0 ), sino de la geometr&iacute;a de la superficie S solamente; por
lo que se puede ver como una funci&oacute;n de respuesta de la geometr&iacute;a del sistema ante
el campo creado por la fuente.
La funci&oacute;n F (r, r0 ) satisface la ecuaci&oacute;n de Laplace dentro de V , por lo que representa el potencial de un conjunto de cargas fuera de V . Luego, la funci&oacute;n de Green
1
G = 0 sobre S
0
0
G r, r ≡
(2.38)
+ F r, r
tal que ∂G
0
|r − r |
∂n = 0 sobre S → ∞
se puede interpretar f&iacute;sicamente como el potencial de una carga puntual ubicada en r0
combinado con el potencial F (r, r0 ) de una distribuci&oacute;n de cargas fuera de V , demodo
que resulte en un potencial total G igual a 0 sobre S (o derivada normal ∂G
∂n = 0)
cuando S → ∞.
Ejemplo.
1. Encontrar G(r, r0 ) en un volumen limitado por una &uacute;nica superfice S, tal que
S → ∞. Esto incluye a puntos de observaci&oacute;n tales que |r| → ∞; es decir, todo
el espacio.
Tenemos la condici&oacute;n ϕ|S →∞ = 0, tipo Dirichlet. Luego,
Z
ϕ (r) =
ρ r0 G r, r0 d3 r0 .
(2.39)
V
Recordemos que el potencial ϕ(r) de una distribuci&oacute;n de carga ρ(r0 ) en el espacio
libre es
Z
ρ (r0 ) 3 0
d r.
(2.40)
ϕ(r) =
|r − r0 |
68
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
Figura 2.5: Densidad de carga en volumen V con frontera en el infinito.
Comparando estas dos expresiones para ϕ, tenemos
G r, r0 =
1
,
|r − r0 |
(2.41)
que satisface ∇2 G (r, r0 ) = −4πδ (r − r0 ). Luego, la funci&oacute;n G(r, r0 ) tiene la
forma
1
0
G r, r0 =
+
F
r,
r
,
(2.42)
|r − r0 |
con
F r, r0 = 0
(2.43)
y satisface la condici&oacute;n de frontera GD (r, r0 ) = 0 sobre S, cuando |r| → ∞.
2.3.
M&eacute;todo de im&aacute;genes.
El m&eacute;todo de im&aacute;genes permite construir la funci&oacute;n de Green G(r, r0 ) en determinados casos; por ejemplo cuando ρ(r0 ) describe cargas puntuales en presencia de
fronteras conductoras S, donde ϕ|S = cte, &oacute; ϕ|S = 0.
Este m&eacute;todo consiste en inferir, a partir del conocimiento de la geometr&iacute;a del
sistema, una distribuci&oacute;n de carga ρI denominada carga imagen, o carga virtual, externa al volumen V de inter&eacute;s, tal que simule las condiciones de frontera que satisface
el potencial ϕ sobre S. Esta distribuci&oacute;n de carga imagen externa a V satisface la
ecuaci&oacute;n de Laplace ∇2 F = 0 en V ; mientras que la densidad de carga ρ(r0 ) satisface
la ecuaci&oacute;n de Poisson ∇2 ϕ = −4πρ en V , con condiciones de frontera ϕ|S .
2.3. M&Eacute;TODO DE IM&Aacute;GENES.
69
Ejemplos.
1. Consideremos una distribuci&oacute;n de carga ρ ubicada en z &gt; 0 frente a plano conductor infinito en z = 0, conectado a tierra. Calcular el potencial ϕ producido
en el espacio z &gt; 0.
Conductor a tierra significa ϕ|S = 0 sobre la superficie S correspondiente al
plano z = 0, es decir una condici&oacute;n de frontera tipo Dirichlet.
Figura 2.6: M&eacute;todo de im&aacute;genes para una distribuci&oacute;n de carga ρ en z &gt; 0 frente al plano conductor
z = 0.
El volumen V de inter&eacute;s est&aacute; constituido por el subespacio z &gt; 0, encerrado
por la superficie S infinita que incluye al plano z = 0. Usando el teorema de
Green con condici&oacute;n de frontera tipo Dirichlet, el potencial est&aacute; dado por
Z
I
3 0
1
∂GD 0
0
0
ϕ (r) =
ρ r GD r, r d r −
ϕ|S
da
(2.44)
4π S
∂n0
V
donde ϕ|S = 0 y el volumen V es el subespacio z &gt; 0.
La funci&oacute;n GD (r, r0 ) =
1
|r−r0 |
+ F (r, r0 ) para este problema debe satisfacer las
a) GD (r, r0 ) = 0 para r en z = 0, tal que ϕ(r)|z=0 = 0.
70
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
b) GD (r, r0 ) → 0, para |r| → ∞, tal que ϕ(r → ∞) → 0, en V .
c) ∇2 GD (r, r0 ) = −4πδ(r − r0 ) (∇2 F (r, r0 ) = 0), en V .
Probemos con la siguiente forma para GD (r, r0 ),
G r, r0 =
1
1
,
− 0
|r − r |
r − r0I (2.45)
donde r0 = (x0 , y 0 , z 0 ), dentro de V (z &gt; 0); y r0I = (x0 , y 0 , −z 0 ), fuera de V
(z &lt; 0). Note que el vector r0I = (x0 , y 0 , −z 0 ) corresponde a la imagen especular
del vector r0 = (x0 , y 0 , z 0 ) con respecto al plano z = 0.
Luego,
h
i1/2
r − r0 = x − x0 2 + y − y 0 2 + z − z 0 2
h
i1/2
r − r0I = x − x0 2 + y − y 0 2 + z + z 0 2
(2.46)
(2.47)
Vemos que GD (r, r0 ) satisface G(r, r0 )|z=0 = 0 y GD (r, r0 ) → 0, para |r| → ∞.
∇2 GD (r, r0 ) = −4πδ(r − r0 ) + 4πδ r − r0I ,
(2.48)
pero el punto de observaci&oacute;n r est&aacute; en V y r0I est&aacute; fuera de V . Luego, en V
siempre tenemos r0I 6= r, y la segunda funci&oacute;n delta siempre es 0 en V .
Entonces, el potencial para z &gt; 0 es
Z
Z
3 0
0
0
ϕ(r) =
ρ(r )GD r, r d r =
z&gt;0
z&gt;0
Expl&iacute;citamente tenemos,
Z
ϕ (r) =
z&gt;0
Z
z&gt;0
ρ(r0 ) 3 0
r − r0 d r .
I
(2.49)
ρ (r0 ) d3 r0
h
(x − x0 )2 + (y − y 0 )2 + (z − z 0 )2
ρ (r0 ) d3 r0
Z
−
z&gt;0
ρ(r0 ) 3 0
d r −
|r − r0 |
h
(x −
x0 )2
+ (y −
y 0 )2
+ (z +
z 0 )2
i1
2
i1 .
2
(2.50)
2.3. M&Eacute;TODO DE IM&Aacute;GENES.
71
Este potencial puede interpretarse como el potencial resultante de dos contribuciones: el primer t&eacute;rmino corresponde al potencial producido por la densidad
dada ρ en el volumen V (z &gt; 0), y el segundo t&eacute;rmino proviene del potencial
V (z &lt; 0) y correspondiente a la imagen especular de ρ con respecto al plano
z = 0.
En el subespacio z &lt; 0 no hay carga. Luego, por la ley de Gauss, E = 0 y,
por tanto, ϕ es constante alli. Por continuidad con la condici&oacute;n de frontera
ϕ|z=0 = 0, debemos tener ϕ = 0 para z &lt; 0.
2. Calcular el potencial producido para z &gt; 0 por una carga puntual q colocada
en ro = (0, 0, zo ) frente al plano conductor z = 0, conectado a tierra.
Figura 2.7: M&eacute;todo de im&aacute;genes para una carga q ubicada en ro = (0, 0, zo ) frente al plano
conductor z = 0.
El volumen V es el subespacio z &gt; 0. En este caso, ρ(r0 ) = q δ(r0 − ro ) =
q δ(x0 ) δ(y 0 ) δ(z 0 − zo ) y rI = (0, 0, −zo ).
Sustituyendo ρ(r0 ) en la Ec. (2.50), obtenemos
q
q
ϕ (r) = h
i1 − h
i1 .
2 2
2 2
2
2
2
2
x + y + (z − zo )
x + y + (z + zo )
(2.51)
Vemos que el potencial satisface la condici&oacute;n de frontera ϕ(x, y, 0) = 0 sobre
z = 0, y ϕ = 0 para |r| → ∞. Este potencial se puede expresar tambi&eacute;n como
ϕ(r) =
q
q
−
,
|r − r0 | |r − rI |
(2.52)
72
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
donde
h
i1
2 2
2
2
|r − r0 | = x + y + (z − z0 )
,
1
h
i
2
|r − rI | = x2 + y 2 + (z + z0 )2 ,
(2.53)
(2.54)
y se puede interpretar como el potencial resultante de la carga q colocada en
r0 , m&aacute;s el potencial de una carga virtual −q ubicada en rI como la imagen
especular de q con respecto al plano z = 0.
Podemos calcular el campo el&eacute;ctrico E = −∇ϕ para z &gt; 0, tal que
Ez = −
∂ϕ
q (z − z0 )
q (z + z0 )
=h
3 − h
i
i3
∂z
2 2
2 2
2
2
2
2
x + y + (z − z0 )
x + y + (z + z0 )
Ex = −
qx
qx
∂ϕ
=h
3 − h
i
i3
∂x
2
2
x2 + y 2 + (z − z0 )2
x2 + y 2 + (z + z0 )2
Ey = −
qy
∂ϕ
qy
=h
i3 − h
i3 .
∂y
2 2
2 2
2
2
2
2
x + y + (z − z0 )
x + y + (z + z0 )
Figura 2.8: Izquierda: campo el&eacute;ctrico para z ≥ 0. Derecha: densidad de carga inducida sobre el
plano z = 0.
El campo el&eacute;ctrico sobre z = 0 es
Ez |z=0 =
−2 q z0
3
[x2 + y 2 + z0 2 ] 2
,
Ex |z=0 = Ey |z=0 = 0.
(2.55)
2.3. M&Eacute;TODO DE IM&Aacute;GENES.
73
Luego, E|z=0 = Ez |z=0 ẑ. La normal al plano hacia fuera del volumen V es
n̂ = −ẑ; es decir E|z=0 es normal a la superficie, como debe ser sobre un
conductor. El campo el&eacute;ctrico normal sobre el conductor satisface
En = Ez |z=0 = 4π σ|z=0 .
(2.56)
Podemos calcular la densidad de carga superficial inducida sobre el plano z = 0,
q z0
En
= −
.
2
4π
2π (x + y 2 + z0 2 )3/2
σ|z=0 = σ (x, y) =
La carga total inducida sobre el conductor es
Z ∞
Z ∞
Qtotal =
dx
dy σ (x, y) .
−∞
(2.57)
(2.58)
−∞
Esta integral se puede evaluar m&aacute;s f&aacute;cilmente en coordenadas polares (R, φ),
donde R2 = x2 + y 2 , y dx dy = R dR dφ. Entonces,
σ(R, φ) = −
q z0
(2.59)
+ z0 2 )3/2
2π (R2
y
Qtotal = −
=
q z0
2π
Z
+q z0
2π
Z
dφ
0
0
∞
R dR
(R2
+ z0 2 )3/2
− 1 ∞
R2 + z0 2 2 0
= −q ,
(2.60)
Z
x dx
(x2
+
a2 )
3
2
= − x2 + a2
− 1
2
.
(2.61)
Luego, la carga total inducida sobre el plano conductor es igual y opuesta a la
carga q colocada frente al plano. Esta carga proviene de la Tierra, a la cual el
74
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
La carga inducida sobre el plano ejerce una fuerza atractiva sobre la carga q,
equivalente a la fuerza el&eacute;ctrica entre q y una carga imagen qI = −q colocada
en z = −zo ; esto es
q2
F = − 2 ẑ .
(2.62)
4zo
El trabajo que debe realizar un agente externo para traer la carga q desde el
infinito a su posici&oacute;n zo frente al plano requiere una fuerza Fext = −F y un
desplazamiento dl = −dz ẑ. Luego,
Z
zo
Wext =
∞
q2
Fext &middot; dl =
4
Z
zo
∞
z
q2
1
q 2 1 o
=
−
dz
=
−
.
z2
4 z ∞
4zo
(2.63)
Este trabajo es la mitad de la energ&iacute;a potencial el&eacute;ctrica almacenada en un
sistema de dos cargas q y −q separadas por una distancia 2zo .
3. Carga puntual q colocada a una distancia ro del centro de una esfera conductora
de radio a &lt; ro conectada a tierra. Calcular el potencial fuera de la esfera.
Figura 2.9: M&eacute;todo de im&aacute;genes para una carga q frente a una esfera conductora conectada a
tierra.
El volumen V donde se busca el potencial corresponde a todo el espacio exterior
a la esfera conductora, r &gt; a. Puesto que la esfera est&aacute; conectada a tierra, la
condici&oacute;n de frontera sobre ella es ϕ(r = a) = 0.
Supongamos una carga imagen qI ubicada en la posici&oacute;n rI dentro de la esfera, es decir, fuera de V . Por simetr&iacute;a, rI debe estar en la direcci&oacute;n de ro . El
problema consiste en encontrar |rI | y qI tal que ϕ(r = a) = 0. Definimos los
2.3. M&Eacute;TODO DE IM&Aacute;GENES.
75
siguientes vectores normales a la superficie S de la esfera,
n̂o = vector unitario en direcci&oacute;n ro .
(2.64)
n̂ = vector unitario en direcci&oacute;n r.
(2.65)
El potencial total en un punto r fuera de la esfera es el resultado de las contribuciones de los potenciales de la carga q y de la carga virtual qI , esto es
ϕ(r) =
=
q
qI
+
|r − ro |
|r − rI |
q
qI
+
.
|rn̂ − ro n̂o | |rn̂ − rI n̂o |
(2.66)
Evaluamos en r = a,
ϕ (r = a) =
q
qI
+
= 0.
|an̂ − ro n̂o | |an̂ − rI n̂o |
(2.67)
La Ec. (2.67) debe satisfacerse para todos los posibles &aacute;ngulos θ entre n̂ y n̂o ,
en particular para θ = 0 cuando n̂ es paralelo a n̂o . En ese caso n̂ = n̂o , y de
la Ec. (2.67) obtenemos
q
|a − ro |
q
⇒
(ro − a)
+
+
qI
=0
|a − rI |
qI
= 0,
(a − rI )
(2.68)
puesto que ro &gt; a, y a &gt; rI . Luego, podemos escribir
q
q
+ I r = 0.
I
a
a 1−
ro 1 −
a
ro
(2.69)
La relaci&oacute;n (2.69) requiere satisfacer simult&aacute;neamente las siguientes condiciones
q
ro
a
ro
= −
=
qI
,
a
rI
,
a
(2.70)
(2.71)
76
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
lo que conduce a
qI
= −
rI
=
a
q
ro
a2
ro
Luego,
ϕ(r) =
(2.72)
⇒
rI = rI n̂o =
q
−
|r − ro |
a2
ro .
ro2
qa
.
a2 ro r − 2 ro r0
(2.73)
(2.74)
El potencial (2.74) se puede expresar en coordenadas esf&eacute;ricas como
ϕ(r, θ) =
q
− 2rro cos θ + ro2 ]1/2
q (a/ro )
−&quot;
2
4 #1/2 ,
a
a
r2 − 2
rro cos θ +
ro2
ro
ro
[r2
(2.75)
donde θ es el &aacute;ngulo entre r y ro . Se puede verificar que ϕ(a, θ) = 0 en la
Ec. (2.75).
El potencial (2.74) corresponde a la soluci&oacute;n del problema de Dirichlet
Z
ϕ (r) =
ρ r0 GD r, r0 d3 r0
(2.76)
V
en el volumen r &gt; a, con condici&oacute;n de frontera ϕ(r = a) = 0. La densidad de
carga corresponde a la carga puntual ubicada en ro ,
ρ r0 = q δ r0 − ro .
(2.77)
Comparando con la soluci&oacute;n (2.74), vemos que la funci&oacute;n de Green para este
problema es
a
1
.
− (2.78)
G r, r0 =
0
|r − r |
a2 0 0
r r − 0 2 r r
2.3. M&Eacute;TODO DE IM&Aacute;GENES.
77
La fuerza entre la carga q y la esfera corresponde a la fuerza atractiva entre q
y la carga virtual qI , separadas por una distancia
|r − rI | = ro −
a2
.
ro
(2.79)
Luego, la magnitud de la fuerza es
F =
aro q 2
q qI
=
.
(ro2 − a2 )2
|r − rI |2
(2.80)
La densidad de carga superficial inducida sobre la superficie S de la esfera
conductora puede ser calculada mediante la relaci&oacute;n
1 ∂ϕ En |S = 4πσ ⇒ σ = −
.
(2.81)
4π ∂r r=a
A partir de la Ec. (2.75), calculamos
!
2
a
a
q
r−
ro cos θ
ro
ro
∂ϕ
q(r − ro cos θ)
+&quot;
=−
2
4 #3/2 ,
∂r
[r2 − 2rro cos θ + ro2 ]3/2
a
a
r2 − 2
rro cos θ +
ro2
ro
ro
r a
a
o
q
− cos θ
q
1 − cos θ
∂ϕ ro
a
ro
=
−
+
.
3/2
2
2 3/2
∂r r=a
a
a
a
a
ro2 1 − 2 cos θ + 2
ro2 1 − 2 cos θ + 2
ro
ro
ro
ro
Despu&eacute;s de algunas simplificaciones, obtenemos
1 ∂ϕ q
a
=−
σ=−
2
4π ∂r r=a
4πa
ro a2
1− 2
ro
a
a2
1 − 2 cos θ + 2
ro
ro
3/2 .
(2.82)
Se puede verificar que la integral de &aacute;rea de σ sobre la superficie de la esfera
a
da el valor de la carga imagen, qI = − q.
ro
78
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
4. Carga puntual q colocada a una distancia ro del centro de una esfera conductora
aislada, de radio a &lt; ro y con carga total Q. Calcular el potencial fuera de la
esfera.
Figura 2.10: Principio de superposici&oacute;n para el ejemplo 4.
Este problema se resuelve usando el principio de superposici&oacute;n. El potencial en
un punto r fuera de la esfera se puede considerar como la composici&oacute;n de dos
procesos:
a) el potencial producido por una carga q frente a una esfera conductora
conectada a tierra, con carga qI en equilibrio electrost&aacute;tico.
b) se corta la conexi&oacute;n a tierra y se agrega una carga Q − qI , la cual se
distribuye uniformente sobre la esfera debido al equilibrio electrost&aacute;tico.
Por el teorema de Gauss, para r &gt; a esto es equivalente al potencial
producido por una carga Q − qI colocada en el centro de la esfera.
Luego, el potencial fuera de la esfera es
ϕ (r) =
q
qa
+
−
2
|r − ro |
ro r − ar2 ro Q+
r
qa
ro
.
(2.83)
o
2.4.
Funciones ortogonales.
En muchas situaciones, las soluciones de problemas de potencial que involucran la
ecuaci&oacute;n de Laplace se pueden expresar mediante expansiones en series de funciones
2.4. FUNCIONES ORTOGONALES.
79
depende de la geometr&iacute;a y de las simetr&iacute;as presentes en el sistema.
Se dice que una funci&oacute;n real o compleja f (ξ), para ξ ∈ (a, b), es de cuadrado
integrable en el intervalo (a, b), si
Z b
Z b
|f (ξ)|2 dξ
es finito.
(2.84)
f ∗ (ξ)f (ξ) dξ =
a
a
Consideremos un conjunto de funciones reales o complejas {un (ξ)}, n = 1, 2, . . . ,
Z b
1, si m = n
∗
(2.85)
un (ξ)um (ξ) dξ = δnm =
0, si m 6= n.
a
El concepto de ortogonalidad de funciones es an&aacute;logo al de ortogonalidad de vectores:
a &middot; b = 0 ⇒ a ⊥ b.
Cualquier funci&oacute;n f (ξ) de cuadrado integrable en el intervalo (a, b) puede representarse mediante una expansi&oacute;n en serie de las funciones ortonormales {un (ξ)},
∞
X
f (ξ) =
an un (ξ),
(2.86)
n=1
donde los coeficientes an est&aacute;n un&iacute;vocamente determinados. Para ver esto, multipliquemos la Ec. (2.86) por u∗m (ξ) e integremos en el intervalo (a, b),
!
Z b
Z b
∞
X
u∗m (ξ) f (ξ) dξ =
u∗m (ξ)
an un (ξ) dξ
a
a
n=1
∞
X
=
Z
an
n=1
∞
X
=
b
u∗m (ξ) un (ξ)
dξ
a
an δmn = am .
(2.87)
n=1
Luego,
Z
an =
a
b
u∗n (ξ) f (ξ) dξ .
(2.88)
80
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
Se dice que las funciones u(ξ) forman una base completa en el intervalo (a, b) para
Sustituyendo los coeficientes an de la Ec. (2.88) en la Ec. (2.86), obtenemos
X Z b
0
∗
0
0
un ξ f ξ dξ un (ξ)
f (ξ) =
a
n
Z
!
b
=
f ξ
X
0
a
0
u∗n ξ un (ξ) dξ 0 ,
(2.89)
n
lo cual implica que
X
u∗n ξ 0 un (ξ) = δ ξ − ξ 0 .
(2.90)
n
La Ec. (2.90) se denomina la relaci&oacute;n de clausura o completitud del conjunto {un (ξ)}.
Si una funci&oacute;n de cuadrado integrable f (ξ, η) depende de dos variables, ξ ∈ (a, b)
y η ∈ (c, d), entonces esa funci&oacute;n se puede representar mediante una doble expansi&oacute;n
en serie de conjuntos de funciones ortogonales {un (ξ)}, definidas en (a, b), y {vn (η)},
definidas en (c, d), en la forma
XX
f (ξ, η) =
anm un (ξ) v(η),
(2.91)
n
Z
donde
anm =
m
b
Z
dξ
a
d
∗
dη u∗n (ξ) vm
(η) f (ξ, η).
(2.92)
c
Ejemplos.
1. Las series de Fourier constituyen uno de los ejemplos m&aacute;s conocidos de expansi&oacute;n de funciones f (x) en un intervalo x ∈ [−c, c] (&oacute; x ∈ [0, 2c]), en t&eacute;rminos
del conjunto de funciones ortonormales
nπx 1
nπx 1
{un (x)}n=1,2,... = √ sin
, √ cos
.
(2.93)
c
c
c
c
Se expresa
f (x) =
∞
∞
n=1
n=1
nπx X
nπx b0 X
+
bn cos
+
an sin
2
c
c
(2.94)
2.5. ECUACI&Oacute;N DE LAPLACE EN COORDENADAS CARTESIANAS.
1
an =
c
bn =
1
c
Z
c
f (x) sin
−c
Z c
f (x) cos
−c
nπx c
nπx c
81
dx
(2.95)
dx
(2.96)
2. Integrales de Fourier. Si el intervalo (a, b) es (−∞, ∞), las funciones ortogonales
un (ξ) son no contables n 6= 1, 2, . . . . Este es el caso de las funciones u(x) = eikx ,
x ∈ (−∞, ∞), que satisfacen la condici&oacute;n de ortonormalidad,
Z ∞
1
0
ei(k−k )x dx = δ k − k 0 ,
(2.97)
2π −∞
y que permiten la expansi&oacute;n de una funci&oacute;n f (x) de cuadrado integrable en
x ∈ (−∞, ∞),
Z ∞
1
f (x) = √
a(k) eikx dk,
(2.98)
2π −∞
Z ∞
1
f (x) e−ikx dx.
(2.99)
a(k) = √
2π −∞
La condici&oacute;n de clausura es
Z ∞
1
0
eik(x−x ) dk = δ x − x0 .
2π −∞
2.5.
(2.100)
Ecuaci&oacute;n de Laplace en coordenadas cartesianas.
La ecuaci&oacute;n de Laplace, ∇2 ϕ(r) = 0, en coordenadas cartesianas es
∂2ϕ ∂2ϕ ∂2ϕ
+
+ 2 = 0.
∂x2
∂y 2
∂z
(2.101)
La ecuaci&oacute;n de Laplace es una ecuaci&oacute;n diferencial homog&eacute;nea en derivadas parciales. Este tipo de ecuaciones se puede resolver en muchos casos mediante el m&eacute;todo
de separaci&oacute;n de variables. Este m&eacute;todo consiste en transformar una ecuaci&oacute;n diferencial en derivadas parciales en un conjunto de ecuaciones diferenciales ordinarias.
82
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
Como ejemplo de este m&eacute;todo, buscamos una soluci&oacute;n de la Ec. (2.101) en la forma
de un producto de funciones con variables independientes,
ϕ (r) = ϕ (x, y, z) = X(x)Y (y)Z(z).
(2.102)
Sustituci&oacute;n en la Ec. (2.101) da
Y ZX 00 + XZY 00 + XY Z 00 = 0.
(2.103)
Dividiendo por XY Z, obtenemos
1 d2 X
1 d2 Y
1 d2 Z
+
+
= 0.
X dx2
Y dy 2
Z dz 2
(2.104)
La Ec. (2.104) contiene la suma de tres t&eacute;rminos que son funciones independientes,
y se debe satisfacer ∀ x, y, z. Luego, cada t&eacute;rmino por separado debe ser igual a una
constante diferente, tal que la suma sea cero,
1 d2 X
= −α2
X dx2
1 d2 Y
= −β 2
Y dy 2
1 d2 Z
= γ2
Z dz 2
⇒
X 00 + α2 X = 0
(2.105)
⇒
Y 00 + β 2 Y = 0
(2.106)
⇒
Z 00 − γ 2 Z = 0
(2.107)
donde
γ 2 = α2 + β 2 .
(2.108)
Escogemos las constantes α y β reales, tales que α2 &gt; 0, β 2 &gt; 0.
Las ecuaciones para X y Y son an&aacute;logas a la ecuaci&oacute;n de un oscilador arm&oacute;nico.
Sus soluciones tienen la forma
X(x) = A cos (αx) &plusmn; B sin (αx) = A0 eiαx &plusmn; B 0 e−iαx
0 iβy
Y (y) = A cos (βx) &plusmn; B sin (βx) = A e
0 −iβy
&plusmn;B e
,
(2.109)
(2.110)
mientras que la ecuaci&oacute;n para Z tiene soluci&oacute;n de la forma
Z(z) = A sinh (γz) &plusmn; B cosh (γz) = A0 eγz &plusmn; B 0 e−γz .
(2.111)
2.5. ECUACI&Oacute;N DE LAPLACE EN COORDENADAS CARTESIANAS.
83
La soluci&oacute;n ϕ = XY Z es una soluci&oacute;n particular de la ecuaci&oacute;n de Laplace. Los
coeficientes y la forma espec&iacute;fica de la soluci&oacute;n particular para un problema dado se
determinan mediante las condiciones de frontera del sistema. La soluci&oacute;n general se
encuentra por superposici&oacute;n de todas las soluciones particulares que satisfacen las
condiciones de frontera.
Ejemplos.
1. Encontrar el potencial dentro de una caja rectangular de lados a, b y c, cuyas
caras est&aacute;n todas conectadas a tierra, excepto la cara superior z = c, que est&aacute;
sujeta a un potencial V (x, y).
Figura 2.11: Caja rectangular con potencial ϕ(x, y, c) = V (x, y) y demas lados con potencial cero.
Puesto que no hay cargas dentro de la caja, se cumple la ecuaci&oacute;n de Laplace en
la regi&oacute;n donde se busca el potencial escalar. Se trata de encontrar la soluci&oacute;n
en la forma ϕ = XY Z. Para determinar las funciones X, Y y Z, examinamos
Condiciones de frontera para X(x):
ϕ = 0 en x = 0 ⇒ X(0) = 0. Sugiere la forma: X ∼ sin(αx). (2.112)
ϕ = 0 en x = a ⇒ X(a) = 0. Luego, X ∼ sin(αa) = 0.
(2.113)
84
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
Entonces, debemos tener
⇒
αa = nπ
αn =
nπ
,
a
n = 0, 1, 2, . . .
(2.114)
La forma de X que satisface las condiciones de frontera en x = 0 y x = a es
nπ X(x) = sin
x .
(2.115)
a
Similarmente, evaluando las condiciones de frontera para Y , tenemos
ϕ = 0 en y = 0 ⇒ Y (0) = 0. → Y ∼ sin(βy).
(2.116)
ϕ = 0 en y = b ⇒ Y (b) = 0. → Y ∼ sin(βb) = 0.
(2.117)
βm =
mπ
,
b
m = 0, 1, 2, . . .
mπ ⇒ Y (y) = sin
y .
b
Condici&oacute;n de frontera en z = 0,
ϕ = 0 en z = 0 ⇒ Z(0) = 0. Sugiere la forma: Z ∼ sinh(γz).
(2.118)
(2.119)
(2.120)
Esto conduce a
r
γ 2 = α2 + β 2
⇒
γnm = π
n2 m2
+ 2
a2
b
Z(z) = sinh (γnm z) .
Entonces, la soluci&oacute;n parcial para el potencial tiene la forma
mπ nπ ϕnm = sin
x sin
y sinh (γnm z) .
a
b
(2.121)
(2.122)
(2.123)
La soluci&oacute;n general se obtiene como la combinaci&oacute;n lineal de todas las soluciones
parciales; es decir, sumando sobre todos los &iacute;ndices n y m,
ϕ(x, y, z) =
∞ X
∞
X
n=1 m=1
anm sinh (γnm z) sin
nπ mπ x sin
y ,
a
b
(2.124)
2.5. ECUACI&Oacute;N DE LAPLACE EN COORDENADAS CARTESIANAS.
85
donde anm son coeficientes que se pueden obtener evaluando la condici&oacute;n de
frontera faltante en z = c,
∞ X
∞
X
nπ mπ x sin
y .
a
b
n=1 m=1
(2.125)
Los factores anm sinh (γnm c) pueden interpretarse como coeficientes de la expansi&oacute;n de V (x, y) en una doble serie de Fourier en x ∈ (0, a) y y ∈ (0, b).
Luego,
Z
Z b
nπ mπ 2 2 a
anm sinh (γnm c) =
dx
dy V (x, y) sin
x sin
y
(2.126)
a b 0
a
b
0
Z a Z b
nπ mπ 4
anm =
dx
dy V (x, y) sin
x sin
y . (2.127)
ab sinh(γnm c) 0
a
b
0
ϕ(x, y, c) = V (x, y) =
anm sinh (γnm c) sin
Luego, la soluci&oacute;n general ϕ(x, y, z), dada en la Ec. (2.124), est&aacute; determinada.
Note que esta soluci&oacute;n es equivalente a la expansion en series de Fourier de la
integral de superficie en la soluci&oacute;n de la ecuaci&oacute;n de Laplace, Ec. (2.29), con
condiciones tipo Dirichlet en la caja rectangular.
2. Ecuaci&oacute;n de Laplace en dos dimensiones.
En ciertos problemas, el potencial escalar el&eacute;ctrico no depende de alguna coordenada espacial. En esos casos, la ecuaci&oacute;n de Laplace en dos dimensiones, en
∂2ϕ ∂2ϕ
+
= 0.
∂x2
∂y 2
(2.128)
El potencial debe tener la forma ϕ(x, y) = X(x)Y (y), independiente de z.
Sustituyendo en la ecuaci&oacute;n de Laplace bidimensional y dividiendo por XY ,
obtenemos
1 d2 X
1 d2 Y
+
= 0.
(2.129)
X dx2
Y dy 2
X 00 + α2 X = 0 → X = A sin(αx) &plusmn; B cos(αx)
00
2
αy
Y − α Y = 0 → Y = Ae
&plusmn; Be
−αy
.
(2.130)
(2.131)
86
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
Como ejemplo, calculemos el potencial dentro de un canal rectangular de ancho
a en la direcci&oacute;n x, que se extiende infinitamente en la direcci&oacute;n z y en la
direcci&oacute;n y. El potencial es cero en las paredes laterales y el piso inferior en
y = 0 est&aacute; sujeto a un potencial constante V .
Figura 2.12: Problema de potencial en dos dimensiones en coordenadas catersianas.
Las condiciones de frontera para X(x) son
ϕ = 0 en x = 0 ⇒ X(0) = 0 → X ∼ sin(αx).
(2.132)
ϕ = 0 en x = a ⇒ X(a) = 0 → X ∼ sin(αa) = 0.
(2.133)
⇒
αn =
nπ
,
a
n = 0, 1, 2, . . .
(2.134)
La condici&oacute;n de frontera para Y (y) en y = ∞ es
Y (∞) = 0
→
Y ∼ e−αy .
(2.135)
nπ x .
a
(2.136)
Luego, tenemos la soluci&oacute;n parcial
ϕn = e−αn y sin
La soluci&oacute;n general es
ϕ(x, y) =
∞
X
n=1
an e−αn y sin
nπ x .
a
(2.137)
2.6. ECUACI&Oacute;N DE LAPLACE EN COORDENADAS POLARES.
87
Los coeficientes an se obtienen evaluando la condici&oacute;n de frontera en y = 0,
∞
nπ X
x ,
(2.138)
ϕ(x, 0) = V =
an sin
a
n=1
lo que representa la expansi&oacute;n en serie de Fourier de la funci&oacute;n constante V en
el intervalo x ∈ (0, a). Luego,
Z
nπ 2 a
an =
V sin
x dx
a 0
a
nπ 0
2V a cos
x =
a nπ
a
a
2V
=
[1 − cos(nπ)]
nπ
(
0,
n par
=
(2.139)
4V
, n impar.
nπ
Entonces, la soluci&oacute;n general se puede expresar como
nπ 4V X 1 − nπ y
e a sin
x .
(2.140)
ϕ(x, y) =
π n impar n
a
2.6.
Ecuaci&oacute;n de Laplace en coordenadas polares.
La ecuaci&oacute;n de Laplace, ∇2 ϕ = 0, para ϕ(r, φ) en coordenadas polares tiene la
forma
1 ∂
∂ϕ
1 ∂2ϕ
r
+ 2 2 = 0.
(2.141)
r ∂r
∂r
r ∂φ
Buscamos una soluci&oacute;n de la Ec. (2.141) por el m&eacute;todo de separaci&oacute;n de variables,
tal que
ϕ(r, φ) = R(r)Φ(φ).
(2.142)
La funci&oacute;n Φ(φ) debe ser peri&oacute;dica para φ ∈ [0, 2π] con periodo 2π; es decir, Φ(0) =
Φ(2π). Sustituci&oacute;n de (2.142) en la Ec. (2.141) da
Φ d
dR
R d2 Φ
r
+ 2 2 = 0.
(2.143)
r dr
dr
r dφ
88
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
r2
y obtenemos
RΦ
Φ00
r d
(rR0 ) +
= 0.
R dr
Φ
Cada t&eacute;rmino por separado en la Ec. (2.144) debe ser constante; es decir
Multiplicamos la Ec. (2.143) por
(2.144)
r d
rR0 = n2
(2.145)
R dr
Φ00
= −n2 .
(2.146)
Φ
Si n 6= 0, buscamos una soluci&oacute;n de la ecuaci&oacute;n para R en la forma R = rα , lo
cual conduce a α = &plusmn;n. Luego, R = rn y R = r−n son soluciones. Por otro lado,
la ecuaci&oacute;n para Φ corresponde a un oscilador arm&oacute;nico. Luego, las soluciones para
n 6= 0 se pueden expresar como
R(r) = arn + br−n
(2.147)
Φ(φ) = A cos(nφ) + B sin(nφ).
(2.148)
La condici&oacute;n de periodicidad para Φ debe cumplirse ∀ A, B. En particular, debemos
tener sin(n2π) = 0. Esta condici&oacute;n implica que n 6= 0 debe ser un n&uacute;mero entero.
Si n = 0, la ecuaci&oacute;n para R tiene la forma
rR0 = cte,
(2.149)
R = c1 ln r + c2 ,
(2.150)
y su soluci&oacute;n es
donde c1 , c2 son constantes, mientras que la ecuaci&oacute;n para Φ se convierte en
Φ00 = 0,
(2.151)
Φ = A0 + B0 φ.
(2.152)
cuya soluci&oacute;n es
Para que Φ sea peri&oacute;dica en φ, debemos tener B0 = 0. Juntando los resultados para
n 6= 0 y n = 0, podemos expresar la soluci&oacute;n general de la ecuaci&oacute;n de Laplace en
ϕ(r, φ) = a0 + b0 ln r +
∞
X
n=1
an rn + bn r−n [An cos(nφ) + Bn sin(nφ)] .
(2.153)
2.6. ECUACI&Oacute;N DE LAPLACE EN COORDENADAS POLARES.
89
Si el origen r = 0 se incluye en el volumen donde no hay carga, todos los coeficientes
bn son iguales a cero, y solamente las potencias positivas de r aparecen en la soluci&oacute;n.
Si se excluye el origen, los coeficientes bn pueden ser diferentes de cero. En particular,
el t&eacute;rmino ln r representa el potencial de una l&iacute;nea de carga ubicada en r = 0.
Ejemplo.
1. Encontrar el potencial dentro de un tubo infinitamente largo, de radio a, separado en dos mitades longitudinales mantenidas a potenciales constantes V y
−V , respectivamente, y separadas por una brecha muy estrecha.
Figura 2.13: Problema de potencial en coordenadas polares.
Puesto que el origen se incluye en la regi&oacute;n r &lt; a, debemos tener bn = 0, ∀n.
Medimos el &aacute;ngulo φ como se indica en la figura. Las condiciones de frontera
para el potencial ϕ son
V, φ ∈ (0, π)
ϕ(a, φ) = R(a)Φ(φ) =
(2.154)
−V, φ ∈ (π, 2π).
Note que Φ(φ) = −Φ(−φ). Luego, Φ debe ser una funci&oacute;n impar, es decir
An = 0. La soluci&oacute;n general queda
ϕ(r, φ) = a0 +
∞
X
Cn rn sin(nφ).
(2.155)
Cn an sin(nφ),
(2.156)
n=1
En r = a,
ϕ(a, φ) = a0 +
∞
X
n=1
90
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
lo que equivale a una serie de Fourier para la funci&oacute;n ϕ(a, φ), y cuyos coeficientes
se determinan como
Z
Z
Z
1 2π
V π
V 2π
a0 =
ϕ(a, φ) dφ =
dφ −
dφ = 0.
(2.157)
π 0
π 0
π π
n
Cn a
Z
1 2π
ϕ(a, φ) sin (nφ) dφ
π 0
Z
Z
1 π
1 2π
V sin(nφ)dφ −
V sin(nφ)dφ
π 0
π π
V
V
cos(nφ)|0π −
cos(nφ)|π2π
πn
πn
V
[1 − cos(nπ) − cos(nπ) + cos(2nπ)]
πn
2V
[1 − cos(nπ)]
πn
(
0, n par
4V
, n impar
πn
=
=
=
=
=
=
(2.158)
Luego,
ϕ(r, φ) =
4V X 1 r 2n−1
sin[(2n − 1)φ].
π
2n − 1 a
(2.159)
n=1
2.7.
Ecuaci&oacute;n de Laplace en coordenadas esf&eacute;ricas.
La ecuaci&oacute;n de Laplace, ∇2 ϕ(r) = 0, en coordenadas esf&eacute;ricas tiene la forma
1 ∂2
1
∂
∂ϕ
1
∂2ϕ
(rϕ)
+
sin
θ
+
= 0.
(2.160)
r ∂r2
r2 sin θ ∂θ
∂θ
r2 sin2 θ ∂φ2
Buscamos soluci&oacute;n ϕ(r, θ, φ) por separaci&oacute;n de variables:
ϕ(r, θ, φ) =
U (r)
Y (θ, φ),
r
(2.161)
2.7. ECUACI&Oacute;N DE LAPLACE EN COORDENADAS ESF&Eacute;RICAS.
91
donde
Y (θ, φ) = P (θ) Q(φ).
(2.162)
Sustituci&oacute;n da
Y d2 U
U
∂
+ 3
2
r dr
r sin θ ∂θ
Multiplicamos por
∂Y
U
∂2Y
sin θ
+ 3 2
= 0.
∂θ
r sin θ ∂φ2
(2.163)
∂Y
1 ∂2Y
sin θ
+
=0
∂θ
sin2 θ ∂φ2
(2.164)
r3
,
UY
00
1
r
+
U
Y
2U
1 ∂
sin θ ∂θ
El primer t&eacute;rmino de la Ec. (2.164) es funci&oacute;n s&oacute;lo de r, y el segundo t&eacute;rmino
corresponde a una funci&oacute;n de θ y φ. Puesto que la Ec. (2.164) debe ser v&aacute;lida para
todos los valores de r, θ y φ, cada t&eacute;rmino por separado debe ser igual a una constante.
Luego, podemos expresar el primer t&eacute;rmino de la Ec. (2.164) como
r2
U 00
= cte ≡ l (l + 1) ,
U
l (l + 1)
U 00 −
U = 0,
r2
(2.165)
donde l es una constante. Buscamos una soluci&oacute;n de la forma U = rn ; sustituyendo
92
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
en la Ec. (2.169) tenemos,
− l (l + 1) =0
n (n − 1) r(n−2)
r(n−2)
n2 − n − l (l + 1) = 0
l+1
⇒n=
.
−l
(2.166)
Luego,
U (r) = Ar(l+1) + Br−l .
(2.167)
Por otro lado, el segundo t&eacute;rmino de la Ec. (2.164) conduce a la siguiente ecuaci&oacute;n
para la funci&oacute;n Y (θ, φ) de las variables angulares,
1 ∂
sin θ ∂θ
∂Y
1 ∂2Y
sin θ
+ l (l + 1) Y +
= 0.
∂θ
sin2 θ ∂φ2
Sustituyendo Y (θ, φ) = P (θ) Q(φ) y multiplicando por
sin θ d
P dθ
(2.168)
sin2 θ
, obtenemos
PQ
dP
1 d2 Q
sin θ
+ l (l + 1) sin2 θ +
= 0.
dθ
Q dφ2
(2.169)
Los primeros dos t&eacute;rminos en la Ec. (2.169) representan una funci&oacute;n que depende
solamente de θ, mientras que el tercer t&eacute;rmino corresponde a una funci&oacute;n que depende
s&oacute;lo de φ. Para satisfacer la Ec. (2.169), ambas funciones deben ser constantes por
separado y con signo opuesto. Entonces podemos escribir el tercer t&eacute;rmino como
Q00
Q
= −m2
→
Q00 + m2 Q = 0,
(2.170)
donde m es una constante real. La Ec. (2.170) posee dos soluciones independientes,
Q(φ) = e&plusmn;i mφ . La soluci&oacute;n general de esta ecuaci&oacute;n ser&aacute; la combinaci&oacute;n lineal de
estas soluciones, la cual se puede expresar como
Q(φ) = A cos (mφ) + B sin (mφ) ,
donde A y B son coeficientes.
(2.171)
2.7. ECUACI&Oacute;N DE LAPLACE EN COORDENADAS ESF&Eacute;RICAS.
La ecuaci&oacute;n resultante para θ es
sin θ d
dP
sin θ
+ l(l + 1) sin2 θ − m2 = 0
P dθ
dθ
dP
m2
1 d
sin θ
+ l (l + 1) −
P = 0.
⇒
sin θ dθ
dθ
sin2 θ
93
(2.172)
La Ec. (2.172) es la ecuaci&oacute;n satisfecha por la funci&oacute;n P (θ). Haciendo el cambio
de variable x = cos θ, tal que
dx
= − sin θ,
dθ
dP
dP dx
dP
=
= − sin θ
dθ
dx dθ
dx
⇒
1 d
d
=− ,
sin θ dθ
dx
la Ec. (2.172) adquiere la forma
d
m2
2 dP
1−x
+ l (l + 1) −
P = 0.
dx
dx
1 − x2
(2.173)
(2.174)
La Ec. (2.174) tiene la forma de la ecuaci&oacute;n generalizada de Legendre.
Consideremos el caso particular m = 0; es decir, Q = cte y por lo tanto, ϕ es
independiente del &aacute;ngulo φ. Entonces, la Ec. (2.174) queda
dP
d
1 − x2
+ l (l + 1) P = 0.
(2.175)
dx
dx
La Ec. (2.175) se conoce como la ecuaci&oacute;n de Legendre. Esta ecuaci&oacute;n tiene soluci&oacute;n
en serie convergente en el intervalo x ∈ [−1, 1], si el valor de l es entero. Las soluciones
para valores enteros de l son los polinomios de Legendre Pl (x), definidos por la f&oacute;rmula
de Rodrigues:
l
1 dl
2
Pl (x) = l
x
−
1
,
(2.176)
2 l! dxl
donde l = 0, 1, 2, . . . . La funci&oacute;n P (l (x) es un polinomio de grado l. Los primeros
polinomios de Legendre son
P0 (x)
P1 (x)
P2 (x)
P3 (x)
P4 (x)
= 1
= x
= 21 (3x2 − 1)
= 21 (5x3 − 3x)
= 81 (35x4 − 30x2 + 3).
(2.177)
94
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
Los polinomios Pl (x) son un conjunto de funciones de cuadrado integrable y ortogonales en el intervalo x ∈ [−1, 1]; esto es
Z
1
Pl0 (x)Pl (x)dx =
−1
2
δl l0 .
(2l + 1)
(2.178)
Note que los polinomios Pl son ortogonales, pero no ortonormales.
Los polinomios de Legendre constituyen una base ortogonal para funciones f (x)
f (x) =
∞
X
Al Pl (x)
(2.179)
l=0
Al =
(2l + 1)
2
Z
1
f (x)Pl (x)dx.
(2.180)
−1
En t&eacute;rminos de la variable angular θ ∈ [0, π], tal que x = cos θ, tenemos
∞
X
f (θ) =
Al Pl (cos θ)
(2.181)
l=0
Al =
(2l + 1)
2
Z
π
f (θ)Pl (cos θ) sin θ dθ.
0
Algunas propiedades de los polinomios de Legendre son
i) Pl (x) es par, si l es par.
Pl (x) es impar, si l es impar.
ii) Pl (1) = 1, ∀ l. Pl (−1) = (−1)l .

 0, si l es impar.
iii) Pl (0) =
(l − 1)!!
 (−1)l/2
, si l es par.
l!!
donde
(l − 1) !! = 1 &times; 3 &times; 5 &times; 7 &middot; &middot; &middot; &times; (l − 1) .
l !! = 2 &times; 4 &times; 6 &times; &middot; &middot; &middot; &times; l.
(2.182)
2.8. PROBLEMAS DE FRONTERA CON SIMETR&Iacute;A AZIMUTAL.
iv)
R1
0

 0, si l es par.
(l−1) (l − 2)!!
Pl (x) dx =
,
 (−1) 2
(l + 1)!!
95
si l es impar.
Luego, una soluci&oacute;n parcial de la ecuaci&oacute;n de Laplace en coordenadas esf&eacute;ricas
con simetr&iacute;a azimutal (independiente del &aacute;ngulo φ, o con m = 0) es
ϕl =
U (r)
Pl (cos θ).
r
(2.183)
La soluci&oacute;n general de la ecuaci&oacute;n de Laplace en coordenadas esf&eacute;ricas con simetr&iacute;a
azimutal corresponde a la superposici&oacute;n de soluciones parciales y tiene la forma
ϕ(r, θ) =
∞ h
X
i
Al rl + Bl r−(l+1) Pl (cos θ).
(2.184)
l=0
Los coeficientes Al y Bl se determinan mediante las condiciones de frontera del problema.
2.8.
Problemas de frontera con simetr&iacute;a azimutal.
A continuaci&oacute;n, presentamos algunas aplicaciones de la soluci&oacute;n de la ecuaci&oacute;n de
Laplace en problemas de frontera con simetr&iacute;a azimutal, Ec. (2.184).
1. Encontrar la expresi&oacute;n del potencial producido dentro y fuera de una esfera no
conductora de radio a, que posee un potencial V (θ) sobre su superficie.
Figura 2.15: Esfera con potencial V (θ) sobre su superficie.
96
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
Para r &lt; a, dentro de la esfera, no hay cargas el&eacute;ctricas. Luego, el potencial
ϕ debe ser no singular (finito) para r → 0, lo que implica que Bl = 0, ∀l. Es
decir, la soluci&oacute;n interna debe poseer la forma
ϕin (r, θ) =
∞
X
Al rl Pl (cos θ) ,
r &lt; a.
(2.185)
l=0
Para r &gt; a, fuera de la esfera, debemos tener ϕ → 0 para r → ∞. Esto implica
que Al = 0 para r &gt; a. Por lo tanto, la soluci&oacute;n externa debe tener la forma
ϕex (r, θ) =
∞
X
Bl r−(l+1) Pl (cos θ) ,
r &gt; a.
(2.186)
l=0
Las soluciones interna y externa deben coincidir en r = a:
∞
X
l=0
l
Al a Pl (cos θ) =
∞
X
Bl a−(l+1) Pl (cos θ) = V (θ) ,
(2.187)
l=0
lo que implica
Al al = Bl a−(l+1)
⇒ Bl = Al a2l+1 .
(2.188)
En r = a, la soluci&oacute;n interna da
ϕin (a, φ) = V (θ) =
∞
X
Al al Pl (cos θ) .
(2.189)
l=0
La Ec. (2.189) representa la expansi&oacute;n de la funci&oacute;n V (θ) en una serie de polinomios de Legendre para θ ∈ [0, π]. Luego,
Z
(2l + 1) π
V (θ)Pl (cos θ) sin θ dθ.
(2.190)
Al =
2al
0
Entonces el potencial puede escribirse
 P∞
l

r &lt; a.

l=0 Al r Pl (cos θ) ,

ϕ(r, θ) =

P∞
a2l+1


r &gt; a.
l=0 Al l+1 Pl (cos θ) ,
r
donde el coeficiente Al determinado por la Ec. (2.190).
(2.191)
2.8. PROBLEMAS DE FRONTERA CON SIMETR&Iacute;A AZIMUTAL.
97
2. Encontrar el potencial dentro de una esfera de radio a, la cual est&aacute; dividida en
dos hemisferios sujetos a potenciales constantes V y −V , respectivamente.
Figura 2.16: Esfera dividida en hemisferios sujetos a potenciales V y −V .
En este caso,
π
0≤θ&lt; ,
2
(2.192)
V (θ) =
π
 −V,
&lt; θ ≤ π.
2
El coeficiente Al en la Ec. (2.190) puede calcularse expl&iacute;citamente
Z
(2l + 1) π
V (θ)Pl (cos θ) sin θ dθ
Al =
2al
0
&quot;Z π
#
Z π
2
(2l + 1)
=
V
Pl (cos θ) sin θ dθ −
Pl (cos θ) sin θ dθ (2.193)
π
2al
0

 V,
2
En t&eacute;rminos de la variable x = cos θ, las integrales definidas corresponden a
Z 0
Z 1
Z 1
Pl (x) dx −
Pl (x) dx = 2
Pl (x) dx,
para l impar.
(2.194)
−1
0
0
Luego,
(2l + 1)
Al =
V
al
Z
1
Pl (x) dx,
para l impar,
(2.195)
0
mientras que Al = 0 para l par. Usando la propiedad (iv) de los polinomios de
Legendre, obtenemos
Al =
(l−1) (l − 2)!!
(2l + 1)
(−1) 2
V,
l
(l + 1)!!
a
l impar,
(2.196)
98
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
donde
(l − 2)!! ≡ (l − 2) (l − 4) (l − 6) . . . 4 &times; 2
(2.197)
(l + 1)!! ≡ (l + 1) (l − 1) (l − 3) . . . 5 &times; 3 &times; 1.
(2.198)
Luego, el potencial para r &lt; a est&aacute; dado por la Ec. (2.185) con los coeficientes
Al dados en la Ec. (2.196),
ϕ(r, θ) = V
X
(−1)
(l−1)
2
(2l + 1)
l impar
r l (l − 2)!!
Pl (cos θ) ,
a (l + 1)!!
r &lt; a. (2.199)
Los primeros t&eacute;rminos de esta expresi&oacute;n son
3r
7 r 3
11 r 5
ϕ(r, θ) = V
P1 (cos θ) −
P3 (cos θ) +
P5 (cos θ) + . . . .
2a
8 a
16 a
(2.200)
3. Calcular el potencial fuera de una esfera conductora aislada de radio a, sin
carga, en presencia de un campo el&eacute;ctrico externo uniforme.
Figura 2.17: Esfera conductora en un campo el&eacute;ctrico externo uniforme.
Tomemos el campo el&eacute;ctrico externo en la direcci&oacute;n z, E = Eẑ. El sistema tiene
simetr&iacute;a azimutal, por lo que buscamos una solucion de la forma
ϕ(r, θ) =
∞ h
i
X
Al rl + Bl r−(l+1) Pl (cos θ) .
l=0
Las condiciones de frontera son
(2.201)
2.8. PROBLEMAS DE FRONTERA CON SIMETR&Iacute;A AZIMUTAL.
99
a) En r = a, ϕ(a, θ) = cte, puesto que la esfera es conductora.
b) Para r → ∞, ϕ debe corresponder al potencial del campo externo E = Eẑ.
La condici&oacute;n ϕ(a, θ) = cte significa que en r = a el potencial no depende de
θ. Luego, el &uacute;nico polinomio de Legendre que debe aparecer en el potencial
Ec. (2.201) evaluado en r = a es el t&eacute;rmino correspondiente a l = 0, para el
cual P0 (cos θ) = 1. Esto implica que
Al al + Bl a−(l+1) = 0,
⇒ Bl = −Al a
2l+1
∀l &gt; 0
(2.202)
, ∀l &gt; 0.
(2.203)
Puesto que Ez = − ∂ϕ
∂z = E, la condici&oacute;n para el potencial en r → ∞ debe
tener la forma ϕ = −Ez, donde z = r cos θ. Es decir, la condici&oacute;n de frontera
en r → ∞ es
ϕ(r → ∞, θ) = −Er cos θ,
(2.204)
lo cual significa que solamente los t&eacute;rminos Al rl Pl (cos θ) sobreviven en la soluci&oacute;n Ec. (2.201) para poder satisfacer esta condici&oacute;n para r → ∞. De estos
t&eacute;rminos, s&oacute;lo el t&eacute;rmino l = 1, que tiene la forma P1 (cos θ) = cos θ, satisface
la condici&oacute;n de ϕ para r → ∞. Los dem&aacute;s t&eacute;rminos debe ser cero; es decir,
Al = 0,
Bl = 0,
si l 6= 1.
(2.205)
Manteniendo s&oacute;lo el t&eacute;rmino l = 1 para r → ∞ en la Ec. (2.201), tenemos
ϕ(r → ∞, θ) = A1 r cos θ = −Er cos θ,
(2.206)
lo que implica que
A1 = −E,
3
3
B1 = −A1 a = Ea
(2.207)
(usando Ec. (2.203).
(2.208)
Entonces, la soluci&oacute;n Ec. (2.201) para r &gt; a, con el &uacute;nico t&eacute;rmino sobreviviente
l = 1, queda
Ea3
(2.209)
ϕ(r, θ) = −Er cos θ + 2 cos θ.
r
Esta soluci&oacute;n satisface ambas condiciones de frontera en r = a y en r → ∞.
100
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
El primer t&eacute;rmino corresponde al potencial asociado al campo externo, si no
hubiera esfera presente, y el segundo t&eacute;rmino corresponde al potencial producido
por la carga inducida sobre la esfera conductora.
La densidad de carga inducida sobre la esfera se puede calcular mediante la
relaci&oacute;n En = 4πσ para una superficie conductora, donde n̂ = r̂; esto da
1
σ(θ) =
Er 4π
r=a
1 ∂ϕ = −
4π ∂r r=a
3E
=
cos θ.
4π
(2.210)
Note que
σ(θ) &gt; 0,
0≤θ&lt;
σ(θ) &lt; 0,
π
2
π
2
&lt; θ ≤ π.
La carga total inducida sobre la esfera aislada es
Z
Qtotal =
=
=
=
σda
Z
Z π
3E 2 2π
a
dφ
sin θ cos θ dθ
4π
0
0
Z
3E 2 1 π
a
d(sin2 θ)
2
2 0
π
3E 2
a sin2 θ0 = 0.
4
(2.211)
4. Expansi&oacute;n del potencial de una carga puntual en polinomios de Legendre.
Consideremos el potencial producido en la posici&oacute;n r por una carga puntual
q = 1 ubicada en r0 ,
1
ϕ(r) =
.
(2.212)
|r − r0 |
2.8. PROBLEMAS DE FRONTERA CON SIMETR&Iacute;A AZIMUTAL.
101
Figura 2.18: Expansi&oacute;n de |r − r0 |−1 en polinomios de Legendre.
Si escogemos r0 en la direcci&oacute;n ẑ, el sistema tiene simetr&iacute;a azimutal con respecto
al eje z. Entonces, podemos escribir
1
1
=
2
02
|r − r0 |
(r + r − 2rr0 cos θ)1/2
∞ h
i
X
Al rl + Bl r−(l+1) Pl (cos θ) ,
= ϕ(r, θ) =
ϕ(r) =
(2.213)
l=0
donde θ = γ es el &aacute;ngulo entre r0 y r. Esta relaci&oacute;n es v&aacute;lida ∀θ, en particular
para θ = 0, lo cual da
∞
ϕ(r, 0) =
i
Xh
1
l
−(l+1)
.
=
A
r
+
B
r
l
l
|r − r0 |
(2.214)
l=0
La expresi&oacute;n para ϕ(r, 0) se puede interpretar como una condici&oacute;n de frontera
para el potencial cuando θ = 0.
Supongamos r0 &lt; r, es decir, r0 /r ≡ x &lt; 1. Entonces,
1
1
= (r − r0 )−1 =
0
|r − r |
r
r0 −1
1−
.
r
(2.215)
Utilizamos la siguiente expansi&oacute;n en serie para x &lt; 1,
(1 − x)−1 =
∞
X
l=0
xl = 1 + x + x2 + x3 + x4 + &middot; &middot; &middot;
(2.216)
102
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
Luego, para r0 &lt; r,
∞
1X
r
l=0
0 l X
∞ h
i
r
=
Al rl + Bl r−(l+1) ,
r
(2.217)
l=0
lo cual implica que
1
r
0 l
r
= Al rl + Bl r−(l+1) .
r
Entonces, para r0 &lt; r y ∀ θ, la Ec. (2.213) da
∞ 1
1 X r0 l
=
Pl (cos θ).
|r − r0 |
r
r
(2.218)
(2.219)
l=0
Si r0 &gt; r, una expansi&oacute;n similar se puede obtener intercambiando r ↔ r0 .
En general, si γ es el &aacute;ngulo entre r0 y r, podemos escribir la expansi&oacute;n
∞ 1
1 X r&lt; l
=
Pl (cos γ),
(2.220)
|r − r0 |
r&gt;
r&gt;
l=0
donde r&lt; es el menor entre r y r0 , y r&gt; es el mayor entre r y r0 .
5. Expansi&oacute;n de la funci&oacute;n de Green en polinomios de Legendre para el problema
de una carga frente a una esfera conductora conectada a tierra.
Vimos que la funci&oacute;n de Green, Ec. (2.78), para este problema es
G r, r0 =
1
−
|r − r0 |
a
.
a2 0 0
r r − 0 2 r r
(2.221)
donde a es el radio de la esfera y, tanto r como r0 , son mayores que a. Si
escogemos r0 en la direcci&oacute;n ẑ, entonces θ es el &aacute;ngulo entre r0 y r, y el sistema
posee simetr&iacute;a azimutal con respecto al eje z.
Vimos que el primer t&eacute;rmino en la funci&oacute;n de Green se puede expresar como
∞ 1 X r&lt; l
1
=
Pl (cos θ).
(2.222)
|r − r0 |
r&gt;
r&gt;
l=0
2.8. PROBLEMAS DE FRONTERA CON SIMETR&Iacute;A AZIMUTAL.
103
Consideremos la expansi&oacute;n del segundo t&eacute;rmino cuando r0 y r son paralelos,
a 2 −1
a
r − 0 r0
=
r0
r
=
−1
a
a2
1− 0
rr0
rr
l
∞
a X a2
.
rr0
rr0
(2.223)
l=0
Luego, podemos escribir el segundo t&eacute;rmino de la funci&oacute;n de Green como
l
∞ a2
a X
a
Pl (cos θ) ,
=
0
0
2 r
r
r
r
a
&gt;
&gt;
&lt;
&lt;
l=0
r0 r − 0 2 r0 r
(2.224)
0 = rr 0 . Entonces, la funci&oacute;n de Green para este problema se puede
donde r&gt; r&lt;
expresar como
G r, r0
l
∞ ∞ 1 X r&lt; l
a2
a X
Pl (cos θ)
Pl (cos θ) −
0
0
r&gt;
r&gt;
r&gt; r&lt;
r&gt; r&lt;
l=0
l=0
!
∞
2l+1
X
a
1
l
r&lt;
− l+1 Pl (cos θ).
=
(2.225)
l+1
r
r&gt;
l=0 &gt;
=
6. Calcular el potencial producido en todo el espacio por una carga q uniformemente distribuida sobre un aro de radio a.
Figura 2.19: Potencial producido por un aro cargado.
Tomemos el eje z perpendicular al plano del aro y que pasa por su centro. Este
sistema posee simetr&iacute;a azimutal. El diferencial de potencial producido sobre el
104
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
eje z por un elemento del aro de longitud ds es
ds
q
.
dϕ(z) =
2πa (a2 + z 2 )1/2
El potencial total para una distancia z sobre el eje es
q
ϕ(z) = 2
,
(a + z 2 )1/2
(2.226)
(2.227)
el cual, en coordenadas esf&eacute;ricas con simetr&iacute;a azimutal, corresponde a la condici&oacute;n de frontera para θ = 0,
q
ϕ(r, 0) = 2
.
(2.228)
(a + r2 )1/2
La soluci&oacute;n para el potencial en todo el espacio tiene la forma
∞ h
i
X
ϕ(r, θ) =
Al rl + Bl r−(l+1) Pl (cos θ).
(2.229)
l=0
Para θ = 0 debemos tener,
∞
i
Xh
q
l
−(l+1)
=
A
r
+
B
r
.
l
l
(a2 + r2 )1/2
l=0
(2.230)
Para determinar los coeficientes Al y Bl , debemos expandir la funci&oacute;n en el
lado izquierdo de la Ec. (2.230) en serie de potencias de r, y comparar esa serie
con la expresi&oacute;n en el lado derecho. En tal sentido, consideremos la siguiente
expansi&oacute;n v&aacute;lida para x &lt; 1,
1
1&middot;3 2 1&middot;3&middot;5 3 1&middot;3&middot;5&middot;7 4
(1 &plusmn; x)−1/2 = 1 ∓ x +
x ∓
x +
x ∓ &middot;&middot;&middot;
(2.231)
2
2&middot;4
2&middot;4&middot;6
2&middot;4&middot;6&middot;8
Supongamos r &gt; a, y definamos x ≡ a2 /r2 &lt; 1. Entonces, la funci&oacute;n en el lado
izquierdo de la Ec. (2.230) puede expandirse en serie como
−1/2
q
a2
q
=
1+ 2
r
r
(a2 + r2 )1/2
2
4
1 a
1&middot;3 a
1 &middot; 3 &middot; 5 a 6 1 &middot; 3 &middot; 5 &middot; 7 a 8
q
=
1−
+
−
+
+ &middot;&middot;&middot;
r
2 r
2&middot;4 r
2&middot;4&middot;6 r
2&middot;4&middot;6&middot;8 r
∞
qX
(l − 1)!! a l
(−1)l/2
, l = 0, 2, 4, . . . (2.232)
=
r
l!!
r
l par
2.9. ARM&Oacute;NICOS ESF&Eacute;RICOS.
105
Comparando la Ec. (2.232) con la Ec. (2.230) para θ = 0, tenemos
q
∞
X
(−1)l/2
l par
∞ h
i
X
al (l − 1)!!
l
−(l+1)
=
A
r
+
B
r
,
l
l
l!!
rl+1
(2.233)
l=0
lo que implica que
Al = 0
Bl
(2.234)
(l − 1)!!
,
= q (−1)l/2 al
l!!
l = 0, 2, 4, . . .
(2.235)
Luego, el potencial para r &gt; a es
ϕ(r, θ) = q
∞
X
(−1)l/2
l par
al (l − 1)!!
Pl (cos θ) .
l!!
rl+1
(2.236)
Similarmente, intercambiando r ↔ a, obtenemos para r &lt; a,
ϕ(r, θ) = q
∞
X
(−1)l/2
l par
rl (l − 1)!!
Pl (cos θ).
l!!
al+1
(2.237)
Ambos resultados pueden expresarse en la siguiente forma
ϕ(r, θ) = q
∞
X
(−1)l/2
l par
l
r&lt;
(l − 1)!!
Pl (cos θ) ,
l+1
l!!
r&gt;
(2.238)
donde r&lt; es el menor entre r y a, y r&gt; es el mayor entre r y a.
2.9.
Arm&oacute;nicos esf&eacute;ricos.
Hemos visto que la soluci&oacute;n de la ecuaci&oacute;n de Laplace en coordenadas esf&eacute;ricas
puede encontrarse en la forma
ϕ(r, θ, φ) =
U (r)
Y (θ, φ).
r
(2.239)
106
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
El m&eacute;todo de separaci&oacute;n de variables, empleando la soluci&oacute;n Ec. (2.239), conduce
a la Ec. (2.168) para la funci&oacute;n Y (θ, φ), esto es,
1 ∂
∂Y
1 ∂2Y
sin θ
+ l (l + 1) Y +
= 0.
(2.240)
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂φ2
Empleando Y (θ, φ) = P (θ) Q(φ), obtuvimos Q(φ) = e&plusmn;imφ , donde m es constante;
mientras que la funci&oacute;n P (θ) satisface la Ec. (2.172); es decir,
dP
m2
1 d
sin θ
+ l (l + 1) −
P = 0.
(2.241)
sin θ dθ
dθ
sin2 θ
En particular, si m = 0, el potencial no depende del &aacute;ngulo φ, y el sistema
posee simetr&iacute;a azimutal. En ese caso, vimos que la soluci&oacute;n para el potencial puede
expresarse mediante una expansi&oacute;n en serie de los polinomios de Legendre,
∞ h
i
X
(2.242)
Al rl + Bl r−(l+1) Pl (cos θ).
ϕ(r, θ) =
l=0
La Ec. (2.241), con el cambio de variables x = cos θ, se puede expresar como la
d
m2
2 dP (x)
1−x
+ l (l + 1) −
P (x) = 0.
(2.243)
dx
dx
1 − x2
Las soluciones de la Ec. (2.243) para m 6= 0 corresponden a los polinomios asociados
de Legendre, definidos por la formula generalizada de Rodrigues,
Plm (x) =
l+m
l
(−1)m
2 m/2 d
(1
−
x
)
x2 − 1 ,
l
l+m
2 l!
dx
(2.244)
con
l = 0, 1, 2, . . .
m = −l, −(l − 1), . . . , 0, . . . , (l + 1), l .
(2.245)
(2.246)
Entonces, la parte angular de la soluci&oacute;n Ec. (2.239) de la ecuaci&oacute;n de Laplace tiene
la forma Y (θ, φ) = P (θ)Q(φ) = Plm (cos θ) e&plusmn;imφ . La dependencia angular puede
expresarse mediante las funciones denominadas arm&oacute;nicos esf&eacute;ricos, definidas como
s
(2l + 1) (l − m)! m
Ylm (θ, φ) =
P (cos θ) eimφ .
(2.247)
4π
(l + m)! l
2.9. ARM&Oacute;NICOS ESF&Eacute;RICOS.
107
La forma expl&iacute;cita de los primeros arm&oacute;nicos esf&eacute;ricos es la siguiente,
l=0
l=1















1
Y00 = √ ,
4π
r
3
sin θ eiφ
Y11 = −
r 4π
3
Y10 =
cos θ
4π
r
3
sin θ e−iφ .
Y1,−1 =
4π
(2.248)
(2.249)
Algunas propiedades de los arm&oacute;nicos esf&eacute;ricos son
i) Conjugaci&oacute;n:
∗
(θ, φ).
Yl,−m (θ, φ) = (−1)m Ylm
Z 2π
Z
dφ
0
0
π
sin θ dθ Yl∗0 m0 (θ, φ) Ylm (θ, φ) = δl0 l δm0 m .
(2.250)
(2.251)
iii) Completitud:
∞ X
l
X
∗
Ylm
(θ0 , φ0 ) Ylm (θ, φ) = δ(φ − φ0 ) δ(cos θ − cos θ0 ) .
(2.252)
l=0 m=−l
Si γ es el &aacute;ngulo entre los vectores r0 = (r0 , θ0 , φ0 ) y r = (r, θ, φ), en coordenadas
esf&eacute;ricas, entonces
l
X
4π
∗
Pl (cos γ) =
Ylm
(θ0 , φ0 ) Ylm (θ, φ) .
(2l + 1)
(2.253)
m=−l
En particular, si γ = 0, tenemos θ0 = θ y φ0 = φ; entonces
l
X
m=−l
|Ylm (θ, φ)|2 =
(2l + 1)
.
4π
(2.254)
108
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
Figura 2.20: Teorema de la adici&oacute;n para arm&oacute;nicos esf&eacute;ricos.
Los arm&oacute;nicos esf&eacute;ricos forman una base completa para expresar cualquier funci&oacute;n
f (θ, φ), definida en θ ∈ [0, π], φ ∈ [0, 2π]:
f (θ, φ) =
∞ X
l
X
Alm Ylm (θ, φ),
(2.255)
l=0 m=−l
donde los coeficientes est&aacute; determinados por
Z 2π
Z π
∗
(θ, φ) f (θ, φ).
Alm =
dφ
sin θ dθ Ylm
0
(2.256)
0
La soluci&oacute;n general Ec. (2.239) de la ecuaci&oacute;n de Laplace en coordenadas esf&eacute;ricas
puede escribirse en t&eacute;rminos de potencias de r y de los arm&oacute;nicos esf&eacute;ricos como
ϕ(r, θ, φ) =
∞ X
l
h
X
i
Alm rl + Blm r−(l+1) Ylm (θ, φ).
(2.257)
l=0 m=−l
Los coeficientes Alm y Blm se determinan mediante las condiciones de frontera del
problema particular. Note que para m = 0, la soluci&oacute;n general Ec. (2.257) corresponde
a la soluci&oacute;n con simetr&iacute;a azimutal, Ec. (2.242).
Los arm&oacute;nicos esf&eacute;ricos Ylm (θ, φ) satisfacen la ecuaci&oacute;n para las variables angulares,
1 ∂
∂Ylm
1 ∂ 2 Ylm
sin θ
+ l (l + 1) Ylm +
= 0.
(2.258)
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂φ2
2.9. ARM&Oacute;NICOS ESF&Eacute;RICOS.
109
Ejemplos.
1. Expansi&oacute;n del potencial de una carga puntual en arm&oacute;nicos esf&eacute;ricos.
Vimos que el potencial producido en r por una carga puntual q = 1 ubicada en
r0 se puede expresar en la forma
∞ 1
1 X r&lt; l
Pl (cos γ).
(2.259)
=
|r − r0 |
r&gt;
r&gt;
l=0
Empleando el teorema de la adici&oacute;n para los esf&eacute;ricos arm&oacute;nicos, podemos escribir
∞ X
l
l
X
r&lt;
1
1
=
4π
Y ∗ (θ0 , φ0 ) Ylm (θ, φ).
l+1 lm
|r − r0 |
(2l + 1) r&gt;
l=0 m=−l
(2.260)
Supongamos r&gt; = r, y r&lt; = r0 . Entonces, comparando la expansi&oacute;n anterior
con la soluci&oacute;n general Ec. (2.257), obtenemos
Alm = 0
Blm =
(2.261)
4πr0l
(2l + 1)
∗
(θ0 , φ0 ),
Ylm
(2.262)
de modo que el potencial Ec. (2.257) se hace cero en el infinito.
2. Expansi&oacute;n multipolar del potencial ϕ(r) de una distribuci&oacute;n de carga ρ(r0 ),
para r &gt; r0 , en serie de arm&oacute;nicos esf&eacute;ricos.
Recordemos la siguiente expansi&oacute;n para r = (r, θ, φ) y r0 = (r0 , θ0 , φ0 ),
∞ X
l
l
X
r&lt;
1
1
=
4π
Y ∗ (θ0 , φ0 ) Ylm (θ, φ).
l+1 lm
|r − r0 |
(2l + 1) r&gt;
l=0 m=−l
(2.263)
En este caso, r&lt; = r0 , r&gt; = r. Entonces,
&quot;∞ l
#
Z
Z
0l
X X
ρ(r0 ) 3 0
1
r
ϕ(r) =
d r = 4π ρ(r0 )
Y ∗ (θ0 , φ0 ) Ylm (θ, φ) d3 r0
|r − r0 |
(2l + 1) rl+1 lm
l=0 m=−l
110
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
lo cual se puede escribir
ϕ(r) = 4π
∞ X
l
X
l=0 m=−l
= 4π
∞ X
l
X
l=0 m=−l
1
(2l + 1)
Z
∗
ρ(r0 )r0l Ylm
(θ0 , φ0 ) d3 r0
qlm Ylm (θ, φ)
(2l + 1) rl+1
Ylm (θ, φ)
rl+1
(2.264)
Z
∗
(θ0 , φ0 ) d3 r0 .
(2.265)
qlm = ρ(r0 ) r0l Ylm
Las cantidades qlm se pueden expresar en t&eacute;rminos de los momentos q, p, Qij ,
etc. Por ejemplo,
Z
Z
1
1
0
∗
0 0
3 0
q00 = ρ(r )Y00 (θ , φ ) d r = √
ρ(r0 ) d3 r0 = √ q.
4π
4π
r Z
Z
3
∗
q10 = ρ(r0 ) r0 Y10
(θ0 , φ0 ) d3 r0 =
ρ(r0 ) r0 cos θ0 d3 r0
4π
r Z
r
3
3
0
0 3 0
=
ρ(r ) z d r =
pz .
4π
4π
r
Z
Z
3
0 0 ∗
0 0
3 0
q11 = ρ(r ) r Y11 (θ , φ ) d r = −
ρ(r0 ) r0 sin θ eiφ d3 r0
4π
r Z
3
= −
ρ(r0 ) (x − iy) d3 r0
4π
r
3
= −
(px − ipy ).
4π
2.10.
Expansi&oacute;n de la funci&oacute;n de Green en coordenadas
esf&eacute;ricas.
Vimos que la soluci&oacute;n de la ecuaci&oacute;n de Poisson, ∇2 ϕ(r) = −4πρ, dentro de un
volumen V con condiciones de frontera tipo Dirichlet ϕ|S sobre la superficie S que
2.10. EXPANSI&Oacute;N DE LA FUNCI&Oacute;N DE GREEN EN COORDENADAS ESF&Eacute;RICAS.111
encierra a V , se puede expresar como
Z
I
3 0
∂GD 0
1
0
0
ρ r GD r, r d r −
ϕ r0
da ,
ϕ(r) =
4π S
∂n0
V
(2.266)
donde la funci&oacute;n de Green satisface G(r, r0 )|S = 0.
Consideremos un volumen V limitado por dos esferas conc&eacute;ntricas que constituyen
la superficie S. Sean a el radio de la esfera interior y b el radio de la esfera exterior.
Entonces, la magnitud de r en la regi&oacute;n de inter&eacute;s para la soluci&oacute;n es tal que a ≤ r ≤ b.
Figura 2.21: Volumen V para la expansi&oacute;n de la funci&oacute;n de Green en coordenadas esf&eacute;ricas.
Para este tipo de problemas que poseen simetr&iacute;a esf&eacute;rica, es conveniente expresar
la funci&oacute;n de Green en coordenadas esf&eacute;ricas. En esta secci&oacute;n, mostraremos que la
funci&oacute;n de Green GD (r, r0 ) se puede representar como una expansi&oacute;n en serie de
arm&oacute;nicos esf&eacute;ricos.
La funci&oacute;n GD (r, r0 ) = G (r, r0 ) satisface
(2.267)
∇2r G r, r0 = −4πδ r − r0 ,
donde el sub&iacute;ndice del Laplaciano indica derivadas con respecto a las coordenadas de
r, con condici&oacute;n de frontera G (r, r0 )|S = 0, para r &oacute; r0 en r = a y en r = b.
Vimos en el Cap. 1 que la funci&oacute;n delta de Dirac δ(r − r0 ) se puede expresar en
1
δ(r − r0 ) = 2 δ r − r0 δ φ − φ0 δ cos θ − cos θ0 .
(2.268)
r
Usando la relaci&oacute;n de completitud de los arm&oacute;nicos esf&eacute;ricos,
0
δ φ − φ δ cos θ − cos θ
0
=
∞ X
l
X
l=0 m=−l
∗
θ0 , φ0 Ylm (θ, φ) ,
Ylm
(2.269)
112
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
podemos escribir
∞ X
l
X
1
∗
δ r − r0 = 2 δ r − r0
Ylm
θ0 , φ0 Ylm (θ, φ) .
r
(2.270)
l=0 m=−l
Luego,
∞ X
l
X
4π
∗
Ylm
θ0 , φ0 Ylm (θ, φ) .
∇2r G r, r0 = − 2 δ r − r0
r
(2.271)
l=0 m=−l
Supongamos una soluci&oacute;n G (r, r0 ), como funci&oacute;n de r (r, θ, φ), en forma de expansi&oacute;n en arm&oacute;nicos esf&eacute;ricos:
0
0
0
0
G r, r = G r, r , θ, θ , φ, φ =
∞ X
l
X
Alm r, r0 , θ0 , φ0 Ylm (θ, φ) .
(2.272)
l=0 m=−l
Para determinar los coeficientes Alm , debemos sustituir esta expansi&oacute;n en la Ec. (2.271)
y comparar ambos lados de la relaci&oacute;n resultante.
El lado izquierdo de la Ec. (2.271) conduce a
1
∂
∂G
1
1 ∂2
∂2G
2
0
(r
G)
+
sin
θ
+
∇r G(r, r ) =
r ∂r2
r2 sin θ ∂θ
∂θ
r2 sin2 θ ∂φ2
X X Ylm (θ, φ) ∂ 2
0 0 0
=
r
A
r,
r
,
θ
,
φ
+
lm
2
r
∂r
m
l
Alm (r, r0 , θ0 , φ0 )
1 ∂
∂
1 ∂2
sin θ Ylm (θ, φ) +
Ylm (θ, φ) . (2.273)
r2
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂φ2
Recordemos que Ylm (θ, φ) satisface la ecuaci&oacute;n angular
1 ∂
∂
1 ∂2
sin θ Ylm (θ, φ) + l (l + 1) Ylm +
Ylm (θ, φ) = 0.
sin θ ∂θ
∂θ
sin2 θ ∂φ2
(2.274)
Sustituci&oacute;n de esta relaci&oacute;n en la Ec. (2.273) da
X Ylm (θ, φ) ∂ 2
Alm (r, r0 , θ0 , φ0 )
0 0 0
r
A
r,
r
,
θ
,
φ
l
(l
+
1)
Y
(θ,
φ)
∇2r G(r, r0 ) =
−
lm
lm
r
∂r2
r2
l,m
X 1 ∂2
l (l + 1) Alm (r, r0 , θ0 , φ0 )
0 0 0
=
r Alm r, r , θ , φ −
Ylm (θ, φ).(2.275)
r ∂r2
r2
l,m
2.10. EXPANSI&Oacute;N DE LA FUNCI&Oacute;N DE GREEN EN COORDENADAS ESF&Eacute;RICAS.113
Luego, comparando con la Ec. (2.271), debemos tener la siguiente relaci&oacute;n entre los
coeficientes de Ylm (θ, φ),
l (l + 1) Alm (r, r0 , θ0 , φ0 )
∗ 0 0
4π
1 ∂2
0 0 0
θ ,φ .
r
A
r,
r
,
θ
,
φ
−
= − 2 δ r − r0 Ylm
lm
2
2
r ∂r
r
r
(2.276)
0
La Ec. (2.276) constituye una ecuaci&oacute;n en derivadas parciales para Alm (r, r , θ0 , φ0 ).
Su forma sugiere buscar una soluci&oacute;n por separaci&oacute;n de variables, tal como
∗ 0 0
θ ,φ .
(2.277)
Alm r, r0 , θ0 , φ0 = gl r, r0 Ylm
Sustituci&oacute;n en la Ec. (2.276) da la siguiente ecuaci&oacute;n para gl (r, r0 ):
l (l + 1)
1 d2
4π
r gl r, r0 −
gl r, r0 = − 2 δ r − r0 .
2
2
r dr
r
r
(2.278)
Consideremos primero la Ec. (2.278) para el caso r 6= r0 ,
(rg)00 −
l (l + 1)
g = 0.
r
(2.279)
Si hacemos la sustituci&oacute;n U = rg, se obtiene la ecuaci&oacute;n
U 00 −
l (l + 1)
U = 0,
r2
(2.280)
cuya soluci&oacute;n ya fue encontrada en la forma
U = A rl+1 + B r−l ;
(2.281)
g(r, r0 ) = A rl + B r−(l+1) .
(2.282)
por lo tanto,
La funci&oacute;n g(r, r0 ) corresponde a la parte radial de la funci&oacute;n de Green en la Ec. (2.272),
y por lo tanto debe satisfacer las condiciones de frontera
g(a, r0 ) = 0 , r = a
G|S = 0 ⇒
(2.283)
g(b, r0 ) = 0 , r = b.
Evaluando la funci&oacute;n g(r, r0 ) de la Ec. (2.282) en r = a, obtenemos
A al + B a−(l+1) = 0
⇒
B = −A a2l+1 ,
(2.284)
114
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
luego,
g r, r
0
a2l+1
l
= A r − l+1 ,
r
v&aacute;lida para r &lt; r0 .
(2.285)
Similarmente, en r = b obtenemos
A = −B b−(2l+1) ,
(2.286)
luego,
0
g(r, r ) = B
1
rl+1
−
rl
b2l+1
,
v&aacute;lida para r &gt; r0 .
(2.287)
Puesto que la funci&oacute;n de Green debe tener simetr&iacute;a ante el intercambio r ↔ r0 , la
funci&oacute;n g(r, r0 ) se puede expresar en general como
!
!
l
2l+1
r
a
1
&gt;
l
− l+1
g r, r0 = C r&lt;
,
(2.288)
− 2l+1
l+1
b
r&lt;
r&gt;
donde r&gt; es el mayor entre r y r0 , y r&lt; es el menor entre r y r0 .
Para determinar la constante C, consideramos la Ec. (2.278) para g (r, r0 ), en el
caso r → r0 tal que δ(r − r0 ) 6= 0,
l (l + 1)
d2
4π
rg r, r0 −
g r, r0 = − δ r − r0 .
2
dr
r
r
(2.289)
Integramos todos los t&eacute;rminos de esta ecuaci&oacute;n desde r = r0 − ε hasta r = r0 + ε,
Z r=r0 +ε 2
Z r=r0 +ε
d
g (r, r0 )
0
rg
r,
r
dr
−
l
(l
+
1)
dr
2
r
r=r0 −ε dr
r=r0 −ε
Z r=r0 +ε
δ (r − r0 )
dr,
(2.290)
= −4π
r
r=r0 −ε
y tomamos el l&iacute;mite ε → 0:
d 0 rg r, r −
dr
r=r0 +ε
d 0 rg r, r dr
r=r0 −ε
4π
= − 0.
r
Existe una discontinuidad en la derivada de rg (r, r0 ) en r = r0 .
(2.291)
2.10. EXPANSI&Oacute;N DE LA FUNCI&Oacute;N DE GREEN EN COORDENADAS ESF&Eacute;RICAS.115
Figura 2.22: Discontinuidad en la derivada de la parte radial de la funci&oacute;n de Green en r = r0 .
Debemos evaluar las derivadas (rg)0 r=r0 +ε y (rg)0 r=r0 −ε , y tomar el l&iacute;mite ε → 0:
i) Para r = r0 + ε, tenemos r &gt; r0 , y por lo tanto, r&lt; = r0 , r&gt; = r. Luego,
utilizando la Ec. (2.288),
rg r, r
0
a2l+1
= C r − l+1
r0
0l
1
rl+1
−
rl b2l+1
.
(2.292)
Evaluamos la derivada en r = r0 + ε, y hacemos ε → 0,
a2l+1
d
l
(l + 1) rl 0l
(rg)
= −C r − l+1
+
0
r=r 0 +ε
dr
rl+1
b2l+1
r0
r=r
ε→0
&quot;
#
l
2l+1
0
l
a
(l + 1) r
l
+
= −C r0 − l+1
l+1
b2l+1
r0
r0
&quot;
#
a2l+1
1
r0 2l+1
0l
l + (l + 1) 2l+1
= −Cr 1 − 2l+1
b
r0
r0 l+1
&quot;
0 2l+1 #
a 2l+1 r
C
l + (l + 1)
. (2.293)
= − 0 1− 0
r
r
b
ii) Para r = r0 − ε, tenemos r &lt; r0 , y por lo tanto r&lt; = r, r&gt; = r0 . Luego,
utilizando la Ec. (2.288),
!
a2l+1
1
r0 l
0
l+1
rg r, r = C r
−
−
.
(2.294)
rl
r0 l+1 b2l+1
116
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
Evaluamos la derivada en r = r0 − ε, y hacemos ε → 0,
d
(rg)
r=r 0 +ε
dr
ε→0
!
1
r0 l l a2l+1
l
−
= C (l + 1) r + l+1
r
r0 l+1 b2l+1 r=r0
!
r0 l
l a2l+1
r0 2l+1
= C l+1 (l + 1) + 2l+1
1 − 2l+1
b
r0
r0
&quot;
0 2l+1 #
a 2l+1 r
C
1−
(l + 1) + l 0
. (2.295)
=
0
r
r
b
Sustituyendo en la Ec. (2.291), tenemos
−
−
&quot;
0 2l+1 #
a 2l+1 C
r
1− 0
l + (l + 1)
0
r
r
b
&quot;
#
a 2l+1
r0 2l+1
C
(l + 1) + l 0
1−
r0
r
b
= −
4π
,
r0
de donde podemos obtener C,
&quot;
0 2l+1
a 2l+1
a 2l+1 r0 2l+1
r
−l 0
C l + (l + 1)
− (l + 1) 0
b
r
r
b
#
0 2l+1
a 2l+1
a 2l+1 r0 2l+1
r
+ (l + 1) − (l + 1)
+l 0
−l 0
=
b
r
r
b
a 2l+1 a 2l+1
+ (l + 1) − l
=
C l − (l + 1)
b
b
a 2l+1
C (2l + 1) 1 −
=
b
4π
⇒C=
a 2l+1 .
(2l + 1) 1 −
b
(2.296)
4π
,
r0
4π
,
r0
4π
r0
(2.297)
2.10. EXPANSI&Oacute;N DE LA FUNCI&Oacute;N DE GREEN EN COORDENADAS ESF&Eacute;RICAS.117
Luego, la funci&oacute;n g(r, r0 ) en la Ec. (2.288) es
g(r, r0 ) =
4π
a 2l+1 (2l + 1) 1 −
b
a2l+1
l
r&lt;
− l+1
r&lt;
!
1
l+1
r&gt;
−
l
r&gt;
!
b2l+1
.
(2.298)
Entonces, la funci&oacute;n de Green en la Ec. (2.272)
G(r, r0 ) =
∞ X
l
X
Alm r, r0 , θ, θ0 , φ, φ0 Ylm (θ, φ)
l=0 m=−l
=
∞ X
l
X
∗ 0 0
gl r, r0 Ylm
θ , φ Ylm (θ, φ) ,
(2.299)
l=0 m=−l
se puede expresar, sustituyendo g(r, r0 ), como
!
!
l
2l+1
r
1
a
&gt;
l −
− 2l+1
r&lt;
∞ X
l
l+1
l+1
b
X
r
r
&lt;
&gt;
∗
G(r, r0 ) = 4π
(θ0 , φ0 ) Ylm (θ, φ) . (2.300)
Ylm
a 2l+1 l=0 m=−l
(2l + 1) 1 −
b
La Ec. (2.300) constituye la expansi&oacute;n de la funci&oacute;n de Green G(r, r0 ) en coordenadas
esf&eacute;ricas, donde r&gt; es el mayor entre r y r0 , y r&lt; es el menor entre r y r0 .
Algunos casos particulares de inter&eacute;s son
i) Potencial de una carga puntual en el espacio libre, que corresponde al caso
a → 0, b → ∞,
0
G(r, r ) = 4π
∞ X
l
X
l
r&lt;
1
1
∗
0 0
θ
,
φ
Ylm (θ, φ) =
Y
. (2.301)
lm
l+1
(2l + 1) r&gt;
|r − r0 |
l=0 m=−l
ii) Problema interior de la esfera, que corresponde a a → 0, b finito, igual al radio
de la esfera.
iii) Problema exterior de la esfera, que corresponde a a finito, igual al radio de la
esfera, y b → ∞.
118
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
2.11.
Aplicaciones de la expansi&oacute;n esf&eacute;rica de la funci&oacute;n
de Green.
La soluci&oacute;n general de la ecuaci&oacute;n de Poisson con condiciones de frontera tipo
Dirichlet es
Z
I
1
∂G 0
ρ(r0 )G(r, r0 ) d3 r0 −
ϕ(r0 )
ϕ(r) =
da .
(2.302)
4π
∂n
V
S
En problemas de potencial con simetr&iacute;a esf&eacute;rica, podemos emplear la funci&oacute;n de Green
en t&eacute;rminos de su expansi&oacute;n esf&eacute;rica, Ec. (2.300).
Ejemplos.
1. Calcular el potencial dentro de esfera radio b, sin carga en su interior, sujeta a
un potencial V (θ, φ) en su superficie.
Figura 2.23: Esfera sujeta a potencial V (θ, φ) en su superficie.
Para este problema, tomamos G(r, r0 ) en la Ec. (2.300) con a = 0,
!
∞ X
l
∗ (θ 0 , φ0 ) Y (θ, φ)
l
X
Ylm
r&gt;
1
lm
0
l
− 2l+1
G(r, r ) = 4π
r&lt;
l+1
(2l + 1)
b
r&gt;
(2.303)
l=0 m=−l
donde r&gt; es el mayor entre r y r0 ; r&lt; es el menor entre r y r0 , y la sustituimos
en la soluci&oacute;n para ϕ en la Ec. (2.302). Puesto que no hay cargas dentro del
volumen V correspondiente a la esfera de radio b, tenemos ρ = 0 en V y, por lo
tanto,
I
∂G 0
1
ϕ(r0 )
da
(2.304)
ϕ(r) = −
4π S
∂n
2.11. APLICACIONES DE LA EXPANSI&Oacute;N ESF&Eacute;RICA DE LA FUNCI&Oacute;N DE GREEN.119
donde ϕ|S = V (θ, φ).
Calculamos
∂G ∂G =
.
∂n0 S
∂r0 r0 =b
(2.305)
Cuando r0 = b, tenemos r0 &gt; r; luego r&lt; = r y r&gt; = r0 . Entonces, la forma de
la funci&oacute;n de Green que se debe tomar en la frontera r0 = b es
!
∞ X
l
∗ (θ 0 , φ0 ) Y (θ, φ)
0l
X
Y
r
1
lm
lm
−
G(r, r0 ) = 4π
rl
.
(2.306)
(2l + 1)
r0 l+1 b2l+1
l=0 m=−l
Luego,
∞ X
l
∗ (θ 0 , φ0 ) Y
X
Ylm
l r0l−1
∂G
lm (θ, φ) l l + 1
+
=
−4π
r
.
∂r0
(2l + 1)
b2l+1
r0 l+2
(2.307)
l=0 m=−l
En la superficie de la esfera,
∞ X
l
∗ (θ 0 , φ0 ) Y
X
Ylm
∂G lbl−1
lm (θ, φ) l l + 1
r
+ 2l+1
= −4π
∂r0 r0 =b
(2l + 1)
bl+2
b
l=0 m=−l
∞
l
r l
4π X X ∗ 0 0 Ylm θ , φ Ylm (θ, φ)
= − 2
.
b
b
(2.308)
l=0 m=−l
Sustituyendo en la Ec. (2.304), con diferencial de &aacute;rea da0 = b2 dφ0 sin θ0 dθ0 ,
obtenemos
&quot;∞ l
#
I
r l
X X
1
0 0
∗
0 0
ϕ(r) = 2
V (θ , φ )
Ylm (θ , φ ) Ylm (θ, φ)
b2 dφ0 sin θ0 dθ0
b S
b
l=0 m=−l
=
∞ X
l
X
Alm
l=0 m=−l
donde
r l
b
Z
Alm =
Ylm (θ, φ),
0
0
V (θ , φ
∗
)Ylm
(θ0 , φ0 ) dφ0 sin θ0 dθ0
(2.309)
.
(2.310)
120
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
Note que el potencial Ec. (2.309) tiene la misma forma que la soluci&oacute;n general
de la ecuaci&oacute;n de Laplace en coordenadas esf&eacute;ricas, Ec. (2.257), para el interior
de una esfera sin cargas.
2. Calcular ϕ dentro de una esfera conductora de radio b, conectada a tierra, y
en cuyo centro se encuentra un aro de radio a &lt; b que posee una carga q
uniformemente distribuida.
Figura 2.24: Esfera conectada a tierra, con un aro cargado en su interior.
Debemos expresar la densidad de carga del aro en t&eacute;rminos de funciones delta
de Dirac. Esto es, ρ(r0 ) ∝ qδ(r − r0 ). Recordemos que la funci&oacute;n delta de Dirac,
en coordenadas esf&eacute;ricas, corresponde a (Cap. 1, Ec. (1.57))
1
(2.311)
δ(r − r0 ) = 2 δ r − r0 δ φ − φ0 δ cos θ − cos θ0 .
r
La carga est&aacute; localizada en r = a, θ = π/2, ∀ φ. Luego,
q
ρ(r0 ) = k 2 q δ r0 − a δ (cos θ) ,
(2.312)
a
donde k es una constante que se determina mediante la condici&oacute;n
Z
ρ r0 d3 r0 = q .
(2.313)
Entonces,
Z
Z
q
2
0 3 0
ρ(r )d r = k 2 δ(r0 − a)δ(cos θ)r0 dr dφ d(cos θ)
a
Z b
Z π
Z 2π
q
0
02
= k 2
dφ
δ(r − a)r dr
δ(cos θ)d(cos θ)
a 0
0
0
1
= kq 2π = q ⇒ k =
.
(2.314)
2π
2.11. APLICACIONES DE LA EXPANSI&Oacute;N ESF&Eacute;RICA DE LA FUNCI&Oacute;N DE GREEN.121
Luego,
ρ(r0 ) =
q
δ r0 − a δ (cos θ) .
2
2πa
(2.315)
La soluci&oacute;n para el potencial dentro del volumen V de la esfera es
Z
I
1
∂G 0
0
0
3 0
ρ(r )G(r, r ) d r −
ϕ(r) =
ϕ(r0 )
da ,
4π S
∂n
V
(2.316)
con las siguientes condiciones de frontera
a) ϕ|S = 0 sobre la la superficie S de la esfera. Luego, la integral sobre la
superficie S es cero, y el potencial dentro de la esfera es
Z
ϕ(r) =
ρ(r0 ) G(r, r0 )d3 r0 .
(2.317)
V
b) a = 0 en la funci&oacute;n de Green G(r, r0 ) expandida en coordenadas esf&eacute;ricas.
c) Simetr&iacute;a azimutal: ϕ(r) independiente de φ; esto implica que m = 0 en la
expansi&oacute;n de G(r, r0 ) en coordenadas esf&eacute;ricas.
Estas condiciones implican que la funci&oacute;n de Green debe tener la forma
∞ X
l
X
Yl0∗ (θ0 , φ0 )Yl0 (θ, φ) l
0
G(r, r ) = 4π
r&lt;
(2l + 1)
1
l+1
r&gt;
l=0 m=−l
−
!
l
r&gt;
b2l+1
.
(2.318)
donde
r
Yl0 (θ, φ) =
2l + 1
Pl (cos θ) .
4π
(2.319)
Luego,
0
G(r, r ) =
∞
X
l=0
Pl cos θ
0
l
Pl (cos θ) r&lt;
1
l+1
r&gt;
−
l
r&gt;
b2l+1
!
.
(2.320)
Consideremos el caso r &gt; r0 . Entonces r&gt; = r, r&lt; = r0 , y el potencial Ec. (2.317))
122
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
resulta en
ϕ(r) =
q
2πa2
&quot;
Z
0
0
δ(r − a)δ(cos θ )
∞
X
0
Pl (cos θ )Pl (cos θ)r
0l
l=0
1
rl+1
−
rl
#
b2l+1
&times;
&times; r02 dr0 dφ0 d cos θ0
Z π
Z b
∞ Z 2π
q X
0
0
0
0
02+l 0
0
δ(cos θ )Pl (cos θ )d(cos θ ) &times;
δ(r − a)r
dr
=
dφ
2πa2
0
0
0
l=0
1
rl
&times;
Pl (cos θ).
−
rl+1 b2l+1
Esto es,
∞
X
ϕ(r) = q
l
a Pl (0)
1
rl+1
l=0
−
rl
Pl (cos θ).
b2l+1
(2.321)
En el caso r &lt; r0 , tenemos r&lt; = r, r&gt; = r0 , y
&quot;∞
#
Z
0l
X
r
q
1
δ(r0 − a)δ(cos θ0 )
−
&times;
ϕ(r) =
Pl (cos θ0 )Pl (cos θ)rl
2πa2 V
r0l+1 b2l+1
l=0
02
0
0
0
&times; r dr dφ d(cos θ )
Z b
Z
∞ Z 2π
q X
1
r0l
0
0
02
0
0
0
0
=
dφ
δ(r − a)r
−
dr
δ(cos θ )Pl (cos θ )d(cos θ ) &times;
2πa2
r0l+1 b2l+1
0
0
l=0
&times; rl Pl (cos θ).
Esto es,
0
ϕ(r ) = q
∞
X
l
r Pl (0)
l=0
1
al+1
−
al
b2l+1
Pl (cos θ).
(2.322)
Pl (cos θ).
(2.323)
Ambos casos se pueden expresar como
ϕ(r) = q
∞
X
l=0
l
r&lt;
Pl (0)
1
l+1
r&gt;
−
l
r&gt;
b2l+1
!
2.11. APLICACIONES DE LA EXPANSI&Oacute;N ESF&Eacute;RICA DE LA FUNCI&Oacute;N DE GREEN.123
Sustituyendo
Pl (0) =

 0,
l impar
 (−1)l/2 (l − 1)!! ,
l!!
lpar,
(2.324)
podemos escribir
ϕ(r) = q
∞
X
l par
l/2
(1)
(l − 1)!! l
r&lt;
l!!
1
l+1
r&gt;
−
l
r&gt;
b2l+1
!
Pl (cos θ),
(2.325)
donde r&gt; es el mayor entre r y a, y r&lt; es el menor entre r y a.
En el l&iacute;mite b → ∞, tenemos un aro cargado en el espacio libre, y el potencial
da
∞
l
X
(l − 1)!! r&lt;
ϕ(r) = q
(−1)l/2
P (cos θ),
(2.326)
l+1 l
l!!
r&gt;
lpar
el cual es el mismo resultado obtenido anteriormente en la Sec. 2.8.
124
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
Resumen
1. Potencial con condiciones de frontera tipo Dirichlet ϕ|S ,
Z
I
1
∂GD 0
0
0
3 0
ϕ (r) =
ρ (r ) GD (r, r ) d r −
da .
ϕ (r0 )
4π S
∂n0
V
2. Serie de Fourier para f (x), x ∈ [−c, c], &oacute; x ∈ [0, 2c],
f (x) =
∞
∞
nπx nπx X
b0 X
+
+
an sin
bn cos
2
c
c
n=1
n=1
Z c
nπx 1
f (x) sin
dx
an =
c −c
c
Z
nπx 1 c
bn =
f (x) cos
dx
c −c
c
3. Soluci&oacute;n de la ecuaci&oacute;n de Laplace en coordenadas cartesianas, ϕ(x, y, z) = XY Z,
X
=
A cos (αx) &plusmn; B sin (αx)
Y
=
A cos (βx) &plusmn; B sin (βx)
Z
=
γ
=
A0 sinh (γz) &plusmn; B 00 cosh (γz) = Aeγz &plusmn; Be−γz
p
α2 + β 2 .
4. Soluci&oacute;n de la ecuaci&oacute;n de Laplace en coordenadas polares,
ϕ(r, φ) = a0 + b0 ln r +
∞
X
an rn + bn r−n [An cos(nφ) + Bn sin(nφ)] .
n=1
5. Soluci&oacute;n de la ecuaci&oacute;n de Laplace en coordenadas esf&eacute;ricas con simetr&iacute;a azimutal,
ϕ(r, θ) =
∞ h
X
i
Al rl + Bl r−(l+1) Pl (cos θ).
l=0
Los coeficientes Al y Bl se determinan mediante las condiciones de frontera del
problema.
∞
X
f (θ) =
Al Pl (cos θ)
(2l + 1)
Al =
2
Z
l=0
π
f (θ)Pl (cos θ) sin θ dθ.
0
2.11. APLICACIONES DE LA EXPANSI&Oacute;N ESF&Eacute;RICA DE LA FUNCI&Oacute;N DE GREEN.125
6. Soluci&oacute;n general de la ecuaci&oacute;n de Laplace en coordenadas esf&eacute;ricas,
∞ X
l
i
h
X
ϕ(r, θ, φ) =
Alm rl + Blm r−(l+1) Ylm (θ, φ).
l=0 m=−l
Los coeficientes Alm y Blm se determinan mediante las condiciones de frontera del
problema,
∞ X
l
X
f (θ, φ) =
Alm Ylm (θ, φ),
l=0 m=−l
Z
Alm =
2π
Z
dφ
0
π
∗
sin θ dθ Ylm
(θ, φ) f (θ, φ).
0
7. Expansi&oacute;n de la funci&oacute;n de Green en arm&oacute;nicos esf&eacute;ricos,
l
r&gt;
1
a2l+1
l
−
−
r
∞ X
l
&lt;
l+1
l+1
X
b2l+1
r&lt;
r&gt;
∗
Ylm
(θ0 , φ0 ) Ylm (θ, φ) .
G(r, r0 ) = 4π
a 2l+1 l=0 m=−l
(2l + 1) 1 −
b
126
2.12.
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
Problemas.
1. Demuestre que el potencial el&eacute;ctrico en cualquier punto en una regi&oacute;n libre
de cargas es igual al promedio del potencial sobre cualquier superficie esf&eacute;rica
2. Si ϕ es el potencial dentro de un volumen V , debido a una densidad de carga
ρ dentro de V y a una densidad de carga superficial σ sobre una superficie
conductora que encierra a V , mientras que Ψ es el potencial debido a otras
densidades de cargas ρ0 y σ 0 en V y S, respectivamente, demuestre que
Z
Z
Z
Z
3
0
3
ρΨd r +
σΨda =
ρ ϕd r +
σ 0 ϕda.
V
S
V
S
3. Suponga que los planos xy y zy son conductores conectados a tierra. Calcule
el trabajo para traer una carga +q desde el infinito hasta un punto ubicado a
una igual distancia d perpendicular a cada uno de estos planos.
4. Un cubo conductor est&aacute; definido por los seis planos x = 0, y = 0, z = 0, y
x = a, y = a, z = a. Los lados z = 0 y z = a se mantienen a un potencial
constante V , mientras que los otros lados est&aacute;n conectados a tierra.
a) Encontrar el potencial en todo punto dentro del cubo.
b) Determinar la carga superficial inducida en la cara z = a.
5. Un hemisferio de radio a sobresale de un plano conductor infinito conectado a
tierra. Una carga q se encuentra a una distancia b &gt; a del plano, sobre el eje
de simetr&iacute;a azimutal del hemisferio.
a) Encuentre la distribuci&oacute;n superficial de carga inducida en el conductor.
b) Calcule la fuerza sobre la carga q.
c) Calcule el trabajo necesario para traer la carga q desde el infinito hasta su
ubicaci&oacute;n.
6. El espacio entre dos esferas conductoras conc&eacute;ntricas de radios R1 y R2 &gt; R1
se encuentra lleno de un plasma con densidad constante de carga ρ. Las esferas
est&aacute;n a potenciales constantes V1 y V2 , respectivamente. Encuentre el potencial
en cualquier punto entre las esferas.
2.12. PROBLEMAS.
127
7. Una esfera de radio a tiene un potencial constante Vo . Encuentre la fuerza sobre
una carga q colocada a una distancia R del centro de la esfera en los casos R &gt; a
y R &lt; a.
8. Dos cargas +q y −q se encuentran en las posiciones (x = a, y = 0, z = a) y
(x = −a, y = 0, z = a), respectivamente. Suponga que el plano z = 0 es un
a) la fuerza sobre la carga +q;
b) el trabajo realizado por un agente externo para ensamblar esta configuraci&oacute;n
de cargas;
c) la densidad superficial de carga en el punto (a, 0, 0).
9. Tres cargas puntuales q,−2q y q est&aacute;n localizadas sobre el eje z en z = a, z = 0
y z = −a, respectivamente. Encuentre el potencial el&eacute;ctrico lejos de las cargas.
10. Un cilindro conductor sin carga, de radio a y longitud infinita, se coloca en un
campo el&eacute;ctrico uniforme de magnitud E dirigido perpendicularmente al eje del
cilindro.
a) Encuentre el potencial el&eacute;ctrico dentro y fuera del cilindro.
b) Calcule la densidad de carga superficial inducida en el cilindro.
11. Dos mitades longitudinales de un tubo cil&iacute;ndrico hueco, de longitud infinita y
radio b, est&aacute;n sujetas a potenciales constantes V1 y V2 , respectivamente. Calcule
el potencial dentro del tubo.
12. Dos cargas iguales +q est&aacute;n separadas una distancia d. Una esfera conductora
conectada a tierra se coloca justo en la mitad de la distancia entre las cargas.
a) Calcule el radio que debe tener la esfera para que las cargas permanezcan en
equilibrio.
b) Encuentre el potencial fuera de la esfera en el caso (a).
c) Calcule la fuerza entre las cargas si la esfera, con el radio determinado en
(a), ahora se mantiene a un potencial constante V .
13. Un dipolo p se coloca a una distancia h de un plano conductor infinito conectado
a tierra, formando un &aacute;ngulo α con respecto a la normal al plano.
a) Calcule la magnitud y direcci&oacute;n de la fuerza sobre el dipolo.
b) Calcule el trabajo requerido para llevar el dipolo al infinito.
128
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
14. Dos cargas puntuales q y −q est&aacute;n ubicadas sobre el eje z en z = a y z = −a,
respectivamente. Encontrar el potencial en el espacio para r &lt; a y r &gt; a.
15. Un condensador est&aacute; formado por dos conductores planos, uno de los cuales
tiene una peque&ntilde;a protuberancia hemisf&eacute;rica de radio a en su superficie interna,
y el cual est&aacute; conectado a tierra. El conductor plano se encuentra a un potencial
tal que el campo el&eacute;ctrico en el condensador, lejos del hemisferio, es uniforme
y de magnitud Eo . Calcule la densidad de carga inducida en el hemisferio.
16. Un disco de radio a posee una carga q uniformemente distribuida en su superficie. Determine el potencial el&eacute;ctrico para distancias mayores que a.
17. El potencial de una esfera de radio a es V = Vo cos θ, donde θ es el &aacute;ngulo con
respecto al eje z en coordenas esf&eacute;ricas. Encuentre el potencial en todo punto
del espacio, dentro y fuera de la esfera.
k(a2 − R2 )−1/2 , donde k es una constante y R es la distancia desde el centro
del disco. Encuentre el potencial el&eacute;ctrico para distancias mayores que a.
19. Una varilla infinita con densidad lineal de carga λ uniforme se coloca paralela
y a una distancia R del eje de un cilindro conductor infinito de radio b &lt; R,
a) Calcule el potencial en todo punto del espacio.
b) Encuentre la densidad superficial de carga inducida sobre el cilindro.
c) La fuerza por unidad de longitud ejercida sobre la varilla.
20. Una esfera de radio a tiene una densidad de carga superficial σ(θ) = σo cos θ,
con σo constante. Calcule el campo el&eacute;ctrico dentro y fuera de la esfera.
21. Una part&iacute;cula con carga q y velocidad inicial muy peque&ntilde;a v = v0 x̂, (v0 c),
pasa por el entorno de una esfera conductora fija de radio a, centrada en el
origen de coordenadas, con par&aacute;metro de impacto b a. Sea R(t) la posici&oacute;n
de la part&iacute;cula en un instante t.
a) Encuentre el potencial en todo punto fuera de la esfera como funci&oacute;n de
R(t).
b) Calcule la fuerza sobre la part&iacute;cula en t&eacute;rminos de R(t). Indique en cu&aacute;l
direcci&oacute;n se desv&iacute;a la part&iacute;cula.
2.12. PROBLEMAS.
129
22. Una varilla de longitud L posee una densidad lineal uniforme de carga λ. Calcule
el potencial para distancias mayores que L.
23. Un dipolo el&eacute;ctrico p se coloca a una distancia b del centro de una esfera conductora de radio a &lt; b conectada a tierra. Encuentre el potencial el&eacute;ctrico para
distancias r b.
24. Dos cargas puntuales q y −q est&aacute;n localizadas sobre el eje z en z = a y z = −a,
respectivamente. Las cargas est&aacute;n dentro de un cascar&oacute;n esf&eacute;rico conductor
el potencial dentro de la esfera.
130
CAP&Iacute;TULO 2. PROBLEMAS DE FRONTERA EN ELECTROST&Aacute;TICA
Cap&iacute;tulo 3
Campos el&eacute;ctricos en la materia
3.1.
En general, los &aacute;tomos poseen distribuciones esf&eacute;ricas de carga electr&oacute;nica, por
lo que no exhiben momentos dipolares apreciables. Sin embargo, muchas mol&eacute;culas
tienen momentos dipolares intr&iacute;nsecos debido a la distribuci&oacute;n de los electrones en
los enlaces at&oacute;micos, o pueden adquirirlo en presencia de un campo el&eacute;ctrico externo.
por estas mol&eacute;culas, debido a que, en adici&oacute;n a los potenciales producidos por las
cargas netas presentes en el medio, cada dipolo p contribuye con un potencial
ϕ(r) =
p &middot; r̂
.
r2
(3.1)
debye= 10−18 [Coul]&times;[cm]. Algunos ejemplos de mol&eacute;culas intr&iacute;nsicamente dipolares
son H Cl (1,03 debye), H2 O (1,86 debye), N H3 (1,47 debye).
Figura 3.1: Algunas mol&eacute;culas dipolares.
131
132
CAP&Iacute;TULO 3. CAMPOS EL&Eacute;CTRICOS EN LA MATERIA
Un momento dipolar tambi&eacute;n puede ser inducido en un &aacute;tomo o mol&eacute;cula con
carga total nula en presencia de un campo el&eacute;ctrico externo. Se observa que el campo
externo produce una separaci&ograve;n o redistribuci&oacute;n de las cargas, tal que el &aacute;tomo o
mol&eacute;cula adquiere un momento inducido pind que es proporcional al campo externo
pind = γ Eext ,
(3.2)
donde la constante de proporcionalidad γ se denomina polarizabilidad y depende de
propiedades f&iacute;sicas o geom&eacute;tricas del objeto.
Ejemplos.
1. Como un ejemplo simple de un elemento polarizable, consideremos el problema
de una esfera conductora aislada de radio a, sin carga neta, sujeta a un campo
externo uniforme Eext = Eẑ.
Figura 3.2: Esfera conductora en un campo el&eacute;ctrico externo.
Recordemos que el potencial resultante fuera de la esfera es
Ea3
cos θ.
(3.3)
r2
El primer t&eacute;rmino es el potencial asociado al campo externo, ϕext = Ez, mientras que el segundo t&eacute;rmino corresponde al potencial producido por la carga
superficial inducida por el campo externo sobre la esfera,
ϕ(r, θ) = −Er cos θ +
Ea3
Ea3
pind &middot; r̂
cos
θ
=
ẑ &middot; r̂ =
,
r2
r2
r2
el cual describe el potencial de un dipolo inducido
ϕind =
pind = E a3 ẑ = γ Eext ,
(3.4)
(3.5)
133
donde la polarizabilidad de la esfera conductora est&aacute; dada por γ = a3 .
Este ejemplo sirve para ilustrar el comportamiento de un &aacute;tomo neutro en un
&aacute;tomo como γ ∼ (radio at&oacute;mico)3 ∼ (10−8 cm)3 = 10−24 cm3 .
2. Modelo simple de polarizabilidad de un &aacute;tomo o mol&eacute;cula.
Figura 3.3: Momento dipolar inducido en un &aacute;tomo por un campo el&eacute;ctrico externo.
Consideremos un &aacute;tomo con una distribuci&oacute;n electr&oacute;nica, sujeto a un campo
externo Eext . Supongamos que la interacci&oacute;n n&uacute;cleo-electr&oacute;n se puede describir
como una fuerza restauradora de constante mω 2 , es decir, F = −mω 2 r, donde m
es la masa del electr&oacute;n, ω es la frecuencia t&iacute;pica &aacute;t&oacute;mica y r es el desplazamiento
de la nube electr&oacute;nica desde su posici&oacute;n de equilibrio. La fuerza sobre el electr&oacute;n
debida al campo es Fext = −eEext . Entonces, en el equilibrio de fuerzas debemos
tener
e Eext
− e Eext − mω 2 r = 0 ⇒ r = −
.
(3.6)
mω 2
El momento dipolar inducido es
pind = −er =
e2
Eext = γ Eext
mω 2
(3.7)
y la polarizabilidad del &aacute;tomo es
γ=
e2
≈ 6 &times; 10−24 cm3 ,
mω 2
(3.8)
donde hemos empleado e = 1,6 &times; 10−19 Coul (carga del electr&oacute;n); m = 10−27
gr; ω = 2πc/λ; λ = 4000 &Aring; (visible).
134
CAP&Iacute;TULO 3. CAMPOS EL&Eacute;CTRICOS EN LA MATERIA
Los medios materiales pueden contener muchos momentos dipolares, tanto permanentes como inducidos por campos externos. En general, ambos tipos de dipolos
tienden a alinearse con un campo externo aplicado. El momento dipolar promedio
por &aacute;tomo o mol&eacute;cula es proporcional al campo externo,
hpi = γ Eext ,
(3.9)
donde γ es la polarizabilidad molecular caracter&iacute;stica.
La polarizaci&oacute;n P de un medio se define como el momento dipolar por unidad de
volumen. Si n es el n&uacute;mero de mol&eacute;culas por unidad de volumen, entonces P = n hpi.
En un medio isotr&oacute;pico, cuyas propiedades son iguales en todas las direcciones, se
observa experimentalmente que P es proporcional al campo externo aplicado,
P = χe Eext ,
(3.10)
donde la constante de proporcionalidad χe se llama susceptibilidad el&eacute;ctrica del medio.
Note que χe = nγ.
Un diel&eacute;ctrico es un medio material no conductor que puede ser polarizado mediante un campo el&eacute;ctrico externo. Cuando un diel&eacute;ctrico es colocado en un campo
el&eacute;ctrico, las cargas no fluyen libremente como en un conductor, sino que se separan
ligeramente desde sus posiciones de equilibrio promedio, causando polarizaci&oacute;n en el
medio. Como resultado, la polarizaci&oacute;n afecta el campo el&eacute;ctrico neto en el medio.
3.2.
En un medio material aislado pueden existir muchos dipolos permanentes a nivel
molecular. El momento dipolar promedio por mol&eacute;cula en el material es cero, puesto
que los dipolos permanentes a temperaturas finitas est&aacute;n orientados al azar.
Sin embargo, si el material est&aacute; sujeto a un campo el&eacute;ctrico externo, los dipolos
moleculares permanentes pper tienden a alinearse con el campo; y &eacute;ste a su vez puede
inducir momentos dipolares adicionales pind en otras mol&eacute;culas presentes. Luego, el
momento dipolar promedio resultante hpi en un medio sometido a un campo externo
Eext proviene tanto de los momentos dipolares permanentes como de los momentos
inducidos, lo cual puede dar lugar a un momento dipolar neto distinto de cero en el
medio.
Calculemos cada una de estas contribuciones al momento dipolar promedio de un
135
i) Dipolos permanentes en presencia de un campo externo.
Consideremos que el medio es homog&eacute;neo, es decir que sus dipolos poseen igual
magnitud p0 . A temperatura T , estos dipolos est&aacute;n orientados al azar.
Supongamos el campo externo uniforme Eext = Eẑ. Entonces, la energ&iacute;a de
interacci&oacute;n de un dipolo con el campo es U = −p0 &middot; Eext = p0 E cos θ. Puesto
que la orientaci&oacute;n de los dipolos permanentes en el medio es aleatoria debido a
la agitaci&oacute;n t&eacute;rmica, existe una distribuci&oacute;n de &aacute;ngulos θ que se debe tomar en
cuenta para calcular el momento dipolar promedio hpiper al aplicar un campo
Eext a una temperatura T .
espacio de fase (q̃, p̃) de un sistema a una temperatura T , donde q̃ representa el
conjunto de las coordenadas y p̃ el conjunto de los correspondientes momentos
conjugados del sistema, es una funci&oacute;n de la forma Maxwell-Boltzmann
f (H) = e−H/kB T ,
(3.11)
donde H es el Hamiltoniano del sistema y kB = 1,4 &times; 10−16 erg/o K es la
constante de Boltzmann.
El Hamiltoniano o la energ&iacute;a de una mol&eacute;cula con dipolo p0 en el material
sujeto al campo externo es
H = H0 − p0 E cos θ,
(3.12)
donde H0 s&oacute;lo depende de coordenadas internas de la mol&eacute;cula. Entonces, utilizando la distribuci&oacute;n de probabilidad de Maxwell-Boltzmann y puesto que
las variables angulares son continuas, podemos calcular el promedio estad&iacute;stico
hpiper en el espacio de fase, correspondiente al momento dipolar permanente
promedio por mol&eacute;cula en el medio,
R 3 R 3
d p̃ d r p exp − kBHT
,
hpiper = R
(3.13)
R
d3 p̃ d3 r exp − kBHT
donde d3 q̃ ≡ d3 r = r2 dr dφ sin θ dθ es el elemento de volumen de las coordenadas q̃, y d3 p̃ es el elemento de volumen de los momentos p̃ en el espacio de fase.
136
CAP&Iacute;TULO 3. CAMPOS EL&Eacute;CTRICOS EN LA MATERIA
El factor exponencial se puede expresar como
H0
p0 E cos θ
H
= exp −
exp
.
exp −
kB T
kB T
kB T
(3.14)
Las componentes de hpiper est&aacute;n definidas como
hpx iper = p0 sin θ cos φ
(3.15)
hpy iper = p0 sin θ sin φ
(3.16)
hpz iper = p0 cos θ.
(3.17)
Calculamos
hpx iper =
=
R
R
0 θ
H
p0 exp
d3
p̃ d3 r sin θ cos φ exp p0 kEBcos
−kB T T
R
R
p
E
cos
θ
H
3
0
0
exp
d p̃ d3 r exp
−kB T kB T
0
:R π
R 2
R 2π θ
cos φ dφ 0 sin2 θ exp p0 kEBcos
dθ
p 0 r dr 0
T
R
R 2
R
2π
π
θ
r dr 0 dφ 0 sin θ exp p0 kEBcos
dθ
T
= 0.
(3.18)
R 2π
Similarmente, hpy iper contiene un factor 0 sin φ dφ = 0 en su numerador, por
lo que hpy iper = 0. Para hpz iper obtenemos
R 2
R 2π R π
θ
dφ 0 cos θ sin θ exp p0 kEBcos
r dr 0
p 0 dθ
T
hpz iper =
.
(3.19)
R
R
R 2
π
2π θ
dφ 0 sin θ exp p0 kE cos
r
dr
dθ
T
0
B
Hacemos el cambio de variable x = cos θ, y obtenemos
R1
p0 E
x
x
exp
dx
kB T
−1
hpz iper = p0 R
.
1
p0 E
−1 exp kB T x dx
(3.20)
Recordemos la expansi&oacute;n de la funci&oacute;n exponencial,
ex =
∞
X
xn
n=0
n!
(3.21)
Para la temperatura ambiente, T = 300K◦ , tenemos el factor
podemos hacer la expansi&oacute;n
p0 E
p0 E
x '1+
x + &middot;&middot;&middot;
exp
kB T
kB T
137
p0 E
1. Luego,
kB T
(3.22)
despreciando t&eacute;rminos de orden superior, que son muy peque&ntilde;os. Entonces,
podemos escribir
R1
p0 E
−1 x 1 + k T x dx
B
hpz iper ' p0
R1
p0 E
−1 1 + k T x dx
B
1
2
3
1 p0 E x =
2 kB T 3 −1
=
1 p0 2 E
.
3 kB T
(3.23)
Luego,
1 p0 2 E
1 p0 2
ẑ =
Eext .
(3.24)
3 kB T
3 kB T
Esta expresi&oacute;n no es v&aacute;lida para T → 0, puesto que en ese l&iacute;mite no se cumple
p0 E
la condici&oacute;n
1.
kB T
hpiper = hpz iper ẑ =
ii) Medio sin dipolos permanentes sujeto a un campo externo.
En este caso, el campo externo Eext = Eẑ induce momentos dipolares pind = er
en las part&iacute;culas presentes en el medio, con r variable, de modo que hpiind 6= 0.
El Hamiltoniano de una mol&eacute;cula en un campo externo Eext , correspondiente
al modelo simple de polarizabilidad molecular, es
H=
p̃2
1
+ mω 2 r2 + U,
2m 2
(3.25)
donde U = −pind &middot; Eext = −er &middot; Eext = −E r cos θ. Luego,
H=
p̃2
1
+ mω 2 r2 − eEz.
2m 2
(3.26)
138
CAP&Iacute;TULO 3. CAMPOS EL&Eacute;CTRICOS EN LA MATERIA
El promedio estad&iacute;stico hpiind corresponde a
R
d3 p̃ d3 r pind exp − kBHT
R
R
d3 p̃ d3 r exp − kBHT
R
R
e d3 p̃ d3 r r exp − kBHT
.
R
R
d3 p̃ d3 r exp − kBHT
R
hpiind =
=
(3.27)
(3.28)
Calculemos la componente
hpz iind
R
R
e d3 p̃ d3 r z exp − kBHT
.
= R
R
d3 p̃ d3 r exp − kBHT
(3.29)
Hagamos el siguiente cambio de variables
eE
ẑ
mω 2
eE
⇒ r = r0 +
ẑ
mω 2
eE 2
eE 0
2
02
z +
,
⇒r = r +2
mω 2
mω 2
r0 = r −
(3.30)
(3.31)
(3.32)
donde z 0 = r0 &middot; ẑ. En las nuevas variables, el Hamiltoniano Ec. (3.26) se puede
expresar como
&quot;
#
p̃2
1
2eE 0
eE 2
eE
2
02
0
H =
+ mω r +
z +
− eE z +
2m 2
mω 2
mω 2
mω 2
=
1
1 e2 E 2
p̃2
+ mω 2 r02 −
.
2m 2
2 mω 2
Escribimos la Ec. (3.29) en las nuevas variables,
h
2
i
R
R
p̃
1
eE
1
2 r 02
e d3 p̃ d3 r z 0 + mω
exp
−
+
mω
2
kB T 2m
2
h
2
i
hpz iind =
,
R
R
p̃
d3 p̃ d3 r0 exp − kB1T 2m
+ 12 mω 2 r02
(3.33)
(3.34)
139
h
2 2 i
E
donde el factor exp kB1T emω
se simplifica en el denominador y el nume2
rador de la Ec. (3.34). Entonces,
i R
h
i
h
R 3
1
p̃2
3 r 0 z 0 exp − mω 2 r02
d
d
p̃
exp
−
2
kb T 2m
2kB T
e E
(3.35)
hpz iind =
+ e R
i R
h
i .
h
2
mω 2
1 p̃
3 r 0 exp − mω 2 r02
d
d3
p̃ exp
−
kb T 2m
2kB T
Si expresamos
resulta en
Z
z0
=
r0 cos θ0 ,
la integral en el numerador del segundo t&eacute;rmino
Z 2π
Z π
mω 2 r02
0
0
r exp −
dr
dφ
cos θ sin θ dθ = 0.
(3.36)
kB T
0
0
R1
Rπ
puesto que, haciendo x = cos θ, tenemos 0 cos θ sin θ dθ = −1 x dx = 0.
03
Luego,
e2 E
.
(3.37)
mω 2
Se puede demostrar que, al igual que el caso de un medio con dipolos permanentes, las componentes hpx iind y hpy iind se anulan. Entonces,
hpz iind =
hpiind = hpz i ẑ =
e2
e2 E
ẑ
=
Eext .
mω 2
mω 2
(3.38)
En general, en un medio sujeto a un campo el&eacute;ctrico externo Eext coexisten dipolos
permanentes e inducidos. Por lo tanto, el momento dipolar promedio por mol&eacute;cula
tendr&aacute; contribuciones de ambas fuentes, es decir,
hpi = hpiind + hpiper
e2
p0 2
E
+
Eext
ext
mω 2
3 kB T
2
e
p0 2
=
+
Eext .
mω 2 3 kB T
=
(3.39)
Comparando con la definici&oacute;n hpi = γEext , vemos que la polarizabilidad molecular a
temperatura T es
e2
p0 2
γ=
+
.
(3.40)
mω 2 3 kB T
140
3.3.
CAP&Iacute;TULO 3. CAMPOS EL&Eacute;CTRICOS EN LA MATERIA
Electrost&aacute;tica en medios diel&eacute;ctricos.
Consideremos un material diel&eacute;ctrico en el cual existe una densidad de carga libre
ρlibre (r0 ) y una polarizaci&oacute;n P(r0 ). El potencial producido en la posici&oacute;n r (dentro o
fuera del diel&eacute;ctrico) por un volumen ∆V ubicado en r0 se debe a las contribuciones
de la carga libre y del momento dipolar contenido en ∆V ,
∆ϕ(r) =
ρlibre (r0 )∆V
P(r0 )∆V &middot; (r − r0 )
+
.
0
|r − r |
|r − r0 |3
(3.41)
Figura 3.4: Contribuciones al potencial en un medio diel&eacute;ctrico.
El potencial total en r se obtiene integrando sobre todo el volumen donde existan
carga y polarizaci&oacute;n,
Z
Z
P(r0 ) &middot; (r − r0 ) 3 0
ρlibre (r0 ) 3 0
d
r
+
d r.
(3.42)
ϕ(r) =
|r − r0 |
|r − r0 |3
Para evaluar el segundo t&eacute;rmino en la Ec. (3.42), consideremos el siguiente gradiente
X
1
∂
1
0
∇
=
x̂i .
(3.43)
|r − r0 |
∂x0i |r − r0 |
i
Calculamos las componentes la Ec. (3.43),
1
∂
xi − x0i
=
.
∂x0i |r − r0 |
|r − r0 |3
Luego,
∇
0
1
|r − r0 |
=
r − r0
.
|r − r0 |3
(3.44)
(3.45)
3.3. ELECTROST&Aacute;TICA EN MEDIOS DIEL&Eacute;CTRICOS.
Entonces, podemos expresar el potencial en la Ec. (3.42) como
Z
Z
1
ρlibre (r0 ) 3 0
0
0
d3 r0 .
ϕ(r) =
d
r
+
P(r
)
&middot;
∇
|r − r0 |
|r − r0 |
141
(3.46)
Para evaluar la segunda integral en la Ec. (3.46), usamos la identidad vectorial
a &middot; ∇ψ = ∇ &middot; (ψa) − ψ∇ &middot; a ,
que permite escribir esa integral como
Z
Z
Z
P(r0 )
1
∇0 &middot; P(r0 ) 3 0
0
0
0
3 0
3 0
&middot;
∇
r
=
r
−
P(r ) &middot; ∇
d
d
d r.
|r − r0 |
|r − r0 |
|r − r0 |
Usamos el teorema de la divergencia para evaluar
Z
I
P(r0 )
P(r0 )
0
3 0
∇ &middot;
d
r
=
&middot; n̂ da0 .
0
|r − r0 |
S |r − r |
(3.47)
(3.48)
(3.49)
Figura 3.5: Superficie que justo encierra al medio diel&eacute;ctrico.
Si tomamos la superficie S tal que encierre a todo el material diel&eacute;ctrico y justo
por encima de &eacute;ste, tenemos P = 0 sobre S y, por lo tanto, esta integral se anula.
Entonces, nos queda
Z
Z
∇0 &middot; P(r0 ) 3 0
ρlibre (r0 ) 3 0
d
r
−
d r
ϕ(r) =
|r − r0 |
|r − r0 |
Z
ρef (r0 ) 3 0
=
d r ,
(3.50)
|r − r0 |
donde hemos definido la densidad efectiva o equivalente de carga en el medio,
ρef ≡ ρlibre − ∇ &middot; P.
(3.51)
142
CAP&Iacute;TULO 3. CAMPOS EL&Eacute;CTRICOS EN LA MATERIA
La Ec. (3.50) implica que el medio diel&eacute;ctrico contribuye al potencial de la misma
ρpol = −∇ &middot; P.
(3.52)
La existencia del potencial en la Ec. (3.50) implica que se puede definir el campo
el&eacute;ctrico
E = −∇ϕ ,
(3.53)
el cual debe satisfacer las ecuaciones de la Electrost&aacute;tica en el medio
∇ &times; E = 0,
∇ &middot; E = 4πρef .
(3.54)
(3.55)
Se define el vector de desplazamiento el&eacute;ctrico como
D = E + 4πP.
(3.56)
En medio isotr&oacute;pico, P = χe E, por lo que podemos escribir
D = (1 + 4πχe )E = E ,
(3.57)
donde se ha definido la permitividad el&eacute;ctrica o la constante diel&eacute;ctrica del medio
como
≡ 1 + 4πχe .
(3.58)
Note que &gt; 1 en un medio material. El vac&iacute;o corresponde a = 1, mientras que un
conductor perfecto posee → ∞. Un conductor puede considerarse como un medio
altamente polarizable, hasta el punto en que las cargas pueden separarse y desplazarse
hasta su superficie.
El desplazamiento el&eacute;ctrico satisface
∇ &middot; D = ∇ &middot; E + 4π∇ &middot; P
= 4πρef + 4π∇ &middot; P
= 4π(ρlibre − ∇ &middot; P) + 4π∇ &middot; P
= 4πρlibre .
(3.59)
3.3. ELECTROST&Aacute;TICA EN MEDIOS DIEL&Eacute;CTRICOS.
143
Las ecuaciones de la Electrost&aacute;tica en un medio diel&eacute;ctrico se pueden expresar en
t&eacute;rminos de E y D como
∇&times;E = 0
∇ &middot; D = 4πρlibre .
(3.60)
(3.61)
Note que D est&aacute; relacionado con ρlibre , mientras que E est&aacute; asociado con ρef .
Consideremos las condiciones de frontera en una interfase entre dos medios diel&eacute;ctricos, caracterizados por constantes 1 y 2 , respectivamente. Denominamos n̂ al
vector normal a la interfase, dirigido de (1) hacia (2), y t̂ al vector unitario tangente
a la interfase. Sean E1 y E2 los campos el&eacute;ctricos en el medio 1 y en el medio 2,
respectivamente, justo sobre la interfase.
Figura 3.6: Direcciones normal y tangencial en la frontera entre dos medios diel&eacute;ctricos.
i. Condici&oacute;n de frontera para la componente tangencial de E.
Figura 3.7: Evaluaci&oacute;n de la componente tangencial de E en la frontera entre dos diel&eacute;ctricos.
La integral de l&iacute;nea del campo el&eacute;ctrico E sobre un rect&aacute;ngulo C, de lados a y
b, que atraviesa la interfase satisface
I
Z
E &middot; dl = (∇ &times; E) &middot; ŝ da = 0.
(3.62)
C
S
donde ŝ es el vector normal a la superficie S encerrada por C.
144
CAP&Iacute;TULO 3. CAMPOS EL&Eacute;CTRICOS EN LA MATERIA
En el l&iacute;mite a → 0,
Z
I
lı́m
a→0 C
b
(E2 &middot; t̂ − E1 &middot; t̂) dl = 0 ,
E &middot; dl =
(3.63)
0
lo cual es v&aacute;lido ∀b; luego localmente tenemos
E2 &middot; t̂ = E1 &middot; t̂ .
(3.64)
Es decir, la componente tangencial de E es continua en la frontera entre dos
medios diel&eacute;ctricos.
ii. Condici&oacute;n de frontera para la componente normal de D.
Figura 3.8: Evaluaci&oacute;n de la componente normal de D en la frontera entre dos diel&eacute;ctricos.
Aplicamos la ley de Gauss en un cilindro de longitud h y &aacute;rea A que atraviesa
la interfase,
Z
Z
∇ &middot; D d3 r = 4π
ρlibre d3 r,
(3.65)
VI
V
D &middot; n̂da = 4πqlibre .
(3.66)
S
Tomamos el l&iacute;mite h → 0,
Z
Z
(D2 &middot; n̂ − D1 &middot; n̂)da = 4π
σlibre da ,
A
(3.67)
A
lo cual es v&aacute;lido ∀A, luego localmente tenemos
D2 &middot; n̂ − D1 &middot; n̂ = 4πσlibre .
(3.68)
Es decir, la componente normal de D es discontinua si existe una densidad de
carga libre superficial σlibre en la frontera entre dos medios diel&eacute;ctricos.
3.4. PROBLEMAS DE FRONTERA CON DIEL&Eacute;CTRICOS.
145
iii. La relaci&oacute;n ρpol = −∇ &middot; P permite encontrar la densidad de carga superficial
de polarizaci&oacute;n inducida sobre la interfase. Aplicando la ley de Gauss, al igual
que en el caso anterior, podemos obtener
− (P2 − P1 ) &middot; n̂ = σpol .
3.4.
(3.69)
Problemas de frontera con diel&eacute;ctricos.
Las ecuaciones para la Electrost&aacute;tica en un medio diel&eacute;ctrico son
∇&times;E = 0
∇ &middot; D = 4πρlibre ,
(3.70)
(3.71)
donde D = E en un medio isotr&oacute;pico. Estas ecuaciones implican que existe un
potencial el&eacute;ctrico ϕ que satisface
E = −∇ϕ,
ρlibre
∇2 ϕ = −4π
.
(3.72)
(3.73)
Las condiciones de frontera en la superficie que separa dos medios con constantes
diel&eacute;ctricas 1 y 2 son
E2 &middot; t̂ = E1 &middot; t̂ ,
(3.74)
D2 &middot; n̂ − D1 &middot; n̂ = 4πσlibre .
(3.75)
Ejemplos.
1. Calcular el potencial dentro y fuera de una esfera de radio a y constante diel&eacute;ctrica , sin cargas libres, sujeta a un campo el&eacute;ctrico externo Eext = Eẑ.
Puesto que ρlibre = 0, el potencial satisface la ecuaci&oacute;n de Laplace ∇2 ϕ = 0,
dentro y fuera de la esfera. Entonces, buscamos soluciones del potencial ϕ con
simetr&iacute;a azimutal para r &lt; a, en un medio con constante diel&eacute;ctrica 1 = ,
y para r &gt; a, en un medio con 2 = 1, tales que cumplan las condiciones de
frontera en r → ∞ y r = a.
146
CAP&Iacute;TULO 3. CAMPOS EL&Eacute;CTRICOS EN LA MATERIA
Figura 3.9: Esfera diel&eacute;ctrica en un campo externo uniforme.
El potencial dentro de la esfera no debe poseer singularidades en r = 0, luego
para r &lt; a, tenemos
X
ϕ1 (r, θ) =
Al rl Pl (cos θ).
(3.76)
l=0
Para r &gt; a,
ϕ2 (r, θ) =
Xh
i
Bl rl + Cl r−(l+1) Pl (cos θ).
(3.77)
l=0
Para r → ∞, la condici&oacute;n de frontera es ϕ2 = −Er cos θ. Luego, en r → ∞,
tenemos
X
Bl rl Pl (cos θ) = −ErP1 (cos θ) ,
(3.78)
l=0
lo cual implica,
B1 = −E
Bl = 0,
(3.79)
∀ l 6= 1.
(3.80)
X
(3.81)
Luego, podemos escribir
ϕ2 (r, θ) = (−Er + C1 r−2 )P1 (cos θ) +
Cl r−(l+1) Pl (cos θ).
l6=1
En coordenadas esf&eacute;ricas, el campo el&eacute;ctrico se puede expresar como
∂ϕ
1 ∂ϕ
1 ∂ϕ
E = −∇ϕ = −
r̂ +
θ̂ +
φ̂ .
∂r
r ∂θ
r sin θ ∂φ
(3.82)
3.4. PROBLEMAS DE FRONTERA CON DIEL&Eacute;CTRICOS.
147
En r = a, tenemos las siguientes condiciones:
(a) continuidad de la componente tangencial de E, dada por Eθ = −
1 ∂ϕ
:
r ∂θ
1 ∂ϕ2 1 ∂ϕ1 = −
(3.83)
−
a ∂θ r=a
a ∂θ r=a
∂P1 X
∂P1 X
∂Pl (cos θ)
∂Pl (cos θ)
A1 a
+
Al a l
= −Ea + C1 a−2
+
Cl a−(l+1)
∂θ
∂θ
∂θ
∂θ
l6=1
l6=1
de donde, comparando coeficientes en ambos lados, obtenemos
l = 1,
l 6= 1,
A1 a = −Ea + C1 a−2 ⇒ A1 = −E +
Al al = Cl a−(l+1) ⇒ Al =
C1
a3
Cl
.
a2l+1
(3.84)
(3.85)
(b) continuidad de la componente normal de D = E, correspondiente a Dn =
∂ϕ
Dr = − , puesto que σlibre = 0.
∂r
∂ϕ2 ∂ϕ1 =−
.
(3.86)
−
∂r r=a
∂r r=a
Calculamos,
∂ϕ1
∂r
= A1 P1 (cos θ) +
∂ϕ2
∂r
= −(E + 2C1 r−3 )P1 (cos θ) −
X
lAl rl−1 Pl (cos θ)
l6=1
X
(l + 1)Cl r−(l+2) Pl (cos θ).
l6=1
Comparando coeficientes en ambos lados de la Ec. (3.86), obtenemos
l = 1,
l 6= 1,
2C1
(3.87)
a3
Cl
⇒ lAl = −(l + 1) 2l+1 . (3.88)
a
A1 = −E − 2C1 a−3 ⇒
lAl a(l−1) = −(l + 1)Cl a−(l+2)
A1 = −E −
148
CAP&Iacute;TULO 3. CAMPOS EL&Eacute;CTRICOS EN LA MATERIA
Comparando las cuatro ecuaciones para las condiciones de frontera de E tangencial y D normal en r = a, encontramos los coeficientes
l = 1, C1 =
l 6= 1,
( − 1)
Ea3 ,
( + 2)
Cl = 0,
A1 = −
3
E
( + 2)
Al = 0.
(3.89)
(3.90)
Luego, el potencial dentro y fuera de la esfera diel&eacute;ctrica es
3
Er cos θ,
( + 2)
( − 1) a3
E cos θ,
ϕ2 (r, θ) = −Er cos θ +
( + 2) r2
ϕ1 (r, θ) = −
r&lt;a
(3.91)
r &gt; a.
(3.92)
El potencial dentro de la esfera puede expresarse como
ϕ1 = −
3
Ez,
( + 2)
(3.93)
luego, el campo el&eacute;ctrico dentro de la esfera es
E1 = −
∂ϕ1
3
ẑ =
Eẑ.
∂z
( + 2)
(3.94)
Note que la intensidad del campo el&eacute;ctrico dentro de la esfera di&eacute;lectrica es
menor que la del campo externo, puesto que &gt; 1. En el l&iacute;mite → ∞,
tenemos un conductor perfecto, y el campo el&eacute;ctrico dentro de la esfera es cero,
como debe esperarse.
Figura 3.10: Polarizaci&oacute;n y su densidad de carga asociada de la esfera en un campo externo.
3.4. PROBLEMAS DE FRONTERA CON DIEL&Eacute;CTRICOS.
149
La polarizaci&oacute;n de la esfera puede calcularse a partir de
P1 = χe E1 =
=
( − 1)
E1
4π
3 ( − 1)
Eẑ.
4π ( + 2)
(3.95)
(3.96)
La densidad superficial de carga inducida por la polarizaci&oacute;n en la superficie de
la esfera puede calcularse a partir de la relaci&oacute;n
σpol = −(P2 − P1 ) &middot; n̂ = P1 &middot; r̂ ,
(3.97)
puesto que P2 = 0. Luego,
σpol =
=
3
4π
3
4π
( − 1)
E ẑ &middot; r̂
( + 2)
( − 1)
E cos θ .
( + 2)
(3.98)
Note que σpol &gt; 0 para θ ∈ [0, π/2), y σpol &lt; 0 para θ ∈ (π/2, π].
Figura 3.11: Momento dipolar de la esfera inducido por el campo externo.
El momento dipolar total inducido en la esfera es
Z
p =
P1 d3 r
esfera
=
( − 1) 3
a Eẑ.
( + 2)
(3.99)
Note que los dos t&eacute;rminos en el potencial ϕ2 fuera de la esfera diel&eacute;ctrica,
Ec. (3.92), corresponden justamente al potencial asociado al campo externo,
m&aacute;s el potencial producido por este dipolo p.
150
CAP&Iacute;TULO 3. CAMPOS EL&Eacute;CTRICOS EN LA MATERIA
Recordemos que la polarizabilidad γ de un objeto en un campo externo se define
como p = γEext . Entonces, la polarizabilidad de la esfera es
γ=
( − 1) 3
a .
( + 2)
(3.100)
En el l&iacute;mite → ∞, recobramos la polarizabilidad de una esfera conductora en
un campo externo, γ = a3 .
2. Encontrar el potencial dentro de una cavidad esf&eacute;rica de radio a dentro de un
material con constante diel&eacute;ctrica , sujeto a un un campo el&eacute;ctrico externo
uniforme.
Figura 3.12: Cavidad esf&eacute;rica en un diel&eacute;ctrico con un campo el&eacute;ctrico externo uniforme.
Este problema es equivalente al anterior, haciendo ahora = 1 (vac&iacute;o) dentro de
la esfera y &gt; 1 fuera de la esfera. La soluci&oacute;n se puede obtener directamente
de la anterior, sustituyendo → 1/.
3.5.
Energ&iacute;a electrost&aacute;tica en medios diel&eacute;ctricos.
La energ&iacute;a potencial electrost&aacute;tica de una densidad de carga ρlibre en un potencial
externo ϕext es
Z
U=
ρlibre (r) ϕ(r) d3 r .
(3.101)
Si el medio es un diel&eacute;ctrico, la fuente del potencial es la densidad efectiva de carga
presente en el medio, ρef = ρlibre + ρpol .
3.5. ENERG&Iacute;A ELECTROST&Aacute;TICA EN MEDIOS DIEL&Eacute;CTRICOS.
151
Figura 3.13: Energ&iacute;a electrost&aacute;tica de una densidad carga δρlibre en un medio diel&eacute;ctrico.
Supongamos que traemos una peque&ntilde;a carga libre δρlibre desde el infinito hasta
la posici&oacute;n r en un medio di&eacute;lectrico. Entonces, el cambio de energ&iacute;a electrost&aacute;tica
en el sistema es
Z
δU = δρlibre (r) ϕ(r) d3 r .
(3.102)
En el medio di&eacute;lectrico, el vector de desplazamiento el&eacute;ctrico satisface ∇&middot;D = 4πρlibre .
Correspondientemente, D en el medio cambia en una cantidad δD, tal que
∇ &middot; δD = 4π δρlibre .
(3.103)
Luego, podemos expresar
δU
=
=
Z
1
ϕ ∇ &middot; δD d3 r
4π
Z
Z
1
1
∇ &middot; (ϕδD) d3 r −
∇ϕ &middot; δD d3 r .
4π
4π
(3.104)
El primer t&eacute;rmino es la integral de volumen de la divergencia de un campo vectorial,
la cual, mediante el teorema de la divergencia, se puede expresar como una integral
sobre la superficie que encierra ese volumen,
Z
I
3
∇ &middot; (ϕδD) d r =
ϕ δD &middot; n̂ da .
(3.105)
V
S
Puesto que para r → ∞, ϕ ∼ r−1 y D ∼ r−2 , si tomamos S → ∞, la integral de
superficie que encierra al volumenV se hace cero. Por lo tanto, el primer t&eacute;rmino en
la Ec. (3.104) se anula, y tenemos
Z
Z
1
1
∇ϕ &middot; δD d3 r =
E &middot; δD d3 r ,
(3.106)
δU = −
4π
4π
152
CAP&Iacute;TULO 3. CAMPOS EL&Eacute;CTRICOS EN LA MATERIA
donde hemos sustituido E = −∇ϕ. Suponemos un medio diel&eacute;ctrico lineal e isotr&oacute;pico; es decir, D = E. Entonces, usando la relaci&oacute;n
E &middot; δD =
1
11
D &middot; δD =
δ(D &middot; D) ,
2
(3.107)
podemos escribir
Z
δ(D &middot; D) 3
1
δU =
d r.
(3.108)
8π
La energ&iacute;a el&eacute;ctrost&aacute;tica total de la configuraci&oacute;n de carga en el medio diel&eacute;ctrico es
Z D
Z
Z D
1
δ(D0 &middot; D0 )
U =
δU =
d3 r
8π
0
0
Z
1
D&middot;D 3
=
d r
8π
Z
1
=
E &middot; D d3 r .
(3.109)
8π
Para = 1, la Ec. (3.109) describe la energ&iacute;a de un campo electrost&aacute;tico en el vac&iacute;o,
La Ec. (3.109) tambi&eacute;n permite inferir la fuerza experimentada por un diel&eacute;ctrico
en las proximidades de una regi&oacute;n donde hay un campo el&eacute;ctrico. Consideremos, por
ejemplo, un trozo de un material diel&eacute;ctrico con constante , siendo introducido en
el espacio entre dos planos paralelos que poseen cargas opuestas, y donde existe un
campo el&eacute;ctrico E.
Figura 3.14: Fuerza sobre un diel&eacute;ctrico introducido en una regi&oacute;n donde existe un campo el&eacute;ctrico.
En el diel&eacute;ctrico, D = E, mientras que en el espacio vac&iacute;o entre las placas, D = E.
La energ&iacute;a electrost&aacute;tica en el espacio ocupado por el diel&eacute;ctrico es U2 ∼ |E|2 , y en
el vac&iacute;o es U1 ∼ |E|2 . Luego, U2 &gt; U1 y existe un gradiente ∇U en la direcci&oacute;n desde
el vac&iacute;o (1) hacia el diel&eacute;ctrico (2). La fuerza sobre el diel&eacute;ctrico es F = −∇U y est&aacute;
dirigida desde (2) hacia (1). Luego, el diel&eacute;ctrico es atra&iacute;do hacia la reg&iacute;on del campo
el&eacute;ctrico entre las placas.
3.5. ENERG&Iacute;A ELECTROST&Aacute;TICA EN MEDIOS DIEL&Eacute;CTRICOS.
Resumen
1. Potencial de un dipolo,
ϕ(r) =
p &middot; r̂
.
r2
2. Momento dipolar en un campo externo,
hpi = γ Eext ,
3. Polarizaci&oacute;n (momento dipolar por unidad de volumen),
P = χe Eext ,
4. Desplazamiento el&eacute;ctrico,
D = (1 + 4πχe )E = E ,
5. Ecuaciones de la Electrost&aacute;tica en un medio diel&eacute;ctrico,
∇&times;E
=
0
∇&middot;D
=
4πρlibre .
o, equivalentemente,
E = −∇ϕ
ρ
∇ ϕ = −4π libre
2
ρpol = −∇ &middot; P
7. Condiciones de frontera en la interfase entre dos diel&eacute;ctricos,
E2 &middot; t̂ = E1 &middot; t̂ .
D2 &middot; n̂ − D1 &middot; n̂ = 4πσlibre .
8. Energ&iacute;a el&eacute;ctrost&aacute;tica en un medio diel&eacute;ctric,o
Z
1
U=
E &middot; D d3 r .
8π
153
154
3.6.
CAP&Iacute;TULO 3. CAMPOS EL&Eacute;CTRICOS EN LA MATERIA
Problemas.
1. Un polvo compuesto de part&iacute;culas esf&eacute;ricas de radio 10 &micro; y constante diel&eacute;ctrica igual a 4 se encuentra disperso en el vac&iacute;o con una concentraci&oacute;n de 1012
part&iacute;culas por cm3 . Calcule la constante diel&eacute;ctrica resultante de este medio.
2. Una carga puntual q se encuentra a una distancia R del centro de una esfera
de radio a (a &lt; R) y constante diel&eacute;ctrica .
a) Encuentre el potencial el&eacute;ctrico dentro y fuera de la esfera.
b) Demuestre que en el l&iacute;mite → ∞, el resultado anterior corresponde al
obtenido con una esfera conductora.
3. Un cilindro muy largo, de radio a, constante diel&eacute;ctrica , y con su eje sobre el
eje z, se coloca en un campo el&eacute;ctrico uniforme E = Eo x̂.
a) Encuentre el potencial dentro y fuera del cilindro.
b) Calcule la densidad de carga superficial inducida en el cilindro.
4. El volumen entre dos esferas conductoras conc&eacute;ntricas de radios a y b, (a &lt; b),
se encuentra lleno de un medio inhomog&eacute;neo con constante diel&eacute;ctrica (r) =
o /(1 + kr), donde k y o son constantes y r es la coordenada radial. Una carga
q se coloca sobre la esfera interna, mientras la otra se conecta a tierra.
a) Encuentre el campo el&eacute;ctrico entre las dos esferas.
b) Encuentre el vector de polarizaci&oacute;n en el medio diel&eacute;ctrico.
5. Un tubo cil&iacute;ndrico muy largo, de radio interior a, radio exterior b, y constante
diel&eacute;ctrica , se coloca en el vac&iacute;o en un campo el&eacute;ctrico uniforme de magnitud
E, cuya direcci&oacute;n es perpendicular al eje del cilindro. Calcule el potencial y
el campo el&eacute;ctrico en todo el espacio, despreciando efectos en los extremos del
tubo.
6. Un capacitor consiste en dos tubos conductores cil&iacute;ndricos coaxiales, de radios
a y b (b &gt; a). El capacitor se baja verticalmente en un l&iacute;quido diel&eacute;ctrico
cuya densidad es ρ. La superficie del l&iacute;quido sube una distancia h entre los
tubos cuando se aplica una diferencia de potencial V entre ellos. Calcule la
Cap&iacute;tulo 4
Magnetost&aacute;tica
4.1.
Ecuaciones de la Magnetost&aacute;tica.
Existen medios en los cuales las cargas el&eacute;ctricas pueden moverse en presencia
de un campo el&eacute;ctrico externo. Por ejemplo, los electrones en un material conductor
pueden moverse si se aplica un campo externo. Una carga en movimiento constituye
una corriente el&eacute;ctrica.
Figura 4.1: Densidad de corriente el’ectrica.
La densidad de corriente el&eacute;ctrica producida por una densidad de carga ρ que se
mueve con velocidad v se define como
J = ρv.
(4.1)
Supongamos que un flujo de carga el&eacute;ctrica con densidad ρ atraviesa un &aacute;rea A con
velocidad v en la direcci&oacute;n x, tal que v = dx
dt . Entonces, la cantidad de carga que
atraviesa el &aacute;rea A en un tiempo dt es dq = ρA dx. Luego, podemos expresar la
magnitud de J como
dq
dx
dq
I
J=
&times;
=
= ,
(4.2)
A dx
dt
A dt
A
155
156
CAP&Iacute;TULO 4. MAGNETOST&Aacute;TICA
donde
dq
,
(4.3)
dt
se denomina intensidad de corriente el&eacute;ctrica y es la cantidad de carga el&eacute;ctrica que
pasa por un punto por unidad de tiempo. Es decir, la densidad de corriente el&eacute;ctrica
J es la cantidad de corriente por unidad de &aacute;rea que se mueve en direcci&oacute;n de v. La
unidad de corriente eĺ&eacute;ctrica en el sistema mks es el amperio, que corresponde a un
Coulomb por segundo. En el sistema cgs la unidad de corriente es el statamperio; 1
amperio = 3 &times; 109 statamperios.
En muchos materiales conductores se observa experimentalmente que la densidad
de corriente es proporcional al campo el&eacute;ctrico externo aplicado en el medio,
I=
J = σ Eext ,
(4.4)
donde la constante de proporcionalidad σ es una propiedad espec&iacute;fica del medio y se
% = σ −1 . La Ec. (4.4) es la Ley de Ohm.
Figura 4.2: Ley de Ohm.
Si tenemos un trozo de material de &aacute;rea A y longitud l sujeto a un campo el&eacute;ctrico
externo uniforme en la direcci&oacute;n de l, entonces Eext = Vl , donde V es la diferencia de
potencial entre los extremos. Luego, la Ec. (4.4) puede expresarse en forma escalar
como
I
V
=σ
A
l
V
⇒ I= ,
R
R≡
l
l
=%
Aσ
A
(4.5)
(4.6)
4.1. ECUACIONES DE LA MAGNETOST&Aacute;TICA.
157
se denomina resistencia del material y depende de la conductividad y de propiedades
geom&eacute;tricas del material. La Ec. (4.5) es una expresi&oacute;n m&aacute;s com&uacute;n de la Ley de Ohm.
El campo externo produce una fuerza sobre las cargas; sin embargo, en general
&eacute;stas no se aceleran indefinidamente sino que alcanzan una velocidad terminal debido
a la resistencia del medio. La resistencia se origina en las interacciones de las cargas
con el medio (por ejemplo, con la red cristalina en medios s&oacute;lidos; o con otras cargas
en plasmas). En estas situaciones, la densidad de corriente J es constante.
Las ecuaciones de Maxwell muestran que las cargas en movimiento producen
campo magn&eacute;tico, adem&aacute;s de campo el&eacute;ctrico. Si J es constante, el campo magn&eacute;tico
satisface las ecuaciones de Maxwell para la Magnetost&aacute;tica,
∇ &middot; B = 0,
4π
∇&times;B=
J.
c
(4.7)
(4.8)
El campo B tambi&eacute;n se denomina inducci&oacute;n magn&eacute;tica. La Ec. (4.7) expresa la ausencia de fuentes monopolares para B; la Ec. (4.8) es la Ley de Amp&egrave;re e indica que
una densidad de corriente J produce un campo magn&eacute;tico B.
Si tomamos la divergencia en ambos lados de la Ec. (4.8), obtenemos
∇ &middot; (∇ &times; B) =
4π
∇ &middot; J.
c
(4.9)
Pero ∇ &middot; (∇ &times; a) = 0, ∀a; luego, en Magnetost&aacute;tica,
∇ &middot; J = 0.
(4.10)
La Ec. (4.10) es compatible con la ecuaci&oacute;n de conservaci&oacute;n de la carga el&eacute;ctrica
∂ρ
+ ∇ &middot; J = 0,
∂t
(4.11)
si la densidad de carga ρ es constante. Como vimos en ese caso, el campo el&eacute;ctrico
satisface las ecuaciones de la Electrost&aacute;tica,
∇ &middot; E = 4πρ
(4.12)
∇ &times; E = 0.
(4.13)
158
CAP&Iacute;TULO 4. MAGNETOST&Aacute;TICA
La Ec. (4.7) implica que B se puede expresar como
B = ∇ &times; A,
(4.14)
donde el campo vectorial A(r) se denomina el potencial vector. Sustituyendo en la
Ec. (4.8), obtenemos
4π
∇ &times; (∇ &times; A) =
J.
(4.15)
c
Usamos la identidad vectorial ∇ &times; (∇ &times; A) = ∇(∇ &middot; A) − ∇2 A, donde
∇2 A(r) =
3
X
∇2 Ai (r) x̂i ,
(4.16)
i=1
y
2
∇ Ai (r) =
3
X
∂ 2 Ai (r)
j
∂x2j
.
(4.17)
Luego, podemos escribir
4π
J.
(4.18)
c
La determinaci&oacute;n del potencial vector asociado a un campo magn&eacute;tico est&aacute; sujeta
a la adici&oacute;n de un gradiente de un campo escalar. Supongamos un vector potencial
A0 tal que
B = ∇ &times; A0 .
(4.19)
∇(∇ &middot; A) − ∇2 A =
Entonces el vector
A = A0 + ∇Λ,
(4.20)
donde Λ es un campo escalar arbitrario, est&aacute; asociado al mismo campo magn&eacute;tico B,
:0
B = ∇ &times; A0 = ∇ &times; A − ∇
&times;
∇Λ = ∇ &times; A.
(4.21)
La transformaci&oacute;n A → A + ∇Λ constituye una transformaci&oacute;n de calibre para el
potencial vector, la cual deja invariante el campo magn&eacute;tico B. La invarianza de
B ante esta transformaci&oacute;n es an&aacute;loga a la invarianza del campo el&eacute;ctrico E si al
potencial escalar ϕ se le agrega una cantidad constante, ϕ → ϕ + c,
E = −∇(ϕ + c) = −∇ϕ.
(4.22)
4.1. ECUACIONES DE LA MAGNETOST&Aacute;TICA.
159
Puesto que el campo escalar Λ es arbitrario, podemos escogerlo tal que
∇2 Λ = −∇ &middot; A0
(4.23)
Con esta selecci&oacute;n, el potencial vector en la Ec. (4.20) satisface
∇ &middot; A = ∇ &middot; A0 + ∇2 Λ = ∇ &middot; A0 − ∇ &middot; A0 = 0.
(4.24)
La condici&oacute;n ∇ &middot; A = 0, Ec. (4.24), se conoce como calibre de Coulomb. Con esta
condici&oacute;n, la Ec. (4.14) y la Ec. (4.18) se pueden expresar como las ecuaciones de la
Magnetost&aacute;tica en t&eacute;rminos de A,
B = ∇ &times; A,
4π
∇2 A = − J.
c
(4.25)
(4.26)
Estas ecuaciones son an&aacute;logas a las ecuaciones para la Electrost&aacute;tica en t&eacute;rminos del
potencial escalar ϕ,
∇2 ϕ = −4πρ,
(4.27)
E = −∇ϕ.
(4.28)
La componente i de Ec. (4.26) satisface
∇2 Ai = −
4π
Ji .
c
(4.29)
Esta relaci&oacute;n es similar a la ecuaci&oacute;n de Poisson ∇2 ϕ = −4πρ para el potencial
escalar ϕ, haciendo las analog&iacute;as ϕ ↔ Ai , ρ ↔ Ji /c. La soluci&oacute;n de la ecuacion de
Poisson en el espacio libre es
Z
ρ (r0 ) 3 0
ϕ(r) =
d r.
(4.30)
|r − r0 |
Luego, por analog&iacute;a, debemos tener
1
Ai (r) =
c
Z
Ji (r0 ) 3 0
d r
|r − r0 |
(4.31)
160
CAP&Iacute;TULO 4. MAGNETOST&Aacute;TICA
y, por lo tanto, la soluci&oacute;n de la Ec. (4.26) en el espacio libre es
A(r) =
1
c
Z
J (r0 ) 3 0
d r.
|r − r0 |
El campo magn&eacute;tico se determina a partir de
Z
1
J (r0 )
d3 r0 ,
B(r) = ∇ &times; A(r) =
∇&times;
c
|r − r0 |
(4.32)
(4.33)
donde el operador ∇ act&uacute;a sobre las componentes de r. Para evaluar la Ec. (4.33),
usamos la identidad vectorial ∇ &times; (φA) = φ ∇ &times; A − A &times; ∇φ. Haciendo,
A = J,
φ=
1
,
|r − r0 |
podemos expresar el integrando en la Ec. (4.33) como
:0
J (r0 )
1
1
0
0
∇&times;
=
.
∇
&times;
J(r ) − J(r ) &times; ∇
|r − r0 |
|r − r0 | |r − r0 |
(4.34)
(4.35)
Pero ∇ &times; J(r0 ) = 0, puesto que el operador ∇ act&uacute;a sobre las componentes de r, y
1
|r − r0 )
=
−
∇
.
(4.36)
|r − r0 |
|r − r0 |3
Luego, la Ec. (4.33), que da el campo magn&eacute;tico en el espacio libre debido a una
densidad de corriente J, se puede expresar como
Z
1
J (r0 ) &times; (r − r0 ) 3 0
B(r) =
d r.
(4.37)
c
|r − r0 |3
La Ec. (4.37) para B es an&aacute;loga a la expresi&oacute;n del campo el&eacute;ctrico en el espacio
libre producido por una distribuci&oacute;n de carga ρ (Cap. 1),
Z
E(r) =
ρ(r0 )
(r − r0 ) 3 0
d r .
|r − r0 |3
(4.38)
4.2. LEY DE BIOT-SAVART Y LEY DE AMP&Egrave;RE.
161
Figura 4.3: Campo magn&eacute;tico B y potencial vector A producidos en posici&oacute;n r por una densidad
de corriente J(r0 ).
4.2.
Ley de Biot-Savart y Ley de Amp&egrave;re.
En general, la corriente el&eacute;ctrica (carga por unidad de tiempo) debida a una
densidad de corriente J que atraviesa una superficie A es
Z
J &middot; ds ,
I=
(4.39)
A
donde ds es el elemento de &aacute;rea con vector normal a la superficie A.
En muchos casos de inter&eacute;s, J fluye en materiales en forma de tubos o cables. Un
cable se puede describir como un circuito o curva C, con un vector tangente dl, cuya
secci&oacute;n transversal de &aacute;rea A posee un vector normal ds. En un cable, J es paralelo
a dl. El elemento de volumen del cable se puede expresar como d3 r = dl &middot; ds.
Figura 4.4: Densidad de corriente J fluyendo a trav&eacute;s de un cable C.
Luego, si J fluye por el cable, tenemos J d3 r = J(dl &middot; ds) = dl(J &middot; ds). La integral
de volumen de J en el cable se puede expresar como
Z
3 0
Z
Jd r =
dl
C
0
Z
0
Z
J &middot; ds =
A
C
I dl0 .
(4.40)
162
CAP&Iacute;TULO 4. MAGNETOST&Aacute;TICA
La Ec. (4.37) para densidades de corriente fluyendo por cables se puede escribir como
Z
1
J(r0 ) d3 r0 &times; (r − r0 )
B(r) =
c
|r − r0 |3
Z
Z
dl0 &times; (r − r0 )
1
J(r0 ) &middot; ds0
=
c C |r − r0 |3
A
Z
1
I dl0 &times; (r − r0 )
=
.
(4.41)
c C
|r − r0 |3
La Ec. (4.41) es la Ley de Biot-Savart.
En forma diferencial, la Ley de Biot-Savart se puede expresar como
I dl &times; r
.
(4.42)
c r3
El diferencial de campo magn&eacute;tico dB en la posici&oacute;n r es producido por la corriente
I que pasa por el elemento de l&iacute;nea dl.
dB(r) =
Figura 4.5: Ley de Biot-Savart en forma diferencial.
El campo magn&eacute;tico instant&aacute;neo producido en r por una carga puntual q que se
dl
mueve en una trayectoria con velocidad v = dt
, es
B(r) =
=
I vdt &times; r
c
r3
q v&times;r
,
c r3
(4.43)
donde q = Idt.
En muchas situaciones que poseen simetr&iacute;as, el campo magn&eacute;tico producido por
una corriente tambi&eacute;n puede ser calculado utilizando la forma integral de la segunda
ecuaci&oacute;n de la Magnetost&aacute;tica,
∇&times;B=
4π
J,
c
(4.44)
4.2. LEY DE BIOT-SAVART Y LEY DE AMP&Egrave;RE.
163
la cual constituye la Ley de Amp&egrave;re en forma diferencial. Integramos esta ecuaci&oacute;n
en una superficie S con normal n̂,
Z
Z
4π
(∇ &times; B) &middot; n̂ da =
J &middot; n̂ da.
(4.45)
c S
S
Usando el teorema de Stokes en el lado izquierdo,
I
Z
B &middot; dl,
(∇ &times; B) &middot; n̂ da =
(4.46)
C
S
y la definici&oacute;n de corriente el&eacute;ctrica, podemos escribir la Ec. (4.45) como
I
4π
B &middot; dl =
Ienc ,
c
C
(4.47)
donde Ienc es la corriente circundada por el contorno C. La Ec. (4.47) es la Ley de
Amp&egrave;re en forma integral, an&aacute;loga a la ley de Gauss en forma integral
I
E &middot; n̂ da = 4πqenc .
(4.48)
S
Ejemplos.
1. Calcular el campo magn&eacute;tico producido por un cable recto e infinito, ubicado a
lo largo del eje z, por el cual fluye una corriente constante I en la direcci&oacute;n ẑ.
Figura 4.6: Campo magn&eacute;tico B producido por un cable infinito en la direcci&oacute;n z con corriente I.
164
CAP&Iacute;TULO 4. MAGNETOST&Aacute;TICA
Sea R una distancia fija perpendicular al cable. De la figura, tenemos
r − r0 = R + z 0 ẑ
r − r0 = R2 + z 02 1/2
dl0 = dz 0 ẑ.
Luego,
B =
=
=
=
I dl0 &times; (r − r0 )
|r − r0 |3
C
Z
I ∞ dz 0 ẑ &times; (R + z 0 ẑ)
c −∞ (R2 + z 02 )3/2
Z ∞
I
dz 0
R φ̂
3/2
c
−∞ (R2 + z 02 )
∞
z0
I
R φ̂
1/2
c
R2 (R2 + z 02 ) 1
c
Z
−∞
=
2I
φ̂ ,
cR
(4.49)
donde hemos usado ẑ &times; R = R φ̂. Las l&iacute;neas de campo magn&eacute;tico forman
circunferencias alrededor del eje z, en la direcci&oacute;n que se obtiene con la regla
de la mano derecha.
El campo magn&eacute;tico tambi&eacute;n se puede calcular directamente usando la ley
de Amp&egrave;re en forma integral, Ec. (4.47). Tomamos el contorno C como una
circunferencia de radio R en un plano perpendicular a la direcci&oacute;n del cable.
Por simetr&iacute;a, la magnitud de B es constante sobre esta circunferencia, y su
direcci&oacute;n es paralela al vector tangente dl = dl φ̂. Entonces, de la Ec. (4.47)
obtenemos
4π
B 2πR =
Ienc
c
2I
⇒B=
.
(4.50)
cR
2. Calcular el campo magn&eacute;tico dentro de un solenoide infinito, con n vueltas por
unidad de longitud, por el cual fluye una corriente constante I.
4.2. LEY DE BIOT-SAVART Y LEY DE AMP&Egrave;RE.
165
Figura 4.7: Campo magn&eacute;tico B dentro de un solenoide que lleva una corriente I.
Por simetr&iacute;a, el campo magn&eacute;tico dentro del solenoide debe estar en la direcci&oacute;n
de su eje z. El campo magn&eacute;tico fuera de un solenoide infinito es cero (las l&iacute;neas
de campo nunca alcanzan a cerrarse). Aplicamos la Ley de Amp&egrave;re en forma
integral al rect&aacute;ngulo C de longitud L, como se muestra en la figura. Entonces,
I
4π
B &middot; dl = B L =
N I,
(4.51)
c
C
donde N es el n&uacute;mero de vueltas (espiras) contenidas en la longitud L del
solenoide y n = N/L. Luego, la magnitud del campo magn&eacute;tico es
B=
4π
nI.
c
(4.52)
3. Calcular el campo magn&eacute;tico sobre el eje perpendicular de una espira de radio
a que lleva una corriente constante I.
Figura 4.8: Campo magn&eacute;tico B sobre el eje perpendicular de un aro de radio a con corriente I.
El campo producido en r por un elemento de corriente de la espira es
dB(r) =
I dl &times; r
,
c r3
(4.53)
166
CAP&Iacute;TULO 4. MAGNETOST&Aacute;TICA
donde r = (a2 + z 2 )1/2 . El vector tangente dl es perpendicular a r. Luego,
dB =
I dl
.
c r2
(4.54)
La componente de dB en la direcci&oacute;n z es
dBz = dB cos θ = dB
I a dl
a
=
.
r
c r3
(4.55)
Las componentes de dB perpendiculares a z se anulan entre s&iacute;. Luego,
Z
I
a
B(z) =
dl
c (a2 + z 2 )3/2 C
a2
2πI
=
.
(4.56)
c (a2 + z 2 )3/2
4.3.
Fuerza magn&eacute;tica entre corrientes.
Experimentalmente sabemos que un campo magn&eacute;tico externo ejerce una fuerza
sobre una carga en movimiento. Por lo tanto, una corriente el&eacute;ctrica experimenta
una fuerza en presencia de un campo magn&eacute;tico externo. Consideremos la fuerza
magn&eacute;tica sobre una densidad de carga dq = ρ d3 r0 en la posici&oacute;n r0 que se mueve
con velocidad v en un campo externo Bext ,
dFmag =
=
1
ρ(r0 ) v &times; Bext (r0 ) d3 r0
c
1
J(r0 ) &times; Bext (r0 ) d3 r0 .
c
Entonces, la fuerza magn&eacute;tica total sobre una distribuci&oacute;n de corriente es
Z
1
Fmag =
J(r0 ) &times; Bext (r0 ) d3 r0 .
c
(4.57)
(4.58)
4.3. FUERZA MAGN&Eacute;TICA ENTRE CORRIENTES.
167
Figura 4.9: Fuerza sobre un elemento de corriente Idl en un campo magn&eacute;tico externo.
Si J fluye en un cable, podemos expresar J d3 r = I dl. Luego, la fuerza sobre un
elemento de corriente Idl en un cable es
dFmag =
1
Idl &times; Bext .
c
(4.59)
La fuerza total sobre un circuito C que lleva una corriente I en un campo magn&eacute;tico
externo es
Z
1
Fmag =
I dl0 &times; Bext (r0 ).
(4.60)
c C
Si el campo externo que act&uacute;a sobre un circuito C1 que lleva una corriente constante I1 es producido por otro circuito C2 por el que pasa una corriente constante I2 ,
la fuerza magn&eacute;tica sobre C1 ser&aacute;
Z
Z
I1 I2
dl2 &times; r21
Fmag12 = 2
dl1 &times;
,
(4.61)
3
c
r21
C1
C2
donde empleamos la Ley de Biot-Savart, Ec. (4.41), y donde r21 = r1 − r2 es el vector
de distancia desde el elemento de l&iacute;nea dl2 al elemento de l&iacute;nea dl1 .
Figura 4.10: Fuerza entre corrientes paralelas (izquierda) y entre corrientes opuestas (derecha).
Utilizando la identidad vectorial a &times; (b &times; c) = b(a &middot; c) − c(a &middot; b), el triple producto
vectorial en la Ec. (4.61) se puede expresar como
dl1 &times; (dl2 &times; r21 ) = (dl1 &middot; r21 )dl2 − (dl1 &middot; dl2 )r21 .
(4.62)
168
CAP&Iacute;TULO 4. MAGNETOST&Aacute;TICA
Luego, podemos escribir la integral en la Ec. (4.61) como
Z Z
Z Z Z Z
(dl1 &middot; dl2 )r21
r21
(dl2 &times; r21 )
dl
&middot;
dl
−
dl1 &times;
=
.
1
2
3
3
3
r21
r21
r21
C 1 C2
C 1 C2
C 1 C2
(4.63)
Usando la relaci&oacute;n ∇(1/r) = −r̂/r2 , calculamos la primera integral en la Ec. (4.63),
Z
Z Z Z
1
r21
dl1 &middot; 3 dl2 = −
dl1 &middot; ∇1
dl2
r21
r21
C 1 C2
C1
C2
Z
Z
1
= −
d
dl2
r21
C1
C2
= 0,
(4.64)
puesto que
Z
d
C1
1
r21
=

1 ro


= 0,


 r21 ro





1 ∞
= 0, si C1 es infinito.
r21 −∞
Entonces, la fuerza magn&eacute;tica sobre C1 debido a C2 se puede escribir como
Z Z
(dl1 &middot; dl2 )r21
I1 I2
.
Fmag12 = − 2
3
c
r21
C1 C2
(4.65)
(4.66)
La Ec. (4.66) es la expresi&oacute;n matem&aacute;tica de la fuerza entre dos corrientes que fluyen
por respectivos circuitos, descubierta por Amp&egrave;re.
La correspondiente fuerza magn&eacute;tica que experimenta el cable C2 debido a la
corriente del cable C1 es Fmag21 = −Fmag12 , de acuerdo con la Tercera Ley de Newton.
La Ec. (4.66) implica que corrientes paralelas (dl1 &middot; dl2 &gt; 0) se atraen, mientras que
corrientes antiparalelas (dl1 &middot; dl2 &lt; 0) se repelen.
Ejemplo.
1. Fuerza magn&eacute;tica por unidad de longitud entre dos cables paralelos e infinitos,
con corrientes I1 y I2 .
4.4. EXPANSI&Oacute;N MULTIPOLAR DEL POTENCIAL VECTOR.
169
Figura 4.11: Fuerza por unidad de longitud entre dos corrientes paralelas.
Sea d la distancia perpendicular entre los cables con corrientes I1 y I2 , paralelas
en la direcci&oacute;n z. Por simetr&iacute;a, solamente la componente perpendicular de la
fuerza dFmag12 contribuye a la fuerza neta sobre el elemento de longitud dl1 .
La magnitud de esa componente perpendicular por unidad de longitud es
dF⊥
dl1
=
=
=
=
dFmag12
cos θ
dl1
Z
I1 I2
dl2 d
2
2
c
C2 r21 r21
Z ∞
I1 I2
dz
d
2 + z 2 )3/2
c2
(d
−∞
∞
I1 I2
z
d 2 2
2
1/2
2
c
d (d + z ) −∞
=
4.4.
2 I1 I2
.
c2 d
(4.67)
Expansi&oacute;n multipolar del potencial vector.
Consideremos una densidad de corriente localizada J(r0 ). El potencial vector creado por esta distribuci&oacute;n en el espacio libre es
Z
1
J(r0 ) 3 0
A(r) =
d r.
(4.68)
c
|r − r0 |
170
CAP&Iacute;TULO 4. MAGNETOST&Aacute;TICA
Figura 4.12: Potencial vector A(r) lejos de una distribuci&oacute;n de corriente J(r0 ), r r0 .
Queremos calcular A(r) para distancias r r0 , lejos de la distribuci&oacute;n de corriente. Para ello, utilizamos la expansi&oacute;n de Taylor empleada en el Cap. 1 para la
expansi&oacute;n multipolar del potencial escalar,
i
1 r &middot; r0
1 h
1
0 2
02 2
=
+
+
3
r
&middot;
r
−
r
r
+ &middot;&middot;&middot; .
|r − r0 |
r
r3
2r5
Luego, podemos escribir para r r0 ,
Z
Z
3 0
1
1
0
A(r) =
J r d r + 3 J r0 r &middot; r0 d3 r0 + &middot; &middot; &middot; .
cr
cr
(4.69)
(4.70)
El primer t&eacute;rmino en la Ec. (4.70) es la contribuci&oacute;n monopolar, mientras que el
segundo t&eacute;rmino constituye la contribuci&oacute;n dipolar al potencial vector. Consideremos
la componente i del t&eacute;rmino monopolar,
Z
Z
Z
0
3 0
3 0
Ji (r ) d r = J &middot; x̂i d r = J &middot; ∇xi d3 r0 ,
(4.71)
donde hemos usado ∇xi = x̂i . Empleando la identidad ∇ &middot; (ψa) = a &middot; ∇ψ + ψ∇ &middot; a,
podemos escribir
Z
Z
Z
Z
:0 3 0
Ji (r0 ) d3 r0 = J &middot; ∇xi d3 r0 = ∇ &middot; (xi J) d3 r0 − xi (∇&middot;
J)
d r
(4.72)
puesto que, en Magnetost&aacute;tica, ∇ &middot; J = 0. Empleamos el teorema de la divergencia
con una superficie S ubicada completamente fuera de la distribuci&oacute;n localizada de
corriente J, de modo que J = 0 sobre S.
4.4. EXPANSI&Oacute;N MULTIPOLAR DEL POTENCIAL VECTOR.
171
Figura 4.13: Evaluaci&oacute;n del t&eacute;rmino monopolar en la expansi&oacute;n multipolar del potencial vector.
Entonces, para tal S el primer t&eacute;rmino en la Ec. (4.72) da
Z
I
∇ &middot; (xi J) d3 r0 = (xi J) &middot; n̂ da = 0,
(4.73)
S
donde n̂ es la normal a la superficie S. Luego, la contribuci&oacute;n monopolar al potencial
A se anula,
Z
Z
Ji (r0 )d3 r0 = 0 ⇒
J r0 d3 r0 = 0.
(4.74)
Entonces, el potencial vector lejos de la distribuci&oacute;n de corriente se puede expresar,
hasta la contribuci&oacute;n dipolar, como
Z
1
A(r) = 3 J(r0 ) r &middot; r0 d3 r0 .
(4.75)
cr
La componente i de A es
Ai (r) =
=
=
1
cr3
Z
r &middot; r0 Ji (r0 ) d3 r0


Z X
1

xj x0j  Ji (r0 ) d3 r0
cr3
j
Z
X
1
xj x0j Ji (r0 ) d3 r0 .
cr3
(4.76)
j
El integrando de la Ec. (4.76) puede escribirse como
1
1
x0j Ji = (x0j Ji + x0i Jj ) + (x0j Ji − x0i Jj ).
2
2
(4.77)
172
CAP&Iacute;TULO 4. MAGNETOST&Aacute;TICA
El primer t&eacute;rmino de la Ec. (4.77) se puede expresar como
x0j Ji + x0i Jj
= x0j J &middot; ∇x0i + x0i J &middot; ∇x0j
= J &middot; (x0j ∇x0i + x0i ∇x0j )
= J &middot; ∇(x0i x0j )
:0
= ∇ &middot; (x0i x0j J) − x0i x0j (
∇
&middot; J).
puesto que ∇ &middot; J = 0 en Magnetost&aacute;tica. Luego,
Z
Z
(x0j Ji + x0i Jj ) d3 r0 = ∇ &middot; (x0i x0j J) d3 r0 .
(4.78)
(4.79)
Puesto que la distribuci&oacute;n de J se encuentra localizada, &eacute;sta se puede encerrar completamente con una superficie S tal que J = 0 sobre S. Empleando el teorema de la
divergencia para tal S con normal n̂, tenemos
Z
Z
I
0
0
3 0
0 0
3 0
(xj Ji + xi Jj ) d r = ∇ &middot; (xi xj J) d r = (x0i x0j J) &middot; n̂ da0 = 0.
(4.80)
S
Luego, la Ec. (4.76) se puede escribir como
Z
1 X
Ai (r) =
x
x0j Ji (r0 ) d3 r0
j
cr3
j
Z
0
1 X
=
xj
xj Ji (r0 ) − x0i Jj (r0 d3 r0
3
2cr
j



 
Z
X
X
1

xj x0j  Ji (r0 ) − 
xj Jj (r0 ) x0i  d3 r0
=
2cr3
j
j
Z
3 0
1
0
0
0
0
r
&middot;
r
J
(r
)
−
r
&middot;
J(r
)
x
d r.
=
i
i
2cr3
(4.81)
(4.82)
(4.83)
(4.84)
Por lo tanto, podemos escribir
A(r) =
1
2cr3
Z
r &middot; r0 J(r0 ) − (J(r0 ) &middot; r) r0 d3 r0 .
(4.85)
Recordemos la identidad vectorial a &times; (b &times; c) = (a &middot; c)b − (a &middot; b)c. Entonces,
r &middot; r0 J − (J &middot; r) r0 = r &times; (J &times; r0 ) = (r0 &times; J) &times; r.
(4.86)
4.4. EXPANSI&Oacute;N MULTIPOLAR DEL POTENCIAL VECTOR.
173
Luego,
Z
0
1
A(r) =
(r &times; J(r0 )) &times; r d3 r0
3
2cr
Z
1
r
0
0
3 0
=
r &times; J(r ) d r &times; 3 .
2c
r
(4.87)
La integral en la Ec. (4.87) depende solamente de propiedades de la distribuci&oacute;n
de corriente y se define como el momento magn&eacute;tico dipolar (o dipolo magn&eacute;tico) de
la distribuci&oacute;n,
Z
1
m≡
r0 &times; J(r0 ) d3 r0 .
(4.88)
2c
El integrando en la Ec. (4.88) es el momento magn&eacute;tico por unidad de volumen y se
denomina magnetizaci&oacute;n,
1 0
r &times; J(r0 ).
(4.89)
M(r0 ) =
2c
Entonces, la Ec. (4.87) implica que el potencial vector para r r0 se puede escribir
como
m&times;r
.
(4.90)
A(r) =
r3
Figura 4.14: Potencial vector A(r) producido por un dipolo magn&eacute;tico m.
Si m apunta en la direcci&oacute;n ẑ, en coordenadas esf&eacute;ricas tenemos
A(r) =
m sin θ
φ̂.
r2
(4.91)
La Ec. (4.90) es comparable al potencial escalar de un dipolo el&eacute;ctrico p, (Cap. 1),
ϕ(r) =
p&middot;r
.
r3
(4.92)
174
4.5.
CAP&Iacute;TULO 4. MAGNETOST&Aacute;TICA
Momento magn&eacute;tico.
El campo magn&eacute;tico debido a un dipolo magn&eacute;tico m se puede calcular mediante
B = ∇ &times; A, empleando el potencial vector de un dipolo, Ec. (4.90),
r
B(r) = ∇ &times; m &times; 3 .
r
(4.93)
Usamos la identidad vectorial ∇ &times; (a &times; b) = a(∇ &middot; b) − b(∇ &middot; a) + (b &middot; ∇)a − (a &middot; ∇)b.
Haciendo a = m y b = r/r3 , vemos que los t&eacute;rminos b(∇ &middot; m) = 0 y (b &middot; ∇)m = 0,
puesto que m no depende de las coordenadas del punto de observaci&oacute;n r. Entonces,
B(r) = m ∇ &middot;
r
r
−
(m
&middot;
∇)
.
r3
r3
(4.94)
Para evaluar el primer t&eacute;rmino en la Ec. (4.94), recordemos las siguientes relaciones,
1
r
∇
= − 3;
r
r
1
∇
= −4πδ(r),
r
2
(4.95)
de manera que
r
1
2 1
∇ &middot; 3 = −∇ &middot; ∇
= −∇
= 4πδ(r).
r
r
r
(4.96)
Luego,
B(r) = 4πm δ(r) − (m &middot; ∇)
r
.
r3
(4.97)
Si r 6= 0, el campo magn&eacute;tico del dipolo es
r
.
r3
(4.98)
∂ xi ,
∂xj r3
(4.99)
B(r) = −(m &middot; ∇)
La componente i de B en la Ec. (4.98) es
Bi = −
X
j
mj
4.5. MOMENTO MAGN&Eacute;TICO.
175
donde r = (x2 + y 2 + z 2 )1/2 . Obtenemos,
Bi
3xi xj
δij
= −
mj 3 −
r
r5
j
mi 3xi X
= − 3 + 5
m j xj
r
r
X
j
mi 3xi
= − 3 + 5 (m &middot; r) .
r
r
(4.100)
Luego,
B(r) =
=
3r(m &middot; r) m
− 3
r5
r
3(m &middot; r̂)r̂ − m
.
r3
(4.101)
(4.102)
Figura 4.15: Campo magn&eacute;tico B producido por un dipolo magn&eacute;tico m.
El campo magn&eacute;tico producido por un dipolo magn&eacute;tico m, Ec. (4.101), tiene la
misma forma que el campo el&eacute;ctrico debido a un dipolo el&eacute;ctrico p (Cap. 1),
E(r) =
3r(p &middot; r)
p
− 3.
5
r
r
(4.103)
176
CAP&Iacute;TULO 4. MAGNETOST&Aacute;TICA
La analog&iacute;a entre un dipolo magn&eacute;tico y un dipolo el&eacute;ctrico puede ser extendida
a otros fen&oacute;menos. En particular, la energ&iacute;a de interacci&oacute;n de un dipolo m con un
campo magn&eacute;tico externo Bext es
U = −m &middot; Bext ,
(4.104)
y la fuerza ejercida por el campo externo sobre el dipolo magn&eacute;tico es
F = ∇(m &middot; Bext ).
(4.105)
Ejemplos.
1. Momento magn&eacute;tico de un circuito de &aacute;rea A que lleva una corriente I.
Figura 4.16: Momento magn&eacute;tico m de un circuito cerrado de corriente.
Para una distribuci&oacute;n de corriente que fluye en un cable tenemos
Z
1
m =
r0 &times; J r0 d3 r0
2c
I
I
=
r0 &times; dl0 .
2c C
El elemento de &aacute;rea del circuito C es da0 =
m=
1
2
I
A n̂,
c
(4.106)
|r0 &times; dl0 |. Luego,
(4.107)
donde n̂ es el vector normal al &aacute;rea del circuito, en la direcci&oacute;n r0 &times; dl0 .
4.5. MOMENTO MAGN&Eacute;TICO.
177
2. Momento magn&eacute;tico de un sistema de N part&iacute;culas con cargas qi y masas &micro;i en
las posiciones ri , que se mueven con velocidad vi , i = 1, 2, . . . , N .
Figura 4.17: Momento angular Li de una part&iacute;cula con carga qi , velocidad vi , en la posici&oacute;n ri .
La densidad de carga es ρ(r) =
P
i qi δ(r
J(r0 ) =
X
− ri ) y la densidad de corriente es
qi vi δ(r0 − ri ).
(4.108)
i
Luego,
m =
=
=
=
Z
X
1
r &times;J r d r =
r0 &times;
qi vi δ(r0 − ri ) d3 r0
2c
i
Z
1 X
qi (r0 &times; vi ) δ(r0 − ri ) d3 r0
2c
i
1 X qi
1 X
qi (ri &times; vi ) =
(ri &times; &micro;i vi )
2c
2c
&micro;i
i
i
1 X qi
Li .
(4.109)
2c
&micro;i
1
2c
Z
0
0
3 0
i
donde Li = ri &times; &micro;i vi es el momento angular de la part&iacute;cula i. Si las part&iacute;culas
qi
q
son id&eacute;nticas,
= es constante. Entonces,
&micro;i
&micro;
q
m=
L,
(4.110)
2&micro;c
donde L es el momento angular total del sistema. El momento m&aacute;gn&eacute;tico y el
momento angular de un sistema con carga el&eacute;ctrica est&aacute;n relacionados cl&aacute;sicamente mediante la Ec. (4.110).
178
4.6.
CAP&Iacute;TULO 4. MAGNETOST&Aacute;TICA
Magnetost&aacute;tica en medios materiales.
Existen materiales, como la magnetita o los imanes naturales, que poseen magnetizaci&oacute;n a temperatura ambiente. La presencia de dipolos magn&eacute;ticos a nivel at&oacute;mico
o molecular contribuye a crear una magnetizaci&oacute;n macrosc&oacute;pica M en el medio. Por
otro lado, un campo magn&eacute;tico puede contribuir a generar corrientes en un medio
material que dan lugar a momentos dipolares magn&eacute;ticos inducidos. La magnetizaci&oacute;n, ya sea intr&iacute;nseca o inducida, produce un campo magn&eacute;tico adicional al campo
creado por las corrientes libres en el medio.
El potencial vector debido a una densidad de corriente libre J es
1
A(r) =
c
Z
J (r0 ) 3 0
d r.
|r − r0 |
(4.111)
Igualmente, un dipolo magn&eacute;tico m puede producir un potencial vector
A(r) = m &times;
(r − r)
.
|r − r0 |3
(4.112)
El momento dipolar de un elemento de volumen que posee una magnetizaci&oacute;n M es
dm = M d3 r. Luego, el potencial vector producido en la posici&oacute;n r por un elemento
de volumen d3 r0 ubicado en r0 en un medio material donde existen una densidad de
corriente J(r0 ) y una magnetizaci&oacute;n M(r0 ) ser&aacute;
dA(r) =
1 J (r0 ) 3 0 M(r0 ) &times; (r − r0 ) 3 0
d r.
d r +
c |r − r0 |
|r − r0 |3
(4.113)
Por lo tanto,
1
A(r) =
c
Z
J (r0 ) 3 0
d r +
|r − r0 |
Z
M(r0 ) &times; (r − r0 ) 3 0
d r.
|r − r0 |3
(4.114)
Consideremos el segundo t&eacute;rmino en la Ec. (4.114),
Z
M(r0 ) &times; (r − r0 ) 3 0
d r =
|r − r0 |3
Z
0
M(r ) &times; ∇
0
1
|r − r0 |
d3 r0 .
(4.115)
4.6. MAGNETOST&Aacute;TICA EN MEDIOS MATERIALES.
179
Utilizamos la identidad vectorial ∇ &times; (ψa) = ∇ψ &times; a + ψ∇ &times; a. Haciendo a = M
1
, podemos escribir
yψ=
|r − r0 |
Z
0
M(r ) &times; ∇
0
1
|r − r0 |
3 0
∇0 &times; M(r0 ) 3 0
d r −
|r − r0 |
Z
d r =
Z
0
∇ &times;
M(r0 )
|r − r0 |
d3 r0 .
(4.116)
El segundo t&eacute;rmino en la Ec. (4.116) se puede convertir en una integral de superficie
mediante el teorema integral
Z
I
3
n̂ &times; A da,
∀A.
(4.117)
V
S
Para demostrar el teorema Ec. (4.117), consideremos un vector constante arbitrario
c y definamos
Z
X=
∇ &times; A d3 r.
(4.118)
V
Luego,
Z
c&middot;X=
(c &middot; ∇ &times; A) d3 r.
(4.119)
V
Usamos la identidad vectorial ∇ &middot; (A &times; c) = c &middot; (∇ &times; A) − A &middot; (∇ &times; c). Pero ∇ &times; c = 0,
puesto que c es un vector constante. Luego,
Z
c&middot;X =
∇ &middot; (A &times; c) d3 r
IV
=
(A &times; c) &middot; n̂ da
(por el teorema de la divergencia)
SI
= c &middot; (n̂ &times; A) da.
(4.120)
S
Puesto que c es un vector constante arbitrario, se cumple el teorema integral Ec. (4.117).
Empleamos este teorema con una superficie S ubicada completamente fuera del
medio material, de modo que M = 0 sobre S. Entonces, para tal S tenemos
Z
I
M(r0 )
M(r0 )
0
3 0
∇ &times;
d r =
n̂ &times;
da0 = 0.
(4.121)
|r − r0 |
|r − r0 |
S
180
CAP&Iacute;TULO 4. MAGNETOST&Aacute;TICA
Luego, la Ec. (4.114) se puede escribir como
Z
Z
J(r0 ) 3 0
1
∇0 &times; M(r0 ) 3 0
A(r) =
d
r
+
d r
c
|r − r0 |
|r − r0 |
Z
[J(r0 ) + c∇0 &times; M(r0 )] 3 0
1
=
d r
c
|r − r0 |
Z
Jef (r0 ) 3 0
1
=
d r ,
c
|r − r0 |
(4.122)
donde hemos definido una corriente efectiva
Jef ≡ J + c∇ &times; M.
(4.123)
El potencial vector en un medio puede puede considerarse como debido a una densidad
de corriente Jef . El t&eacute;rmino ∇ &times; M se puede interpretar como una corriente adicional
contribuida por la magnetizaci&oacute;n presente en el medio.
El campo magn&eacute;tico B correspondiente debe satisfacer la segunda ecuaci&oacute;n de la
Magnetost&aacute;tica, Ec. (4.8), con Jef ,
∇&times;B=
4π
Jef .
c
(4.124)
Sustituyendo Jef , obtenemos
4π
(J + c∇ &times; M)
c
4π
∇ &times; (B − 4πM) =
J
c
4π
∇&times;H=
J,
c
∇&times;B=
(4.125)
donde definimos el campo magn&eacute;tico en el medio,
H = B − 4πM.
(4.126)
En muchos medios isotr&oacute;picos se encuentra experimentalmente que la magnetizaci&oacute;n es proporcional a H,
M = χm H,
(4.127)
4.6. MAGNETOST&Aacute;TICA EN MEDIOS MATERIALES.
181
se puede expresar
B = (1 + 4πχm )H = &micro; H.
(4.128)
donde &micro; = 1 + 4πχm se llama permeabilidad magn&eacute;tica del medio. La relaci&oacute;n H =
&micro;−1 B para campos magn&eacute;ticos es an&aacute;loga a la relaci&oacute;n D = E para campos el&eacute;ctricos
en un medio. Sin embargo, mientras que siempre &gt; 1 en medios materiales, la
&micro; &gt; 1, χm &gt; 0, materiales paramagn&eacute;ticos,
&micro; &lt; 1, χm &lt; 0, materiales diamagn&eacute;ticos.
Los materiales paramagn&eacute;ticos se caracterizan por poseer momentos magn&eacute;ticos permanentes que tienden a alinearse con el campo, de manera que M es paralelo a H.
En materiales diamagn&eacute;ticos no existen momentos magn&eacute;ticos permanentes, sino que
&eacute;stos son inducidos por el campo; en este caso M es opuesto a H.
Adicionalmente, existen materiales ferromagn&eacute;ticos para los cuales no se cumple
la relaci&oacute;n B = &micro;H, sino una relaci&oacute;n funcional no lineal
B = F (H).
(4.129)
El fen&oacute;meno de hist&eacute;resis es un ejemplo de una relaci&oacute;n no trivial entre B y H, donde
la funci&oacute;n F (H) depende de la historia de la preparaci&oacute;n del material.
Figura 4.18: Hist&eacute;resis.
Las ecuaciones de la Magnetost&aacute;tica en medios materiales toman la forma
∇&middot;B=0
4π
∇&times;H=
J.
c
(4.130)
(4.131)
182
CAP&Iacute;TULO 4. MAGNETOST&Aacute;TICA
Estas ecuaciones son an&aacute;logas a las ecuaciones para la Electrost&aacute;tica en medios materiales,
∇ &middot; D = 4πρ
(4.132)
∇ &times; E = 0.
(4.133)
Las condiciones de frontera en la superficie que separa dos medios caracterizados
por permeabilidades magn&eacute;ticas &micro;1 y &micro;2 son tambi&eacute;n an&aacute;logas a las correspondientes
en Electrost&aacute;tica,
B2 &middot; n̂ = B1 &middot; n̂
4π
H2 &middot; t̂ − H1 &middot; t̂ =
Jsup &middot; t̂,
c
(4.134)
(4.135)
donde n̂ y t̂ son los vectores normal y tangente a la superficie, respectivamente, y
Jsup es la densidad de corriente sobre la superficie. Si Jsup = 0, tanto la componente
normal de B como la componente tangencial de H = &micro;−1 B, son continuas.
Por &uacute;ltimo, existen materiales superconductores que no son penetrados por campos magn&eacute;ticos ni el&eacute;ctricos para temperaturas T por debajo de cierto valor cr&iacute;tico Tc .
La resistencia de un superconductor se hace cero para temperaturas T &lt; Tc . Para el
mercurio, T c = 4,2o K. La corriente el&eacute;ctrica puede permanecer por largo tiempo (105
a&ntilde;os) en un circuito superconductor sin fuente externa, una vez establecida. En los &uacute;ltimos a&ntilde;os, se han descubierto materiales cer&aacute;micos (no met&aacute;licos) superconductores
a altas temperaturas.
Figura 4.19: Temperatura cr&iacute;tica para superconductividad.
La conductividad en un superconductor σ ∝ R−1 → ∞ para T &lt; Tc . Puesto
que J = σE, si hay una corriente finita establecida en un circuito superconductor,
debemos tener E = 0 en el superconductor. La ecuaci&oacute;n de Maxwell
∇&times;E+
1 ∂B
= 0,
c ∂t
(4.136)
4.6. MAGNETOST&Aacute;TICA EN MEDIOS MATERIALES.
183
implica entonces que B debe ser constante dentro del superconductor. Luego, si inicialmente B = 0 cuando T &gt; T c, entonces B = 0 para T &lt; T c, aunque se apliquen
campos despu&eacute;s. Por otro lado, si inicialmente B 6= 0 cuando T &gt; T c, entonces para
T &lt; T c se observa el efecto Meissner : el campo magn&eacute;tico es expulsado del superconductor. El superconductor act&uacute;a como un medio diamagn&eacute;tico perfecto. &Eacute;ste es
un efecto de origen cu&aacute;ntico; la explicaci&oacute;n completa del fen&oacute;meno de superconductividad requiere de la Mec&aacute;nica Cu&aacute;ntica.
184
CAP&Iacute;TULO 4. MAGNETOST&Aacute;TICA
Resumen
1. Ecuaciones de Maxwell para la Magnetost&aacute;tica,
∇ &middot; B = 0,
4π
∇&times;B=
J.
c
J = ρv.
3. Ley de Ohm,
J = σ Eext
4. Ecuaciones de la Magnetost&aacute;tica en t&eacute;rminos del potencial vector A,
B = ∇ &times; A,
4π
J.
∇2 A = −
c
5. Potencial vector de una distribuci&oacute;n de corriente,
Z
1
J (r0 ) 3 0
A(r) =
d r.
c
|r − r0 |
6. Campo magn&eacute;tico debido a una densidad de corriente,
Z
1
J (r0 ) &times; (r − r0 ) 3 0
B(r) =
d r.
3
c
|r − r0 |
7. Ley de Biot-Savart en forma diferencial,
dB(r) =
I dl &times; r
.
c r3
8. Ley de Amp&egrave;re en forma integral,
I
B &middot; dl =
C
4π
Ienc .
c
9. Fuerza magn&eacute;tica entre dos circuitos de corrientes,
Z Z
I1 I2
(dl1 &middot; dl2 )r21
.
Fmag12 = − 2
3
c
r21
C1 C2
4.6. MAGNETOST&Aacute;TICA EN MEDIOS MATERIALES.
10. Dipolo magn&eacute;tico de una distribuci&oacute;n de corriente,
Z
1
r0 &times; J(r0 ) d3 r0 .
m=
2c
11. Potencial vector de un dipolo magn&eacute;tico,
A(r) = m &times;
r
.
r3
12. Campo magn&eacute;tico de un dipolo magn&eacute;tico,
B(r) =
3r(m &middot; r) m
− 3.
r5
r
13. Energ&iacute;a de un dipolo en un campo magn&eacute;tico externo.
U = −m &middot; Bext
14. Ecuaciones de la Magnetost&aacute;tica en medios materiales,
∇&middot;B=0
4π
∇&times;H=
J.
c
donde B = &micro;H, &micro; = 1 + 4πχm .
15. Condiciones de frontera en la superficie que separa dos medios,
B2 &middot; n̂ = B1 &middot; n̂
4π
Jsup &middot; t̂.
H2 &middot; t̂ − H1 &middot; t̂ =
c
185
186
4.7.
CAP&Iacute;TULO 4. MAGNETOST&Aacute;TICA
Problemas.
1. Una esfera de radio a y con densidad de carga superficial σ est&aacute; rotando con
velocidad angular constante ω alrededor de un eje que pasa por su centro.
a) Encuentre el potencial vector fuera de la esfera.
b) Encuentre el campo magn&eacute;tico fuera de la esfera.
2. Un tubo conductor cil&iacute;ndrico muy largo, con radio interior a y radio externo
b, lleva una corriente uniforme I. Encuentre el campo magn&eacute;tico producido en
todo el espacio.
3. Un solenoide de longitud finita L, radio a y con n vueltas por unidad de longitud, lleva una corriente I. Calcule el campo magn&eacute;tico dentro del solenoide en
cualquier punto sobre su eje.
4. Tres cables rectos, infinitos y coplanares est&aacute;n igualmente espaciados por una
distancia a y llevan una corriente I cada uno. La direcci&oacute;n de la corriente en el
cable central es opuesta a la de los cables externos.
a) Encuentre los puntos del espacio donde el campo magn&eacute;tico se anula.
b) Si el cable central se desplaza una distancia x a sobre el plano com&uacute;n,
calcule la frecuencia de oscilaci&oacute;n del movimiento resultante.
5. Un electr&oacute;n gira con velocidad angular constante ω en un plano ecuatorial
alrededor de una esfera conductora de conectada a tierra, a una distancia a del
centro de la esfera. El radio de la esfera es b &lt; a.
a) Calcule la magnitud y la direcci&oacute;n del campo magn&eacute;tico en el centro de la
esfera.
b) Calcule el momento magn&eacute;tico resultante.
6. Un conductor cil&iacute;ndrico de radio a tiene un hueco de radio b paralelo a su eje
y centrado a una distancia d del eje del cilindro, con d + b &lt; a. Una corriente
I fluye a lo largo del cilindro. Calcule la magnitud y la direcci&oacute;n del campo
magn&eacute;tico en el hueco.
angular constante ω sobre un eje perpendicular a su plano y que pasa por su
centro. Calcule el momento magn&eacute;tico resultante.
4.7. PROBLEMAS.
187
8. Demuestre que el vector potencial correspondiente a un campo magnetico uniforme B se puede expresar como A = 21 B &times; r.
9. Un cascar&oacute;n cil&iacute;ndrico muy largo, de radio a, posee una densidad superficial
de carga σ y rota sobre su eje con velocidad angular constante ω. Encuentre el
campo magn&eacute;tico dentro y fuera del cilindro.
10. a) Demuestre que el campo magn&eacute;tico y la magnetizaci&oacute;n en un medio material
libre de corrientes satisfacen la relaci&oacute;n
I
I
B &middot; dl = 4π
M &middot; dl,
C
C
b) Encuentre el campo magn&eacute;tico dentro de una barra de im&aacute;n de radio a,
infinitamente larga, que posee magnetizaci&oacute;n uniforme M a lo largo de su eje.
11. Un cilindro diel&eacute;ctrico de longitud infinita y radio R posee una polarizaci&oacute;n
el&eacute;ctrica P = krr̂, donde r̂ es el vector unitario en la direcci&oacute;n radial y k
es una constante. El cilindro rota alrededor de su eje con velocidad angular
constante no relativista ω. Calcule el campo magn&eacute;tico generado dentro y fuera
del cilindro.
188
CAP&Iacute;TULO 4. MAGNETOST&Aacute;TICA
Cap&iacute;tulo 5
Campos electromagn&eacute;ticos
dependientes del tiempo.
5.1.
Ley de Faraday y ecuaciones de Maxwell.
Los experimentos de Faraday constituyen las primeras observaciones cuantitativas
de los efectos de campos electromagn&eacute;ticos dependientes del tiempo. Faraday encontr&oacute;
que una corriente el&eacute;ctrica transitoria aparece en un circuito C en las siguientes
situaciones:
i) se enciende o se apaga una corriente en un circuito cercano;
ii) se mueve un circuito cercano por el cual fluye una corriente;
iii) se mueve un im&aacute;n en relaci&oacute;n a C.
En todos los casos, la aparici&oacute;n de corriente en C ocurre cuando las corrientes adyacentes cambian, o cuando existe movimiento relativo entre C y los fuentes de campos
magn&eacute;ticos. Faraday interpret&oacute; que la corriente transiente en C se deb&iacute;a al cambio
de flujo del campo magn&eacute;tico Φm encerrado por C, definido como
Z
Φm =
B &middot; n̂ da,
(5.1)
S
donde S es el &aacute;rea encerrada por C, cuya normal es n̂, y B es el campo magn&eacute;tico
189
190CAP&Iacute;TULO 5. CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
Figura 5.1: Flujo magn&eacute;tico y corriente inducida en un circuito C.
Por otro lado, la aparici&oacute;n de una corriente en C est&aacute; asociada a la existencia de
una diferencia de potencial sobre C. La diferencia de potencial entre dos puntos del
circuito C es
Z
Z
2
∆ϕ = ϕ2 − ϕ1 =
2
∇ϕ &middot; dl = −
1
E &middot; dl,
(5.2)
1
donde E es el campo el&eacute;ctrico en la posici&oacute;n del elemento de longitud dl de C. Si
ϕ1 &gt; ϕ2 , la corriente fluye del punto 1 al punto 2 en C. La diferencia de potencial
total a lo largo del circuito se denomina fuerza electromotriz, y se define como
I
ε = E &middot; dl.
(5.3)
c
La ley de inducci&oacute;n descubierta por Faraday se expresa matem&aacute;ticamente de la siguiente forma
1 dΦm
ε=−
.
(5.4)
c dt
El signo menos es la expresi&oacute;n de la ley de Lenz, que establece que la corriente inducida
en C (y el flujo magn&eacute;tico asociada a esa corriente) ocurre en una direcci&oacute;n tal que
se opone siempre al cambio de flujo a traves de C. La constante de proporcionalidad
depende de la escogencia del sistema de unidades para medir cantidades el&eacute;ctricas
y magn&eacute;ticas. En el sistema GCS, la constante, medida experimentalmente, es 1/c,
donde c es la velocidad de la luz.
La ley de Faraday Ec. (5.3) se puede escribir como
I
Z
1 d
E &middot; dl = −
B &middot; n̂ da.
(5.5)
c dt S
c
5.1. LEY DE FARADAY Y ECUACIONES DE MAXWELL.
191
Usando el teorema de Stokes en el lado izquierdo y en un sistema de referencia donde
C est&eacute; en reposo, podemos escribir
Z
Z
1
dB
∇ &times; E &middot; n̂ da = −
&middot; n̂ da.
(5.6)
c
S
S dt
Calculamos la derivada total de B(r, t) con respecto al tiempo,
dB
dt
=
∂B X ∂B dxi
∂B X ∂B
+
=
+
vi
∂t
∂xi dt
∂t
∂xi
i
=
i
∂B
∂B
+ (v &middot; ∇)B =
+ ∇ &times; (B &times; v),
∂t
∂t
(5.7)
donde v es la velocidad del circuito, y hemos usado la identidad ∇ &times; (B &times; v) =
B(∇&middot;v)−v(∇&middot;B)+(v&middot;∇)B−(B&middot;∇)v y el hecho de que la velocidad es independiente
∂B
de la posici&oacute;n. Pero v = 0 en el sistema de referencia empleado. Luego, dB
dt = ∂t .
Entonces, podemos escribir la Ec. (5.6) como
Z 1 ∂B
∇&times;E+
&middot; n̂ da = 0.
(5.8)
c ∂t
S
Puesto que el circuito C y el &aacute;rea encerrada S son arbitrarios, el integrando debe ser
cero en todo punto del espacio,
∇&times;E+
1 ∂B
= 0.
c ∂t
(5.9)
La Ec. (5.9) es la ley de inducci&oacute;n de Faraday en forma diferencial. Ambos campos E
y B est&aacute;n definidos en el sistema de referencia donde C est&aacute; en reposo. Sin embargo,
el principio de relatividad implica que la ley de Faraday es v&aacute;lida en cualquier sistema
de referencia inercial.
Hasta la &eacute;poca de Maxwell, las ecuaciones que describ&iacute;an los fen&oacute;menos electromagn&eacute;ticos conocidos en un medio material pod&iacute;an escribirse como
∇ &middot; D = 4πρ
1 ∂B
(ii) ∇ &times; E +
=0
c ∂t
(iii)
∇&middot;B=0
4π
(iv)
∇&times;H=
J
c
(i)
(Ley de Coulomb)
(ausencia de monopolos magn&eacute;ticos)
(Ley de Amp&egrave;re)
192CAP&Iacute;TULO 5. CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
donde D = E y B = &micro;H en un medio isotr&oacute;pico. Adem&aacute;s, se conoc&iacute;a experimentalmente la conservaci&oacute;n de la carga el&eacute;ctrica,
dρ
= 0,
dt
la cual puede ser descrita mediante la ecuaci&oacute;n de continuidad,
dρ
∂ρ X ∂ρ dxi
∂ρ
=
+
=
+ v &middot; ∇ρ
dt
∂t
∂xi dt
∂t
(5.10)
i
∂ρ
:0
+ ∇ &middot; (ρv) − ρ
=
(∇&middot;
v)
∂t
∂ρ
+ ∇ &middot; J = 0,
(5.11)
⇒
∂t
donde ∇&middot;v = 0, puesto que la velocidad es independiente de la posici&oacute;n. Sin embargo,
la Ley de Amp&egrave;re en su forma (iv) fue derivada para corrientes estacionarias y da
4π
∇ &middot; J = 0,
(5.12)
c
lo cual es inconsistente con la ecuaci&oacute;n de continuidad, Ec. (5.11), en situaciones
dependientes del tiempo, donde ∇ &middot; J 6= 0.
Utilizando la ley de Coulomb (i), la ecuaci&oacute;n de continuidad puede expresarse
como
∂ρ
1 ∂
∇&middot;J+
= ∇&middot;J+
(∇ &middot; D)
∂t
4π ∂t 1
∂D
= ∇&middot;J+
∇&middot;
4π
∂t
1 ∂D
= ∇&middot; J+
= 0.
(5.13)
4π ∂t
∇ &middot; (∇ &times; H) =
Maxwell propuso sustituir
1 ∂D
(5.14)
4π ∂t
en la Ley de Amp&egrave;re (iv) como una generalizaci&oacute;n para campos dependientes del
tiempo. Maxwell llam&oacute; corriente de desplazamiento el&eacute;ctrico al t&eacute;rmino adicional
∂D
∂t . Entonces, la Ley de Amp&egrave;re se convierte en
J→J+
∇&times;H=
4π
1 ∂D
J+
.
c
c ∂t
(5.15)
5.1. LEY DE FARADAY Y ECUACIONES DE MAXWELL.
193
Con la adici&oacute;n de la corriente de desplazamiento, las ecuaciones de Maxwell en
medios materiales se convierten en
∇ &middot; D = 4πρ
1 ∂B
∇&times;E+
=0
c ∂t
∇&middot;B=0
1 ∂D
4π
∇&times;H−
=
J.
c ∂t
c
(i)
(ii)
(iii)
(iv)
La ecuaci&oacute;n de continuidad Ec. (5.11) es ahora consecuencia de las ecuaciones
de Maxwell. La adici&oacute;n del t&eacute;rmino ∂D
∂t tiene consecuencias importantes: un campo
el&eacute;ctrico que var&iacute;a en el tiempo puede dar lugar a un campo magn&eacute;tico, a&uacute;n en ausencia de corrientes. Por ejemplo, un campo el&eacute;ctrico que var&iacute;a en el tiempo entre
dos placas de un condensador, produce un campo magn&eacute;tico. Esto es an&aacute;logo a la
ley de Faraday (ii), donde un campo magn&eacute;tico dependiente del tiempo produce un
campo el&eacute;ctrico. De esta manera, los campo el&eacute;ctricos y magn&eacute;ticos dependientes del
tiempo se acoplan y las ecuaciones de Maxwell permiten la existencia de ondas electromagn&eacute;ticas. Las ecuaciones de Maxwell constituyen la base de todos los fen&oacute;menos
electromagn&eacute;ticos cl&aacute;sicos.
Figura 5.2: Campo el&eacute;ctrico variable en el tiempo produce un campo magn&eacute;tico.
En el vac&iacute;o, donde E = D y H = B, las ecuaciones de Maxwell son
∇ &middot; E = 4πρ
1 ∂B
∇&times;E+
=0
c ∂t
∇&middot;B=0
1 ∂E
4π
∇&times;B−
=
J.
c ∂t
c
(1)
(2)
(3)
(4)
194CAP&Iacute;TULO 5. CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
La Ec. (3) implica que B puede expresarse como el rotacional de un vector,
B = ∇ &times; A.
(5.16)
El campo vectorial A se denomina potencial vector, como vimos en el Cap. 4. Sustituyendo en la Ec. (2), tenemos
1 ∂
1 ∂A
= 0.
(5.17)
∇&times;E+
(∇ &times; A) = ∇ &times; E +
c ∂t
c ∂t
El t&eacute;rmino entre par&eacute;ntesis en la Ec. (5.17) puede expresarse como el gradiente de
un campo escalar,
1 ∂A
= −∇ϕ
c ∂t
1 ∂A
E = −∇ϕ −
.
c ∂t
E+
⇒
(5.18)
La Ec. (5.18) se reduce a la correspondiente expresi&oacute;n en Electrost&aacute;tica cuando los
campos son independientes del tiempo. Las Ecs. (5.16 y (5.18) implican que, dados
los potenciales A y ϕ, se pueden determinar los campos B y E.
Las ecuaciones de Maxwell se pueden expresar en funci&oacute;n de los potenciales A y
ϕ. Sustituyendo la Ec. (5.18) en la ecuaci&oacute;n de Maxwell (1), obtenemos
1 ∂A
∇ &middot; −∇ϕ −
= 4πρ
c ∂t
1 ∂
∇2 ϕ +
(∇ &middot; A) = −4πρ.
(5.19)
c ∂t
Sustituyendo las Ecs. (5.16) y (5.18) en la ecuaci&oacute;n de Maxwell (4), obtenemos
1 ∂
1 ∂A
4π
∇ &times; (∇ &times; A) +
∇ϕ +
=
J
c ∂t
c ∂t
c
1
∂ϕ
1 ∂2A
4π
+ 2 2 =
J
∇(∇ &middot; A) − ∇2 A + ∇
c
∂t
c ∂t
c
1 ∂2A
1 ∂ϕ
4π
2
∇ A− 2 2 −∇ ∇&middot;A+
= − J.
(5.20)
c ∂t
c ∂t
c
5.2. TRANSFORMACIONES DE CALIBRE.
195
Las Ecs. (5.19) y (5.20) constituyen cuatro ecuaciones acopladas de segundo orden
para el potencial escalar ϕ y las tres componentes Ai del potencial vectorial A,
en funci&oacute;n de las fuentes ρ y J. Estas ecuaciones son equivalentes a las ecuaciones
de Maxwell (1)-(4), que corresponden a ocho ecuaciones de primer orden para las
componentes Ei y Bi de los campos E y B.
5.2.
Transformaciones de calibre.
Consideremos las ecuaciones de Maxwell en t&eacute;rminos de los potenciales A y ϕ,
1 ∂
∇2 ϕ +
(∇ &middot; A) = −4πρ,
c ∂t
1 ∂2A
1 ∂ϕ
4π
2
∇ A− 2 2 −∇ ∇&middot;A+
= − J.
c ∂t
c ∂t
c
(5.21)
(5.22)
Las Ecs. (5.21) y (5.22) pueden desacoplarse haciendo uso de la indeterminaci&oacute;n
impl&iacute;cita en las definiciones de los potenciales A y ϕ. N&oacute;tese que el campo magn&eacute;tico
es invariante si al potencial vector se le a&ntilde;ade el gradiente de alg&uacute;n campo escalar Λ,
A → A0 = A + ∇Λ.
(5.23)
Esto significa que B = ∇ &times; A0 = ∇ &times; A + ∇ &times; ∇Λ = ∇ &times; A.
Por otro lado, el campo el&eacute;ctrico tampoco cambia si el potencial escalar se transforma simult&aacute;neamente de la forma
ϕ → ϕ0 = ϕ −
1 ∂Λ
.
c ∂t
(5.24)
En este caso,
E = −∇ϕ0 −
1 ∂A0
c ∂t
1
∂Λ
1 ∂A 1 ∂
∇
−
−
∇Λ
c
∂t
c ∂t
c ∂t
1 ∂A
= −∇ϕ −
.
c ∂t
= −∇ϕ +
(5.25)
Las transformaciones Ecs. (5.23) y (5.24) que dejan invariantes los campos B y
E se llaman transformaciones de calibre. La invarianza de los campos E y B ante
las transformaciones de calibre revela la existencia de simetr&iacute;as fundamentales en
196CAP&Iacute;TULO 5. CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
las ecuaciones de Maxwell. Aunque no es materia correspondiente a este curso, las
ecuaciones de Maxwell se pueden derivar como ecuaciones de movimiento a partir de
un Lagrangiano apropiado que describe el campo electromagn&eacute;tico. Por el teorema de
Noether, sabemos que una transformaci&oacute;n que deja invariante el Lagrangiano y, por
lo tanto, las ecuaciones de movimiento de un sistema, est&aacute; asociada a una cantidad
conservada. Se puede demostrar que la simetr&iacute;a de calibre presente en las ecuaciones
de Maxwell implica la ecuaci&oacute;n de continuidad, Ec. (5.11); es decir, la conservaci&oacute;n
local de la carga el&eacute;ctrica.
La libertad que existe en las transformaciones de calibre permite escoger los potenciales A y ϕ tal que satisfagan alguna condici&oacute;n espec&iacute;fica. En particular, la relaci&oacute;n
∇&middot;A+
1 ∂ϕ
=0
c ∂t
(5.26)
se llama calibre de Lorentz y simplifica las Ecs. (5.19) y (5.20) en la forma
1 ∂2ϕ
= −4πρ
c2 ∂t2
4π
1 ∂2A
∇2 A − 2 2 = − J.
c ∂t
c
∇2 ϕ −
(5.27)
(5.28)
Las Ecs. (5.27) y (5.28) constituyen dos ecuaciones de onda inhomog&eacute;neas e independientes para A y ϕ las cuales, junto con el calibre de Lorentz, son equivalentes a las
ecuaciones de Maxwell. Note que el calibre de Lorentz para los potenciales transformados A0 y ϕ0 , en las Ecs. (5.23) y (5.24), implica que el campo escalar Λ satisface
una ecuaci&oacute;n de onda,
1 ∂ϕ
1 ∂2Λ
− 2
=0
c ∂t
c ∂t2
1 ∂2Λ
⇒ ∇2 Λ − 2
= 0.
(5.29)
c ∂t2
Otra condici&oacute;n sobre las transformaciones de calibres que resulta &uacute;til es el calibre
de Coulomb, donde
∇ &middot; A = 0.
(5.30)
∇ &middot; A + ∇2 Λ +
Esta condici&oacute;n fue utilizada en Magnetost&aacute;tica, Cap. 4. Con esta escogencia de calibre,
la Ec. (5.19) para el potencial ϕ(r, t) queda
∇2 ϕ = −4πρ,
(5.31)
5.3. ENERG&Iacute;A DEL CAMPO MAGN&Eacute;TICO.
197
cuya soluci&oacute;n es
Z
ϕ(r, t) =
ρ (r0 , t) 3 0
d r.
|r − r0 |
(5.32)
Si ρ es independiente del tiempo, el potencial ϕ en la Ec. (5.2) se reduce al potencial
de Coulomb en Electrost&aacute;tica, como vimos en el Cap. 1. Con el calibre de Coulomb,
la Ec. (5.22) para el potencial A(r, t) conduce a la ecuaci&oacute;n inhomog&eacute;nea de onda,
∇2 A −
1 ∂2A
4π
1 ∂ϕ
=− J+ ∇ .
2
2
c ∂t
c
c ∂t
(5.33)
El calibre de Coulomb para el potencial A0 en la Ec. (5.23), es equivalente a haber
escogido un campo Λ tal que ∇2 Λ = 0.
5.3.
Energ&iacute;a del campo magn&eacute;tico.
Un campo magn&eacute;tico posee una energ&iacute;a almacenada similar a la energ&iacute;a acumulada en un campo el&eacute;ctrost&aacute;tico (Cap. 1). La energ&iacute;a del campo magn&eacute;tico proviene
de la interacci&oacute;n entre distribuciones de corrientes; es equivalente al trabajo realizado para traer circuitos de corriente desde el infinito hasta formar una configuraci&oacute;n
El trabajo para traer un primer circuito C1 desde el infinito hasta una posici&oacute;n
dada es cero, puesto que no hay campos magn&eacute;ticos externos presentes y no contamos
auto-energ&iacute;as. Consideremos dos circuitos C1 y C2 con corrientes constantes I1 y I2 ,
respectivamente, en una configuraci&oacute;n dada. Sean S1 y S2 las &aacute;reas encerradas por
C1 y C2 , respectivamente, y sean n̂1 y n̂2 sus vectores normales correspondientes.
Recordemos que la fuerza magn&eacute;tica sobre C2 debido a C1 es (Cap. 4),
Fmag 21
I1 I2
=− 2
c
I
C1
I
C2
(dl1 &middot; dl2 ) r̂
,
r2
(5.34)
donde hemos denotado r = r12 = r2 − r1 como el vector de posici&oacute;n relativa desde
dl1 a dl2 . El trabajo realizado por un agente externo en contra de la fuerza magn&eacute;tica
198CAP&Iacute;TULO 5. CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
para traer el circuito C2 desde el infinito hasta su posici&oacute;n relativa a C1 , es
Z r
Wext = −
Fmag 21 (r0 ) &middot; dr0
∞
I I
Z r 0
I1 I2
dr
=
(dl1 &middot; dl2 )
2
02
c
C1 C 2
∞ r
I I
I1 I2
dl1 &middot; dl2
= − 2
.
c
r
C1 C2
(5.35)
El signo negativo en Wext es compatible con el hecho que circuitos con corrientes
paralelas; es decir dl1 &middot;dl2 &gt; 0, se atraen (Cap. 4); por lo tanto se debe hacer un trabajo
negativo para acercarlos. Similarmente, se requiere realizar un trabajo negativo en
contra de la fuerza el&eacute;ctrica para acercar dos cargas cuyos signos son opuestos.
Sin embargo, existe una contribuci&oacute;n adicional al trabajo necesario para construir
el campo magn&eacute;tico en una configuraci&oacute;n de dos circuitos de corriente. A medida que
se acercan, cada circuito crea un campo que produce un cambio de flujo magn&eacute;tico
a trav&eacute;s del &aacute;rea encerrada por el otro circuito. La ley de Faraday implica entonces
que campos el&eacute;ctricos son inducidos en los circuitos, los cuales alteran las corrientes
en cada circuito. Por lo tanto, el agente externo debe realizar un trabajo adicional
en contra de los campos el&eacute;ctricos inducidos para mantener los valores constantes
establecidos para las corrientes en cada circuito, hasta alcanzar la configuraci&oacute;n final.
El flujo del campo magn&eacute;tico B2 del circuito C2 a trav&eacute;s del circuito C1 es
Z
Φ21 =
B2 (r1 ) &middot; n̂1 da1
S1
Z
=
(∇ &times; A2 (r1 )) &middot; n̂1 da1
S1
I
A2 (r1 ) &middot; dl1
(usando el teorema de Stokes).
(5.36)
=
C1
El potencial vector A2 (r1 ) es
I2
A2 (r1 ) =
c
I
C2
dl2
I2
=
|r2 − r1 |
c
I
Sustituyendo en la Ec. (5.36), obtenemos
I I
I2
dl1 &middot; dl2
Φ21 =
.
c C1 C 2
r
C2
dl2
.
r
(5.37)
(5.38)
5.3. ENERG&Iacute;A DEL CAMPO MAGN&Eacute;TICO.
199
Se acostumbra definir la inductancia mutua de dos circuitos C1 y C2 como la cantidad
sim&eacute;trica
I I
1
dl1 &middot; dl2
M12 = M21 ≡ 2
,
(5.39)
c C 1 C2
r
la cual depende exclusivamente de la geometr&iacute;a y de la disposici&oacute;n relativa de los
circuitos C1 y C2 .
La fuerza electromotriz inducida en C1 debido al cambio del flujo magn&eacute;tico Φ21
al mover C2 hacia C1 es
1 dΦ21
ε1 = −
.
(5.40)
c dt
La potencia (energ&iacute;a por unidad de tiempo) disipada en el circuito C1 es I12 R1 = I1 ε1 ,
donde R1 = ε1 /I1 es la resistencia de C1 . Luego, el trabajo por unidad de tiempo
que debe suministrar el agente externo para contrarrestar la disipaci&oacute;n causada por
la fuerza electromotriz inducida y mantener I1 constante es
I1 dΦ21
dW1
= −I1 ε1 =
.
dt
c dt
Integrando con I1 constante, obtenemos
I I
1
dl1 &middot; dl2
W1 = I1 Φ21 = I1 I2
.
c
r
C1 C2
(5.41)
(5.42)
Similarmente, el circuito C2 disipa una energ&iacute;a W2 = 1c I1 Φ12 = W1 debido al cambio
de flujo Φ12 . La energ&iacute;a total disipada debido a las fuerzas electromotrices inducidas
mutuamente en ambos circuitos debe ser suministrada por el trabajo realizado por el
agente externo que construye la configuraci&oacute;n. Este trabajo es
Wfem = W1 + W2
I I
I1 I2
dl1 &middot; dl2
= 2 2
.
c
r
C1 C2
(5.43)
Luego, el trabajo total requerido para alcanzar la configuraci&oacute;n final de los dos circuitos C1 y C2 es
W
= Wext + Wfem
I I
I I
I1 I2
dl1 &middot; dl2
I1 I2
dl1 &middot; dl2
= − 2
+2 2
c
r
c
r
C1 C 2
I CI1 C2
I1 I2
dl1 &middot; dl2
=
.
2
c
C1 C2 |r2 − r1 |
(5.44)
200CAP&Iacute;TULO 5. CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
Este trabajo total es igual a la energ&iacute;a potencial Umag almacenada en el campo magn&eacute;tico producido por la configuraci&oacute;n de los dos circuitos. Por extensi&oacute;n, la energ&iacute;a
potencial total almacenada en el campo magn&eacute;tico de una configuraci&oacute;n de N circuitos con corrientes Ii (i = 1, . . . , N ) es
I I
dli &middot; dlj
1 X Ii Ij
Wtotal =
,
(5.45)
2
2
c
C1 C2 |ri − rj |
i,j
i6=j
donde el factor 12 se introduce para no repetir la suma de t&eacute;rminos sim&eacute;tricos i ↔ j.
La generalizaci&oacute;n de la Ec. (5.45) para densidades de corriente generales es
Z Z
J(r) &middot; J(r0 ) 3 3 0
1
d rd r
Umag =
2
2c
|r − r0 |
Z
Z
1
J(r0 ) 3
3
=
J(r)
d
r
&middot;
d r.
(5.46)
2c2
|r − r0 |
donde hemos empleado la equivalencia Idl ↔ Jd3 r para integrales de corrientes en
cables. Utilizando la expresi&oacute;n para el potencial vector
Z
1
J(r0 ) 3
A(r) =
d r
(5.47)
c
|r − r0 |
4π
y la ley de Amp&egrave;re, ∇ &times; B =
J, podemos escribir la Ec. (5.46) como
c
Z
1
Umag =
(∇ &times; B) &middot; A d3 r
8π
Z
Z
1
1
=
B(∇ &times; A) d3 r −
∇ &middot; (A &times; B) d3 r,
8π
8π
(5.48)
donde hemos usado la identidad vectorial (∇ &times; B) &middot; A = B &middot; (∇ &times; A) − ∇ &middot; (A &times; B).
Usamos el teorema de la divergencia para la integral
Z
I
3
∇ &middot; (A &times; B) d r = (A &times; B) &middot; n̂ da.
(5.49)
S
Puesto que la superficie S es arbitraria, se puede tomar en el infinito, donde los
campos B y A tienden a cero. Luego,
Z
I
3
∇ &middot; (A &times; B) d r =
(A &times; B) &middot; n̂ da = 0.
(5.50)
S→∞
5.4. CONSERVACI&Oacute;N DE ENERG&Iacute;A DEL CAMPO ELECTROMAGN&Eacute;TICO.201
Entonces, la energ&iacute;a del campo magnetost&aacute;tico queda
Z
1
Umag =
B &middot; (∇ &times; A) d3 r
8π
Z
1
=
B &middot; B d3 r
8π
Z
1
=
|B|2 d3 r.
8π
(5.51)
La densidad de energ&iacute;a del campo magn&eacute;tico se define como
umag =
1
|B|2 .
8π
(5.52)
Esta expresi&oacute;n es an&aacute;loga a la correspondiente a la densidad de energ&iacute;a de un campo
el&eacute;ctrico,
1
uelec =
|E|2 .
(5.53)
8π
En general, la densidad de energ&iacute;a de un campo electromagn&eacute;tico, cuando ambos
campos el&eacute;ctrico y magn&eacute;tico est&aacute;n presentes en una regi&oacute;n del espacio, es
uem =
5.4.
1
|E|2 + |B|2 .
8π
(5.54)
Conservaci&oacute;n de energ&iacute;a del campo electromagn&eacute;tico.
El trabajo por unidad de tiempo (potencia) realizado por un campo electromagn&eacute;tico E y B, sobre una carga q que se mueve con velocidad v es
v
F &middot; v = q E + &times; B &middot; v = q E &middot; v.
(5.55)
c
El campo magn&eacute;tico no realiza trabajo, puesto que la fuerza magn&eacute;tica es perpendicular a la velocidad. Consideremos un volumen V que contiene una distribuci&oacute;n
de cargas ρ en movimiento, en presencia de campos E y B. El trabajo por unidad de
tiempo hecho por los campos es
Z
Z
dW
3
=
ρv &middot; E d r =
J &middot; E d3 r.
(5.56)
dt
V
V
202CAP&Iacute;TULO 5. CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
Esta potencia representa la conversi&oacute;n de energ&iacute;a electromagn&eacute;tica en energ&iacute;a
mec&aacute;nica empleada en mover las cargas y producir corrientes. Debe ser balanceada
por el cambio de energ&iacute;a del campo electromagn&eacute;tico por unidad de tiempo en el
volumen V . Entonces, expresamos la Ec. (5.56) en t&eacute;rminos de los campos E y B,
usando las ecuaciones de Maxwell. Sustituimos J mediante la ley de Amp&egrave;re,
4π
1 ∂E
J=∇&times;B−
,
c
c ∂t
(5.57)
y obtenemos
Z
V
1
J &middot; Ed r =
4π
3
Z ∂E 3
cE &middot; (∇ &times; B) − E &middot;
d r.
∂t
V
(5.58)
E &middot; (∇ &times; B) = B &middot; (∇ &times; E) − ∇ &middot; (E &times; B)
para obtener
Z Z
∂E 3
1
3
cB &middot; (∇ &times; E) − c∇ &middot; (E &times; B) − E &middot;
d r.
J &middot; Ed r =
4π V
∂t
V
(5.59)
(5.60)
∇&times;E=−
1 ∂B
,
c ∂t
de manera que
Z Z
∂E
∂B 3
1
3
c∇ &middot; (E &times; B) + E &middot;
+B&middot;
d r.
J &middot; Ed r = −
4π V
∂t
∂t
V
(5.61)
(5.62)
Recordemos que la densidad de energ&iacute;a (energ&iacute;a por unidad de volumen) del campo
electromagn&eacute;tico es
1
uem =
(|E|2 + |B|2 );
(5.63)
8π
entonces, su derivada parcial temporal es
∂uem
1
∂E
∂B
=
E&middot;
+B&middot;
.
(5.64)
∂t
4π
∂t
∂t
5.5. MOMENTO DEL CAMPO ELECTROMAGN&Eacute;TICO.
203
Luego, podemos escribir la Ec. (5.62) como
Z c
∂uem
J&middot;E+
d3 r = 0.
∇ &middot; (E &times; B) +
4π
∂t
V
(5.65)
Puesto que el volumen V es arbitrario, el integrando en la Ec. (5.65) debe ser cero.
Se acostumbra escribir
∂uem
+ ∇ &middot; S + J &middot; E = 0,
(5.66)
∂t
donde hemos definido el vector de Poynting como
S≡
c
E &times; B.
4π
(5.67)
El vector de Poynting representa el flujo de energ&iacute;a del campo electromagn&eacute;tico por
unidad de tiempo (energ&iacute;a/&aacute;rea&times;tiempo) en la direcci&oacute;n de S. La Ec. (5.56) se conoce
como el teorema de Poynting y expresa la conservaci&oacute;n de energ&iacute;a en una regi&oacute;n
donde coexisten campos electromagn&eacute;ticos, cargas y corrientes: el cambio de energ&iacute;a
del campo electromagn&eacute;tico por unidad de tiempo en un volumen, m&aacute;s el flujo de
energ&iacute;a por unidad de tiempo a trav&eacute;s de la superficie que encierra ese volumen, m&aacute;s
el trabajo total hecho por los campos dentro de ese volumen, debe ser cero.
Si no hay cargas ni corrientes en V , tenemos la ecuaci&oacute;n de continuidad
∂uem
+ ∇ &middot; S = 0,
∂t
(5.68)
an&aacute;loga a la ecuaci&oacute;n de conservaci&oacute;n de la carga el&eacute;ctrica,
∂ρ
+ ∇ &middot; J = 0.
∂t
5.5.
(5.69)
Momento del campo electromagn&eacute;tico.
La fuerza electromagn&eacute;tica sobre una part&iacute;cula con carga q en presencia de campos
E y B es
v
F=q E+ &times;B .
(5.70)
c
204CAP&Iacute;TULO 5. CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
Si consideramos una distribuci&oacute;n de cargas ρ en un volumen V donde existan campos
electromagn&eacute;ticos, la fuerza por unidad de volumen ser&aacute;
v
f = ρ E+ &times;B
c
J
= ρE + &times; B,
(5.71)
c
donde J = ρv es la densidad de corriente. La segunda ley de Newton correspondiente
al cambio de momento de todas las cargas y corrientes en V se puede expresar como
Z dPmec
J
ρE + &times; B d3 r.
=
(5.72)
dt
c
V
Usando las ecuaciones de Maxwell, podemos expresar
1
∇&middot;E
4π
c
1 ∂E
⇒ J=
∇&times;B−
,
4π
4π ∂t
∇ &middot; E = 4πρ ⇒ ρ =
∇&times;B=
4π
1 ∂E
J+
c
c ∂t
y sustituir en la Ec. (5.72), para obtener
Z dPmec
1
1 ∂E
=
(∇ &middot; E)E + (∇ &times; B) &times; B −
&times; B d3 r.
dt
4π V
c ∂t
(5.73)
(5.74)
(5.75)
El t&eacute;rmino con la derivada parcial temporal se puede escribir como
1 ∂E
&times;B =
c ∂t
=
1∂
1
∂B
(E &times; B) − E &times;
c ∂t
c
∂t
1∂
(E &times; B) + E &times; (∇ &times; E),
c ∂t
(5.76)
∇&times;E=−
1 ∂B
.
c ∂t
(5.77)
Sustituyendo en la Ec. (5.75), tenemos
Z dPmec
1
1∂
=
(∇ &middot; E)E + (∇ &times; B) &times; B −
(E &times; B) − E &times; (∇ &times; E) d3 r .
dt
4π V
c ∂t
5.5. MOMENTO DEL CAMPO ELECTROMAGN&Eacute;TICO.
205
Podemos escribir
dPmec
1 d
+
dt
4πc dt
1
4π
Z
Z
(E &times; B) d3 r =
V
[(∇ &middot; E)E + (∇ &middot; B)B + (∇ &times; B) &times; B + (∇ &times; E) &times; E] d3 r,
(5.78)
V
donde hemos sumado el t&eacute;rmino (∇ &middot; B)B = 0 en el lado izquierdo. Podemos usar la
∇(a &middot; b) = a &times; (∇ &times; b) + b &times; (∇ &times; a) + (a &middot; ∇)b + (b &middot; ∇)a,
(5.79)
con a = b = E, para expresar
∇(E 2 ) = 2E &times; (∇ &times; E) + 2(E &middot; ∇)E
1
⇒ (∇ &times; E) &times; E = (E &middot; ∇)E − ∇(E 2 ) .
2
(5.80)
Similarmente,
1
(∇ &times; B) &times; B = (B &middot; ∇)B − ∇(B 2 ) .
2
(5.81)
La integral de volumen de los campos en el lado izquierdo de la Ec. (5.78) puede
interpretarse como el momento total del campo electromagn&eacute;tico en el volumen V ,
Z
1
(E &times; B) d3 r.
(5.82)
Pem ≡
4πc V
g≡
1
1
E &times; B = 2 S.
4πc
c
(5.83)
Sustituyendo en la Ec. (5.78), obtenemos
dPmec dPem
+
=
dt
dt
1
4π
Z V
3
1
2
2
(∇ &middot; E)E + (E &middot; ∇)E + (∇ &middot; B)B + (B &middot; ∇)B − ∇ E + B
d r. (5.84)
2
206CAP&Iacute;TULO 5. CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
Consideremos las componentes i de los siguientes t&eacute;rminos en la Ec. (5.84),
[(∇ &middot; E)E + (E &middot; ∇)E]i =
X
[(∇ &middot; B)B + (B &middot; ∇)B]i =
X
Ei
∂Ej X ∂Ei
+
Ej
∂xj
∂xj
Bi
∂Bj
+
∂xj
j
j
j
∇ E2 + B2 i =
X
Bj
j
∂Bi
∂xj
X ∂
∂
E2 + B2 =
E 2 + B 2 δij .
∂xi
∂xj
j
Luego, la componente i de la Ec. (5.84) se puede escribir como
Z X
3
dPmec dPem
∂
1
1
2
2
+
=
(Ei Ej + Bi Bj ) −
δij E + B
d r.
dt
dt i
∂xj 4π
8π
V
j
Se define el tensor de tensiones de Maxwell para un campo electromagn&eacute;tico como
1
1
2
2
(Ei Ej + Bi Bj ) − δij E + B
,
(5.85)
Tij ≡
4π
2
de modo que podemos escribir
d
[Pmec + Pem ]i =
dt
Z X
∂Tij 3
d r.
∂xj
V
(5.86)
j
El teorema de la divergencia para un vector A se puede expresar en la forma
Z X
I X
∂Aj 3
d r=
Aj nj da,
(5.87)
∂xj
V
S
j
j
luego, podemos escribir la Ec. (5.86) como
d
[Pmec + Pem ]i =
dt
I X
S
Tij nj da.
(5.88)
j
P
La cantidad j Tij nj es la componente i del flujo de momento por unidad de &aacute;rea
que cruza la superficie S hacia el volumen V . En otras palabras, es la fuerza por
5.5. MOMENTO DEL CAMPO ELECTROMAGN&Eacute;TICO.
207
unidad de &aacute;rea que se transmite a trav&eacute;s de S y que act&uacute;a sobre las cargas y campos
dentro de V . La Ec. (5.88) representa la conservaci&oacute;n de momento lineal del sistema
de cargas y campos electromagn&eacute;ticos en el volumen V encerrado por la superficie S.
La Ec. (5.88) se puede expresar en forma diferencial como
X ∂Tij
dg
f+
.
(5.89)
=
dt i
∂xj
j
Ejemplo.
1. Fuerza sobre un conductor en un campo el&eacute;ctrico uniforme E = Eo ẑ.
Figura 5.3: Fuerza sobre un conductor en un campo el&eacute;ctrico.
Puesto que B = 0 en todo el espacio, E &times; B = 0 y Pem = 0.
La componente z de la fuerza sobre el conductor es
I X
dPmec
=
Fz =
Tzj nj da.
dt
S
z
(5.90)
j
Tomamos la superficie S tal que justo encierre el conductor. Considerando el
&aacute;rea del plano xy , tenemos n̂ = −ẑ. El tensor de tensiones de Maxwell es
1
1
2
Tzj =
(Ez Ej ) − δzj E
;
4π
2
1
1
1 2
Tzz =
(E 2 − E 2 ) =
E ;
4π o 2 o
8π o
Tzx = Tzy = 0
208CAP&Iacute;TULO 5. CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
Luego,
Z
Tzz nz da = −
Fz =
A
A 2
E ,
8π o
(5.91)
donde A es el &aacute;rea perpendicular a E. Luego, la fuerza sobre esta &aacute;rea del
conductor es opuesta a E; el conductor tendr&aacute; all&iacute; una densidad de carga superficial negativa y ser&aacute; atra&iacute;do por las cargas positivas que producen el campo.
La magnitud de la presi&oacute;n ejercida por el campo el&eacute;ctrico sobre el conductor es
Fz
E2
= o.
A
8π
5.6.
(5.92)
Momento angular del campo electromagn&eacute;tico.
Del mismo modo que derivamos la ley de conservaci&oacute;n del momento lineal, Ec. (5.88),
podemos encontrar la conservaci&oacute;n del momento angular en un sistema de cargas y
campos electromagn&eacute;ticos contenido en un volumen V . La derivada temporal del momento angular mec&aacute;nico del sistema es igual al torque total sobre la distribuci&oacute;n de
Z
dLmec
=
r &times; f d3 r,
(5.93)
dt
V
donde f = ρE +
Ec. (5.89),
J
c
&times; B es la densidad de fuerza, cuya componente i satisface la
dg
fi = −
dt
+
i
X ∂Tij
j
∂xj
=−
1 dSi X ∂Tij
+
.
c2 dt
∂xj
(5.94)
j
Recordemos que la componente i del producto vectorial a &times; b puede expresarse como
(a &times; b)i = εijk aj bk ,
donde utilizamos el tensor de Levi-Civita, definido como

 1, si i, j, k son permutaciones pares (o c&iacute;clicas) de 1, 2, 3.
−1, si i, j, k son permutaciones impares de 1, 2, 3.
εijk =

0, si dos &iacute;ndices son iguales.
(5.95)
(5.96)
5.6. MOMENTO ANGULAR DEL CAMPO ELECTROMAGN&Eacute;TICO.
209
Empleando esta notaci&oacute;n, la componente i de la Ec. (5.93) puede expresarse como
Z X
dLmec
=
εijk xj fk d3 r
dt i
V j,k
&quot;
#
Z X
1 dSk X ∂Tkl 3
=
εijk xj 2
+
d r
c dt
∂xl
V j,k
l
Z X
Z
X
∂Tkl 3
1 d
3
= − 2
εijk xj Sk d r +
εijk
xj
d r
c dt V
∂xl
V
jk
jkl
Z X
Z
X
∂Tkl 3
1 d
dLmec
3
xj
+ 2
εijk xj Sk d r =
εijk
d r. (5.97)
⇒
dt i
c dt V
∂xl
V
jk
jkl
El segundo t&eacute;rmino del lado izquierdo de la Ec. (5.97) puede interpretarse como la
derivada con respecto al tiempo de la componente i de la cantidad
Z
Z
1
3
Lem ≡ 2
r &times; Sd r =
r &times; g d3 r,
(5.98)
c V
V
la cual puede identificarse como el momento angular del campo electromagn&eacute;tico. El
integrando de la Ec. (5.98) corresponde a la densidad del momento angular del campo
electromagn&eacute;tico,
l = r &times; g.
(5.99)
Entonces, podemos escribir la Ec. (5.97) en la forma
Z
X
d
∂Tkl 3
[Lmec + Lem ]i =
εijk
xj
d r.
dt
∂xl
V
jkl
Z
Z
X
X
∂(xj Tkl ) 3
∂xj
=
εijk
d r−
εijk
Tkl d3 r.(5.100)
∂x
∂x
l
l
V
V
jkl
jkl
Consideremos el siguiente t&eacute;rmino en la Ec. (5.100),
Z X
Z
X
∂xj
3
εijk
Tkl d r =
εijk δjl Tkl d3 r
∂xl
V
V
jkl
jkl


Z
X

=
εijk Tkj  d3 r = 0.
V
jk
(5.101)
210CAP&Iacute;TULO 5. CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
Este t&eacute;rmino contiene la suma sobre los &iacute;ndices k, j del producto de εijk , que es
antisim&eacute;trico en el cambio k ↔ j, y Tkj , que es sim&eacute;trico en el cambio k ↔ j. El
producto resultante es antisim&eacute;trico bajo el cambio k ↔ j. Por lo tanto, la doble
suma sobre los &iacute;ndices k, j en la Ec. (5.101) se hace cero.
Luego, la Ec. (5.100) queda
Z
X
∂(xj Tkl ) 3
d
[Lmec + Lem ]i =
εijk
d r
dt
∂xl
V
jkl
Z X
∂(xj Tkl ) 3
d r
=
εijk
∂xl
V jkl


Z X
X
∂ 
=
εijk xj Tkl  d3 r.
(5.102)
∂x
l
V
l
jk
Se define el tensor de flujo de momento angular del campo como
X
Mil ≡
εijk xj Tkl .
(5.103)
jk
Entonces, podemos escribir
d
[Lmec + Lem ]i =
dt
Z X
∂Mil 3
d r.
∂xl
V
(5.104)
l
El teorema de la divergencia para un tensor Mil se puede expresar en la forma,
I X
Z X
∂Mil 3
d r=
Mil nl da,
(5.105)
∂xl
S
V
l
l
donde S es la superficie que encierra al volumen V . Por lo tanto, Ec. (5.104) se puede
expresar como
I X
d
[Lmec + Lem ]i =
Mil nl da.
(5.106)
dt
S
l
La Ec. (5.106) expresa la conservaci&oacute;n de momento angular del sistema de cargas y
campos electromagn&eacute;ticos en el volumen V encerrado por la superficie S. La cantidad
P
l Mil nl es la componente i del flujo de momento angular por unidad de &aacute;rea que
cruza la superficie S.
5.7. ONDAS ELECTROMAGN&Eacute;TICAS.
5.7.
211
Ondas electromagn&eacute;ticas.
Las ecuaciones de Maxwell fuera de las fuentes (ρ = 0, J = 0), en un medio
∇&middot;E=0
1 ∂B
∇&times;E+
=0
c ∂t
∇&middot;B=0
&micro; ∂E
=0
∇&times;B−
c ∂t
(1)
(2)
(3)
(4)
Si tomamos el rotacional en la Ec. (2), obtenemos
1
∂B
∇ &times; (∇ &times; E) + ∇ &times;
= 0
c
∂t
1∂
:0
(∇ &times; B) = 0
∇
(∇&middot;
E) − ∇2 E +
c ∂t
&micro; ∂ 2 E
= 0
−∇2 E + 2
c ∂t2
&micro; ∂ 2 E
∇2 E − 2
= 0.
c ∂t2
Igualmente, tomando el rotacional en la Ec.
&micro;
∂E
∇ &times; (∇ &times; B) −
∇&times;
c
∂t
&micro; ∂
:0
∇
(∇&middot;
B) − ∇2 B −
(∇ &times; E)
c ∂t
&micro; ∂ 2 B
−∇2 B + 2
c ∂t2
&micro; ∂ 2 B
∇2 B − 2
c ∂t2
(usando (1))
(usando (4))
(5.107)
(4), obtenemos
= 0
= 0
(usando (3))
= 0
(usando (2))
= 0.
(5.108)
Las Ecs. (5.107) y (5.108) muestran que, como consecuencia de las ecuaciones de
Maxwell dependientes del tiempo, tanto el campo el&eacute;ctrico como el campo magn&eacute;tico
satisfacen una ecuaci&oacute;n de onda.
212CAP&Iacute;TULO 5. CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
Cada componente de E o de B satisface la ecuaci&oacute;n
∇2 Ei −
&micro; ∂ 2 Ei
= 0,
c2 ∂t2
(5.109)
que corresponde a la ecuaci&oacute;n onda para un campo escalar u(r, t) en un medio,
∇2 u −
1 ∂2u
= 0,
v 2 ∂t2
(5.110)
donde v es la velocidad de propagaci&oacute;n de la onda en el medio. En una dimensi&oacute;n
(por ejemplo, una onda propag&aacute;ndose en una cuerda en la direcci&oacute;n x), la ecuaci&oacute;n
de onda es
∂2u
1 ∂2u
−
= 0.
(5.111)
∂x2 v 2 ∂t2
Se puede verificar que la soluci&oacute;n general de la Ec. (5.111) tiene la forma
u(x, t) = f (x − vt) + g(x + vt),
(5.112)
donde f (z) y g(z) son funciones arbirarias. El t&eacute;rmino f (x − vt) describe una perturbaci&oacute;n con la forma f (z) movi&eacute;ndose con velocidad v hacia la direcci&oacute;n +x̂, con
z = x − vt; mientras que g(x + vt) representa una funci&oacute;n g(z) movi&eacute;ndose con v
hacia −x̂, con z = x + vt. La velocidad v se denomina velocidad de fase de la onda.
Figura 5.4: Onda movi&eacute;ndose con velocidad v en la direcci&oacute;n x̂.
Recordemos que una funci&oacute;n f (z), donde z ∈ (−∞, ∞), puede expresarse como
una integral de Fourier de t&eacute;rminos exponenciales de la forma
f (z) ∝ eikz ,
(5.113)
donde k es un par&aacute;metro tal que el argumento del exponencial es adimensional. Luego,
con esta representaci&oacute;n podemos encontrar una soluci&oacute;n u(x, t) de tipo oscilatorio,
u(x, t) = A ei(kx−ωt) + B ei(kx+ωt) ,
(5.114)
5.7. ONDAS ELECTROMAGN&Eacute;TICAS.
213
donde
ω
(5.115)
v
corresponde el n&uacute;mero de onda y ω es la frecuencia. La longitud de onda λ est&aacute; dada
por la condici&oacute;n
k=
u(x, t) = u(x + λ, t)
⇒ eikλ = 1
2π
.
⇒λ=
k
(5.116)
Similarmente, una soluci&oacute;n de la ecuaci&oacute;n de onda tridimensional Ec. (5.110) puede
expresarse como
u(r, t) = A ei(k&middot;r−ωt) + B ei(k&middot;r+ωt) ,
(5.117)
donde el vector k indica la direcci&oacute;n de la propagaci&oacute;n de la onda con velocidad
v = k/ω, y k &middot; r = kx x + ky y + kz z. Las soluciones de este tipo se llaman ondas
planas.
Figura 5.5: Vector de onda k.
Verifiquemos que la onda plana Ec. (5.117) satisface la ecuaci&oacute;n de onda Ec. (5.110),
∂u
= ikj u ⇒ ∇u = ik u,
∂xj
(5.118)
∂2u
= −kj2 u ⇒ ∇2 u = −k 2 u,
∂x2j
(5.119)
∂2u
= −ω 2 u.
∂t2
(5.120)
Sustituci&oacute;n en la Ec. (5.110) da
− k2 u +
ω2
u=0
v2
⇒k=
ω
.
v
(5.121)
214CAP&Iacute;TULO 5. CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
Comparando la ecuaci&oacute;n de onda general Ec. (5.110) con la ecuaci&oacute;n de onda
Ec. (5.109) satisfecha por una componente Ei o Bi , vemos que
1
&micro;
= 2
2
v
c
c
c
⇒v= √ = ,
&micro;
n
(5.122)
donde hemos definido el &iacute;ndice de refracci&oacute;n del medio como
n=
√
&micro;.
(5.123)
En el vac&iacute;o, = 1, &micro; = 1, y n = 1, por lo que la velocidad de una onda electromagn&eacute;tica en el vac&iacute;o es igual a la velocidad de la luz c. Luego, para ondas electromagn&eacute;ticas
tenemos
ω
k=n .
(5.124)
c
Existen medios dispersivos donde el &iacute;ndice de refracci&oacute;n depende de la frecuencia,
n(ω). En estos medios, la forma de la onda puede cambiar a medida que &eacute;sta se
propaga.
La soluci&oacute;n de onda plana de la ecuaci&oacute;n de onda para el vector E se puede
expresar como
h
i
E(r, t) = ê1 Re Eo ei(k&middot;r−ωt) ,
(5.125)
donde Re indica que se debe tomar la parte real de la expresi&oacute;n entre corchetes, Eo
es la amplitud (en general compleja) de la oscilaci&oacute;n, k es la direcci&oacute;n de propagaci&oacute;n
y ê1 es un vector unitario que indica la direcci&oacute;n del campo el&eacute;ctrico. Similarmente,
la soluci&oacute;n de la ecuaci&oacute;n de onda para B se puede escribir
h
i
B(r, t) = ê2 Re Bo ei(k&middot;r−ωt) ,
(5.126)
donde ê2 y Bo son la direcci&oacute;n y la amplitud compleja de B, respectivamente. Ejemplos de ondas electromagn&eacute;ticas planas son los l&aacute;sers y la luz proveniente de fuentes
muy lejanas, como las estrellas.
Los campos E y B que describen ondas planas tambi&eacute;n deben satisfacer las
ecuaciones de Maxwell. El campo el&eacute;ctrico en la Ec. (5.125) se puede escribir como E = ê1 u, con u = Eo ei(k&middot;r−ωt) (se acostumbra obviar la notaci&oacute;n Re en los
5.7. ONDAS ELECTROMAGN&Eacute;TICAS.
215
c&aacute;lculos). Luego, la ecuaci&oacute;n de Maxwell ∇ &middot; E = 0 conduce a
∇&middot;E
=
∇ &middot; (ê1 u)
=
:
ê1 &middot; ∇u + u ∇
&middot; ê
1
=
ê1 &middot; (iku) = 0
0
⇒ k ⊥ ê1
(5.127)
(las derivadas espaciales de los vectores ê1 y de ê2 son cero, puesto que son fijos
en el espacio). Es decir, el campo E de la onda electromagn&eacute;tica es perpendicular a
la direcci&oacute;n de propagaci&oacute;n. Por otro lado, si escribimos el campo magn&eacute;tico en la
Ec. (5.126) como B = ê2 u, la ecuaci&oacute;n de Maxwell ∇ &middot; B = 0 conduce a
∇&middot;B
=
∇ &middot; (ê2 u)
=
:
∇
&middot; ê
ê1 &middot; ∇u + u 2
=
ê1 &middot; (iku) = 0
0
⇒ k ⊥ ê1 .
(5.128)
Por lo tanto, la direcci&oacute;n de propagaci&oacute;n de la onda k es perpendicular a ambos
campos, E y B, los cuales deben yacer sobre un mismo plano.
∇&times;E=−
1 ∂B
,
c ∂t
(5.129)
que tambi&eacute;n deben satisfacer los campos en la onda electromagn&eacute;tica. Tenemos las
expresiones
∇ &times; E = ∇ &times; (ê1 u)
0
:
= ∇u &times; ê1 − u ∇
&times;
ê1
= iku &times; ê1
= iEo ei(k&middot;r−ωt) k &times; ê1
= ik &times; E
(5.130)
y
∂B
= −iω ê2 Bo ei(k&middot;r−ωt) = −iω B.
∂t
(5.131)
216CAP&Iacute;TULO 5. CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
Sustituyendo en la ley de Faraday, Ec. (5.129), obtenemos
k
&times;E
ω
= nk̂ &times; E
Eo
= n
k̂ &times; ê1 ,
Bo
B = c
⇒ ê2
(5.132)
(5.133)
donde hemos usado k = nω/c. Luego, el campo magn&eacute;tico es perpendicular al campo
el&eacute;ctrico y a la direcci&oacute;n de propagaci&oacute;n de la onda. Puesto que E y B est&aacute;n en un
mismo plano, la Ec. (5.132) implica que k, E y B son perpendiculares entre s&iacute;. La
Ec. (5.133) conduce a k̂ ∝ ê1 &times; ê2 ; es decir que la direcci&oacute;n de k es la del producto
E&times;B. Las oscilaciones de los campos electromagn&eacute;ticos son transversales con respecto
a la direcci&oacute;n de propagaci&oacute;n de la onda.
Figura 5.6: Longitud de onda λ, campos E, B y vector k en una onda electromagn&eacute;tica plana.
Puesto que ê1 , ê2 y k̂ son vectores unitarios, la Ec. (5.133) implica que las amplitudes de los campos en un medio material est&aacute;n relacionadas por
Bo = n Eo .
(5.134)
La direcci&oacute;n del flujo de energ&iacute;a, dada por el vector de Poynting, y el momento lineal
de la onda van ambos en la direcci&oacute;n de propagaci&oacute;n,
S=
c
E &times; B ∝ k,
4π
1
g = 2 S ∝ k.
c
(5.135)
(5.136)
5.7. ONDAS ELECTROMAGN&Eacute;TICAS.
217
Las ecuaciones de Maxwell permiten la existencia de ondas electromagn&eacute;ticas.
La variaci&oacute;n temporal del campo magnetico B da origen a un campo el&eacute;ctrico E,
cuya variaci&oacute;n temporal a su vez produce un B. Esto significa que los campos E y
B variando en el tiempo pueden auto-sostenerse en el espacio libre, dando lugar a
ondas electromagn&eacute;ticas.
Para la &eacute;poca de Maxwell, la naturaleza ondulatoria de la luz y su velocidad hab&iacute;an sido establecidas por Huygens, Young, Fresnel, Fizeau y otros, mediante diversos
experimentos &oacute;pticos y observaciones astron&oacute;micas. Por otro lado, las constantes de
proporcionalidad en la ley de Faraday y en la Ley de Amp&egrave;re fueron medidas por
Kohlrausch y Weber mediante experimentos puramente el&eacute;ctricos y magn&eacute;ticos. La
velocidad de las ondas electromagn&eacute;ticas predichas por las ecuaciones de Maxwell
puede ser determinada a partir de dichas constantes, obteni&eacute;ndose un valor que coincide con la velocidad medida para la luz. Este hecho condujo a Maxwell a inferir que
la luz es una onda electromagn&eacute;tica; una predicci&oacute;n verificada posteriormente por los
experimentos de Hertz. De este modo, Maxwell unific&oacute; la electricidad, el magnetismo
y la &oacute;ptica.
Las ondas electromagn&eacute;ticas pueden producirse, en principio, con cualquier frecuencia ω. Se denomina espectro electromagn&eacute;tico al conjunto de frecuencias de las
ondas electromagn&eacute;ticas. Distintos rangos de frecuencias reciben diferentes nombres
y tienen propiedades y aplicaciones espec&iacute;ficas.
Figura 5.7: Espectro electromagn&eacute;tico.
218CAP&Iacute;TULO 5. CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
5.8.
Polarizaci&oacute;n, reflexi&oacute;n y refracci&oacute;n de ondas electromagn&eacute;ticas.
Las ondas electromagn&eacute;ticas planas son transversales a la direcci&oacute;n de propagaci&oacute;n
k. Escojamos k = k ẑ y (x, y) como el plano de E y B. Entonces, la forma general
del campo el&eacute;ctrico en una onda plana con frecuencia ω se puede expresar como
E(r, t) = (E1 x̂ + E2 ŷ) ei(kz−ωt) = Eo ei(kz−ωt) ,
(5.137)
donde E1 , E2 son n&uacute;meros complejos y se debe recordar tomar la parte real.
Figura 5.8: Onda electromagn&eacute;tica plana en el plano (x, y).
El campo magn&eacute;tico correspondiente a esta onda est&aacute; determinado por las ecuaciones de Maxwell. Usando la ley de Faraday, obtuvimos en la Ec. (5.132),
B = nk̂ &times; E.
(5.138)
Usando los resultados k̂ = ẑ, ẑ &times; x̂ = ŷ, y ẑ &times; ŷ = −x̂, obtenemos
B(r, t) = n(E1 ŷ − E2 x̂) ei(kz−ωt) .
(5.139)
La direcci&oacute;n del campo E define la polarizaci&oacute;n de la onda electromagn&eacute;tica plana.
Podemos expresar el campo el&eacute;ctrico como
E(r, t) = Ex (r, t)x̂ + Ey (r, t)ŷ,
(5.140)
5.8. POLARIZACI&Oacute;N, REFLEXI&Oacute;N Y REFRACCI&Oacute;N DE ONDAS ELECTROMAGN&Eacute;TICAS.219
donde
h
i
Ex (r, t) = Re E1 ei(kz−ωt)
h
i
Ey (r, t) = Re E2 ei(kz−ωt) .
(5.141)
(5.142)
1. Polarizaci&oacute;n lineal, E1 , E2 ∈ &lt;. Entonces
Ex (r, t) = E1 cos(kz − ωt)
(5.143)
Ey (r, t) = E2 cos(kz − ωt)
Ey
E2
⇒
=
= tan θ = cte.
Ex
E1
(5.144)
(5.145)
Figura 5.9: Onda electromagn&eacute;tica plana con polarizaci&oacute;n lineal.
En este caso, la direcci&oacute;n de E es fija en el plano perpendicular a la propagaci&oacute;n
de la onda. Si tomamos el plano z = 0, podemos visualizar las oscilaciones de
las componentes de E como
Ex = E1 cos ωt
(5.146)
Ey = E2 cos ωt,
(5.147)
es decir, Ex y Ey oscilan en fase. La magnitud de E es
|E| = (Ex2 + Ey2 )1/2 = (E12 + E22 )1/2 | cos ωt|.
(5.148)
Por lo tanto, el campo E oscila con frecuencia ω en una direcci&oacute;n fija sobre el
plano (x, y)
220CAP&Iacute;TULO 5. CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
2. Polarizaci&oacute;n circular, E2 = &plusmn;iE1 , con E1 ∈ &lt;. Entonces,
Ex (r, t) = E1 cos(kz − ωt)
(5.149)
Ey (r, t) = ∓E1 sin(kz − ωt)
(5.150)
(Ex2
(5.151)
⇒ |E| =
+
Ey2 )1/2
= E1 = cte.
Figura 5.10: Onda electromagn&eacute;tica plana con polarizaci&oacute;n circular y helicidad postiva.
En el plano z = 0, si E2 = iE1 tenemos
Ex = E1 cos ωt
(5.152)
Ey = E1 sin ωt
Ey
⇒
= tan ωt.
Ex
(5.153)
(5.154)
El campo E rota con frecuencia ω sobre el plano (x, y), manteniendo su magnitud constante. El campo tiene la forma
E(r, t) = (x̂ + iŷ)E1 ei(kz−ωt) .
(5.155)
Se dice que la onda est&aacute; circularmente polarizada con helicidad positiva; E rota
en la direcci&oacute;n de los dedos de la mano derecha (contra reloj) y el pulgar indica
la direcci&oacute;n de propagaci&oacute;n hacia el observador. Por otro lado, si E2 = −iE1 ,
tenemos
E(r, t) = (x̂ − iŷ)E1 ei(kz−ωt) ,
(5.156)
y el campo E rota en sentido opuesto y posee helicidad negativa.
5.8. POLARIZACI&Oacute;N, REFLEXI&Oacute;N Y REFRACCI&Oacute;N DE ONDAS ELECTROMAGN&Eacute;TICAS.221
En Mec&aacute;nica Cu&aacute;ntica, la helicidad de la onda se interpreta como el estado de
spin del fot&oacute;n.
3. No polarizada; E2 , E1 arbitrarios.
En este caso, en general ni la direcci&oacute;n de E ni su m&oacute;dulo son constantes. La
configuraci&oacute;n correspondiente de E se denomina polarizaci&oacute;n el&iacute;ptica.
Figura 5.11: Onda electromagn&eacute;tica plana con polarizaci&oacute;n el&iacute;ptica.
Cuando una onda electromagn&eacute;tica incide sobre una superficie que separa dos
medios con diferentes &iacute;ndices de refracci&oacute;n, se observa que una parte de la onda se
transmite y otra se refleja en direcciones que siguen ciertas relaciones geom&eacute;tricas.
Figura 5.12: Onda incidente k1 , onda reflejada k0 y onda refractada k2 en la interfase z = 0.
Supongamos que el plano z = 0 con normal n̂ = ẑ es una interfase que separa un
medio con &iacute;ndice de refracci&oacute;n n1 (z &lt; 0) de un medio cuyo &iacute;ndice de refracci&oacute;n es
n2 (z &gt; 0). Una onda electromagn&eacute;tica plana en el medio con n1 , incidente sobre la
interfase z = 0, se puede escribir
E1 = Eo ei(k1 &middot;r−ωt)
(5.157)
B1 = n1 k̂1 &times; E1 .
(5.158)
222CAP&Iacute;TULO 5. CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
La onda reflejada en el medio con &iacute;ndice n1 tiene la forma
0
E0 = E0o ei(k &middot;r−ωt)
(5.159)
La onda transmitida o refractada en el medio caracterizado por n2 es
E2 = E00o ei(k2 &middot;r−ωt)
(5.160)
Las magnitudes de los correspondientes n&uacute;meros de onda son
|k1 | = |k0 | = n1
ω
,
c
|k2 | = n2
ω
.
c
(5.161)
Las condiciones de frontera sobre las componentes paralelas y normales de E y B
deben cumplirse en todo punto del plano z = 0, para cualquier tiempo. Esto implica
que la variaci&oacute;n espacial de todas las ondas en un instante dado, contenida en el
factor de fase (k &middot; r), debe ser la misma en z = 0; es decir, las fases deben satisfacer
(k1 &middot; r)z=0 = (k0 &middot; r)z=0 = (k2 &middot; r)z=0 .
(5.162)
Luego, k1 , k2 y k0 deben yacer en un plano. Escojamos r sobre el plano z = 0. De
acuerdo a la figura, obtenemos
k1 sin θ1 = k 0 sin θ0 ⇒ θ1 = θ0
(Ley de reflexi&oacute;n).
k1 sin θ1 = k2 sin θ2 ⇒ n1 sin θ1 = n2 sin θ2
(Ley de Snell).
(5.163)
(5.164)
La reflexi&oacute;n total interna consiste en la ausencia de onda refractada cuando n1 &gt; n2 .
El &aacute;ngulo de incidencia θ1 para la ocurrencia de este fen&oacute;meno corresponde al valor
θ2 = π/2 en la ley de Snell,
−1 n2
θ1 = sin
.
(5.165)
n1
5.9.
Ondas electromagn&eacute;ticas en medios materiales.
Las propiedades de respuesta de los medios materiales pueden depender de la
frecuencia de las ondas electromagn&eacute;ticas que se propagan en ellos. Con el fin de
estudiar estos fen&oacute;menos, consideremos un modelo simple microsc&oacute;pico de un &aacute;tomo
consistente en un electr&oacute;n ligado a un i&oacute;n con carga positiva, similar al usado en el
5.9. ONDAS ELECTROMAGN&Eacute;TICAS EN MEDIOS MATERIALES.
223
Describimos la interacci&oacute;n i&oacute;n-electr&oacute;n como una fuerza tipo resorte con constante mωo2 , donde m es la masa del electr&oacute;n y ωo es la frecuencia caracter&iacute;stica del
movimiento del electr&oacute;n en el &aacute;tomo, la cual es comparable con la frecuencia de radiaci&oacute;n electromagn&eacute;tica emitida por el &aacute;tomo. Un valor t&iacute;pico para esta frecuencia
en el rango visible del espectro es ωo ∼ 1016 seg−1 . El electr&oacute;n est&aacute; sujeto a una onda
electromagn&eacute;tica de frecuencia ω y a una fuerza de amortiguaci&oacute;n proporcional a su
con respecto a la velocidad de la luz, v c, por lo cual podemos despreciar la fuerza
magn&eacute;tica sobre el electr&oacute;n, que es del orden evB/c, frente a la fuerza el&eacute;ctrica, que
es eE, aunque las magnitudes de E y B sean comparables.
Entonces, la ecuaci&oacute;n de movimiento del electr&oacute;n es
mr̈ = −mωo2 r − mκṙ − eE,
(5.166)
donde κ es el coeficiente de amortiguamiento del medio.
Asumimos que el desplazamiento del electr&oacute;n es peque&ntilde;o, de manera que la variaci&oacute;n espacial de E puede ser despreciada y E es evaluado en la posici&oacute;n del i&oacute;n.
Entonces, el campo el&eacute;ctrico tiene la forma E = Eo e−iωt . Buscamos una soluci&oacute;n de
la forma
r = ro e−iωt .
(5.167)
Sustituyendo E y r en la Ec. (5.166), obtenemos
ro =
m(ω 2
eEo
.
− ωo2 + iκω)
(5.168)
El momento dipolar inducido en el &aacute;tomo es
p = −er = −
m(ω 2
e2 Eo
e−iωt .
− ωo2 + iκω)
(5.169)
Si suponemos una densidad de η &aacute;tomos por unidad de volumen, la polarizaci&oacute;n del
medio es
ηe2 Eo
e−iωt
m(ω 2 − ωo2 + iκω)
ηe2
= −
E
m(ω 2 − ωo2 + iκω)
= χe (ω) E,
P = ηp = −
(5.170)
224CAP&Iacute;TULO 5. CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
donde la susceptibilidad el&eacute;ctrica depende de la frecuencia de la onda. La constante
diel&eacute;ctrica del medio tambi&eacute;n depende de la frecuencia y resulta en
(ω) = 1 + 4πχe (ω)
4πηe2
= 1−
m(ω 2 − ωo2 + iκω)
(ω 2 − ωo2 )
(κω)
= 1 − ωp2 2
+ i ωp2 2
,
2
2
2
(ω − ωo ) + (κω)
(ω − ωo2 )2 + (κω)2
(5.171)
donde hemos definido la frecuencia de plasma,
ωp2 ≡
4πηe2
.
m
(5.172)
El &iacute;ndice de refracci&oacute;n del medio es
n2 = &micro;(ω) = &micro;(Re (ω) + i Im (ω)).
(5.173)
Puesto que estamos despreciando efectos magn&eacute;ticos, tomamos &micro; = 1. El n&uacute;mero de
onda en el medio es una cantidad compleja que se puede expresar como
k 2 = n2
ω2
ω2
=
(Re (ω) + i Im (ω)).
c2
c2
(5.174)
La propagaci&oacute;n de la onda electromagn&eacute;tica en la direcci&oacute;n z es proporcional a eikz ;
luego el t&eacute;rmino Re (ω) est&aacute; relacionado con la propagaci&oacute;n de la onda oscilatoria
en el medio, mientras que el t&eacute;rmino Im (ω) representa la atenuaci&oacute;n de la onda, o
la disipaci&oacute;n de energ&iacute;a en el medio.
Note que para valores ω → ωo , la cantidad Im (ω) presenta una resonancia y se
hace grande, lo cual implica absorci&oacute;n de la onda electromagn&eacute;tica en el medio. Por
otro lado, Re (ω) es una funci&oacute;n creciente de ω, excepto para ω → ωo . Las regiones
donde Re (ω) crece con ω corresponden a una dispersi&oacute;n normal, mientras que los
valores de ω donde Re (ω) decrece se asocian con dispersi&oacute;n an&oacute;mala.
Consideremos algunos casos de inter&eacute;s.
1. Caso est&aacute;tico, ω = 0.
Entonces,
(0) = 1 + 4π
ηe2
,
mωo2
(5.175)
5.9. ONDAS ELECTROMAGN&Eacute;TICAS EN MEDIOS MATERIALES.
225
2
ηe
donde podemos interpretar χe = mω
2 . Puesto que, como vimos en el Cap&iacute;tulo 3,
o
χe = ηγ, donde γ es la polarizabilidad molecular, obtenemos
γ=
e2
,
mωo2
(5.176)
lo cual concuerda con el resultado obtenido en el Cap&iacute;tulo 3 para un modelo
simple de polarizabilidad de un &aacute;tomo.
2. Medio conductor, ωo = 0.
Un material conductor se caracteriza porque sus &aacute;tomos poseen electrones que
no se encuentran completamente ligados. Esto corresponde a tomar ωo = 0 en
la Ec. (5.166). Entonces, la constante diel&eacute;ctrica del medio queda
(ω) = 1 −
ωp2
.
(ω 2 + iκω)
El desplazamiento r del electr&oacute;n en este caso da
e
Eo e−iωt .
r=
2
m(ω + iκω)
(5.177)
(5.178)
La polarizaci&oacute;n del medio es
P = ηp = −ηer
(5.179)
La densidad de corriente asociada con el movimiento de los electrones es
J = −neṙ = iωner = −iωP
(5.180)
Puesto que P = χe (ω) E y J = σ E, obtenemos para la conductividad del medio
con ωo = 0,
σ(ω) = −iωχe
(ω) − 1
= −iω
4π
2
iωηe
=
m(ω 2 + iκω)
ηe2
=
m(κ − iω)
(5.181)
226CAP&Iacute;TULO 5. CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
Para frecuencias peque&ntilde;as comparadas con el coeficiente de amortiguamiento,
la frecuencia de la onda.
ηe2
ηe2 τ
σ≈
=
(5.182)
mκ
m
donde τ = κ−1 es el tiempo de relajaci&oacute;n o tiempo entre colisiones. La condici&oacute;n
ω κ, o ωτ 1 significa que el tiempo entre colisiones es muy peque&ntilde;o
comparado con el per&iacute;odo de la onda. Entonces, en este r&eacute;gimen dominado por
colisiones, obtenemos el &iacute;ndice de refracci&oacute;n del medio usando la Ec. (5.177),
s
p
ωp2
n = (ω) ≈ 1 −
.
(5.183)
iκω
El &iacute;ndice de refracci&oacute;n posee tanto parte real como parte imaginaria, por lo que
k = n ωc tambi&eacute;n. Luego, la onda que se propaga en el medio, caracterizada por
el factor eikz , presenta oscilaci&oacute;n y atenuaci&oacute;n.
Consideremos el caso ω κ, o ωτ 1, donde el tiempo entre colisiones es
muy grande comparado con el per&iacute;odo de la onda. Esto corresponde al r&eacute;gimen
sin colisiones. En este caso, usando la Ec. (5.177), tenemos
s
ωp2
n ≈ 1 − 2.
(5.184)
ω
Supongamos que ω &lt; ωp . Entonces,
s
n≈i
ωp2
− 1.
ω2
(5.185)
El &iacute;ndice de refracci&oacute;n es puramente imaginario y, por lo tanto, no ocurre oscilaci&oacute;n sino completa atenuaci&oacute;n de la onda en el medio. Por otro lado, si ω &gt; ωp ,
el &iacute;ndice de refracci&oacute;n en el r&eacute;gimen sin colisiones es
s
ωp2
n ≈ 1 − 2,
(5.186)
ω
el cual corresponde a una cantidad puramente real. Luego, para frecuencias
mayores que la frecuencia de plasma, existe propagaci&oacute;n oscilatoria de la onda
5.9. ONDAS ELECTROMAGN&Eacute;TICAS EN MEDIOS MATERIALES.
227
sin ninguna atenuaci&oacute;n. Para frecuencias por debajo de ω = ωp , la propagaci&oacute;n
en el medio es imposible, y solamente puede ocurrir reflexi&oacute;n de una onda
incidente en una interfase que separa a ese medio. La frecuencia de plasma ωp
es caracter&iacute;stica del medio y juega el papel de l&iacute;mite inferior de las frecuencias
que pueden propagarse en un medio constituido por part&iacute;culas cargadas no
ligadas, como por ejemplo, en un plasma.
Ejemplos.
1. Una observaci&oacute;n del efecto de la frecuencia de plasma se encuentra en la ionosfera, que es una regi&oacute;n de la atm&oacute;sfera terrestre a una altura sobre los 80 Km.
A esa altura, la densidad del ox&iacute;geno y nitr&oacute;geno es muy baja, y sus mol&eacute;culas
se encuentran disociadas en &aacute;tomos. La radiaci&oacute;n solar y los rayos c&oacute;smicos ionizan los &aacute;tomos, produciendo una cantidad de electrones libres, cuya densidad
η var&iacute;a con la altura y con la hora del d&iacute;a.
Una onda electromagn&eacute;tica de frecuencia ω que se mueve hacia arriba continua√
r&aacute; propag&aacute;ndose mientras que ω &gt; ωp ∝ η. Cuando la densidad η sea lo
suficientemente grande para que ω = ωp , la onda no puede propagarse m&aacute;s,
y es reflejada. En promedio, la densidad cr&iacute;tica ocurre para ondas de longitud
λ =17 m o mayores. En particular, las ondas de radio AM (longitud de onda
100-300 m) pueden ser usadas para comunicaciones a grandes distancias por
encima del horizonte, aprovechando su reflexi&oacute;n en la ionosfera. Las longitudes
de onda cortas como radio FM o microondas, para las que ω &gt; ωp , atraviesan la
ionosfera hacia el espacio, y solamente pueden ser usadas para comunicaciones
a trav&eacute;s de antenas en l&iacute;nea de visi&oacute;n directa, o mediante reflexi&oacute;n en sat&eacute;lites
orbitando la Tierra.
2. En metales, la frecuencia de plasma corresponde al ultravioleta, por lo que
estos materiales son reflectantes para frecuencias de ondas electromagn&eacute;ticas
en el rango visible y menores, pero dejan pasar frecuencias altas, como rayos X
y rayos gamma.
228CAP&Iacute;TULO 5. CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
Resumen
1. Ley de inducci&oacute;n de Faraday,
1 dΦm
ε=−
,
Z c dt
Φm =
B &middot; n̂ da.
S
2. Ecuaciones de Maxwell en el vac&iacute;o,
∇ &middot; E = 4πρ,
1 ∂B
=0
∇&times;E+
c ∂t
∇ &middot; B = 0,
4π
1 ∂E
=
J.
∇&times;B−
c ∂t
c
3. Potenciales electromagn&eacute;ticos,
B = ∇ &times; A,
E
= −∇ϕ −
1 ∂A
.
c ∂t
4. Calibre de Lorentz,
∇&middot;A+
1 ∂ϕ
= 0.
c ∂t
5. Densidad de energ&iacute;a del campo electromagn&eacute;tico,
uem =
1
(|E|2 + |B|2 ).
8π
6. Vector de Poynting,
S≡
c
E &times; B.
4π
7. Ecuaci&oacute;n de onda para el campo el&eacute;ctrico (o magn&eacute;tico)
∇2 E −
&micro; ∂ 2 E
= 0.
c2 ∂t2
5.9. ONDAS ELECTROMAGN&Eacute;TICAS EN MEDIOS MATERIALES.
8. Onda plana,
i
h
E(r, t) = ê1 Re Eo ei(k&middot;r−ωt) .
9. N&uacute;mero de onda,
k=n
ω
,
c
n=
√
&micro;.
B = nk̂ &times; E
11. Polarizaci&oacute;n de ondas planas (E1 , E2 , ∈ &lt;),
E(r, t) = (E1 x̂ + E2 ŷ) ei(kz−ωt) ,
polarizaci&oacute;n lineal.
E(r, t) = (E1 x̂ + iE1 ŷ) ei(kz−ωt) , polarizaci&oacute;n circular.
229
230CAP&Iacute;TULO 5. CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
5.10.
Problemas.
1. Considere los potenciales
A(r, t) = Ao ei(k&middot;r−ωt) ,
ϕ(r, t) = 0.
a) Encuentre el campo electromagn&eacute;tico asociado a estos potenciales.
b) Encuentre las condiciones para que el campo electromagn&eacute;tico sea f&iacute;sicamente
realizable.
2. Considere los campos electromagn&eacute;ticos
E = A sin(ky − ωt)ẑ
B = B sin(ky − ωt)x̂.
a) &iquest;Qu&eacute; relaci&oacute;n debe existir entre A y B para que estos campos sean ondas
f&iacute;sicamente posibles en el vac&iacute;o?.
b) Calcule los potenciales A y ϕ para este campo electromagn&eacute;tico en el calibre
de Lorentz.
3. Una varilla con conductividad σ y densidad de masa γ se mueve sin fricci&oacute;n
sobre rieles en presencia de un campo magn&eacute;tico constante B = Bo ẑ. Si la
velocidad inicial de la varilla en la direcci&oacute;n y es vo , calcule el tiempo requerido
para que la varilla se detenga.
4. Un aro de radio R est&aacute; rotando con velocidad angular uniforme ω sobre un
eje que pasa por su di&aacute;metro. Un anillo de radio a R por el cual circula
una corriente I se encuentra en el centro del aro, con su plano perpendicular
al plano del aro. Encuentre la diferencia de potencial resultante entre los dos
extremos del di&aacute;metro del aro.
5.10. PROBLEMAS.
231
5. Un anillo de radio a est&aacute; hecho de un cable de cierto di&aacute;metro, que posee
resistividad % y densidad de masa η. El anillo cae verticalmente en la direccion
z, con su plano perpendicular a z, en un campo magn&eacute;tico con una componente
Bz = Bo z, donde Bo =cte. Despreciando la resistencia del aire, encuentre la
6. Un alambre muy largo, de longitud l y radio b, transporta una corriente I
cuando se le aplica una diferencia de potencial V entre sus extremos. Calcule
el flujo de energ&iacute;a por unidad de longitud en la superficie del alambre.
7. Considere la siguiente onda plana linealmente polarizada propag&aacute;ndose en un
n
E(r, t) = Eo eiω[t− c (k&middot;r)] .
Calcule el &iacute;ndice de refraci&oacute;n n del medio.
a) Suponga que el plasma es estacionario y que en t = 0 contiene un campo
magn&eacute;tico
Bo x̂, |x| &lt; L,
B(r, 0) =
0,
|x| &gt; L,
Determine el campo magn&eacute;tico en el espacio para todo tiempo posterior.
b) Si el plasma se mueve con velocidad v, encuentre la ecuaci&oacute;n que satisface
el campo magn&eacute;tico.
9. Un plasma formado por electrones (carga e y masa m) tiene una densidad de
carga uniforme ρ muy peque&ntilde;a. Suponga que las interacciones entre los electrones pueden ser despreciadas. Una onda electromagn&eacute;tica plana de frecuencia ω
y n&uacute;mero de onda k incide sobre el plasma.
a) Encuentre la conductividad del plasma en funci&oacute;n de ω.
b) Encuentre el &iacute;ndice de refracci&oacute;n del plasma en funci&oacute;n de ω.
c) Si la onda incide paralelamente a la direcci&oacute;n de Bo y posee polarizaci&oacute;n
circular, determine el &iacute;ndice de refracci&oacute;n del plasma en funci&oacute;n de ω para los
dos tipos de helicidad (positiva y negativa) de la onda.
232CAP&Iacute;TULO 5. CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS DEPENDIENTES DEL TIEMPO.
10. Un cable delgado de longitud l y orientado en la direcci&oacute;n z lleva una corriente
I = Io cos ωt.
a) Encuentre el momento dipolar el&eacute;ctrico del cable.
b) Calcule el potencial vector para distancias r l.
Cap&iacute;tulo 6
Transformaciones relativistas de
campos electromagn&eacute;ticos.
6.1.
Hacia finales del siglo XIX, la F&iacute;sica consist&iacute;a en dos grandes teor&iacute;as para explicar
la mayor&iacute;a de los fen&oacute;menos conocidos hasta entonces:
Mec&aacute;nica, expresada en las leyes de Newton, que presentaba una descripci&oacute;n
unificada de los fen&oacute;menos del movimiento.
Electromagnetismo, contenido en las ecuaciones de Maxwell, que representaba
la unificaci&oacute;n de la descripci&oacute;n de los fen&oacute;menos el&eacute;ctricos, magn&eacute;ticos y &oacute;pticos, y que condujo al descubrimiento de las ondas electromagn&eacute;ticas y de la
naturaleza de la luz.
En sus estudios sobre el movimiento, Galileo estableci&oacute; el principio de relatividad:
Las leyes de la Mec&aacute;nica son las mismas en diferentes sistemas de coordenadas inerciales que se encuentran en movimiento relativo uniforme.
Dados dos sistemas de coordenadas S con origen O, y S’ con origen O0 , tal que O0
se mueve con velocidad constante v con respecto a O, las transformaciones de Galileo
233
234CAP&Iacute;TULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS.
entre estos sistemas de coordenadas son
r0 = r − vt
t0 = t.
(6.1)
Figura 6.1: Transformaciones de Galileo para sistemas inerciales en movimiento relativo.
Si v = vx̂, las transformaciones de Galileo resultan en
x0 = x − vt
y0 = y
z0 = z
t0 = t.
(6.2)
Derivando con respecto al tiempo la Ec. (6.1), se obtiene la suma de velocidades,
dr
dr0
= 0 +v
dt
dt
⇒ u = u0 + v,
(6.3)
puesto que dt = dt0 y donde u es la velocidad de una part&iacute;cula medida en S y u0
corresponde a la velocidad de esa part&iacute;cula medida en S’. En particular, si v = vx̂,
u0x = ux − v.
(6.4)
La forma de las leyes de Newton es invariante bajo las transformaciones de Galileo.
Consideremos la Segunda Ley de Newton en S’,
m
d2 r0
= −∇0 V (r0 ) = F(r0 ).
dt02
(6.5)
235
Tenemos,
dr0
dr
=
− v,
(6.6)
0
dt
dt
d2 r0
d dr
d2 r
=
−
v
= 2.
(6.7)
02
dt
dt dt
dt
Por otro lado, notamos que para cualquier f ,
∂f
∂f ∂x
∂f
=
=
(6.8)
0
0
∂x
∂x ∂x
∂x
y similarmente
∂f
∂f
∂f
∂f
=
,
=
.
(6.9)
0
0
∂y
∂y
∂z
∂z
Luego,
∂
∂ ∂
∂ ∂ ∂
0
∇ =
,
,
=
, ,
= ∇.
(6.10)
∂x0 ∂y 0 ∂z 0
∂x ∂y ∂z
La coordenada r0 se puede expresar, en general, como la distancia entre la part&iacute;cula
en consideraci&oacute;n y otra part&iacute;cula (o influencia externa) con la cual aquella interact&uacute;a.
Es decir,
r0 = r0i − r0j = ri − rj = r.
(6.11)
Luego, ∇0 V (r0 ) = ∇V (r). De acuerdo a las transformaciones de Galileo Ec. (6.1), la
Ec. (6.5) en el sistema de referencia S’ se expresa en el sistema S como
d2 r
= −∇V (r) = F(r).
(6.12)
dt2
Por lo tanto, la Segunda ley de Newton es invariante (conserva su forma) bajo las
transformaciones de Galileo, y el principio de relatividad de Galileo es v&aacute;lido para
estas transformaciones.
Sin embargo, en contraste con el comportamiento de las leyes de la Mec&aacute;nica, las
leyes del Electromagnetismo no son invariantes ante las transformaciones de Galileo.
Las ecuaciones de Maxwell para los campos E(r, t) y B(r, t) son
m
∇ &middot; E = 4πρ
1 ∂B
∇&times;E+
=0
c ∂t
∇&middot;B=0
1 ∂E
4π
∇&times;B−
=
J.
c ∂t
c
(6.13)
(6.14)
(6.15)
(6.16)
236CAP&Iacute;TULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS.
∂E
Note que las ecuaciones de Maxwell contienen t&eacute;rminos de la forma ∂tj (r, t), donde Ej es la componente j del campo el&eacute;ctrico (tambi&eacute;n contienen t&eacute;rminos similares
para el campo magn&eacute;tico).
Consideremos la componente Ej (r0 , t0 ) en S’. Entonces,
X ∂Ej ∂x0
X ∂Ej
∂Ej
∂Ej
∂Ej 0 0
i
(r
,
t
)
=
+
=−
vi +
0
0
0
0
0
∂t
∂xi ∂t
∂t
∂xi
∂t
i
(6.17)
i
donde hemos usado las transformaciones de Galileo
x0i = xi − vi t, t0 = t
∂x0i
∂x0i
⇒
=
= −vi .
∂t0
∂t
(6.18)
(6.19)
Luego,
∂Ej
∂Ej
=
+ v &middot; ∇0 Ej .
(6.20)
∂t
∂t0
Por lo tanto, las ecuaciones de Maxwell son invariantes bajo las transformaciones
de Galileo s&oacute;lo si v = 0; es decir, conservan su forma solamente en un sistema de
referencia inercial en reposo con respecto al medio en el cual se propaga la luz. (El
“medio” correspondiente al vac&iacute;o se denominaba &eacute;ter ).
Ante esta situaci&oacute;n, se presentan los siguientes escenarios posibles:
i) Las transformaciones de Galileo son correctas, tanto para la Mec&aacute;nica como
para el Electromagnetismo, lo cual implica que las ecuaciones de Maxwell son
incorrectas.
ii) Las transformaciones de Galileo son v&aacute;lidas para la Mec&aacute;nica en todo sistema
inercial, pero las ecuaciones de Maxwell s&oacute;lo son v&aacute;lidas en un sistema inercial
en reposo con respecto al &eacute;ter (v = 0).
iii) Tanto las leyes de la Mec&aacute;nica como las del Electromagnetismo son invariantes en
todo sistema inercial, pero no bajo las transformaciones de Galileo. Esto implica
que las leyes de Newton son incorrectas y que se requiere otra transformaci&oacute;n
El &eacute;xito de las ecuaciones de Maxwell en la predicci&oacute;n de las ondas electromagn&eacute;ticas (experimentos de Hertz, Marconi, y otros) sugiere descartar el escenario (i).
237
Por otro lado, la falla en la detecci&oacute;n del movimiento relativo al &eacute;ter (experimento
de Michelson-Morley) requiere descartar la posibilidad (ii). El escenario (iii) fue el
camino elegido por Einstein en 1905.
1) Las leyes de la Naturaleza (los resultados de los experimentos) son
las mismas en todos los sistemas inerciales.
2) La velocidad de la luz es constante en todos los sistemas inerciales.
Seg&uacute;n el postulado 1, la ecuaci&oacute;n de onda electromagn&eacute;tica se cumple en los
sistemas de referencia S y S’. El postulado 2 implica que la forma de una onda electromagn&eacute;tica debe ser igual en los sistemas de referencia inerciales S y S’. Entonces,
consideremos un pulso esf&eacute;rico de luz emitido en el origen O de S en el instante
t = t0 = 0, cuando ambos or&iacute;genes O y O0 coinciden.
Figura 6.2: Pulso electromagn&eacute;tico emitido cuando los or&iacute;genes O y O0 coinciden.
Luego,
En S: |r| = ct
En S’: |r0 | = ct0
(6.21)
donde c es la magnitud constante de la velocidad de la luz en ambos sistemas. En
En S:
En S’:
x2 + y 2 + z 2 = c2 t2
x02 + y 02 + z 02 = c2 t02 .
(6.22)
238CAP&Iacute;TULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS.
Las relaciones (6.22) no son compatibles con las transformaciones de Galileo. Esto
se puede verificar sustituyendo las transformaciones Ecs. (6.2) en la relaci&oacute;n (6.22)
para S’, lo que da
x2 − 2vxt + v 2 t2 + y 2 + z 2 = c2 t2 ,
(6.23)
y lo cual es distinto de la expresi&oacute;n correspondiente en S.
lineales en t y en x para preservar la forma de una onda esf&eacute;rica en ambos sistemas
de coordenadas. Adem&aacute;s, deben tender a las transformaciones de Galileo cuando la
velocidad relativa entre los dos sistemas es peque&ntilde;a, puesto que la suma de velocidades derivada de esas transformaciones, Ec. (6.3), funciona en las pr&aacute;ctica en tales
situaciones. La simetr&iacute;a de los sistemas sugiere invarianza en las coordenadas y, x
perpendiculares a la direcci&oacute;n del movimiento. Entonces, si la velocidad de O0 es
v = vx̂, supongamos unas transformaciones de la forma
x0 = γ(x − vt)
t0 = γ(t − f x)
y0 = y
z 0 = z,
(6.24)
donde γ y f son factores o funciones a determinar. Sustituci&oacute;n de las transformaciones
(6.24) en la relaci&oacute;n (6.22) para S’ consistente con el segundo postulado, da
v2
x γ (1 − c f ) + 2(f c − v)γ xt + y + z = 1 − 2 γ 2 c2 t2 .
c
2 2
2 2
2
2
2
2
(6.25)
Comparando con la relaci&oacute;n (6.22) para S, requerimos
γ2
f c2 − v = 0
v2
1− 2 =1
c
γ 2 (1 − f 2 c2 ) = 1,
(6.26)
(6.27)
(6.28)
lo cual conduce a
v
f= 2,
c
−1/2
v2
γ = 1− 2
.
c
(6.29)
239
x − vt
x0 = r
v2
1− 2
v c
t − 2x
t0 = r c
v2
1− 2
c
y0 = y
z 0 = z.
(6.30)
Las Ecs. (6.30) son las transformaciones de Lorentz. Las ecuaciones de Maxwell (y la
ecuaci&oacute;n de una onda electromagn&eacute;tica) son invariantes bajo estas transformaciones.
Se acostumbra emplear la notaci&oacute;n β ≡ v/c, con la cual las transformaciones de
Lorentz se escriben en forma compacta como
x0 = γ(x
− βct)
β
t0 = γ t − x
c
y0 = y
z 0 = z.
(6.31)
Note que β ≤ 1 y γ ≥ 1.
En el l&iacute;mite de peque&ntilde;as velocidades v c, tenemos β 1 y γ ≈ 1, y las
transformaciones de Lorentz se aproximan a las transformaciones de Galileo,
x0 ≈ x − vt
t0 ≈ t.
(6.32)
Las transformaciones de Lorentz inversas se pueden obtener haciendo v → −v,
x → −x0 , t → t0 , en las Ecs. (6.31),
0
0
x = γ(x
+ βct )
β
t = γ t0 + x0
c
y = y0
z = z0.
(6.33)
240CAP&Iacute;TULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS.
A partir de las transformaciones de Lorentz se obtiene la regla de adici&oacute;n de
dx
dt
dx0
−
βc
,
u0x = 0 = γ
dt
dt0
dt0
(6.34)
dx
dx dt
dt
=
= ux 0 ,
dt0
dt dt0
dt
luego,
u0x
dt
= γ (ux − βc) 0 = γ (ux − βc)
dt
dt0
β
= γ 1 − ux ,
dt
c
dt0
dt
−1
,
(6.35)
(6.36)
lo cual conduce a
u0x =
ux − v
.
β
1 − ux
c
(6.37)
La relaci&oacute;n inversa de la suma de velocidades se obtiene haciendo v → −v, ux → u0x ,
en la Ec. (6.37),
u0 + v
ux = x
.
(6.38)
β 0
1 + ux
c
Contracci&oacute;n de la longitud.
Consideremos un objeto de longitud Lo en reposo a lo largo del eje x en el sistema
S. Luego, independiente de t,
Lo = x2 − x1 ,
(6.39)
Consideremos la longitud del objeto medida en el sistema S’. Un observador en
S’ debe realizar una medida de los extremos x02 y x01 simult&aacute;neamente en S’, es decir,
para un mismo tiempo t0 ,
L0 = x02 (t0 ) − x01 (t0 ).
(6.40)
241
Figura 6.3: Contracci&oacute;n de la longitud.
Las transformaciones de Lorentz, Ecs. (6.31), dan las coordenadas x1 y x2 en S
para un mismo tiempo t0 en S’ ,
x2 = γ(x02 + βct0 )
x1 = γ(x01 + βct0 )
⇒ x2 − x1 = γ(x02 − x01 ) .
(6.41)
Luego,
Lo
L =
= Lo
γ
0
r
1−
v2
.
c2
(6.42)
Como γ &gt; 1, la longitud L0 del objeto medida en S’ es menor que la longitud Lo en
S donde el objeto se encuentra en reposo.
Dilataci&oacute;n del tiempo.
Un observador con un reloj en S, presente en dos eventos que ocurren en las
mismas coordenadas con respecto al observador, mide el tiempo propio entre esos
eventos. El tiempo propio entre dos eventos que ocurren en un mismo punto x de S
es
τ ≡ t2 (x) − t1 (x).
(6.43)
Las transformaciones de Lorentz inversas, Ecs. (6.33), dan para ese intervalo de
242CAP&Iacute;TULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS.
tiempo en S’,
0
∆t =
t02
−
t01
β
β
= γ t2 − x − γ t1 − x = γ(t2 − t1 ).
c
c
Luego,
∆t0 = γτ = r
τ
v2
1− 2
c
.
(6.44)
(6.45)
Figura 6.4: Un observador en S mide el tiempo propio entre dos eventos que ocurren en las
Puesto que γ &gt; 1, el intervalo de tiempo medido en S’ es mayor que el tiempo
propio medido en S. En general, el tiempo propio es el intervalo de tiempo m&aacute;s corto
posible entre dos eventos.
Din&aacute;mica relativista.
Los postulados de la Relatividad y las transformaciones de Lorentz son compatibles con las ecuaciones de Maxwell, pero requieren modificaciones de las leyes de
Newton. Einstein propuso redefinir el momento lineal de una part&iacute;cula que se mueve
con velocidad u en un sistema S, del siguiente modo
pi = m
dxi
,
dτ
(6.46)
243
donde τ es el tiempo propio (el tiempo medido en el sistema donde la part&iacute;cula est&aacute;
en reposo), el cual est&aacute; definido un&iacute;vocamente (tiene el mismo valor) para todos los
1
dxi
dxi dt
dxi
r
=
=
= γui .
dτ
dt dτ
dt
u2
1− 2
c
(6.47)
Luego, el momento relativista es
p= r
mu
u2
1− 2
c
= mγu ,
(6.48)
donde u es la velocidad de la part&iacute;cula en el sistema de referencia S.
La Segunda Ley de Newton relativista se escribe entonces,
F=
dp
.
dt
(6.49)
donde p est&aacute; definido en la Ec. (6.48). En esta forma, la Segunda Ley de Newton es
invariante bajo las transformaciones de Lorentz,
dp
dp0
= 0.
dt
dt
Note que en el l&iacute;mite de bajas velocidades, β =
(6.50)
v
1, obtenemos p ≈ mu.
c
Invariantes relativistas.
Existen cantidades escalares que tienen el mismo valor en todos los sistemas inerciales. Por ejemplo,
γ 2 (1 − β 2 ) = 1
(6.51)
tiene el mismo valor en todos los sistemas. Multiplicando por la constante m2 c4 ,
m2 c4 = m2 c4 γ 2 − p2 c2 = cte.
(6.52)
Una cantidad cuyo valor es independiente del sistema de coordenadas se denomina
invariante de Lorentz.
244CAP&Iacute;TULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS.
Energ&iacute;a relativista.
E ≡ γmc2 ,
(6.53)
E 2 − p2 c2 = m2 c4 = cte.
(6.54)
entonces podemos expresar
cantidad E es un tipo de energ&iacute;a que se puede interpretar f&iacute;sicamente si hacemos una
v
expansi&oacute;n en t&eacute;rminos de β = 1,
c
1 2
4
2
2 −1/2
2
(6.55)
E = mc (1 − β )
= mc 1 + β − O(β )
2
Luego,
1
E = mc2 + mv 2 + &middot; &middot; &middot;
(6.56)
2
El primer t&eacute;rmino en la Ec. (6.56) es constante y no depende de la velocidad de la
part&iacute;cula,
Eo = mc2 ,
(6.57)
por lo que representa la energ&iacute;a en reposo de la masa m. El segundo t&eacute;rmino en la
Ec. (6.56) corresponde a la energ&iacute;a cin&eacute;tica de la part&iacute;cula para bajas velocidades.
Luego, la cantidad E se interpreta como la energ&iacute;a total relativista de una part&iacute;cula
libre,
mc2
E=r
= mc2 + Trel .
(6.58)
v2
1− 2
c
Lagrangiano para una part&iacute;cula relativista.
Las leyes de Newton se cumplen en Relatividad con la definici&oacute;n apropiada de p,
dada en la Ec. (6.48). Luego, las ecuaciones de Lagrange tambi&eacute;n se deben cumplir
para un Lagrangiano L definido apropiadamente,
d ∂L
∂L
−
= 0.
(6.59)
dt ∂ ẋi
∂xi
245
Consideremos una part&iacute;cula con velocidad v y posici&oacute;n r en un potencial V (r).
Luego,
∂L
∂V
∂L
= pi = γmẋi ,
=
= Fi .
(6.60)
∂ ẋi
∂xi
∂xi
Supongamos la velocidad a lo largo del eje xi , i.e., ẋi = v. Entonces,
∂L
∂L
=
= γmv ,
∂ ẋi
∂v
luego, la dependencia funcional del Lagrangiano con la velocidad es
Z
Z
β dβ
v dv
2
p
L(v) = m r
= mc
,
2
1 − β2
v
1− 2
c
(6.61)
(6.62)
lo cual da
L(v) = −mc2 (1 − β 2 )1/2 .
(6.63)
Para β 1, L(v) se aproxima a la energ&iacute;a cin&eacute;tica newtoniana
1
L(v) ≈ mv 2 + &middot; &middot; &middot;
2
(6.64)
Luego, el Lagrangiano para una part&iacute;cula relativista debe tener la forma L = L(v) −
V (r), es decir,
r
v2
2
L = −mc 1 − 2 − V (r).
(6.65)
c
Note que L 6= E − V , y L 6= Trel − V . Sin embargo, puesto que L no depende
expl&iacute;citamente del tiempo, la funci&oacute;n de energ&iacute;a es una cantidad constante para este
sistema,
X ∂L
E=
ẋi − L = cte.
(6.66)
∂ ẋi
i
Utilizando L de la Ec. (6.65), obtenemos
P
p
ẋi ẋi
p
E=m i
+ mc2 1 − β 2 + V,
1 − β2
(6.67)
246CAP&Iacute;TULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS.
lo cual se reduce a
mc2
+ V = E + V = cte.
E=p
1 − β2
(6.68)
La inclusi&oacute;n de potenciales dependientes de la velocidad no representa problema,
y se hace del mismo modo que en el caso no relativista. En particular, recordemos que
en Mec&aacute;nica Cl&aacute;sica la energ&iacute;a potencial de una part&iacute;cula con carga q que se mueve
con velocidad v en un campo electromagn&eacute;tico caracterizado por los potenciales ϕ y
q
V = qϕ − A &middot; v .
(6.69)
c
La fuerza de Lorentz sobre una part&iacute;cula en un campo electromagn&eacute;tico se deriva
de este potencial. Luego, el Lagrangiano relativista para una part&iacute;cula en un campo
electromagn&eacute;tico es
r
q
v2
2
(6.70)
L = −mc 1 − 2 − qϕ + A &middot; v.
c
c
Ejemplo.
1. Part&iacute;cula con masa m sujeta a la fuerza F = ma, donde a es una constante.
El potencial es V = −max y el Lagrangiano relativista es
p
L = −mc2 1 − β 2 + max,
donde β = ẋ/c. La ecuaci&oacute;n de Lagrange para x da:
!
d
β
a
p
= .
2
dt
c
1−β
(6.71)
(6.72)
Integrando, tenemos
β
at + α
p
=
c
1 − β2
⇒
at + α
β=p
c2 + (at + α)2
donde α es una constante de integraci&oacute;n. Integrando otra vez,
Z
(at + α)dt
x=c p
c2 + (at + α)2
(6.73)
(6.74)
6.2. CORRIMIENTO DOPPLER RELATIVISTA.
247
p
c p 2
c + (at + α)2 − c2 + a2
(6.75)
a
donde hemos introducido la condici&oacute;n inicial x = x0 en t = 0. Si la part&iacute;cula
se encuentra en reposo ẋ(0) = 0 en el origen x0 en t = 0, entonces α = 0 y
tenemos
2
c2
c4
x+ 2
− c2 t2 = 2 ,
(6.76)
a
a
lo cual corresponde a una hip&eacute;rbola en el plano (x, t). Note que en el l&iacute;mite no
relativista, β 1, la Ec. (6.73) da la trayectoria par&aacute;bolica usual en el plano
(x, t),
1
x ≈ at2 + αt + x0 .
(6.77)
2
x − x0 =
6.2.
Corrimiento Doppler relativista.
Los postulados de la Relatividad implican que una onda plana tiene la misma forma en todos los sistemas de coordenadas inerciales. Puesto que las transformaciones
de Lorentz son lineales, una onda plana en S debe seguir siendo una onda plana en S’.
La fase de una onda debe ser una cantidad invariante, la misma en todos los sistemas
de coordenadas, puesto que la fase est&aacute; determinada por el n&uacute;mero de m&aacute;ximos y
m&iacute;nimos de la onda que pasan por un observador; y toda operaci&oacute;n de conteo de
objetos es independiente del sistema de coordenadas. Es decir, el n&uacute;mero de objetos
es un invariante de Lorentz. Luego, la fase de una onda plana en el sistema S debe
tener el mismo valor en el sistema S’;
k &middot; r − ωt = k0 &middot; r0 − ω 0 t0 ,
(6.78)
donde k = (kx , ky , kz ) y ω son el vector de onda y la frecuencia en el sistema S,
y k0 = (kx0 , ky0 , kz0 ) y ω 0 son las correspondientes cantidades en S’. Las coordenadas
de los dos sistemas est&aacute;n relacionadas por las transformaciones de Lorentz. Luego,
sustituyendo las transformaciones inversas Ecs. (6.33) en la Ec. (6.78), tenemos
kx x + ky y + kz z − ωt = kx0 x0 + ky0 y 0 + kz0 z 0 − ω 0 t0 ,
v kx γ(x0 + vt) + ky y 0 + kz z 0 − ωγ t0 + 2 x0
= kx0 x0 + ky0 y 0 + kz0 z 0 − ω 0 t0 ,
c
v γ kx − 2 ω x0 + ky0 y 0 + kz0 z 0 − γ(ω − kx v)t0 = kx0 x0 + ky0 y + kz0 z − ω 0 t0 (6.79)
c
248CAP&Iacute;TULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS.
Comparando coeficientes en ambos lados de la Ec. (6.79), obtenemos
v kx0 = γ kx − 2 ω
c
ω 0 = γ(ω − vkx )
ky0
kz0
(6.80)
(6.81)
= ky
(6.82)
= kz .
(6.83)
En t&eacute;rminos de componentes vectoriales perpendiculares y paralelas a la direcci&oacute;n
del movimiento, podemos expresar
ω
kk0 = γ kk − β
c ω
ω0
(6.84)
=γ
− β kk
c
c
k0 ⊥ = k ⊥
Note que las cantidades k y ω/c se transforman de la misma manera que r y t en
las transformaciones de Lorentz. Las transformaciones inversas se obtienen intercambiando variables primas por no primas y haciendo β → −β en las Ecs. (6.84).
Figura 6.5: Efecto Doppler relativista.
Una consecuencia inmediata de las transformaciones Ec. (6.84) es el corrimiento
Doppler relativista. Si una vector de onda k forma un &aacute;ngulo θ con respecto con el
eje x en el sistema de coordenadas S, entonces en el sistema S’ que se mueve con
velocidad v = vx̂, la frecuencia de la onda es
ω 0 = γ(ω − v k cos θ),
⇒ ω 0 = γω (1 − β cos θ) ,
(6.85)
6.2. CORRIMIENTO DOPPLER RELATIVISTA.
249
donde hemos usado k = ω/c.
Para θ = 0, la Ec. (6.85) da el conocido corrimiento Doppler para la luz: si v &gt; 0,
la fuente en S se aleja del observador en S’ y ω 0 &lt; ω, lo que corresponde al corrimiento
hacia el rojo; mientras que si v &lt; 0, la fuente en S se acerca al observador en S’ y
ω 0 &gt; ω, lo que se denomina corrimiento hacia el azul.
En el l&iacute;mite no relativista, γ → 1, la Ec. (6.85) da
v
ω 0 = ω 1 − cos θ .
(6.86)
c
Note que en el l&iacute;mite no relativista, no existe corrimento Doppler para θ = π/2; es
decir ω 0 = ω. Sin embargo, la expresi&oacute;n relativista, Ec. (6.85), para θ = π/2, da
ω 0 = γω &gt; ω;
(6.87)
este efecto relativista se conoce como el corrimiento Doppler transversal.
A pesar del corrimiento Doppler relativista, la velocidad de fase de la onda plana
sigue siendo la misma en los sistemas de referencia S y S’. En S tenemos,
v=
ω
= c,
k
(6.88)
ω0
,
k0
(6.89)
mientras que en S’,
v0 =
donde
ω 0 = γω(1 − β cos θ).
(6.90)
Por otro lado, calculamos k 0 como
k 02 = kx02 + ky02 + kz02
ω 2
= γ 2 kx − β
+ ky2 + kz2
c
= k 2 sin2 θ + k 2 (cos θ − β)2 ,
(6.91)
2
ky2 + kz2 = k⊥
= k 2 sin2 θ,
kx = kk = k cos θ,
k=
ω
.
c
(6.92)
250CAP&Iacute;TULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS.
Usando la identidad γ 2 (1 − β 2 ) = 1, podemos escribir la Ec. (6.91) como
k 02 = k 2 γ 2 (1 − β 2 ) sin2 θ + k 2 (cos θ − β)2
= k 2 γ 2 (sin2 θ − β 2 sin2 θ + cos θ2 − 2β cos θ + β 2 )
= k 2 γ 2 (1 + β 2 cos θ2 − 2β cos θ)
= k 2 γ 2 (1 − β cos θ)2
⇒ k 0 = kγ(1 − β cos θ).
(6.93)
Sustituyendo en la Ec. (6.89), obtenemos
v0 =
ω0
γω(1 − β cos θ)
ω
=
= = c.
0
k
kγ(1 − β cos θ)
k
(6.94)
El &aacute;ngulo θ0 que el vector de onda k0 forma con la direcci&oacute;n de v en S’ es
tan θ0 =
⇒ tan θ0 =
0
k⊥
kk0
sin θ
.
γ(cos θ − β)
Ejemplo.
1. Experimento de Fizeau (1851).
Figura 6.6: Experimento de Fizeau.
(6.95)
6.2. CORRIMIENTO DOPPLER RELATIVISTA.
251
Este experimento buscaba medir el cambio en la velocidad de la luz en un
medio (agua) en movimiento. Hyppolite Fizeau encontr&oacute; experimentalmente
que la velocidad de la luz en el laboratorio en este caso era
c
1
vluz = &plusmn; v 1 − 2 ,
(6.96)
n
n
donde n es el &iacute;ndice de refracci&oacute;n del agua; v es la velocidad del agua en movimiento; el signo + ocurre si el agua se mueve en la direcci&oacute;n de la luz, y el signo
− tiene lugar si el agua se mueve en direcci&oacute;n contraria a la luz. El aparato
separa dos rayos de luz monocrom&aacute;tica provenientes de la misma fuente y los
transmite por un fluido movi&eacute;ndose a favor o en contra de la direcci&oacute;n de la
onda electromagn&eacute;tica. Un observador mide el corrimiento de fase (k1 − k2 )L
mediante el patr&oacute;n de interferencia resultante entre las dos ondas, donde k1
y k2 son los n&uacute;meros de onda correspondientes y L es la longitud del recorrido para ambos rayos. El corrimiento de fase es proporcional a la diferencia de
velocidades de la luz en los dos casos.
Los resultados del experimento pueden explicarse mediante la Relatividad Especial. La invarianza de la fase de la onda debe ser v&aacute;lida a&uacute;n en presencia de un
medio diel&eacute;ctrico; luego las transformaciones relativistas de k y ω siguen siendo
v&aacute;lidos en un medio como el agua. Consideremos que el agua est&aacute; estacionaria
en el sistema S’, el cual se mueve con velocidad v en la direcci&oacute;n x̂ con respecto
al sistema del laboratorio S. Entonces, en S’, donde el agua est&aacute; en reposo, la
ω0
c
0
vluz
= 0 =
(6.97)
k
n
donde k0 = k 0 x̂ es el vector de onda y ω 0 la frecuencia de la luz en S’.
En el laboratorio S, la velocidad de la luz ser&aacute;
vluz =
ω
.
k
(6.98)
Utilizamos las transformaciones inversas de las Ecs. (6.84),
ω = γ(ω 0 + vk 0 )
ω0
0
k = γ k +β
,
c
(6.99)
(6.100)
252CAP&Iacute;TULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS.
y sustituyendo en la Ec. (6.98) obtenemos
vluz =
=
=
γ(ω 0 + vk 0 )
ω0
0
γ k +β
c
k0
1+v 0
ω0
ω
βω 0
k0
1+ 0
ck
c
β −1
(1 + nβ) 1 +
.
n
n
(6.101)
Puesto que el agua se mueve con velocidad peque&ntilde;a comparada con la de la
v
luz, tenemos β = 1. Luego, despreciando t&eacute;rminos de orden β 2 y mayores,
c
podemos escribir para la velocidad de la luz en el laboratorio S,
c
β
vluz =
(1 + nβ) 1 − + &middot; &middot; &middot;
n
n
c
β
=
1 − + nβ + &middot; &middot; &middot;
n
n
c
1
=
1+β n−
+ &middot;&middot;&middot;
n
n
c
1
⇒ vluz =
+v 1− 2 ,
(6.102)
n
n
lo cual est&aacute; en completo acuerdo con el experimento de Fizeau cuando el agua
se mueve en la direcci&oacute;n de la luz. Para el agua movi&eacute;ndose en direcci&oacute;n opuesta
a la de la luz, simplemente reemplazamos v → −v en el resultado anterior.
Note que las transformaciones de velocidades de Galileo dan, para la velocidad
de la luz en el laboratorio, la expresi&oacute;n
c
(6.103)
vluz = &plusmn; v,
n
que no est&aacute; de acuerdo con el resultado experimental.
6.3. TRANSFORMACIONES DE CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS.
6.3.
253
Transformaciones de campos electromagn&eacute;ticos.
La evidencia experimental indica que la carga el&eacute;ctrica es un invariante relativista;
es decir, la carga el&eacute;ctrica de una part&iacute;cula, tal como el electr&oacute;n o el prot&oacute;n, es
independiente de su velocidad. Se ha establecido que el cociente entre la carga del
electr&oacute;n y el prot&oacute;n es el mismo para diversos &aacute;tomos neutros; a pesar de que las
velocidades de los correspondientes electrones sean muy distintas. Igualmente, se han
realizado experimentos con haces de diversos &aacute;tomos neutros movi&eacute;ndose a altas
velocidades y sujetos a campos el&eacute;ctricos; sin observaci&oacute;n de efecto de desviaci&oacute;n
alguno.
La invarianza de la carga el&eacute;ctrica y la contracci&oacute;n de la longitud implican que la
densidad de carga medida en sistemas inerciales S y S’ en movimiento relativo debe
ser diferente. Como consecuencia, los campos el&eacute;ctricos y magn&eacute;ticos en S y en S’
tambi&eacute;n son diferentes; pero las ecuaciones de Maxwell conservan su forma en ambos
sistemas.
Para mostrar c&oacute;mo la densidad de una distribuci&oacute;n carga se transforma en distintos sistemas, consideremos una l&aacute;mina paralela al plano (x, z) con carga q, largo
Lo (en la direcci&oacute;n x) y ancho l en reposo en un sistema S. La densidad superficial
de carga de la l&aacute;mina en S es σo , donde
σo =
q
.
Lo l
(6.104)
Figura 6.7: Transformaci&oacute;n de la componente Ey en S a Ey0 en S’ .
La longitud de la l&aacute;mina, medida en un sistema S’ que se mueve con velocidad v
en la direcci&oacute;n x, es
r
Lo
v2
0
L =
= Lo 1 − 2 .
(6.105)
γ
c
254CAP&Iacute;TULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS.
Luego, la densidad de carga superficial de la l&aacute;mina, medida en S’ es
σ0 =
q
q
=γ
= γσo .
L0 l
Lo l
(6.106)
Es decir, la densidad de carga medida en un sistema en movimiento es mayor que la
densidad de carga en reposo; σ 0 &gt; σo , puesto que γ &gt; 1.
Consideremos dos l&aacute;minas paralelas al plano (x, z) en reposo en S, con densidades
de carga σo y −σo , y con sus longitudes Lo en la direcci&oacute;n x. El campo el&eacute;ctrico en
S es uniforme entre las l&aacute;minas y va en la direcci&oacute;n y,
Ey = 4πσo .
(6.107)
El campo el&eacute;ctrico medido en S’ debe tener la misma forma que en S, puesto que en
S’ tambi&eacute;n que se cumplen las ecuaciones de Maxwell,
Ey0 = 4πσ 0
⇒
Ey0
(6.108)
= 4πγσo
(6.109)
= γEy .
(6.110)
Luego, Ey0 &gt; Ey . Del mismo modo, si colocamos las l&aacute;minas paralelas al plano (x, y)
en S, con sus longitudes Lo en la direcci&oacute;n x, obtenemos
Ez0 = γEz ,
(6.111)
puesto que la contracci&oacute;n de la longitud sigue afectando a Lo en la direcci&oacute;n x en S’.
Por otro lado, si las l&aacute;minas se encuentran paralelas al plano (y, z) en S, la contracci&oacute;n de la longitud en la direcci&oacute;n x afecta la separaci&oacute;n de las l&aacute;minas medida
en S’, pero no sus &aacute;reas. Como consecuencia, la densidad de carga de las l&aacute;minas
medida en S’ no cambia; y por lo tanto, el campo el&eacute;ctrico en la direcci&oacute;n x0 tampoco
cambia,
σ 0 = σo
⇒
Ex0
= Ex .
(6.112)
(6.113)
6.3. TRANSFORMACIONES DE CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS.
255
Figura 6.8: Transformaci&oacute;n de la componente Ex en S a Ex0 en S’ .
Entonces, las componentes del campo el&eacute;ctrico perpendiculares a la direcci&oacute;n de
la velocidad cambian, mientras que las componentes del campo el&eacute;ctrico paralelas a
la velocidad no se alteran en el sistema S’; esto es,
0
= γE⊥
E⊥
(6.114)
Ek0
(6.115)
= Ek .
Figura 6.9: Transformaciones de las componentes Ey y Bz en S a Ey0 y Bz0 en S’ .
Supongamos ahora que, adem&aacute;s de un campo el&eacute;ctrico, existe un campo magn&eacute;tico
en S. Para que exista un campo magn&eacute;tico en S, debemos tener cargas en movimiento
en S. Consideremos entonces que las l&aacute;minas paralelas, cuyas densidades de carga en
reposo son &plusmn;σo , se mueven ambas en el sistema S en la direcci&oacute;n x con velocidad uo .
Entonces, la densidad de carga en S es
σ = γo σ o ,
donde γo = (1 −
uo
βo =
.
c
βo2 )−1/2
(6.116)
(6.117)
(6.118)
256CAP&Iacute;TULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS.
La densidad de carga en movimiento equivale a una corriente. Consideremos un
elemento diferencial de una l&aacute;mina de largo dx. Su carga es
dq = σl dx.
(6.119)
La corriente que pasa en un tiempo dt en S es
I=
dq
dx
= σl
= σluo .
dt
dt
(6.120)
Figura 6.10: Ley de Amp&egrave;re para calcular la componente Bz en S .
Para calcular el campo magn&eacute;tico producido por las corrientes laminares I que
van en las direcciones x y x, notamos que el campo magn&eacute;tico entre las l&aacute;minas en
movimiento es uniforme y va en la direcci&oacute;n z, mientras que fuera de las l&aacute;minas
el campo magn&eacute;tico es cero. Utilizando la ley de Amp&egrave;re en forma integral para el
circuito C, obtenemos
I
4π
B &middot; dl =
Ienc
c
C
4π
Bz l =
I
c
4π
⇒ Bz =
σuo .
(6.121)
c
El campo el&eacute;ctrico en S va en la direcci&oacute;n y y su valor es
Ey = 4πσ.
(6.122)
6.3. TRANSFORMACIONES DE CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS.
257
Sustituyendo σ, podemos expresar los campos en S como
Ey = 4πγo σo
4π
Bz =
γo σo uo = 4πγo σo βo .
c
(6.123)
(6.124)
Las expresiones de los campos en el sistema S’ tienen la misma forma que en S,
Ecs. (6.121) y (6.122), pero en t&eacute;rminos de cantidades medidas en S’; esto es
Ey0 = 4πσ 0
4π 0 0
σu,
Bz0 =
c
(6.125)
(6.126)
donde σ 0 es la densidad de carga en S’ y u0 es la velocidad de las l&aacute;minas con respecto
a S’. Tenemos
σ 0 = γ 0 σo
−1/2
u02
0
donde γ =
1− 2
.
c
(6.127)
(6.128)
Utilizando la suma de velocidades relativistas, tenemos
u0 =
⇒
u0
c
=
uo − v
β
1 − uo
c
βo − β
,
1 − ββo
(6.129)
(6.130)
donde
β=
v
c
βo =
uo
.
c
(6.131)
258CAP&Iacute;TULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS.
Luego,
1−
u02
c2
⇒ γ0
βo − β 2
1 − ββo
(1 − βo2 )(1 − β 2 )
=
(1 − ββo )2
−1/2
u02
=
1− 2
c
= 1−
(6.132)
= (1 − βo2 )−1/2 (1 − β 2 )−1/2 (1 − ββo )
= γo γ (1 − ββo ).
(6.133)
Sustituyendo σ 0 y γ 0 en la Ec. (6.125), obtenemos
Ey0 = 4πσ 0
= 4πγ 0 σo
= 4πσo γo γ (1 − ββo )
= γ (4πσo γo − 4πσo γo βo β)
⇒
Ey0
= γ (Ey − βBz ) ,
(6.134)
donde hemos sustituido las Ecs. (6.123) y (6.124).
Del mismo modo, sustituyendo σ 0 , γ 0 y u0 /c en la Ec. (6.126), obtenemos
Bz0 = 4πσ 0
u0
c
= 4πγ 0 σo
(βo − β)
(1 − ββo )
(βo − β)
(1 − ββo )
= γ (4πσo γo βo − 4πσo γo β)
= 4πσo γγo (1 − ββo )
⇒
Bz0 = γ (Bz − βEy ) .
(6.135)
Por un procedimiento similar, se puede demostrar que las otras componentes de
E y B perpendiculares a la direcci&oacute;n x de la velocidad se transforman como
Ez0 = γ (Ez + βBy )
(6.136)
By0
(6.137)
= γ (By + βEz ) .
6.3. TRANSFORMACIONES DE CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS.
259
Figura 6.11: Transformaciones de las componentes Ez y By en S a Ez0 y By0 en S’ .
Por &uacute;ltimo, consideremos la transformaci&oacute;n de la componente Bx del campo magn&eacute;tico, paralela a la velocidad. Supongamos que en el sistema S tenemos en reposo un
solenoide infinito en la direcci&oacute;n x, el cual transporta una corriente I y posee N/Lo
Figura 6.12: Transformaci&oacute;n de la componente Bx en S a Bx0 en S’ .
Dentro del solenoide, el campo magn&eacute;tico es uniforme y va en la direcci&oacute;n x. La
ley de Amp&egrave;re da el valor
4π N
Bx =
I
.
(6.138)
c Lo
La corriente medida en S es
dq
,
(6.139)
dτ
donde dτ es el intervalo de tiempo propio para el paso de una carga dq por el cable.
La corriente medida en S’ es
I=
I0 =
dq
1 dq
I
=
= ,
0
dt
γ dτ
γ
(6.140)
260CAP&Iacute;TULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS.
puesto que dt0 = γdτ debido a la dilataci&oacute;n del tiempo en S’. Debido a la contracci&oacute;n
de la longitud, la longitud del solenoide en S’ es
L0 =
Lo
.
γ
(6.141)
El n&uacute;mero de espiras N es invariante. Entonces, el campo magn&eacute;tico en S’ es
4π 0 N
I 0
c L
4π I
N
γ
=
c γ
Lo
4π N
I
=
c Lo
= Bx .
Bx0 =
⇒ Bx0
(6.142)
(6.143)
Es decir, la componente del campo magn&eacute;tico paralela a la velocidad no cambia.
En resumen, las transformaciones relativistas de las componentes de los campos
electromagn&eacute;ticos son
Ex0 = Ex
Ey0 = γ (Ey − βBz )
Ez0 = γ (Ez + βBy )
Bx0 = Bx
By0 = γ (By + βEz )
Bz0 = γ (Bz − βEy ) ,
(6.144)
donde la velocidad relativa del sistema S’ con respecto a S va en la direcci&oacute;n x. Las
componentes de los campos electromagn&eacute;ticos paralelas a la direcci&oacute;n de la velocidad
no se alteran, mientras que las componentes perpendiculares se transforman. Si escribimos E = Ek + E⊥ y B = Bk + B⊥ , las transformaciones Ecs. (6.144) se pueden
expresar en forma vectorial como
E0k
E0⊥
B0k
B0⊥
donde
=
=
=
=
β=
Ek
γ(E⊥ + β &times; B)
Bk
γ(B⊥ − β &times; E),
v
x̂ ,
c
γ = (1 − β 2 )−1/2 .
(6.145)
(6.146)
6.3. TRANSFORMACIONES DE CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS.
261
Las transformaciones inversas se obtienen intercambiando variables primas por variables no primas, y haciendo β → −β en las Ecs. (6.144) y β → −β en las Ecs. (6.145).
Las transformaciones Ecs. (6.145) muestran que los campos el&eacute;ctrico y magn&eacute;tico
siempre coexisten en alg&uacute;n sistema de referencia. Un campo puramente el&eacute;ctrico en
un sistema aparece como una mezcla de campos elećtricos y magn&eacute;ticos en otro sistema. Los campos E y B est&aacute;n completamente relacionados, formando una entidad
que es el campo electromagn&eacute;tico, y podemos considerar a las componentes de E y B
como seis componentes del campo electromagn&eacute;tico. El mismo campo electromagn&eacute;tico, visto desde distintos sistemas, estar&aacute; representado por distintos valores para esas
seis componentes. De este modo, el campo electromagn&eacute;tico se puede expresar como
un tensor o una matriz 3 &times; 3 con seis componentes independientes que se transforman
en distintos sistemas de referencia de acuerdo a las Ecs. (6.144).
Ejemplos.
1. Carga puntual en movimiento.
Figura 6.13: Campos de una carga en movimiento.
Supongamos una carga q en reposo en S’. Luego, en S’ no hay campo magn&eacute;tico,
B0k = 0, B0⊥ = 0, y E0 es un campo electrost&aacute;tico radial.
Vista desde el sistema S, que podemos llamar laboratorio, la carga q se mueve
con velocidad v en la direcci&oacute;n x. El campo el&eacute;ctrico en S est&aacute; dado por las
transformaciones inversas correspondientes a la Ecs. (6.145),
Ek = E0k ,
E⊥ = γ(E0⊥ − β &times; B0 ),
(6.147)
262CAP&Iacute;TULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS.
es decir,
Ex = Ex0 ,
0
E⊥ = γE⊥
.
(6.148)
En S, las l&iacute;neas radiales de campo el&eacute;ctrico se pliegan en la direcci&oacute;n transversal al movimiento, concentr&aacute;ndose en un cilindro delgado perpendicular a la
direcci&oacute;n de v.
Similarmente, el campo magn&eacute;tico medido en S est&aacute; dado por
B⊥ = γ(B0⊥ + β &times; E0 )
Bk = B0k ,
(6.149)
lo que conduce en este caso a
Bk = 0,
B⊥ = γβ &times; E0 .
(6.150)
En S se observa un campo magn&eacute;tico B = B⊥ perpendicular a la direcci&oacute;n del
movimiento β y al campo radial E0 . Las l&iacute;neas de campo B son circunferencias alrededor de la direcci&oacute;n de movimiento, en el plano perpendicular a &eacute;sta.
La carga en movimiento constituye una corriente en la direcci&oacute;n v en S, y la
direcci&oacute;n del campo B que &eacute;sta produce satisface la regla de la mano derecha.
Figura 6.14: Direcciones de los campos E y B de una carga en movimiento.
Supongamos que la carga q se encuentra en el origen de coordenadas de S’,
de modo que E0 = rq03 r0 . Consideremos un instante t = t0 = 0 cuando los
or&iacute;genes de coordenadas de S’ y S coinciden. Entonces, para velocidades bajas
con respecto a c, γ ' 1, r ' r0 , y obtenemos campo magn&eacute;tico en S
B'
q v&times;r
,
c r3
(6.151)
6.3. TRANSFORMACIONES DE CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS.
263
el cual es el campo magn&eacute;tico dado por la ley de Biot-Savart para una corriente
correspondiente a una carga en movimiento.
Figura 6.15: Campo magn&eacute;tico de una carga en movimiento y la ley de Biot-Savart.
2. Supongamos que en S existe un campo el&eacute;ctrico E, pero que no hay campo
magn&eacute;tico, B = 0. Entonces, en S’ se observa un campo magn&eacute;tico
B0k = 0,
B0⊥ = γE &times; β.
(6.152)
En el ejemplo de las l&aacute;minas cargadas en reposo, Ey = 4πσo en S. Luego, el
campo magn&eacute;tico en S’ es
Bx0 = 0,
By0 = 0,
Bz0 = −γβEy = −4πσo γβ.
(6.153)
264CAP&Iacute;TULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS.
Resumen
1. Transformaciones de Lorentz,
x0 = γ(x
− βct)
β
t0 = γ t − x
c
y0 = y
z 0 = z.
−1/2
v
v2
.
β= ,
γ = 1− 2
c
c
ux =
u0x + v
.
β 0
1 + ux
c
3. Contracci&oacute;n de la longitud,
L0 =
Lo
.
γ
4. Dilataci&oacute;n del tiempo,
∆t0 = γτ.
5. Momento relativista,
p = mγu.
6. Energ&iacute;a relativista,
E ≡ γmc2 ,
E 2 − p2 c2 = m2 c4 = cte.
7. Corrimiento Doppler relativista,
ω
ω0
=γ
− β kk ,
c
c
ω
kk0 = γ kk − β
.
c
8. Transformaciones de los campos electromagn&eacute;ticos,
E0k
E0⊥
B0k
B0⊥
=
=
=
=
Ek
γ(E⊥ + β &times; B)
Bk
γ(B⊥ − β &times; E)
v
β = x̂.
c
6.4. PROBLEMAS.
6.4.
265
Problemas.
1. En un laboratorio se observa un cable recto infinito, con densidad lineal de
carga λo en reposo, movi&eacute;ndose con velocidad v paralela a la direcci&oacute;n del cable.
&iquest;Cu&aacute;les son los campos el&eacute;ctrico y magn&eacute;tico observados en el laboratorio?.
2. Considere un sistema de referencia en el cual existe un campo el&eacute;ctrico E = Eo ŷ
y un campo magn&eacute;tico B = Bo ẑ, tal que Eo &lt; Bo .
a) Encuentre un sistema de referencia inercial donde el campo el&eacute;ctrico sea nulo.
b) Demuestre que las cantidades E &middot; B y E 2 − B 2 son iguales en ambos sistemas.
3. Una onda electromagn&eacute;tica plana con frecuencia ω incide sobre un espejo plano,
formando un &aacute;ngulo α con respecto al espejo. Si el espejo se mueve con velocidad
constante v en la direcci&oacute;n de su normal al encuentro de la onda incidente,
determine el &aacute;ngulo de reflexi&oacute;n respecto al plano del espejo y la frecuencia de
4. Una onda electromagn&eacute;tica plana en un sistema inercial S posee un campo
el&eacute;ctrico E = Eo sin(kx − ωt)ŷ.
a) Encuentre el campo magn&eacute;tico correspondiente a esta onda en S.
b) Encuentre el n&uacute;mero de onda y la frecuencia de esta onda en un sistema de
referencia S 0 que se mueve con velocidad constante vx̂ con respecto a S.
5. Un cable recto e infinito tiene una densidad lineal de carga uniforme λ y lleva
una corriente I.
a) Encuentre un sistema de referencia en el cual no exista campo magn&eacute;tico y
determine la magnitud del campo el&eacute;ctrico medido en ese sistema.
b) Encuentre un sistema de referencia en el cual solamente se observe campo
magn&eacute;tico y determine la magnitud de ese campo en tal sistema.
6. En un laboratorio, se observan dos electrones movi&eacute;ndose en trayectorias paralelas, uno al lado del otro, con la misma rapidez v y separados por una distancia
transversal d.
a) &iquest;Cu&aacute;l es la fuerza entre ambas part&iacute;culas, calculada en el laboratorio?.
b) Si los electrones se mueven en la misma l&iacute;nea uno delante del otro, separados
por una distancia d, &iquest;cu&aacute;l es la fuerza medida en el laboratorio en este caso?.
266CAP&Iacute;TULO 6. TRANSFORMACIONES RELATIVISTAS DE CAMPOS ELECTROMAGN&Eacute;TICOS.
7. Una esfera conductora de radio R se mueve con velocidad constante v = vx̂. a
trav&eacute;s de un campo magn&eacute;tico uniforme B = Bo ŷ.
a) Encuentre la densidad superficial de carga inducida sobre la esfera.
b) &iquest;Cu&aacute;l es el l&iacute;mite no relativista de esta cantidad?.
8. Una part&iacute;cula relativista de masa m y carga q, con velocidad inicial vo , se mueve
en un campo el&eacute;ctrico Eo uniforme, constante y perpendicular a vo . Encuentre
la velocidad de la part&iacute;cula en funci&oacute;n del tiempo.
9. Una part&iacute;cula relativista con carga q y masa m se mueve con velocidad v en el
campo de un dipolo magn&eacute;tico &micro; orientado en la direcci&oacute;n ẑ y cuyo potencial
A=
&micro; sin θ
φ̂.
r2
a) Encuentre el momento conjugado pφ de la part&iacute;cula.
b) Demuestre que pφ es una constante del movimiento.
10. Este problema se refiere al efecto Sagnac. Se construye un interfer&oacute;metro enviando rayos de luz de longitud de onda λ en direcciones opuestas a trav&eacute;s de
un contorno plano cerrado (por ejemplo, una fibra &oacute;ptica) de longitud L y que
encierra un &aacute;rea A. Todo el aparato, incluyendo la fuente de luz y el detector,
se hace rotar con velocidad angular Ω alrededor de un eje perpendicular a su
plano.
a) Demuestre que el corrimiento de fase observado entre los rayos de luz que se
mueven en direcciones opuestas es 4ΩA
cλ , hasta primer orden en Ω.
b) &iquest;C&oacute;mo depende la respuesta anterior de la localizaci&oacute;n del eje de rotaci&oacute;n?.
c) &iquest;Podr&iacute;a este efecto ser observado en un laboratorio t&iacute;pico?.
.
Ap&eacute;ndice A
Bibliograf&iacute;a
1. J. D. Jackson, Classical Electrodynamics, 3rd edition, Wiley (1999).
2. E. Konopinski, Electromagnetic Fields and Relativistic Particles, Mc Graw-Hill
(1981).
3. J. Vanderlinde, Classical Electromagnetic Theory, 2nd edition, Kluwer Academic
Publishers (2004).
4. L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Electrodynamics of Continuous Media, 2nd