Problema 9

Departamento de Física Aplicada III
Escuela Técnica Superior de Ingenieros
Ingeniero Industrial
Fundamentos Físicos de la Ingeniería (2007/2008)
PROBLEMA 9
Una partı́cula P , de masa m, se mueve libremente con respecto a un triedro cartesiano OXY Z siguiendo las ecuaciones
horarias:
−−
→
r = r (t) = OP (t) = a cos(ωt)ı + b sen(ωt) j
donde a, b y ω son constantes conocidas. Determine:
→
que causa dicho movimiento, y el momento −
a) La fuerza F
MO de dicha fuerza respecto al origen de coordenadas O.
O de la partı́cula P respecto al origen de coordenadas O, justificando por qué se conserva
b) El momento cinético L
constante a lo largo del tiempo.
sobre la partı́cula P en el intervalo de tiempo que transcurre entre t = 0 y
c) El trabajo total realizado por la fuerza F
π
.
t=
2ω
Apartado (a)
a partir de la segunda ley de Newton: F
= ma; derivando el vector de posición r de la partı́cula:
Se calcula F
r = a cos(ωt)ı + b sen(ωt) j
v = r˙ = −aω sen(ωt)ı + bω cos(ωt) j
a = ¨r = −ω 2 acos(ωt)ı + bsen(ωt) j
= −mω 2 acos(ωt)ı + bsen(ωt) j = −mω 2r
Sustituyendo: F
−
→
−−→
−
→
El momento se define: MO = OP ∧ F = r ∧ F , como son vectores paralelos MO = 0
Apartado (b)
−→
O = −
El momento cinético se define como L
OP ∧ mv , sustituyendo y realizando el producto vectorial se obtiene
O es un vector constante a lo largo del tiempo.
O = mabωk ; al ser constante m, a, b y ω se tiene que L
L
La expresión del teorema del momento cinético relaciona a éste con la derivada temporal del momento de las fuerzas
O
−
→
dL
= MO
dt
−
→
O es constante; esto es debido a que F
= −mω 2r,
se ha obtenido en el apartado anterior que MO = 0 por tanto el vector L
siendo el movimiento de la partı́cula un movimiento central con centro en el origen O.
Apartado (c)
El trabajo realizado por la partı́cula se puede calcular a partir del teorema de la energı́a
π/2ω
δW = dT =⇒ W0
= ΔT = T (
π
) − T (0)
2ω
Hay que calcular el valor del vector velocidad en los dos instantes de tiempo considerados:
v (0) = bωj =⇒ T (0) =
π/2ω
Sustituyendo: W0
= ΔT =
1 2 2
mb ω
2
1
mω 2 a2 − b2
2
v (π/2ω) = −aωı =⇒ T (π/2ω) =
1
ma2 ω 2
2