02 Selectividad (PAU-Mat II)_Álgebra

ÁLGEBRA
1.
(Junio, 1994) Comprueba que el determinante
2.
(Junio, 1994) Considerar la matriz A = ⎜
−3 1 1 1
1 −3 1 1
1
1 −3 1
1
1 1 −3
es nulo sin desarrollarlo. Explica el proceso que sigues.
⎛ 2 1 ⎞
. Probar que las matrices de la forma B = k ⋅ A + r ⋅ I 2 , donde k y r son números
⎝ 1 1 ⎟⎠
reales e I 2 la matriz unidad 2x2, conmutan con la A, es decir, A ⋅ B = B ⋅ A .
3.
(Junio 1994) Discutir y resolver el siguiente sistema dependiente del parámetro a perteneciente a los números reales:
⎧ x + ay = 0
⎪
⎨ax + y = −2
⎪2x + az = 0
⎩
4.
⎛ 1 1n ⎞
⎟ . Calcular:
⎝ 0 1 ⎠
(Septiembre,1994) Dada la matriz A = ⎜
a) La potencia enésima A n . b)
5.
La inversa A −1 .
(Junio,1995) Sea U una matriz cuadrada nxn con todos sus elementos iguales a 1, sea I n la matriz unidad nxn y sea α un número
real. Escribir la matriz α ⋅U − α ⋅ I n y calcular su determinante.
6.
⎧ ax + y + z =1
⎪
(Junio 1995) Discutir el siguiente sistema según los valores del parámetro a, y resolverlo cuando sea posible: ⎨ x + a y + z = a
⎪ x + y + 2z = a 2
⎩
7.
(Junio, 1995) Encontrar todas las matrices A tal que:
8.
(Septiembre, 1995) Se dice que una matriz nxn cuadrada A es ortogonal si A ⋅ A = I n , donde A es la matriz traspuesta de A, e I n
⎛ 0 1 2 ⎞
⎛ 1 2 ⎞
⎜⎝ 1 0 0 ⎟⎠ ⋅ A = ⎜⎝ 1 0 ⎟⎠ .
t
t
es la matriz unidad nxn. Se pide:
a) Estudiar si la matriz traspuesta y la matriz inversa de una matriz ortogonal son matrices ortogonales.
b) Si A es ortogonal, hallar A .
9.
(Septiembre,1995) Calcular, sin desarrollar, el siguiente determinante, enumerando las propiedades de los determinantes utilizadas:
5
5
5
5
5
1
2
1
1
1
1
1
3
1
1
1
1
1
4
1
1
1
1
1
5
10. (Septiembre 1995) Discutir el siguiente sistema, según los valores del parámetro a, y resolverlo cuando sea posible:
⎧
x + y − z =1
⎪
4x + ay = 5
⎨
⎪ 3x + a y − az = 5
⎩
Problemas de Selectividad __________________
⎛ 1 a b +c
11. (Junio, 1996) Sin desarrollarlo, calcular razonadamente el valor del determinante de la matriz : A = ⎜ 1 b c + a
⎜
⎝ 1 c b +a
Deducir de ahí los posibles valores del rango de A.
⎛ 1
3
1
12. (Junio, 1996) Hallar el rango de la matriz A = ⎜ 1 a 2 + a +1 a
⎜
a−4
a−2
⎝ −1
la inversa de A.
⎞
⎟.
⎟
⎠
⎞
⎟ , según sea el valor del parámetro a. Indicar cuando existe
⎟
⎠
⎛
⎞
⎛
⎞
13. (Septiembre, 1996) Sean A = ⎜ 1 1 ⎟ , B = ⎜ 1 1 ⎟ y 02 la matriz nula 2x2. Se pide:
⎝ −1 0 ⎠
⎝ −1 −1 ⎠
a) Encontrar todas las matrices X tales que A ⋅ X = B .
b) Encontrar todas las matrices Y tales que Y ⋅ B = 02 .
⎧
x + y =1
⎪
14. (Septiembre 1996) Hallar el valor o valores de a para que el sistema ⎨ x + 2 y + (a +1)z =1 , sea compatible e indeterminado .
⎪ − x − y + (a +1)z = a
⎩
Resolverlo en esos casos.
⎧ ax − y + z = 0
⎪
15. (Junio 1997) Discutir el sistema ⎨ x + y + az = 3
⎪
− x + y =1
⎩
infinitas soluciones.
⎛ 0 0 0
16. (Junio, 1997) Dada la matriz A = ⎜ 1 0 0
⎜
⎝ 0 1 0
positivo.
según los valores del parámetro a. Resolverlo en los casos en los que admita
⎞
⎟ encontrar todas las matrices B tales que A ⋅ B = B ⋅ A ; calcular A n con n entero
⎟
⎠
⎛ 1 0 0
17. (Septiembre,1997) Dadas las matrices A = ⎜ 0 2 1
⎜
⎝ 0 5 3
⎞
⎛ 0 0 1 ⎞
⎟ y B = ⎜ 0 1 0 ⎟ hallar la matriz X dada por A ⋅ X ⋅ A −1 = B .
⎟
⎜
⎟
⎠
⎝ 1 0 0 ⎠
⎛ 1 a
1 −1 ⎞
⎜
18. (Septiembre, 1997) Hallar el rango de la matriz A = 0 1 a −1 0 ⎟ según el valor del parámetro a.
⎜
⎟
−1 ⎠
⎝ 1 1 a
⎧ x + (a 2 −1)y + az =1
⎪
19. (Junio 1998) Discutir el sistema ⎨ (a 2 −1)y + (a −1)z = 0 según sea el valor del parámetro a. Hallar, si existe, la solución del mismo
⎪
x + a 2z = 0
⎩
cuando a = 0.
⎛ 1
0
0
⎜
20. (Junio,1998) Determinar a, b y c para que la matriz A = ⎜ 0 1 2 1 2
⎜⎝ a
b
c
⎞
⎟
t
⎟ verifique que su traspuesta A coincide con su
⎟⎠
inversa A −1 . Calcular en todos esos casos la matriz A 4 .
⎧
x +z =0
⎪
ax + y + z = 0 admita infinitas
21. (Septiembre 1998) Hallar los valores del parámetro a para que el sistema de ecuaciones: ⎨
⎪ x + (a −1)y + az = 0
⎩
soluciones. Resolverlo en cada uno de esos casos.
—2—
____________________________ Álgebra
⎛
⎞
⎛
⎞
22. (Septiembre 1998) Dadas las matrices A = ⎜ 2 −2 ⎟ y B = ⎜ 0 1 ⎟ , encontrar todas las matrices X (2x2) tales que X ⋅ A = X
⎝ 2 −3 ⎠
⎝ 1 0 ⎠
y todas las matrices Y (2x2) tales que Y ⋅ A = B .
⎧
⎛
⎞
⎪ 2X − Y = ⎜ 2 −3 ⎟
⎝ 1 −5 ⎠
⎪
23. (Junio 1999) Las matrices X e Y son las soluciones del sistema de ecuaciones matriciales ⎨
⎪ X + 2Y = ⎛ 1 −4 ⎞
⎜⎝ 3 0 ⎟⎠
⎪
⎩
Se pide hallar X e Y y calcular si tiene sentido X −1 e Y −1 (razonar la posible respuesta negativa).
⎧ ax + 7 y + 20z
⎪⎪
24. (Junio 1999) Discutir según el valor del parámetro a el sistema lineal: ⎨ ax + 8 y + 23z
⎪
x − az
⎪⎩
= 1
= 1
= 1
y resolverlo en los casos en que tenga infinitas soluciones.
⎛ 1 0 −1 ⎞
25. (Septiembre 1999) Hallar en función de a el rango de la matriz A = ⎜ 0 a −3 ⎟ y calcular cuando exista la matriz inversa A −1
⎜
⎟
⎝ 4 1 a ⎠
en los casos a = 1 y a = –1.
26. (Septiembre 1999) Disponemos de tres lingotes de distintas aleaciones de tres metales A, B y C. El primer lingote contiene 20 g del
metal A, 20 g del metal B y 60 del C. El segundo contiene 10 g de A, 40 g de B y 50 g de C. El tercero contiene 20 g de A, 40 g de B y
40 g de C. Queremos elaborar a partir de estos lingotes uno nuevo que contenga 15 g de A, 35 g de B y 50 g de C. ¿Cuántos gramos
hay que coger de cada uno de los tres lingotes?
27. (Junio 2000) Hallar, si existe, una matriz A cuadrada 2x2 que cumple las siguientes condiciones
1) Coincide con su traspuesta
⎛
⎞ ⎛
⎞ ⎛
⎞
2) Verifica la ecuación matricial: ⎜ 1 1 ⎟ ⋅ A ⋅ ⎜ 1 -1 ⎟ = ⎜ −3 −3 ⎟ .
⎝ −1 −1 ⎠ ⎝ 0 1 ⎠ ⎝ 3 3 ⎠
3) Su determinante vale 9.
⎧
x + z =1
⎪
28. (Junio 2000) Discutir, según los valores del parámetro a, el siguiente sistema: ⎨ y + (a −1)z = 0
⎪ x + (a −1)y + az = a
⎩
Resolverlo en todos los casos de compatibilidad.
⎛ 0 0 1
29. (Septiembre 2000) Dada la matriz A = ⎜ 0 a 0
⎜
⎝ −1 0 −2
⎞
⎟ se pide:
⎟
⎠
a) Hallar el valor o valores de a para que se cumpla la igualdad A 2 + 2A + I3 = 03 siendo I3 la matriz identidad de orden 3 y 03 la
matriz nula de orden 3.
b) Calcular en estos casos la matriz inversa de A.
30. (Septiembre 2000) Sea A una matriz 4 x 4 cuyas filas de arriba abajo son F1, F2 , F3 y F4 y cuyo determinante vale 2.
⎛
⎜
Sea B = ⎜
⎜
⎜⎝
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
0
0
1
0
0
⎞
⎟
⎟ . Calcular razonadamente:
⎟
⎟⎠
a) El determinante de la matriz A ⋅ B .
b) El determinante de la matriz 3⋅ A .
c) El determinante de la matriz cuyas filas son (de arriba abajo) : 2F1 + F2 , − F2 , 3F4 y F3 + F1 .
—3—
Problemas de Selectividad __________________
⎛ 0 a 0
31. (Junio 2001) Dadas las matrices A = ⎜ 0 0 a
⎜
⎝ 0 0 0
⎞
⎛ 1 0 0
⎟ e I =⎜ 0 1 0
3
⎟
⎜
⎠
⎝ 0 0 1
⎞
⎟ se pide:
⎟
⎠
a) Hallar A n para todo entero positivo n.
b) Calcular, si existe, la inversa de la matriz A y de la matriz I3 + A .
32.
(Junio 2001) Tenemos unas matriz 3 x 3 cuyas columnas son (de izquierda a derecha): C 1, C 2 y C 3 y su determinante vale 2.
a) Se considera la matriz A cuyas columnas son (de izda a dcha): −C 2 , C 3 + C 2 , 3C 1 , calcular razonadamente el determinante de la
matriz A −1 caso de que esta matriz inversa exista.
b) Sea ahora la matriz cuyas columnas son : C 1 + C 2 , C 2 + C 3 , C 3 − C 1 . Razonar la existencia o no existencia de la matriz inversa de
la misma.
⎧ x + 2y + z = a
⎪
33. (Septiembre 2001) Dado el sistema de ecuaciones dependientes del parámetro a: ⎨ x + y − az = a , se pide:
⎪ 2x + 3 y + z = a
⎩
a) Discusión del mismo en función del parámetro a.
b) Resolución en los casos de compatibilidad.
⎛ 2 0 0 ⎞
34. (Septiembre 2001) Dadas las matrices A = ⎜ 1 2 1 ⎟
⎜
⎟
⎝ 0 0 2 ⎠
e
⎛ 1 0 0
I3 = ⎜⎜ 0 1 0
⎝ 0 0 1
⎞
⎟ se pide:
⎟
⎠
a) Calcular A 2 − 4A + 4I3 .
b) Calcular, si existe, la inversa de la matriz A.
⎧ (a 2 −1)x + (a −1)y = 0
⎪⎪
35. (Junio 2002) a) Discute el sistema según el valor del parámetro a: ⎨
a2y + z = 0
⎪
2
⎪⎩ (a −1)x + ay + z =1
b) Halla, si existe, la solución cuando a = 4.
⎧⎪⎛
⎫⎪
⎞
36. (Junio 2002) Sea M = ⎨⎜ a b ⎟ / a, b ∈ ⎬
⎩⎪⎝ b a ⎠
⎭⎪
a) Prueba que si A, B ∈M también A + B y A ⋅ B están en M.
b) Determina las matrices C ∈M que verifican que C 2 = 2⋅ C .
⎛ 1 0 1
37. (Septiembre 2002) Sean A y B las matrices siguientes: A = ⎜ 0 2 0
⎜
⎝ 1 1 0
⎞
⎟
⎟
⎠
⎛ 0 1 1
B = ⎜⎜ 1 1 0
⎝ 0 0 2
⎞
⎟
⎟
⎠
Es fácil comprobar que ambas tienen el máximo rango, que es 3. Pero ¿qué ocurre si las combinamos linealmente? En concreto, estudia
el rango de la matriz A + λ ⋅ B según los valores del parámetro λ.
⎧ 2x + y − z = 0
⎪
38. (Septiembre 2002) a) Discute el sistema de ecuaciones: ⎨ ax − y − z = a −1
⎪
⎩ 3x − 2az = a −1
b) Halla, si existe, la solución cuando a = 0.
según el valor del parámetro a.
39. (Junio 2003) Luis Juan y Oscar son tres amigos. Luis le dice a Juan: si te doy la tercera parte del dinero que tengo, los tres tendremos
la misma cantidad. Calcular lo que tiene cada uno de ellos sabiendo que entre los tres reúnen 60 €.
—4—
____________________________ Álgebra
40. (Junio 2003) Buscar la matriz cuadrada X (pueden existir varias) cuyo primer elemento valga 2 y tal que la siguiente suma:
⎛ 2 −2 ⎞
⎛ −1 −1 ⎞
⎜⎝ 6 0 ⎟⎠ ⋅ X + X ⋅ ⎜⎝ 11 −1 ⎟⎠ sea la matriz nula. (Nota: El primer elemento de una matriz es el que está en la primera fila y en la
primera columna, es decir, el que escribimos en la parte superior izquierda)
⎧ax + y − z =1
⎪
41. (Septiembre 2003) Discutir el sistema de ecuaciones ⎨ x + 2 y − az = 2
según los valores del parámetro a. Entre los valores de a
⎪− x + y − z = a −1
⎩
que hacen el sistema compatible elegir uno en particular y resolver el sistema al remplazar a por el valor elegido.
⎛
42. (Septiembre 2003) Sean las matrices A = ⎜ 1 −1
⎝ 4 2
Determinar los valores de c tales que la matriz A + c ⋅ B
suma?
⎞
⎛ 1 0
⎟⎠ y B = ⎜⎝ 4 −1
ya no tenga rango
⎞
⎟⎠ . Vemos que ambas tiene rango máximo, o sea 2.
2. ¿Cuál es el rango que tienen las respectivas matrices
43. (Junio 2004) Cuando el año 1800 Beethoven escribe su primera Sinfonía, su edad es diez veces mayor que la del jovencito Franz
Schubert. Pasa el tiempo y es Schubert quien compone su célebre Sinfonía Incompleta. Entonces la suma de los edades de ambos
músicos es igual a 77 años. Cinco años después muere Beethoven y en ese momento Schubert tiene los mismos años que tenía
Beethoven cuando compuso su primera Sinfonía. Determinar el año de nacimiento de cada uno de estos dos compositores. (Nota:
Solamente se calificarán los resultados obtenidos matemáticamente, no los derivados de los conocimientos histórico-musicales del
examinando)
⎧ x + 3y + z = 5
⎪
44. (Junio 2004) Sea el sistema ⎨ax + 2z = 0 . Se pide clasificarlo según los valores del parámetro a y resolverlo si en algún caso es
⎪ay + z = a
⎩
compatible indeterminado.
⎧ x + 2 y − 2z = 0
⎪
45. (Septiembre 2004) Sea el sistema homogéneo de ecuaciones ⎨ax − y + z = 0 :
⎪z + 2ay − z = 0
⎩
a) Determinar el valor o valores del parámetro a para que el sistema tenga soluciones distintas a la nula.
b) Resolver el sistema para el valor o valores de a en el apartado anterior.
⎛
⎞
⎛
⎞
46. (Septiembre 2004) Determinar una matriz cuadrada X que verifique: A ⋅ X + X ⋅ A = ⎜ 2 −2 ⎟ siendo A = ⎜ 1 0 ⎟ .
⎝ 3 3 ⎠
⎝ 1 1 ⎠
Luego analizar si la matriz X es inversible, y en el caso de serlo calcular su matriz inversa.
47. (Junio 2005) Eva, Marta y Susana son tres jóvenes amigas que se comprometen a leer El Quijote este verano. Cada una por separado
y en función del tiempo del que dispone, decide leer un mismo número de páginas cada día hasta terminar la obra. Eva leerá diariamente
5 páginas más que Marta y ésta 6 páginas más que Susana. Por ello Eva terminara la obra dos semanas antes que Marta y ésta 30 días
antes que Susana. Se pregunta cuál es el total de páginas que tiene la versión de la inmortal obra cervantina que leen estas tres amigas.
⎧ x + 2 y − az = 0
⎪
48. (Junio 2005) La terna (0, 0, 0) es siempre solución del sistema: ⎨ax − y + z = 0 independientemente del valor del parámetro a.
⎪2ax + y − z = 0
⎩
a) Indicar para qué valores del parámetro la citada terna es la única solución del sistema.
b) Indicar algún valor del parámetro, si existe, para el cual el sistema tenga algunas soluciones distintas de la nula y mostrar estas
soluciones. (Nota: Si se encuentran varios valores del parámetro cumpliendo la condición pedida, para responder a esta cuestión
basta tomar uno solo de ellos)
49. (Septiembre 2005) A, B y C son tres ciudades que forman un triángulo de manera que entre cada dos de ellas hay una carretera recta
que las une. Se sabe que si se va de A hasta B dando la vuelta por C se hace un recorrido tres veces mayor que si se va directamente
desde A hasta B. Asimismo si para ir de A hasta C se da la vuelta por B el recorrido es el doble que si se va directamente de A hasta C.
Calcular las distancias entre las tres ciudades sabiendo que la suma de las tres distancias es igual a 120 kilómetros.
—5—
Problemas de Selectividad __________________
⎧λx + y + z =1
⎪
50. (Septiembre 2005) Estudiar según el valor del parámetro λ, el sistema de ecuaciones ⎨ x + λy + z = λ y resolverlo si en algún caso
⎪x + y + z = λ 2
⎩
es compatible indeterminado.
⎛ 1 3 ⎞
⎛ 1 2 λ ⎞
51. (Junio 2006) Se consideran las matrices: A = ⎜
y B = ⎜⎜ λ 0 ⎟⎟ , donde λ es un número real.
⎟
⎝ 1 −1 −1 ⎠
⎝ 0 2 ⎠
a) Encontrar los valores de λ para los que la matriz A ⋅ B tiene inversa.
⎛ x ⎞
⎛
⎞
b) Dados a y b números reales cualesquiera, ¿puede ser el sistema A ⋅ ⎜ y ⎟ = ⎜ a ⎟ compatible determinado siendo A la matriz
⎜
⎟ ⎝ b ⎠
⎜⎝ z ⎟⎠
del enunciado?
⎛ a 2 ab ab
⎜
52. (Junio 2006) Sea la matriz A = ⎜ ab a 2 b 2
⎜⎝ ab b 2 a 2
⎞
⎟
⎟:
⎟⎠
a) Sin utilizar la regla de Sarrus, calcular el determinante de dicha matriz.
b) Estudiar el rango de A en el caso de que b = –a.
53. (Septiembre 2006) La liga de fútbol de un cierto país la juegan 21 equipos a doble vuelta. Este año, los partidos ganados valían 3
puntos, los empatados 1 punto y los perdidos 0 puntos. En estas condiciones, el equipo campeón de liga obtuvo 70 puntos. Hasta el
año pasado los partidos ganados valían 2 puntos y el resto igual. Con el sistema antiguo, el actual campeón hubiera obtenido 50 puntos.
¿Cuantos partidos gano, empato y perdió el equipo campeón?.
54. (Septiembre 2006) Teniendo en cuenta que
a b c
p q r = 7 , calcular el valor del siguiente determinante sin desarrollarlo:
x y z
3a
3b
a+p
b +q
−x + a −y + b
3c
c +r
−z + c
⎧ x + 3y + z = 5
⎪
55. (Junio 2007) Considerar el sistema lineal de ecuaciones en x, y , z: ⎨mx + 2z = 0
⎪my − z = m
⎩
a) Determinar los valores del parámetro m para los que el sistema tiene solución única. Calcular dicha solución para m = 1.
b) Determinar los valores del parámetro m para los que el sistema tiene infinitas soluciones. Calcular dichas soluciones.
c) Estudiar si existe algún valor de m para el cual el sistema no tiene solución.
56. (Junio 2007) Un cajero automático contiene 95 billetes de 10, 20 y 50 euros y un total almacenado de 2000 euros. Si el número total
de billetes de 10 euros es el doble que el número de billetes de 20, averiguar cuantos billetes de cada tipo hay.
⎛
1 ⎞ y I =⎛ 1 0 ⎞
57. (Septiembre 2007) Dadas las matrices A = ⎜ 3
2
⎜⎝ 0 1 ⎟⎠
⎝ −8 −3 ⎟⎠
(
)
2
a) Comprobar que det(A 2 ) = det(A ) .
⎛
⎞
b) Estudiar si para cualquier matriz M = ⎜ a b ⎟ de orden 2 se cumple que det(M 2 ) = det(M )
⎝ c d ⎠
(
)
2
c) Encontrar la relación entre los elementos de las matrices M cuadradas de orden 2 que satisfacen det(M + I 2 ) = det(M )+ det(I 2 ) .
—6—
____________________________ Álgebra
58
⎛ 1 k t ⎞
⎛ 0 α β ⎞
(Septiembre 2007) Sean A = ⎜ 0 0 α ⎟ y B = ⎜ 0 1 k ⎟
⎜
⎟
⎜
⎟
⎜⎝ 0 0 0 ⎟⎠
⎝ 0 0 1 ⎠
a) Estudiar para qué valores de α y β la matriz A tiene inversa.
b) Calcular A 5 .
c) Hallar la matriz inversa de B.
⎛ 0 1 1
59. (Junio 2008) a) Sean A, B, I3 las matrices: A = ⎜ 1 1 0
⎜
⎝ 1 0 0
⎞
⎛ 6 −3 −4 ⎞
⎛ 1 0 0
⎟ , B = ⎜ −3 2 1 ⎟ e I = ⎜ 0 1 0
⎟
⎜
⎟ 3 ⎜
⎠
⎝ −4 1 5 ⎠
⎝ 0 0 1
⎞
⎟
⎟
⎠
Estudiar si existe algún valor de λ ∈ para el cual se satisfaga (A − λ ⋅ I3 )2 = B
b) Teniendo en cuenta que
x y z
1 0 2 =1 , determinar el valor de
1 1 3
x 14
4
y 0 4 .
z 1 2 12
⎧ x + 3 y − az = 4
⎪
⎪−ax + y + az = 0
60. (Junio 2008) Dado el sistema ⎨
, discutirlo según los valores de a, y resolverlo cuando sea compatible.
⎪− x + 2ay = a + 2
⎪⎩2x − y − 2z = 0
⎛
⎞
61. (Septiembre 2008) Hallar una matriz X = ⎜ a b ⎟ de orden 2 tal que A −1 ⋅ X ⋅ A = B , siendo
⎝ c d ⎠
;
⎛
⎞
⎛
⎞
A = ⎜ 3 1 ⎟ y B = ⎜ 1 −1 ⎟ .
⎝ −2 −1 ⎠
⎝ 2 1 ⎠
62. (Septiembre 2008) a)
Probar que
1
a
a2
1 1
b c = (b − a )(c − a )(c − b )
b2 c2
⎧ x + 2 y + 3z = 0
b) Hallar la solución del sistema de ecuaciones ⎨
que además satisface que la suma de los valores correspondientes
⎪⎩ x + 4 y + 9z = 2
a cada una de las incógnitas es 4.
⎧ x + y + z =1
⎪
63. (Junio 2009) Discutir y resolver en función de los valores del parámetro m el sistema lineal ⎨mx + m 2 y + m 2 z =1 .
⎪mx + my + m 2 z =1
⎩
b) Teniendo en cuenta que
0 1 1
1 0 1 = 2 , determinar el valor del determinante
1 1 0
0
a a2
−1
a
0 a
−2
a
a −1 0
.
110
⎛ 1 0 0
64. (Junio 2009) a) Dada la matriz A = ⎜ 1 1 0
⎜
⎝ 0 0 1
⎞
⎟ , calcular la inversa de la matriz A n .
⎟
⎠
b) Estudiar para qué valores del parámetro α ∈ , existe un único polinomio P ( x ) = ax 2 + bx + c que satisface que:
P (0) = α , P (1) = 0, P (−1) = 0 .
—7—
Problemas de Selectividad __________________
65. (Septiembre 2009) a)
⎛
⎞
⎛
⎞
Sean las matrices A = ⎜ 2 a ⎟ , I 2 = ⎜ 1 0 ⎟ de orden 2. Hallar la relación entre los parámetros
b
c
0
1
⎝
⎠
⎝
⎠
a, b, c para que se verifique que A −1 = 2⋅ I 2 − A .
⎛ 1 −2 1 ⎞
b) Calcular, en función de los valores del parámetro k, el rango de la matriz B = ⎜ 1 1 3 ⎟ .
⎜
⎟
⎝ 5 −1 k ⎠
66. (Septiembre 2009) a)
Resolver el siguiente determinante sin utilizar la regla de Sarrus:
⎛ −1 2 3 4
b) Para , M = ⎜
⎜⎝ 1
12
a
b
c
− a + c − b − a −c + b
a +c
b −a
c +b
⎞
n
⎟ , calcular M con n ∈ .
⎟⎠
⎛ a
0
2a
67. (Junio 2010) a) Estudiar para qué valores de a el determinante de la matriz A = ⎜ 0 a −1 0
⎜
0 −a
⎝ −a
obtener el determinante de la matriz 2⋅ A .
⎞
⎟ , es no nulo. Para a = 3
⎟
⎠
⎛ 1 −1 ⎞
⎛
⎞
b) Sean las matrices: A = ⎜ 2 0 ⎟ y B = ⎜ 1 2 −1 ⎟ . Calcular el rango de (A ⋅ B )t .
⎜
⎟
⎝ 0 3 −1 ⎠
⎝ 0 3 ⎠
⎛
⎞
68. (Junio 2010) a) Estudiar para qué valores de x, la matriz inversa de ⎜ x −2 ⎟ coincide con su opuesta.
⎝ 5 −x ⎠
b) Dos hermanos de tercero y cuarto de primaria iban camino del colegio con sus mochilas cargadas de libros todos del mismo peso.
Uno de ellos se lamentaba del peso que transportaba y el otro le dijo: “¿De qué te quejas? Si yo te cogiera un libro, mi carga sería el
doble que la tuya. En cambio si te diera un libro, tu carga igualaría a la mía.”
¿Cuántos libros llevaba cada hermano?
69. (Septiembre 2010) a)
⎧ax + y = 0
⎪
Discutir y resolver cuando sea posible el siguiente sistema lineal: ⎨−2x + y + az =1 .
⎪ y + az =1
⎩
⎛ 1 ⎞
b) ¿Existe algún valor del parámetro a para el cual el vector ⎜ 2 ⎟ sea solución del sistema anterior?
⎜
⎟
⎝ 0 ⎠
⎛ cos α
70. (Septiembre 2010) Dada la matriz ⎜ − senα
⎜
⎜⎝
0
senα
cos α
0
0
0
β
⎞
⎟
⎟
⎟⎠
a) Estudiar si existen valores de α y β para los cuales la matriz A sea simétrica. ¿Será la matriz B = A ⋅ A t igual a la matriz identidad en
algún caso?
b) Razonar cuál es la relación entre el determinante de A y el de B.
⎛ x ⎞ ⎛ 1
c) Discutir y resolver cuando sea posible el sistema B ⋅ ⎜ y ⎟ = ⎜ 1
⎜
⎟
⎜⎝ z ⎟⎠ ⎜⎝ 1
—8—
⎞
⎟.
⎟
⎠