Factorización y Raíces.

Semana 27. (4 de noviembre)
Alfredo.
Factorización y raices de un polinomio
Definición. Decimos que k es la raı́z de un polinomio P (x) = x2 + bx + c si p(k) = k 2 + bk + c = 0
Ejemplo. 2 es raiz del polinomio P (x) = x2 − 4 ya que P (2) = 12 − 4 = 0, 1 es raı́z del polinomio
Q(x) = x3 − x2 − x + 1 ya que Q(1) = 13 − 12 − 1 + 1 = 0
Observación. Si un polinomio P (x) = x2 + bx + c se puede factorizar como P (x) = (x − k)Q(x) donde
Q(x) es otro polinomio, entonces P (k) = (k − k)Q(k) = 0Q(k) = 0, de esta forma k es una raı́z del
polinomio P (x).
Ejemplo. El polinomio P (x) = x3 − 2x2 − x + 2 puede factorizarse como P (x) = (x − 1)(x2 − x − 2), de
esta forma P (1) = (1 − 1)(12 − 1 − 2) = 0(−2) = 0 por lo que 1 es raı́z del polinomio.
Observación. si k es una raı́z del polinomio P (x) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 , entonces
P (k) = k n + an−1 k n−1 + · · · + a1 k + a0 = 0, de esta forma
P (x) = P (x) − 0 = P (x) − P (k) = xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 − k n − an−1 k n−1 − · · · + a1 k − a0 , al
reordenar los terminos, tenemos lo siguiente:
P (x) = P (x) − P (k) = xn − k n + an−1 xn−1 − an−1 k n−1 + · · · + a1 x − a1 k + a0 − a0 , podemos ver que los
términos a0 se eliminan y podemos factorizar de la siguiente forma:
P (x) = xn − k n + an−1 (xn−1 − k n−1 ) + · · · + a2 (x2 − k 2 ) + a1 (x − k)
(1)
Podemos factorizar los términos del siguiente polinomio de la siguiente manera:
xn − k n = (x − k)(xn−1 + xn−2 k + · · · + xk n−2 + k n−1 ),
xn−1 + k n−1 = (x − k)(xn−2 + xn−3 k + · · · + xk n−3 + k n−2 ), . . .,
x3 − k 3 = (x − k)(x2 + xk + k 2 ), x2 + k 2 = (x − k)(x + k), de esta forma, cada uno de los términos de
P (x) tiene un factor x − k por lo que podremos factorizar al polinomio como P (x) = (x − k)Q(x).
Lo que hemos demostrado es que si k es una raı́z del polinomio P (x), entonces existe algún polinomio
Q(x) que factoriza a P (x) de la siguiente manera P (x) = (x − k)Q(x),
Ejemplo. El 1 es raı́z del polinomio P (x) = x5 −x4 +x3 −x2 +x−1 ya que P (1) = 15 −14 +13 −12 +1 = 0,
de esta forma existe algún polinomio Q(x) tal que x5 − x4 + x3 − x2 + x − 1 = (x − 1)Q(x), para encontrar
Q(x) podemos dividir P (x) ÷ (x − 1) usando la división de polinomios y obtenemos Q(x) = x4 + x2 + 1,
de esta manera x5 − x4 + x3 − x2 + x − 1 = (x − 1)(x4 + x2 + 1).
Un método para resolver ecuaciones de segundo grado es el completar cuadrados, a continuación un
ejemplo de esto:
Ejemplo. La ecuación x2 − 6x + 2 = 0 √
puede verse como 0 = x2 − 6x + 9 − 7 = (x − 3)2 − 7, de esta
forma (x − 3)2 = 7, por lo que x − 3 = ± 7 y ası́ x = 3 ± 7.
Observación. Los resultados que hemos dado ha sido para polinomios mónicos, es decir polinomios tales
que el coeficiente del mayor exponente es 1, como por ejemplo x3 + 3x2 + 2x + 4, pero siempre podemos
transformar un polinomio de la siguiente manera ax3 + bx2 + cx + d = a(x3 + ab x2 + ac x + ad ), podemos
observar que la factorización del polinomiomónico x3 + ab x2 + ac x + ad nos da la factorización del polinomio
original, además las raices son las mismas para ambos polinomios.
1
Ejercicio 1. Para cada inciso escribe un polinomio que tenga las siguientes raices:
(a) 4 y −4 (b) 1, 2 y 3 (c) un polinomio de grado 3 que solo tenga al 1 como raiz.
Ejercicio 2. Factoriza los siguientes polinomios usando la fórmula general:
(a) 4x2 − 4x + 1 (b) x2 + 2x + 4 (c) 2x2 − x − 1
Ejercicio 3. Resuelve las siguientes ecuaciones mediante la factorización:
(a) 6x2 + 3x = 0 (b) 9x2 − 1 = 0 (c) x2 − 2x − 8 = 0
Ejercicio 4. Resuelve las siguientes ecuaciones mediante la completación de cuadrados:
(a) 2x2 = 3 − 5x (b) 4x2 − 2x = 9 = 0 (c) x2 − 2x − 8 = 0
Ejercicio 5. Factoriza los siguientes polinomios: (a) x4 − 4x3 + 6x2 − 4x + 1
2
(b) x5 + x4 − 2x3 − 2x2 + x + 1