ACTIVIDADES RESUELTAS LOGARITMOS

ACTIVIDADES RESUELTAS DE LOGARITMOS
1.) Calculas los siguientes logaritmos:
a)
log3 729
b)
log3
c)
log2 2
d)
log2 0,0625
e)
1
9
f)
log0,1
g)
log5
j)
log3 3 81
1
5
k)
Ln
h)
log5 5 −6
l)
Ln e
i)
 1 
log 

 100 
log100000
1
e2
2
2.) Halla el valor de x en cada uno de los casos.
a)
logx 16 = 2
b)
log3 x =
c)
log x = −1
1
2
d)
log2 ( 4x ) = 3
e)
log ( x + 1) = 4
f)
logx 9 = 4
3.) Indica entre qué números enteros se encuentran los siguientes logaritmos.
a)
log2008
c)
log12500
b)
log2 95
d)
log3 103
4.) Sabiendo que log A = –1,2, log B = 0,7 y log C = 2,3 , calcula utilizando las propiedades de los logaritmos:
a)
log
A ⋅B
10C
c)
log
1000 ⋅ A
B
b)
log
A2
B⋅C
d)
log
A ⋅ B2
C3
5.) Halla el valor de x en cada caso aplicando las propiedades de los logaritmos.
a)
log x = log25 − log3
b)
log x = 2log3 − 1
c)
1
Lnx = 3Ln6 + Ln5
2
d)
log x =
1
log25 + 2log3 − log 4
2
6.) Expresa como un solo logaritmo cada una de las siguientes expresiones.
a)
2log A + 3logB
b)
1 + 2log A − 2logB
matesdemanu.blogspot.com
c)
1
log2 x − 2log2 y + log2 z
2
d)
3
2
LnA − LnB
4
5
1/4
SOLUCIONES DE LOS EJERCICIOS:
n
1.) Para resolver este ejercicio utilizaremos la propiedad loga a = n
a)
log3 729 = log3 36 = 6
b)
Como
c)
log2 2 = log2 2 2 =
d)
Sabiendo que 0,0625 =
e)
log100000 = log105 = 5
f)
log0,1 = log10 −1 = −1
g)
Si
h)
log5 5 −6 = −6
i)
 1 
−2

 = 10
 100 
)
j)
Sabiendo que
3
k)
Ln
l)
Ln e = loge e 2 =
1 1
1
= 2 = 3 −2 ⇒ log3 = log3 3 −2 = −2
9 3
9
1
( )
1
= 5 −1
5
2
625
1
1
=
=
= 2−4 ⇒ log2 0,0625 = log2 2−4 = −4
10000 16 24
−1
1
2
(
1
2
1
−
1
1
= log5 5 2 = −
5
2
= 5 2 ⇒ log5
2
2
 1 
−4
= 10−4 ⇒ log 
 = log10 = −4
 100 
( )
81 = 3 4
1
3
4
4
= 3 3 ⇒ log3 3 81 = log3 3 3 =
4
3
1
= loge e −2 = −2
e2
1
1
2
x
2.) Para resolver este ejercicio aplicaremos la definición de logaritmo loga P = x ⇒ P = a
a)
logx 16 = 2 ⇒ x 2 = 16 ⇒ x = + 16 = 4
b)
log3 x =
c)
log x = −1 ⇒ 10 −1 = x ⇒ x = 0,1
d)
log2 ( 4x ) = 3 ⇒ 4x = 23
e)
log ( x + 1) = 4 ⇒ x + 1 = 104
f)
logx 9 = 4 ⇒ x 4 = 9 ⇒ x = 4 9 ⇒ x = 3
1
2
1
⇒ 32 = x ⇒ x = 3
⇒x=
8
4
⇒x=2
⇒ x = 10000 − 1 ⇒ x = 9999
3.) Partiendo de la propiedad Si P < Q ⇒ loga P < loga Q
a)
103 < 2008 < 104 ⇒ log103 < log2008 < log104 ⇒ 3 < log2008 < 4
b)
26 < 95 < 27 ⇒ log2 26 < log2 95 < log2 27 ⇒ 6 < log2 95 < 7
c)
10 4 < 12500 < 105 ⇒ log10 4 < log12500 < log105 ⇒ 4 < log12500 < 5
matesdemanu.blogspot.com
2/4
d)
34 < 103 < 35 ⇒ log3 3 4 < log3 103 < log3 35 ⇒ 4 < log3 103 < 5
4.) Para resolver estos ejercicios debemos recordar las propiedades de las potencias.
LOGARITMO DE UN PRODUCTO
loga P + loga Q = loga (P ⋅ Q )
LOGARITMO DE UN COCIENTE
P
loga P − loga Q = loga  
Q
LOGARTIMO DE UNA POTENCIA
loga Pn = n ⋅ loga P
LOGARITMO DE UNA RAÍZ
loga n P =
1
⋅ loga P
n
a)
log
A2
= log A 2 − log (BC ) = 2 ⋅ log A − (logB + logC ) = 2 ⋅ ( −1,2 ) − ( 0,7 + 2,3 ) = −5, 4
B⋅C
b)
log
A ⋅B
= log ( A ⋅ B ) − log10C = log A + logB − (log10 + logC ) = −1,2 + 0,7 − (1 + 2,3 ) = −3, 8
10C
c)
1000A
1
 1000A  2 1
 1000A  1
= log 
log
 = log 
 = (log1000A − logB ) = (log1000 + log A − logB ) =
B
2
2
 b 
 B  2
1
= ( 3 − 1,2 − 0,7 ) = 0, 55
2
1
log
d)
=
A ⋅ B2
= log
C3
(
)
A ⋅ B2 − logC3 = log A + logB2 − logC3 =
1
log A + 2logB − 3logC =
2
1
⋅ ( −1,2 ) + 2 ⋅ 0,7 − 3 ⋅ 2,3 = −6,1
2
5.)
a)
25
 25 
log x = log25 − log 3 ⇒ log x = log 
 ⇒x=
3
 3 
b)
 32 
9
log x = 2log3 − 1 ⇒ log x = log32 − log10 ⇒ log x = log   ⇒ x =
10
 10 
c)
1
Lnx = 3Ln6 + Ln5 ⇒ Lnx = Ln63 + Ln5 2
2
d)
 21 2
1
1
 25 ⋅ 3
log x = log25 + 2log3 − log 4 ⇒ log x = log25 2 + log32 − log 4 ⇒ log x = log 
2
4


45
x=
4
1
matesdemanu.blogspot.com
1


⇒ Lnx = Ln  63 ⋅ 5 2  ⇒ x = 216 5




 ⇒x=


25 ⋅ 9
⇒
4
3/4
6.)
(
)
a)
2 log A + 3 log B = log A 2 + logB3 = log A 2 ⋅ B3
b)
 10 ⋅ A 2 
1 + 2log A − 2logB = log10 + log A 2 − logB2 = log 

2
 B

c)
1
 x ⋅z
1
log2 x − 2log2 y + log2 z = log2 x 2 − log2 y2 + log2 z = log2  2 
 y 
2


d)
3
2
 4 A3
3
2
LnA − LnB = LnA 4 − LnB 5 = Ln 
 5 B2
4
5

matesdemanu.blogspot.com




4/4