[3] 06–07/03/13 - IFT UAM/CSIC: members

MECÁNICA CUÁNTICA AVANZADA 2013
Selección de problemas n.3
1. Demostrar que la condición gauge de Coulomb sobre los potenciales electromagnéticos:
φ = 0,
∇·A=0
es consistente con las ecuaciones de Maxwell sólo en ausencia de materia, es
decir, si tanto la densidad de carga ρ como la corriente j se anulan.
2. Demostrar que las ecuaciones de movimiento de una partı́cula cargada clásica
(masa m, carga q) en un campo electromagnético externo generado por los
potenciales (ϕ, A) se pueden derivar aplicando el principio de mı́nima acción
al lagrangiano
1
1
L = mẋ2 − q ϕ − ẋ · A .
2
c
3. Demostrar la propiedad de las matrices de Pauli
|e|2 = 1 ⇒
exp{iα(e · σ)} = 1 cos α + i(e · σ) sin α .
4. Dado el operador velocidad v̂k = dq̂k /dt, donde q̂k es la componente k-ésima
del operador posición, y usando la ecuación de evolución temporal para un
operador,
d
i
Ô = [Ĥ, Ô] ,
dt
~
1
demostrar que si Ĥ es el hamiltoniano de acoplamiento mı́nimo para una
partı́cula con carga e y masa m en un campo electromagnético externo entonces
se cumple
3
[v̂k , v̂l ] =
ie~ X
εkln Bn ,
m2 c
n=1
donde B es el campo magnético.
5. Dado el hamiltoniano de acoplamiento mı́nimo para la interacción coulombiana
de un electrón y un protón (cargas −e y +e, respectivamente) en presencia de
un campo magnético externo constante dado por B = ∇ × A:
Ĥ =
1 h
e i2 e2 2µ
p̂ + A −
−
Ŝ · B ,
2m
c
r
~
demostrar, usando la definición del operador momento angular L̂ = r̂ × p̂, que
con una elección adecuada del gauge es posible reescribir Ĥ como
Ĥ =
1 2 e2 µB
e2
p̂ −
+
(L̂ + 2Ŝ) · B +
(B × r)2 .
2m
r
~
8mc2
6. Considerar una partı́cula no relativista de masa m confinada en una espira de
radio R situada en el plano XY .
a) Calcular las autoenergı́as y los autoestados de la partı́cula.
b) Considerar ahora una espira doble: ¿cómo cambian las autoenergı́as y los
autoestados?
c) Si la partı́cula tiene carga eléctrica q, y se coloca un solenoide infinito de
radio menor que R a lo largo del eje de la espira, ¿cómo se ven afectados
las autoenergı́as y los autoestados? ¿Y en el caso de la doble espira?
(Suponer que la partı́cula no emite radiación.)
2
7. Considerar el experimento descrito en el siguiente diagrama:
En el mismo, un haz de neutrones monocromático (λ = 1.445 Å) es dividido
en dos por un interferómetro Bragg situado en el punto A, y, después de
sendas reflexiones en B y C, reunido en un detector D. Uno de los haces pasa
por una región de campo magnético constante B perpendicular al plano del
experimento, cuya longitud es l. Suponemos que las longitudes de los recorridos
ABD y ACD son idénticas.
Encontrar una expresión que describa cómo depende la intensidad del haz en D
de los valores de |B|, l y λ, en los casos en que los neutrones están polarizados
de manera paralela o antiparalela al campo magnético.
8. Estimar la vida media de un átomo de hidrógeno en su estado fundamental
sometido a un campo eléctrico constante.
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