Gu´ıa 3

Bioingenierı́a - UNER
Funciones de Variable Compleja
1o Cuatrimestre 2012
Guı́a 3
1.
Funciones Analı́ticas y Armónicas
1. Encontrar las partes reales e imaginarias de las siguientes funciones, verificar en cada caso que sean
analı́ticas y hallar las derivadas:
a) z 2 e2z
b) sen(2z)
2. Comprobar que cada una de estas funciones es entera:
a) f (z) = 3x + y + i(3y − x)
b) f (z) = sen (x) cosh (y) + i cos (x) senh (y)
c) f (z) = e−y eix
d ) f (z) = (z 2 − 2)e−x eiy
3. Explicar por qué la composición de dos funciones enteras es entera.
4. Explicar por qué la combinación lineal de dos funciones enteras f1 (z) y f2 (z): c1 f1 (z) + c2 f2 (z), donde c1
y c2 son constantes complejas, es entera.
5. Determinar las constantes a y b para que: w = x2 + ay 2 − 2xy + i(bx2 − y 2 + 2xy) sea analı́tica. Para estos
valores de a y b encuentre la derivada dw .
dz
6. Encontrar una función v(x, y) tal que, dada u(x, y) = 2x(1 − y), f (z) = u + iv sea analı́tica en z.
7. Sea f (z) una función analı́tica en un dominio D. Demostrar que f (z) debe ser constante en D si:
a) f (z) es real para todo z en D.
b) f (z) es analı́tica en D.
c) |f (z)| es constante en D.
Sugerencia: Usar las ecuaciones de Cauchy-Riemann para probar a) y b). Para probar c), nótese que
|f (z)| =
c2
f (z)
si |f (z)| = c, donde c 6= 0. A continuación usar b).
8. En cada caso, determinar los puntos singulares de la función y explicar por qué la función es analı́tica en
todas partes excepto en esos puntos:
a)
b)
c)
2z + 1 z z2 + 1
z3 + i z 2 − 3z + 2
z2 + 1
(z + 2) z 2 + 2z + 2
9. Demostrar que u(x, y) es armónica en algún dominio y hallar una armónica conjugada v(x, y), cuando:
a) u(x, y) = 2x(1 − y)
b) u(x, y) = 2x − x3 + 3xy 2
c) u(x, y) = senh (x) sen (y)
y d ) u(x, y) = 2
x + y2
10. Sea f (z) = u(x, y) + iv(x, y) una función analı́tica en el dominio D. Explicar por qué las funciones
U (x, y) = eu(x,y) cos(v(x, y)) y V (x, y) = eu(x,y) sen(v(x, y)) son armónicas en D y por que V (x, y) es, de
hecho, una armónica conjugada de U (x, y).
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2.
1o Cuatrimestre 2012
Funciones de Variable Compleja
Integrales de funciones complejas de variable real. Contornos.
1. Calcular las siguientes integrales:
2
R2
a) 1 1t − i dt
R π/6
b) 0 e2it dt
R∞
c) 1 e−zt dt
2. Verificar las siguientes reglas de derivación:
a) Usando la regla correspondiente del cálculo real, mostrar que:
d
dt
0
h
w(t)
2
i
= 2w(t)w0 (t), cuando w(t) =
u(t) + iv(t) es una función compleja de una variable real t y w (t) existe.
b) Usar la expresión ez0 t = ex0 t cos(y0 ) + iex0 t sen(y0 ) , donde z0 = x0 + iy0 es un número fijo, para
d z0 t
e = z0 ez0 t .
demostrar que: dt
3. Sea w(t) = u(t) + iv(t) una función compleja continua definida sobre un intervalo −a ≤ t ≤ a:
Ra
a) Suponga que w(t) es par, esto es, w(−t) = w(t) en cada punto de ese intervalo, entonces: −a w(t)dt =
Ra
2 0 w(t)dt.
b) Demostrar
que si w(t) es impar, esto es, w(−t) = −w(t) en cada punto de ese intervalo, entonces:
Ra
w(t)dt
=
0.
−a
Sugerencia: En las dos partes de este ejercicio, usar la propiedad análoga para integrales de funciones
reales de t.
4. Suponer que una función f (z) es analı́tica en un punto z0 = z(t0 ) de un arco diferenciable z = z(t) (a ≤
t ≤ b). Probar que si: w(t) = f [z(t)] entonces w0 (t) = f 0 [z(t)]z 0 (t).
Sugerencia: Aplicar regla de la cadena para funciones de dos variables.
5. Dadas las funciones f y los contornos C, representarRparamétricamente los C dados y posteriormente
calcular en cada caso las integrales de lı́nea complejas C f (z)dz:
2
a) f (z) = z +
z
1) C : z = 2eiθ (0 ≤ θ ≤ π)
2) C : z = 2eiθ (0 ≤ θ ≤ 2π)
b) f (z) = z − 1
1) C: es el segmento del eje real: 0 ≤ x ≤ 2
2) ii) C : z = 1 + eiθ (π ≤ θ ≤ 2π)
c) f (z) = π exp(πz), siendo C el contorno del cuadrado con vértices en los puntos 0, 1, 1 + i e i.
d)
(
f (z) =
1
4y
si y < 0,
si y > 0.
Siendo C el arco desde z = −1 − i hasta z = 1 + i a lo largo de la curva y = x3 .
e) f (z) es la rama z (−1−i) = exp[(−1 + i) log z], |z| > 0, 0 < arg z < 2π y C la circunferencia: |z| = 1,
en sentido contrario al de las agujas del reloj.
6. Probar que
del triángulo con vértices en los puntos 0, 3i y −4, con orientación positiva,
Rsi C es el contorno
entonces: C (ez − z)dz ≤ 60.
7. Sea C el arco
de circunferencia: |z| = 2 que va desde z = 2 a z = 2i en el primer cuadrante, probar que:
R
dz π
C z2 − 1 ≤ 3 .
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3.
Funciones de Variable Compleja
1o Cuatrimestre 2012
Aplicaciones del Teorema de Cauchy-Goursat
1. Probar
de una primitiva
, que para cada contorno C que vaya de un punto z1 a un punto
R con la ayuda
1
z2 , C z n dz = n+1
z2n+1 − z1n+1 n = 0, 1, 2, . . .
2. Calcular las siguientes integrales, donde la trayectoria es un contorno arbitrario entre los lı́mites de integración:
R i/2
a) i eπz dz
R3
b) 1 (z − 2)3 dz
Justificar en cada caso.
3. Aplicar el Teorema de Cauchy-Goursat para mostrar que
circunferencia |z| = 1 , con cualquier orientación, y cuando:
a) f (z) =
R
C
f (z)dz = 0 cuando el contorno C es la
z2
z−3
−z
b) f (z) = ze
1
z 2 + 2z + 2
d ) f (z) = Log(z + 2)
c) f (z) =
−π
R1
4. Probar que −1 z i dz = 1 +2e (1 − i) donde z i denota la rama principal de:z i = exp(i Log(z)),
|z| > 0, −π < Arg(z) < 3π
2 y donde el camino de integración es cualquier contorno desde z = −1 hasta
z = 1 que, salvo sus puntos terminales, está por encima del eje real.
3π de la misma
<
Arg(z)
<
Sugerencia: Usar la primitiva de la rama: z i = exp(i Log(z)), |z| > 0, − π
2
2
función potencia.
4.
Fórmula integral de Cauchy
1. Sea C el contorno del cuadrado cuyos lados están sobre las rectas x = ±2, y = ±2, con C recorrido
positivamente. Calcular las siguientes integrales:
a)
R
C
e−z
dz
z − (πi/2)
cos(z)
dz
z(z 2 + 8)
R
c) C 2z z+ 1 dz
R cosh(z)
dz
d) C
z4
b)
R
C
2. Hallar el valor de la integral de g(z) a lo largo de la circunferencia |z − i| = 2 en sentido positivo cuando:
1
z2 + 4
b) g(z) = 2 1 2
(z + 4)
a) g(z) =
3. Sea C la circunferencia |z| = 3, recorrida en sentido positivo. Probar que si g(w) =
(|w| =
6 3), entonces g(2) = 8πi. ¿Cuál es el valor de g(w) cuando |w| > 3?
R 2z 2 − z − 2
C
z − w dz
z 3 + 2z dz.
(z − w)3
Probar que g(w) = 6πiw cuando w está en la región interior a C y g(w) = 0 si está en la región exterior
a C.
4. Sea C un contorno cerrado simple en el plano z recorrido en sentido positivo, y sea g(w) =
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R
C
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