bloque 2
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1 ÍNDICE BLOQUE 1 OPERACIONES CON FUNCIONES.………………………………….….9 1.1 Funciones y relaciones ................................................................................ 12 1.2 Representación de funciones ....................................................................... 15 1.3 Clasificación de funciones............................................................................ 23 1.4 Operaciones con funciones .......................................................................... 29 BLOQUE 2 FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACION DE GRAFICAS 30 2.1 La función inversa ........................................................................................ 33 2.2 Funciones especiales................................................................................... 37 2.3 Traslaciones verticales y horizontales del gráfico de una función ................ 38 2.4 Reflexiones en los gráficos .......................................................................... 40 BLOQUE 3 FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADO CERO, UNO Y DOS…..43 3.1 La función constante y la función lineal........................................................ 46 3.2 La función polinomial de grado dos: la función cuadrática ........................... 51 3.3 Problemas de máximos y mínimos y modelos cuadráticos .......................... 54 BLOQUE 4 FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADO TRES Y CUATRO….….61 4.1 La función polinomial de grado tres ............................................................. 64 4.2 La función polinomial de grado cuatro ......................................................... 70 BLOQUE 5 FUNCIONES POLINOMIALES FACTORIZABLES………………...…73 5.1 Cero y raices complejas ............................................................................... 76 5.2 Propiedades de la factorización de un polinomio de grado n ....................... 77 5.3 Métodos para obtener las raíces de un polinomio de grado n .................... 80 5.4 Teorema fundamental del álgebra .............................................................. 83 5.5 Gráfica de una función polinomial ................................................................ 84 BLOQUE 6 FUNCIONES RACIONALES……………………………………………..92 6.1 El concepto de función racional ................................................................... 95 6.2 Raíces de la función racional ....................................................................... 96 6.3 Potencias enteras negativas ....................................................................... 99 6.4 Asíntotas horizontales, oblicuas y curvas ................................................. 104 BLOQUE 7 FUNCIONES EXPONENCIALES Y LOGARITMICAS………………107 7.1 La función exponencial .............................................................................. 110 2 7.2 La función logaritmica ............................................................................... 114 7.3 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas ................................................. 116 7.4 Apliciones de las funciones exponencial y logarítmica .............................. 120 BLOQUE 8 FUNCIONES PERIODICAS ……………………………………………123 8.1 Funciones periódicas ................................................................................ 126 8.2 Amplitud .................................................................................................... 127 8.3 Periodo, frecuencia y fase ......................................................................... 127 8.4 Aplicando las propiedades de traslación ................................................... 129 3 REGLAMENTO 1. El Colegio de Educación Media Superior Abierta tiene reconocimiento de validez oficial de estudios (RVOE) de la Secretaría de Educación del Gobierno del Estado (SEGE). Acuerdo B0170, clave de centro de trabajo 24PBH0125 2. El plan de estudios es de la Dirección General de Bachillerato (DGB) y es válido en todo el país. Consta de tres módulos: Módulo Básico (31 asignaturas), Módulo Propedéutico (8 asignaturas) y Módulo de Formación para el Trabajo (1 especialidad). 3. El estudiante puede presentar exámenes por materia agrupando asignaturas seriadas excepto matemáticas quedando de la siguiente manera: Modulo Básico (20 materias), Módulo Propedéutico (4 materias) y Módulo de Formación para el Trabajo (1 especialidad) 4. Al concluir sus estudios se entrega un certificado de Bachillerato General, válido para cualquier carrera en cualquier Institución de educación superior en todo el país. 5. Se reconocen los estudios parciales realizados en cualquier institución de educación media superior presentando un certificado parcial legalizado de la escuela de procedencia, se tramita una equivalencia de estudios ante Secretaría de Educación y continúa con las asignaturas que le faltan para concluir sus estudios de Bachillerato. 6. La inscripción ante la Secretaría de Educación es Bimestral y se pueden reportar máximo 8 asignaturas por bimestre posterior al bimestre de inscripción. La inscripción y la presentación de exámenes en el Colegio es permanente. 7. Los requisitos para la inscripción en Secretaría de Educación: Certificado de Secundaria, original, Acta de Nacimiento original, copia del CURP y Certificado Parcial legalizado en caso de haber cursado estudios de bachillerato inconclusos. No existe límite de edad para el ingreso. 8. El estudiante puede consultar sus calificaciones y obtener sus libros digitales gratuitos en la página web del Colegio. Puede solicitar Constancias de Estudio (IMSS, Beca Oportunidades o trámites de estudios superiores), Credencial (boletur, descuentos en pasajes foráneos, museos) 9. Por ser un modelo no escolarizado el tiempo de término de estudios del bachillerato depende del ritmo de estudio del alumno, sin embargo se pueden determinar los siguientes periodos: 1 examen por semana 10 meses 1 examen por quincena 20 meses (1 año y medio) 1 examen por mes 40 meses (3 años 4 meses) Estos tiempos pueden disminuir si el alumno tiene estudios parciales previos. 10. El estudiante que no presente examen en tres meses consecutivos será dado de baja en la Secretaría de Educación. Para continuar sus estudios deberá solicitar un certificado parcial de las asignaturas acreditadas e inscribirse nuevamente 4 ESTUDIO INDEPENDIENTE Las características y habilidades para el estudio independiente no se reducen a un contexto exclusivamente escolar. Esto quiere decir que la independencia se conforma a lo largo de la vida, es un proceso donde el individuo se enfrenta a diversas situaciones que tiene que resolver en distintos ámbitos como son el laboral o el familiar e incluso dentro de su comunidad, en los que influyen, por supuesto, factores de carácter social y cultural. Pero es la escuela, la entidad socialmente encargada de dotar de las destrezas o habilidades que le permitan al sujeto, desarrollar de manera consciente métodos de aprendizaje, sobre todo si deseamos que el postulado de la educación permanente, “aprender durante toda la vida”, realmente se cumpla. El estudio independiente puede considerarse como un proceso dirigido hacia el autocontrol y la autoevaluación y entenderse como una actividad orientada hacia la formación de habilidades que permitan la construcción ininterrumpida de conocimiento y aprendizaje. Existen muchos elementos para justificar la necesidad de fomentar el estudio independiente en los sistemas de educación abierta o a distancia, el principal queremos encontrarlo en el hecho de que a menos que el estudiante participe activamente en la adquisición de sus propios conocimientos estas modalidades educativas como formadoras del estudiante, carecen de sentido. Si los objetivos de estos sistemas no van solamente hacia la acumulación de conceptos, el estudio independiente debe ser una parte indispensable del proceso formativo. El estudio independiente tiene implícita la idea de que el aprendizaje requerido para un proceso formativo puede ser incorporado no sólo en el salón de clases o bajo la tutela del maestro sino que el alumno tiene la responsabilidad de trabajar de manera independiente y trascender lo que ha sido enseñado en el aula, en las diferentes áreas y dimensiones del saber. El estudio independiente lleva consigo la responsabilidad de la propia formación por parte del alumno y esto es importante si consideramos que el sistema educativo ha estado renunciando al proceso formativo y la creación de un aprendizaje colectivo es muy difícil en los sistemas de educación abierta, en donde la posibilidad de interacción está limitada. No estamos hablando acerca de una nueva moda educativa. Estamos hablando de una competencia humana básica, de la capacidad de aprender por uno mismo, que de repente se ha convertido en un requisito previo en este mundo nuevo. Las personas que toman la iniciativa en el auto aprendizaje, tienen más posibilidades de retener lo que aprenden que el estudiante pasivo y esta iniciativa está más en sintonía con nuestros procesos naturales de desarrollo psicológico, pero es importante añadir que la disposición para la autodirección de las personas es variable, lo que exige diversos grados de asistencia por parte de la institución y de los asesores, especialmente durante el desarrollo de las habilidades de estudio independiente. Estamos hablando de un conjunto de acciones porque el estudiante pone en práctica algunas herramientas cognoscitivas que ha venido consolidando a lo largo de su vida académica y otras que experimenta para resolver problemas específicos, las cuales le facilitan y hacen más efectiva o satisfactoria su labor de aprendizaje. Se trata de una labor consciente, y esta conciencia en el acto de estudiar es un elemento fundamental que permite comprender y emprender acciones permanentes de estudio independiente. El estudio independiente necesita rescatar la noción de responsabilidad personal, entendida como el hecho de que un individuo asuma la titularidad de sus pensamientos y acciones. En conclusión el estudio independiente es el sistema de estudio que deposita en el alumno, la mayor responsabilidad de su aprendizaje de acuerdo con sus posibilidades, características, vivencias y necesidades, estimulándolo para que utilice al máximo sus propios recursos conforme lo considere conveniente y oportuno La asesoría o tutoría es el sistema de estudio que se basa en el proceso de auto aprendizaje y el asesor es un programador de experiencias didácticas y un orientador del proceso; esta modalidad de estudio no implica la asistencia a clases. 5 10 SUGERENCIAS PARA ADMINISTRAR TU TIEMPO 1. ¡Mantente alerta! La mayoría de la pérdida de tiempo ocurre por distracciones. Distracción es cuando tu atención está en otra cosa o en otra parte que no sea lo importante que sucede a tu alrededor. 2. Cambia la rutina. Pregúntate: ¿Qué parte de mi rutina puedo cambiar o modificar para que mi productividad aumente? 3. Mantente en movimiento. Entre más activo estés, más alerta te sentirás. 4. Usa “objetivos espontáneos”. Éstos son ideas dirigidas hacia un resultado deseado que surge espontáneamente. Pregúntate: ¿Cuál es el resultado final de esta actividad? 5. No realices muchas actividades simultáneamente. Trata de trabajar a la vez que requiera concentración. 6. Líbrate del papeleo. Existen solamente tres opciones: basura, archivo o acción. 7. Utiliza tu tiempo libre en algo importante en qué ocuparte (archivar, organizar, adelantar algo, estudiar, capacitarte…) 8. Sé claro y conciso. Cuando expliques algo a alguien, hazlo de manera sencilla, clara, breve y con los datos suficientes. Así no tendrás que estar explicando lo mismo varias veces. 9. Toma un descanso mental. Cuando estés bloqueado y parece que no puedes avanzar, respira hondo varias veces para relajarte, trata de pensar en algo agradable y luego retoma lo que estás haciendo, con la mente fresca. 10. Sé puntual y organiza tus actividades. Una manera casi infalible de llegar a tiempo es planear llegar más temprano. La mejor forma de optimizar el tiempo es planear todas nuestras actividades. 6 EL TIEMPO DISPONIBLE EJEMPLO ACTIVIDADES LUNES MARTES MIÉRCOLES DORMIR DESAYUNO COMIDA CENA TRABAJO TRANSPORTE FAMILIA DEPORTE TELEVISIÓN ASEO PERSONAL ESTUDIO INDIVIDUAL ASESORÍAS TOTAL TIEMPO DISPONIBLE 7 JUEVES VIERNES SÁBADO DOMINGO PLAN DE ESTUDIOS PRIMER SEMESTRE: SEGUNDO SEMESTRE: TERCER SEMESTRE: ALG001 Matemáticas I TRI002 Matemáticas II GAN003 Matemáticas III QUI001 Química I QUI002 Química II GEO003 Geografía EYV001 Ética y Valores I EYV002 Ética y Valores II FIS-003 Física I ISC001 Introducción a las Ciencias Soc. HDM002 Historia de México I HDM003 Historia de México II LYR001 Taller de Lectura y Redacción I LYR002 Taller de Lectura y Redacción II LIT-003 Literatura I ING001 Lengua adicional al español I ING002 Lengua adicional al español II ING003 Lengua adicional al español III INF001 Informática I INF002 Informática II CUARTO SEMESTRE: QUINTO SEMESTRE: SEXTO SEMESTRE: FUN004 Matemática IV BIO005 Biología II FIL-006 Filosofía BIO004 Biología I HUC005 Historia Universal Contemporánea EYM006 Ecología y Medio Ambiente FIS004 Física II MDI006 Metodología de la Investigación ESM- Estructura Socioeconómica de 004 México LITLiteratura II 004 ING004 Lengua adicional al español IV FORMACION PARA EL TRABAJO: _______________________ 8 BLOQUE 1 OPERACIONES CON FUNCIONES CONOCIMIENTOS Comprender la diferencia entre relaciones y funciones. Enunciar las características de una relación y de una función. Identificar el dominio y rango de una función. Representar y resolver funciones de formas distintas y equivalentes. Clasificar las funciones como algebraicas y trascendentes, continuas y discontinuas, y uno-uno, sobreyectivas y biunívocas. HABILIDADES Reconocer una relación o una función a partir de su descripción numérica, gráfica o algebraica. Obtener el dominio y el rango de una relación o función en representaciones diversas. Obtener la imagen de un elemento del dominio a partir de la regla de correspondencia. Determinar el tipo de función con la que se trabaja y utilizar sus características específicas. Resolver operaciones con funciones. Utilizar la noción de función en situaciones cotidianas relacionadas con magnitudes. ACTITUDES Y VALORES Mostrar disposición por involucrarse en actividades relacionadas con la asignatura. Presentar disposición al trabajo colaborativo. Aportar puntos de vista personales con apertura y considerar los de otras personas. Proponer maneras creativas de solucionar problemas matemáticos. 9 Unidad de Competencia del Bloque 1 10 Función como una Relación su y Representación según su la Ecuación Enunciación verbal y el tránsito entre ellas Operaciones Clasificación también por la forma de su Sagital o tabular Dominio y rango la Gráfica Continuas o discontinuas y en relación con su gráfico en y la Forma analítica o ecuación las relaciones entre ellas y su aplicación en el ámbito de la misma y de La ciencia y lo cotidiano Matemática 11 Explica con tus propias palabras el mapa conceptual del Bloque 1: 1.1 Funciones y relaciones Formalizando el concepto de función En ocasiones, una función es considerada como una tabla con números asociados unos con otros, como una gráfica, y a veces como una ecuación. En realidad el concepto de función es algo más que eso, aunque ciertamente tales consideraciones van por el camino correcto. El concepto de función nace como una herramienta para describir la dependecia entre dos o mas variables relacionadas (distancia y tiempo, cantidad y costo, dimensión y área o volumen, etcétera). Tal dependencia se traduce a un par de conjuntos y a una correspondencia entre sus elementos, construyéndola siempre desde el primer conjunto al segundo. 12 Notación y simbolismo Función de variable real 𝑓: 𝐴 → 𝐵 Se refiere a aquellas funciones en las que el dominio y codominio pertenecen al conjunto de los números reales x2 y2 x3 y3 x4 y4 Argumento 𝑥4 Codominio Dominio Rango Segundo conjunto Primer conjunto Representación sagital (flechas) 𝑓 A B x1 y1 Imagen de 𝑥4 Función 𝑓 con dominio en A y codominio en B. Dominio. Es el primer conjunto. Todos sus elementos (llamados argumentos) tienen su imagen en el codominio. Argumento. Se le llama así a cualquier elemento del dominio. Codominio. Es el segundo conjunto. En él se encuentran las imágenes, aunque puede ser que no todos sus elementos lo sean. Imagen. Así se le llama al elemento correspondiente a un argumento en particular (en la representación 𝑦4 es la imagen de 𝑥4 ). Rango. Es el conjunto de imágenes. En ocasiones el rango y el codominio son el mismo conjunto. Relación y función Los conceptos matemáticos de relación y función están estrechamente ligados. En ambos se asocian elementos de dos conjuntos, y desde luego, se puede aplicar el mismo lenguaje que hemos construido tanto para las funciones como para las relaciones. Existe, sin embargo, una diferencia radical entre ellos: la relación permite que a cada elemento del primer conjunto se le asocie uno o más elementos del segundo; no hay límite para ello. En contraposición, en una función, para cada argumento existe una única imagen asociada a él. Así, las funciones pueden ser llamadas también relaciones, pues lo son, pero no todas las relaciones son funciones. 13 Contesta si te trata de una función o una relación, según se trate. 𝑥 -3 -2 -1 0 1 2 3 𝑦 -3 -2 -1 0 1 2 3 𝑔 A B -3 0 3 3 0 -3 El tanque de gasolina de un auto es de 50 litros, y cuando se viaja en carretera se vacía en 4 horas (240 min). Si el comportamiento es regular, ¿cuál es la función que relaciona la cantidad de gasolina en el tanque con el tiempo min) de viaje transcurrido? Considera el caso del auto saliendo de la gasolinera con el tanque inicialmente lleno. Construya también su gráfica. Los anfitriones de un banquete gastan por cada invitado que asiste $200. El costo del convite ya asciende a 100 mil pesos, pero aún faltan invitados. Ayúdales a anticipar el costo final en función del número de invitados aún pendientes. Construye también su gráfica. 14 La energía cinética de un auto varía con el cuadrado de la rapidez . Cuando su velocidad es de la energía cinética de éste es de 40 mil joules (unidad de medida de la energía en el Sistema Internacional de Unidades). Escribe la energía cinética del móvil en función de la velocidad. Construya también su gráfica. 1.2 Representación de funciones Imagina que te encuentras en casa con tus amigos. La noche es lluviosa, con grandes relámpagos seguidos de truenos. No pueden disfrutar plenamente del programa de televisión. Al observar por la ventana, alguien recuerda que existe una forma de estimar la distancia a la que cae el rayo, contando los segundos que transcurren desde el relámpago hasta el trueno y multiplicándolos por tres. La distancia así encontrada es en kilómetros. El siguiente ejemplo se puede representar de diversas maneras, donde se nos permite visualizar la relación entre el tiempo transcurrido del relámpago al trueno y la distancia estimada a la que cae el rayo desde la posición en la que nos ubicamos. 15 9 6 3 t d (segundos) (kilómetros) 0 0 1 3 2 6 3 9 4 12 5 15 12 15 d (km) t (s) 1 2 3 4 5 Al analizar el ejemplo anterior se pueden resumir las cuatro representaciones de la relación tiempo – distancia del rayo en el siguiente diagrama: Sagital o tabla Tabla que se construyó anteriormente. Gráfica La que se elaboró en base Distancia a la que a los puntos de la tabla. cae un rayo en Verbal función del tiempo …. estimar la distancia a la que cae el entre el relámpago y rayo, contando los segundos que el trueno transcurren desde el relámpago hasta el trueno y multiplicándolo por tres. Analítica o ecuación 𝑑 = 3𝑡 También … 𝑓 𝑡 = 3𝑡 𝑑=𝑓 𝑡 Notación de función 𝒇 𝒕 se lee como ≪ 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑒𝑛 𝑑𝑒 𝑡 ≫ y significa: la imagen del argumento 𝑡 bajo la función 𝑓. Por ejemplo… Significa… 𝑓 2 =3 2 =6 𝑓 𝑥 = 3𝑥 La imagen de 2 es 6 La imagen de 𝑥 es el triple de 𝑥 Cada una de las diferentes representaciones posee ventajas y desventajas. A continuación se mencionan las más visibles: 16 Analítica o ecuación Generalmente es el último paso al que llevamos la función y nos permite clasificarla dentro del campo de la matemática, con la ventaja de aplicarle propiedades inherentes a la forma de la ecuación. No es tan visual como la gráfica, aunque es relativamente fácil construir esta última desde la ecuación. Sagital o tabular Verbal Hace visibles el dominio, codominio y rango, además de la relación de correspondencia entre argumentos e imágenes. Su limitante es que no siempre puede representarse el dominio completo. Es descriptiva; generalmente la construcción de una función en un contexto específico comienza con esta forma. Pero trabajar con ella y determinar los conjuntos dominio y rango que genera implica llevarla a otra representación. Gráfica Ser muy visual es su principal ventaja. Quedan a la vista el dominio y rango en forma de intervalos. La principal desventaja es lo complejo que puede resultar construir la gráfica y la falta de precisión en su lectura. El empleo combinado de las diferentes representaciones de una función es lo que nos permite visualizar sus propiedades, por ello la necesidad de transitar entre ellas de manera eficiente. El siguiente esquema resume los conceptos y notaciones relacionados con una función. 17 Una relación establece una correspondencia entre los elementos de dos conjuntos en un orden específico: del primer conjunto (dominio) al segundo (codominio), de forma que a cada elemento (argumento) del primero le corresponde uno o más elementos del segundo (imágenes). Verbal Asocia a cada número su raíz cuadrada Gráfica Analítica 𝑦= 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥 Una función es una relación con ciertas condiciones: a cada argumento (elemento del dominio) le corresponde una única imagen (elemento del codominio). La diferencia básica que distingue a las funciones de las relaciones es que a cada elemento del dominio se le asocia una única imagen. Por ejemplo: 0 0 1 Relación Representación de una función 1 -1 2 2 − 2 3 3 − 3 𝑓 Sagital A B 0 1 2 3 0 1 2 3 Deberás transitar de una representación de la función a cualquier otra. En la representación gráfica de una función, una recta vertical cortará a la curva, cuando más, en un punto. Otra notación… 𝑦=𝑓 𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑓 𝑥 ó 𝑦 es la imagen del argumento 𝑥 Significa que a un número 𝑥 le asocias, mediante la función (representa por 𝑓 ), otro número, que es su raíz cuadrada. 18 Función Concepto Funciones y relaciones Dominio y rango Formas de representar al dominio y rango En las funciones de variable real, el dominio y el rango generalmente son intervalos o porciones del eje real cuando no es todo el conjunto de los números reales. Existen formas de representar estos intervalos de forma simbólica. La representación de los intervalos te permitirá expresar tus ideas de manera más eficiente. Dominio de definición o por extensión de la curva Rango es la extensión de la curva sobre el eje vertical. Dominio: El cero y todos los números reales positivos. x 0 Las desigualdades son otro medio de representar intervalos como el dominio o rango. 𝑥≥ Dominio es la extensión de la curva sobre el eje horizontal. Rango: El cero y todos los números reales positivos. 𝑥∈ ,∞ Se lee: 𝒙 pertenece al intervalo… Para la representación del rango 𝑦 ≥ se emplea la misma notación. 𝑦 ∈ ,∞ El punto rellenado indica que el 0 es parte del dominio; en caso opuesto el punto no estaría relleno. La flecha indica que hacia esa dirección se consideran parte del dominio todos los valores. La notación de intervalo es como observas: siempre se coloca el extremo inferior a la izquierda y el superior a la derecha; es posible incluir el símbolo ±∞ si se requiere como extremo. Si deseamos indicar que el extremo pertenece al intervalo, se emplea el corchete. En caso contrario se utiliza el paréntesis. En caso de colocar infinito, siempre va paréntesis. En ocasiones, una situación de contexto nos obliga a restringir el dominio sólo a una porción de la extensión de la curva. 19 Dominio de definición por una situación especifica El dominio puede restringirse a la región de la curva que se requiera. Considerando intervalos abiertos, cerrados o mixtos. Dominio: los números reales entre 2 y 3, sin incluir éstos. 2 3 𝑥 2 𝑥 3 𝑥 ∈ 2, 3 Rango: los números reales entre sin incluir éstos. 𝑥 En un intervalo abierto no incluye a 2 3 sus extremos. Los intervalos cerrados incluyen tanto al extremo 2 𝑦 3 inferior como al superior. 𝑦 ∈ 2, 3 2y 3, Existen diferentes combinaciones en la representación de los intervalos a las que hemos ejemplificado. Te presentamos a continuación algunas más. Representación gráfica de un intervalo 𝑎 𝑥 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑥 𝑏 𝑎 𝑏 𝑎 𝑥 𝑎 𝑏 𝑥≥𝑎 𝑎 𝑏 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 Representación analítica del intervalo ∈ ∈ ∈ ∈ , ] Se lee: ≪ pertenece al intervalo cerrado que va desde hasta ≫ , Se lee: ≪ pertenece al intervalo abierto que va desde hasta ≫ , ,∞ Se lee: ≪ pertenece al intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha que va desde hasta ≫ Se lee: ≪ pertenece al intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha que va desde hasta ≫ Descripción Intervalo cerrado desde un número , hasta un número , . El intervalo cerrado incluye a los extremos. Intervalo abierto desde un número , hasta un número , . El intervalo abierto no incluye a los extremos. Intervalo cerrado por la izquierda y abierto por la derecha, desde un número , hasta un número , . Se incluye en el intervalo, mas no . Intervalo que agrupa todos los números desde , incluyéndolo, y todos los mayores que éste. Por otra parte, te invitamos a reflexionar sobre los dominios de las dos funciones definidas por el radical que manejamos anteriormente (ver esquemas previos). No son iguales a pesar de emplear la misma ecuación para definirse. La razón es que ¡no tienen el mismo dominio! 20 Para algunos casos existen formas alternativas para representar al dominio o rango de una función. Observa los siguientes ejemplos: Representaciones alternativas para el dominio y rango Dominio de 𝑓 𝑥∈ℝ 𝑓 𝑥 >− Se lee: 𝑥 pertence a los números reales. Se lee: 𝑓 𝑥 es mayor que -1. Dominio de 𝑔 𝑥≠ , Se lee: 𝑥 distinto de 0 y 1. Se interpreta como: todos los números reales, excepto 0 y 1. Rango de 𝑔 𝑔 𝑥 −4, 𝑔 𝑥 > Se lee: 𝑔 𝑥 menor o igual que -4 y mayor que 0. Otra forma: 𝑔 𝑥 ∉ −4, ] Se lee: 𝑔 𝑥 no pertence al intervalo abierto por la izquierda y cerrado por la derecha; -4, 0. Se interpreta como: todos los números reales, excepto los del intervalo citado. Para representar o expresar al dominio o al rango puedes emplear el lenguaje verbal, la notación con desigualdades y la notación de intervalos, tal como lo hemos ilustrado. - Completa la tabla con los datos que hacen falta. Forma gráfica Uso de los signos de desigualdad Uso de la notación de intervalos ≥ −3 −3 2 21 ∈ −3,2] −∞ ∞ 2 ∈ −7, ) 3 5 2 𝑥 En base al ejemplo mostrado encuentra el dominio y rango de las funciones en su representación gráfica. Solución En , la curva no toma el -1. Dominio ≠ En , la curva no toma el 1. Rango ≠ 22 Determina el dominio de cada función. Observa el ejemplo. = − =2 2 Solución. Puedes tomar para cualquier número real, eso sucede en los polinomios. Su dominio es ∈ ℝ. − 6 = = 3 −2 2 −4 1.3 Clasificación de funciones La clasificación de una colección de objetos conlleva un propósito que debe estar bien definido para quien la hace. Por ejemplo: una población escolar puede subdividirse en alumnos y maestros. Los deberes de cada uno están delimitados. Puede clasificarse además por géneros: hombres y mujeres con distintas finalidades. Asimismo puede haber una clasificación por rendimiento escolar. Cualquier conjunto que se subdivida debe tener una razón para hacerlo. Las funciones también se clasifican y existe, desde luego, una razón: la palabra clave es simplificación. Se trata de facilitar los procesos matemáticos y evitar las repeticiones cuando al analizarlos por grupo reconocemos en ellos propiedades afines. Clasificación atendiendo a la forma de la ecuación que la representa La clasificación que en principio nos resulta útil para asociar formas gráficas con las analíticas, incorporando el conocimiento que tenemos acerca de ello, es agrupar las funciones según sus representaciones analíticas o ecuaciones que las definen. 23 Funciones: Algebraicas - Potenciales - Polinomiales - Racionales - Irracionales Formas analíticas algebraicas Funciones Funciones: - Trigonométricas (seno, coseno, ...) - Trigonométricas inversas (arcoseno, arcocoseno, ...) - Exponenciales - Logarítmicas - Especiales Trascendentes Formas analíticas no algebraicas Las funciones algebraicas y trigonométricas las has manejado continuamente, por lo que te son familiares. De todas formas, se hará a lo largo del texto un análisis más completo de cada una de ellas, relacionándolas con sus gráficas y dominios de definición (extensión de la curva). Por otra parte, en el álgebra se ha construido una estructura con sus formas, de manera que unas son casos particulares de otras más generales. El siguiente esquema te dará una idea de ello. Función racional Cociente de polinomios o un número sobre un polinomio 𝒇 𝒙 = 𝒑 𝒙 𝒒 𝒙 Función lineal 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙 𝒃 Función cuadrática 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 𝒃𝒙 𝒄 Con forma de polinomio 𝒇 𝒙 = 𝒂𝟎 𝒙𝒏 𝒂𝟏 𝒙𝒏−𝟏 𝒂𝟐 𝒙𝒏−𝟐 ⋯ 𝒂𝒏 Funciones algebraicas Función potencial 𝒇 𝒙 = 𝒙𝒏 Función cúbica 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟑 𝒃𝒙𝟐 𝒄𝒙 Función polinomial Función identidad 𝒇 𝒙 =𝒙 Función constante 𝒇 𝒙 =𝒌 Función irracional No pueden escribirse como el cociente de dos polinomios. 24 𝒇 𝒙 =𝒙 𝟐 𝟑 ;𝒇 𝒙 = 𝒙 𝒅 Funciones continuas y discontinuas La idea de continuidad de una función se relaciona con poder trazar su gráfica sin necesidad de despegar el lápiz. Si esto no puede hacerse, la función es discontinua. Identifica las curvas discontinuas e indica el valor de 𝒙 en donde ocurre la discontinuidad. Un caso de discontinuidad 𝑥 − 𝑥− ¿Puedes calcular 𝑓 ? ¿Puedes dividir entre cero? 𝑥− = 𝑥 − 𝑥− Si 𝑔 𝑥 = 𝑥 𝑥 𝑥− =𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 , entonces: ¡En algebra, 𝑓 𝑥 y 𝑔 𝑥 serían iguales! 𝑔 𝑥 =𝑥 𝑔 =3 Por ello, en cualquier valor de 𝑥 que no sea 1, las imágenes de las dos funciones 𝑓 y 𝑔 coincidirán. Pero la función 𝑓 no tiene en su dominio al 1, por ello la curva ≪ 𝑠𝑎𝑙𝑡𝑎 ≫ en el punto (1, 3). 𝒙 𝒙𝟑 − 𝟏 𝒙−𝟏 -1 0 1 2 1 1 ? 7 𝑥 𝒙𝟐 𝒙 1 1 3 7 𝟏 La función 𝑓 es discontinua en 𝑥 = 𝑓 𝑥 = 𝑥 − ,𝑥 ≠ 𝑥− En el caso que te hemos propuesto la causa de discontinuidad de la función es la aparición de raíces o ceros en el denominador. Esto es algo digno de tomar en cuenta y recordar siempre. 25 Por otra parte, queda a la vista también un aspecto relevante de la igualdad de funciones. Puedes tener la misma regla de correspondencia, como la ecuación o su equivalente, pero la igualdad (de funciones) en el cálculo va más allá de la equivalencia algebraica: los dominios de las funciones también deben coincidir, situación que no se presenta en el caso de análisis, ya que = , por lo que no está en el dominio de las dos funciones analizadas. Funciones uno a uno, sobreyectivas y biyectivas y el significado de la correspondencia biunívoca Generalizando la clasificación de las funciones en relación con la asociación a su inversa Cuando se maneja la relación de una función con su inversa es necesario establecer las condiciones bajo las cuales es posible su existencia. Esto da lugar a una nueva clasificación de las funciones. Funciones inyectivas o uno a uno 𝑓 𝑥 = 2𝑥 A B -2 -4 -1 -2 0 0 1 2 2 4 En las funciones inyectivas o uno a uno, a argumentos (en A) diferentes, le corresponden imágenes (en B) diferentes. Asociar a cada número (en A) su doble (en B) 𝑔 𝑥 =𝑥 A C 0 La inyectividad es una propiedad necesaria cuando requieres encontrar la función inversa. En las funciones inyectivas su gráfica es cortada con una recta horizontal, cuando más, en un punto. Ésta no es una función inyectiva o uno a uno 0 -1 1 4 2 Asociar a cada número (en A) su cuadrado (en C) -4 -2 -2 -1 0 0 2 1 4 2 Asociar a cada número (en B) su mitad (en A) 1 -2 ℎ 𝑥 = 𝑥 2 B A Clasificar las funciones como inyectivas sólo es necesario si se debe volver sobre nuestros pasos; esto es, establecer una correspondencia inversa entre los conjuntos A y B asociados a la función. Observa que si quieres hacer con la función 𝑔 lo misno que con 𝑓 (determinar su inversa) no podrías. 26 Existe otra clasificación que es importante tener en consideración cuando se desea determinar la inversa de una función; se trata de visualizar el tipo de relación que existe entre el codominio y el rango. -2 -4 -1 -2 0 0 1 2 2 4 La función 𝑔 es sobreyectiva por cuanto a que el rango (conjunto de imágenes) y el codominio (C) coinciden. La función 𝑓 no es sobreyectiva. Hay valores en el codominio (B) que no son imágenes. El codominio y rango no coinciden. Asociar a cada número (en A) su doble (en C) ℎ 𝑥 = 𝑥 2 C A -4 -2 -2 -1 0 0 2 1 4 2 Asociar a cada número (en C) su mitad (en A) 𝑓 𝑥 = 2𝑥 A B -2 -1 0 1 2 0 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 No biyectiva Biyectiva Inyectiva y sobreyectiva 𝑔 𝑥 = 2𝑥 Inyectiva y no sobreyectiva Correspondencia biunívoca Asociar a cada número (en A) su doble (en B) Observa que el -1 en A tiene asociado al -2 de C. Pero también puedes seguir esta pareja en la función inversa de 𝑔 (representada por ℎ ). Ahí el -2 está asociado el -1. Sucede lo mismo para cualquier otra oareja de 𝑔 (o su inversa). Se trata de una correspondencia biunívoca: de A hacia C y de C hacia A, es decir, visualizando los dos sentidos. La correspondencia biunívoca aparecerá siempre que la función sea biyectiva: inyectiva y sobreyectiva. Cuando necesites establecer la relación entre una función y su inversa deberás considerar la existencia de la correspondencia biunívoca. Clasifica las funciones con su forma analítica e indica cuales funciones son discontinuas y para que valores de 𝒙. Función Tipo Continua/discontinua = 2 ℎ =3 = 4 −2 27 = − De acuerdo al enunciado, escribe la forma analítica de las funciones. Enunciado Función en su forma analítica Por ejemplo. El cuadrado del número , disminuido en tres unidades. = −3 El doble de la suma de un número con 5 La posición de un cuerpo en caída libre es la mitad de la aceleración de la gravedad , que multiplica al cuadrado del tiempo . El volumen de un cubo de lado . El volumen de un cilindro cuya base tiene radio y en donde la altura es siempre el triple del radio. El perímetro de un triángulo cuya base es , y su altura mide dos unidades más que la base. En base a los gráficos mostrados indica que letra(s) corresponde a las siguientes preguntas. A) B) 28 C) D) E) ¿Qué funciones son continuas? ______________________________ ¿Cuáles de las funciones son inyectivas? ______________________________ ¿En cuáles se presenta la correspondencia biunívoca? ________________________ 1.4 Operaciones con funciones Generalizando las operaciones con funciones Las operaciones con funciones quedan definidas mediante las operaciones con las imágenes relacionadas con el mismo argumento. Observa: El dominio, salvo en la división, es la intersección de los dominios de las funciones 𝑓 y 𝑔. Para la suma, resta y producto de funciones, el dominio es todo número real: 𝑥∈ℝ Para el caso de la división, 𝑓 𝑔 el dominio es todo número real, excepto el cero: 𝑥≠ Por ejemplo, si: 𝑓 𝑥 = −2𝑥, 𝑥 ∈ ℝ 𝑔 𝑥 = 𝑥 ,𝑥 ∈ ℝ Operaciones con funciones Suma 𝑓 𝒇 𝑔 𝑥 =𝑓 𝑥 𝒈 𝒙 = −𝟐𝒙 𝒙𝟑 , 𝒙 ∈ ℝ Resta 𝑓 − 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 − 𝑔 𝑥 𝟑 𝒇 − 𝒈 𝒙 = −𝟐𝒙 − 𝒙 , 𝒙 ∈ ℝ Multiplicación 𝑓 ∙ 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 ∙ 𝑔 𝑥 𝒇 ∙ 𝒈 𝒙 = −𝟐𝒙 𝒙𝟑 = −𝟐𝒙𝟒 , 𝒙 ∈ ℝ División 𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 , 𝑔 𝑥 ≠ 𝒇 𝒈 𝒙 = −𝟐𝒙 𝑔 𝑥 𝒙𝟑 = −𝟐 𝒙𝟐 , 𝒙 ≠ 𝟎 En la división, además de considerar sólo la intersección de los dominios de 𝑓 y 𝑔, se deben descartar las raíces del denominador (los valores de 𝑥 en donde 𝑔 𝑥 = ). Las operaciones con funciones nos permiten visualizarlas desde sus componentes, lo que resulta más sencillo de comprender. 29 BLOQUE 2 FUNCIONES ESPECIALES Y TRANSFORMACIÓN DE GRÁFICAS CONOCIMIENTOS Reconocer las características de funciones que son inversas de otras. Describir en forma geométrica y algebraica la inversa de una función. Reconocer las funciones valor absoluto, constante, idéntica y escalonadas. Aplicar traslaciones verticales y horizontales o reflexiones sobre los ejes o sobre la recta = a gráficas de funciones. HABILIDADES Obtener la relación inversa de una función y determinar si ésta también es una función. Utilizar las funciones valor absoluto, idéntica, constante y escalonadas para describir relaciones entre algunas variables. Construir gráficas y ecuaciones de funciones aplicando traslaciones y reflexiones a las gráficas de otras funciones. ACTITUDES Y VALORES Mostrar disposición por involucrarse en actividades relacionadas con la asignatura. Presentar disposición al trabajo colaborativo. Aportar puntos de vista personales con apertura y considerar los de otras personas. Reflexionar sobre la ventaja de realizar transformaciones en gráficas para simplificar procesos algebraicos o geométricos. Proponer maneras creativas de solucionar problemas matemáticos. 30 Unidad de Competencia del Bloque 2 31 Funciones la construcción de la especiales Inversa Constante su representación Idéntica Gráfica Valor absoluto Escalón y el manejo de Reflexiones Traslaciones y sus Aplicaciones 32 Explica con tus propias palabras el mapa conceptual del Bloque 2: 2.1 La función inversa En un sentido práctico, la función inversa se presenta cuando se desea modificar el sentido de una relación. Por ejemplo la presión de un gas dentro de un recipiente cerrado varía directamente proporcional con la temperatura absoluta (básicamente, = , donde es la constante de proporcionalidad.) Al ejemplo previo se le conoce como Ley de Gay-Lussac que relaciona presión y temperatura para un gas encerrado (a volumen constante) da lugar a un par de funciones: la presión como imagen de la temperatura, o bien, la temperatura como imagen de la presión. En realidad, para el caso del experimento físico el comportamiento del fenómeno no varía. Siempre existirá una correspondencia biunívoca entre los elementos de los dos conjuntos que se generan al realizar mediciones. A una temperatura medida, se obtendrá para la presión un valor asociado a ella y viceversa. La construcción de la función presión en términos de la temperatura o temperatura en términos de la presión se origina por la forma en que se obtiene la información. Por ejemplo, si con un manómetro medimos la presión, y la temperatura la calculamos con la Ley de Gay-Lussac, entonces se construye la función de temperatura, y serán éstos los valores de las imágenes. En cambio, si medimos con un termómetro la temperatura, y empleamos la Ley de GayLussac para determinar la presión, entonces estos valores serán las imágenes y tendremos una función de la presión. Cuando se te presentan dos funciones, de las que en una se hace exactamente lo contrario de la otra, se dice que una de ellas es la inversa de la otra. Ciertamente, para la determinación del modelo matemático que dio lugar a la Ley de Gay-Lussac debieron medirse ambas variables y establecer la forma en que éstas se relacionaban. Por otra parte, la inversa de una función puede verse en un sentido u 33 otro, aunque siempre habrá una primera función, la que manejamos inicialmente, mientras que la inversa siempre se construirá después. Propiedades de la función inversa 𝑔 𝑓 A B A 1 2 1 2 4 2 3 6 3 4 8 4 5 10 5 12 ? El 12 de B es un obstáculo para la existencia de la correspondencia biunívoca. Que el 1 de C esté asociado a más de un elemento de A es un obstáculo para la existencia de la correspondencia biunívoca. ℎ 𝑖 A C A 1 1 2 2 𝑔 𝑥 =𝑥 2 𝑓 𝑥 = 2𝑥 𝑓 es inyectiva y no sobreyectiva 3 La existencia de la inversa de una función requiere que se presente la correspondencia biunívoca entre los elementos de las dos conjuntos que definen a ésta. Esto sólo es posible si la función es biyectiva, es decir, debe cumplir dos condiciones: que sea inyectiva y sobreyectiva a la vez. 3 1 4 4 5 5 ℎ 𝑥 = ℎ es sobreyectiva y no inyectiva Obtención de la inversa desde la ecuación 𝑦=𝑓 𝑥 𝑥 = 𝑓 −1 𝑦 Para una función definida por esta ecuación basta con despejar la otra variable para obtener la forma de la función inversa. Por ejemplo… 𝑓 𝑥 =𝑥 − ⇒𝑦=𝑥 − ⇒𝑥 =𝑦 Para la representación intercambias las 𝑥 con las 𝑦. 34 La función ℎ está definida, 𝑖 no es una función. La función 𝑓 está definida, pero no 𝑔. La función inversa puede existir cuando… ⇒𝑥= 3 𝑦 ⇒ 𝑓 −1 𝑥 = 3 𝑥 Determina la forma analítica de la función inversa considerando como domino el intervalo que se te da. Ejemplo. = , ≥ = , ≥ Si = , entonces = ± , de donde la función inversa solicitada es: −1 = −1 o =− La elección de la inversa como una de las dos opciones que se presentan tiene en cuenta que la función se ha definido sobre números positivos y cero; así, la inversa debe regresar a ellos. La primera opción es la que cumple tal requisito. Así, la inversa de es: −1 = , ≥ El dominio de la inversa se determina con facilidad sí se construye las gráficas de las dos funciones y se observa la simetría de ellas en relación con la recta: = = − , ∈ℝ = 35 − , ≥ Resuelve lo siguiente según corresponda. El costo de una pieza circular varía con su radio de acuerdo con la función 3 . Determina una relación que dé el radio en función del costo. = La posición sobre un camino recto de un móvil está dada por = 2 − 3, en donde se mide en metros y en segundos. a) Determina la forma analitica del tiempo en función de la posición . b) ¿En qué momento el móvil estará junto al observador ( = )? El gerente de una fabrica de ropa estudia la producción diaria de prendas para hacer las contrataciones de operarios que se necesitan de acuerdo con los requerimientos establecidos por la empresa. Para ello sabe que en 5 dias 50 operarios producen 5000 prendas. a) Representa la producción diaria en función del número de operarios . b) Determina la función inversa. 36 2.2 Funciones especiales Generalizando las funciones especiales 𝑓 𝑥 =𝑘 𝑘 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑥 ∈ ℝ En una función constante, cada argumento posee la misma imagen, su gráfico es una recta horizontal y está definida para todo número real (dominio). Para la función idéntica, la imagen siempre coincide con el valor del argumento. 𝑓 𝑥 =𝑥 𝑥∈ℝ La imagen de los argumentos negativos de la función valor absoluto es la magnitud del número; esto hace que cuando se trabaja con números negativo 𝑥 se maneje como imagen el número sin su signo negativo. 𝑓 𝑥 = 𝑥 =, −𝑥, 𝑥 𝑥, 𝑥 ≥ 𝑥∈ℝ 𝑓 𝑥 =, La imagen de los argumentos negativos de la función escalón es 0, y 1 es la imagen de los argumentos 0 y positivos. Está definida en todo el eje real (éste es su dominio). ,𝑥 ,𝑥 ≥ 𝑥∈ℝ Las funciones especiales hacen uso de las ecuaciones, aunque algunas de ellas requieren más de una, como en el caso de la función valor absoluto y de la función escalón. Recuerda que las ecuaciones son una buena forma de representar una función, pero no son funciones en sí. Es importante conocer esto para comprender por qué algunas de ellas se representan, no con una ecuación, sino con dos o más. 37 2.3 Traslaciones verticales y horizontales del gráfico de una función Traslación de gráficos Vertical Si sumas (c>0), lo trasladas hacia arriba. 𝑦=𝑓 𝑥 𝑐 Si restas (c<0), lo trasladas hacia abajo. Horizontal Si sumas (c>0), lo trasladas hacia la izquierda. 𝑦=𝑓 𝑥 𝑐 Si restas (c<0), lo trasladas hacia la derecha. Mediante la traslación horizontal y vertical, y conociendo la forma gráfica de una función, puedes auxiliarte de ella para trazar la de otras funciones más complejas. Los efectos gráficos se combinan Construye sobre cada diagrama la gráfica solicitada, considera las propiedades de traslación. = −4 = 5 4 y x2 3 2 1 4 2 1 2 2 4 3 4 5 38 −3 = = = 4 − 2 = −3 3 A continuación se muestra una lista de funciones, escribe en el paréntesis la letra de la función que corresponde a el gráfico mostrado. ( A. = 2 − B. = −2 C. = − D. = E. = 2 − F. = 2 G. = − 2 H. = − 2 I. = −2 39 ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2.4 Reflexiones en los gráficos La reflexión nace de la idea física relacionada con la visión que tenemos de nuestra imagen dentro del espejo. Ambas: persona e imagen, parecen situadas a distancias iguales del espejo. Una es la simétrica de la otra. Y Q (-1,2) -1 2 P (1,2) 1 P es la reflexión de Q en relación con Y Q es la reflexión de P en relación con Y P y Q son simétricos en relación con el eje Y. X 40 La reflexión de un punto en relación con otro, respecto a un eje, lleva implícita la simetría de estos respecto el eje dado. Simetría y reflexiones 𝑓 −𝑥 = −𝑥 −𝑥 − 𝑓 −𝑥 = 𝑥 − Condición para la reflexión en relación con el eje Y. 4 𝑓 𝑥 = 𝑓 −𝑥 𝑥4 Condición para la reflexión en relación con el eje X. 𝑔 𝑥 = −𝑓 𝑥 La existencia del reflejo da un lugar a la simetría de la curva en relación con el eje considerado. El gráfico de 𝑦 = 𝑓 −1 𝑥 es el reflejo del gráfico de 𝑦 = 𝑓 𝑥 , en relación con el eje 𝑦 = 𝑥 . Las reflexiones conllevan implícita la idea de simetría de una curva. Cuando visualizamos tal situación, podemos aprovechar nuestro conocimiento sobre las propiedades que se han analizado con diversas finalidades, por ejemplo, simplificar el trabajo del graficado y conocer la forma gráfica del negativo o de la inversa. Pero no son éstas las más relevantes. Consideremos la simetría que puede existir también en los fenómenos o situaciones en estudio, aquellas que representamos con este tipo de función. Tal simetría nos permite anticipar el comportamiento generalizado del evento o fenómeno que analicemos. Relaciona las funciones con cada una de las condiciones que se describen. a) b) c) = =3 4 − = d) e) = = − , f) g) h) i) j) ≥ ) 41 = − =3 7 4 = 2 = −3 =3 − Son simétricas respecto al eje . Por parejas, aquellas que son simétricas en relación con el eje . = Por parejas, aquellas que poseen simetría en relación con el eje Construye sobre el esquema el gráfico que se te solicita. =− = 42 − BLOQUE 3 FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADO CERO, UNO Y DOS CONOCIMIENTOS Caracterizar las funciones polinomiales en una variable. Describir las características algebraicas de las funciones polinomiales de grado cero, uno y dos. Definir la influencia de los parámetros de funciones de grado cero, uno y dos en su representación gráfica. Definir las funciones polinomiales de grado uno y las particularidades de los modelos lineales. Definir las funciones polinomiales de grado dos y las particularidades de los modelos cuadráticos. HABILIDADES Reconocer las funciones polinomiales en su forma general y expresiones particulares. Identificar grado, coeficiente principal y término constante de una función polinomial. Representar las gráficas de funciones polinomiales de grado cero, uno y dos. Explicar por qué las funciones constantes, lineales y cuadráticas constituyen casos particulares de las funciones polinomiales de grado cero, uno y dos, respectivamente. Aplicar modelos lineales y cuadráticos para la resolución de problemas. ACTITUDES Y VALORES Mostrar disposición por involucrarse en actividades relacionadas con la asignatura. Presentar disposición al trabajo colaborativo. Aportar puntos de vista personales con apertura y considerar los de otras personas. Reflexionar sobre la ventaja de realizar transformaciones en gráficas para simplificar procesos algebraicos o geométricos. Valorar la utilidad de los modelos lineales y cuadráticos para resolver problemas prácticos. Reconocer sus errores en los procedimientos y mostrar disposición para solucionarnos. Proponer maneras creativas de solucionar problemas matemáticos. 43 Unidad de Competencia del Bloque 3 44 Funciones polinomiales de acuerdo con su Grado Lineales (primer grado) Constantes (grado cero) Cuadráticas (segundo grado) y sus su Parámetros Estructura para obtener Gráfica y sus diversas Aplicaciones 45 Explica con tus propias palabras el mapa conceptual del Bloque 3: 3.1 La función constante y la función lineal Para graficar una recta sólo necesitamos dos puntos: su intersección con el eje Y, y su raíz. Las características generales de las funciones polinomiales de grado cero y uno se muestran en el siguiente diagrama. 46 Modelos polinomiales de grado cero y uno Función_Constante m 0 f x k k 0 f x 2 k 0 f x 0 f x k 0 Función_Lineal 5 El parámetro 𝑘 desplaza verticalmente a la recta m 1 f x x k 5 Recta horizontal 4 f x x f x x 4 5 Dominio R Rango R 𝑓 𝑥 = 𝑚𝑥 f x 3x 3 x 5 x 3 Recta inclinada 45° Dominio R No tiene raíz si 𝑘 ≠ Rango = 𝑘 y todo número real es raíz si 𝑘 = m 0 f x f x f x 𝑘 m 0 f x x 3 f x 3x 3 x 3 6 f x 1 3x 3 2 Creciente 2 Decreciente 4 El parámetro 𝑚 ≪ 𝑙𝑒𝑣𝑎𝑛𝑡𝑎 ≫ o ≪ 𝑎𝑐𝑢𝑒𝑠𝑡𝑎 ≫ a la recta Tiene exactamente una raíz, su inclinación es aguda f x 1 3x 3 2 2 Tiene exactamente una raíz, su inclinación es obtusa Una función es creciente si al aumentar el valor del argumento, también aumenta el valor de su imagen, y es decreciente cuando al aumentar el valor del argumento, disminuye el valor de su imagen. Pendiente y razón de cambio Una de las interpretaciones más importantes del parámetro de la función lineal es el concepto de razón de cambio, pues este parámetro nos indica con qué rapidez cambia el valor de la función (imagen) respecto al cambio del argumento ( ). Por ejemplo, si consideramos la función =2 4, el coeficiente 2 indica que por cada unidad que se incremente , el valor de la función se incrementará en dos unidades, por lo que la razón de cambio es, precisamente, 2. Además, una razón de cambio positiva nos indica que la función es creciente mientras que una razón de cambio negativa indica que la función es decreciente. Finalmente diremos que el dominio y el rango de la función lineal son ambos el conjunto de números reales y que esta función es biyectiva. 47 Considera las funciones lineales, calcula sus raíces y grafícalas. Ejemplo: =3 9 Intersección con ele : = 9 Raíz: 3 9= 3 = −9 9 =− 3 = −3 Puntos a graficar: (0,9) y (-3,0) = −4 =4 48 = −3 =− 3 Variación directa y modelos lineales Uno de los objetivos de las matemáticas es poder representar situaciones o fenómenos reales a través de ecuaciones o fórmulas matemáticas llamadas modelos matemáticos. Uno de los modelos matemáticos más importantes es aquel que representa variaciones directamente proporcionales; es decir, aquellas situaciones en las que dos variables están relacionadas de tal manera que al aumentar o disminuir la primera variable, la segunda también aumenta o disminuye en la misma proporción. Este tipo de modelo está representado por la función lineal que pasa por el origen, es decir: = En donde al parámetro se le llama constante de proporcionalidad. Existen muchas situaciones de la vida diaria que pueden escribirse mediante modelos lineales, como te mostramos en el siguiente ejemplo. 49 Roberto trabaja en una empresa vendedora de libros y ahora no tiene sueldo base, pero gana $100 por cada libro vendido. ¿Cuál es el modelo que representa el salario de Roberto en función del número de libros vendidos? Y de acuerdo con la información, el salario de Roberto es de la forma 𝑆 𝑥 = 𝑥 El salario de Roberto es de la forma 𝑆 𝑥 = 𝑚𝑥 Resuelve los siguientes ejercicios aplicando la función lineal. Un ciclista mantiene una rapidez constante de 2 ℎ durante la última etapa de una competencia, que cubre en un tiempo de seis horas. Si al iniciar dicha etapa había recorrido 4 : a) Exprese la distancia recorrida como función del tiempo y grafícala. b) ¿Cuántos kilómetros recorre en total? c) ¿Cuántos kilómetros le faltaba recorrer cuando habían transcurrido dos horas? Un chofer de autobús gana un salario base de $60, más una comisión de $0.20 por cada boleto utilizado. Encuentra una función que represente el salario diario del chofer. ¿Cuánto gana en un día en que transportó 200 pasajeros? 50 3.2 La función polinomial de grado dos: la función cuadrática La estructura general de una función cuadrática es: = y su gráfica es una parábola de eje vertical. Para calcular las raíces de una función cuadrática, igualamos la función a cero [ = ] y resolvemos la ecuación resultante ya sea por factorización, fórmula general o por despeje. Gráfica y parámetros de la función cuadrática Para bosquejar la gráfica de una función cuadrática, la tabulamos en un intervalo que contenga las raíces, con un valor antes de la primera y un valor después de la última. Si sólo tuviera una raíz, elegimos un intervalo que contenga por lo menos tres valores antes y tres después de la raíz. Si no tiene raíces, el intervalo debe contener por lo menos tres valores antes y después de la abscisa del vértice. El comportamiento de la función cuadrática está representado en el siguiente diagrama. Modelo polinomial de grado dos (función cuadrática) El parámetro 𝑎 abre, cierra o refleja la gráfica de la parábola. Formula general 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟐 𝒃𝒙 𝒄 Forma estándar 𝒇 𝒙 =𝒂 𝒙 𝑩 𝟐 𝑪 El parámetro B desplaza la gráfica de la parábola horizontalmente. Las coordenadas del vértice son V −B, C Dominio, R Rango 𝐶, ∞ 𝑠𝑖 𝑎 > −∞, 𝐶] 𝑠𝑖 𝑎 El parámetro C desplaza la gráfica de la parábola verticalmente. Las raíces se pueden calcular mediante un despeje, factorización o por medio de la fórmula general. 𝑥= 51 −𝑏 ± 𝑏 − 4𝑎𝑐 2𝑎 Para ir de la forma general a la forma estándar se emplea el método de completar cuadrados, que consiste en dividir entre dos el coeficiente del término lineal, elevar el resultado al cuadrado, sumario y restarlo al polinomio cuadrático para expresarlo finalmente como la suma algebraica de un binomio al cuadrado y un número real. Por ejemplo: 8 2 → 8 8 8 ( ) −( ) 2 2 2 → 8 = Por ejemplo, hallar los elementos de la función gráfica. Factorización 𝑥 6𝑥 − 6 = 8 𝑥−2 = 𝑥= 𝑥= Y despejando 𝑥 = −8 y 𝑥 = 2 𝑥= −𝑏 ± 6 − 6 y bosquejar su 2𝑎 6 2 −4 − 6 2 −6 ± 36 2 −6 ± 𝑥= 2 𝑥 𝑥 𝑥 −6 ± − 6 𝑥= = −8 2 4 𝑥= =2 2 2 -7 -9 -6 -16 -5 -21 -4 -24 52 − 25 = 3 = 25 3 = ± 25 𝑥 3 = ±5 𝑥 = ±5 − 3 𝑥 = −5 − 3 = −8 𝑥 = −5 = La forma estándar de la función cuadrática queda como vértice es el punto −3, −25 . -8 0 3 de donde 64 = 4 Expresado como binomio al cuadrado y un número real, tenemos 𝑏2 − 4𝑎𝑐 −6 ± 4 Despeje 𝑥 6𝑥 − 6 Donde: 𝑎= ,𝑏=6y𝑐=− 6 De donde 𝑥 8= y 𝑥−2= -9 11 2 → Fórmula general 𝑥 6𝑥 − 6 Podemos factorizarla como: 𝑥 6− 6 -3 -25 -2 -24 -1 -21 3 0 -16 3=2 − 25, donde el 1 -9 2 0 3 11 Te aconsejamos que principalmente utilices la factorización. Sólo cuando la ecuación dada no pueda factorizarse, utiliza la fórmula general. Ya vimos cómo pueden calcularse las raíces de una función cuadrática; pero, ¿puede encontrarse una función cuadrática a partir de sus raíces?; y si es así, ¿es única? Por ejemplo, ¿qué función cuadrática tiene como raíces a = −3 y a = 2?; ¿y solamente a la raíz = ? En la primera situación, como las raíces son = −3 y = 2, podemos expresar esa situación como 3= y − 2 = , y al multiplicar estos factores obtenemos 3 −2 = ; así pues, podemos establecer la función = 3 −2 = −6 como aquella cuyas raíces son −3 y 2. 30 20 10 f x 4x2 4x 24 x2 x 3 fx 4 4 2 0 10 20 30 f x x2 x 6 Pero no es la única, pues si multiplicamos los coeficientes de la función por una misma constante, obtendremos otra función con las mismas raíces. Así, las funciones =4 4 − 24 y = 4 4 − también tienen raíces −3 y 2. Si sólo tiene la raíz = , la función cuadrática es de la forma + = − − = − , de donde al desarrollarse obtenemos + = 2 , que únicamente tiene la raíz = de multiplicidad 2. 53 3.3 Problemas de máximos y mínimos y modelos cuadráticos Analizaremos algunas aplicaciones de los modelos cuadráticos en el cálculo de valores mínimos o máximos de una función cuadrática. La función cuadrática es importante en la resolución de problemas o situaciones que pueden presentarse en la vida diaria, como se muestra en el siguiente ejemplo. Ejemplo. Considera una caja cuyo largo es 2 cm más grande que su ancho y su altura es de 15cm. Encuentra un modelo que exprese el volumen de la caja en función de su ancho. ¿Cómo varía el volumen de la caja en el intervalo [0,12]? ¿Qué valor del ancho da un volumen de 1200cm3? Tenemos una rectangular con siguientes medidas caja las 𝑥 0 1 2 3 4 5 𝑓 𝑥 0 45 120 225 360 525 𝑓 𝑥 720 945 1200 1485 1800 𝑥 6 7 8 9 10 5𝑐𝑚 𝑥 𝑥 2 𝑐𝑚 El volumen de la caja en función de su ancho es 𝑉 𝑥 = 𝑥 𝑥 2 5 , que al desarrollarse queda como 𝑉 𝑥 = 5𝑥 3 𝑥 El valor del ancho que da un volumen de 2 es = 8 . Observa que cuando la función cuadrática pasa de ser creciente a decreciente, su vértice representa un punto máximo, y cuando pasa de decreciente a creciente, representa un punto mínimo. 54 𝑉 𝑥 = 5𝑥 𝑓 𝑥 0 42 120 225 360 525 720 945 1200 1485 1800 𝑥 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 3 𝑥 2000 1500 1000 500 0 0 2 4 6 8 10 Finalmente, es necesario reconocer la relación entre la representación analítica, tabular y gráfica de una función. Considera las funciones cuadráticas dadas, calcula sus raíces, su vértice y grafícalas. Observa el ejemplo dado. = − 3 − 54 Vértice. = −3 4 =( − ) − Vértice: = ( ,− 4 − 54 − 4 4 ) Raíces. − 3 − 54 = −9 6 = −9= → =9 6= → = −6 Raíces: -6 0 = −6 y -5 -14 -4 -26 =9 -3 -36 -2 -44 -1 -50 0 -54 1 -56 3/2 225 − 4 55 2 -56 3 -54 4 -50 5 -44 6 -36 7 -26 8 -14 9 0 = −3 =5 56 −2 6 Construye una función cuadrática cuyas raíces sean las indicadas y grafícalas. Raíces: = −3 y =4 = −3 → 3= =4 → −4= Multiplicando: 3 −4 = = -4 8 Raíces: -3 0 = −6 y − − − 2 − 2 -2 -4 -1 -10 0 -12 1 -12 =− 57 2 -10 3 -4 4 0 5 8 Raíces: =4 y Raíces: =− 1 =8 y =4 58 Resuelve los siguientes problemas. La distancia de frenado (en pies) de una automóvil que se desplaza con una cierta velocidad al momento de frenar está representada por una función de la forma: = 6 a) ¿Cómo varía la distancia de frenado para valores de la velocidad entre 0 y 14 pies/s? b) ¿A qué velocidad va un automóvil si requiere 120 pies para frenar? c) ¿Y si requiere 200 pies? En el patio de su casa, Oralia desea cultivar un jardín de forma rectangular y compra 8m de tela ciclón para cercarlo. Encuentra una expresión que describa el área del jardín en función de su largo y grafícala. ¿Cuál es el valor de que hace que las dimensiones del jardín encierren un área máxima? 59 El ingreso G (en millones de dólares) que una franquicia de hamburguesas obtiene al vender concesiones en una misma ciudad está dado por el modelo = −9 − . a) Grafica el modelo de la relación entre el ingreso y el número de concesiones. b) ¿Cuánto ingresa si son vendidas ocho concesiones? c) ¿Cuántas concesiones como máximo puede venderse en una misma ciudad para que el ingreso sea el óptimo? 60 BLOQUE 4 FUNCIONES POLINOMIALES DE GRADO TRES Y CUATRO CONOCIMIENTOS Caracterizar el comportamiento general de las funciones polinomiales de grado tres y cuatro. Definir la influencia de los parámetros de funciones de grado tres y cuatro en su representación gráfica. Resolver ecuaciones factorizables. HABILIDADES Establecer similitudes en el comportamiento de las gráficas de las funciones polinomiales de grado impar (uno y tres) y entre las gráficas de las funciones de grado par (dos y cuatro). Trazar las gráficas de funciones polinomiales de grado tres y cuatro. Determinar las intersecciones con el eje X de las gráficas de ecuaciones factorizables. Aplicar las propiedades de las funciones polinomiales de grado tres y cuatro en la resolución de problemas. ACTITUDES Y VALORES Presentar disposición al trabajo colaborativo. Aportar puntos de vista personales con apertura y considerar los de otras personas. Reconocer sus errores en los procedimientos y mostrar disposición para solucionarlos. Actuar de manera propositiva al resolver los ejercicios planteados. Proponer maneras creativas de solucionar problemas matemáticos. 61 Unidad de Competencia del Bloque 4 62 Funciones polinomiales de grado tres y cuatro su Estructura analítica y de la de la Función cúbica 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 𝑏𝑥 𝑐𝑥 Función polinomial de grado cuatro 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 4 𝑏𝑥 𝑐𝑥 𝑑𝑥 𝑒 𝑑 la obtención de su Gráfica permite visualizar Raíces Extremos relativos que solucionan Problemas reales 63 Explica con tus propias palabras el mapa conceptual del Bloque 4: 4.1 La función polinomial de grado tres Ya hemos analizado en parte la forma analítica de una función cúbica, sea del tipo potencial, como = , o en su forma polinomial completa como = . Cuáles son los parámetros de esta función y cuál es el papel que cumple cada uno de ellos, es lo que analizaremos en la presente sección. Comenzaremos con la siguiente actividad. Bety tiene una hoja cuadrada de cartón de 72cm de lado y quiere construir una caja para sus objetos personales recordando un cuadro de cada esquina, como se muestra en la figura. 𝑥 𝑥 72 − 2𝑥 𝑥 72 − 2𝑥 A continuación se muestra el proceso que tuvo que realizar Bety para resolver el problema. 64 Bety puede cortar cuadrados de diferentes tamaños como se indica en la figura. Al cortar de cada esquina un cuadrado de lado 𝒙 y doblar las partes restantes, obtiene una caja de base cuadrada. 𝑥 𝑥 72 − 2𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 72 − 2𝑥 72 − 2𝑥 El volumen de esta caja se obtiene como: 𝑉 = 72 − 2𝑥 𝑉 𝑥 = 4𝑥 − 288𝑥 65 𝑥 5 84𝑥 𝑥 𝑐𝑚 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 𝑉 𝑐𝑚 0 4900 9248 13068 16384 19220 21600 23548 25088 26244 27040 27500 27648 27508 27104 26460 25600 24584 23328 𝑥 𝑐𝑚 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 𝑉 𝑐𝑚 21964 20480 18900 17248 15548 13824 12100 10400 8748 7168 5684 4320 3100 2048 1188 544 140 0 Tabulando En la tabla y en la gráfica ubicamos el valor de 𝑥 que origina el volumen máximo. En realidad, hemos considerado para la construcción del gráfico sólo los valores que tienen relevancia con el problema de Bety de encontrar una solución a algo específico, como es la determinación del volumen que es posible construir con el material que tiene a la mano. La función cúbica es más general que esto, aunque en el contexto en que se maneja, lo relevante es lo que se muestra. Vale la pena, sin embargo, hacer un análisis más general de la curva que da lugar la forma cúbica anterior; observa la gráfica. Se trata de la misma función graficada ahora con un dominio diferente. La forma que presenta es característica de las funciones cúbicas. En ocasiones aparecerá invertido, y en otras, más abierto o cerrado, dependiendo de los signos, como podrás percatarte con la siguiente actividad. Grafica la siguiente función: = 3 , = −4 comparación entre cada una. = , , también puedes graficar las siguientes funciones = 6 − − 2 , etc. y relizar una 66 𝑥 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 𝑓 𝑥 =𝑥 -125 -64 -27 -8 -1 0 1 8 27 64 125 Las características de la función cúbica se describen en la siguiente figura. Función polinomial de grado tres (función cúbica) 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙𝟑 𝒃𝒙𝟐 𝒄𝒙 𝒅 Tiene una sola raíz y no tiene puntos externos Tiene tres raíces y dos puntos externos 𝑎> 𝑎 Tiene dos raíces y dos puntos externos La función cúbica describe una curva en forma de S llamada parábola cúbica. Siempre tendrá por lo menos una raíz real y como número máximo de raíces, tres. No siempre tendrá puntos extremos locales, pero cuando los tenga serán dos. Un punto externo puede coincidir con una raíz. Un punto externo es máximo si en dicho punto la parábola cúbica abre hacia abajo ( ), y es mínimo si abre hacia arriba ( ). El dominio de la función cúbica es R y su rango también es R. Por otra parte, si consideramos a la función cúbica como la suma o diferencia de la función cúbica y una recta o una parábola , vemos que la función de estos elementos es hacer que el término principal de la función cúbica se aproxime, en un cierto intervalo, a la recta o parábola dada. 67 En la actividad anterior graficaste las funciones utilizando los intervalos indicados, pero, ¿cómo elegir un intervalo adecuado para graficar una función cúbica en general? Al igual que en las funciones analizadas anteriormente, lo primero es calcular sus raíces, pero a diferencia de la función cuadrática, no existe una fórmula directa para hacerlo. Sin embargo, existen métodos para ello, por ejemplo, despejes, factorización o por división sintética. Recuerda que para calcular las raíces de una función se debe de resolver la igualdad = . Ilustraremos los métodos de despeje y factorización indicados con los siguientes ejemplos (en el bloque 5 estudiaremos la división sintética). Calcula las raíces de la función 𝑓 𝑥 = 2𝑥 6 y grafícala. Solución.- En este caso, el método adecuado es el despeje: 2𝑥 6= 2𝑥 = − 6 𝑥 = 𝑥= −16 3 = −8 −8 = −2 Un intervalo adecuado es −4,3]. 𝑥 𝑓 𝑥 -4 -112 -3 -38 -2 0 -1 14 0 16 1 18 2 32 3 70 En este caso la función sólo tiene una raíz. El intervalo propuesto contiene a la raíz y al cero. 68 Calcula las raíces de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 3𝑥 − 𝑥 y grafícala. Solución.- En este caso, el método adecuado es la factorización: 𝑥 − 3𝑥 − 𝑥 = 𝑥 𝑥 − 3𝑥 − = 𝑥 𝑥 2 𝑥−5 = De donde: 𝑥= , 𝑥 2= y 𝑥−5= Despejando 𝑥 = , 𝑥 = −2 y 𝑥 = 5 Un intervalo adecuado es −3,6]. 𝑥 𝑓 𝑥 -3 -24 -2 0 -1 6 0 0 1 -12 2 -24 3 -30 4 -24 5 0 6 48 En este caso la función tiene tres raíces. La ecuación 𝑥 − 3𝑥 − = también puede resolverse por la fórmula general. Nota que si el término independiente es cero, automáticamente tenemos la raíz 𝑥 = Calcula las raíces de la función 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 3𝑥 grafícala. 4𝑥 − 2 y Solución.- En este caso, el método adecuado es la factorización por agrupación: 𝑥 − 3𝑥 4𝑥 − 2 = 𝑥 − 3𝑥 4𝑥 − 2 = 𝑥 𝑥−3 4 𝑥−3 = 𝑥−3 𝑥 4 = De aquí, 𝑥−3= y𝑥 De donde: 𝑥=3 y 𝑥 4= 4= Un intervalo adecuado es −3,6]. 𝑥 𝑓 𝑥 -3 -60 -2 -40 -1 -20 0 -12 1 -10 2 -8 En este caso la función tiene una sola raíz. 69 3 0 4 20 5 58 6 120 4.2 La función polinomial de grado cuatro Si el grado del término principal de una función polinomial es mayor que tres, la función recibe el nombre de polinomial de grado , por ejemplo: = =2 4 − 9 es una función polinomial de grado cuatro. −4 3 − 8 es una función polinomial de grado cinco. Las características y comportamientos de las funciones polinomiales de grado cuatro aparecen en el siguiente esquema. La función polinomial de grado cuatro mínimo tiene un vértice y máximo tres. Función polinomial de grado cuatro 𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 4 𝑏𝑥 𝑐𝑥 𝑑𝑥 𝑐 Una función polinomial de grado cuatro puede tener 0, 1, 2, 3 ó 4 raíces reales. Los vértices representan extremos locales (máximos o mínimos) de la función. Después de analizar las gráficas anteriores, concluimos que la función polinomial de grado > es: = 1 −1 − ⋯ −1 tiene como dominio el conjunto de números reales y como rango el mismo conjunto cuando es impar, o un intervalo semi-infinito si es par. También observamos que si es impar, la función polinomial tiene por lo menos una raíz, y que si es par, puede no tener raíces. Recordemos que la multiplicidad se refiere al número de veces que se repite una raíz y que depende del grado del binomio que le da origen; además, la multiplicidad de una raíz nos indica la forma de la raíz de la función. Si la raíz es de multiplicidad 1 (simple), la gráfica corta bruscamente (casi perpendicular) al eje X; si es de multiplicidad dos, la gráfica es tangente al eje X en ese punto, y si es de multiplicidad tres, la gráfica corta al eje X de manera tangencial. 70 Raíz de multiplicidad 1 Raíz de multiplicidad 2 Raíz de multiplicidad 3 Al analizar la gráfica de las funciones polinomiales observamos, además, que éstas tienen puntos similares al vértice de una parábola, es decir, puntos donde el crecimiento o decrecimiento cambia de sentido. A estos puntos se les llama extremos locales. Si la función pasa de creciente a decreciente en el punto , , entonces dicho punto representa un máximo local, mientras que si la función pasa de decreciente a creciente en el punto , , entonces dicho punto recibe el nombre de mínimo local. Las características generales de las funciones polinomiales = de grado mayor que cuatro se muestran en el siguiente diagrama. 1 71 −1 1 Resuelve los siguientes problemas Una revista de negocios pronosticó que el valor de producción diaria (en millones) de una nueva empresa sería = −2 − 2. Construye su gráfica y determina en qué intervalo se encuentran los valores extremos. En una mina de carbón hay hombres en cada cuadrilla y la producción por cuadrilla 1 es de = 6 36 − (toneladas de carbón). Construye el gráfico correspondiente. Cuántos hombres debe tener una cuadrilla para que la producción sea máxima. 72 BLOQUE 5 FUNCIONES POLINOMIALES FACTORIZABLES CONOCIMIENTOS Obtener el residuo de la división de un polinomio entre un binomio de la forma − valiéndose del teorema del residuo. Identificar si un binomio de la forma − es factor de un polinomio valiéndose del teorema del factor. Comprender el proceso de la división sintética para un polinomio y un binomio de la forma − . Describe la prueba del cero racional y definir los teoremas fundamentales del algebra y de la factorización lineal. Reconocer los ceros reales y complejos de funciones polinomiales factorizables. HABILIDADES Determinar si un binomio de la forma − es factor de un polinomio sin necesidad de efectuar la división. Obtener en forma abreviada el cociente y el residuo de la división de un polinomio entre un binomio − . Obtener los ceros y las gráficas de funciones polinomiales factorizables. Explicar la prueba del cero racional, el teorema fundamental del álgebra y el teorema de la factorización lineal. Aplicar las propiedades de las funciones polinomiales en la resolución de problemas. ACTITUDES Y VALORES Presentar disposición al trabajo colaborativo con sus compañeros. Aportar puntos de vista personales con apertura y considerar los de otras personas. Reconocer sus errores en los procedimientos y mostrar disposición para solucionarlos. Actuar de manera propositiva al resolver los ejercicios planteados. Proponer formas creativas de solucionar problemas matemáticos. 73 Unidad de Competencia del Bloque 5 74 Funciones polinomiales factorizables a través del Teorema del residuo Teorema del factor Teorema de Rufinni se justifica el Teorema fundamental del álgebra para obtener el Número de raíces trazar su Factorizar 75 Gráfica Explica con tus propias palabras el mapa conceptual del Bloque 5: 5.1 Ceros y raíces complejas En el bloque tres analizamos la función cuadrática y observamos que podía tener dos raíces, una sola o ninguna. Esto es cierto en el conjunto de los números reales, pero en el conjunto de los números complejos siempre tendrá dos raíces. Observa el siguiente esquema: 𝑓 𝑥 =𝑥 4 Al resolver la ecuación 𝑥 4 = , obtenemos: 𝑥 = −4 𝑥 = ± −4 = ± 4 − 𝑥 = ±2 − = ±2𝑖 Números imaginarios 𝑖 es la unidad imaginaria de los números No tiene raíces reales, pero tiene dos raíces imaginarias. 𝑥 = −2𝑖 y 𝑥 = 2𝑖 76 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 4𝑥 3 Al resolver la ecuación 𝑥 − 4𝑥 3 = , mediante el método de formula general obtenemos: − −4 ± −4 − 4 3 𝑥= 2 4 ± 6 − 52 4 ± −36 𝑥= = 2 2 4 ± 6𝑖 𝑥= = 2 ± 3𝑖 2 Números complejos Es decir 𝑥1 = 2 3𝑖 𝑥 = 2 − 3𝑖 No tiene raíces reales, pero tiene dos raíces complejas. Número complejo 𝑎 𝑏𝑖 Observa que el hecho de que las raíces sean imaginarias o complejas indica que la gráfica de la función no se intersecta con el eje X. Como se muestra en el esquema previo, calcular las raíces de una función polinomial significa resolver la ecuación = . En el caso de la función lineal, con un despeje se resuelve una ecuación cuadrática puede resolverse mediante factorización o fórmula general. El problema se presenta cuando el grado de la función polinomial es mayor a dos, puesto que no tenemos una −1 fórmula específica para resolver la ecuación ⋯ = . 1 −1 En el cálculo de las raíces de una función polinomial de grado mayor a dos aparecen herramientas como a factorización, el teorema del residuo, el teorema del factor, el teorema fundamental del algebra, los números complejos o la división sintética, entre otros. 5.2 Factorización de un polinomio de grado 𝒏 Factorizar un polinomio de grado mayor a dos no es tan sencillo, pues es posible que los términos independientes de los factores lineales no sean números racionales o ni siquiera reales. Antes de tratar de factorizar un polinomio de grado mayor a dos, mencionaremos, sin demostrar, algunas propiedades tanto de los números reales como de los polinomios. Propiedades de la factorización de polinomios. Propiedad 1. Si el producto de 2 o más números es cero, por lo menos uno de las factores es cero. Así, si = , necesariamente = , o = o = . 77 Es más, si = y y ≠ , necesariamente = . Propiedad 2. La factorización de un polinomio de coeficientes enteros sólo contiene factores lineales o factores cuadráticos irreducibles. Propiedad 3. Si es un polinomio cualquiera, los números llaman raíces del polinomio. Por ejemplo, si = 4− raíz de dicho polinomio, pues 3 = 3 4− 3 =8 −9 tales que 9, entonces = se = 3 es 3 9 9= Propiedad 4. Si el término independiente de un polinomio es cero, entonces = es raíz del polinomio. A esta raíz se le llama raíz nula. Por ejemplo, el término independiente del polinomio 4 es cero y al factorizar tenemos 4 = 4 al igual a cero obtenemos 4 = , que tiene la raíz nula = . Los factores lineales son de la forma y los factores cuadráticos irreducibles son de la forma , de tal forma que sus raíces son números complejos. Los términos independientes de los factores lineales no son necesariamente números racionales, pues pueden ser irracionales, por ejemplo 3 . Las raíces pueden ser números reales o complejos. Teorema del residuo Funciona para determinar las raíces de un polinomio de cualquier grado. es cualquier numero real, el residuo de la división del polinomio −1 − ⋯ , entre − , es igual a . Es decir, 1 −1 donde = . = Si 78 − = , Por ejemplo si dividimos el polinomio 𝑃 𝑥 = 𝑥 entre 𝑥 4 obtenemos: 𝑥 𝑥4 4 𝑥 4𝑥 4 −𝑥 − 4𝑥 4 5𝑥 5𝑥 4 2 𝑥 4𝑥 4 5𝑥 2 𝑥 4𝑥 − 6 4𝑥 − 6 5𝑥 2 𝑥 −5𝑥 − 2 𝑥 4𝑥 − 6 −4𝑥 − 6 −32 𝑦 en 𝑥 = −4 𝑃 −4 = −4 4 −4 4 5 −4 2 −4 4 −4 − 6 𝑃 −4 = − 24 24 − 32 32 − 6 − 6 = −32 El valor del residuo es el valor del polinomio en 𝑥 = −4 Teorema del factor En una herramienta importante en el cálculo de las raíces de un polinomio y está basado en el teorema del residuo. Si el residuo de la división factor del polinomio, su raíz y viceversa. ⋯ − es cero, entonces Por ejemplo, al dividir el polinomio 𝑃 𝑥 = 𝑥 4 − 5𝑥 𝑥 − 3 obtenemos: 𝑥 −2 𝑥 − 24 entre 𝑥 − 2𝑥 4𝑥 − 8 𝑥 − 3 𝑥 − 5𝑥 𝑥 − 2 𝑥 24 −𝑥 4 3𝑥 −2𝑥 𝑥 2𝑥 − 6𝑥 4𝑥 − 2 𝑥 − 4𝑥 2𝑥 −8𝑥 24 8𝑥 − 24 4 Puesto que el residuo de la división es cero, 𝑃 3 = , 𝑥 = 3 es raíz del polinomio y 𝑥 − 3 es factor del polinomio, es decir: 𝑥 4 − 5𝑥 𝑥 −2 𝑥 24 = 𝑥 − 3 𝑥 − 2𝑥 79 4𝑥 − 8 es 5.3 Método para obtener las raíces de un polinomio de grado 𝒏 Teorema del cero racional Al desarrollar el polinomio = 2 − 4 3 − 2 se obtiene le polinomio 1 = 6 − 25 2 8; el cual tiene como raíces = − , = 4 y = . El coeficiente principal es el producto de los coeficientes principales de los factores. 2𝑥 𝑥 − 4 3𝑥 − 2 = 6𝑥 − 25𝑥 2𝑥 8 El término independiente del polinomio es el producto de los términos independientes de los factores Observa además que en la raíz racional = , el denominador divide al coeficiente principal, y el numerador divide al término independiente. Esto se resume en el siguiente teorema. Teorema del cero racional Si los coeficientes y del polinomio son distintos de cero y tiene raíces de la forma = , entonces es un divisor de y es un divisor de , es decir, el numerador divide el término independiente, y el denominador, al coeficiente principal. Es importante hacer notar que si el coeficiente principal los divisores del termino independiente . = , las posibles raíces son División sintética El proceso de división sintética es una manera simple de dividir un polinomio de la −1 − forma ⋯ entre un factor lineal de la forma + − 1 −1 , y al mismo tiempo nos permite calcular las raíces racionales de dicho polinomio utilizando los teoremas del residuo y el factor. Por ejemplo, si dividimos −5 Obtenemos −3 5 −9 Este mismo proceso lo puedes efectuar de la siguiente manera 1. Coloca los coeficientes de los términos del polinomio en un arreglo como el de la siguiente figura. 1 -3 80 5 -9 𝑥 2𝑥+15 𝑥 − 5 𝑥 − 3𝑥 5𝑥 − 9 −𝑥 5𝑥 2𝑥 5𝑥 −2𝑥 𝑥 5𝑥 − 9 − 5𝑥 75 66 2. En la casilla coloca el término independiente del factor lineal con signo contrario (5). 1 -3 5 -9 5 3. Baja el primer coeficiente y multiplícalo por el número en la casilla. Coloca el resultado sobre la línea abajo del segundo coeficiente y sum los números. 1 1 -3 5 2 5 -9 5 4. Repite el proceso multiplicando este resultado por el número en la casilla, coloca el resultado sobre la línea debajo del siguiente coeficiente hasta terminar. 1 1 -3 5 2 5 10 15 -9 5 Observa que lo primeros números en la parte de abajo representa los coeficientes del cociente 2 5 ,y el último, el residuo (66). 1 1 -3 5 2 5 10 15 -9 5 75 66 −1 De lo anterior, si se tiene la división de polinomio = 1 entre el factor lineal − , entonces, al aplicar la división sintética −1 −1 1 − ⋯ − ⋯ −1 − 1 ⋯ 1 −1 1 −1 −1 Los primeros − números en la última línea son los coeficientes del polinomio cociente de la división, cuyo grado es una unidad menor que la del polinomio original. Si el último número es cero, entonces es raíz del polinomio y − es uno de sus factores, y la factorización queda como 81 −1 − 1 − ⋯ El último número es el residuo de la división − −1 = , y además . Así, una manera de evaluar un polinomio, factorizarlo o calcular sus raíces sin hacer uso de la calculadora ni hacer muchas operaciones es a través de la división sintética. Por ejemplo, evalúa y factoriza el polinomio [-4,3]. 1 1 1 1 3 -4 -1 -4 -4 0 -12 0 -12 -4 3 -1 2 -4 -2 -6 -12 6 -6 -1 1 1 1 1 1 1 = 3 3 -3 -1 -4 0 -4 -12 -12 0 -3 3 1 4 -4 4 0 -12 0 -12 1 3 3 6 -4 18 14 -12 42 30 3 − 4 − 2 en el intervalo 1 1 1 1 3 -2 1 -4 -2 -6 -12 -4 12 0 3 2 5 -4 10 6 -12 12 0 -1 Observa que el polinomio tiene tres raíces, = −3, = −2 y = 2, por lo que los binomios 3, 2 y − 2 son factores del polinomio; además, puesto que es de grado tres, éstos son los únicos factores, por lo que la factorización resulta: 3 −4 − 2= 3 2 −2 Cuando se necesiten calcular las raíces de un polinomio es necesario considerar que estas pueden ser repetidas (de multiplicidad mayor o igual a dos), por lo que es necesario volver a comprobarlas. 82 Calcula las raíces del polinomio 𝑃 𝑥 = 𝑥 4 − 2𝑥 − 8𝑥 8𝑥 − 9 y factorízalo. Solución: Como 𝑎𝑛 = , las posibles raíces son los divisores de 𝑎𝑛 = 9, es decir, ± , ±3 𝑦 ± 9 Si empezamos con 𝑥 = tenemos: 1 1 -2 1 -1 -8 -1 -9 18 -9 9 -9 9 0 1 Por lo que 𝑥 = es raíz. Si utilizamos los números en la última fila como los coeficientes de un nuevo polinomio de grado tres, y volvemos a comprobar el valor 𝑥 = , obtenemos: 1 1 -1 1 0 -9 0 -9 9 -9 0 1 Lo cual significa que 𝑥 = es raíz de multiplicidad 2. La solución del polinomio cuadrático que resulta 𝑥 − 9 = factorización, despeje o división sintética: 1 1 0 3 3 -9 9 0 puede calcularse por 3 𝑥 = 3 también es raíz del polinomio. El último renglón de la división sintética da el factor 𝑥 3 = , que origina la raíz 𝑥 = −3. Por lo tanto, las raíces son 𝑥 = de multiplicidad 2, 𝑥 = 3 y 𝑥 = −3, por lo que la factorización es 𝑥 4 − 2𝑥 − 8𝑥 8𝑥 − 9 = 𝑥 − 𝑥−3 𝑥 3 . 5.4 Teorema fundamental del álgebra Un resultado importante dentro del álgebra, pero que se relaciona con las funciones polinomiales, es el teorema fundamental del álgebra, que se enuncia a continuación: Teorema del cero racional Todo polinomio de grado múltiples o complejas. tiene exactamente raíces, que pueden ser simples, Las raíces de un polinomio quedan determinadas por la factorización del mismo, pues si: −1 − ⋯ = 1 −1 Y si −1 − ⋯ = − 1 − − = 1 −1 Entonces aplicando las propiedades 1 y 2 vistas al inicio del bloque, tenemos que − 1 − − = , y como ≠ , entonces − 1 − − = . Por lo que: − 1 = → = 1 83 − = → = − = → = Si todas las raíces son diferentes, decimos que son raíces simples, y si hay raíces iguales, que son de multiplicidad , donde es el número de veces que se repiten. −1 − Si la factorización de un polinomio es ⋯ = 1 −1 − 1 − − , decimos que 1 es raíz de multiplicidad , es raíz de multiplicidad …, y que es raíz de multiplicidad . Además, ⋯ = , es decir, la suma de las multiplicidades es igual al grado del polinomio. La importancia del teorema fundamental del álgebra radica en la posibilidad de conocer de antemano el número de raíces que tiene un polinomio de grado para después determinarlas; una vez identificadas las raíces, se debe preceder el comportamiento de la gráfica de dicho polinomio, es decir, si la gráfica corta bruscamente al eje X, si es tangente al mismo o si lo corta de manera tangencial. A demás, también nos ayuda a predecir cuantos extremos locales puede tener, que como vimos en el bloque anterior pueden ser − . 5.5 Gráfica de una función polinomial Se va a determinar intervalos para el trazo adecuado de una función polinomial utilizando la factorización de un polinomio. Para graficar una función polinomial calculamos primero sus raíces reales y elegimos un intervalo que contenga una unidad menor a la más pequeña y una unidad mayor a la más grande. Es decir, si las raíces menor y mayor de un polinomio son y , entonces el intervalo adecuado para graficar es − , ]. Éste es un intervalo adecuado, pues entre las raíces se encuentran los posibles extremos locales de la función polinomial, por lo que en él se bosquejan el comportamiento general de la función. Si el termino independiente de un polinomio de grado mayor a dos es cero, primero debe factorizarse por factor común para obtener la raíz nula, y el factor resultante se le aplica algún método de los estudiados con anterioridad: factorización, despeje, fórmula general o la división sintética, según corresponda. 84 Calcula las raíces de cada una de las siguientes funciones utilizando el método más conveniente y bosqueja en un intervalo adecuado. Observa los ejemplos. = 4 −8 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 Por factorización: 4 −8 = 9 −9 = 9 3 −3 = 9= 3= −3= → → → = ±3 = −3 =3 175 0 -65 -80 -81 -80 -65 0 175 El intervalo adecuado es [-4,4] = −4 4 − 4 36 45 Por factorización y división sintética: −4 4− 4 4 −4 − 4 𝒙=𝟎 4 −4 − 4 36 36 36 45 = 1 -4 -14 36 45 -3 -3 21 -21 -45 1 -7 7 15 0 1 1 -7 7 15 -1 8 -15 -8 15 0 45 = 45 = 𝒙 = −𝟑 -1 𝒙 = −𝟏 −8 5= → −3= → 𝒙=𝟑 −3 −5= −5 = → 𝒙=𝟓 Las raíces de la función son -3, -1, 0, 3 y 5; por lo que el intervalo adecuado es [-4,-6] -4 -756 -3 0 -2 70 -1 0 0 0 1 64 85 2 90 3 0 4 -140 5 0 6 1134 =2 4 − 6 = 4 2 = 36 − 3 4 −6 86 − 32 − 4 −7 −6 64 24 =8 = = −9 − 4 − 72 4 − 8 8 87 22 9 −8 −5 8 − 45 Encuentra una función polinomial de grado cuatro cuyas raíces sean las indicadas, expresa su factorización y bosqueja su gráfica. Observa los ejemplos. Raíces: -3, 1, 2, 5 Las raíces = −3, = , originan los binomios: =2y =5 3 = , − = , −2 = y −5 = . Si multiplicamos estos binomios, tenemos: = 3 − Al desarrollarlo queda: 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟒 − 𝟓𝒙𝟑 − 𝟕𝒙𝟐 -6 144 -5 0 −2 −5 𝟒𝟏𝒙 − 𝟑𝟎 -4 -28 -3 -12 -2 0 -1 -16 0 -60 1 -108 0 -60 1 -108 2 -112 3 0 4 324 Raíces: -5, -2, -2, 3 Las raíces = −5, = −2, = −2 y = 3 originan los binomios: 5= , 2 = y − 3 = . De donde al multiplicarlos tenemos: = 5 −2 −3 Que al desarrollarlo se obtiene: 𝒇 𝒙 = 𝒙𝟒 𝟔𝒙𝟑 − 𝟑𝒙𝟐 − 𝟓𝟐𝒙 − 𝟔𝟎 -6 144 -5 0 -4 -28 -3 -12 -2 0 -1 -16 88 2 -112 3 0 4 324 1 de multiplicidad 4 Raíces: -4, -4, 2, 2 89 Raíces: -3, 2, 2, 4 Encuentra una función polinomial de grado cinco cuyas raíces sean las indicadas y dibuja su gráfica. Raíces: -2, -2, 2, 2, 5 90 Raíces: -4, -2, 0, 2, 4 3 (de multiplicidad 5) 91 BLOQUE 6 FUNCIONES RACIONALES CONOCIMIENTOS Definir los componentes polinomiales de una función racional. Identificar las posibles asíntotas de funciones racionales (horizontales, verticales y oblicuas). HABILIDADES Expresar una función racional mediante polinomios que carecen de factores comunes. Determinar el dominio de definición de una función racional. Determinar si una función racional posee asíntotas horizontales, verticales u oblicuas, y de ser así, obtenerlas. Elaborar la gráfica de una función racional auxiliándose de sus asíntotas cuando éstas existan. Aplicar las funciones racionales en la resolución de problemas. ACTITUDES Y VALORES Presentar disposición al trabajo colaborativo con sus compañeros. Aportar puntos de vista personales con apertura y considerar los de otras personas. Reconocer sus errores en los procedimientos y mostrar disposición para solucionarlos. Actuar de manera propositiva al resolver los ejercicios planteados. Proponer maneras creativas de solucionar problemas matemáticos. Asumir una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con lo que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. 92 Unidad de Competencia del Bloque 6 93 Funciones racionales la aplicación de las propiedades conceptos y componentes y el caso especial Denominador Numerador sus Potencias enteras negativas y Raíces Grado y para la comprensión de Multiplicidad Asíntotas en sus diversas orientaciones y formas Horizontales, oblicuas y curvas Verticales para la construcción Gráfica y llevar a otros contextos, sus Aplicaciones 94 Traslaciones y reflexiones Explica con tus propias palabras el mapa conceptual del Bloque 6: 6.1 El concepto de función racional Funciones racionales 𝑝 𝑥 𝑞 𝑥 𝑘 𝑅1 𝑥 = 𝑞 𝑥 𝑅 𝑥 = Por ejemplo… Dominio 𝑓 𝑥 = 𝑔 𝑥 = ℎ 𝑥 = 𝑥 2𝑥 − 3 3𝑥 − 5−𝑥 𝑥 𝑥≠ 𝑥≠ Se lee: Todos los números reales, excepto 0. 1 𝑥 ∈≠ ℝ Todos los numero reales, excepto 1/3. Todos los numero reales. No todos los denominadores tienen raíces en los números reales. Dominio: 𝑞 𝑥 ≠ Léase: ≪ 𝑞 𝑥 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑐𝑒𝑟𝑜 ≫ Una función racional 𝑅 la contruyes con el cociente de dos polinomios 𝑝 y 𝑞, o un número 𝑘 y un polinomio 𝑞 en el denominador. Para la construcción del denominador de una función racional se consideran, en primera instancia, todos los números reales. De ellos se suprimen los que anulan el denominador: sus raíces. Siempre que divides dos polinomios, o un número entre un polinomio, obtienes una función racional. El dominio es fácil de determinar: consideras de inicio a todos los números reales; luego eliminas de este conjunto aquellos valores que hacen cero al 95 denominador, es decir, sus raíces. Sin embargo, debes tener presente que no todos los polinomios presentan raíces en los reales. En estos casos, el dominio de la función racional será simplemente todo número real. Determina el dominio de cada una de las funciones dadas. = = = = = 3 4 2 3 −4 − 2 =− 3 −3 − 3 −2 6.2 Raíces de la función racional Existe una estrecha relación entre las raíces de una función racional y las de un polinomio: su numerador. 96 Raíces de la función racional = 𝑅 𝑥 = Para que una fracción sea cero, basta con que el numerador tenga este valor. 𝑅 𝑥 = 3 𝑝= → 𝑝 𝑥 𝑞 𝑥 𝑘 𝑞 𝑥 No tiene raíces, 𝑘 no se anula. 𝑞 𝑥 ≠ → 𝑅1 𝑥 = 𝑝 𝑥 = Las raíces de 𝑦 = 𝑅 𝑥 son las mismas que las raíces de 𝑦=𝑝 𝑥 𝑝 = 𝑞 Por ejemplo: 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 2 2𝑥 𝑥 2 𝑓 2 = 2−2 2 2 2 2 𝑓 2 = 5 4 𝑥 ≠ −2 ] 𝑓 (− ) = 2 = 𝑓 (− ) = 2 Raíces de 𝑦 = 𝑓 𝑥 : 𝑥 = 2, − 1 *− 2 − 2+ *2 (− 2) *− 2+ 5 *− 2+ 3 2 + 2 = Las raíces de una función racional corresponden a las raíces del polinomio que aparece en el numerador. Se determinan resolviendo la ecuación que resulta de igualar ésta con cero. Error común… 3 = ¡No puedes dividir entre cero! Existe una propiedad más que la función racional comparte con el polinomio asociado a su numerador: el comportamiento gráfico asociado a la a la multiplicidad de raíces. 97 Multiplicidad de las raíces en las funciones racionales Raíces 𝑥 = − , − , , 2, 2 Raíz única: la curva simplemente corta al eje X. Multiplicidad par: la curva es tangente en el eje X. Multiplicidad impar (mayor que uno): la curva corta al eje x con su forma característica. Aunque las curvas son diferentes, los efectos gráficos, asociados a la multiplicidad de raíces, son semejantes para el polinomio y la función racional Determina las raíces de cada una de las funciones propuestas a continuación indicando su multiplicidad.(Raíz única, impar mayor que uno o par) =− = = = − 2 3 − = 98 2 −3 = 3 −2 −4 3 − 2 −9 −4 4 2 6.3 Potencias enteras negativas División desde las gráficas La característica esencial de las funciones racionales es ser un cociente de polinomios. Podemos valernos de esto para construir directamente el gráfico de una función desde las gráficas de sus polinomios componentes, utilizando lo que sabemos acerca de la división. 1 Graficar 𝑓 𝑥 = 𝑥 Graficando en la división de funciones Salvo en 𝑥 = , las dos funciones componentes indican imágenes con el mismo signo (positivo). Ambas encima del eje X. Su cociente será positivo y curva resultante estará también encima del eje X. El eje X 𝑦 = se convierte en asíntota horizontal El eje Y 𝑥 = se convierte en asíntota vertical. Visualizando desde 1 hacia la derecha (x creciendo), el denominador crece cada vez más rápido (la curva verde sube y está siempre encima de la azul) y el cociente disminuye, con el crecimiento del denominador, cada vez más… Así, la curva resultado de la división (cantidades positivas) baja acercándose al eje X. No la toca ni la corta. Visualizando desde 1 hacia el 0, el denominador va disminuyendo (la curva verde baja) y el cociente crece cada vez más. Así, la curva resultante de la división (cantidades positivas) crece hacia arriba (curva roja). En base al cuadro anterior encontraras asíntotas verticales en las raíces del denominador. Aquellos valores de en donde el denominador se anule. El signo de las funciones componentes es importante. Lo determinas por la ubicación de la curva en relación con el eje X, positivo si va por encima, negativo si la curva está 99 debajo. Signos iguales indican curva positiva, es decir, por encima de X, signos opuestos indican curva negativa o debajo de X. Para el análisis se deben construir subregiones sobre X, con límites en las raíces del numerador y del denominador. En este caso, las primeras no existen. Traslaciones y reflexiones Si antes observamos el comportamiento asintótico del eje Y para potencias enteras positivas, nos percatamos ahora que las asíntotas verticales aparecen asociadas a las raíces del denominador en la función racional. El siguiente esquema hace una generalización del resultado anterior visto desde la propiedad de traslación horizontal de un gráfico analizada en el bloque 2. Asíntotas verticales 𝑓 𝑥 = 𝑓1 𝑥 = 𝑓 𝑥 = El gráfico de 𝑦 = 𝑓 𝑥 𝑐 se traza desplazando horizontalmente una distancia 𝑐 el gráfico de 𝑦 = 𝑓 𝑥 A la derecha, si 𝑐 es positivo. A la izquierdo, si 𝑐 es negativo. 𝑥 𝑥 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑔1 𝑥 = 𝑔 𝑥 = 2 𝑦= 𝑥 𝑐 𝑛 100 𝑥 ≠ −𝑐 𝑥 𝑥− 𝑥−2 Construye las gráficas de las funciones proporcionadas auxiliándote de las que ya conoces. Indica el dominio y el rango de la función. = Dominio Rango = Dominio Rango =− Dominio Rango = 3 Dominio Rango 101 =− 4 −3 Dominio Rango =− 3 −5 Dominio Rango Escribe en forma analítica y grafica los casos que se anuncian. La iluminación de una fuente luminosa varía inversamente profesional con el cuadrado de la distancia a la fuente. Escribe la iluminación en función de la distancia la gráfica respectiva. 102 La intensidad del campo eléctrico en la cercanía de una carga , varía invensamente proporcional con el cuadrado de la distancia a la carga . Se sabe que para una carag de el campo eléctrico a una distancia de 0.1 m es de 9 . Escirbe la función que da la intensidad del campo eléctrico en términos de la distancia. Encuentre el valor de éste a una distancia de 0.2m. Haz la gráfica de la función. El potencial de una carga varía inversamente proporcional a la distancia con la carga . Se sabe que para un carga de el potencial a una distancia de 0.1m es 4 de 9 . Escribe la función que da el potencial en términos de la distancia y encuentra el potencial a una distancia de 0.2m. Haz la gráfica de la función. 103 6.4 Asíntotas horizontales, oblicuas y curvas. Las asíntotas son curvas o rectas útiles para el trazo de gráficas, particularmente de las funciones racionales. Las hay horizontales, verticales y oblicuas. También se pueden utilizar curvas como asíntotas. Asíntotas Guía para el trazo de curvas El comportamiento asintótico se presenta cuando un par de curvas parecen acercarse entre sí, indefinidamente, sin tocarse o cortarse. En realidad, en el análisis, una curva se denomina asíntota cuando se emplea como una guía para el trazo de la gráfica de una función de interés. Como las asíntotas son meros auxiliares en el gráfico de una curva, sin formar parte de ella, se les traza con líneas punteadas. Determinar las asíntotas de la gráfica de una función es un valioso auxiliar en el trazo de ésta. Cuando deseas graficar una función racional, primero colocas sus asíntotas en el esquema. Con ellas como guía procedes al trazo de la gráfica deseada. 104 Construya el grafico de las siguientes funciones. Emplea para ello sus raíces y su multiplicidad, asíntotas verticales, horizontales, oblicuas o curvas según se presente. = = 2 105 2 = = = −4 −3 −2 − 106 2 BLOQUE 7 FUNCIONES EXPONENCIAL Y LOGARITMICA CONOCIMIENTOS Identificar la forma de las funciones exponenciales (crecientes y decrecientes). Reconocer la función exponencial natural (el número , crecimiento o decremento en base . Interpretar algebraicamente y gráficamente a la función logarítmica como la inversa de la función exponencial. Identificar las propiedades de los logaritmos inherentes a su definición y operativas. Comprender las propiedades y técnicas de resolución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas. HABILIDADES Explicar por qué una función exponencial es creciente o decreciente. Obtener el valor inicial y el factor de crecimiento de una función exponencial. Utilizar la función exponencial natural para modelar situaciones que involucren el número . Construir la función logarítmica como la inversa de la función exponencial. Operar con logaritmos y resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Reconocer situaciones que puedan modelarse mediante funciones exponenciales y logarítmicas así como aplicarlas para hallar su solución. ACTITUDES Y VALORES Asumir una actitud de apertura que favorezca la solución de problemas. Apreciar la utilidad de las técnicas algebraicas de resolución de ecuaciones para simplificar procesos y obtener soluciones precisas. Presentar disposición al trabajo colaborativo con sus compañeros. Aportar puntos de vista personales con apertura y considerar los de otras personas. Proponer maneras creativas de solucionar problemas matemáticos. Asumir una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con lo que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. 107 Unidad de Competencia del Bloque 7 108 Funciones exponencial y logarítmica tienen modela o representa Notación Elementos Fenómenos reales son es Dominio Exponencial 𝑓 𝑥 = 𝑏𝑥 Logarítmica 𝑓 𝑥 = log 𝑏 𝑥 Base b si b=e 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥 Propiedades de los logaritmos Variación exponencial cumple Propiedades de los exponenciales 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 tiene tiene si b=e Rango a través de Crecimiento exponencial por ejemplo Decaimiento exponencial Inversiones 109 Crecimiento de una población Desintegración radiactiva Explica con tus propias palabras el mapa conceptual del Bloque 7: 7.1 La función exponencial Existen funciones de la forma = , que representan a una función exponencial. Función exponencial 𝒙 es el exponente variable 𝒇 𝒙 = 𝒂𝟎 𝒃𝒙 𝒃 es la 𝒃𝒙 es el factor de crecimiento Condiciones iniciales: 𝑓 𝑥 =𝑎 Ejemplos: 𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑥 =2 2 𝑥 2 𝑥 base constante La función exponencial es de la forma = , en donde la base es contante y el exponente es variable. Como se indica en el esquema, representa el factor de crecimiento de población o cantidad inicial representada por . Las condiciones iniciales representan la intersección de la gráfica de la función exponencial con el eje Y, es decir, la imagen de la función exponencial en el momento de iniciar analizar el fenómeno que representa (incremento o decremento de una población, la cantidad de dinero ahorrado, entre otros). La existencia de la función exponencial se ubica a continuación: 110 𝒇 𝒙 = 𝒂𝟎 𝒃𝒙 𝑏= 𝑏 𝑓 𝑥 = −2 𝑥 𝑓 ( ) = −2 2 𝑓 𝑥 = 𝑥 𝑏= 𝑓 𝑥 = 𝑥 1 𝑓 ( ) = −2 2 No existen en los números reales. 𝑏 𝑓 𝑥 =( ) 2 𝑥 No existe para valores negativos de 𝑥 . Para valores positivos de 𝑥: 𝑓 𝑥 = 𝑥= 𝑏 𝑓 𝑥 = 2𝑥 𝑓 𝑥 = 𝑥= para todo valor de 𝑥. Solo interesan los casos en que: 𝑏> y 𝑏≠ 𝑓 𝑥 = 𝑎 𝑏 𝑥 existe para todo valor de 𝑥. Las caracteristicas de la función exponencial se muestra en el siguiente esquema: 111 Características generales de la función exponencial 𝑓 = 𝑓 =𝑏 Dominio: ℝ Codominio: ℝ Rango: , ∞ Biyectiva en su rango No tiene raíces Si 𝑥 tiende a −∞, 𝑓 𝑥 tiende a . Si 𝑥 tiende a ∞, 𝑓 𝑥 tiende a ∞. Creciente Si 𝑥 tiende a −∞, 𝑓 𝑥 tiende a ∞. Si 𝑥 tiende a ∞, 𝑓 𝑥 tiende a . Decreciente La notación 𝑥 → ∞ implica que la variable 𝑥 toma valores muy grandes, es decir, crece indefinidamente y se lee: 𝑥 tiende o se aproxima al infinito ∞ . Evidentemente 𝑥 nunca es igual a ∞. La base natural Supongamos que un cierto banco ofrece el 100% de interés anual capitalizando cada año. Para competir, otro banco ofrece el mismo interés pero capitalizando cada seis meses; un tercer banco ofrece lo mismo pero capitalizando cada cuatro meses, y un cuarto banco la misma oferta pero capitalizando cada mes. ¿Qué ocurre si el depósito se capitaliza bimestralmente, mensualmente y diariamente? ¿Existe un capital máximo? Analicemos la situación. Si se deposita un cierto capital de año tendremos: = = en el primer banco, al final =2 Si lo depositamos en el segundo banco, al capitalizar dos veces al año tenemos: = 2 2 Primera capitalización 2 Segunda capitalización De donde: = ( ) 2 112 2 [ ( 2 )] = ( )( 2 = ( ) 2 2 ) 1 Análogamente, en el tercer banco tendremos: = ( ) . En general, capitalizando de manera continua el capital en cualquier momento estará dado por: = ( ) En términos generales, puede tomar cualquier valor de los números reales, pero en el contexto donde se está analizando, el tiempo mínimo de capitalización es de un día, es decir, el valor más grande de es de 365. Observa que en un año hay 2 periodos semestrales, 3 cuatrimestrales, 4 trimestrales, 6 bimestrales, 12 mensuales y 365 periodos diarios, de ahí que le factor de crecimiento sea ( 1 ) . 1 Analicemos este factor de crecimiento: ( ) Si tabulamos algunos valores de este factor tendremos: 1 2 2 2.25 3 2.37 4 2.44 6 2.52 12 2.61 365 1000 10000 100000 1000000 2.7145 2.7169 2.7181 2.71826 2.71828 1 El factor de crecimiento: ( ) tiene un comportamiento asintótico cuando crece infinitamente. La asíntota es el número =2.718281828…, llamado número de Euler en honor al matemático Leonard Euler, quien lo propuso por primea vez. Así, el depósito capitalizado continuamente puede expresarse como: = Este número también se conoce como base natural, pues aparece en muchos fenómenos relacionados con el crecimiento o decrecimiento exponencial. Por ejemplo, la desintegración radiactiva de un material es una función de la forma: = − Donde es la cantidad de material inicial, es una contante de desintegración que depende del material y es el tiempo de desintegración. Además es base de los logaritmos naturales que veremos a continuación. La función de crecimiento logística =1 describe una gran cantidad de fenómenos de crecimiento, por ejemplo, el crecimiento de una población (personas, animales o bacterias), en el esparcimiento de noticias o enfermedades, entre otros. 113 7.2 La función logarítmica El logaritmo de un número se define de la siguiente manera: El logaritmo de un número 𝒙 , en una base dada (𝒃 , es el exponente al que hay que elevar la base para obtener dicho número, y se denota como = 𝒃 𝒙. Por ejemplo, log 32 = 5 porque 2 = 32, es decir, 5 es el exponente al que hay que elevar la base 2 para obtener 32. Otros ejemplos son: log1 = 6, porque 6 = 1 −6 log1 64 = −6, porque ( ) = 64 Al igual que en la función exponencial, sólo tiene sentido hablar de logaritmos en bases positivas distintas de 0 y 1. Sin embargo, las bases que más se aplican en diferentes fenómenos son las bases y 10. Si tomamos logaritmos en base se dice que tenemos logaritmos naturales: log = ln Si se toman logaritmos en base 10 la base no se indica, por lo que log1 = log , es decir, si en una expresión logarítmica no aparece indicada la base se entiende que ésta es 10. Podemos establecer que si = , entonces = log . Esto nos permite definir a la función logarítmica como la inversa de la función exponencial. Propiedades generales de la función logarítmica Dominio: , ∞ Codominio: ℝ Rango: ℝ Raíz: 𝑥 = Biyectiva Si 𝑥 tiende a 0, log 𝑏 𝑥 tiende a ∞. Si 𝑥 tiende a ∞, log 𝑏 𝑥 tiende a −∞. Decreciente Si 𝑥 tiende a , log 𝑏 𝑥 tiende a −∞. Si 𝑥 tiende a ∞, log 𝑏 𝑥 tiende a ∞. Creciente 114 Propiedades de los logaritmos Los logaritmos, al igual que los exponentes, cumplen con ciertas propiedades, las cuales te presentamos a continuación. Propiedad 1) 2) 3) 4) 5) log log log log log 6) log 7) log 8) log Ejemplo log = , log = , log = log 2 = , log = , log 5 = log 2 = 3, log = 5, log 5− = −3 log 4 8 = log 4 log 8 1 log 1 = log − log = = = = log log = log − log = log = log = log log 4 = 9 log 4 1 log 9 = log 9 log log 64 = log 64 log 2 Utiliza las propiedades de los logaritmos comprobando las siguientes igualdades. 2 log 3 − log 64 3 log 6 = log 36 Solución.- utilizando las propiedades de los logaritmos que se tienen: 2log 3 − log 64 log 6 = log 3 − log 3 = log 9 − log 4 log 6 9 = log log 6 4 9 = log ( ) 6 4 = log 36 2 3 log 2 − log 32 5 115 2 = log 3 8 64 log 6 log −7 6 − log − 6 = log − 7.3 Ecuaciones exponenciales y logarítmicas Una de las aplicaciones de las propiedades de los logaritmos es la solución de ecuaciones exponenciales y logarítmicas que muchas veces se derivan de modelos basados en fenómenos naturales, y cuyas soluciones satisfacen ciertas condiciones del modelo, como veremos más adelante. A una ecuación cuya variable es un exponente se le llama ecuación exponencial, y una ecuación que contiene expresiones logarítmicas de por lo menos una variable se le llama ecuación logarítmica. Ecuación exponencial Ecuación logarítmica Despejar en primer lugar la expresión exponencial y después el exponente utilizando la equivalencia 𝑦 = 𝑏𝑥 𝑥 = log 𝑏 𝑦 Para expresar la ecuación en la forma 𝑥 = 𝑦 , y resolverla, simplifica la ecuación en la forma log 𝑏 𝑥 = log 𝑏 𝑦 Las ecuaciones exponenciales y logarítmicas guardan una gran relación entre sí, pues como puedes observar en el esquema, al resolver una ecuación exponencial se aplican las propiedades de la función logarítmica y viceversa. 116 Métodos básicos de resolución algebraica Con los ejemplos siguientes te explicamos los diferentes métodos de los que hacer uso para resolver ecuaciones exponenciales y logarítmicas. Encuentra el valor de 𝒙 en la ecuación 𝟐𝟒𝒙 = 𝟒𝒙 𝟑 Utilizando las propiedades de los exponentes la ecuación puede reescribirse como: 24 = 2 , de donde: 24 = 2 6 Como se presenta una igualdad entre dos potencias de la misma base y la función exponencial es biyectiva, los exponentes deben ser iguales, por lo que: 4 =2 Y resolviendo tenemos que 6 = 3. Otra manera de resolver el ejercicio es aplicar logaritmos en una base adecuada, por ejemplo 10, en ambos miembros de la igualdad, así como aplicar las propiedades de los logaritmos. Si: 24 = 4 , entonces: log 24 = log 4 de donde, por propiedades de logaritmos: 4 log 2 = 3 log 4 Desarrollando y simplificando: 4 log 2 = log 4 3 log 4 4 log 2 − log 4 = 3 log 4 4 log 2 − log 4 = 3 log 4 3 log 4 3 log 2 3 2 log 2 6 log 2 = = = = 4 log 2 − log 4 4 log 2 − log 2 4 log 2 − 2 log 2 2 log 2 =3 Encuentra el valor de 𝒙 en 𝟓𝒙 = 𝟑𝒙−𝟏 Tomando logaritmos en base 10, tenemos: 5 =3 −1 → log 5 = log 3 −1 De donde: log 5 = − log 3 log 5 = log 3 − log 3 log 5 − log 3 = − log 3 log 5 − log 3 = − log 3 log 3 log 3 =− =− log 5 − log 3 log 5 3 −2 5 117 Resuelve la ecuación 𝟐𝟐𝒙 𝟐𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎 Observemos que la ecuación puede escribirse como: 2 2 − 2= Por lo que si hacemos = 2 obtenemos: − 2= Que también podemos resolver por factorización como: 4= −3= Ahora bien, puesto que → → 4 − 3 = , de donde: = −4 =3 = 2 , tenemos que: 2 = −4 y 2 = 3. Pero como la expresión exponencial 2 siempre es positivo, no existe solución real para 2 = −4, por lo que el único valor posible se deriva de: 2 =3 → = log 32 Resuelve la ecuación 𝒆𝟐𝒙 − 𝟒𝒆𝒙 𝟏𝟔𝒆−𝒙 − 𝟒 = 𝟎 Puesto que la función = es positivo para cualquier valor de , podemos expresar la ecuación como: −4 16 −4= 3 Desarrollando y simplificando, tenemos: despejando, tenemos: −4 6−4 −4 16−4 = = , de donde, ordenando y = . Observa que si tomamos a = , esta ecuación puede expresarse como: −4 4 6 = la cual puede expresarse, por factorización o división sintética, como: −4 −4 6= 2 −2 − −4 De donde: 2= −2= −4= → → → = −2 =2 =4 Como = y > para todo valor de , el valor que solamente tenemos a: =2 → = ln 2 y Como soluciones de la ecuación. 118 =4 = −2 queda descartado, por lo → = ln 4 Encuentra el valor de 𝒙 en la ecuación 𝟐𝒙 = 𝟑 Aplicando las propiedades de los logaritmos, tenemos: log log log log log 𝟐 𝟏 𝟑−𝟐 𝟐 𝟑𝟔 𝟒 = log 3 − log 36 log 24 = log 27 − log 6 log 6 27 = log log 6 6 27 = log ( ) 6 6 9∙3∙2∙8 = log = log 72 3∙2 Como la función logarítmica es biyectiva: Necesariamente log = 72. = log 72 Resuelve los siguientes ejercicios aplicando las propiedades de los exponentes y de los logaritmos según corresponda. 34 = 25 34 = 5 log −1 3 = 2 log 3 − log 8 4 2 log 2 − 3 3 119 − =9 −5 log −1 −6= = log 3 −5 4 6= − 9= 7.4 Aplicaciones de las funciones exponencial y logarítmica Ahora se verán algunas situaciones que se resuelven con la aplicación de las propiedades de las funciones exponenciales y logarítmicas. Modelos logarítmicos Existen fenómenos en la naturaleza como la intensidad sonora e intensidad sísmica que pueden modelarse por medio de funciones logarítmicas. Intensidad sonora 𝑓 𝐼 = log Intensidad sísmica: 𝐼 𝐼 𝑓 𝐼 = log 𝐼 𝐼 𝐼 =Energía sonora por unidad de área de la onda. 𝐼 = Energía del umbral de audibilidad (mínima intensidad que puede percibir un dispositivo sensor) 𝐼 = −16 watts/cm2 para el humano 𝑓 𝐼 se mide en bels. 𝐼 =Energía por unidad de área liberada por el sísmo. 𝐼 =Mínima intensidad de comparación. 𝑓 𝐼 se calcula en grados Richter. Por ejemplo: Por ejemplo: Utilizando el modelo de intensidad sonora, Un sismo tuvo una magnitud de 8 grados en calcula la intensidad de un sonido que la escala de Richter. ¿Cuál es, aprox., la transporta una energía de 1.25x10-6 watts/cm2. energía liberada durante el evento? 𝑓 25 × −6 𝑓 𝑓 25 × 25 × −6 −6 = log 25 × = log 25 × 𝑏𝑒𝑙 −6 Utilizando el modelo: −16 1 𝑓 𝐼 = log 𝐼 𝐼 Comparada con una intensidad de audibilidad, Tenemos: log 𝐼 = 8 1 es mucha energía. Aplicando la función inversa, tenemos que: 𝐼 log = 8 8 log 𝐼 = 8 → 𝐼 watts/cm2 Un temblor de esta magnitud destruiría cualquier ciudad. 120 Resuelva los siguientes problemas. A causa de una crisis económica, una empresa ve disminuidos sus ingresos anuales de 952 000 dólares en 1990 hasta 725 000 en el 2000. Si los ingresos siguen decreciendo exponencialmente, ¿cuáles serán los ingresos esperados en el 2010? (t=0 en 1990). Un cultivo de bacterias crece de acuerdo con la función de crecimiento logístico: 1 =1 donde representa el peso en gramos del cultivo y el tiempo en horas. Calcula el peso del cultivo después de: a) 0 horas; b) 1 hora; c) 5 horas; d) 10 horas. ¿Cuál crees que sea el peso máximo de bacterias que pueden reproducirse? Una conversación tiene una intensidad de 4.5 bel. ¿Cuánta energía se transporta en ella? 121 Un sismo tuvo una magnitud de 6 grados en la escala de Richter. ¿Cuánta energía se liberó aproximadamente? La intensidad de corriente (en amperes) en un circuito eléctrico está dada por la función = 5 − − , con medido en horas. Calcula: a) La intensidad inicial. b) La intensidad en el circuito después de 5 horas. c) El tiempo para que la intensidad en el circuito sea, aproximadamente, de 10 amperes. d) La intensidad máxima del circuito. 122 BLOQUE 8 FUNCIONES PERIODICAS CONOCIMIENTOS Comprender las funciones senoidales: = , = . Definir la amplitud, el periodo, la frecuencia y la fase de una función senoidal. Reconocer e interpretar la gráfica de una función senoidal. HABILIDADES Obtener casos particulares de funciones senoidales a partir de los modelos generales. Determinar la amplitud, la fase, el periodo y la frecuencia de funciones senoidales particulares. Identificar situaciones en las que es posible aplicar un modelo senoidal para su descripción y estudio. Aplicar las funciones senoidales en la resolución de problemas. ACTITUDES Y VALORES Asumir una actitud de apertura que favorezca la solución de problemas. Apreciar la utilidad de las técnicas algebraicas de resolución de ecuaciones para simplificar procesos y obtener soluciones precisas. Presentar disposición al trabajo colaborativo con sus compañeros. Aportar puntos de vista personales con apertura y considerar los de otras personas. Proponer maneras creativas de solucionar problemas matemáticos. Asumir una actitud constructiva, congruente con los conocimientos y habilidades con lo que cuenta dentro de distintos equipos de trabajo. Actuar de manera propositiva al resolver los ejercicios planteados. 123 Unidad de Competencia del Bloque 8 124 Funciones periódicas las funciones Seno y coseno su representación Gráfica Analítica en relación con sus propiedades físicas matemática s Periodo Amplitud Frecuencia Fase Traslación (horizontal y vertical) en sus diversas Aplicaciones 125 Explica con tus propias palabras el mapa conceptual del Bloque 8: 8.1 Funciones periódicas En matemáticas el movimiento periódico sólo puede modelarse a través de una o más funciones periódicas. Aquellas que describen un movimiento armónico simple (MAS) son particularmente importantes y relativamente fáciles de comprender, ya que emplea, como posible modelo, sólo dos funciones trigonométricas: el seno o el coseno. Características gráficas de la senoide 𝒇 𝒙 = 𝒔𝒆𝒏 𝒙 Dominio: 𝑥 ∈ ℝ Rango: − 𝑠𝑒𝑛 𝑥 Periodo 𝑇 . 𝑇 = 2𝜋 Puedes prolongar indefinidamente el gráfico repitiendo esta fracción de curva a la izquierda y derecha. 𝑇 126 Características gráficas de la senoide 𝒇 𝒙 = 𝒄𝒐𝒔 𝒙 Dominio: 𝑥 ∈ ℝ Rango: − 𝑐𝑜𝑠 𝑥 Las formas gráficas de las funciones seno y coseno son semejantes. Podría visualizarse a una de ellas como la traslación horizontal de la otra. En forma gráfica características recibe el nombre genérico de senoide, independientemente de que la función empleada sea seno o coseno. 𝑇 Trazar el esbozo gráfico de un senoide es relativamente sencillo; basta con determinar la longitud de su periodo para repetir a la izquierda y derecha la porción de gráfica en éste. Existe también una regularidad entre las raíces, los máximos y los mínimos. Por ejemplo, las raíces están separadas entre sí medio periodo, y de una raíz a un máximo o un mínimo existe una distancia de la cuarta parte de un periodo. Igualmente puedes determinar la distancia entre un máximo y un mínimo. 8.2 Amplitud La gráfica de las funciones seno y coseno poseen siempre como rango el intervalo [-1, 1]. La introducción de un coeficiente como factor de la función amplía éste a [-A, A] (A es un número positivo), de forma que nos permita modelar con esta función situaciones con diferentes amplitudes. 8.3 Periodo, frecuencia y fase Generalizando conceptos físicos y matemáticos Las funciones senoidales son características del movimiento armónico simple en específico. Tal movimiento es a su vez la piedra angular para el estudio del movimiento ondulatorio, sea cual fuere su naturaleza. Por ello, muchos de los nombres que se han manejado provienen de este campo de la física, que retroalimenta a la matemática y la hace más comprensible. Por ejemplo, el caso del periodo , físicamente se le asocia al tiempo empleado en completar un ciclo. Matemáticamente sólo nos interesa asociarlo a la periodicidad de la función, esto es la longitud del intervalo para el cual la función vuelve a quedar en las mismas condiciones, de forma que las imágenes comenzarán a repetirse cíclicamente. 127 El tiempo en completarse un ciclo. Física Periodo Número de ciclos por segundo (en la unidad de tiempo). Ángulo asociado a la posición = para un tiempo dado. Cuando se completa un periodo, las imágenes se repetirán. = Reciproco del periodo. Frecuencia = Fase Ángulo asociado a la imagen = para un argumento dado. Matemática El caso de la frecuencia en el caso de la física representa al número de ciclos que ocurren en la unidad de tiempo (un segundo); en cambio, en el ámbito matemático sólo se visualiza como el recíproco del periodo. En el siguiente esquema se especifica lo anterior: En realidad, la conceptualización que se da de periodo en el campo de la matemática no es equivalente al concepto físico. Por ejemplo, para el caso de la función = , el periodo es 2 desde el ámbito de la física. Pero en el contexto matemático, = es correcta para los casos en que = 2 , 4 , 6 Incluye el caso que se define en física, pero es más general que la conceptualización. Por otra parte, lo que has aprendido sobre los modelos periódicos y sus constantes te ayudan a representar situaciones físicas, como puedes observar en el siguiente esquema. 𝒇 𝒕 = 𝟑 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝒕 Amplitud 𝐴=3 Fase 2𝑡 Frecuencia 𝑓= Periodo 𝑇=𝜋 𝜋 - La fase se corresponde con el ángulo (radianes). - La diferencia de fase indica la longitud entre dos fases. Se obtiene restando éstas. 128 - La amplitud representa la mitad de la distancia vertical que va desde el punto más alto al más bajo de la senoide. En la ecuación aparece siempre como el valor absoluto del coeficiente de ésta (función seno o coseno). - El periodo se asocia al tiempo en completar un ciclo. Gráficamente es la longitud del intervalo que representa un ciclo completo de la curva. - La frecuencia es el reciproco del periodo 8.4 Aplicando las propiedades de traslación Generalizaciones La propiedad de desplazamiento horizontal es útil para el caso de las funciones periódicas, particularmente las senoides. − −2 −7 −3 −5 − −3 − − 4 2 4 4 2 4 -6.28 -5.50 -4.71 -3.93 -3.14 -2.36 -1.57 -0.79 0.00 0.00 0.71 1.00 0.71 0.00 -0.71 -1.00 -0.71 0.00 − 4 -0.71 0.00 0.71 1.00 0.71 0.00 -0.71 -1.00 -0.71 0.00 0.79 1.57 2.36 3.14 3.93 4.71 5.50 6.28 4 2 3 4 5 4 3 2 7 4 2 0.00 0.71 1.00 0.71 0.00 -0.71 -1.00 -0.71 0.00 El corrimiento de las imágenes en relación con sus argumentos desplazamiento horizontal como se observa en la gráfica. 4 -0.71 0.00 0.71 1.00 0.71 0.00 -0.71 -1.00 -0.71 da lugar a un Y y sen x 1 𝜋 y sen x 2 4 2 1 129 X El gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 − 4 se traza desplazando a la derecha el gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 una distancia de 𝜋 4 𝒇 𝒙 = 𝑨 𝒔𝒆𝒏 𝑩𝒙 𝑫 Modifica la amplitud de la curva (rango). 𝑪 Controla la traslación vertical del gráfico en relación con el de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 Modifica el periodo o frecuencia. Controla la traslación horizontal del gráfico en relación con el eje de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 Sea 𝑓 𝑥 = 4 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥 𝜋 )− Amplitud: 4 𝜋 Periodo: = 𝜋 Gráfico de 𝑦 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥, desplazado 1 hacia abajo y 𝜋 4 hacia la izquierda Para las siguientes funciones determina su amplitud, periodo y frecuencia. = 2 3 = −2 o ( =2 o 2 3 =5 o − )− 130 4 3 −2 Realiza los gráficos siguientes. =− = = − 3 o 2 2 131 =2 o 2 − Haz un esbozo gráfico de las siguientes funciones y determina amplitud, periodo y frecuencia. =2 o 132 − 6 =5 3 − 4 Resuelve los siguientes problemas. Las funciones = y = o son gráficamente equivalentes. ¿Cuál es el valor de B? Existe una infinidad de soluciones; proporciona el valor positivo más pequeño para B. La posición de un pistón horizontal está dada por metros y en segundo). a) Determina la amplitud del movimiento. b) ¿Cuál es el periodo? c) ¿Y la frecuencia de oscilación? d) ¿Cuál es el valor de la fase inicial = ? 133 =4 o 4 (donde está en En el pistón anterior, la velocidad de éste también es cíclica, variando de acuerdo con la ecuación = −3 4 . a) ¿Cuál es la amplitud de la velocidad? b) ¿En qué primer instante el pistón alcanza la velocidad máxima (su amplitud)? c) Encuentra la fase para = 2 134
