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Prof. Rafael Cristancho
Subproyecto: Cálculo Integral
1
Módulo I: Integral Indefinida.
ANTIDERIVADA
Definición #1: Una función F se denomina antiderivada de la función f en un intervalo
I si F '( x)  f ( x) para todo valor de x en I .
Ejemplo: Si F es la función definida por F ( x)  4 x3  x 2  5 , entonces F´( x)  12 x 2  2 x .
De modo que si f es la función definida por f ( x)  12 x2  2 x entonces f es la derivada
de F , y F es la antiderivada de f . Si G es la función definida por G( x)  4 x3  x 2  17 ,
entonces
G es también antiderivada de la función f ya que G´( x)  12 x2  2 x . En
conclusión la función F ( x)  4 x3  x 2  c es Antiderivada de f .
Teorema #1: Si f y g son dos funciones definidas en un intervalo I , tales que
f '( x)  g '( x) para todo x en I , entonces existe una constante K tal que f ( x)  g ( x)  K
para toda x en I .
Demostración: Sea h una función definida en el intervalo I mediante h( x)  f ( x)  g ( x) ,
con lo cual h '( x)  f '( x)  g '( x) . Por hipótesis f '( x)  g '( x) para todo x en I . Por lo
tanto h '( x)  0 para todo x en I . Así se tiene que h( x)  K para todo x en I . Luego se
tiene que K  f ( x)  g ( x)  f ( x)  g ( x)  K
Teorema #2: Si F es antiderivada particular de la función
f en el intervalo I, entonces
cada antiderivada de f en I está dada por F ( x)  c , donde c es una constante arbitraria, y
todas las antiderivadas particulares se obtienen asignándole valores particulares a c.
Demostración: Sea G antiderivada de f en el intervalo I, entonces G '( x)  f ( x) para toda x
en I. Sea F otra antiderivada de f en I, entonces F '( x)  f ( x) para toda x en I. Luego
G '( x)  F '( x) para toda x en I. Por teorema #1 se tiene que G( x)  F ( x)  c .
Observación: La antiderivación o antidiferenciación es el proceso mediante el cual se
determina el conjunto de todas las antiderivadas de una función dada. Denotaremos las
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antiderivadas por el símbolo  , por lo tanto, si F es antiderivada de f en el intervalo I,
entonces
 f ( x)dx  F ( x)  c  F '( x)  f ( x)
 dx  x  c
Teorema #3
Teorema #4:
 af ( x)dx  a  f ( x)dx
siendo a una constante
Teorema #5: Si f y g son dos funciones definidas en el mismo intervalo, entonces
 ( f ( x)  g ( x))dx   f ( x)dx   g ( x)dx
Teorema #6: Si
 (c f ( x)  c
1 1
f1 , f 2 ,...., f n
están definidas en el mismo intervalo, entonces
f ( x)  ....  cn f n ( x))dx c1  f1 ( x)dx  c2  f 2 ( x)dx  ...  cn  f n ( x)dx
2 2
siendo
c1 , c2 ,..., cn son constantes.
x n 1
 c (n  1)
Teorema #7: Si n es un número racional, entonces  x dx 
n 1
n
Teorema #8: Sea g una función derivable y sea el contradominio de g algún intervalo I.
Supongamos que f es una función definida en I y que F es una antiderivada de f en I.
Entonces
 f ( g ( x)) g '( x)dx  F ( g ( x))  c
Demostración: Por hipótesis F es antiderivada de f en I  F '( g ( x))  f ( g ( x)) ( I ) .
Por otro lado, aplicando la regla de la cadena para derivadas se tiene que:
d ( F ( g ( x))  F '( g ( x)) g '( x) ( II ) .
Sustituyendo
(I)
en
(II)
se
tiene
que:
d ( F ( g ( x))  f ( g ( x)) g '( x) por lo tanto F ( g ( x)) es antiderivada de f ( g ( x)) g '( x) y por
consiguiente
 f ( g ( x)) g '( x)dx  F ( g ( x))  c
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3
Teorema #9: Si g es una función diferenciable y n es un número racional, entonces
  g ( x) 
n
g '( x)dx 
1
n 1
 g ( x)  c (n  1)
n 1
Problemas Resueltos.
 2x dx
7
1.- Calcular
x n1
 c (n  1) se tiene que:
Solución: Utilizando el Teorema  x dx 
n 1
n
 x 71

x8
2 x7 dx  2 x7 dx  2 x7 dx  2 
 c   2 x7 dx  2  2c
8
 7 1 
x8
 2 x7 dx   k (k  2c)
4





2.- Calcular

3
2
dx
x
Solución: Utilizando el Teorema

2
dx 
3
x

3.- Calcular
2
1 dx 
x3
 6t
23

n
 x dx 

x n1
 c (n  1) se tiene que:
n 1
2
1
dx  2 x 3 dx 
3
x

2
2
x3
dx

2
c 
3
2
x
3

3
2
2
dx  3x 3  c
x
tdt
Solución: En este caso se tiene que:




6t 2 3 tdt  6t 2t 3 dt aplicando propiedades de potencia se tiene que: 6t 2 3 tdt  6t 3 dt

 6t
23
1

tdt  6 t dt Aplicando el teorema  x n dx 
7
3
x n1
 c (n  1) tenemos que:
n 1
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10

 6t 2 3 tdt  6
4.- Calcular
4


t 3
18 10
9 10
 c  6t 2 3 tdt  t 3  c  6t 2 3 tdt  t 3  c
10
10
5
3
 y (2 y
3
 3)dy
2
Solución: Aplicando la Propiedad Distributiva de los Números Reales tenemos que:
 y (2 y  3)dy   (2 y  3 y )dy   y (2 y  3)dy   2 y dy   3 y dy
y
y
 y (2 y  3)dy  2 y dy  3 y dy  y (2 y  3)dy  2  3  c




6
4
1
3
 y (2 y  3)dy  y  y  c

3
4
3
2
5
3
3
2
5
3
6
3
2
3
2
5.- Calcular
5
6

3
3
4
2
4
y4  2 y2 1
dy
y
Solución:

y4  2 y2 1
dy 
y






y4  2 y2 1
dy 
1
y2

y4  2 y2 1
1
dy  ( y 4  2 y 2  1) y 2 dy
y


y4  2 y2 1
1
1
1
dy  ( y 4 y 2  2 y 2 y 2  y 2 )dy
y

y4  2 y2 1
7
3
1
dy  ( y 2  2 y 2  y 2 )dy
y

y4  2 y2 1
dy 
y

y 2 dy  2 y 2 dy  y 2 dy

y4  2 y2 1
dy 
y

y 2 dy  2 y 2 dy  y 2 dy

y4  2 y2 1
y2
y2 y2
dy 
2

c 
9
5
1
y
2
2
2


6.- Calcular
7


7
9
2

 1
 t   dt
 t
5

3

3
1
1
1

y4  2 y2 1
2 9 4 5
1
dy  y 2  y 2  2 y 2  c
9
5
y
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5
2
1
 1
Solución: Aplicando Producto Notables se tiene que:  t    t 2  2  2 Por lo tanto
t
 t

2
2
1
dt
 1
 2
 1
2
 t   dt   t  2  2 dt   t   dt  t dt  2dt  2
t 
t
 t

 t





t3
t 1
 1
 1
  t   dt  t 2 dt  2 dt  t 2 dt   t   dt   2t 
c
3
1
 t
 t

2

 
2

2
1
1
 1
  t   dt  t 3  2t   c
3
t
 t

7.- Calcular
  2x  5 dx
8
Solución: Aplicando la regla de la cadena para integrales se tiene que: Sea u  2 x  5
 du  2dx 


du
 dx por lo tanto
2
 2 x  5 dx 
8
8.- Calcular

1 u9
c 
2 9
  2 x  5
8

dx  u 8
du

2
  2 x  5
8
dx 

1 8
u du
2
  2x  5 dx  18  2x  5  c
1
8
9
dx
5  3x
Solución: Aplicando la regla de la cadena tenemos que: z  5  3x  dz  3dx

dz
 dx Luego
3


dx

5  3x



dx
1 dz


1
3 z2
5  3x


dx
2 1
  z 2  c . Como z  5  3x se tiene
3
5  3x
9.- Calcular



1  dz 
  
z 3 
dx
1

3
5  3x

dx
1 12

z dz 
3
5  3x



dz
z
1
dx
1z2

c
31
5  3x
2
dx
2

5  3x  c
3
5  3x
xdx
x3
Solución: Aplicando la regla de la cadena se tiene que: u  x  3  du  dx
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:: u  x  3  u  3  x . Luego tenemos que:














xdx
u 3

du
1
u2
x3



xdx
2
3
1
 ( x  3) 2  6( x  3) 2  c
x3 3
y 5 1  y 3  dy

1
4

u  1  y 3  du  3 y 2 dy 
1

4
y 5 1  y 3  dy 
y 5 1  y 3  dy 
1
1
4
:: u  1  y3 
11.- Calcular
4



y 5 1  y 3  dy 
1

y 3 1  y 3  y 2 dy
1
4
Sea
du
3
1
5
1
(u 4  u 4 )du 
3
9
5
1
1u 4 1u 4
5
3 4
y 1  y  dy 

c 
39
35
4
4
1
4
du
 y 2 dy :: u  1  y3  u  1  y3 por lo tanto se tiene que:
3
y 5 1  y 3  dy  (u  1)u






Solución:


xdx
xdx
1
1
1
 (u  3)u 2 du 
 (u 2  3u 2 )du
x3
x3
xdx
xdx
1
1
1
1
 u 2 du  3u 2 du 
 u 2 du  3 u 2 du
x3
x3
3
1
2
2
xdx
2 3
1
xdx
u
u
 u 2  6u 2  c :: u  x  3  tenemos que:

3
c 
1
x3 3
x3 3
2
2
10.- Calcular

xdx
u 3

du 
x3
u
4


y 5 1  y 3  dy 


1 54
1 14
u du 
u du
3
3
1
4 9
4 5
4
y 5 1  y 3  dy  u 4  u 4  c
27
15
1
4
4
9
4
5
(1  y 3 ) 4  (1  y 3 ) 4  c
27
15
dx
x 1
Solución: Sea u  x  1  du 
dx
 2 xdu  dx :: u  x  1  x  u  1 por lo
2 x
tanto se tiene que: 2(u  1)du  dx así

dx
x 1


2(u  1)du
u
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

dx




u2
u2
2
2
c
 2 u du  2 u du 
3
1
x 1
x 1
2
2
dx
4 3
dx
4
3
1
1
 u 2  4u 2  c :: u  x  1 
 ( x  1) 2  4( x  1) 2  c
x 1 3
x 1 3
x 1
dx

7
1
 2(u  1)u 2 du 

1

2
1

dx

x 1
dx
1
3

2
1
 (2u 2  2u 2 )du
1

12.- Calcular

1  2  x2 1 

x

 dx

 
x   x2 

3
 x2 1 
1
1 

Solución: Sea u  x   du  1  2  dx  du   2  dx Por lo tanto se tiene que:
x
 x 
 x 

1  2  x2 1 
3
1  2  x2 1 
u2


2
 x    2  dx  u du   x    2  dx  5  c
x  x 
x  x 


2
3

3

5
1
1  2  x2  1 
2 5

  x    2  dx  u 2  c :: u  x  
x
x  x 
5


3
1  2  x2 1 
2
1 2

  x    2  dx   x    c
x  x 
5
x


3
13.- Calcular
Solución:
5

1
3 dx
( x  1) 2
2
 ( x  1)
1
2
3
dx 
2

1
1 

 x 1  x 2  

 
2
3
dx 
2
 (x
1
2dx
du dx
u  1  2  du  3  
 3 con lo cual 
x
x
2
x




2
1
3 dx 
 1) 2

1
3 dx 
2
( x  1) 2
1

1
1 

x 1  2 
 x 
3
dx
2
3

du
2
3
u2

1
1u 2
1
1 3 2
1
1

dx



c

dx


u
du

dx

3
3
3
1 c
2
2 1
2
( x  1) 2
u2
( x 2  1) 2
( x 2  1) 2
2
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:: u  1 


1

x2
 ( x  1)
1
2
3

 ( x  1)
1
2
3
14.- Calcular
Solución:







(x )
x
dx 

1


2


c
xdx
x 2  1  ( x 2  1)3
xdx

x 2  1  ( x 2  1)3
xdx
x 2  1  ( x 2  1)3
xdx
x 2  1  ( x 2  1)3
xdx
x 2  1  ( x 2  1)3






xdx
x 2  1  ( x 2  1)3


xdx
x  1  ( x 2  1)
2
x 2  1  ( x 2  1)( x 2  1)
1

2
1
xdx
x 2  1 1  ( x 2  1)
1
2
xdx
con lo cual
1
( x  1) 2
2

du

u

xdx
x 2  1  ( x 2  1)3

x  1  ( x  1)
2

x 2  1  ( x 2  1)3
 2u 2  c
 2 1  x2  1  c
3
1
 u 2 du
xdx
xdx
2
1
( x 2  1)(1  ( x 2  1) 2 )
u2

c 
1
x 2  1  ( x 2  1)3
2
:: u  1  ( x2  1) 2 
2
xdx
1
xdx
3
xdx
1

c 
2

Sea u  1  ( x 2  1) 2  du 

 (x
1
1
3 dx 
1 c
2
2
2
 1)
1 

 x 1 
1


2 
 2 
 x 
 x 
1
x
c 
3 dx 
1 c
2
2
2
( x  1) 2
x 1
1
2
x2  1
2
1
dx 
2
1
1
dx

3
1
( x 2  1) 2
 x2  1 2
2
8
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9
INTEGRALES DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Teorema #10: Si u  g ( x) es una función derivable en un intervalo I, entonces:
1. d (senu)  cos udu   cos udu  senu  c
2. d (cos u)  senudu   senudu   cos u  c
3. d (tan u)  sec2 udu   sec2 udu  tan u  c
4. d (ctgu)   csc2 udu   csc2 udu  ctgu  c
5. d (sec u)  sec u tan udu   sec u tan udu  sec u  c
6. d (csc u)   csc uctgudu   csc uctgudu   csc u  c
Problemas Resueltos.
1.- Calcular
 (3sent  2cos t)dt
Solución:
 (3sent  2cos t)dt  3 sentdt  2 cos tdt   (3sent  2cos t)dt  3cos t  2sent  c
2.- Calcular
Solución:




senx
dx
cos 2 x
senx
dx 
cos 2 x

senx
dx  sec x  c
cos2 x
3.- Calcular



1 senx
senx
dx 
dx  sec x tan xdx
cos x cos x
cos 2 x
3tan y  4cos 2 y
dy
cosy
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Subproyecto: Cálculo Integral
Solución:

 3tan y 4cos 2 y 
3tan y  4cos 2 y
dy  

 dy
cos y
cos y 
 cos y

3tan y  4cos 2
cos y
3tan y  4cos 2

cos y


3tan y  4cos

 cos y

4.- Calcular
10
2
 3sec y tan y  4cos y  dy
y
dy  3 sec y tan ydy  4 cos ydy


y
dy 
y
dy  3sec y  4seny  c
 cos 4 d
Solución: Sea u  4  du  4d 


cos 4 d  cos u

 cos 4 d 
5.- Calcular
du
 d con lo cual se tiene que:
4



du
1
1
 cos 4 d 
cos udu  cos 4 d  senu  c
4
4
4
1
sen4  c ya que u  4
4
 6x senx dx
2
3
 6x senx dx   2sen( x )3x dx Sea u  x  du  3x dx con lo cual se tiene
que: 6 x senx dx  2 senudu  6 x senx dx  2cos u  c



Solución:
2
2
3
2
3
3
2
2
2
3

 6 x 2 senx3dx  2cos x3  c
6.- Calcular
 sen2x
2  cos 2 xdx
Solución: Sea u  2  cos 2 x  du  2sen2 xdx 
du
 sen2 xdx así tenemos que:
2
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11
 sen2x 2  cos 2xdx   u 2   sen2x 2  cos 2xdx  2  u du
1u
1
 sen2 x 2  cos 2 xdx 
 c  sen2 x 2  cos 2 xdx  (2  cos 2 x)


23
3
2
du
3
1
1
2
2
3
2
c
FUNCIÓN LOGARITMO NATURAL
Definición: La función logaritmo natural es la función definida por ln x  
x
1
1
dt , x
t
positivo.
Teorema #11: Si u es una función derivable en x y u ( x) es positivo, entonces
Dx (ln u ) 
1
Dxu
u
Teorema #12: ln1  0
Teorema #13: Si a y b son dos números cualesquiera positivos, entonces
ln(ab)  ln a  ln b
Demostración: Consideremos las siguientes funciones:
entonces
f '( x) 
1
1
1
(ax) '  f '( x)  a  f '( x) 
ax
ax
x
y
f ( x)  ln(ax) y g ( x)  ln x ,
g '( x) 
1
.
x
Por
lo
tanto
f '( x)  g '( x) y en consecuencia f ( x)  g ( x)  k  ln(ax)  ln x  k .
Hacemos x  1 y se tiene que: ln(a1)  ln1  k  ln a  0  k  k  ln a , con lo cual se
tiene que ln(ax)  ln x  ln a . Hacemos ahora x  b obteniéndose que ln(ab)  ln a  ln b
a
Teorema #14: Si a y b son dos números cualesquiera positivos, entonces ln( )  ln a  ln b
b
Demostración: Como a 
a
tiene que ln( )  ln a  ln b
b
a
a
a
b , entonces ln a  ln( b)  ln a  ln( )  ln b , con lo cual se
b
b
b
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Subproyecto: Cálculo Integral
12
Teorema #15: Si a es cualquier número positivo y r es cualquier número racional, entonces
ln a r  r ln a
Demostración: Consideremos las siguientes funciones: f ( x)  ln x r y g ( x)  r ln x ,
entonces
f '( x) 
rx r 1
r
r
 f '( x) 
y g '( x)  , por lo tanto
r
x
x
x
f ( x)  g ( x)  c , ie,
ln xr  r ln x  k . Hacemos x  1 y se tiene que k  0 por lo que se tiene que ln xr  r ln x .
Ahora hacemos x  a teniéndose que ln a r  r ln a
Teorema#16: Si u es una función derivable en x, entonces Dx (ln u ) 
Teorema #17:

1
Dxu
u
du
 ln u  c
u
Teorema #18: Si u es una función derivable en la variable x, entonces:
1.
 tan udu  ln sec u  c
2.
 ctgudu  ln senu  c
3.
 sec udu  ln sec u  tan u  c
4.
 csc udu  ln csc u  ctgu  c
Problemas Resueltos.
1.- Calcular

dx
3  2x
Solución: Sea u  3  2 x  du  2dx  

du
 dx con lo cual tenemos que:
2
dx
1 du
dx
1
dx
1  du 


  ln u  c

  
3  2x
2 u
3  2x
2
3  2x
u 2 




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Subproyecto: Cálculo Integral
:: u  3  2 x  
2.- Calcular
13
 3  2x   2 ln 3  2x  c
dx
1
2x 1
 x( x 1) dx
Solución: Sea u  x( x  1)  u  x2  x  du  (2 x  1)dx así se tiene que:

2x 1
du
dx 

x( x  1)
u

3.- Calcular

2x 1
dx  ln u  c 
x( x  1)

2x 1
dx  ln x( x  1)  c
x( x  1)
 (tan 2x  sec 2x)dx
Solución: Sea u  2 x  du  2dx 
du
 dx Luego se tiene que:
2
 (tan 2x  sec 2x)dx   (tan u  sec u) 2
1
1
 (tan 2 x  sec 2 x)dx 
tan udu 
sec udu


2
2
1
1
 (tan 2 x  sec 2 x)dx  ln sec u  ln sec u  tan u  c

2
2
1
1
 (tan 2 x  sec 2 x)dx  ln sec 2 x  ln sec 2 x  tan 2 x  c

2
2
1
sec 2 x
 (tan 2 x  sec 2 x)dx  ln
c

2 sec 2 x  tan 2 x
du
4.- Calcular
Solución:


2 x3
dx
x2  4
2 x3
dx 
x2  4

x2
2 xdx
x2  4
Sea w  x2  4  dw  2 xdx :: w  x2  4  x2  w  4 así se tiene que:
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Subproyecto: Cálculo Integral

2 x3
dw
2 x3
 4

dx  dw  4
dx

1

dw


2
2
x 4
w
x 4
 w
3
3
2x
2x
dx  w  4ln w  c 
dx  x 2  4  4ln x 2  4  c
2
2
x 4
x 4
3
2x
dx  x 2  4ln x 2  4  k (k  c  4)
2
x 4
2 x3
dx 
x2  4




w 4
dw 
w
14





5.- Calcular

2  ln 2 x
dx
x(1  ln x)
Solución: Sea u  1  ln x  du  



2  ln 2 x
dx 
x(1  ln x)

dx
dx
:: u  1  ln x  ln x  1  u con lo cual:
 du 
x
x
2  (1  u) 2
 du  
u
2  ln 2 x
2  1  2u  u 2
dx  
du
x(1  ln x)
u


2  ln x
3  2u  u
2  ln x
 3


dx 
du 
dx     2  u du
 x(1  ln x)  u
 x(1  ln x)   u 
2  ln x
du
2  ln x
1

 x(1  ln x) dx  3 u  2 du   udu   x(1  ln x) dx  3ln u  2u  2 u
2  ln x
1

 x(1  ln x) dx  3ln 1  ln x  2(1  ln x)  2 (1  ln x)  c
2  ln x
1

dx  3ln 1  ln x  2  2ln x  (1  2ln x  ln x)  c
 x(1  ln x)
2
2  ln x
1

dx  3ln 1  ln x  ln x  ln x  k
 x(1  ln x)
2
2
2
2
2
2
2
c
2
2
2
2
2
2
6.- Calcular

3x5  2 x3  5 x 2  2
dx
x3  1
Solución: :: gr (3x5  2 x3  5x2  2)  gr ( x3 1)  apliquemos el algoritmo de la división
euclidiana se tiene que:
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15
3x5  0 x 4  2 x3  5 x 2  0 x  2
x3  0 x 2  0 x  1
3x5  0 x 4  0 x3  3x 2
3x2  2
2 x3  2 x 2  0 x  2
2 x3  0 x 2  0 x  2
2 x2
Así se tiene que: 3x5  2 x3  5x2  2  ( x3  1)(3x2  2)  2 x2
3x5  2 x3  5 x 2  2
2 x2
2
 3x  2  3
x3  1
x 1
5
3
2
3x  2 x  5 x  2
2 x2
2

dx

3
x
dx

2
dx

dx
x3  1
x3  1
3x5  2 x3  5 x 2  2
x2
2

dx

3
x
dx

2
dx

2
dx (i)
x3  1
x3  1







Calcular 2


x2
dx
x3  1

3 x 2 dx  2 dx  x3  2 x  c1 (ii )
Calcular 3 x 2 dx  2 dx
2
 
 
Sea u  x3  1  du  3x 2 dx 
du
 x 2 dx
3
x2
1 du
x2
2 du
x2
2
dx

2

2
dx


2
dx  ln u  c2 (iii)
3
3
3
x 1
u 3
x 1
3 u
x 1
3




Sustituyendo (ii) y (iii) en (i) se tiene que:
3x5  2 x3  5 x 2  2
2
dx  x3  2 x  c1  ln x3  1  c2
3
x 1
3
5
3
2
3x  2 x  5 x  2
2

dx  x3  2 x  ln x3  1  c
3
x 1
3


7.- Calcular
Solución:


dx
(1  x 2 ) ln( x  1  x 2 )
dx
(1  x 2 ) ln( x  1  x 2 )


dx
1  x 2 ln( x  1  x 2 )
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Subproyecto: Cálculo Integral
16
Sea u  ln( x  1  x 2 )  du 
1
x
du

u

1  x2  x
1  x 2 dx  du 
1  x 2 dx  du  dx
x  1  x2
1  x2
x  1  x2
Con lo cual se tiene que:

dx
(1  x 2 ) ln( x  1  x 2 )




dx


dx
(1  x 2 ) ln( x  1  x 2 )

1
 u 2 du
1
u2

c
1
(1  x 2 ) ln( x  1  x 2 )
2
dx
1
 2(ln( x  1  x 2 )) 2  c
(1  x 2 ) ln( x  1  x 2 )
FUNCIÓN EXPONENCIAL NATURAL
Definición: La función exponencial natural es la inversa de la función logarítmica natural
la cual se define como exp( x)  y  x  ln y
Definición: Si a es cualquier número real positivo y x es cualquier número real, entonces
a x  exp( x ln a)
Teorema #19: Si a es un número positivo real cualesquiera y x es un número real, entonces
ln a x  x ln a
Demostración: Por definición a x  exp( x ln a) . Y por definición se tiene que ln a x  x ln a
Definición: El número e es el valor de la función exponencial en 1. exp(1)  e
Teorema #20: ln e  1
Demostración: Por definición tenemos que exp(1)  e . Y por definición se tiene que:
ln e  1
Teorema #21: Para todo valor de x, exp( x)  e x
Demostración: Por definición e x  exp( x ln e) . :: ln e  1  e x  exp( x.1)  e x  exp( x)
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17
Teorema #22: Si a y b son dos números reales cualesquiera, entonces ea eb  ea b
Demostración: Sean
A  ea
y
B  eb . Entonces por definición se tiene que
ln A  a y ln B  b . Luego por teorema
ln AB  ln A  ln B  ln AB  a  b
y por
definición se tiene que: AB  eab  ea eb  ea b
Teorema #23: Si a y b son dos números reales cualesquiera, entonces
ea
 e a b
eb
Teorema #24: Si a y b son dos números reales cualesquiera, entonces (ea )b  eab
Teorema #25: Si u es una función derivable en x, entonces d (eu )  eu du   eu du  eu  c
Definición: Si a es un número real positivo cualesquiera y u es una función derivable en x,
entonces d (au )  au ln adu   au du 
1 u
a c
ln a
Problemas Resueltos.
1.- Calcular
e
2 5x
dx
Solución: Sea u  2  5 x  du  5dx  
du
 dx así se tiene que:
5
1 u
1
 du 
e du  e25 x dx   eu  c
e25 x dx  eu     e25 x dx  
5
5
 5 
1
 e25 x dx   e25 x  c
5






2.- Calcular

e3 x
dx
(1  2e3 x )2
Solución: Sea u  1  2e3 x  du  6e3 x dx  
du
 e3 x dx Luego:
6
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
18
e3 x
1  du 
e3 x
1 du
e3 x
1 2
dx



dx



dx  
u du

3x 2
2 
3x 2
2
3x 2
(1  2e )
u  6 
(1  2e )
6 u
(1  2e )
6




e3 x
1 u 1
e3 x
11
dx



c

dx 
c
3x 2
3x 2
(1  2e )
6 (1)
(1  2e )
6u

e

 (1  2e



3x
3x 2
)
dx 
1
c
6(1  2e3 x )
INTEGRALES QUE PRODUCEN FUNCIONES TRIGONOMÉTRICA INVERSAS
Teorema #26: Si u es una función derivable en x, entonces:
du
1. d ( sen 1u ) 
1 u2
2. d (cos 1 u )  
3. d (tan 1 u ) 
du
1 u2
du
1 u2
4. d (ctg 1u )  
du
1 u2
5. d (sec1 u ) 
du
u u2 1
6. d (csc1 u )  
du
u u2 1
Demostración:
Sea w  sen1u  senw  u  d (senw)  du  cos wdw  du  dw 
du
cos w
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19
:: w  sen1u  cos w  1  sen 2 w  senw  u  d ( sen 1u ) 
du
1 u2
. Se considera la
parte positiva de la función coseno. Similarmente se pueden demostrar las demás derivadas.
El siguiente teorema nos presenta las antiderivadas de dichas funciones.
Teorema #27: Si u es derivable en x, entonces:
du
1.

2.
 1 u
3.
u
4.

5.
a
6.
u
 sen 1u  c
1 u
2
du
 tan 1 u  c
2
du
u 1
2
du
a2  u 2
2
 sec1 u  c
 sen1
u
c
a
du
1
u
 tan 1  c
2
u
a
a
du
u a
2
2

1
u
sec1  c
a
a
FUNCIONES HIPERBÓLICAS
Definición #6: La función seno hiperbólico y coseno hiperbólico, denotadas
respectivamente
cosh( x) 
por
senh y cosh ,
se
definen
por:
senh( x) 
e x  e x
2
y
e x  e x
donde x es cualquier número real.
2
Observación: De la definición anterior se puede demostrar que la función seno hiperbólico
es una función par y que la función coseno hiperbólico es una función par.
Teorema #29: Si u es una función derivable en x, entonces:
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1.
Dx (senhu)  cosh uDxu
2.
Dx (cos hu)  senhuDxu
20
Definición #7: Las funciones: tangente hiperbólica, cotangente hiperbólica, secante
hiperbólica y cosecante hiperbólica, se definen y denotan por:
tanh x 
senhx e x  e x

,
cosh x e x  e x
csc hx 
1
2
 x x
senhx e  e
ctghx 
cosh x e x  e x

,
senhx e x  e x
sec hx 
1
2
 x x ,
cosh x e  e
Teorema #30: Identidades Hiperbólicas:
(a) tanh x 
1
ctghx
(b) cosh 2 x  senh2  1
(d) 1  ctgh2 x   csc h2 x
(c) 1  tanh 2 x  sec h2 x
(e) senh( x  y)  senhx cosh y  senhy cosh x
(f) cosh( x  y)  cosh x cosh y  senhxsenhy (g) senh2x  2senhx cosh x
(h) cosh 2 x  cosh 2 x  senh2 x
Teorema #31: Si u es derivable en x, entonces:
1. Dx (tanh u)  sec h2uDxu
2. Dx (ctg h u)   csc h2uDxu
3. Dx (sec hu)   sec hu tanh uDxu
4. Dx (csc hu)   csc huctghuDxu
Teorema #32: Si u es derivable en x, entonces:
1.
 senhudu  cosh u  c
Prof. Rafael Cristancho
Subproyecto: Cálculo Integral
21
2.
 cos hudu  senhu  c
3.
 sec h udu  tanh u  c
4.
 csc h udu  ctghu  c
5.
 sec hu tanh udu   sec hu  c
6.
 csc huctghudu   csc hu  c
2
2
PROBLEMAS PROPUESTOS.
En los problemas del 1 al 43, calcular la integral indefinida dada.
1.-
 5a x dx
5.-

dx
n
x

2x  3
dx
2x 1
9.-
2
14.-
19.-
 x7

23.-

27.-

2
2.-
6.-
x
2
a2x 1
a
x
x  1)( x  x  1)dx
10.-
x  ln x
dx
x
dx


20.-
1
x
e
dx
x2
 2  3 dx
1
e
sen2 xdx
28.-
24.-

11.-


3 2
7.-

a x
4
4  tan x
2
12.-
17.-

 senx cos x
dx
x5 5 5  x 2 dx
sec2 xdx
4 x
xdx
a  bx
4
29.-
25.-

4.-

2  x2  2  x2

xdx
21.-
x
1  3cos 2 xsen2 xdx
sen2 x
16.-
 (a  bx ) dx
3.-
(
15.-
dx
 x( x  a)( x  b)dx

4

dx
x2  1
dx
x 1
ax
dx
1  a2x
22.-
2 pxdx

 3 e dx
x
8.-
13.-
18.-


cos 2 x  sen2 x
ln( x  1  x 2
dx
1  x2
26.-

30.-
3  2x
dx
5x2  7
arcsenx
dx
1  x2
senx cos x
x3
dx
x8  5
x
dx
x3  1
dx
x4  4x  1
 1  cos
dx
2
x
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Subproyecto: Cálculo Integral
22
 3 x x


 dx
4 
 x

cos 2 x
dx 32.4  cos 2 2 x

35.-

(a x  b x ) 2
dx
a xb x
x
39.-

dx
43.-
x
31.-
2  3x  4 x
4
36.-
2
40.-

2
dx
 2x  5
1 x
dx
1 x
33.-
37.-
41.-
 3x

tan x  1
dx 34.cos 2 x

2
dx
 2x  4
1
x  4x
2
dx
38.-
42.-
 5x

sen3x
3
cos 2 3x
dx
3x  2
dx
 3x  2
2
 ( x 1)
1
x2  2 x
dx
x
dx
 2 x2  2
FUNCIONES HIPERBÓLICAS INVERSAS
Definición #8: La función seno hiperbólico inverso, la cual denotaremos por senh1 x , se
define por: y  senh1 x  senhy  x , donde y es cualquier número real. La función coseno
hiperbólico
inverso,
la
cual
denotaremos
por
cos h1 x ,
se
define
por
y  cos h1 x  cos hy  x con y  0
Definición #9: Se definen y denotan las funciones tangente hiperbólica inversa y
cotangente hiperbólica inversa como: y  tan h1 x  tan hy  x donde y es cualquier
número real; y  ctgh1 x  ctghy  x donde y  (,0)  (0, )
Observación: No se tratarán las funciones secante hiperbólicas inversas y cosecante
hiperbólicas inversas debido a que rara vez se utilizan.
Teorema #33:
1. senh1 x  ln( x  x 2  1) (x  R)
2. cos h1 x  ln( x  x 2  1) x  1
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23
1 1 x
3. tan h1 x  ln
2 1 x
x 1
1 1 x
4. ctgh1 x  ln
2 x 1
x 1
Módulo II: Técnicas de Integración
1.- INTEGRACIÓN POR PARTES:
Una de las técnicas de integración más usada es la integración por partes. Esta se
obtiene a partir de la regla de la derivada de un producto. Si f y g son dos funciones
derivables,
entonces
d ( f ( x) g ( x))  f ( x)d ( g ( x))  g ( x)d ( f ( x)) ,
d ( f ( x) g ( x))  f ( x) g '( x)dx  g ( x) f '( x)dx .
Luego
despejando
se
ie,
tiene
que:
f ( x) g '( x)dx  d ( f ( x) g ( x))  g ( x) f '( x)dx . Integrando en ambos miembros de la igualdad
se
tiene
que:
 f ( x) g '( x)dx   d ( f ( x) g ( x))   g ( x) f '( x)dx .
f ( x)  u  d ( f ( x))  du  f '( x)dx  du ,
Sustituyendo se tiene que:
que:
Hacemos
g ( x)  v  d ( g ( x))  dv  g '( x)dx  dv .
 udv   d (uv)   vdu . Pero  d (uv)  uv , con lo cual se tiene
 udv  uv   vdu
Ejemplos:
1.- Calcular
 x ln xdx
Solución: Aplicando integración por partes se tiene que:
Sea u  ln x  du 
1
dx
1
, dv  xdx   dv   xdx  v  x 2  c1 . Luego se tiene que:
x
2

1
 dx
 c1  ln x    x 2  c1 

2
 x
1
1
dx
dx
  x ln xdx  x 2 ln x  c1 ln x   x 2
 c1 
2
2
x
x
 x ln xdx   2 x
2
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24
1 2
1
1
11 2
x ln x  c1 ln x   xdx  c1 ln x  c   x ln xdx  x 2 ln x 
x c
2
2
2
22
1
1
  x ln xdx  x 2 ln x  x 2  c
2
4
  x ln xdx 
Observación: Nótese que
1
 dv   xdx  v  2 x
c1  0 , ya que dicha constante, al sustituirla en
2.- Calcular
2
 c1 , por lo tanto para este caso se hace
 udv  uv   vdu , se elimina.
 x cos xdx
Solución: Aplicando integración por partes se tiene que:
u  x  du  dx; dv  cos xdx  v   cos xdx v  senx .
 udv  uv   vdu
se
tiene
Luego
sustituyendo
en
 xcoxdx  xsenx   senxdx
que:
  xcoxdx  xsenx  ( cos x)  c1   xcoxdx  xsenx  cos x  c1
3.- Calcular
 tan
1
xdx
Solución: Aplicando integración por partes se tiene que:
u  tan 1 x  du 
dx
; dv  dx  v   dx v  x .
1  x2
 udv  uv   vdu tenemos que:  tan
Ahora determinemos
xdx
 1 x
2

Por lo tanto
xdx
 1 x
2
1
xdx  x tan 1 x  
1
1
xdx  x tan 1 x  ln 1  x 2  c
2
sustituyendo
xdx
1  x2
. Sea w  1  x 2  dw  2 xdx 
dw 1 dw 1
1
 
 ln w  c  ln 1  x 2  c
2w 2 w 2
2
 tan
Luego
dw
 xdx . Luego:
2
en
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4.- Calcular
 xe
3x
25
dx
Solución: Aplicando integración por partes se tiene:
1
u  x  du  dx; dv  e3 x dx  v   e3 x dx  v  e3 x .
3
 xe
3x
Luego
se
tiene
que:
1
1
1
1
1
1
dx  xe3 x   e3 x dx   xe3 x dx  xe3 x   e3 x dx   xe3 x dx  xe3 x  e3 x  c
3
3
3
3
3
9
5.- Calcular  e x senxdx
Solución: Aplicando integración por partes se tiene que:
u  senx  du  cos xdx; dv  e x dx  v   e x dx  v  e x . Luego:
 e senxdx  e senx   e
x
x
x
cos xdx . Aplicando nuevamente integración por partes se tiene
que: u  cos x  du  senxdx; dv  e x dx  v   e x dx  v  e x . Por lo tanto se tiene que:
 e senxdx  e senx   e cos x   e (senx)dx 
  e senxdx  e senx  e cos x   e senxdx  2 e senxdx  e senx  e
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
cos x  c1
1 x
1
1
1
e senx  e x cos x  c1    e x senxdx  e x senx  e x cos x  c1

2
2
2
2
1
1
  e x senxdx  e x senx  e x cos x  c
2
2
  e x senxdx 
xe x dx
6.- Calcular 
( x  1) 2
Solución: Aplicando integración por partes se tiene que:
u  xe x  du  ( x  1)e x dx; dv 
dx
1
v
. Luego:
2
( x  1)
x 1
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26
xe x dx
xe x
1
xe x dx
xe x
x
x




(
x

1)
e
dx



 ( x  1)2 x  1  x  1
 ( x  1)2 x  1   e dx

xe x dx
xe x


 ex  c
( x  1)2
x 1
EJERCICIOS PROPUESTOS
En los ejercicios 1 al, evalúe la integral indefinida
1.-
 x cos 2 xdx
2.-
 x sec tan xdx
6.-
(ln t ) 2
 t dt
7.-
 x sec
11.-
 sen(ln y)dy
15.-
sen2 x
 e x dx
19.-
2
8.-
xdx
 x3 dx
 x tan
2
 x senhxdx
16.-
20.-
23.-  ln( x  1  x 2 )dx 24.-
4.-  ln 5xdx 5.-
x
1
13.-
17.-
 cos xdx
xdx
9.-
xdx
 sent ln(cos t )dt
12.-
1
 cos 2xdx
3.-
 ln( x
2
1  ex
21.-
 1)dx
5 x
 x e dx
e2 x

2
 sen
1
wdw
10.14.-
18.-
dx
1
 tan xdx
 x senxdx
2
x3dx

1  x2
cot 1 z
 z dz
ln x
 3 x dx
22.-
25.-  e x dx
 sen x
2
INTEGRACIÓN DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS
Caso #1: Integrales del tipo
 sen udu
n
o bien
 cos
n
udu , donde n es un número entero
positivo impar. En este caso se procede de la siguiente manera:
1. sennu  (senu)n1 senu , donde n  1 es par. Luego sennu  ( sen2u)
utilizamos
la
identidad
sennu  (1  cos 2 u)
n 1
2
senu .
fundamental
sen2u  1  cos2 u .
Con
n 1
2
senu y
lo
cual
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27
2. cosn u  (cos u)n1 cos u , donde n  1 es par. Luego cosn u  (cos2 u )
utilizamos
la
identidad
cosn u  (1  sen2u)
n 1
2
fundamental
cos2 u  1  sen2u .
Con
n 1
2
cos u y
lo
cual
cos u .
Ejemplo:
7.- Calcular  cos3 2xdx
Solución:
:: el exponente es impar  cos3 2 x  cos2 2 x cos 2 x  cos3 2 x  (1  sen2 2 x)cos 2 x . Luego
se tiene que:
 cos
3
2 xdx   (1  sen2 2 x) cos 2 xdx   cos3 2 xdx   cos 2 xdx   sen2 2 x cos 2 xdx ( I )
Calculemos  cos 2xdx . Sea u  2 x  du  2dx 
  cos 2 xdx 
1
1
1
cos udu   cos 2 xdx  senu  c1   cos 2 xdx  sen2 x  c1 ( II )

2
2
2
Ahora procedamos a calcular

du
du
 dx . Luego  cos 2 xdx   cos u
2
2
 sen 2x cos 2 xdx . Sea w  sen2x  dw  2cos 2xdx
2
dw
 cos 2 xdx . Luego se tiene que:
2
 sen 2 x cos 2 xdx   w
2
2
dw
2
1 2
11 3
w dw   sen2 2 x cos 2 xdx 
w  c2

2
23
1
  sen2 2 x cos 2 xdx  sen3 2 x  c2 ( III )
6
  sen2 2 x cos 2 xdx 
Sustituyendo (II) y (III) en (I) se tiene que:
 cos
3
2 xdx 
1
1
sen2 x  sen3 2 x  c
2
6
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Subproyecto: Cálculo Integral
Caso #2: Integrales del tipo
28
 sen u cos
n
m
udu , donde al menos unos de los exponentes es
un número entero positivo impar. Se toma la expresión que contenga el exponente impar y
se aplica el caso #1.
Ejemplo:
8.- Calcular
 sen x cos
5
4
xdx
Solución:
 sen x cos
5
4
xdx   sen4 xsenx cos4 xdx   sen5 x cos 4 xdx   (sen 2 x)2 senx cos 4 xdx 
  sen5 x cos4 xdx   (1  cos2 x)2 senx cos4 xdx
  sen5 x cos4 xdx   (1  2cos2 x  cos4 x)senx cos4 xdx
  sen5 x cos4 xdx   (cos4 xsenx  2cos6 xsenx  cos8 xsenx)dx
  sen5 x cos4 xdx   cos4 xsenxdx  2 cos6 xsenxdx   cos8 xsenxdx .
Sea w  cos x  dw  senxdx  dw  senxdx . Luego se tiene que:
 sen x cos
5
4
xdx   w4 (dw)  2 w6 (dw)   w8 (dw)
  sen5 x cos4 xdx   w4 dw  2 w6 dw   w8dw
1
2
1
  sen5 x cos4 xdx   w5  w7  w9  c
5
7
9
1
2
1
  sen5 x cos4 xdx   cos5 x  cos7 x  cos9 x  c
5
7
9
Caso #3: Integrales del tipo
 sen udu
n
o bien
 cos
n
udu , donde n es un número entero
positivo par. En este caso se procede de la siguiente manera:
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n
29
1. sennu  (sen2u ) . Aplicando la identidad del ángulo doble para el coseno se tiene
2
que: cos 2u  cos2 u  sen2u  cos 2u  1  2sen2u  sen2u 
n
1  cos 2u
. Por lo tanto
2
2
n
 1  cos 2u 
se tiene que: sen nu  
 , donde es par.
2
2


n
2. cosn u  (cos2 u) . Aplicando la identidad del ángulo doble para el coseno se tiene
que:
2
cos 2u  cos2 u  sen2u  cos 2u  2cos2 u  1  cos2 u 
n
2
n
 1  cos 2u 
tanto se tiene que: cos n u  
 , donde es par.
2
2


Ejemplo:
9.- Calcular
 sen 3xdx
4
 1  cos 6 x 
Solución:  sen 3xdx    sen 3x  dx   sen 3xdx   
 dx
2


4
2
2
2
4
 1  2cos 6 x  cos 2 6 x 
  sen4 3xdx   
dx
4


1
1
1
  sen4 3xdx   dx   cos 6 xdx   cos2 6 xdx
4
2
4
  sen4 3xdx 
1
1
1 1  cos12 x
dx   cos 6 xdx  
dx

4
2
4
2
  sen4 3xdx 
1
1
1
1
dx   cos 6 xdx   dx   cos12 xdx

4
2
8
8
  sen4 3xdx 
3
1
1
dx   cos 6 xdx   cos12 xdx

8
2
8
3
11
1 1
  sen4 3xdx  x 
sen6 x 
sen12 x  c
8
26
8 12
1  cos 2u
. Por lo
2
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
3
30
1
1
 sen 3xdx  8 x  12 sen6 x  96 sen12 x  c
4
Caso #4: Integrales del tipo
 sen u cos
n
m
udu , donde ambos exponentes son números
enteros positivo par. Se aplica el caso #3.
Ejemplo:
10.- Calcular
 sen x cos
4
2
xdx
Solución:
 1  cos 2 x  1  cos 2 x
dx
 sen x cos xdx   (sen x) cos xdx   sen x cos xdx    2 
2
2
4
2
2
2
2
4
2
 1  2cos 2 x  cos 2 2 x  1  cos 2 x
  sen4 x cos2 xdx   
dx

4
2


  sen4 x cos2 xdx 
1
(1  2cos 2 x  cos2 2 x)(1  cos 2 x)dx
8
  sen4 x cos2 xdx 
1
(1  cos 2 x  2cos 2 x  2cos 2 2 x  cos 2 2 x  cos3 2 x)dx
8
  sen4 x cos2 xdx 
1
(1  cos 2 x  cos2 2 x  cos3 2 x)dx
8
  sen4 x cos2 xdx 
1
1
1
1
dx   cos 2 xdx   cos2 2 xdx   cos3 2 xdx

8
8
8
8
  sen4 x cos2 xdx 
1
1
1 1  cos 4 x
1
dx   cos 2 xdx  
dx   cos 2 2 x cos 2 xdx

8
8
8
2
8
  sen4 x cos2 xdx 
1
1
1
1
1
dx   cos 2 xdx   dx   cos 4 xdx   (1  sen 2 2 x) cos 2 xdx

8
8
16
16
8
 sen x cos
4
2
xdx 
1
1
1
1
1
dx   cos 2 xdx   cos 4 xdx   cos 2 xdx   sen 2 2 x cos 2 xdx

16
8
16
8
8
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Subproyecto: Cálculo Integral
  sen4 x cos2 xdx 

 sen x cos
4
2
31
1
1
1
dx   cos 4 xdx   sen2 2 x cos 2 xdx

16
16
8
xdx 
1
1
1
x  sen4 x  sen3 2 x  c
16
64
48
Caso #5: Integrales del tipo
 tan
n
udu o bien
 cot
n
udu , donde n es un número entero
positivo. En este caso se procede de la siguiente manera:
1. tan n u  tan n2 u tan 2 u  tan n u  tan n2 u(sec2 u 1)
2. cot n u  cot n2 u cot 2 u  cot n u  cot n2 u(csc2 u  1)
Ejemplo:
11.- Calcular
 tan
3
xdx
Solución:
 tan xdx   tan x tan xdx   tan xdx   tan x(sec x 1)dx
  tan xdx   (tan x sec x  tan x)dx   tan xdx   tan x sec
3
2
3
2
2
Determinemos
 tan x sec
3
2
 tan x sec
2
3
Luego sustituyendo (II) en (I) y sabiendo que
 tan
Solución:
xdx   tan xdx ( I )
xdx . Sea u  tan x  du  sec2 xdx , con lo cual se tiene que:
1
xdx   udu   tan x sec2 xdx  u 2  c1 
2
12.- Calcular  cot 4 4xdx
2
3
xdx 
 tan x sec
2
xdx 
 tan xdx  ln sec x  c
1
tan 2 x  ln sec x  c
2
2
1
tan 2 x  c1 ( II )
2
se tiene que:
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32
 cot 4xdx   cot 4x cot 4 xdx   cot 4 xdx   cot 4 x(csc
  cot 4 xdx   cot 4 x csc 4 xdx   cot 4 xdx
  cot 4 xdx   cot 4 x csc 4 xdx   (csc 4 x  1)dx
  cot 4 xdx   cot 4 x csc 4 xdx   csc 4 xdx   dx ( I )
4
2
2
4
4
2
2
4
2
2
4
2
2
2
4 x 1)dx
2
2
2
2
 cot
Determinemos
u  cot 4 x  du  4csc2 4 xdx  
2
4 x csc2 4 xdx .
Sea
du
 csc2 4 xdx
4
Con lo que se tiene que:
1
 du 
4 x csc2 4 xdx   u 2      cot 2 4 x csc2 4 xdx    u 2 du
4
 4 
1
1
  cot 2 4 x csc2 4 xdx   u 3  c1   cot 2 4 x csc2 4 xdx   cot 3 4 x  c1 ( II )
12
12
 cot
2
Ahora determinemos  csc2 4xdx . Sea w  4 x 
 csc
2
4 xdx 
dw
 dx , por lo que se tiene que:
4
1
1
csc2 wdw   csc2 4 xdx   cot 4 x  c2 ( III ) . Luego sustituyendo (II) y

4
4
(III) en (I) y sabiendo que  dx  x  c3 se tiene que:
 cot
Caso #6: Integrales del tipo
4
4 xdx  
 sec
n
1
1
cot 3 4 x  cot 4 x  x  c
12
4
udu o bien
 csc
n
udu , donde n es un número entero
positivo par. En este caso se procede de la siguiente manera:
1. secn u  secn2 u sec2 u  secn u  (sec2 u)
( n  2)
2. cscn u  cscn2 u csc2 u  cscn u  (csc2 u)
2
( n  2)
2
sec2 u  secn u  (tan 2 u  1)
( n 2)
csc2 u  cscn u  (cot 2 u  1)
2
( n  2)
2
sec2 u
csc2 u
Prof. Rafael Cristancho
Subproyecto: Cálculo Integral
33
Ejemplo:
13.- Calcular  sec6 4xdx
Solución:
 sec 4xdx   sec 4x sec 4 xdx   sec 4 xdx   (sec 4 x) sec 4 xdx
  sec 4 xdx   (tan 4 x  1) sec 4 xdx   sec 4 xdx   (tan 4 x  2 tan
6
4
2
6
2
6
2
2
2
2
6
2
4
2
4 x  1)sec 2 4 xdx
  sec6 4 xdx   (tan 4 4 x sec2 4 x  2 tan 2 4 x sec2 4 x  sec2 4 x)dx
  sec6 4 xdx   tan 4 4 x sec2 4 xdx  2 tan 2 4 x sec 2 4 xdx   sec 2 4 xdx ( I )
Determinemos
 tan
4
4 x sec2 4 xdx  2 tan 2 4 x sec2 4 xdx .
Sea u  tan 4 x  du  4sec2 4 xdx 
du
 sec2 4 xdx . Luego se tiene que:
4
du
du
 2 u 2
4
4
1
1
  tan 4 4 x sec2 4 xdx  2 tan 2 4 x sec2 4 xdx   u 4 du   u 2 du
4
2
11 5 11 3
  tan 4 4 x sec2 4 xdx  2 tan 2 4 x sec2 4 xdx 
u 
u  c1
45
23
1
1
  tan 4 4 x sec2 4 xdx  2 tan 2 4 x sec 2 4 xdx 
tan 5 4 x  tan 3 4 x  c1 ( II )
20
6
 tan
4
4 x sec2 4 xdx  2 tan 2 4 x sec2 4 xdx   u 4
Por otro lado
tiene que:
 sec
 sec
6
2
4 xdx 
4 xdx 
1
tan 4 x  c2 ( III ) . Luego, sustituyendo (II) y (III) en (I) se
4
1
1
1
tan 5 4 x  tan 3 4 x  tan 4 x  c
20
6
4
Caso #7: Integrales del tipo
 sec
n
udu o bien
 csc
n
udu , donde n es un número entero
positivo impar. En este caso se aplica integración por partes.
Ejemplo:
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Subproyecto: Cálculo Integral
34
14.- Calcular  sec3 xdx
Solución:
 sec
3
xdx   sec x sec2 xdx .
Sea u  sec x  du  sec x tan xdx . Sea dv  sec2 xdx  v   sec2 xdx  v  tan x .
Aplicando integración por partes se tiene que:  udv  uv   vdu por lo tanto:
 sec xdx  sec x tan x   tan x sec x tan xdx   sec xdx  sec x tan x   sec x tan xdx
  sec xdx  sec x tan x   sec x(sec x  1)dx
  sec xdx  sec x tan x   sec xdx   sec xdx  2 sec xdx  sec x tan x   sec xdx
 2 sec xdx  sec x tan x  ln sec x  tan x  c
3
3
3
2
2
3
3
3
3
1
1
1
  sec3 xdx  sec x tan x  ln sec x  tan x  c
2
2
Caso #8: Integrales del tipo
 tan
n
u secm udu o bien
 cot
n
u cscm udu , donde m es un
número entero positivo par. En este caso se procede de la siguiente manera.
1. tan n u secm u  tan n u secm2 u sec2 u  tan n u secm u  tan n u(sec 2 u)
 tan n u secm u  tan n u(tan 2 u  1)
( m 2)
2
Ejemplo:
15.- Calcular
Solución:
 tan
3
x sec4 xdx
( m 2)
2
2
sec 2 u
2
csc 2 u
sec2 u
2. cot n u cscm u  cot n u cscm2 u csc2 u  cot n u cscm u  cot n u(csc2 u)
 cot n u cscm u  cot n u(cot 2 u  1)
( m 2)
csc2 u
( m 2)
Prof. Rafael Cristancho
Subproyecto: Cálculo Integral
35
 tan x sec xdx   tan x sec x sec xdx   tan x sec xdx   tan
  tan x sec xdx   (tan x  tan x)sec xdx
  tan x sec xdx   tan x sec xdx   tan x sec xdx
3

4
3
3
4
3
4
 tan
3
x sec4 xdx 
2
2
5
3
3
5
4
3
x(tan 2 x  1)sec2 xdx
2
x(cot 2 x  1) csc 2 xdx
2
2
3
2
1
1
tan 6 x  tan 4 x  c
6
4
16.- Calcular  cot 2 x csc4 xdx
Solución:
 cot x csc xdx   cot x csc x csc xdx   cot x csc xdx   cot
  cot x csc xdx   (cot x  cot x) csc xdx
  cot x csc xdx   (cot x csc x  cot x csc x)dx
  cot x csc xdx   cot x csc xdx   cot x csc xdx
2
4
2
2
2
4
4
2
4
4
2
4
2
2
2
2
2
4
4
2
2
2
2
2
1
1
  cot 2 x csc4 xdx   cot 5 x  cot 3 x  c
5
3
Caso #9: Integrales del tipo
 tan
n
u secm udu o bien
 cot
n
u cscm udu , donde n y m
números enteros positivo impar. En este caso se procede de la siguiente manera.
1. tan n u secm u  tan n1 u secm1 u sec u tan u 
tan n u secm u  (tan 2 u)
( n 1)
2
tan n u secm u  (sec2 u  1)
secm1 u sec u tan u 
( n 1)
2
secm1 u sec u tan u
2. cot n u cscm u  cot n1 u cscm1 u csc u cot u 
cot n u cscm u  (cot 2 u)
( n 1)
cot n u cscm u  (csc2 u  1)
Ejemplo:
17.- Calcular  cot 3 x csc5 xdx
2
cscm1 u csc u cot u 
( n 1)
2
cscm1 u csc u cot u
Prof. Rafael Cristancho
Subproyecto: Cálculo Integral
36
Solución:
 cot x csc xdx   cot x csc x csc x cot xdx 
  cot x csc xdx   (csc x  1) csc x csc x cot xdx
  cot x csc xdx   (csc x csc x cot x  csc x csc x cot x)dx
  cot x csc xdx   csc x csc x cot xdx   csc x csc x cot xdx
3

5
2
4
3
5
2
3
5
6
3
5
 cot
3
4
4
6
4
1
1
x csc5 xdx   csc7 x  csc5 x  c
7
5
Caso #10: Integrales del tipo
 tan
n
u secm udu o bien
 cot
n
u cscm udu , donde n es un
número entero positivo par y m es un número entero positivo impar. En este caso se
procede de la siguiente manera.
n
n
n
n
1. tan n u secm u  (tan 2 u) 2 secm u  tan n u secm u  (sec2  1) 2 secm u
y
se
aplica
y
se
aplica
integración por partes.
2. cot n u cscm u  (cot 2 u) 2 cscm u  cot n u cscm u  (csc2  1) 2 cscm u
integración por partes.
Ejemplo:
18.- Calcular
 tan
2
x sec xdx
Solución:
 tan x sec xdx   (sec x 1)sec xdx   tan
  tan x sec xdx   sec xdx   sec xdx
2
2
2
Por ejercicio #14,
2
x sec xdx   (sec3 x  sec x)dx
3
 sec
3
1
1
xdx  sec x tan x  ln sec x  tan x  c1 y
2
2
 sec xdx  ln sec x  tan x  c
2
con lo cual se tiene que:
Prof. Rafael Cristancho
Subproyecto: Cálculo Integral
37
1
1
x sec xdx  sec x tan x  ln sec x  tan x  ln sec x  tan x  c
2
2
1
1
  tan 2 x sec xdx  sec x tan x  ln sec x  tan x  c
2
2
 tan
2
Caso #11: Integrales de la forma
 cos(nu) cos(mu)du ,
 sen(nu) cos(mu)du ,  sen(nu)sen(mu)du
o bien
donde m y n son números reales cualesquiera. En este caso se
procede de la siguiente manera:
1. sen(nu  mu)  sen(nu) cos(mu)  sen(mu) cos(nu)
sen(nu  mu)  sen(nu) cos(mu)  sen(mu) cos(nu)
2. cos(nu  mu)  cos(nu) cos(mu)  sen(nu)sen(mu)
cos(nu  mu)  cos(nu) cos(mu)  sen(nu)sen(mu)
Ejemplo:
19.- Calcular
 sen3x cos 2xdx
Solución:
sen(3x  2 x)  sen3x cos 2 x  sen3x cos 2 x  sen(5x)  sen3x cos 2 x  sen3x cos 2 x ( I )
sen(3x  2 x)  sen3x cos 2 x  sen3x cos 2 x  sen( x)  sen3x cos 2 x  sen3x cos 2 x ( II )
Sumando (I) y (II) se tiene que:
sen5 x  senx  2sen3x cos 2 x  sen3x cos 2 x 
1
1
sen5xdx   senxdx

2
2
1
1
  sen3x cos 2 xdx   cos 5 x  cos x  c
10
2
  sen3x cos 2 xdx 
20.- Calcular  cos 4 x cos 7 xdx
1
1
sen5x  senx
2
2
Prof. Rafael Cristancho
Subproyecto: Cálculo Integral
38
Solución:
cos(7 x  4 x)  cos 7 x cos 4 x  sen7 xsen4 x  cos11x  cos 7 x cos 4 x  sen7 xsen4 x ( I )
cos(7 x  4 x)  cos 7 x cos 4 x  sen7 xsen4 x  cos3x  cos 7 x cos 4 x  sen7 xsen4 x ( II )
Sumando (I) y (II) se tiene que:
1
1
cos11x  cos3x  2cos 7 x cos3x  cos 7 x cos3x  cos11x  cos3x
2
2
1
1
  cos 7 x cos3xdx   cos11xdx   cos3xdx
2
2
1
1
  cos 7 x cos 3xdx 
sen11x  sen3x  c
22
6
INTEGRACIÓN POR SUSTITUCIÓN TRIGONOMÉTRICAS
Caso #1: El integrando contiene expresiones de la forma a 2  u 2 . En este caso se realiza la
siguiente sustitución: u  asen  du  a cos d
Ejemplo:
21.- Calcular

9  x2
dx
x2
Solución:
Sea a2  9  a  3 . u 2  x2  u  x . Por lo tanto el cambio u  asen  x  3sen
 dx  3cos  d .
:: x  3sen  x 2  9sen2  9  x 2  9  9sen2  9  x2  9(1  sen2 )
 9  x2  9cos2  
Luego se tiene que:
9  x 2  3cos  .
Prof. Rafael Cristancho
Subproyecto: Cálculo Integral

9  x2
3cos 
9  x2
cos2 
9  x2
dx  
3cos  d  
dx  
d  
dx   tan 2  d
2
2
2
2
2
x
9sen 
x
sen 
x


39

9  x2
9  x2
2
dx

(sec


1)
d


dx   sec2  d   d
2
2


x
x
9  x2
dx  tan     c ( I )
x2
:: x  3sen  sen 
x
 x
   sen 1   ( II ) . Por otro lado
3
3
9 x
3
3cos   9  x 2  cos  
 tan  
x
9  x2
2
por
lo
tanto
:: tan  
sen
 tan  
cos 
x
3
9  x2
3
( III ) . Sustituyendo (II) y (III) en (I) se tiene que:

9  x2
x
x
dx 
 sen1    c
2
x
3
9  x2
Caso #2: El integrando contiene expresiones de la forma a 2  u 2 . En este caso se realiza la
siguiente sustitución: u  a tan   du  a sec2  d
Ejercicios:
22.- Calcular

x 2  16dx
Solución:
Sea a2  16  a  4 . u 2  x2  u  x . Por lo tanto el cambio u  a tan   x  4 tan 
 dx  4sec2  d . :: x  4 tan   x2  16  4sec . Luego se tiene que:
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Subproyecto: Cálculo Integral

40
x 2  16dx   4sec 4sec2  d   x 2  16dx  16 sec3  d y por ejercicio #14 se
tiene que:

1
1
x 2  16dx  16( sec tan   ln sec  tan  )  c
2
2
  x 2  16dx  8sec tan   8ln sec  tan   c
:: x  4 tan   tan  
x
. Además :: x 2  16  4sec   sec  
4
x 2  16
Luego se tiene
4
que:

x 2  16 x
x  16dx  8
 8ln
4
4
2
  x 2  16dx 


x 2  16dx 
x 2  16 x
 c
4
4
x x 2  16
 8ln
2
x 2  16  x
c
4
x x 2  16
 8ln
2
x 2  16  x  k donde k  c  8ln 4
Caso #3: El integrando contiene expresiones de la forma u 2  a 2 . En este caso se realiza la
siguiente sustitución: u  a sec  du  a sec tan  d
Ejemplo:
23.- Calcular
x
dx
3
x2 1
Solución:
Sea a2  1  a  1 . u 2  x2  u  x . En este caso el cambio es u  a sec  x  sec
 dx  sec tan  d . :: x  sec  x3  sec3  ,
x 2  1  tan  Luego se tiene que:
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Subproyecto: Cálculo Integral
41
sec tan  d
dx
d
dx



  cos 2  d
3
2
3
2
3
2
sec  tan 
sec 
x 1
x x 1
x x 1
dx
1  cos 2
dx
1
1


d  
  d   cos 2 d
2
2
x3 x 2  1
x3 x 2  1 2
dx
1
1
dx
1
1
   sen cos   c ( I )

   sen2  c  
2
4
x3 x 2  1 2
x3 x 2  1 2
x
dx
3

2
:: x  sec    sec1 x ( II ) . Por otro lado :: x  sec   cos  
sen
sen
 x 2  1  sen 
tan   x  1 
 x2 1 
1
cos 
x
2
1
( III ) y además
x
x2 1
( IV ) .
x
Luego
sustituyendo (II), (III) y (IV) en (I) se tiene que:
x
1
1 x2 1 1
 sec1  
c 
2 x
x
x2  1 2
dx
3
INTEGRACIÓN
DE
FUNCIONES
x
1
x2 1
 sec1  
c
2x2
x2 1 2
dx
3
RACIONALES
POR
FRACCIONES
PARCIALES.
Caso #1: Integrales de la forma
p( x)
 q( x) dx donde
p( x) y q( x) son polinomios de grado m y
n respectivamente, m  n . En este caso q( x) se puede descomponer en n productos de
factores lineales diferentes, i.e, q( x) tiene n raíces reales distintas, con lo cual, si
q( x)  an x n  an1x n1  .....  a1x  a0 ,
entonces
su
factorización
es
q( x)  an ( x  x1 )( x  x2 )......( x  xn ) , x1 , x2 , x3 ,....., xn son raíces distintas del polinomio
q( x) . Luego la fracción parcial de
Ejemplo:
p( x)
A
An
A
A2
p ( x)
es:
 1 
 3  ...... 
q( x)
q( x) x  x1 x  x2 x  x3
x  xn
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24.- Calcular
x
42
x 1
dx
2
 16
Solución:
Determinemos
x
x 1
dx aplicando fracciones parciales.
2
 16
x 1
x 1
x 1
A
B




2
x  16 ( x  4)( x  4)
( x  4)( x  4) x  4 x  4
x 1
A( x  4)  B( x  4)


 x  1  A( x  4)  B( x  4)
( x  4)( x  4)
( x  4)( x  4)
:: x 2  16  ( x  4)( x  4) 
x  4  1  4  A(4  4)  B(4  4)  5  8 A  0 B  A 
5
8
x  4  1  (4)  A(4  4)  B(4  4)  3  0 A  (8) B  B  
Luego se tiene que:

5
3
x 1
x 1
5 dx 3 dx
8

 8  2
dx  

( x  4)( x  4) x  4 x  4
x  16
8 x4 8 x4
x 1
5
3
dx  ln x  4  ln x  4  c 
2
x  16
8
8
25.- Calcular
x
x 1
5
3
dx  ln x  4  ln x  4  c
2
 16
8
8
x2  2 x  6
 x3  x dx
Solución:
Determinemos
3
8
x2  2 x  6
 x3  x dx aplicando fracciones parciales.
x2  2 x  6 A
B
C
 

3
x x
x x 1 x  1
2
x  2 x  6 A( x  1)( x  1)  Bx( x  1)  Cx( x  1)


x3  x
x( x  1)( x  1)
2
 x  2 x  6  A( x 1)( x  1)  Bx( x  1)  Cx( x 1)
:: x3  x  x( x 2  1)  x( x  1)( x  1) 
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Subproyecto: Cálculo Integral
43
:: x  0  0 2 2.0  6  A(0 1)(0  1)  B.0(0  1)  C.0(0 1)  6   A  A  6
:: x  1  12 2.1  6  A(1  1)(1  1)  B.1(1  1)  C.1(1  1)  3  2 B  B  
3
2
:: x  1  (1) 2 2.(1)  6  A(1 1)(1  1)  B.(1)(1  1)  C.(1)(1 1)  7  2C
 C
7
2
Luego se tiene que:
x2  2 x  6 5 3 1
7 1
x2  2x  6
dx 3 dx 7 dx




dx  5  

3
3

x x
x 2 x 1 2 x 1
x x
x 2 x 1 2  x  1
x2  2 x  6
3
7
 
dx  5ln x  ln x  1  ln x  1  c
3
x x
2
2
Caso #2: Integrales de la forma
p( x)
 q( x) dx , donde
p( x) y q( x) son polinomios de grado m
y n respectivamente, m  n . En este caso q( x) se puede descomponer en productos de
factores lineales y uno de ellos se repite, i.e., una de sus raíces se repite. Supongamos que
xk se repite p  veces , i.e., ( x  xk ) p  ( x  xk )( x  xk )......( x  xk ) . Luego la fracción
parcial está dada por:
Ap
A3
A1
A2
1



 .... 
p
2
3
( x  xk )
x  xk ( x  xk ) ( x  xk )
( x  xk ) p
Ejemplo:
26.- Calcular
x2  2 x  4
 ( x  1)3 dx
Solución: Aplicando fracciones parciales se tiene que:
x2  2 x  4
A
B
C
x 2  2 x  4 A( x  1)2  B( x  1)  C





( x  1)3
x  1 ( x  1)2 ( x  1)3
( x  1)3
( x  1)3
 x2  2 x  4  A( x  1)2  B( x  1)  C
Prof. Rafael Cristancho
Subproyecto: Cálculo Integral
44
:: x  1  1  2  4  A(1  1)2  B(1  1)  C :: x  1  3  C
:: x  0  02  2.0  4  A  B  C  4  A  B  3  A  B  1 (i)
:: x  1  12  2.1  4  4 A  2B  C  7  4 A  2B  3  2 A  B  2 (ii)
De (i) y (ii) se tiene el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
2AABB 12
A 1
:: A  1  A  B  1  B  0 . Con lo cual se tiene que:
x2  2 x  4
1
0
3
x2  2x  4
dx
dx




dx  
 3
3
2
3
3

( x  1)
x  1 ( x  1) ( x  1)
( x  1)
x 1
( x  1)3

x2  2 x  4
( x  1)2
x2  2 x  4
3 1
dx

ln
x

1

3

c

dx  ln x  1 
c
3
3

( x  1)
2
( x  1)
2 ( x  1) 2
Caso #3: Integrales de la forma
p( x)
 q( x) dx , donde
p( x) y q( x) son polinomios de grado m
y n respectivamente, m  n . En este caso q( x) se puede descomponer en productos de
factores cuadráticos irreducibles. Supongamos que ai x 2  bi x  ci son factores cuadráticos,
entonces
su
fracción
parcial
An x  Bn
A1 x  B1
p ( x)
.

 ... 
2
2
(a1 x  b1 x  c1 )(a2 x  b2 x  c2 )...(an x  bn x  cn ) a1 x  b1 x  c1
an x 2  bn x  cn
2
2
Ejemplo:
27.- Calcular
4x
 ( x  1)( x2  2 x  3) dx
2
Solución:
Aplicando fracciones parciales se tiene que:
es:
Prof. Rafael Cristancho
Subproyecto: Cálculo Integral
45
4x
Ax  B
Cx  D
 2
 2
2
( x  1)( x  2 x  3) x  1 x  2 x  3
4x
( Ax  B)( x 2  2 x  3)  (Cx  D)( x 2  1)
 2

( x  1)( x 2  2 x  3)
( x 2  1)( x 2  2 x  3)
 4 x  ( Ax  B)( x2  2 x  3)  (Cx  D)( x 2  1)
 4 x  Ax3  2 Ax2  3 Ax  Bx 2  2Bx  3B  Cx3  Cx  Dx 2  D
2
 AC  0
 2A  B  D  0

 4 x  ( A  C) x3  (2 A  B  D) x 2  (3 A  2B  C) x  (3B  D)  
3 A  2 B  C  4
 3B  D  0
Determinemos la solución del sistema de ecuaciones lineales aplicando el método de
GAUSS-JORDAN (Se puede determinar la solución de dicho sistema aplicando el método
de Cramer)
1

2
3

0
1

0
0

0
1

0
0

0
0 1 0 0
 f 2  2 f1 
1 0 1 0
2 1 0 4
 f3  3 f1 
3 0 1 0
0 1 0 0  f3  1 f3
2

1 2 1 0 
0 2 2 4 

0 6 2 0 
0 1 0
0  f4  1
4

1 2 1
0 
0 1 1 2 

0 0 4 12 
1
f2 
0
0
f3 
0
1

0
0

0
0 0
 f3  2 f 2  f3
1 2 1 0 
2 2 0 4 
 f 4  3 f 2  f 4
3 0 1 0
0
1
0
 f 4  6 f3  f 4
1 2 1 0 
0 1 1 2 

0 6 2 0 
0
f4  1

0
0

0
1
0
0

1 2 1 0 
Luego Tenemos que:
0 1 1 2 

0 0 1 3 
0
1
0
 A  C  0(i )
 B  2C  D  0(ii )


Sustituyendo (iv) en (iii) se tiene que:
 C  D  2(iii )

D  3(iv)
Prof. Rafael Cristancho
Subproyecto: Cálculo Integral
46
C  (3)  2  C  3  2  C  1 .
:: D  3, C  1  B  2C  D  0  B  2  3  0  B  1 .
:: A  C  0  C  1  A  1 .
Luego tenemos que:
4x
Ax  B
Cx  D
4x
x 1
x  3
 2
 2
 2
 2
 2
2
2
( x  1)( x  2 x  3) x  1 x  2 x  3
( x  1)( x  2 x  3) x  1 x  2 x  3
4x
x 1
x3
 2
 2
 2
2
( x  1)( x  2 x  3) x  1 x  2 x  3
::
2

4x
x 1
x3
dx   2
dx   2
dx ( I )
2
( x  1)( x  2 x  3)
x 1
x  2x  3
2
Determinemos
x 1
dx
2
1
x
x 1
xdx
dx

dx   2
 2
2
1
x 1
x 1
x
Determinemos ahora
x
2
x 1
1
dx  ln x 2  1  tg 1 x  c1 ( II )
2
1
2
x
x3
dx . Completando cuadrados se tiene que:
 2x  3
x2  2 x  3  x2  2 x  1  1  3  x2  2 x  3  ( x2  2 x  1)  2  x2  2 x  3  ( x  1)2  2 .
Luego tenemos que:
x3
x3
x3
x 1
2
dx  
dx   2
dx  
dx  
dx
2
2
 2x  3
( x  1)  2
x  2x  3
( x  1)  2
( x  1)2  2
x3
1
2 1  x  1 
 2
dx  ln ( x  1)2  2 
tg 
  c2
x  2x  3
2
2
 2 
x

2
x
2
x3
1
 x 1 
dx  ln x 2  2 x  3  2tg 1 
  c2 ( III )
 2x  3
2
 2 
Sustituyendo (II) y (III) en (I) se tiene que:
 (x
2
4x
1
1
 x 1 
dx  ln x 2  1  tg 1 x  ln x 2  2 x  3  2tg 1 
c
2
 1)( x  2 x  3)
2
2
 2 
4x
1
x2  1
 x 1 
  2
dx  ln 2
 tg 1 x  2tg 1 
c
2
( x  1)( x  2 x  3)
2 x  2x  3
 2 
Prof. Rafael Cristancho
Subproyecto: Cálculo Integral
Caso #4: Integrales de la forma
47
p( x)
 q( x) dx , donde
p( x) y q( x) son polinomios de grado m
y n respectivamente, m  n . En este caso q( x) se puede descomponer en productos de
factores cuadráticos irreducibles y uno de ellos se repite. Supongamos que ak x2  bk x  ck
se
repite
p-veces,
entonces
su
fracción
parcial
es:
Ap x  Bp
A1 x  B1
A2 x  B2
p ( x)


... 
p
2
2
p
2
(ak x  bk x  ck )
ak x  bk x  ck (ak x  bk x  ck )
(ak x  bk x  ck ) p
2
Ejemplo:
x2
dx
28.- Calcular  2
( x  4)2
Solución: Aplicando fracciones parciales se tiene que:
x2
Ax  B Cx  D
x2
( Ax  B)( x 2  4)  Cx  D




( x 2  4)2 x 2  4 ( x 2  4)2
( x 2  4)2
( x 2  4)2
 x2  ( Ax  B)( x2  4)  Cx  D  x2  Ax3  4 Ax  Bx2  4B  Cx  D
 A0
 A0
 B 1
 B 1


 x2  Ax3  Bx2  (4 A  C ) x  (4B  D)  
. Por lo tanto se tiene

4
A

C

0
C

0


4 B  D  0  D  4
que:
::
x2
Ax  B Cx  D
x2
1
4



 2
 2
2
2
2
2
2
2
2
( x  4)
x  4 ( x  4)
( x  4)
x  4 ( x  4)2

x
x2
1
dx
 ( x2  4)2 dx   x2  4 dx  4 ( x2  4)2 ( I ) . Determinemos
2
1
1
dx  tg 1 x  c1 ( II ) .
4
2
Determinemos
ahora
4
dx
 u  atg  x  2tg  dx  2sec2  d
2
( x  4)
2
2
1
dx .
4
dx
.
( x  4)2
determinaremos la integral usando sustitución trigonométrica.
:: 4
x
2
En
este
caso
Prof. Rafael Cristancho
Subproyecto: Cálculo Integral
48
:: x  2tg  x2  4  4sec2   ( x2  4)2  16sec4  . Luego 4
dx
2sec2  d

4
 16sec4 
( x 2  4)2
dx
4 d
dx
1
  2  4 2
  cos2  d
2
2
( x  4)
8 sec 
( x  4)
2
dx
1 1  cos 2
dx
1
1
 4 2
 
d  4 2
  d   cos 2 d
2
2
( x  4)
2
2
( x  4)
4
4
dx
1
1
dx
1
1
 4 2
   sen2  c2  4 2
   sen cos   c2 .
2
2
( x  4)
4
8
( x  4)
4
4
 4
2
:: x 2  4  4sec2   sec2  
:: x  2tg  tg 
:: tg 
 4
x2  4
 cos  
2
x2  4
2
x
2
. Por otro lado
x
 x
   tg 1   .
2
2
sen
x
 sen  tg cos   sen 
cos 
2
dx
1
x
 x 1
 tg 1   
2
( x  4)
4
 2  4 x2  4
 4
que:
x2  4
 sec 
4
2
x2  4
2
x2  4
 sen 
x2  4
 c2
dx
1
x
 x
 tg 1   
 c2 ( III ) Sustituyendo (II) y (III) en (I) se tiene
2
2
( x  4)
4
 2  2( x  4)
2
x2
1 1  x  1 1  x 
x
 ( x2  4)2 dx  2 tg  2   4 tg  2   2( x2  4)  c
x2
1
x
 x
  2
dx  tg 1   
c
2
2
( x  4)
4
 2  2( x  4)
29.- Calcular
x
x3
dx
 9 x2
4
Solución: Factoricemos el polinomio x 4  9 x 2 . x4  9 x2  x2 ( x2  9) . Luego se tiene que:
x
x3
x3
dx   2 2
dx . Aplicando fracciones parciales se tiene que:
2
 9x
x ( x  9)
4
Prof. Rafael Cristancho
Subproyecto: Cálculo Integral
49
x3
A B Cx  D
x3
Ax( x 2  9)  B( x 2  9)  (Cx  D) x 2





x 2 ( x 2  9) x x 2 x 2  9
x 2 ( x 2  9)
x 2 ( x 2  9)
 x  3  Ax( x2  9)  B( x2  9)  (Cx  D) x2  x  3  Ax3  9 Ax  Bx2  9B  Cx3  Dx2
C   1
C   A
9

AC  0
D


B
1

D





3
 x  3  ( A  C ) x3  ( B  D) x 2  9 Ax  9B   B  D  0   A  1  
9A 1
1
9
A


 9B  3

9
1

 B  3
 B 1
3

1
1
1
1
 x
x3
A B Cx  D
x3
:: 2 2
  2 2
 2 2
 9  32  92 3
x ( x  9) x x
x 9
x ( x  9)
x
x
x 9
x3
1 dx 1 dx 1 xdx 1 dx
 2 2
dx     2   2

x ( x  9)
9 x 3 x 9 x  9 3  x2  9
x3
1
1
1
1
 x
 2 2
dx  ln x  x 1  ln x 2  9  tg 1    c
x ( x  9)
9
3
18
9
3
x3
2
1 1
1
x
 2 2
dx  ln x   ln x 2  9  tg 1    c
x ( x  9)
18
3x 18
9
3

x3
1
x2
1 1 1  x 
dx

ln
 x2 ( x2  9) 18 x2  9  3x  9 tg  3   c
SUSTITUCIONES DIVERSAS
Caso #1: El integrado contiene expresiones racionales de seno y coseno. En este caso se
realiza el cambio z  tg
1 z2
1
2z
2dz
cos
x

,
y dx 
x y se obtiene que: senx 
2
2
1 z
2
1 z
1 z2
Ejemplo:
30.- Calcular
dx
 1  senx  cos x
2z
1 z2
2dz
1 
, cos x 
y dx 
Solución: Sean senx 
siendo z  tg  x  , entonces
2
2
2
1 z
1 z
1 z
2 
tenemos que:
Prof. Rafael Cristancho
Subproyecto: Cálculo Integral
50
2dz
2dz
2
dx
1 z
1 z2


2
2
2z
1 z
1  z  2z 1  z 2
1  senx  cos x
1

1 z2 1 z2
1 z2
2dz
2
dx
dx
2dz

 2

  12 z
2z  2z
1  senx  cos x
2z  2z
1  senx  cos x
2
1 z
dx
dz


1  senx  cos x
z ( z  1)
dx
 1  senx  cos x  
Aplicando fracciones parciales se tiene que:
1
A
B
1
A( z  1)  Bz
 


 1  A( z  1)  Bz  1  ( A  B) z  A
z ( z  1) z z  1 z ( z  1)
z ( z  1)


 A  B  0  B   A A  1  B  1. Por lo tanto se tiene que:
A 1
A 1
1
A
B
1
1
1
dz
dz
dz
 

 

  
z ( z  1) z z  1 z ( z  1) z z  1
z ( z  1)
z
z 1
dz
dz
z
1 

 ln z  ln z  1  c  
 ln
 c . Pero z  tg  x  por lo que se
z ( z  1)
z ( z  1)
z 1
2 
::
1 
1 
tg  x 
tg  x 
dz
dx
2  c 
2  c
 ln
 ln
tiene que: 

z ( z  1)
1  senx  cos x
1 
1 
tg  x   1
tg  x   1
2 
2 
31.- Calcular
dx
 3  2cos x
Solución: Sean cos x 
dx
 3  2cos x  
1 z2
2dz
1 
y dx 
siendo z  tg  x  , entonces tenemos que:
2
2
1 z
1 z
2 
2dz
2dz
2
dx
dx
2dz
1 z
1 z2




2
2
2
1 z
3  z  2  2z
3  2cos x
1  5z 2
3  2cos x
3 2
1 z2
1 z2
Prof. Rafael Cristancho
Subproyecto: Cálculo Integral
Determinar
51
2dz
 1  5z
2
Sea u 2  5 z 2  u  5 z  du  5dz 
du
 dz y a2  1  a  1 . Luego tenemos que:
5
du
2dz
2dz
2
du
2dz
2 1  u 
5
 1  5z 2  2 a2  u 2   1  5z 2  5  a2  u 2   1  5z 2  5 tg  a   c

2dz
2 5 1

tg
2
1  5z
5
dx
2 5

tg
 5z   c   3  2cos
x
5
1

 1 
 5tg  2 x    c



Caso #2: El integrando contiene expresiones irracionales. En este caso se procede de la
siguiente manera:
1.
n
u  se hace el cambio z n  u y se transforma en una función racional.
2.
n
u  m u  se hace el cambio z M  u donde M es el mínimo común múltiplo de
los índices de las expresiones irracionales y se transforma en una función racional.
Problemas Resueltos.
1.- Calcular

tan xdx
Solución: Sea u  tan x  u 2  tan x  2udu  sec2 xdx 
2u
du  dx
sec2 x

2u
2u
du  dx  4
du  dx por lo tanto se tiene que:
2
tan x  1
u 1

tan xdx  u




2u 2 du
2u 2 du
2udu

tan
xdx


tan
xdx

u4 1
u 4  2u 2  1  2u 2
u4 1
2u 2 du
2u 2 du
tan xdx 

tan
xdx

(u 4  2u 2  1)  2u 2
(u 2  1)2  2u 2


tan xdx 
 (u




2u 2 du

2
 1  2u )(u 2  1  2u



tan xdx 

2u 2 du
(u 2  2u  1)(u 2  2u  1)
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Subproyecto: Cálculo Integral
52
Aplicando fracciones parciales se tiene que:
2u 2
Au  B
Cu  D
 2
 2
2
2
(u  2u  1)(u  2u  1) u  2u  1 u  2u  1

2u 2
( Au  B)(u 2  2u  1)  (Cu  D)(u 2  2u  1)

(u 2  2u  1)(u 2  2u  1)
(u 2  2u  1)(u 2  2u  1)
 2u 2 du  ( Au  B)(u 2  2u  1)  (Cu  D)(u 2  2u  1)
 2u 2 du  Au3  2 Au 2  Au  Bu 2  2Bu  B  Cu3  2Cu 2  Cu  Du 2  2Du  D
 2u 2 du  ( A  C )u3  ( 2 A  B  2C  D)u 2  ( A  2B  C  2D)u  ( B  D)
AC  0
A  C





 2C  D  2C  D  2
 2 A  B  2C  D  2
 2 A  B  2C  D  2




 A  2B  C  2D  0
 A  2B  C  2D  0
C  2 D  C  2 D  0


BD 0
B  D


2



2
2

 2 2C  2 C 
C  
A 




2 2


2
2 con lo cual se tiene que:

2
2
D

0

 D0
 B0
 D0




::
2u 2
Au  B
Cu  D
 2
 2

2
2
(u  2u  1)(u  2u  1) u  2u  1 u  2u  1
2
2
u

u
2u
2
2
 2


(u  2u  1)(u 2  2u  1) u 2  2u  1 u 2  2u  1
2
2u 2
2
u
2
u
 2


2
2
2
2 u  2u  1 2 u  2u  1
(u  2u  1)(u  2u  1)


2u 2 du
2

2
(u 2  2u  1)(u 2  2u  1)
Calcular
2
2
u
2

udu
2

u 2  2u  1 2

udu
(i)
u 2  2u  1
udu
Completando cuadrados se tiene que:
 2u  1
1 1
2 2 1
u 2  2u  1  u 2  2u    1  u 2  2u  1  (u 
)  con lo cual se tiene que:
2
2
2 2
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Subproyecto: Cálculo Integral
2
2

udu
2

u 2  2u  1 2
2
2
por lo tanto
u


53
udu
sea w  u 
(u  22 )2  12
udu
2

2
u  2u  1 2
w 
2
4
w 
2
2

2
2


2
2

w
udu
21
1 1
2
1
1

ln
w


tan
 1   c1
2
 
2 12
u 2  2u  1 2 2
 2
udu
2
2
2
1

ln
w


tan 1 2w  c1
2
2
2
u  2u  1 4

2
2

udu
2

ln (u 
u 2  2u  1 4

2
2

Calcular
wdw


2
udu
2

 2u  1 2

( w  22 )dw

w2  12
 dw  du :: w  u 
2
2
2
1
2
2
u


2(u 
udu
2
2

ln u 2  2u  1 
tan 1
4
2
u  2u  1

2u  12  c1 (ii)
)  12 
2 2
2
2
2
2
2
1
2
2
tan 1
2
u
 w
dw

2
2
2
2
2
2

)  c1

udu
Completando cuadrados se tiene que:
 2u  1
1 1
2 2 1
u 2  2u  1  u 2  2u    1  u 2  2u  1  (u 
)  con lo cual se tiene que:
2
2
2 2
2
2
u
2
udu
2

 2u  1 2
por lo tanto
2
2

 (u 
udu
sea w  u 
2 2
1
2 )  2
udu
2

2
u  2u  1 2
 dw  du :: w  u 
( w  22 )dw

w2  12

udu
2

u  2u  1 2
2
2

2
2

w
udu
21
1 1
2
1
1

ln
w


tan
 1   c2
2
 
2 12
u 2  2u  1 2 2
 2
udu
2
2

ln w2  12 
tan 1 2w  c2
2
2
u  2u  1 4

2
2


2


2
2
wdw 2

w2  12 4

dw
w2  12


2
2
 w
2
2
u
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Subproyecto: Cálculo Integral

2
2


2
2

54
2
tan 1
2

2(u 
udu
2
2

ln u 2  2u  1 
tan 1
4
2
u  2u  1

2u  12  c2 (iii)
udu
2

ln (u 
u 2  2u  1 4
)  12 
2 2
2
2
2
2

)  c2

Sustituyen (ii) y (iii) en (i) se tiene que:



2u 2 du
2
2
2

ln
u

2
u

1

tan 1
2
2
4
2
(u  2u  1)(u  2u  1)

2
2
ln u 2  2u  1 
tan 1 2u  12  c
4
2
2u 2 du
2 tan x  2 tan x  1
2

ln

tan 1 2 tan x  12 
2
2
4
2
(u  2u  1)(u  2u  1)
tan x  2 tan x  1
2u  12




2
tan 1
2



2 tan x  12  c
Ejercicios Propuestos
En los ejercicios 1 al 13, evalúe la integral indefinida dada
1.-

dx
3
x
2.-

3
x 2 dx
3.-  (2 t  t 
( x  1) 2
dx 7.-  (4w  1)3 dw
6.- 
x
 3 x x

11.-  
dx
4
x


8.-
9
)dt
t2

3
4.-  ( x  1)2 dx
5
dx
x
2
1 

12.-   x 2  3  dx 13.x


9.-
5.-  ( x  2)( x  2)dx
x (3x  2)dx
10.-
u4  3 u
 u 2 du
En los ejercicios 14 al 45, evalúe la integral indefinida dada.
14.-
 x (2  x ) dx
3
4 5
15.-
18.-  ( x  1) 2 x  x dx
2
x
2
19.-
x3  1dx

xdx
4
x2
16.-
dt
 (1  6t )
20.-

4
x 2 dx
1 x
17.-
 (x
21.-
x
3
xdx
 1)2
2
x 2  1dx

dx
2x
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Subproyecto: Cálculo Integral
22.-
 (x
26.-

2
dx
3
 1) 2
23.-
tdt
t 1
27.-


55
xdx
24.-
1  x 2  (1  x 2 )3
3  2xx 2 dx
sds

3s  1
2
4senxdx
 (1  cos x)
28.-
25.-
29.-
2
 (x

2
1
 4 x  4) 3 dx
4
1 dx
3x x 2
30.-
( y  3)dy
 (3  y)
2
3
x3
31.-  2
32.3 dx
( x  4) 2
35.-
seny
 cos2 y dy
39.-

43.-


3  s ( s  1) ds
36.-  ( x  1)2 xdx
dx
40.-
x 1 x
23 x
dx
x
44.-
(r 3  2) 4
37.-
33.-

3
r2
x 1

x2  2 x  4
2
 ( x  2x 10) 3 (5x  5)dx 41.2

tdt
t 1
45.-
4z  3
 (4 z  5)
3
dx

2
2
 1   t 1 
34.-   t    2  dt
 t  t 
3
1
2
dr
38.-
(1  x ) 2
 x dx
x3  1 dx
x3 x 4
42.-

3
1 3 x
dx
x2
dz
Módulo III: Integral Definida.
Sumatoria.
n
Definición #10:
 F (i)  F (m)  F (m 1)  F (m  2)  .......  F (n 1)  F (n) donde m y n
i m
son enteros positivos y m  n
n
Teorema #34:
 c  cn donde c es cualquier constante
i 1
Demostración: Por definición se tiene que:
n
 c  c  c  c  ......  c
i 1
n
(n términos) 
 c  cn
i 1
Prof. Rafael Cristancho
Subproyecto: Cálculo Integral
n
Teorema #35:

56
n
cF (i)  c
i 1
 F (i) donde c es una constante.
i 1
n
Demostración: Por definición se tiene que:
 cF (i)  cF (1)  cF (2)  ....  cF (n)
i 1
n

 cF (i)  c(F (1)  F (2)  ....  F (n)) propiedad distributiva de los números reales
i 1

n
n
i 1
i 1
 cF (i)  c F (i) definición de sumatoria.
Teorema #36:
n
n
n
i 1
i 1
i 1
 F (i)  G(i)   F (i)  G(i)
ma
n
Teorema #37:

i m
F (i) 

n a
n
F (i  a) y
i m a
Demostración: Demostremos que

F (i) 
i m
 F (i  a)
i m a
n
ma
i m
i m a
 F (i)   F (i  a) . En efecto:
n
Por definición tenemos que:
 F (i)  F (m)  F (m 1)  F (m  2)  .....  F (n 1)  F (n)
i m
Sumando y restando en cada sumando el número a se tiene que:
n
 F (i)  F (m  a  a)  F (m  a 1  a)  F (m  a  2  a)  .....  F (n  a 1  a)  F (n  a  a)
i m

n
na
i m
i m a
 F (i)   F (i  a) definición de sumatoria
Teorema #38: Suma telescópica
n
1.
 F (i)  F (i 1)  F (n)  F (0)
i 1
Prof. Rafael Cristancho
Subproyecto: Cálculo Integral
57
n
2.
 F (i  1)  F (i)  F (n  1)  F (m)
i m
n
3.
 F (i)  F (i 1)  F (n)  F (m 1)
i m
n
 F (i)  F (i 1)  F (n)  F (0)
Demostración: Demostremos que:
i 1

n
 F (i)  F (i  1) 
i 1
i 1

pero

F (i) 
i 1
 F (i)  F (n) (ii) y
i 1
n 1
n
F (i  1  1) 
i 11
(i) se tiene que:

n 1
n
F (i  1) (i )
i 1
n 1
F (i  1) 

n
F (i ) 
i 1
n


n
F (i  1) 
i 1
 F (i) (iii)
Luego sustituyendo (ii) y (iii) en
i 11
n
n 1
n 1
i 1
i 1
i 11
 F (i)  F (i 1)   F (i)  F (n)   F (i)
n
n 1
n 1
i 1
n
i 1
n 1
i 0
 F (i)  F (i 1)   F (i)  F (n)   F (i)




 F (i)  F (i  1) 
i 1
n
n 1
F (i)  F (n)  F (0) 
i 1
 F (i)
i 1
 F (i)  F (i 1)  F (n)  F (0)

i 1
n
Demostremos ahora que:
 F (i  1)  F (i)  F (n  1)  F (m) En efecto:
i m
n
n
n
 F (i  1)  F (i)   F (i 1)   F (i)
i m


i m
i m
n
n 1
n 1
i m
n
i m
n 1
i  m 1
i m
i m
 F (i  1)  F (i)   F (i 1)  F (n 1)   F (i 1)
n 1
 F (i  1)  F (i)   F (i 1)  F (n  1)  F (m 1  1)   F (i  1)
i m
Prof. Rafael Cristancho
Subproyecto: Cálculo Integral


58
n
n 1
n 1
i m
n
i m
i m
 F (i  1)  F (i)   F (i 1)  F (n  1)  F (m)   F (i 1)
 F (i  1)  F (i)  F (n  1)  F (m)
i m
Teorema #39: Si n es un entero positivo, entonces:
n
1.
i 
i 1
n(n  1)
2
n
2.
i
2

i 1
i3 
n2 (n  1)2
4
i4 
n(n  1)(2n  1)(3n2  3n  1)
30
n
3.

i 1
n
4.

i 1
n(n  1)(2n  1)
6
n
i 
Demostración: Demostremos que:
i 1
n(n  1)
.
2
n
Sea S 
 i  S  1 2  3  ....  (n 1)  n  S  n  (n 1)  .....  3  2 1
i 1
 2S  (n  1)  (n  1)  .....  (n  1)  (n  1)  (n  1) n veces sumando
n(n  1)
con lo cual
 2S  n(n  1)  S 
2
n
Demostremos ahora que:

i3 
i 1
n

i 1
n(n  1)
pues S 
i
2
n
i
i 1
n2 (n  1)2
4
(i  1)4  (i  1)2 (i 1)2  (i 1)4  (i 2  2i  1)(i 2  2i  1)  (i  1)4  i 4  4i3  6i 2  4i  1
n
 i 4  (i  1)4  4i3  6i 2  4i  1 

i 1
n
i 4  (i  1)4  
 4i  6i
3
i 1
2
 4i  1
Prof. Rafael Cristancho
Subproyecto: Cálculo Integral
n


i 1
n
i 4  (i  1)4  

n
4i 3 
i 1
n
n
59

n
6i 2 
i 1
n
n
 1
4i 
i 1
i 1
n
i  6i  4i  1
 n 4  04  4
3
2
i 1
i 1
i 1
aplicando suma telescópica y propiedades de
i 1
sumatoria
n
i  6
 n4  4
3
i 1
 n4  6
n(n  1)(2n  1)
n(n  1)
4
n
6
2
n(n  1)(2n  1)
n(n  1)
4
n4
6
2
n

n
i 3  n4  n(n  1)(2n  1)  2n(n  1)  n  4
i 1
n
 (n4  n)  (n(n  1)(2n  1)  2n(n  1))  4
n
3
i
 n(n3  1)  n(n  1)(2n  1  2)  4
i 1
n
3
i
 n(n  1)(n2  n)  4
i 1
n
i
 n(n  1)(n  1)n  4
i  i
 n2 (n  1)2  4
i 1
3
i 1
n
n
3
3
i 1
n
i
3
i 1
i
 n(n  1)(n2  n  1)  n(n  1)(2n  1)  4
i
3
i 1
i 1
3

n (n  1)
4
2
2
Problemas Resueltos.
6
1.- Calcular
 (2i 1)
i 1
Solución:
6
6
6
6
i 1
i 1
i 1
i 1
 (2i 1)  2i  1  
6(6  1)
(2i  1)  2
6 
2
6
 (2i 1)  42  6
i 1
6

 (2i 1)  36
i 1
2
2.- Calcular
1 j
1
2
j 0

2
Solución:
j 0
1 j
2

j 0
1
2

1
1
1
1




2
2
2
1 j
1  0 1  1 1  22
17
2

2
j 0
1
1 1
 1  
2
1 j
2 5
1 j
2
j 0
1
2

10  5  2
2
Prof. Rafael Cristancho
Subproyecto: Cálculo Integral
60
3
 (i  1)(i  2)
3.- Calcular
i 1
31
3
Solución:

(i  1)(i  2) 
i 1


3

(i  1  1)(i  1  2) 
i 11
4
(i  1)(i  2) 
i 1
3
3
i 1
i 1
i(i  3)
i 0
 (i  1)(i  2)  0  2  2  4   (i  1)(i  2)  0
10
 (i 1)
4.- Calcular
3
i 1
10 1
10
Solución:
 (i 1)   (i  1 1)   (i 1)   i   (i 1)
i 11
10

10
9
3
i 1

10
3
(i  1)3 
i 1
3
3
i 1
92 (9  1)2

4
10

i 1
(i  1)3 
i 1
i 0
81(100)

4
9
3
 0
i
3
i 1
10
 (i 1)
3
 2025
i 1
n
 (2  2
i 1
i
5.- Calcular
)
i 1
n
Solución: Aplicando la suma telescópica se tiene que:
 F (i)  F (i 1)  F (n)  F (0)
i 1
n
i 1
Sea F (i)  2  F (i  1)  2
i
por lo tanto
 (2  2
i
i 1
i 1
n
)
 F (i)  F (i 1)
i 1
n

 (2  2
i
i 1
)  F (n)  F (0) :: F (i)  2i  F (n)  2n  F (0)  20  1
i 1
n

 (2  2
i
i 1
)  2n  1
i 1
n
6.- Calcular
 (10
i 1
i 1
 10i )
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61
n
Solución: Aplicando la suma telescópica se tiene que:
 F (i)  F (i 1)  F (n)  F (0)
i 1
Sea F (i)  10i 1  F (i 1)  10i 11  F (i 1)  10i  F (n)  10n1  F (0)  1001  10 por lo
n

tanto tenemos que:
n
(10i 1  10i )  F (n)  F (0) 
i 1
i 1
 10i )  10n 1  10
i 1
n

 (10
n
 (10
i 1
 10 )  10 10  10 
i
n
i 1
 (10
i 1
 10i )  10(10n  1)
i 1
100
  k  k  1 
7.- Calcular
1
1
k 1
100
Solución:

k 1
donde F (k ) 
100


k 1
100

1 
1
1
 1
  
 


k 1 k 
 k k 1 
k 1 
1

k 1
 3
k
8.- Calcular
k 1
n
Solución:

k 1


k 1
n

k
k 1


k 1
k 1
100
k 1

100
 k  k  1   (101 1)
1
1
1
k 1
1
100
k 1
2
2
 3k    3k 1  3 k 1  

 3 k  3k 2   3k 1  3 k 1 2  


2
2
 3k    3k 1  3 k 1   

n
 3
2 k
k 1
 2  32 k    32( k 1)  2  32(  k 1) 
n
 3
2 k
k 1
n
 3
 3 k  3k 2   3k 1  3 k 1 2  


2k
k 1
 3
 32 k  32( k 1)  32( k 1) 
 32( k 1)    32 k  32( k 1) 
n
2k
k 1
 3
n
2( k 1)
3
 
2 k
k 1
 32( k 1)  (i)
n
Calcular
 3
2k
k 1
1
  k  k  1   101
 3 k  3k 2   3k 1  3 k 1 2  


 3
n


100
1 
1
 F (k )  F (k  1) 
 

 k k 1 
k 1
1 
1
 
  ( F (100)  F (0)) 
 k k 1 
1 
100
1
) 
 
  ( 
101
 k k 1 
n
n
100
100
 32( k 1)  Aplicando suma telescópica tenemos que:
Prof. Rafael Cristancho
Subproyecto: Cálculo Integral
n

k 1
n
32 k  32( k 1)  
 F (k )  F (k 1) siendo F (k )  3
2k
k 1
n

62
n
 3
2( k 1)
3
2k
k 1
 3
  F (n)  F (0) 
 3
 32( k 1)   32 n  30
2k
k 1
n

2k
k 1
 32( k 1)   9n  1 (ii)
n
Calculemos ahora
 3
2 k
k 1
n

k 1
 32( k 1)  Aplicando suma telescópica tenemos que:
n
32 k  32( k 1)  
 F (k )  F (k 1) donde F (k )  3
2 k
k 1
n


k 1
n
32 k  32( k 1)   F (n)  F (0) 
 3
 3
2 k
k 1
 32( k 1)   32 n  30
n

2 k
k 1
n

k 1
 3 k  3k 2   3k 1  3 k 1 2   9n  1  9 n  1


 3
n

 32( k 1)   9 n  1 (iii) Luego, sustituyendo (ii) y (iii) en (i) se tiene que:
k
k 1
2
2
 3k    3k 1  3 k 1    9n  9 n  2

12
9.- Calcular
 
k 1
2k  1  2k  1 
Solución: Aplicando suma telescópica tenemos que:
12

k 1
 2k  1  2k  1  


12
 F (k )  F (k 1) donde F (k ) 
k 1
2k  1
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Subproyecto: Cálculo Integral
12

 
k 1
12


k 1
63
2k  1  2k  1  F (12)  F (0) :: F (k )  2k  1  F (12)  5  F (0)  1
 2k  1  2 k  1   5  1 


10.- Exprese la siguiente suma
Solución:
12
 
k 1
2k  1  2k  1  4
1 4 9
400
como una notación sigma.
   .... 
2 3 4
21
1 4 9
400 12
22
32
202
   .... 



 .... 
2 3 4
21 1  1 1  2 1  3
1  20
1 4 9
400
    .... 

2 3 4
21
20

i 1
i2
1 i
Cálculo de Área Usando Rectángulos Inscritos o Circunscrito.
Definición #11: Suponga que la función f es continua en el intervalo cerrado  a, b , con
f ( x)  0 para toda x   a, b , y que R es la región limitada por la curva y  f ( x) , el eje x
y las rectas x  a, x  b . Divida el intervalo  a, b en n subintervalos de longitud
x 
ba
y denotemos el i-ésimo subintervalo como  xi 1 , xi  . Si f (ci ) es el valor de la
n
función mínimo absoluto en el i-esimo subintervalo, la medida del área de la región R está
 f (c )x    0N  0 : n  N   f (c )x  A  
n
dada por: A  lim
x 
n
i
i
i 1
i 1
INTEGRAL DEFINIDA.
Definición #12: Sea f una función cuyo dominio contiene al intervalo  a, b . Se dice que f
es integrable en  a, b si existe un número L que satisface la condición de que para todo
  0 , existe un   0 tal que la partición  para la cual    y para cualquier
ci   xi 1 , xi  , i  1, 2,3,..., n , entonces
 f (c ) x  L   , ie, lim  f (c ) x  L
n
n
i
i 1
i
 0
i
i 1
i
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Subproyecto: Cálculo Integral
64
Definición #13: Si f es una función definida en el intervalo  a, b , entonces la integral

definida de f , denotada por

b
f ( x)dx , está dada por:
b
n
f ( x)dx  lim
 0
a
a
 f (c ) x si el
i
i
i 1
límite existe.
Teorema #40: Si una función es continua en un intervalo cerrado  a, b , entonces es
integrable en  a, b .
Definición #14: Si a  b y

a
f ( x)dx existe, entonces
b

b
f ( x)dx  
a
Definición #15: Si f (a) existe, entonces

a

a
f ( x)dx
b
f ( x)dx  0
a
Teorema #41: Si  es una partición de intervalo  a, b , entonces lim
 0
n
 x  b  a
i
i 1
Teorema #41: Si f está definida en el intervalo cerrado  a, b , y si lim
n
 0
 a, b  ,
donde  es cualquier partición del intervalo
n
cualesquiera lim
 0
 f (c ) x existe
i
i
i 1
entonces si k es una constante
n
 kf (c ) x  k lim  f (c ) x
i
i
 0
i 1
i
i
i 1
 kdx  k (b  a)
b
Teorema #42: Si k es una constante cualesquiera, entonces
a
Teorema #43: Si la función f es integrable en el intervalo cerrado  a, b y si k es una
constante cualesquiera, entonces

b
kf ( x)dx  k
a

b
f ( x)dx
a
Teorema #44: Si f y g son dos funciones integrables en
integrable y

b
a
 f ( x)  g ( x)  dx  
b
a
f ( x)dx 
 a, b  ,
 g (x)dx . En general
b
a
entonces f  g es
Prof. Rafael Cristancho
Subproyecto: Cálculo Integral

b
a
65
 f1 ( x)  f2 ( x)  ....  f n ( x)  dx  
b
f1 ( x)dx 
a

b
f 2 ( x)dx  .... 
a

b
f n ( x)dx
a
Teorema #45: Si la función f es integrable en los intervalos  a, b ,  a, c , b, c  , entonces

b

f ( x)dx 
a
c
f ( x)dx 
a

b
f ( x)dx donde a  c  b
c
Teorema #46: Si la función f es integrable en un intervalo cerrado que contiene los
números a, b y c, entonces

b
f ( x)dx 
a

c
f ( x)dx 
a

b
f ( x)dx sin importar el orden de a, b
c
y c.
Teorema #47: Si las funciones f y g son integrables en  a, b talque f ( x)  g ( x) para toda
x   a, b , entonces

b
f ( x)dx 
a
 g ( x)dx
b
a
Teorema #48: Suponga que la función f es continua en el intervalo cerrado  a, b . Si m y
M son, los valores de la función mínimo absoluto y máximo absoluto de f en  a, b
respectivamente
m(b  a) 

b
de
modo
que
m  f ( x)  M
para
toda
a xb
entonces
f ( x)dx  M (b  a)
a
Teorema #49: Si la función f es continua en el intervalo cerrado  a, b , entonces existe un
número c en  a, b talque

b
f ( x)dx  f (c)(b  a)
a
Teorema #50: Primer Teorema Fundamental del Cálculo: Sea la función f continua en
el intervalo  a, b y sea x cualquier número de  a, b . Si F es la función definida por
F ( x) 

x
a
f (t )dt , entonces F '( x)  f ( x) , ie, F '( x) 
d
dx

x
a
f (t )dt
Prof. Rafael Cristancho
Subproyecto: Cálculo Integral
Observación:
Si
g
66
es
derivable
en
x
y
F ( x) 

g ( x)
f (t )dt ,
entonces
a
F '( x) 
d
du

u
f (t )dt
a
du
donde u  g ( x) y en consecuencia se aplica la regla de la cadena
dx
para derivadas.
Teorema #51: Segundo Teorema Fundamental del Cálculo: Sea f una función continua
en el intervalo cerrado  a, b y sea F antiderivada de f, ie, F '( x)  f ( x) para toda x   a, b
, entonces

b
f ( x)dx  F (b)  F (a)
a
Observación: La regla de la cadena para antiderivadas está dada por:
 f ( g ( x)) g '( x)dx  F ( g ( x))  c o bien hacemos u  g(x)  du  g '(x)dx con lo cual se
tiene que:
 f (u)du  F (u)  c . Ahora aplicando la regla de la cadena para integrales

definidas se tiene que:
b
f ( g ( x)) g '( x)dx  F ( g (b))  F ( g (a)) , i.e, sea u  g ( x)
a
 du  g '( x)dx . Si x1  a  u1  g (a)

b
f ( g ( x)) g '( x)dx 
a

g (b )
x2  b  u2  g (b) por lo tanto
f (u )du  F ( g (b))  F ( g (a))
g (a)
Problemas Propuestos.
1.- Calcular el área de la región R acotada por la gráfica de la función f ( x)  2 x  10 , el
eje X y las rectas x  2, x  5
2.- Calcular el área de la región R acotada por la gráfica de la función f ( x)  2 x  x 2 , el eje
X.
3.- Calcular las siguientes integrales definidas:
3.1.-

3
2
x  xdx
3.2.-

4
0
9 x 1  x x dx 3.3.-


0
2
sen3 x cos3 xdx
Prof. Rafael Cristancho
Subproyecto: Cálculo Integral
3.4.-

2


1
3.8.-

x 2  x dx

3.5.-
67

cos3 x dx
3.6.-
0
3
4
cot xdx

3.9.-
e2
1
6

4
3
dx
x ln x
3.10.-

3
1
dx
2
x  3x  2
3.7.-
ex
dx
2x
0 1 e

1
dx
4x  x2
4.- Calcular la derivada de las siguientes funciones:
d
dx

d
4.5.dx

4.1.-
x
sen(t 2 )dt 4.2.-
0
0
6 x 1

6

d
4.6.dx
4t  9dt
5.- Demuestre que:
d
dx




2
6
x
 x4

sen(t 2 )dt 4.3.-
x2
3x
senxdx 
d
dx

1
x
et dt 4.4.2
tan x
d
dx

x
sen(t 2 )dt
0
1
dt
t 1
2

3
6.- Usando suma de Riemann, aproxime el valor de la integral

5
2
1
dx , n  9 y utilice los
x
ci son el extremo derecho del rectángulo.
7.- Demuestre que el área de un trapecio de base mayor h2 , base menor h1 y altura b está
dada por: A 
h2  h1
b
2
8.- Calcule la suma de Riemann para la función f ( x)  x 2  1 , en el intervalo 1,3 cuya
3
5
5
7
partición  : x0  1; x1  ; x2  ; x3  3 y los ci : c1  ; c2  ; c3  3
2
2
4
4
9.- Demuestre que

b
a
xdx 
1 2
(b  a 2 )
2
10.- Sea  una partición regular del intervalo  0, 2 . Exprese lim
n 
integral definida.
n

i 1
4i  2
como una
n2
Prof. Rafael Cristancho
Subproyecto: Cálculo Integral
68
11.- Sea  una partición regular del intervalo 1, 4 . Exprese lim
n
n 

i 1
3
como una
n  3i
integral definida.
INTEGRALES IMPROPIAS.

Definición #16: Si f es continua para toda x  a , entonces

f ( x)dx  lim
t 
a

t
f ( x)dx si
a
el límite existe
Definición #17: Si f es continua para toda x  b , entonces

b

f ( x)dx  lim
t 

b
f ( x)dx si el
t
límite existe
Definición #18: Si f es continua para toda x y c es cualquier número real, entonces



f ( x)dx  lim
t 

c
f ( x)dx  lim
t
w

w
f ( x)dx si los límites existen
c
Definición #19: Si f es continua en toda x del intervalo semiabierto por la izquierda  a, b ,
y si lim f ( x)   , entonces
x a

b
a
f ( x)dx  lim
t a

b
f ( x)dx si el límite existe
t
Definición #20: Si f es continua en toda x del intervalo semiabierto por la derecha  a, b  ,
y si lim f ( x)   , entonces
x b

b
a
f ( x)dx  lim
t b

t
f ( x)dx si el límite existe
a
Definición #21: Si f es continua en toda x del intervalo  a, b excepto en c, donde
a  c  b y si lim f ( x)   , entonces
x c
límites existen.

b
a
f ( x)dx  lim
t c

t
a
f ( x)dx  lim
w c

b
w
f ( x)dx si los
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