Material Fisica - Facultad de Ciencias Veterinarias UNLPam

CURSO NIVELACION 2014
FISICA BIOLOGICA
FAC CIENCIAS VETERINARIAS
Universidad Nacional de La Pampa
MATEMATICAS
OBJETIVO GENERAL
•
Se pretende que el alumno reafirme y/o adquiera conocimientos básicos matemáticos y
que pueda aplicarlos en las diferentes asignaturas que así lo requieran.
OBJETIVOS ESPECÍFICOS
•
Que el alumno conozca e interprete:
- el manejo de las distintas ecuaciones
- la representación gráfica de funciones
- las propiedades de los logaritmos
- el uso de la notación científica
CONTENIDOS
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Potenciación
Radicación
Notación científica
Ecuaciones
Ecuaciones algebraicas de primer grado con una incógnita
Sistemas de ecuaciones lineales
Ecuaciones algebraicas de segundo grado
Funciones
Tipo de Funciones: lineales y exponenciales
Representación gráfica de funciones: ecuación de la recta
Progresiones aritméticas y geométricas
Logaritmos
Manejo de ecuaciones exponenciales
Ejercicios de Aplicación.
POTENCIACIÓN:
n
exponente
A
base
Debe multiplicarse la base tantas veces como lo indica el exponente:
A3 = A A A
An = A A A ......
n veces
Propiedades:
1) La potenciación no es distributiva con respecto a la suma
(A + B)n ≠ An + B n
Lo correcto es: (5 + 3)2 = 82 = 64
Para comprobar que la potencia no es distributiva con respecto a la suma podemos
desarrollar el Binomio de Newton:
(5 + 3)2 = 52 + 2.5.3 + 32 = 25 + 30 + 9 = 64
Que se define como el cuadrado del primero, más el duplo del primero por el segundo, más
el cuadrado del segundo.
2) La potenciación no es distributiva con respecto a la resta
(A – B)n ≠ An – Bn
Lo correcto es: (5 –2) 2 = 32 = 9; o aplicando el Binomio de Newton:
52 – 2 . 5. 2 + (-2)2 = 25 – 20 + 4 = 9
3) La potenciación es distributiva con respecto al producto
(A . B)n = An . Bn
Ej:
(2 . 3)2 = 22 . 32 = 4 . 9 = 36 ó 62 = 36
4) La potenciación es distributiva con respecto al cociente.
A n = An
B
Bn
Ej:
7
4
2
= 7 2 = 49 = 3, 0625 ó 1,75 2 = 3,0625
42
16
5) El producto de potencias de igual base, es igual a otra potencia de la misma base cuyo
exponente es la suma algebraica de los exponentes dados:
Ej:
A x . A y. A z = A (x + y + z)
2 2 . 2 –3 . 2 4 . 2 -1 = 2 2 + (-3) + 4 + (-1) = 2 2 = 4
6) Cociente de potencias de igual base, es igual a otra potencia de igual base cuyo
exponente es la diferencia algebraica entre el exponente del dividendo y el exponente del
divisor.
A x = A x–y
Ay
Ej :
8 4 = 8 4 – 6 = 8 –2 =
86
1
8
2
= 1 =
82
1.
16
Recordemos que:
- La potencia con exponente negativo es igual a la inversa de la base elevada a dicha
potencia como exponente positivo (como en el ejemplo dado arriba).
- Todo número elevado a la 0 es igual a 1:
Ej: 5 0 = 1
7) Potencia con exponente fraccionario positivo: Una potencia cuyo exponente es
fraccionario positivo, es igual a una raíz cuyo índice es el denominador de la fracción y
cuyo numerador es el exponente de la cantidad subradical.
Ej: A 3/2 =
2
A3
8) Potencia con exponente fraccionario negativo:
1
–3/4
Ej:
A
=
4
A 3
9) Potencia de otra potencia: Es igual a otra potencia de la misma base cuyo exponente es
igual al producto de los exponentes dados.
Ej: (A2)3 = A6
(A2) –1 = A-2 = (1/A) 2
RADICACIÓN
El resultado de la raíz enésima de un número real, es un número cuya potencia
enésima es igual al número dado.
√A = B
n
si
Bn = A
Propiedades:
1) La radicación no es distributiva con respecto a la suma.
_____
n
n
n
A+B ≠
A +
B ; lo correcto es: √ 2 +7 =
__
√9 = 3
2) La radicación no es distributiva con respecto a la resta
n
A -B
≠
n
A -
n
B ; lo correcto es
120 - 20 = 100 = 10
3) La radicación es distributiva con respecto al producto
n
A.B.C
=
n
A .
n
B .
n
C
4) La radicación es distributiva con respecto al cociente
n
A = nA : n B
B
Recordar:
- Cuando el índice de la raíz es par, el resultado puede ser tanto negativo como positivo:
2
Ej:
-
pues
(-2)2 = 22 = 4
Cuando el índice de la raíz es par y el radicando negativo no tiene solución real:
Ej:
-
= ± 2
4
2
- 5 = no tiene solución en los números reales
Cuando el índice de la raíz es impar y el radicando negativo tiene solución negativa:
Ej:
3
-8 = - 2 pues
(-2)3 = -8
5) la potencia n de la raíz n de un número real es igual a dicho número
Ej:
n
A
n
= A
6) Raíz de otra raíz: se multiplican los índices de las raíces
Ej: 2
3
A =
6
A
NOTACIÓN CIENTÍFICA:
En muchas ciencias se emplean números muy grandes o muy pequeños, que son
muy difíciles de escribir y, que además, es muy delicado trabajar con ellos.
Para expresar números de muchas cifras y poder simplificar operaciones, se utiliza
normalmente la forma de producto de las cifras significativas por una potencia de 10, lo que
se denomina Notación científica.
Ej: 358000 = 3,58 x 105
0, 0000358 = 3,58 x 10 –5
Siempre se deja una cifra significativa (distinta de cero) antes de la coma, y se
acompaña el número resultante con un factor de 10 elevado a un exponente igual al número
de lugares que se ha corrido la coma. El exponente es positivo si se han corrido hacia la
izquierda, y negativo si fue hacia la derecha.
ECUACIONES
Expresiones algebraicas: Se llama expresión algebraica a una combinación de letras
y/o números, vinculados entre sí por las operaciones de suma resta, producto, cociente,
potencia e índice radical.
Ej: 4 a2 b – 2b + 8 c
Ecuación algebraica: Se llama así a la igualdad entre dos expresiones algebraicas,
que sólo se verifica para determinados valores de algunas de sus letras, llamadas incógnitas.
Los valores de las incógnitas que satisfacen la ecuación se llaman raíces de la ecuación.
Ej: 3x - 2 = 4
⇒ ecuación con raíz x = 2
Las normas a seguir para resolver este tipo de ecuaciones son las siguientes:
a) Todo término que se encuentra en un miembro multiplicando pasará al otro miembro
dividiendo
Ej: a = bx ⇒
a/b = x
b) Todo término que se encuentra en un miembro dividiendo pasará al otro miembro
multiplicando.
Ej: x / b = a ⇒
x = a.b
c) Todo término que se encuentra en un miembro sumando pasará al otro miembro
restando
Ej : x + a = b ⇒ x = b - a
d) Todo término que se encuentra en un miembro restando pasará al otro miembro
sumando.
Ej: x - a = b
⇒ x = b+a
e) En primer lugar deben pasar los términos que estén multiplicando o dividiendo
f) En el caso de encontrarse una operación de suma o resta dentro de un paréntesis en uno
de los miembros, puede resolverse o bien, puede pasarse el total del paréntesis al otro
miembro.
Ej: (a + b) x = c
⇒
x = c .
(a+b)
Recordar la regla de los signos: + x + = +
+x- = - x-=+
+: + = +
+: - = -:- = +
ECUACIONES ALGEBRAICAS DE PRIMER GRADO CON UNA INCÓGNITA
Las ecuaciones algebraicas enteras pueden clasificarse según su grado. El grado está
dado por el mayor exponente al que está elevada la incógnita.
Ej:
5 x –3 = 2 x ⇒
es una ecuación de primer grado
3 x2 – 8 x = 0 ⇒
es una ecuación de segundo grado
Toda ecuación de primer grado con una incógnita, si tiene solución, ésta es única.
Para resolver una ecuación de este tipo, hay que reducirla (mediante pasaje de
términos) a una expresión de la forma:
ax + b = 0
Si a ≠ 0 la raíz de la ecuación es x = -b/a
Si a = 0 y b ≠ 0 la ecuación no tiene solución.
Si a = b = 0, la ecuación es una identidad que se satisface para cualquier valor de x.
Ejemplos:
1) Resolver la ecuación: 7x – 3 = 21x -9
Hacemos:
7x –21x = -9 + 3
⇒
-14x = - 6 ⇒
x = 3/ 7 es la raíz
2) Resolver
2/5 x – 1 = 1/4 x + 2
2/5 x - 1/4 x = 2 + 1
8x - 5x = 3
20
3x = 3
⇒
x = 60
20
3
= 20
3) Resolver:
15 – x = 7 –x
x - 18
x–8
La llevamos a una ecuación de primer grado haciendo:
(15 – x) (x –8) = (7 – x) (x – 18)
Aplicamos propiedad distributiva:
15x + 8x – 18 x = - 126 + 120
⇒ 5 x = - 6 ⇒ x = - 6_
5
Observación:
Es importante verificar las soluciones que se obtengan para cada ecuación. Por
ejemplo, para la ecuación (1):
7.( 3/7) –3 = 21. (3/7) –9
3 –3 = 9 – 9 ⇒ 0 = 0
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas
El conjunto de dos ecuaciones:
a1x + b1y = c1
a2x + b2y = c2
Constituye un sistema de dos ecuaciones lineales de primer grado con dos
incógnitas “x” e “y” . La solución del sistema es el par de valores que deben tomar x e y
para satisfacer ambas ecuaciones simultáneamente.
Sea el sistema 3x + 2y = 78
4x + y = 54
La ecuación 3x + 2y = 78 tiene infinitas soluciones. Por ejemplo: x = 0, y = 39;
x = 10, y = 24; x = 30, y = -6 ; .......
La ecuación 4x + y = 54 también tiene infinitas soluciones. Por ejemplo: x = 0,
y = 54; x = 10, y = 14; x = 6, y = 30; ….
De todas estas infinitas soluciones de cada ecuación, sólo hay una que coincide en
ambas: x =6, y = 30. Esta es la solución del sistema.
Los métodos para resolver sistemas de ecuaciones consisten en obtener la solución
en forma rápida y automática, sin recurrir al tanteo. Pueden ser de reducción, de sustitución
y de determinantes. El de sustitución es el que usaremos.
Método de sustitución:
Sea el sistema:
3x + 2y = 78 (1)
4x + y = 54 (2)
de la ecuación (2) expresamos “y” en función de “x”:
y = 54 – 4x (3)
sustituimos “y” en la ecuación (1) por esta expresión:
3x + 2(54 – 4x) = 78
Resolvemos esta ecuación con una incógnita:
3x + 108 – 8x = 78
3x –8x = 78 – 108 ⇒ -5x = -30 y por lo tanto x = 6
Este valor de “x” hallado se sustituye en la ecuación (3) que es aquella en la que
aparecía despejada “y”: y = 54 – 4. 6 ⇒ y = 54 – 24 ⇒ y = 30
La solución es por lo tanto x = 6; y = 30
Resumen: El método consiste en expresar una incógnita en función de la otra,
despejándola de una de las ecuaciones. Con esa expresión, reemplazándola en la otra
ecuación, se halla su valor.
Sistemas de ecuaciones con infinitas soluciones.
Sea el sistema:
3x + 5y = 4
6x + 10y = 8
Se puede observar que las dos ecuaciones son prácticamente la misma: una de ellas
es la otra multiplicada por un número. En este caso, las infinitas soluciones de una serán
también soluciones de la otra. El sistema tiene infinitas soluciones y se llama sistema
compatible indeterminado.
Sistemas de ecuaciones sin solución:
Sea el sistema
3x –5y = 4
3x – 5y = 2
En él se puede observar que si 3x –5y es igual a 4, es imposible que 3x –5y también sea
igual a 2. Por lo tanto no es posible encontrar una solución común a ambas ecuaciones. El
sistema no tiene solución y se llama incompatible.
Al resolverlo se llega a una expresión del tipo 0.x = 2 la cual es un absurdo para
todo valor de x.
ECUACION ALGEBRAICA DE SEGUNDO GRADO CON UNA INCÓGNITA
Llamamos ecuación algebraica de segundo grado a la ecuación:
ax2 + bx +c = 0
con a, b, c números reales y a ≠ 0
Para hallar las raíces de una ecuación de segundo grado, aplicamos la fórmula:
x1,2 = -b ± √ b2 – 4.a.c
2.a
Esta resolvente nos dará los valores de las dos raíces de la ecuación de segundo
grado
Ejemplos:
1) 4 x2 – 5x - 6 = 0
x1,2 = 5 ± √ 25 – 4.4.(-6)
8
las raíces son: x1 = -3/4; x2 = 2
2) x2 -2x + 5 = 0
x 1,2 = 2 ±√ 4- 4.1.5 = 2 ± √ - 16
2
2
No tiene soluciones reales pues √ - 16 no es un número real.
3) 9x2 + 6x + 1 = 0
________
x 1,2 = -6 ±√ 36 –4 .9.1
18
la raíz es : x = - 1/3
__
= - 6 ±√ 0
18
Estudio de las raíces de la ecuación de segundo grado
Llamamos discriminante de la ecuación cuadrática, y lo simbolizamos con “∆” a la
expresión:
∆ = b2 – 4 a. c que en la fórmula resolvente se encuentra debajo del signo radical.
Analizando nuevamente los ejemplos anteriores:
1) 4 x2 – 5x - 6 = 0
_______
x = 5 ± √ 25 + 96
8
____
x = 5 ±√ 121
Δ>0
8
x1 = -3/4 ; x2 = 2
2)
x2 -2x + 5 = 0
x 1,2 = 2 ±√ 4 - 20
2
x1,2 = 2 ± √ - 16
2
∆ < 0 no tiene soluciones reales
3) 9x2 + 6x + 1 = 0
______
x 1,2 = -6 ±√ 36 – 36
18
____
x 1,2 = -6 ±√ 0
∆=0
18
x1 = x2 = - 1/3
En ellos podemos observar que si:
∆ > 0 , la ecuación tiene dos raíces reales y distintas.
∆ < 0 , la ecuación no tiene raíces reales (sus raíces son complejas)
∆ = 0 , la ecuación tiene dos raíces reales iguales
Observación:
- Cuando b = 0 puede calcularse , además de con la fórmula descripta, como sigue:
ax2 + c = 0
_____
x = ±√ - c/a
( si c o a es un número negativo)
-
Cuando c = 0 puede resolverse
ax2 + bx = 0
sacando factor común x:
x(ax +b) = 0
Entonces, para que x (ax + b) sea igual a 0:
x = 0 ó (ax + b) = 0
x = -b/a
Las raíces son: x1 = 0 y x2 = -b/a
FUNCIONES
1- Variables y constantes
En matemática se define una variable como un conjunto de números representados
indistintamente por un símbolo. Cada uno de estos números es un valor de la variable. Una
constante, en cambio, es un solo número.
Desde el punto de vista físico y mediante ejemplos es muy fácil comprender estos
conceptos.
Supongamos que se estudia la variación de volumen de un gas cuando se lo calienta
manteniendo fija la presión. En este caso, la temperatura y el volumen son variables y la
presión es una contante.
Desde el punto de vista físico, son variables las magnitudes cuyo valor cambia durante
el proceso que se estudia, mientras que se llaman constantes aquellos cuyo valor se
mantiene fijo. Es necesario tener en cuenta que la misma magnitud puede ser constante en
un proceso y variable en otro.
2- Concepto de función
Frecuentemente ocurre que dos magnitudes están relacionadas entre sí de modo tal
que, dados los valores de una de ellas quedan determinados los de la otra. En ese caso se
dice que la segunda es una función de la primera, y a ésta se la llama “ variable
independiente”.
Si representamos con “y” la función y con “x”, la variable independiente, esta
relación se expresa:
y = f ( x)
En muchos casos, a cada valor de una de las variables, corresponde una de la otra y
a cada valor de la segunda corresponde uno de la primera. Se dice entonces que existe
correspondencia biunívoca entre los valores de ambas variables.
Pero esta condición no siempre se cumple. Por ejemplo, en el movimiento vibratorio
armónico cuya representación gráfica se muestra en la figura A 1, a cada valor del tiempo t
corresponde un solo valor de la elongación y, de modo que podemos escribir:
y
= f (t)
Pero a cada valor de y no corresponde un solo valor de t.
En la figura se muestra, por ejemplo, que al valor y 1 corresponde los tiempos t1; t2;
t3; etc. En este caso, no existe correspondencia biunívoca.
En general, cuando la correspondencia es biunívoca resulta posible durante la
experimentación modifica arbitrariamente cualquiera de las dos variables, de modo que una
puede ser considerada independiente y la otra constituye la función.
Por ejemplo: si al estudiar la relación entre la presión y el volumen de un gas a
temperatura constante se modifica a voluntad la presión y se observan los valores que toma
el volumen, la primera es la variable independiente, mientras que el segundo es la función.
Se escribe entonces:
V=f (p)
Si en cambio se fijan arbitrariamente los valores del volumen, éste será la variable
independiente, mientras que los valores de la presión quedan determinados. Se escribe
entonces:
p
= f ( V)
En muchas oportunidades, el valor de una variable queda determinado por los
valores de varias otras. Esto ocurre, por ejemplo, con el caudal “C” de un líquido que
circula a través de un tubo, el cual depende de la diferencia de presión ∆p, de la longitud
del tubo l , de su radio r y de la viscosidad del líquido η. Se dice entonces que la variable
es función de todas ellas y se escribe:
C = f ( ∆p, l, r, η)
3- Tipos de funciones
Los tipos de relaciones matemáticas que pueden ligar a dos magnitudes son muy
diversos. Nosotros estudiaremos los casos más sencillos; que son los que emplearemos:
Proporcionalidad directa
Veamos, por ejemplo, cómo se puede estudiar la relación entre el tiempo y el gasto
de oxígeno por un animal. Para ello se miden los volúmenes de oxígeno consumidos en
diferentes intervalos y con los datos así obtenidos se confecciona un cuadro de valores.
Relación entre tiempo y consumo de oxígeno
Tiempo ( min)
5
10
15
20
30
Volumen de oxígeno (l)
0,690
1,380
2,070
2,760
4,140
Observando este cuadro se comprueba que al duplicar el primer valor del tiempo
( 5 x 2 = 10) también se duplica el del volumen (0,690 x 2 = 1,380), relación que se cumple
si se multiplica por cualquier otro número,
En general se observa que si se divide el valor del volumen por el del tiempo que le
corresponde, el cociente es siempre el mismo (verifícalo).
Sobre esta base, establecemos la siguiente afirmación:
“ Se dice que dos magnitudes son directamente proporcionales cuando el cociente entre los
valores correspondientes es constante”.
En nuestro ejemplo, representando con V 1, V 2, V3, etc. , los valores del volumen y con t
1, t 2, t 3, etc. los del tiempo, se cumple:
V
1
= V2
=V3
= k
t1
t2
t3
Donde k es el valor constante de todos los cocientes. En forma más general para
cualquier valor del V y del t, escribimos:
V
=k
t
Y pasando t al segundo miembro:
V=k.t
Donde k es la constante de proporcionalidad y ésta es la ecuación que representa la
proporcionalidad directa, la cual puede ser representada gráficamente ( corresponde a una
recta que pasa por el origen)
4,14
2,76
2,07
1,38
0,69
5
10
15
20
30
Fig. – Representación gráfica de la relación de proporcionalidad directa
Función lineal
En el siguiente cuadro se representan los resultados obtenidos al estudiar la relación
entre el peso específico del plasma y su contenido de proteínas.
Relación entre peso específico y contenido de proteínas del plasma
Peso específico
( g/cm3)
1,020
1,024
1,028
1,032
Contenido de proteínas
(g/100 cm3)
4,66
5,99
7,32
8,66
En este cuadro se observa que al aumentar el que sube el contenido de proteínas,
pero no existe proporcionalidad directa, pues los cocientes no son constantes, ya que el
valor de la función está dado por la variable independiente multiplicada por una constante
más otra constante. Cuando una variable se relaciona con otra de esta manera , se dice que
es un función lineal de ésta.
“Una variable y es función lineal de otra x cuando ambas están ligadas por una relación de
la forma:
y =mx+b
(Ecuación general de la recta)
donde m y b son constantes “.
Cuando x = 0 ⇒ y = b que es la ordenada en el origen, es decir el punto en el cual la recta
corta al eje de ordenadas y se lo llama término independiente.
“m” es la tangente del ángulo formado por la recta y el eje de abscisas y recibe el nombre
de pendiente de la recta . Si b = 0 ⇒ y = m x (proporcionalidad directa) que es un caso
particular de función lineal.
y3
y3
y2
y1
y2
b
y1
x1
x2
x3
x1
x2 x3
Proporcionalidad inversa
En el cuadro se muestran los resultados obtenidos en un experimento al estudiar, en
el perro, la relación entre la frecuencia cardíaca ν y el volumen sistólico Vsist. En la
primera columna se han representado los ν expresados en ciclos por segundo (c/seg.). En la
segunda columna figuran los Vsist medidos en cm3.
Relación entre frecuencia cardíaca y volumen sistólico
Frecuencia cardíaca
(c/seg.)
1,2
1,5
1,9
2,1
2,4
2,6
Volumen sistólico
(cm3)
9,08
7,27
5,73
5,19
4,54
4,19
En forma general pone los dos valores de cualquier par, se puede escribir:
ν . Vsist = k
donde k es una constante. Esta es la definición de proporcionalidad inversa:
“Se dice que dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando el producto entre los
valores correspondientes es constante”.
La representación gráfica de este tipo de función es un hipérbola que tiene los ejes
de coordenadas por asíntotas.
Gráfico de la proporcionalidad inversa
Función exponencial
Al hacer el estudio de crecimiento de una cepa de bacilos tíficos en caldo, se
encontraron los datos que se muestran en el cuadro. En la primera columna figura el tiempo
medido en minutos, contado a partir del momento en que las bacterias comienzan a
reproducirse con regularidad. En la otra columna figura el número de bacterias por mm 3
de caldo.
Relación entre el número de bacterias y el tiempo en un medio de cultivo
Tiempo
( min.)
Número de bacterias
(bact /mm 3)
1,539 x 106
4,131 x 106
11,09 x 106
29,76 x 106
79,88 x 106
0
40
80
120
160
Se puede comprobar en este cuadro que el n º de bact / mm
ligados por la relación:
3
N0 y el tiempo t están
N0 = (1,539 x 10 6) x 1,025 t
En efecto, reemplazando t por sus valores de la primera columna, se obtienen los n º de
bacterias correspondientes, que figuran en la segunda columna.
En este tipo de relación la variable independiente figura como exponente.
En forma general, una función exponencial se puede representar mediante y = a . b c x ,
donde a, b y c son constantes.
El gráfico que representa esta relación es una curva llamada exponencial que en este caso
va subiendo hacia la derecha cada vez con mayor pendiente.
A veces se representa una relación parecida en la cual el exponente tiene signo
negativo. En este caso, la curva va descendiendo hacia la derecha.
Funciones como las vistas son muy frecuentes en biología y ellas se presentan en el
proceso de crecimiento celular, en la acción de los fermentos, en la difusión de sustancias a
través de membranas y en infinidad de otros procesos.
Las funciones exponenciales también pueden ser representadas en forma
logarítmica, ya que, utilizando el mismo ejemplo, el logaritmo del n º de bacterias es una
función lineal del tiempo. Por lo tanto, si esta variable se representa en abscisas y en
ordenadas, el logaritmo del n º de bacterias, se obtiene una recta. Para ello utilizamos
papel semilogarítmico.
REPRESENTACIÓN GRÁFICA DE FUNCIONES: ECUACIÓN DE LA RECTA
La representación gráfica permite una idea clara de cómo es una función con un solo golpe
de vista.
y = f(x)
y = ax + b
donde:
x = variable independiente
y = variable dependiente
a= es la pendiente de inclinación de la recta, ésta es una constante, de lo contrario
no sería una recta. Es el coeficiente del término independiente.
b = ordenada al origen. Punto donde la recta intercepta el eje de las “y”
Por ejemplo:
y = 3x + 2
La ordenada al origen es 2 y la pendiente es 3.
Para graficar esta función se debe diseñar una tabla de valores. Se asignan valores a
la variable independiente “x” y se calcula “y”:
x
2
1
0
-1
2
y = 3x + 2
3.2 +2 = 8
3.1 +2 = 5
3.0 +2 = 2
3(-1) +2 = -1
3(-2) +2 = -4
y
8
7654321-2 -1
1
2
x
-1 -2 -3 -4 -
Deducción de la pendiente de una recta:
Supongamos una recta que pasa por los puntos (x1; y1) y (x2; y2)
y2
y1
α
x1
x2
Si la ecuación de la recta en cualquier punto es : y = ax +b
En los puntos dados debe ser y1 = ax1 + b
y2 = ax2 + b
Si restamos estas dos ecuaciones resulta:
y2 – y1 = a (x2 – x1)
De donde a = y2 – y1
x2 – x1
Si recordamos la definición de tangente de un ángulo como el cociente entre el cateto
opuesto y el cateto adyacente a dicho ángulo en un triángulo rectángulo, resulta que la
pendiente a es a = tg α
donde α es el ángulo que forma la recta con el eje positivo de las x.
En resumen:
Pendiente a =
∆y
∆x
Para el caso que estamos resolviendo :
8 – 5= 3
a=
2–1
1
Ordenada al origen: es el valor de y cuando x vale 0, en este caso b = 2
Observación:
Dependiendo de los datos que tengamos, podemos encontrar la ecuación de la recta
como en los siguientes ejemplos:
1) m = 1/2
b=5
Entonces la ecuación de la recta es directamente: y = 1/2x + 5
2) m = -1
P: (1; 2)
Buscamos la ordenada al origen reemplazando los valores del punto en la ecuación:
2 = -1(1) + b
b = -1 - 2 = - 3
La ecuación de la recta es: y = - x - 3
2) P1: (1; 2)
P2 : (2; 4)
Se puede utilizar la siguiente formula:
x0 – x1= y0 – y1
x2 – x1
y2 – y1
reemplazando:
x – 1=
y–2
2–1
4–2
2 (x – 1) = y – 2
y = 2x
⇒
es la ecuación de la recta, y b = 0
PROGRESION ARITMETICA:
Sucesión de números tales que cada uno de ellos se obtiene sumándole al anterior
un número constante llamado RAZON DE LA PROGRESION.
an = a1 + r (n-1)
an es el término que se desea hallar
a1 = primer numero de la progresión
n = números de términos de la progresión
r = razón de la progresión
Por ejemplo: 2-4-6-8-10-12-14-16-18, donde:
a1 = 2
a2 = a1 + r = 2 + 2 = 4
a3 = a2 + r = 4 + 2 = 6
Otro ejemplo: Hallar el término número 10 de la progresión anterior:
a10 = 2 + 2 ( 10 – 1)
a10 = 2 + 2 . 9 = 2 + 18
a10= 20
PROGRESIÓN GEOMÉTRICA:
Sucesión de números tales que cada uno de ellos se obtiene multiplicando el anterior por un
valor constante llamado RAZON DE LA PROGRESIÓN.
an = a1 . r n -1
an = término que se desea hallar
a1 = primer término de la progresión
n = números de términos de la progresión
r = razón de la progresión
Ejemplo: En una progresión geométrica el primer término es 3 y la razón es 2. Hallar el
quinto término de dicha progresión.
a5 = 3 . 2 (5 –1)
a5 = 3 . 16 = 48
LOGARITMOS:
Se llama logaritmo en base B de un número A a otro número n, tal que, B elevado a
la n es igual a A, es decir:
log B A = n ⇒ Bn = A
log 2 8 = 3 ⇒ 23 = 8
log –2 4 = 2 ⇒ (-2)2 = 4
Propiedades:
1) Los números negativos no tienen logaritmos en el campo de los números reales, ya
que un número positivo cualquiera tomado como base y elevado a cualquier
potencia positiva o negativa da siempre resultado positivo.
Ej: Si log 2 (-4) = n ⇒ se debe cumplir por definición que 2n = - 4
Como toda potencia de numero positivo es positiva, ningún valor de n cumple la
condición, es decir:
log 2 ( -4) ⇒ imposible en R
2) Los logaritmos de base negativa no dan soluciones a cualquier número;
Ej: log –2 8 ≠ 3 ⇒ (–2) 3 ≠ 8; sin embargo:
log –2 (- 8) = 3 ⇒ (-2) 3 = -8 es decir que si el numero y la base son negativos, se
obtiene el resultado correcto.
3) El logaritmo de la unidad de cualquier base es igual a 0.
Ej: log x 1 = 0 ⇒ x0 = 1
log 2 1 = 0 ⇒ 20 =1
log -5 1 = 0 ⇒ -50 =1
4) Logaritmo de base 1
a) Como toda potencia de base 1 es igual; a 1, ningún valor de n cumple con la
definición de logaritmo, es decir:
log 1 5 ≠ n ya que 1 n ≠ 5
b) Si a es igual a 1: log 1 a ⇒ log 1 1 = ∞ soluciones
5) El logaritmo de la inversa de un numero, es le logaritmo de ese numero cambiado
de signo:
Ej: log n 1/ A = - log n A
Los logaritmos de números positivos y de base positiva diferente de 1, son siempre posibles
6) El logaritmo no es distributivo con respecto a la suma, resta, producto y cociente
log ( A + B ) ≠ log A + log B
log ( A - B ) ≠ log A - log B
log ( A . B ) ≠ log A . log B
log ( A / B ) ≠ log A / log B
7) a) El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
log A .B .C= log A + log B + log C
b) El logaritmo de un cociente es igual a la diferencia entre el logaritmo del
dividendo y el logaritmo del divisor:
log A/B = log A – log B
c) El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo
de la base:
log A n = n. Log A
d) El logaritmo de una raíz es igual al logaritmo de la cantidad subradical dividido
por el índice de la raíz:
log n B = log B / n
Logaritmos decimales y logaritmos naturales:
1) Se llaman logaritmos decimales a los logaritmos en base 10. Se expresan como log
X.
Ej: log 10 X ⇒ log X
De acuerdo a la definición, el logaritmo de la unidad seguida de ceros es directamente
el numero de ceros.
Ej: log 1 = 0 ⇒ 10 0 = 1
log 10 = 1 ⇒ 10 1 = 10
Log 100 = 2 ⇒ 10 2 = 100
Los número positivos menores que uno (1) tienen logaritmos negativos. Estos son
números enteros cuando se trata de la unidad precedida de ceros.
Ej: log 0,1 = -1 ⇒ 10 –1 = 0,1
log 0,01 = -1 ⇒10 –2 = 0,01
Son irracionales cuando se trata de otros decimales como por ejemplo:
log 0,02 = -1,6989...
2) Se llaman logaritmos Neperianos o Naturales a aquellos cuya base es el número e
Ej: log e X donde el numero e vale: 2,7182
Consideremos la expresión: b = ( 1+1/n ) n
Siendo n un número entero cualquiera, otorgándole valores crecientes a n, podemos
hallar el correspondiente valor de b, así:
Para n = 2 ⇒ b = 2,25
n = 3 ⇒ b = 2,3703
n = 10 ⇒ b = 2,5937
n = 100 ⇒ b = 2,7048
Se puede concluir que a medida que n aumenta, b también aumenta, en tanto que el
valor de n crece sin límites, el valor de b se va aproximando al valor constante 2,7182. Por
lo tanto este es el limite de b, cuando n tiende a infinito. A este limite se lo llama e.
Cambio de base
I)
Por definición: log a X = y ⇒ ay = X
II)
Aplicamos a ambos miembros el logaritmo en base b ( log b)
Por propiedad uniforme: log b ay = log b X
y . log b a = log b X , entonces despejando y:
y = log b X/ log b a
Recordando que en el primer paso y = log a X, entonces:
Log a X = log b X / log b a
En el caso particular de que a = e y que b = 10 , entonces log e X = log 10 X / log 10 e
ln X = log X / log e ⇒ ln X = log X / log 2,7182 ⇒ ln X = log X / 0,4343
ln X = log X / 0,4343
⇒ ln X = 2,303 log X
⇒ log X = 0,4343 ln X
Ej: Si a = 2 y b = 10, entonces como: log a X = log b X / log b a se concluye que:
Log 2 X = log X / log 2
MANEJO DE ECUACIONES EXPONENCIALES:
Para calcular x en una función exponencial, debemos despejar la incógnita
utilizando las propiedades de los logaritmos, como se realiza en el ejemplo:
a) Dada la siguiente función que relaciona el crecimiento bacteriano en función del tiempo,
α
B = B0 . e t
encontrar el tiempo t en el cual la población aumenta el doble si α = 0,5 h-1.
Debo aplicar el logaritmo conveniente, entonces:
α
Ln B = ln (B0. e t ) ⇒ Ln (B0 . 2) = ln B0 + α t ln e
Ln B0 + ln2 – ln B0 = α t ⇒ ln 2 / α = t ⇒ t = 1,38 horas
Las propiedades de los logaritmos se pueden utilizar, además, para simplificar la
búsqueda del valor de x en ecuaciones con varios exponentes:
___
2/3
b)
x = 32 . √ 53 . 0,1 - 2
0,8
Aplico log, pero debo recordar que no es distributivo con respecto a la resta, entonces:
___
2/3
Log (x + 2) = Log 32 . √ 53 . 0,1
0,8
log (x + 2) = 2/3. Log 32 + 3/2. Log 5 + log 0,1 – log 0,8
log (x + 2) = 1, 0034
+ 1,0484
+ (-1) – (- 0,0969) = 1,1487
x + 2 = antilog ( 1,1487) = 14,0842
x = 14, 0842 - 2 = 12, 0842
c) Leyes de Lambert - Beer:
Todas las leyes físicas tienen dos expresiones, una literal y una matemática; esta última
depende del conocimiento intelectual del alumno; nosotros vamos a trabajar con el manejo
de expresiones exponenciales.
La Ley de Lambert enuncia que cuando un rayo luminoso atraviesa un cuerpo transparente
o traslúcido, la intensidad disminuye en progresión geométrica cuando el espesor aumenta
en progresión aritmética.
Expresión matemática:
It = I0 . e – h . l
Donde:
It : Intensidad transmitida
I0 : Intensidad inicial
e : Base logaritmo natural
h : Coeficiente de absorbancia
l : espesor
Para poder trabajar con log se debe hacer cambio de base
e = 10 0.4343
It = I0 . 10 – 0,4343 ( h . l)
0,4343 . h = k = coeficiente de extinción
It = I0 . 10
–k.l
Para soluciones se aplica la Ley de Beer donde se establece que
k = c.ε
Donde c: concentración de la solución y ε : coeficiente de extinción molecular por lo que
nos queda
It = I0 . 10 – ε . c . l
It
= 10 – ε . c . l . (-1)
I0
I0 = 10 ε . c . l
It
log
It = ε . c . l . log 10
I0
-1 .
I0 = Opacidad
It
1
Densidad óptica = ε . c . l
Δ0 = ε . c . l
d) pH = - log [ H+]
Buffer: Sustancia que mantiene constante el pH en una solución.
pH = pk + log [sal]
[ácido ]
EJERCITACIÓN:
1.
POTENCIACIÓN.
1) 10 –1/ 6 . 10 2/3 . 10 –1/2 =
Resolver:
4) 2 = 5 . 10 –2 . 10 3
X
10 9
2) 10 1/4 . 10 –1/4 =
5) 3/2 =
3) X /3 = 2 . 10 –5 . 10 –6
2
X . 10 –3 .
102 . 10 –8 . 10 6
6) 2 . 10 –9 = 5 . 10-2 . 10 2 .10 3
3
X (-3)
7) 2 . 10 3/4 . 10 –3/4 =
2. 10 –2
1/3
5. 10 –8
14) 1/4 X = 4 . 10 –5
10-3 . 102
X .(-1)
15) 5 . 10 –8 . 10 –9 = 10 34 . 10 –1
8)
–1
3,9 . 10
1,3 . 3 . 10
. 10
–5
–6
= X
10 –17
. 10
16)
9) 4 . 10 . 2 . 10 . 10
–2
2 X . 10 –1
-1
–1
–5
= 25 X . 10
3,4.
2 . 10 –5
=
3 . 10 –7 . 10 –3
1,7 X . 2
24
10) X = 3/4 . 2 . 10
17) 5 . 48 . 10 –2 = 2 . 10 –9
–7
2,4
10-8 . 10
1/2
-1
11) 2,4 . 10 . 10
12) 5,6
2 . 10 –3
–2
24 . 10
2
= 10 . 10
8X
13) 3 . 10
–8
2 . 10
–9
=
2X
18) 5 . 10 –1 = 3 X . 10 –3
= X
X
. 10
–3
.
–7
10 –3
19 ) 2/3 . X = 5/2 . 10 –2
10 –1
10 –2 . 10 –1
20) X (-3) = 1/2 . 5 . 10 –2
2/5
2.
10 –3 . 10 –7
Expresar en NOTACIÓN CIENTÍFICA (con 1 sólo dígito y en forma
exponencial)
1) 0,03 =
7) 4839 . 10-4 =
2) 3,1 . 10 –2 . 10 –3 =
8) una millonésima:
3) 10 –4 =
4) 5,8 . 10 –9 . 10 –2 =
.
–9
9) un millón:
10) diez mil :
5) 48,3 . 10 –9 =
11) una centésima:
6) 563.10 –2 =
12) 100 =
13) 0,002 . 10 –1 =
17) una diez milésima:
14) 57.10 –1 =
18) 4.535.000 x 10 –6 =
15) 6,3 . 10 –2 . 10 4 =
19) 0,005 . 102 =
20) 0,08 . 10 –8 =
5
16) 49 . 10 =
3.
ECUACIONES DE PRIMER GRADO. Calcular el valor de X
1)
1/3 . 10-2 = 104 . 103
1/4 . 10-2
X
10) 1
= 2 . 1
2X
2)
3
5
= 2/4 . 1/3 . 10 2
X .2 . 3
5 . 1/5 . 100
6.9
11) – 1 – 13 = - 2X - 3X
3
3)
4
X - X + 2X = -3 + 7
3
5
12) – 5 = 2X - 6
15
-
X +1
4)
4
.
X + 1
1/3 X - 2/3 X - 4 = 4/3 X
13) 5 X – 5 = 6 X - 6
5)
2
6)
5
X–3 = 4.5
1/2
X - 5
14) - 2 X = 1 - 2X
= 1 - 1X
8
8
3
7)
(X - 3) . 2 = (X - 5) . 3
8)
2X - 5X + 2X = - X - 20
4
9)
8
12
1 ( - X – 3) = 1 ( 1/2 . 1/4)
3
6 . (- 2)
4
3
15) X - 1
3
16) 4 X - 2
2
- 4 = 4X -2
8
-1 = X - 2 - X + 1
3
2
17) 2/3 X - 3 = X - 8
3
18) 13 - X = X - 3 + 5 X
( -1)
5
3
20) 0,5 X - 2 X - 1 X = 10
3
19) 3 X - 2 – X = - X - 2 X – 6
2
4.
3
2
21) 3 X = 9 X - 12
2
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Resolver por el método de
sustitución y verificarlas.
1) 3 x = 78 - 2 y
9) - 4 x - 1 y = 1
y - 54 = - 4 x
2) 2 y = 14 - 5 x
3 x - 4 y = 24
3) 3 x - y = 5
3= 5x + y
4) 11 + 2 x = -3 y
3 x - 11 = y
2
5) 2 x = - y + 3
3x - 5 = 2y
2
6) - 8 y = x + 1
-7 -2x = 4y
7) 13 - 3 x = - y
2y = 9 - x
8) 2 x - 20 = - 2 y
4x = 4 + 2 y
2
-y + 3 = -1x
3
10) 2 x - 1 = y
- 1 y + 1 x = 1,3
2
5
11) 1/2 = - y + 5 x
- 10 = 2 x + 3 y
12) 1 y + 1 x = 0
5
5
x - 2 = y
13) 9 = - y + x
5
5
y - 9 = -2x
2 2
14) 5 x - 3 y = 7
4
4
2
4 - 3x= y
4
2
15) 1 x - 5 = - 1 y
16)
2
5
2x = 2 + 1y
5
5
5
5.
1x + 1 = -8y
5
5
5
2x - 4y = -7
5
5
5
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Calcular los valores de x que satisfagan las siguientes ecuaciones (Expresar los
resultados en notación científica)
a) - 2 + X =
7
2
- ( -X - 3)
b)
g) 4 X = 4 - 2 + 2
8X + 15 =
3
3
10
h) 3. 10 =
X -5 -2 -7
3
c) 3X = -2 -3X2
3
X
X
2 . 10 –10
X
X
i) X - 2 -
d) (2X + 6) . ( -1 + 2X ) = 0
4
7
= 0
2( X + 3)
j) (3X - 5) (2X + 2) = 0
e) 2 . 10
X
10
=
X
5 . 10 –11
f) - 2 = -1 + 1 - 2X
3
6.
X
3
k) - 2 - (- 4 + 3) = - 2 - X – 2
X
2
2
l) 3X = 3X2
ECUACIÓN DE LA RECTA
1) Representar gráficamente (en papel cuadriculado o milimetrado) las siguientes
ecuaciones. Calcular la pendiente y ordenada al origen ( m y b).
a)
b)
c)
d)
e)
f)
y = 5 x –3
y = -3 x + 2
x -5 = - y
y–1=x
- y = -3 x –3
–y -x= 4
2) Con las siguientes tablas de valores que representan una recta, calcular la
pendiente, la ordenada al origen, plantear la ecuación y graficarlas.
a)
x
y
0
1
-1
-2
b)
x
y
-1
0
-2
0
c) x
y
-1 -1/3
0
2
d) x
y
2
-1
-6
0
e)
x
y
0
-1
1
0
3) Hallar las ecuaciones de las rectas y graficarlas.
a)
b)
c)
d)
e)
P1 : (2 ; 4) , P2 : (5 ;0)
P1 : (3 ; 4) , P2 : (6 ; 8)
m = 1/3 ; b = -1
m = -2 ; P : (3 ; 6)
m = -3 ; P : (1 ; 2)
4) Dadas las siguientes rectas, hallar la ecuación de las mismas y demostrar si el
punto P : (1 ; 0) pertenece o no a alguna de ellas.
a)
b)
c)
4
3
-2
4
-5
-6
5) Siendo la recta R perpendicular al eje x, hallar las expresiones matemáticas de T y
S si T es paralela al eje x.
y
R
(3;4)
T
x
1
S
7. PROGRESIONES ARITMÉTICAS Y GEOMÉTRICAS
a) Dar cuatro términos de una progresión aritmética si el primer término es = -4 y la razón
= -3
b) Dar 6 términos de una progresión aritmética siendo el primer término = 2 y la razón = 6
c) Dar cuatro términos de una progresión geométrica si el primer término es 7 y la razón
es 2.
d) Dar cinco términos de una progresión geométrica si el primer término es 3 y la razón 3
e) Una escalera tiene escalones cada 20 cm. ¿A qué altura se encuentra el 6º escalón si el
primero está a 40 cm del suelo?
f) Calcule la razón de la siguiente serie geométrica: 8, 32, 128, 512
g) Calcule la razón de la siguiente serie aritmética: 21, 18, 15, 12, 9
7.
LOGARITMOS
I) Calcular el valor de las incógnitas aplicando el logaritmo que corresponda según la base
dada.
a) e 3x . e –4x . e 5x
e –3x
+5 = 7
b) 10 –3x . 10 6x . 10 4x = 0,4343
10 –2x
II) Aplicar el logaritmo decimal:
___
3
a) x = √125 . 0,23 + 5
3,5
____
b) x = 4√0,3 2 -5
c) x =
5 1/3
___
3
√58 2 . 2 2 . 5 1/3
3/6
4
d) x = 0,1 2 . 5,6 3 + 2,303
15
e) x = 3 1/2 . 2 5 . 9 3
24 . 21/2
______
f) x = 6√0,1298
g) x = 7 2/3 . 5 1/4
h) x = 1 + 7,5 3
2,1 2
l) Ln 7,9 =
i)
x = 0,1 . 0,01. 100 + 10
10
m) x =
j) Ln 930 =
___
√34 . 0,3 3
4
1,2
_____
3
n) x = √0,092 . 5
k) Ln 45090 =
8. FUNCIÓN EXPONENCIAL Y LOGARÍTMICA
a) Dada la ecuación
I = I0 . e – ε l c aplique el logaritmo que desee para calcular l.
b) Dada la siguiente ecuación B = B0 . 10 α t aplique el logaritmo natural para despejar α
a) Dada N = N0 . e – α t despejar N0 aplicando logaritmo decimal.
b) Dada la siguiente ecuación exponencial B = B0 . e α t , aplicar logaritmo natural y luego
logaritmo decimal para calcular B si:
B0 = 103 células/ml.
α = 0,04 hora-1
t = 5 horas
e) Dada la siguiente función exponencial B = B0 . e – α t , aplicar logaritmo natural, luego
decimal y calcular t, si:
B0 = 10000 bacterias /ml
B = 500 bacterias /ml.
α = 0,2 hora –1