Métodos Numéricos de L. en Química. Curso 2004/2005 Ejercicios

Métodos Numéricos de L. en Química. Curso 2004/2005
Ejercicios del capítulo 2.
1. Utilice el método de Euler para aproximar la solución del P.V.I. en cada uno de los casos siguientes:
2
" y% " y%
a) y! = $ ' + $ ' , con y(1) = 1, h=0.1, e intervalo: [1, 1.4].
# x& # x&
b) y! = sen(x) + e" x , con y(0) = 0, h=0.5, e intervalo: [0, 1].
c) y! =
(
)
1 2
y + y , con y(1) = "2, h=0.5, e intervalo: [1, 3].
x
2. Utilice el método de Taylor de orden 2 para aproximar la solución, en cada caso, del P.V.I. tomando
una partición uniforme de 5 subintervalos.
a) y! = x 2 , con y(0) = 0, e intervalo: [0, 2].
b)
y! = xy, con y(0) = 1, e intervalo: [0, 2].
c) y! = "5y + x + 1, con y(0) = 1, e intervalo: [0, 1].
3. Para el P.V.I.: y! =
2y
+ x 2 e x , con y(1) = 0, en
x
[1,2 ] , con solución exacta:
(
)
y = x 2 ex ! e .
a) Utilice el método de Euler para aproximar la solución tomando una partición uniforme de 20
subintervalos y compare con los valores exactos.
b) Con los valores obtenidos en a), estime los valores y(1.04), y(1.97) mediante interpolación lineal
apropiada y compare con los valores exactos.
4. Para el P.V.I. :
y! =
2y
+ x 2 e x , con y(1) = 0, en
x
[1,2 ]
a) Compare los resultados, para 10 intervalos, con los métodos de Euler y Taylor de orden 2.
b) Compare Taylor de orden 2 y h=0.1 con Runge-Kutta clásico y h=0.25
c) ¿Qué ocurre en los nodos comunes para Euler con h=0.1 y Runge-Kutta clásico con h=0.5?
5. Un proyectil de masa m=0.11 Kg. se lanza verticalmente hacia arriba con una velocidad inicial
v(0)=8 m/s y se va frenando debido a la gravedad ( Fg = !mg ) y a la resistencia del aire ( Fa = !kv 2 )
donde suponemos que g=9.8 m/s2 y k=0.002 Kg./m. Así, la velocidad del proyectil respecto del
tiempo (en segundos) viene descrita por la ecuación diferencial: m
dv
= !mg ! kv 2
dt
a) Determine la velocidad aproximada tras 0.1, 0.2, ...., 1.0 seg. usando el método de Taylor de orden
2.
b) Utilice el método de Runge-Kutta para determinar el tiempo aproximado que tarda el proyectil en
alcanzar su máxima altura.
6. La reacción química irreversible siguiente:
= cte cinética
2K 2Cr2O7 + 2H 2O + 3S !k!!!!
" 4KOH + 2Cr2O3 + 3SO2
2
2
dy
y% "
y% "
3y %
"
= k $ n1 ! ' $ n2 ! ' $ n3 ! '
#
dt
2& #
2& #
4&
se rige por la ecuación diferencial:
2
donde y=y(t) es la cantidad de hidróxido de potasio formado en el tiempo t, n1 es el número
inicial de moléculas de K 2Cr2O7 ,
n2 es el de H 2O , y
n3 es el de azufre. Si tomamos los
k = 1.62 ! 10 "19 ,
¿Cuántas unidades de KOH se
valores n1 = n2 = 1000, n3 = 1500, y
formarán tras 2 segundos? (Use los métodos de Taylor de orden 2 y de Runge-Kutta con pasos
h=0.1 y 0.2 respectivamente).
7. Para el P.V.I.
y! =
2y
+ x 2 e x , con y(1) = 0, en
x
[1,2 ]
a) Utilice el método predictor-corrector de Milne-Simpson para aproximar la solución tomando una
partición uniforme de 20 subintervalos y compare con los valores exactos (ver ejer. 3).
b) Con los valores obtenidos en a), estime los valores y(1.04), y(1.97) mediante interpolación lineal
apropiada y compare con los valores exactos.
8. Suponga que dos tanques de A y B están conectados por sendos conductos por los que se bombean las
mezclas de un tanque a otro según los datos de la figura 1. Simultáneamente, fluye al tanque A una
mezcla a razón de 3 l/s con 1g/l de concentración y del tanque B sale la mezcla a razón de 3 l/s.
Describa el sistema de ecuaciones diferenciales para las funciones que representan las cantidades de
sal que hay en cada tanque respecto del tiempo y resuélvalo numéricamente usando el método de
Taylor de orden 2 (adaptado a sistemas) en el intervalo de tiempo que iguala los volúmenes.
1 l/s.
80 l. de
agua
pura.
A
5 l/s.
B
60 l. con
10 g de sal
Figura 1: Esquema de flujo entre los tanques A y B.