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Mecánica Cuántica
2da. Asignación Semestre A-05
Postgrado en Fı́sica Fundamental
Nelson R. Pantoja V.
1. El teorema de Bloch
En un problema unidimensional, considere una partı́cula de masa m con Hamiltoniano
H = P 2 /2m + V (X).
(1)
Sea H̃ el operador definido por
H̃ ≡ S(a)H S† (a),
S(a) ≡ exp(−iaP/h̄),
(2)
donde S(a) es el operador traslación.
(a) Sea |ψ̃i ≡ S(a)|ψi. Muestre que si |ψi satisface H |ψi = E |ψi entonces |ψ̃i satisface
H̃ |ψ̃i = E |ψ̃i.
(b) Partiendo de S(a)|xi = |x + ai, evalúe hx| [V (X), S(a)] |ψi y muestre que H̃ = H
solo si el potencial V (x) satisface V (x + a) = V (x), en cuyo caso diremos que el
hamiltoniano es invariante bajo traslaciones.
(c) De los resultados anteriores se sigue que si H es invariante bajo traslaciones, entonces
S(a)|ψi = e−iλ |ψi con λ real. Suponiendo que λ puede ser escrito como λ = ap/h̄,
muestre que
ψ(x − a) = exp(−iap/h̄)ψ(x).
(3)
¿Porqué en (3) podemos restringir los valores de p al intervalo −π/a ≤ p/h̄ ≤ π/a?
Por último, muestre que (3) solo tiene sentido si
ψ(x) = exp(ip x/h̄)up (x),
(4)
donde up deberá ser periódica, up (x) = up (x − a).
2. Una partı́cula en un potencial δ
Considérese una partı́cula de masa m cuyo operador hamiltoniano viene dado por
H=−
h̄2 d2
− αδ(x),
2m dx2
(5)
donde α es una constante positiva y δ(x) es la distribución delta de Dirac con soporte en
x = 0.
(a) Integre la ecuación de autovalores para el operador H entre −ε y ε. A continuación, para ε → 0+ , muestre que la derivada de la autofunción ϕ(x) presenta una
discontinuidad en x = 0.
(b) Suponga que la energı́a E de la partı́cula es negativa (estado ligado) de forma tal
que su función de onda puede escribirse como
(
A1 eρx + A01 e−ρx , x < 0
ϕ(x) =
(6)
A2 eρx + A02 e−ρx , x > 0
1
i. Encuentre ρ en términos de E y m.
ii. Usando los resultados anteriores, calcule la matriz M definida por
A2
A1
=M
A02
A01
(7)
iii. A continuación, usando la condición de que ϕ(x) debe ser de cuadrado integrable,
encuentre los valores posibles de E y las correspondientes funciones de onda
normalizadas.
iv. ¿Cual es la probabilidad dP(p) de que una medida del momentum de la partı́cula
en uno de los estados estacionarios calculados anteriormente arroje un resultado
entre p y p + dp? ¿Para cual valor de p es esta probabilidad máxima?
(c) Suponga a continuación que la energı́a de la partı́cula E es positiva y que se propaga
de izquierda a derecha a lo largo del eje Ox, de forma tal que
(
eikx + Re−ikx , x < 0
φ(x) =
(8)
T eikx ,
x>0
i. Determine las constantes k, R y T en términos de E, m y α.
ii. Sea Eb = mα/2h̄2 . Calcule en términos de E/Eb , los coeficientes de reflexión
|R|2 y de transmisión |T |2 de la barrera y discuta sus comportamientos con
respecto a E.
3. Una partı́cula en un potencial δ periódico
Considérese una partı́cula de masa m en un potencial periódico repulsivo de la forma
V (x) =
∞
X
α δ(x − na)
(9)
n=−∞
con α > 0. Suponga que la energı́a de la partı́cula E es positiva y que la función de onda
en la región −a < x < a puede ser escrita como
(
Aeiκx + Be−iκx ,
−a < x < 0
φ(x) =
(10)
ika
iκ(x−a)
−iκ(x−a)
e
Ae
+ Be
, 0<x<a
√
con κ = 2mE/h̄ y −π/a ≤ k ≤ π/a, donde hemos empleado el teorema de Bloch.
(a) Muestre que para que se satisfagan la continuidad de ϕ(x) en x = 0 y la discontinuidad requerida de dϕ(x)/dx en x = 0 se deberá cumplir
s
2
1
1
ika
e = cos κa +
sin κa ± i 1 − cos κa +
sin κa
(11)
κd
κd
con d ≡ h̄2 /mα.
(b) Para κd 1, muestre que aparecen brechas entre las bandas en k = ±π/a. Para
ello estudie los casos κa = nπ y κa = nπ + ε, con ε > 0 y n entero, y muestre que
en este último caso k no es real.
(c) Tomando el lı́mite d → ∞ (α → 0) muestre que no hay brechas de energı́a entre las
bandas, tal como se espera para una partı́cula libre.
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