Vida media del uranio

Vida media del uranio
El núcleo de U 238 es radiactivo, emitiendo una partı́cula alfa de 4,19 megaelectronvoltios de energı́a y 6, 64 · 10−27 kilogramos de masa. Para estudiar la radiactividad se usa un modelo sencillo en el que la partı́cula alfa se encuentra en el núcleo
confinada en un pozo de potencial cuadrado de 7,437 Fermi de radio, 40 megaelectronvoltios de profundidad y una barrera cuadrada de 16,86 Fermi de anchura.
Calcular mediante el efecto túnel la vida media de este isótopo radiactivo.
Solución
Datos:
m = 6, 64 · 10−27 kg
E = 4, 19 M eV
U = 40 M eV
r = 7, 437 · 10−15 m
L = 1, 686 · 10−14 m
~ = 1, 055 · 10−34 J · s
e = 1, 602 · 10−19 C
1
Usaremos la fórmula que da aproximadamente la probabilidad T de que se produzca el efecto túnel a traves de una barrera cuadrada de anchura L y altura U
T = Ge−2kL
con
E
E
G = 16
1−
U
U
p
2m (U − E)
k=
~
donde E es la energı́a de la partı́cula alfa y m su masa. Poniendo los valores conocidos, se encuentra
G = 1, 5 ; k = 2, 616 · 1015 m−1 ⇒ T = 7, 35 · 10−39
Esta probabilidad es muy pequeña, pero no nula. Supongamos que tras un
número n de rebotes contra la pared del pozo, en uno de ellos la partı́cula logra
atravesarla por efecto túnel. Entonces, la probabilidad de que este suceso ocurra es
1
n
Esta probabilidad la igualaremos a T , por lo que el número de rebotes que tiene que
sufrir la partı́cula es
1
1
=T ⇒n=
n
T
Por otra parte, si entre dos rebotes el tiempo transcurrido es τ0 , el tiempo que
tiene que pasar para que se produzcan n es τ = nτ0 . El tiempo τ0 es el que invierte
la partı́cula alfa en atravesar el diámetro del núcleo, por lo que lo podemos calcular
a partir de la energı́a como sigue
v=
2r
2r
⇒ τ0 =
τ0
v
pero como
1
E = mv 2
2
se tiene que
r
τ0 = 2r
m
2E
Con lo que finalmente encontramos una vida media aproximada de unos
r
2r m
τ = nτ0 =
= 1, 423 · 1017 s ' 4500 millones de años
T 2E
2