Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Departamento de Matemática Coordinación de Matemática I (MAT021) 1er Semestre de 2013 Semana 7: Lunes 22 – Viernes 27 de Abril Complemento Contenidos • Clase 1: Geometrı́a Analı́tica: Distancia entre dos puntos. Ecuación de la recta. Angulo entre rectas. Rectas paralelas y perpendiculares. • Clase 2: Ecuación de la circunferencia. Ecuación de la elipse. 1 Clase 1 1.1 Aprendizajes Esperados • Identifica la representación del plano cartesiano, cuadrantes, ejes y ubica puntos en él. • Reconoce las distintas ecuaciones de la recta y es capaz de graficarlas. • Interpreta gráficamente la pendiente y reconoce su relación con el ángulo de inclinación. • Identifica y aplica conceptos de paralelismo y perpendicularidad. • Aplica la fórmula de distancia entre puntos. 1.2 Distancia entre dos puntos Considerar el plano cartesiano R2 . Un punto P de coordenadas (x, y) se puede graficar en el plano, en tal caso escribimos P (x, y). Observación 1.1. Es conveniente discutir la representación del plano cartesiano, como ubicar puntos, cuadrantes, ejes etc. Definición 1.1. Una distancia o métrica entre dos puntos P (x1 , y1 ) y Q(x2 , y2 ) es una función de dos variables que denotamos por d(P, Q) que satisface 1. d(P, Q) ≥ 0 (No degenerada). 2. d(P, Q) = 0 ⇔ P = Q ⇔ ( x1 = x2 ∧ y1 = y2 ). 3. d(P, Q) = d(Q, P ) (Simetrı́a). 4. d(P, Q) ≤ d(P, R) + d(R, Q) (Desigualdad Triangular). MAT021 Primer Semestre 2013 (Complemento) 1 Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Departamento de Matemática Definición 1.2. La distancia euclidiana entre dos puntos P (x1 , y1 ) y Q(x2 , y2 ) está dada por p d(P, Q) = (x2 − x1 )2 + (y2 − y1 )2 Ejemplo 1.1. Calcular la distancia entre (1, 2) y (−1, 3). Ejemplo 1.2. Muestre que d ((x, 0) , (z, 0)) = |x − z| Observación 1.2. Se define la norma del punto P (x1 , y1 ) como la distancia de P al origen O(0, 0), esto es: q kP k = d(P, O) = x21 + y12 que satisface: Propiedades 1.1. Se cumple: 1. kP k ≥ 0 2. kP k = 0 ⇔ p = (0, 0). 3. kk · P k = |k|kP k k ∈ R. 4. |kP k − kQk| ≤ ||P + Q|| ≤ kP k + kQk. Punto de división Considere los puntos P (x1 , y1 ) y Q(x2 , y2 ) y el segmento que une los puntos P Q ( o QP ). Sea R(x, y) un tercer punto que divide el segmento en la relación, para rs > 0: PR r = RQ s Usando semejanza de triángulos se obtiene que las coordenadas del punto R son x= 1.3 rx1 + sx2 r+s y= ry1 + sy2 r+s La Recta Considere los puntos P (x1 , y1 ) y Q(x2 , x2 ) en el plano. El primer postulado de Euclides afirma que “dado dos puntos existe una única recta que pasa por ellos”. La recta que pasa por los puntos P y Q será denotada por LP Q . Puesto que la recta que pasa por P y Q es la misma que pasa por Q y P , luego sin pérdida de generalidad la recta será denotada por L. Sean P (x1 , y1 ) , Q(x2 , x2 ) y la recta que pasa por esos puntos L, y sea (x, y) ∈ L como en la siguiente figura: MAT021 Primer Semestre 2013 (Complemento) 2 Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Departamento de Matemática (x2 ,y2 ) (x,y) y2 −y1 y−y1 (x1 ,y1 ) x−x1 x2 −x1 En virtud del teorema de Thales, el punto (x, y) satisface: De y − y1 y2 − y1 = x2 − x1 x − x1 x1 6= x2 , De aquı́ ecuación de la recta, esto es, la ecuación que satisfacen los puntos (x, y) viene dada por: Ecuación Cartesiana L: y2 − y1 y − y1 = x − x1 x2 − x1 , x1 6= x2 Ecuación Punto-Pendiente L: aquı́ m = y2 −y1 x2 −x1 y − y1 = m(x − x1 ), se denomina Pendiente de la recta L. Ecuación Pendiente-Intersección L: y = mx + n, aquı́ n es el punto de intersección de la recta L con el eje Y. Observación 1.3. Si x1 = x2 la ecuación de la recta será x = x1 = x2 , y si y1 = y2 , la ecuación de la recta será y = y1 = y2 . Observación 1.4. En general, una ecuación de una recta puede ser escrita por ax + by + c = 0 MAT021 Primer Semestre 2013 (Complemento) 3 Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Departamento de Matemática Q y2 −y1 P Sean P (x1 , y1 ) , Q(x2 , x2 ). Sea θ el ángulo que forma L con el eje x, como se ve en la siguiente figura. De donde m = tan θ. θ x2 −x1 θ Sean L1 y L2 con pendientes m1 y m2 respectivamente de modo que ninguna recta sea paralela al eje y. Sea α el ángulo agudo formado por L1 y L2 como se muestra en la siguiente figura. Tenemos que m1 = tan θ1 y m2 = tan θ2 . Con esto, se tendrá una expresión que relaciona el ángulo entre las rectas con la pendiente de ellas. Muestre que esta expresión viene dada por: m1 − m2 tan α = 1 + m1 · m2 α θ1 θ2 Definición 1.3. De la expresión anterior se tiene: • L1 es paralelo a L2 si m1 = m2 (ángulo entre rectas α = 0), denotamos L1 //L2 . π • L1 es perpendicular a L2 si m1 · m2 = −1 (ángulo entre rectas α = ), denotamos L1 ⊥L2 . 2 Ejercicio 1.1. Encontrar una relación entre los coeficientes de las rectas a1 x + b1 y + c1 = 0 y a2 x + b2 y + c2 = 0 para que intersecten. ¿Pueden 2 rectas en el plano tener más de un punto en común? Definición 1.4. Distancia desde un punto P (x0 , y0 ) a una recta L : ax + by + c = 0: es la menor distancia entre el punto P (x0 , y0 ) y la recta L, se puede probar que viene dada por d= |ax0 + by0 + c| √ . a 2 + b2 Si dispone de tiempo deducir esta fórmula. 2 Ejercicios Propuestos 1. Encuentre la ecuación de la recta L de pendiente positiva que contiene al punto (2, −12) y sabiendo que la suma de sus interceptos con los ejes coordenados es igual a −12. 2. Encuentre el ángulo entre las diagonales de un polı́gono con vértices (1, 2), (2, −1), (−1, 3), (−3, −4). 3. Las coordenadas del punto P son (2,6), y la ecuación de la recta L es 4x + 3y = 12. Determinar la distancia del punto P a la recta L siguiendo los siguientes pasos: a) Halle la pendiente de L. b) Halle la ecuación de la recta L0 que pasa por P y es perpendicular a L. c) Determine las coordenadas del punto P 0 que es el punto de intersección entre L y L0 . d) Calcule la distancia entre el punto P y P 0 . MAT021 Primer Semestre 2013 (Complemento) 4 Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Departamento de Matemática 3 Clase 2 3.1 Aprendizajes esperados • Reconoce el concepto de lugar geométrico. • Identifica el lugar geométrico de una circunferencia, su gráfica y resuelve problemas relacionados al concepto. • Identifica el lugar geométrico de una elipse, su ecuación canónica, gráfica y conceptos relacionados (focos, semiejes, vértices) y resuelve problemas relacionados al concepto. • Interpreta el concepto de excentricidad. Definición 3.1. Un Lugar geométrico es una curva o gráfica que contiene todos los puntos, y solo ellos, cuyas coordenadas satisfacen una ecuación dada. Ejemplo 3.1. Hallar la ecuación del lugar geométrico de todos los puntos del plano que equidistan de (1, 0) y (0, 1). Solución: d ((x, y) , (1, 0)) 2 (x − 1) + y 2 = d ((x, y) , (0, 1)) 2 = x2 + (y − 1) si y solo si y = x. El lugar geométrico es la recta y = x. 3.2 Ecuación de la Circunferencia Definición 3.2. Sea (h, k) ∈ R2 y R > 0. La circunferencia es el lugar geométrico de todos los puntos cuya distancia al punto C(h, k) es constante igual a R. Esto es si P (x, y) es un punto de la circunferencia entonces: d(P, C) p (x − h)2 + (y − k)2 = R = R Luego la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (h, k) y radio R viene dada por: (x − h)2 + (y − k)2 = R2 Observar que si se desarrolla la expresión anterior se obtiene: Ax2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0 en donde A = 1, B = 1, C = −2h, D = −2k y E = h2 + k 2 − R2 . Ejercicio 3.1. Determine la ecuación de las siguientes circunferencias: 1. Centro es el punto (2, −6) y su radio es 6. 2. El segmento de recta que une A(1, 1) y B(−8, 6) es un diámetro. 3. El centro está en el punto (4, 2) y la circunferencia pasa por el punto (−1, −1). 4. La circunferencia es tangente a la recta 3x − 4y = 32 y el centro está en el punto (0, 7). MAT021 Primer Semestre 2013 (Complemento) 5 Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Departamento de Matemática 3.3 Ecuación de la Elipse Definición 3.3. Sean F1 y F2 puntos en R2 . La elipse es el lugar geométrico de todos los puntos P ∈ R2 de modo que la suma de las distancias de P a F1 y P a F2 sea constante. Los puntos F1 y F2 reciben el nombre de focos. Sean a > c > 0 y supongamos que F1 = (−c, 0) y F2 = (c, 0), y que la constante es 2a. Sea P = (x, y) un punto de la elipse, luego se tendrá que: d(F1 , P ) + d(F2 , P ) = 2a p (x + c)2 + y 2 d(F1 , P ) = p d(F2 , P ) = (x − c)2 + y 2 (1) (2) (3) Si a la ecuación (2) se le resta (3) y se utiliza (1) se obtiene que d(F1 , P ) − d(F2 , P ) = 2xc/a. Con esto se tendrá que d(F1 , P ) = (xc + a2 )/a y luego: 2 (x + c) + y 2 x2 a2 + 2xca2 + c2 a2 + y 2 a2 x2 (a2 − c2 ) + a2 y 2 = xc + a2 a 2 = x2 c2 + 2xca2 + a4 = a2 (a2 − c2 ) Notar que a2 − c2 > 0. Sea b2 = a2 − c2 . Luego la ecuación de la elipse con: Centro (0, 0) Focos (−c, 0) y (c, 0) Semieje Mayor a Semieje Menor b Vértices en el semieje mayor (a, 0) y (−a, 0) Vértices en el semieje menor (0, b) y (0, −b) viene dada por: x2 y2 + 2 =1 2 a b Para que el centro de la elipse esté en el punto (h, k) basta hacer el cambio de coordenadas x → x−h e y → y −k. Entonces se tendrá que la ecuación de la elipse con: MAT021 Primer Semestre 2013 (Complemento) 6 Universidad Técnica Federico Santa Marı́a Departamento de Matemática Centro (h, k) Focos (−c + h, k) y (c + h, k) Semieje Mayor a Semieje Menor b Vértices en el semieje mayor (a + h, k) y (−a + h, k) Vértices en el semieje menor (h, b + k) y (h, −b + k) viene dada por: (y − k)2 (x − h)2 + =1 a2 b2 Observar que si se desarrolla la expresión anterior se obtiene: Ax2 + By 2 + Cx + Dy + E = 0 en donde A = b2 , B = a2 , C = −2hb2 , D = −2ka2 y E = h2 b2 + k 2 a2 − a2 b2 . Definición 3.4. La excentricidad de la elipse viene dado por e = c < 1. a Observación 3.1. Estudiar la relación entre la excentricidad y el parecido de la elipse con una circunferencia. Ejercicio 3.2. En cada uno de los siguiente ejercicios llevar la ecuación a su forma canónica y luego determinar: Coordenadas de los vértices, focos y centro, longitudes de los ejes mayor y menor, y finalmente grafique 1. x2 + 4y 2 − 6x + 16y + 21 = 0 2. 4x2 + 9y 2 + 32x − 18y + 37 = 0 3. x2 + 4y 2 − 10x − 40y + 109 = 0 4. 9x2 + 4y 2 − 8y − 32 = 0 Ejercicio 3.3. Una elipse tiene su√centro en el√origen y su eje mayor coincide con el eje x. Hallar su ecuación sabiendo que pasa por los puntos ( 6, −1) y (2, 2). √ Ejercicio 3.4. Hallar la ecuación de la elipse que pasa por los puntos (1, 3), (−1, 4), (0, 3 − 3/2) y (−3, 3); y tiene sus ejes paralelos a los ejes coordenados. MAT021 Primer Semestre 2013 (Complemento) 7