Hoja de Métodos numéricos en problemas de valor inicial

Hoja de Métodos numéricos en problemas de valor
inicial
1.
a)
b)
c)
Resuelva numéricamente los siguientes problemas de valor inicial:
2
y' = (y/x) + (y/x), 1 ≤ x ≤ 1.5 con y(1) = 1
y' = sin(y·t) + exp( - t), 1≤ x ≤ π con y(1) = π
y' = arctan(x·y), 0 ≤ x ≤ π/4, y(0) = 1
2.
Compare por diferentes métodos los resultados de las resoluciones numéricas de las siguientes ecuaciones
diferenciales
2
2 1/2
y' = (2·y + (x + y ) )/(2·x), con y(1) = 1 en el intervalo 1 ≤ x ≤ 1.5
2
3
4
y' = 3·x·y /(x + 2·y ), con y(1) = 1 en el intervalo 1 ≤ x ≤ 1.5
2
2
y' + y + (2·x + 1)·y + 1 + x + x = 0, con y(1) = 0 en el intervalo 1 ≤ x ≤ 1.2
2
2
y' = x + y con y(0) = 1
1/2
y' = (x + y) con y(1) = 3
a)
b)
c)
d)
e)
3.
Determine numéricamente la trayectoria ortogonal por el punto y(1) = 1 de la curva que pasando por ese
punto es solución de la ecuación diferencial: y' = - x/y.
4.
Resuelva numéricamente las siguientes ecuaciones diferecniales, comparando los resultados por distintos
métodos.
y" + 4·y' + 4·y = sin(2·t), con y(0) = 0 ; y'(0) = 1
2t
y" + 4·y' + 4·y = e , con y(0) = 0 ; y'(0) = 1
y" = - x·y' - y - 1, con y(0) = 1 ; y'(0) = 1
y" + 4·y' + 4·y = sin(2·t), con y(0) = 0 ; y'(0) = 1
2
y" + x ·y' + 3·y = x, con y(0) = 1 ; y'(0) = 2
x·y" - (x + 1)·y' - y = 0 con y(1) = 0 ; y'(1) = 1
2
2
x ·y" + x·y' + (x - 1/4) = 0 con y(0) = 0; y'(0) = - π1/2
a)
b)
c)
d)
e)
f)
g)
3
5.
Representar gráficamente, en el intervalo [0,50], la solución del problema de valor inicial y" + k·y' + y
=A·cos(w·x), siendo k = 0.05, w = 1 y A = 7.5, en los siguientes casos: a) y(0) = 3, y'(0) = 3; b ) y(0) = 3 , y'(0)
= 3.0003. Comentar el resultado. (Este ejercicio ha de hacerse programando en Maple algunos métodos
numéricos).
6.
Obtener con diez cifras decimales exactas el número e, por resolución numérica de las siguientes
t
ecuaciones diferenciales: a) y' - y = 0 con y (0 ) = 1; b) y' - y = e con y(0) = 0. (Este ejercicio ha de hacerse
programando en Maple algunos métodos numéricos).
7.
Determinar por Euler, Taylor de tercer orden, Runge-Kutta, Adams-Bashforth y Adams-Moulton el valor de
2
2
x(2) en el siguiente problema de valor inicial x' = (x + 2·t·x)/(3+ t ) con x(1) = 2.
8.
Determinar por Euler, Taylor de tercer orden, Runge-Kutta, Adams-Bashforth y Adams-Moulton el valor de
x(4) e y(4) en el siguiente problema de valor inicial: x' = x·(1 - x - y); y' = y·(0.5 - 0.25·y - 0.75·x) con x(0) = 5
e y(0) = 7.