Métodos de estimación de la funcion CES.

M étodos de esti mación de la fu nción G. E. S.
por IVI.° DE^ CARMEN GUISAN SElJAS
Depto. de Ecorrometríe y Estadistica.
Universidad de Santiago de Gompostele
I.
INTRODUCCION
EI objeto de este artículo es presentar una recapilación de los m^todos que habi-
tualmente se utilizan para la estimación de la función de praduccián con etasticidad de
sustitución constante (C. E. S.).
Además de describir los métodos, se hará referencia a los resultados empíricos
obtenidos por diversos autores y se efectuarán algunos comentarios en torno a la
problemática que presenta la estimación de la elasticidad de sustitución.
Con este objeto, la sección II se dedica a la exposición de métados, la sección III
referirá los resultados de diversas aportaciones empiricas y, finalmente, la sección IV se
centrará en comentar los problemas que surgen en la estímación de esta funcíón.
II.
METODOS DE ESTIMACION
Como es conocido, la función de producción C. E. S.:
-i^b^^ tP .+. ^1
^ ^j^Ll P^`v^ , E,ut
que fue desarrollada por Arrow, Chenery, Minhas y Solow (19á1), presenta el problemu
de no ser linealizable mediante una transformacidn logarítmica, y esto dificulta la
estimacicín mínimo-cuadrática de sus parámetros.
ESTADISTICA ESPAÑULA
13ó
Ba^jo el supuesto de que los regresores no están corretacionados con la perturbación
contemporánea, se han desarrollado los siguienies Inétodos, que, siempre que se cumplan, además de este supuesto otros adicionales propios de cada método, proporcionan
en general estimadores cansistentes:
Primer método: Es el desarrollado por Solow (1956), quien lo formuló con anterioridad a la difusión de la C. E. S., aplicándolo a una función que no especificaba homogeneidard. Despu^s se aplicó a la C. E. S.
Este método, que es quizás el más difundido de todos los que se utilizan para la
estimación de la C. E. S., se basa en la «ruta de expansión^, considerada como el lugar
geométrico de los puntos de máximo beneficio para cada nivel de ouiput, bajo condiciones de competencia perfecta. Como en dichos puntos se cumple que:
FK
r
(cociente entre productividad marginal del trabajo y productividad marginal del capital
igual al cociente entre sus remuneraciones unitarias), se consídera como punto de
partida dicha relación, teniendo en cuenta que en el caso concreto de la función
C. E. S. dicho cociente resulta:
1 _ S ^{ 1 +a
____r__._ .._.
s
L
w
r
El procedimiento de estimación consta de dos fases:
Primera fase: De la última relación, multiplicando ambos miembros de la igualdad
por (L/K), dividiendo numerador y denominador del segundo miembro por V y suponiendo V = w• L+ r• K+ n= w• L+ r• K(lo que implica suponer que n=
beneficios es igual a o), se obtiene la expresión:
^ . -- ó
s
Kv
L
x,
i- x,
,
donde x^ =
w•L
v
Y
1^ xr
^ r• K
v
[x, y(1 -- x^) son por lo tanto ias participaciones relativas del trabajo y del capital en el
output] .
Esta expresión, en la que se considera como variable dependiente el segundo
miembro de la igualdad, con la inclusión de una perturbación aleatoria y tomando
METOD06 DE ESTIMAC1oN DE LA FUNCiON C. E. S.
137
logaritmos, se utiliza para la estimación de los parámetros á y p, de forma que ambos
parámetros se estiman en la relación:
log
^t
1 - z,
= log a ^ + a, log K` + u,
Lt
[donde ut = perturbación aleatoria; a^ =(1 -- ^^ )/b, y a, -- p].
Bajo el supuesto de que el regresor no está correlacionado con la perturbación y
siempre que se curr^plan los supuestos de la competencia perfecta, así como los supuestos habituales del modelo de regresión lineal incorrelado contemporáneamente, los
estimadores mínimo-cuadráticos ordinarios son consistentes.
La segunda fase de este método consiste en sustiiuir los valores estimadores de ó y
p en la expresión:
Vt = [bKr^ + (1 - ^)L^ ^J^'^^
,.
y una vez calculadas las V,, considerando la expresión de la C. E. S. como;
Vt ! -Y`jl . E,ut
tomando logaritmos , se obtiene :
1 og Vt = log Y+ v 1 og ^t + u j
y se estiman los otros dos parámetros: Y y v, en esta última relación.
En el caso en que se incluya un elemento tecnológico en forma exponencial, es
decir, si la función C. E. S. es de la forma:
^
^t y .^,^,,^v^eut
entonces el parámetro tecnológico, ^., se estima también en la segunda fase, en la
relación:
^
log Vf = log y +^t + v log Vt + u,
Los estimadores obtenidos en la segunda fase también ^^on consistentes, bajo los
supuestos mencionados .
A pesar de ser éste un método muy utilizado, sus supuestos son muy restrictivos, y
por ello ha recibido diversas críticas.
Fhron (1972) hace referencia a los problemas que se presentan si no se cumple el
l38
ESTADCSTICA ESPA^t^Oi..A
supuesto de competencia perfecta. En ese caso, esie autor señala que si el output tiene
una función de demanda y las factores una función de oferta del tipo:
){ _ ^. . ^ ^u
donde X= cantidad del output o factor; px = precio unitario de X; ^x = elasticidad (de
demanda del output o de oferta de cada factor), y c= consta^nte, entonces las productividades marginales en el punto de máxirt^o beneficio serán:
F - w(1 + l/^1')
L
P(1 + l/ri)
F
K
r(1 + 1/^„)
P(1 + l/rl )
y la relación marginal de sustitución en ios puntos de la «ruta de expansión^ ^ será:
F^ ^ w(1 + 1/^1')
_
r(1 + 1/^„)
FK
R_
siendo, en las expresiones anteriores, ^= elasticidad de demanda del output; r1' _
elasticidad de la oferta de trabajo, y^1" = elasticidad de la oferta de capital.
Ba^jo estas condiciones, los parámetros a^, y a^ de la ecuación de la primera fase de
este rnétodo s+on:
a
°
=10 (1 i&) (i + llr^„)'
. a `p
.
^
ó
(1 + 1/q')
Por consiguiente, sin conocer ^' y^" no podemos estimar b en la relacián de la
primera fase, aunque si podemos estimar p, ya que a^ no se altera.
Además Fhron ( 1972) señala que si las curvas de demanda del output y de oferta de
los factores no son del tipo señalado, puede ocurrir que a ,# p y no podamos tampoco
estimar este último parámetro en la primera fase de este método.
Por otra parte, Nadiri (1970) señala como inconveniente de este método el supuesto
impiicito de rendimientos constantes a escala (v = 1). Por nuestra parte, comprobamos
que en efecto así ocurre, ya que como demuestra Allen (1968) n es igual a U, bajo
condiciones de competencia perfecta, si y sóio si existen rendimientos constantes a
escala.
Dado que en la primera. fase de este método se supone ^= 0, no parece apropiado
estimar v en la segunda fase. En este sentido, parece más oportuna otra especificación
139
METC)DOS DE ESTIM^IC[UN DE LA FUNCION C. E. S.
de la relación de la segunda fase, que considera el s upuesto ^^
ocasiones, expresándose de la siguiente forma:
log
^f
V,
1, y que se utiliza en
= log Y + ^.t + ur
Segundo método: Brown ( 19^68) desarrolla un método basado también en la «ruta de
expansión^, aunque b^jo supuestos diferentes a los del método anterior. Estos supuestos se basan en el desarrollo de Brown y D^e Cani (19fi3).
Estos dos autores consideran la distinción entre ruta de expansión a corto y largo
plazo.
A corto plazo, consideran el cociente r/w como el que determina las proporciones de
L y K en el proceso de producción. Este cociente depende de los cocientes rfw del
periodo corriente y de períodos anteriores, a través de un retardo distribuido de tipo
geométrico, de forma que:
A
log
r
- log
w o
r
+^, log
w ^
r
+^.2 log
r
w -l
:
0 ^ ^. <
w -2
donde el subíndice «0» indica el período corriente y los demás subíndices períodos
anteriores. Consideran ^. como el grado de insensibilidad del equipo instalado en 1a
respuesta a cambios en el cociente de precios de los factores.
Considerando la relación marginal de sustitución en los puntos de máximo beneficio,
ba^o condiciones de competencia perfecta, como:
L^ I+P
R= r= FK/FL = S
w
1 -- ó
K
y teniendo en cuenta la relación entre r/w y r/w, así como que:
cs =
1
y
1 + P
Y2
_ 1 - b
^
obtienen la siguiente expresión de la «ruta de expansión a corto plazo»:
1 og
j-
Ku
= c^ { 1-- ^, ) log Y+ cs log
^
r
wu
+^. 1 og
L
K-^
esrwD^sricw EsPwr^io^..w
140
A largo plazo, asumen que (r/w), = (rh+^^_^ y que (L/K^ =(L/K),_^, y obtienen la
siguiente ruta de e xpansión:
L
--
i og
j{ ,
r
-- ^ 1 og Y 2+^ log --
wr
El rn^étodo de B rown (1968) consiste en estimar los parámetros ó y p en una primera
fase, mediante la ruta de expansián, a corto o a largo plazo, y en una segunda fase
obtener:
V, - [^I^r ^ + (1 -- S)L^^)
A
de forma que sustituyendo V en la función C. E. S. se obtienen estimadores de los
parámetros Y y v en la relación:
v
^
log Vr = log y- ^ log Vj + uj
P
pudiendo, e n esta segunda fase, estimar también el parámetro del cambio tecnológico de
forma similar a la descrita en el «primer método^^ .
Los estimadores obtenidos bajo los supuestos citados son consistentes.
Tercer método: Es el propuesto y utilizado por Fhron (1972) tras analizar los
problemas que surgen en el «primer^inétodo^ ^ cuando no se cumplen las condiciones de
competencia perfecta. Este autor sugiere que cuando existan dudas acerca de la existencia de competencia perfecta, se estime solamente en la primera fase del «primer
método ^^ . Todos 1 os demás pará.metros deben estimarse mediante otra relación, y Fhron
(19"!2) propone utilizar un procedimiento iterativo mediante un desarrollo en serie de
Taylor sobre b^,, cortado e n las primeras derivadas, al que se aplican mínimoscuadrados y donde ó^ es el vector de los valores iniciales supuestos a los parámetros
que van a ser estimados.
Cuarto método: Consiste en estimar todos 1os parámetr^^s de la C. E. S. mediante
una aproximación obtenida de un desarrollo en serie de Taylor de primer orden, sobre
unos supuestos iniciales de los parámetros (Y,,, p^„ b^,, v^,). Se diferencia del «tercer
m^todo» en que aquí todos los parámetros son estimados mediante el método iterativo,
y en que en este m^todo no se necesitan relaciones auxiliares como la «ruta de
expansión» .
METUDO^s DE ES?1MAClON DE LA F'UNC[ON C. E. s.
141
El procedimiento es como sigue:
Sea ro - yo
Y
^ -! boK-p° + (1 _ ,^0)1- -°o
Po
entonces la aproximación de la función C. E. S. mediante una serie de Taylor de primer
or+den es :
^V^ =
f°
+ SV
(r - ro) =
s {Y - Y°)+ S^^s(ó - F }° + ^Vs (P - P )° + sV
sr
Y
P
^,° • .Y° , r-r°-1
- fo + G-r° , (Y _
.
Yo) +
(K-P'o
_ L^Po^ , fs - s°} ....,.
_ r° , YO , ^-.°-t . ^SQ . K-°° • log K + (l - bo) • L-v° . log L] (p - Po)
+ Yo ' G +'° ' l08 C ' (r - ro)
donde <V^ representa el valor del output en el modelo iinealizado y V es el valor del
output en la función C. E. S. original, y donde fU es el valor de V en la C, E. S. para
los supuestos iniciales de los parámetros.
E1 vector paramétrico de corrección está compuesto por los siguientes elementos:
(Y -- Yo),
(P - Po)^ (S ^ bo) Y (
^ ro)
Dado que la aproxirnación mediante la serie de Taylor es lineal en los elernentos del
vector paramétrico de corrección, el procedimiento consiste en hallar los estimadores
del vector de corrección que minimicen:
Z - ^ .^Vr - <V^^]2
y así los estimadores que minimicen dicha suma de cuadrados de errores vendrán dados
por las ecuaciones:
S Z/F (Y - Y^,} = 4; b ZIb (P - P o) = 0; b Zl^i(á -- bo) = 0; s Z/cS (r - ro) = 0
Los estimadores de los parámetros Y, p, b y r, así obtenidos, se utilizan para repetir
el proceso hasta que se satisfaga un criterio de convergencia. Puede fallar la convergencia pero, según Brown ( 19ó8), esto no ocurrirá si los supuestos iniciales son valores
cercanos a los verdaderos parámetros.
Aunque varios autores que hacen referencia a este método no señalan las propiedades de los estimadores así obtenidos, creo que debe considerarse la existencia de un
error de especificación por omisión del «resto^ en el desarrollado de Taylor efectuada.
Kmenta (1971) señala que el sesgo cometido en el desarroll o en serie no desaparecerá;
ESTAD[STICA ESPAÑ4LA
142
en general, al aumentar el tamaño de la muestra, y por consiguiente las estimadores
serán no sól a insesgados sino también inconsistentes.
Quinto métcacaCo: Es el sugerido por Kmenta (196^). Consiste en estimar los parámetros mediante una aproximacián de la C. E. S. que es lineal en p. Esta aproximación es
obtenida par este autor medianie el desarrollo de un serie de Taylor sobre p= 0,
prescindiendo de los términos de tercer orden y sucesivos.
La aproximación obtenida es:
log V, = log Y+ vb log K, + v(1 - S) log L, - ^
^ pvb(1 - s)(log rK- logL-r)^ + u ^
Kmenta (1967) señala que esta aproximación, además de servir para estimar los
parámetros de la C. E. S., sirve para contrastar la hipótesis a= 1 mediante un test para
el coeficiente del último regresor. Si este coeficiente no es significativamente diferente
de 0, nos encontrarnos con que la función se reduce a una Cobb-Douglas.
En un ap+^ndice de este trabajo de Kmenta (1967) fgura una tabla en la que se
relacionan los coeficientes entre los valores de V calculados en la aproximación que él
propone y los valóres de V calculados en la C. E. S. Los cálculos están efectuados para
unos determinados valores de v y b y para varios valores de p y(L/K). Si p es igual a 0,
el cociente entre ambos valores de V es igual a la unidad. A medida que p se aleja de 0,
tanto en sentido negativo como positivo, existe mayor disparidad entre los valores de V
en la aproximación y en la C. E. S.; y además, para un mismo valor de p, el cociente
entre ambos valores de V varía según el valor de (L/K). Este autor señala en conclusión
que el error de la aproximación que propone depende de la medida en que p se aleje de
4, del cociente entre los factores y de los valores de los demás parámetros.
Sextv métvc^: Es utilizado por Griliches (1967) y otros autores a los que haremos
referencia. Se basa en la ecuacíón de la productividad marginai del trabajo, b^,jo el
supuesto de que el precio relativa de este factor es variable y de que los rendimientos a
escala son constantes (v = 1). Dicha ecuacián resulta:
bV
^
L
_
V '+P
._
L
(1 _ b)Y-P
En el punto de máximo beneficio, para cada nivel de output se considera que la
productividad marginal es igual a R,(w/p ), donde R, es una restricción que permite que
exístan desviaciones respecta a(w/p), y además se incluye una perturbación aleatoria,
con lo que, tomando logaritmos y despejando log (V/L), obtenemos:
log (V/L) =
1
log (R^ ' ^^'/p) 1 +p
108 (1 - ^)YTP +
j
1 +p
+p
METODOS DE ESTIMACiON DE LA FUNCION C. E. S.
143
Sumando log (p ) en ambos miembros de la i,gualdad y consideranda que R1 y p son
constantes, la única variable del segundo miembro será K^ (salario), y agrupando todos
los términos constantes obtenemos la siguiente expresión:
1og
V
p
= A ^ + cs 1og K^ + r^
L
donde Q= 1/(1 + p), es la elasticidad de sustitución, y A, englaba a todos los términos
constantes.
La aplicación de mínimos-cuadrados ordinarios en este caso proporciona estimadores consistentes.
Antes de describir los métodos desarrollados en el contexto de un sistema de
ecuaciones simultáneas podemos efectuar algunas consideraciones referentes a los seis
métodos de estimacián que acabamos de exponer.
Desde mi punto de vista los dos primeros métodos (basados en la «ruta de expansión») y el sexto método (basado en la ecuacián de la productividad marginal del
trabajo), pueden proporcionar buenas estímaciones de la elasticidadd de sustitución, en
condiciones no demasiado restrictivas, ya que en estos métodos la estimación de ^ o p,
puede no verse afectada, en lo que se refiere a la consistencia, aún si no se rnantienen
las condiciones de competencia perfecta, siempre que las desviaciones de dicha situación puedan pasar a formar parte del término constante. En los métodos basados en
desarrollos en serie la incan^istencia puede ser importante a causa de la omisión del
«resto» de la serie. Fn lo que respecta a la estimación de los demás parámetros ninguno
de los procedimientos expuestos parece satisfactorio.
En lo que respecta a la estimación de la C. E. S. bajo la consideración de que tanto
el trabajo (L) como el capital ( K) son variables interdependientes con el Output (V),
Kmenta { 1967) estudia dos modelos de ecuaciones simultáneas donde estas tres
variables son consideradas como end+ágenas:
Frimer modelo. Los supuestos de este modelo son: existencia de cornpetencia
perfecta, maximización del beneficio, precios de los factores y del output constantes e
iguales para todas ías unidades de producción, y matriz de covarianzas contemporáneas
de las perturbaciones, diagonal. EI sistema de ecuaciones es como sigue:
(1)
(2}
^^
_
log Vr = log y- log ó K-^ +{ 1 - b) L P
P
^ P + 1 log Vt -(p + 1} log Lt x lo g
^
L'
+ rra^
wY^w {P
v^) 1
( 1 -^- )I +- ^^ I r
!44
ESTADIST7CA ESPAÑOLA
^+ 1 to gVr^^P + 1
t= I og rY^w (p^^b
) lo
8 K
v
(^)
)._.
+ «7 r
La primera ecuación fue obtenida tomando logaritmos en la C. E. S.; y la segunda y
tercera, tomando logaritmos en las ecuaciones correspondientes a las productivídades
marginales dei trab^o y del capitai en los puntos de máximo beneficio.
Dado que la primera ecuación del modelo no es lineal en los parámetros Kmenta
( l9á?) propone dos alternativas para su estimación: una de ellas consiste en utilizar un
método de información completa no lineal (citando para ello el programa presentado por
Eisenpress y Greenstadt (19ó4) en la reunión anual de la Econometric Society,
celebrada en Chicago en diciembre de dicho año). La otra alternativa es reemplazar la
C. E. S. en términos logaritmos por la aproximación de la funcián, obtenida por este
autor, y que hemos referido como «quinto m^todo de estimación^ . Todos los supuesios
del modelo permanecen inalterados, la única diferencia es que la primera ecuación se
escribirá como:
1 Y+ vb 1o$K+
lo$V=
r v(1 - b) lo bLr -? 2pvS(1 - b) (log Kr
r o8
4
()
-- log Lr)^ + u^
Este autor propone la estimación dei sistema mediante un método de minimos
cuadrados indirectos modificados que demuestra que proporciona estimadores
máximo-vero^símiles.
E1 procedirniento de mínimos-cuadrados indirectos modificados para la estimación
conLjunta de (4), (2) y(3), es como sigue:
Se definen tres nuevas variables:
Z^r = F• log V1 - log K,;
Z^ = F• log Vr - log I--r;
Z3r =(log Kr - log Lr) 2;
do ndé
F= p +1 /(^+ l)
v
Se forma entonces una nueva ecuación:
(S)
1og Vr = uo + a i ' Ztr + a 2' Z^ + a:^ ' Z3r + e ^
MET©D06 DE ESTIMACtON DE LA FUNC[ON C_ E. S.
l4S
La relación entre los parámetros de la ecuación (5) y los de la función C. E. S. es la
siguiente:
log Y = at,^(1
(6)
- F• a, -- F• az)
(^)
^'^ _ -U ^^(1 - F • a ^ - F • a ^)
(g)
^'í i- b) - `a z^(1 i F' a ^ - F ` a z)
- 1 Pvb(1 - b) = a;^(1 - F• a, -- F• a2)
2
(^)
Adernás, la definición de F, junto con las relaciones entre los parámetros, implica
que:
(1 ^ )
a;=-^(F2
1) • a , • u z
De las ecuaciones (2) y(3) puede deducirse que las variables Z dependen solamente
de las perturbaciones u^ y uz. Como, dados los supuestos iniciales, estas perturbaciones
no están correlacionadas con uo^, tampoco lo estarán con la perturbación de la ecuación
(S), ya que dicha perturbación es proporcional a u^,.
Dado que las variables Z no están correlacionadas con la perturbación en (S), el
procedimiento consiste en estimar dicha ecuación mediante mínimos cuadrados bajo Ia
restricción de (10). Dichos estimadores serán consistentes, v a través de las relaciones
(6), (7}, ( 8) y(9) podrán obtenerse estimadores consistentes de la log y, v, ó y p.
Un inconveniente de este método está en que necesita un conocírniento a priori de
F, para la obtención de las variables Z. Para solucionar este problema puede utilizarse
un estimador consistente de F(F}, que bajo los supuestos de incorrelación de u, y de
A
u2, y de que esta restricción se cumple también en la muestra, mantiene con los valores
muestrales la siguiente relación:
F zmoo -- F(mo t + m^2) + m, 2 = U
(obtenida de las ecuaciones (2) y(3), y donde las «m» son momentos muestrales de las
variables: m^,^, = varianza muestral de log V,; m^ ^= covar-ianza muestral de log Vt y
log Ll; m^,2 = covarianza muestral de log V, y log K^; rn,2 = covarianza muestral de
log Lt y log Kt):
La ecuación (11) tendrá dos raíces, y debe elegirse la que minimice la Suma de
Cuadrados de I os Errores (o que maximice la Suma de Cuadrados de la Regresión}.
Se,^r^ndo mndel o.
Los supuestos del modelo que referimos a continuación son:
existencia de competencia perfecta en cada mercado, maximización del beneficio, exis-
ESTADISTICA ESPAt^OE.A
tencía de diferentes mercados (en el tiempo o en el espacio), lo cual implica que los
precios de los factores y del output, aunque exógenos a las unidades de producción, no
son constantes y pueden variar a lo Iargo de la rnuestra.
Las ecuaciones de este modelo son las mismas que (2), (3) y(4) del modelo anterior,
con la única diferencia de que ahora consideramos que los precios relativos (w/p y r/p)
son variables exágenas, rnientras que en el primer modelo eran constantes. Kmenta
(1967^ propone dos alternatívas para la estimación: una de ellas consiste en utilizar
iVIC2E (mínimos cuadros en dos etapas) para la estimación de todos los parámetros; y la
otra alternativa consiste en estimar los parámetros ó y p, en la relación que se obtiene
al restar la ecuación (2) a la ecuación (3):
l
(12) Log K^
log I..^
1-- b
-+ 1+P log b
l
w
1+P 1^ r
1
_ 1+ (u2t
! u^`)
P
y estimar los demás parámetros mediante MC2E. Según este autor, un procedimiento
similar fue sugerido por Dhrymes y Kurz (1964).
De esta forma se obtiene un estimador lineal, insesgado y áptimo de la elasticidad de
sustitución (c^ = 1 /(1 + P)) .
Por mi parie considero preferible esta segunda alternativa, ya que la primera tiene
los inconvenientes señalados al hacer referencia a la omisión del «resto^ ^ en la relación (4).
III.
RESULTADOS EMFIRICC^S
Presentamos a continuación una síntesis de las principales aportaciones empíricas de
estimaciones de la función C. E. S. Haremos referencia en primer lugar a los estudios
efectuados con series de corte transversal, y despu^s a los estudios temporales.
Funciones C. E. S. en estudios cross-section.
Arrow et al.(1961) obtuvieron esta función a partir de la relación:
log (V/L) = log a + b log w+ u
donde w es el salario, u la perturbación aleatoria, V/L el output por unidad de trabajo,
y a y b son parámetros .
Este supuesto inicial fue contrastado por los autores estimando dicha relación en 24
muestras (correspondientes a otras tantas industrias) con un tamaño de cada muestra de
19 observaciones (datos correspondientes a 19 países).
METODOS DE ESTiMACiON DE LA FUNCI4N C. E. S.
^ 47
Las estimaciones de b así obtenidas son valores comprendidos entre 4,721 y 1,O11.
Los coeficiente de determinación son bastante elevados.
Estas autores demuestran (p. 237) que el parámetro b es igual a^(elasticidad de
sustitución) si y sólo si la eficiencia na varía con el salario, pues obtienen que entre b y
a existe la siguiente relación:
-- e
I -e
siendo
e= d log
Y^
Ya
d log w^
^v^
donde Y es el parámetro de eficiencia de la C. E. S., w el salario y los subindices A y B
corresponden a dos países .
Señalan también estos autores que de la relación entre cs y b puede deducirse que si
e>Oyb<1-+ ^ +^^b.
Ba=jo el supuesto de que la eficiencia na varia con el salario (e = Q), b y a coinciden.
Entances ba^jo este supu esto Arrow et al. (1961) contrastan Ia hipótesis b^ 1 con las 24
estimaciones efectuadas, y abtienen el resultado de que esta hipótesis sólo puede ser
rechazada en 8 de los 24 casos, y por lo tanto la situación que prevalece es la de b^ l.
Este res ultado tan claramente en desacuerdo con la restriccián de la función CobbDouglas (a = 1), les induce a derivar una funcián can elasticidad de sustitución
constante, pero distinta a la unidad.
Una vez obtenida por estos autores la función C. E. S. con rendimientos constantes
a escala, contrastan la constancia de los parámetros de la función para cada industria en
los distintos países, mediante estimaciones basadas en datos no agregados. D^ los
resultados obtenidos deducen: que s y^s son constantes para cada industria en todos los
paises y que las diferencias que se observan entre los distintos países se deben a
diferencias de eficiencia (parámetro y). Dado que las diferencias en el parámetro Y se
manifiestan en las cuatro industrias utilizadas en los contrastes, puede llegarse a la
importante conclusián de que una misma industria en distintos paises no pertenece a la
misma función de producción.
Para contrastar las diferencias de eficiencia utilizan datos no agregados de lU
industrias de USA y de 10 industrias del Japón, obteniendo un valor estimado de e
aproximadamente igua] a 0,5. Dado que Ias estimaciones del pará.metro á de ia relación
ESTADIS?tCA ESPAÑOL.A
l48
inicial resultaron en casi todos los casos menores que 1, llegan a la conclusión de que la
elasticidad de sustitución es menor que la unidad, ya que, como hemos indicado: e> 0
yb<1-♦ c^^b.
Fuchs (19ó3} critica las conclusiones de Arrow et al.(1961) respecto al rechazo
de la hipótesis c^ = l, basada en las estimaciones de b. Este autar señala que las
muestras de Arrow et al.(1961) corresponden a datos muy heterogéneos, ya que
comprenden países industrializados y países subdesarrollados, y propone distinguir
ambos tipos de países, bien mediante un ajuste diferente para cada uno de los grupos de
paises, bien mediante variables ficticias. Utiliza los dos procedimientos y encuentra
estimaciones de b que oscilan en torno a l, por lo que concluye que si bien él no
pretende conf•irmar la hipótesis de que Q es igual a la unidad, lo que si confirma con sus
resultados es que el método utilizado por Arrow et al.(1961) no es correcto para
rechazar dicha hipótesis. Sin embargo, a mi juicio esta aportación de Fuchs (1963),
aunque interesante, contiene algunas imprecisiones, ya que Arrow et al.(1961) señalaron (p. 237) que b es igual a cs solamente cuando la e^ciencia no varía con el salario, y
a continuación comprobaron que con una muestra de 14 países el coeficiente de
correlación lineal entre Y y w(eficiencia y salario) elevado al cuadrado resultó igual a
0,82, por lo que en ese caso rechazaron la hipótesis de igualdad entre b y a'. Como
hernos señalado anteriormente, la conclusión obtenida por Arrow et al.(1961) de que
la elasticidad de sustitución es diferente a la unidad, la basan estos autores en la
relación existente entre Q, h y e; y no sólo en las estimaciones de b como parece
interpretar Fuchs (1963).
Por otra parte, Griliches (196^1) aplica la C. E. S. a datos cross-section interindustriales de USA en los añas 1958 y 19^0. En primer lugar aplica la aproximación de
Kmenta (que hemos denominado «quinto método»), restando logaritmo de L en ambos
miembros de la igualdad, es decir, estima la relación:
log (V/L) = log Y+ vs log (K/L) +(v - 1) log L- 1 pvb (1 - S)
2
[log(K/L)]2+u
y obtiene el siguiente resultado:
log ( V/L) = 0,64 + 0,422 log (K/L) + 0,050 log L+ 0,030 [log (K/L)^^
con un coe^ciente de determinación igual a 0,55.
El coeficiente de [log (K/L)]^ es insigni^cante, lo que le lleva a rechazar la hipótesis
METOD06 DE EST[MACION DE L.A FUNCIUN C. E. S.
l49
o^ 1. Sin embargo, este autor añade que este test no es apropiado, pues suponiendo
por ejemplo:
tir = l;
ó= 0,4
y
^= 1(es decir, c^ = 0,5)
el coeficiente de [log ( ^C/L))z sería igual a-0,12, y un valor usual para el error típico
nos llevaría a no poder rechazar la hipótesis de que a= l. Es decir, que según
Griliches (19b7) hay una fuerte tendencia a que el coeficiente de [log (KIL) j2 tome
valores próximos a 0, sea cual sea el valor de cs, y que por consiguiente el test
propuesto por Kmenta (19ó7) no es apropiado en este sentido.
A continuación Griliches (196?) vuelve a estimar la elasticidad de sustitución
mediante el procedimiento que hemos denominado «sexto método^ , utilizando datos de
417 observaciones y obteniendo c^ = 1,198, con un cceficiente de determinación de
0, 606 .
Además, este autor efectúa modificaciones en la última relación, en primer lugar,
considerando que existe un retardo de tipo geométrico, en cuyo caso obtiene un valor
estimado para 3^ (siendo ^. el parámetro de retardo) igual a 0,827, y para cs (1 -^.) un
valor igual a 0,2?3, que implica un valor estimado para ^ de 1,5780, siendo el coe^ciente de determinación en este caso igual a 0,89. En segundo lugar, supone que no
existe retardo, pero que la perturbación está serialmente correlacionada a causa de la
omisión de algunas variables en la relación (por ejemplo, la calidad del trabajo). En este
caso la estimación obtenida para 6 es 1,OSb, con un coeficiente de determinación igual a
0,918.
Camo el coeficiente de determinación obtenido bajo el último supuesto es con
bastante diferencia el mejor de los obtenidos por este autor, los resultadc ^s le conducen
a las siguientes conclusiones: 1) Acepta el supuesto de correlación serial y señala que
debe ser i ncl uida 1 a calidad del trabajo como variable explicativa. 2) Bajo este supuesto
c^ no es significativamente distinta de la unidad, por lo que no encuentra evidencia
contra la función Cobb-Douglas.
Nerlove (1967), a la vista de los resultados obtenidos por varios autores, eneuentra
que las estimaciones de la elasticidad de sustitución basadas en estudios cross-section
internacionales son más concordantes entre sí que las realizadas en estudios crossectión interestales de USA. También observa que las estimaciones de ^ en estudios
internacionales son menores en general que las basadas en datos interestatales de USA.
Estas conclusiones las deriva de las estimaciones efectuadas par Arrow et ai.(1961),
Murata y Arrow (19b5) {con datos internacionales) y Minasian (1961), Solow (1964),
Dhrymes (1967) y Hildebrand y Liu (19ó5) {estos últimos con datos interestatales de
USA).
150
ESTADISTiCA EsPAÑ4LA
Aunque trata de encantrar una explicación de estos resultados, su conclusión es que
las estimaciones son muy sensibles a pequeños cambios en la ecuación ajustada o a los
datos utilizados.
Ta^ vez lo más destacable del resumen presentado por Nerlove (19ó^ sea la gran
diferencia existente entre las estimaciones de la elasticidad de sustitución de Dhrymes
(196^) y Minasian (1961), que utilizaron esencialmente los mismos datos y un mismo
m^ todo de estimación (el que hemos denominado «sexto método^, basado en la ecuación de productividad marginal del traba^o), obteniendo resultados tan diferentes como
ocurre por ejemplo en el caso de la industria del papel:
(Minasian) = 1,60
(Dhrymes) = 0,20
En un tota! de 132 estimaciones diferentes de elasticidades de sustitución resumidas
por Nerlove (1967) las variaciones (exceptuando una sola que resultó negativa) van
de 0,06 a 3,46. Aunque muchas de dichas estimaciones se concentran en torno a la
unidad, hay también muchas que difieren mucho. E1 citado autor se considera incapaz
de explicar estas diferencias.
Funcrones C. E. S. en estudios temporales.
La prir'nera aportación es la estimación efectuada por Arrow et al.(1961), quienes
asumen cambio tecnológico neutral, descomponiendo al parámetro de eficiencia:
Y(t) = Y • 10^r
siendo ^. el parámetro del cambio tecnológico.
Estos autores estiman ^. y^ en la relacián:
log (wL/V) = a log (1 -- s) +(6 - 1) log Y+( 1 -- cs) log w+ y(6 - 1) • t+ u
que es una relación deducida por estos autores a partir de su relación inicial para la
derivación de la C. E. S. (V/L = a• wb), considerando la relación existente entre a y b
y los parámetros de la C. E. S. Por nuestra parte observamos que esta relación puede
deducirse de la ecuación de productividad marginal del trabajo {considerando la expresión de Y en función del tiempo, cambiando de signo la relación logaritmica y sumando
le>g (w) en ambos miembros de la igualdad .)
Con datos relativos a la producción no-agricola de USA en el per^odo 1909-1949,
METOD06 DE ESTIMACION DE LA FUNCION C. E. S.
l51
tomados de Solow (1957}, aplicaron mínimos-cuadradas ordinarios a la referida relación, obteniendo:
c^ = 0, 569
^ = 0,008
Dad o qu e el val or de l0^ es l,018, la tasa de incremento anual ( 10^` -- 1) será de 1,8
por 100. Los autores señalan la gran coincidencia de este valor con las estimaciones del
cambio tecnológico realizadas por Solow (1957) y por Abramowitz ( l9SÓ).
Además, estos autores estiman p mediante el «primer m^étodo^ ^ y obtienen p=-0,095
(que implica í^ = 1,1049), con un error típico igual a 0,098, por lo que señalan que
no pueden rechazarse la hipótesis de que p tome un valor positivo. Sin embargo, la
contradicción existente entre la estimación efe^tuada por este procedimiento y la obtenida anteriormente (p = 0,756, c^ = O,Só9) es muy grande y hace declarar a estos
autores que no se explican las causas de la disparidad.
Brown y De Cani (1963 a) y(19ó3 b) estiman la elasticidad a corto y largo plazo,
según el procedimiento indicado en el «segundo método^, con datos de U. S. A. en el
periodo 1890-1958.
Las elasticidades estimadas son todas muy bajas (la menor fue igual a 0,07 en una
estimación a largo plazo, y la mayor resultó igual a 0,55, c;arrespandiendo a un estudio
a corto plazo).
Ferguson ( 19ó5) centra su estudio en la determinación de la naturaleza del cambia
tecnológico, y utiliza la ecuación d^e productividad marginal del trabajo, con la inclusión
de parámetro tecnológico, es decir, estima la relación: log (V/L) = b^ + b, • log w+
+b^•t +u;dondeó^, _ - log(1 -S)/(1 +p),b, = Qyb2=p•^./(1 +p).
Realiza una estimación con datos correspondientes a 19 industrias de U. S. A. en el
período 1949-1961, obteniendo en todos los casos coeficientes de determinación elevados. Las estimaciones de la elasticidad de sustitución varían de 4,24 a 1,3U. En tres de
los diecinueve casos, cs no es estadísticamente diferente de 0; en doce no es estadísticamente diferente de 1(con lo cual la función Cobb-D^auglas sería aplicable), y en
cuatro casos 1 a elasticidad de sustitución resultcí signific^^tivamente mayor que 1.
En relación con el parámetro que mide el cambio tecn^^lógico neutral (^.), este autor
obtiene que en siete de las diecinueve industrias la estimación es negativa y^ no es
significati vamente d iferente de 4. Sólo en seis industrias se aprecia un cambio tecnológico neuh-al significativo a un nivel aceptable.
Contrastó la hipótesis de no existencia de correlación serial y rechazó dicha hipóte-
1S2
ES7ADiSTICA ESPAÑOLA
sis en cinco industrias. Para Ferguson (19óSy la existencia de correlación serial puede
ser debida a los efectos del cambio tecnológico no-neutral y pasa a estudiar este
probiema.
En primer lugar realiza una corrección por esquema autorregresivo simple y reestima los parámetros, encontrando que con la corrección c^ aumenta, mientras ^i 2 disminuye.
A continuación halla valores de ^ para cada año en cada industria, a través de la
relacián :
l og ^ ^ s s 1 = l og I µ 1
/
^ 1
+( 1 +p ) log
CL l
y realiza una representación gráfica de la serie ternporal de ó para cada industria. La
conclusión que se deduce de esta parte de su trabajo es que en las cinco industrias
donde se detectó correlación serial, el valor de ^, obtenido mediante la relación anterior,
es creciente en el tiempo de manera sostenida, lo que irnplica que en ellas hubo un
cambio no-neutral intensivo en capital.
Otras conclusiones importantes de esta aportación de Ferguson (1965) son las siguientes: 1) Existe bastante diferencia entre las estimaciones de la elasticidad de
sustitución obtenidas por este autor y las efectuadas por Kendrick y Sato (1963) y
Diwan (1963), que encontraron, en series temporales industriales, estimaciones de la
elasticidad de sustitución menores que 1, mientras que en 10 de las 19 industrias del
trabajo de Ferguson (1965) las estimaciones son mayores que 1. El autor atribuye las
diferencias a la utilización de diferentes fuentes de datos. 2) Existe diferencia entre las
estimaciones de a en estudios cross-section y las basadas en seríes temporales. En este
sentido dicho autor señala que es preferible estimar c^ con datos cross-section, ya que
en series temporales puede haber sesgo debido a diferencias en la calidad del trabajo. 3)
Respecto al cambio iecnológico, su conclusión es que en 16 de las 19 industrias hay
evidencia de cambio tecnológico neutral o no-neutral intensivo en capital, y sólo en tres
de dichas industrias hay evidencia de cambio tecnológico intensivo en trabajo. Señala
también que este resultado está en contradicción con el obtenido por Brown y De Cani
{196^), que señalan un cambio tecnológico para el conjunto de la economía de U. S. A.
en la década 1950-1960, no-neutral intensivo en trabajo.
Kmenta (1976), en su interesante estudio dedicado a la función C. E. S., utiliza su
aproxima^ción (que hemos denominado Kquinto método») para estimar todos los parámetros de la función, excepto ó. El valor de este parámetro lo considera conocido (dándale
el valor 0,519, que es el valor estimado por Arrow et al. (19á 1)) con objeto de evitar la
METODOS DE ESTIMACION DE LA FUNCION C. E. S.
1S3
multicolinealidad. Los resultados obtenidos por este autor, con los errores típicos entre
paréntesis, son;
Y= 0,1112;
v= 1,1785 ;
(0,1487)
^^ = 0,4884
(0,4398)
EI valor de ^ será entonces igual a O,ó719, y según el referido autor la elasticidad de
sustitución no es significativamente diferente de la unidad, por lo cual declara que no
existe evidencia contra la función Cobb-Douglas.
Debemos señalar que aunque aparentemente no fi,gura el cambio tecnológico en esta
estimación, el autor ajustó los datos originales de forma que el capital y el trabajo
llevan incl uidos u nos incrementos anuales de prod uctividad de 1,S a 1 por 100, respectiva,mente.
Nerlove (1967) presenta un resumen de estimaciones de ^ en series temporales de
industrias de U. S. A., efectuadas por McKinnon (1962), McKinnon (1963), Kendrick
(19b4), Ferguson (1965), Maddala (1965) y Lucas (19b3). Los dos estudios de 1WicKinnon, así como el de Lucas, se basan en la ecuación de productividad marginal del
trabajo, incluyendo cambio tecnológico, y en uno de los estudios de Mcl^innon se
considera la existencia de un retardo distribuido. Los estudios abarcan años diferentes y
Nerlove (1967) atribuye algunas diferencias en fos resultados a los distintos grados de
afectación de las distintas muestras por las condiciones de recesión. Este autor encuentra que con datos, períodos y métodos de estimación bastante similares, se obtienen
estimaciones muy diferentes. Así por ejemplo, en el caso de la industria del tabaco, en.
el período 1947-58. McKinnon obtiene una estimacicín de c^ igual a 0,92, mientras que
Maddala obtiene el intervalo 0,09-0,46. A la vista de estos resultados, se muestra
bastante escéptico acerca de la posibilidad de estirnar funciones de producción.
De un total de más de 100 estímaciones de c^, presentadas por el citado autor,
solamente seis son negativas y quince mayores que la unidad (la más elevada es ^,86).
En ias estimaciones referidas al conjunto de la economía de U. S. A., r^ varia de 0,06K
a l,ló.
Por otra parte, Fhron { 1972) utiliza dos métodos de estimación para la función
C. E. S., en una aplicación a lb sectores industriales de Alemania Occidental, con una
muestra de observaciones de once años para cada sector. Considera cambio tecnológico
neutral y utili^a los métodos de estimación que hemos denominado «primer método» y
«tercer método» . Con el «primer método» obtiene que: los rendimientos a escala son
crecientes en general (v > 1). Las estimaciones de ^. varían de 0,5973 a 1,1617. Las
estimaciones del parámetro tecnológico (^.) son positivas en 13 de los 16 casos, y sus
valores oscilan de 0,0013 a 0,00114 en los casos en que son positivos.
^ S4
ESTADISTICA ESPAÑOLA
La condusión que deduce este autor es que las condiciones de competencia perfecta
no parecen mantenerse y esto le lleva a la utilización del «tercer m^todo^. Para aplicar
este método selecciona los cinco industriales que proporcionaron un coeficiente de
determinación más elevado en !a primera fase del «primer método^. Con este procedimieni© varían bastante los valores estimados de Y, ó y^. (1a estimacíón de este último
pa.rámetro en general se incrementa).
Segura ( 19?3) presenta estimaciones de• a para 11 sectores industriale^ españoles en
el periodo 19513-72, utilizando la ecuación de productividad marginal. Bajjo distintas
hipótesis acerca de los rendimientos a escala y del cambio tecnoiógico obtiene resultados muy diversc^s. En el caso general obtiene tres estimaciones negativas y en el resto
^ oscila entre 0,02 y 0,90. Bajo las distintas restricciones los resultados varían. En
conjunto, sin considerar las estimaciones negativas, el valor de c^ osciia de O,U2 a 3,96.
Una de las conctusiones del autor es que no es posible decir nada acerca de la
evolución futura de las participaciones relativas de los factores.
Ante esta situación, bastante decepcionante, de los resultados obtenidos en la
estimación de la función C. E. S. deseo efectuar algunos comentarios, para lo cual
dedico la próxima sección.
I V.
COMEN TARIOS EN TORN O A LA PROB LEMATICA DE LA r UNCI(.^N
C. E. 5.
Cflmo resumen de mi punto dc vista en torno a la función C. E. S. deseo señalar
que, tanto desde un punto de vista teórico como desde la perspectiva de los decepcia
nantes resultados empíricos, esta función parece bastante inadecuada para la consecución del objetivo principal de su estimación.
En efecto, el interés principal que conduce a los investigadores a la estimación de
esta función viene dado por la relación que existe entre la elasticidad de sustitución y
las participaciones relativas del trabajo y del capital en la distribución de la renta. Como
es conocido, b^jo los supuestos de competencia perfecta., rendirmentos constantes a
escala y productividades marginales de los factores iguales a sus remuneracianes,
ocurre q ue si 6> 1, la participación de los beneficios aumenta ante incrementos del
salario y del capital per cápita. Si a^ 1, dicha participa^;ión disminuye, y si a= l,
dicha participación se mantiene constante.
L,os resul tados empíricos, sin embargo, muestran en numerosos casos evidencia a
favor de la existencia de rendimientas crecientes y en contra de la existencia de
competencia perfecta.
ME^DOS DE ESTIMACION DE LA Fi^iNCtON C. E. S.
l55
Además no debemos olvidar que aun en cornpetencia perfecta y rendimientos constantes, la igualdad entre las productividades marginales y las remuneraciones de los
factores no equivale a la maximización del beneficio, salva en el supuesto de que no sea
pasible obtener ningún beneficio (esto implica una tautologia, ya que las ecuaciones de
maximización del beneficio en este caso sólo nos indican que el máximo beneficio que
puede obtenerse, cuando no puede obtenerse ningún beneficio, es cero). En este sentido
podemos mencionar que en ei caso de la función Cobb-D©uglas la igualdad de las
productividades marginales a las remuneraciones sólo constituye una solución de máxirno beneficio c uanda existen rendimientos decreciente s(Henderson y Quandt (1975),
págs. ó9 y 77), pues en otro caso no se cumple la condición de segundo grado, que
exige que la funcián de producción sea estrictamente cóncava. Podemos mencionar
también que como señalan Henderson y Quandt (1975) (pág. 93}: «el análisis convencional de la maximización del beneficio se desmorona si el empresario vende su output
a un precio constante y posee una función de producci©n homogénea de grado uno.., Si
los precios son tales que con alguna combínación de factores se obtiene un beneficiu
positivo, el bene^icio puede inerementarse a cualquier nivel... En este caso la función
de beneficio no tiene un máximo finito. ^
En mi opinión, el valor estimado de la elasticidad de sustitución carece en la
mayoña de los casos del significado que quiere atribuírsele, y por ello considero que
para analizar la evolución de las participacianes de los factores en et output es preferible utí^izar un marco distinto a la función C. E. 5.
Además, la función C. E. S. no es muy útil para estudiar el crecimiento económico,
ya que, como señala Kaldor (197b), en el proceso de crecimiento son mucho más
importantes las relaciones de complementariedad entre irabajo y capital que la sustituibilidad entre ellos, y esta función parte de un enfoque de sustituibilidad entre los
factares .
RES UM EN
Este artículo presenta una síntesis de los métodos más habituales de estimación de
la función de produccián C. E. S. (Constant Elasticity of Substitution), señalándose la
consistencia o inconsistencia de los estimadores obtenidas. También presenta un resumen de algunas de las principaJes aportaciones empíricas en este tema. Finalmente se
efectúan algunas cñticas en torn© a la capacidad de estas funciones para explicar el
crecimiento económico y la disiribución de la renta.
SU MMA RY
This paper presents a synthesis of the more usual methods of estimation of the
C. E. S. (Cc^nstant Elasticity of Substitution) production function. Reference is made,
too, to several of the main empirical contributions in this field. Finally some criticisms
are made about the capacity of this function to explain economic development and
income distribution.
Título en inglés: «Estimation methods of the C. E. S. production function».
A. M. S. subject classifications: Primary 62 P 20; Secondary ó2 F 10.
and phrases: Estimation rnethods, C. E. S. production functions.
Key words
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