1 ap cinematica1011

Fı́sica I. Curso 2010/11
Departamento de Fı́sica Aplicada. ETSII de Béjar. Universidad de Salamanca
Profs. Alejandro Medina Domı́nguez y Jesús Ovejero Sánchez
Tema 1. Cinemática
Índice
1. Introducción
3
2. Movimiento en una dimensión
4
2.1. Velocidad media . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4
2.2. Velocidad instantánea
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5
2.3. Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6
2.4. Ejemplos particulares: movimientos uniforme y uniformemente acelerado . . . .
7
3. Movimiento en dos y tres dimensiones
11
3.1. Velocidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2. Aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3. Componentes de la aceleración . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
3.4. Ejemplos particulares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4.1. Movimiento circular
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
3.4.2. Movimiento parabólico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4. Movimiento relativo
19
4.1. Velocidad relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4.2. Aceleración relativa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5. Problemas
22
Tema 1. Cinemática
2
Tema 1. Cinemática
1.
3
Introducción
La Mecánica es una parte de la Fı́sica que tiene por objeto estudiar el estado de movimiento
de los cuerpos, buscar sus causas y establecer las leyes que rigen estos movimientos. Dependiendo
de la naturaleza del estudio, la Mecánica se divide en dos partes Cinemática y Dinámica. La
Cinemática estudia de forma genérica el movimiento independientemente de las causas que lo
producen. Sin embargo, la Dinámica atiende también a las causas que lo provocan. Dentro de
la Dinámica, existe otra parte, de especial interés en Ingenierı́a, denominada Estática . Trata
de estudiar en que circunstancias los cuerpos están en reposo, aunque estén sometidos a varias
fuerzas.
Los elementos básicos de la Cinemática son el espacio, el tiempo y el móvil. La Cinemática
Clásica admite la existencia de un espacio y un tiempo absolutos y continuos. Este espacio
es independiente de los objetos materiales que contiene. Postula también la existencia de un
tiempo absoluto que transcurre del mismo modo en todo el Universo y que es el mismo para
todos los observadores, independientemente de su estado de movimiento. De este modo el tiempo
se puede representar como una variable real.
Aunque en este curso nosotros nos dedicaremos esencialmente al estudio de la Mecánica
Clásica, cabe decir que existen otros modos dentro de la Fı́sica de entender el espacio y el
tiempo. En Mecánica Relativista esos conceptos no son absolutos sino que están relacionados
entre sı́ y con el observador y su estado de movimiento. Es la mecánica apropiada para el
estudio de problemas en que aparecen velocidades próximas a la de la luz. Existe otro tipo
de descripción mecánica de la naturaleza apropiada para sistemas de dimensiones pequeñas,
como átomos y núcleos. Se denomina Mecánica Cuántica. En ella la posición y la velocidad de
una partı́cula no se pueden determinar simultáneamente con precisión arbitraria (Principio de
Incertidumbre).
Un cuerpo cualquiera puede considerarse como un punto material o como una partı́cula
cuando sus dimensiones son despreciables frente a las dimensiones de sus desplazamientos.
Ası́ por ejemplo, la Tierra puede considerarse como un objeto puntual al estudiar su movimiento
respecto al sol, puesto que su diámetro son aproximadamente 10,000 km y la distancia media
al sol son 1013 km. Es por lo tanto, un concepto relativo relacionado con el observador.
En Mecánica se considera que un cuerpo está en movimiento cuando su posición cambia en
el espacio con relación a otros que consideramos fijos y que sirven de referencia. Pero también
4
Tema 1. Cinemática
puede suceder que no sólo el cuerpo se mueva sino que también lo haga el sistema de referencia.
Por lo tanto, el concepto de movimiento siempre tiene un sentido relativo. El mejor modo de
establecer la relación entre el cuerpo en estudio y su referencial es utilizando un sistema de
coordenadas. Para un punto material bastará determinar sus coordenadas, pero para un cuerpo
extenso habrá que determinar las coordenadas de todos sus puntos.
Se dice que el movimiento del punto material es unidimensional si queda perfectamente
determinado por una única coordenada, x = x(t). Esa ecuación matemática describe la trayectoria del cuerpo. A cada valor de la variable temporal, t, se le asigna unı́vocamente una
posición de la partı́cula. Este tipo de movimiento se denomina a veces rectilı́neo. Existen muchos movimientos reales, que tienen lugar en el espacio tridimensional ordinario, que pueden
entenderse como unidimensionales, pues de algún modo sólo una de las coordenadas de posición
varı́a apreciablemente en el tiempo. Ejemplos de esto son un movimiento de caı́da libre o el de
un tren sobre unos raı́les en lı́nea recta. En otras ocasiones es necesario estudiar la evolución de
dos coordenadas para describir correctamente la evolución de la partı́cula. En este caso es como
si el movimiento tuviera lugar sobre una superficie plana (bidimensional ). Ejemplos de estos
movimientos son el de una bola de billar sobre una mesa o el de un proyectil. En general, para
describir el movimiento de una partı́cula en el espacio tridimensional se requiere una trayectoria
de la forma: x = x(t), y = y(t) y z = z(t). Expresado en forma vectorial, el vector de posición
de la partı́cula es una función del tiempo de la forma: ~r = ~r(t).
2.
Movimiento en una dimensión
2.1.
Velocidad media
Consideremos una partı́cula o punto material moviéndose sobre una lı́nea recta representada
por la coordenada x. Supongamos que en el instante ti se encuentra en la posición xi y en el tf
en la posición xf .
Se define la velocidad media de la partı́cula en ese intervalo de tiempo como:
v̄ =
xf − xi
∆x
≡
tf − ti
∆t
[v̄] = LT −1
5
Tema 1. Cinemática
x
x(t)
xf
∆x
α
xi
∆t
ti
tf
t
La velocidad media es independiente de la trayectoria seguida por la partı́cula, sólo depende
del espacio recorrido y el tiempo transcurrido. Si una partı́cula parte de un determinado punto y
vuelve a él después de un tiempo, su velocidad media en ese intervalo es cero. Geométricamente,
la velocidad media representa la pendiente de la recta que une los puntos inicial y final.
v̄ =
2.2.
∆x
= tan α.
∆t
Velocidad instantánea
La velocidad de la partı́cula en un instante de tiempo cualquiera se denomina velocidad
instantánea. Es un concepto importante especialmente cuando la velocidad media en diferentes
intervalos de tiempo no es constante. Para determinarla debemos hacer el intervalo temporal
tan pequeño como sea posible de modo que esencialmente no tengan lugar cambios en el estado
de movimiento durante ese pequeño intervalo. Matemáticamente:
v = lı́m v̄ = lı́m
∆t→0
∆t→0
dx
∆x
=
∆t
dt
=⇒
v(t) =
dx(t)
.
dt
6
Tema 1. Cinemática
0
x
∆t
x(t)
xi
t i +∆t
ti
t
La interpretación geométrica se puede entender a partir de la figura. Cuando ∆t → 0, el
cociente, ∆x/∆t, representa la pendiente de la recta tangente a la curva, x(t), en el instante ti .
Una vez conocida la velocidad como función del tiempo, v = v(t), es posible determinar la
posición de la partı́cula en cualquier instante sin más que utilizar el concepto de integral.
Z x
Z v
dx
v=
−→ v dt = dx −→
dx =
v(t) dt
dt
x0
v0
Z t
=⇒ x = x0 +
v(t) dt
(1)
t0
A partir de esto, el desplazamiento, x − x0 , se puede interpretar geométricamente como el área
bajo la curva v = v(t).
2.3.
Aceleración
Cuando la velocidad de una partı́cula permanece constante se dice que realiza un movimiento
uniforme, pero en general la velocidad puede variar con el tiempo. Supongamos una partı́cula
que en el instante ti tiene velocidad vi y en el tf velocidad vf . Se define la aceleración media
en ese intervalo como :
ā =
∆v
vf − vi
=
tf − ti
∆t
De esa ecuación se deduce que las dimensiones de esta nueva magnitud son, [ā] = LT −2 . En
algunos casos la aceleración media es diferente en distintos intervalos temporales y conviene
entonces definir una aceleración instantánea como lı́mite de la aceleración media en un intervalo
temporal muy pequeño.
∆v
dv
=
∆t→0 ∆t
dt
a = lı́m ā = lı́m
∆t→0
=⇒
a(t) =
dv(t)
.
dt
7
Tema 1. Cinemática
Si conocemos la aceleración instantánea, a = a(t), podemos calcular la velocidad instantánea,
v = v(t), ası́:
Z
dv
a(t) =
dt
−→
v
−→
dv = a dt
Z
t
dv =
v0
Z
a dt
=⇒
t
v(t) = v0 +
t0
a(t) dt.
(2)
t0
La aceleración, en general, se puede relacionar con la posición del siguiente modo:
dv
d dx
d2 x
d2 x
a(t) =
=
= 2 =⇒ a(t) = 2 .
dt
dt dt
dt
dt
Una relación importante entre velocidad y aceleración se obtiene ası́:
a=
dv
dt
−→
−→
dv = a dt
Z
v
Z
x
v dv =
v0
2.4.
a dx
dx
dt =⇒ v dv = a dx
dt
Z x
2
2
v = v0 + 2
a(x) dx
v dv = av dt = a
=⇒
x0
(3)
x0
Ejemplos particulares: movimientos uniforme y uniformemente
acelerado
Dos casos analı́ticamente sencillos son el movimiento uniforme y el movimiento uniformemente acelerado . El primero se produce cuando v ≡ v0 =cte. y el segundo cuando a ≡ a0 =cte.
En el caso particular v = v0 =cte., la integral (1) es trivial y resulta:
Z t
x = x0 + v0
dt = x0 + v0 (t − t0 ),
t0
que es la relación que liga posición con tiempo en un movimiento unidimensional uniforme.
Si la aceleración es constante, a = a0 =cte. En este caso a 6= a(t) y a partir de (2),
Z t
v = v0 + a0
dt = v0 + a0 (t − t0 ) =⇒ v(t) = v0 + a0 (t − t0 ).
(4)
t0
Utilizando las ecuaciones (1) y (4) también se puede obtener para el caso de movimiento uniformemente acelerado:
Z
t
x = x0 +
t0
1
[v0 + a0 (t − t0 )] dt = x0 + v0 (t − t0 ) + a0 (t − t0 )2 .
2
Por último, a partir de (3) se obtiene:
v 2 = v02 + 2a0 (x − x0 ).
En la figura adjunta se resumen las interpretaciones geométricas de las ecuaciones que hemos
obtenido para el movimiento uniforme y uniformemente acelerado.
8
Tema 1. Cinemática
+ Movimiento uniforme:
a=0
v ≡ v0 = cte.
x = x0 + v0 (t − t0 )
v
x
v= cte.
x
a=0
x0
~ v0
x-x 0
t0
t
t0
t
t
t
+ Movimiento uniformemente acelerado:
a ≡ a0 = cte.
v = v0 + a0 (t − t0 )
x = x0 + v0 (t − t0 ) +
a0
(t − t0 )2
2
v
x
v
v0
~ a0
~v
x0
t0
t
t
t0
t
2.1 Ejemplo
Una partı́cula se mueve a lo largo del eje x de acuerdo con la ecuación, x(t) = 2t3 + 5t2 + 5
(S.I.). Determı́nense:
9
Tema 1. Cinemática
a) La velocidad y aceleración instantáneas.
b) La posición, velocidad y aceleración en t = 2 s.
c) Velocidad y aceleración medias entre t = 2 s y t = 3 s.
a)
x(t) = 2t3 + 5t2 + 5
dx
v(t) =
= 6t2 + 10t
dt
dv
a(t) =
= 12t + 10
dt
b) En t = 2 s,
x = 2,23 + 5,22 + 5 = 41 m
v = 24 + 20 = 44 m/s
a = 34 m/s2
c) En el intervalo t = 2 s → 3 s,
vf − vi
84 − 44
= 40 m/s2
=
tf − ti
1
xf − xi
104 − 41
v̄ =
= 63 m/s
=
tf − ti
1
ā =
2.2 Ejemplo
La aceleración de un cuerpo que se desplaza a lo largo del eje x viene dada en función de su
posición por a(x) = 4x − 2 (S.I.). Suponiendo que v0 = 10 m/s cuando x = 0, obténgase la
velocidad en cualquier otra posición.
dv
dt
a(t) =
−→
dv = a(t)dt
=⇒
con lo que integrando:
Z
v
Z
v dv = av dt = a
a dx
dx
dt
dt
v dv = a dx,
x
v dv =
v0
−→
=⇒
2
v =
v02
Z
x
+2
x0
a(x) dx.
x0
En este caso:
2
v =
v02
Z
x
+2
x0
(4x − 2) dx = v02 + 2(2x2 − 2x)
=⇒
v(x) = [100 + 4x(x − 1)]1/2 .
10
Tema 1. Cinemática
2.3 Ejemplo
Caı́da libre.
Es un hecho experimental que todo objeto en las proximidades de la superficie terrestre
adquiere una aceleración aproximadamente g = 9,81 m/s2 cuando se deja en libertad (supondremos que no hay rozamientos y que g no varı́a con la latitud, altitud u otros factores).
Tomando como origen la superficie terrestre y coordenadas positivas, y, hacia arriba, la aceleración será negativa, a = −g, y las ecuaciones de movimiento adecuadas las de un movimiento
uniformemente acelerado. Particularizadas a este caso tomarán la forma:
v(t) = v0 − g(t − t0 )
1
y(t) = y0 + v0 (t − t0 ) − g(t − t0 )2
2
2
2
v (y) = v0 − 2g(y − y0 )
Un ejemplo de aplicación de estas ecuaciones de movimiento podrı́a ser el siguiente.
Se lanza un cuerpo verticalmente hacia arriba con una velocidad de 98 m/s desde el techo
de un edificio de 100 m de altura. Obténganse:
a) La máxima altura que alcanza sobre el suelo y el tiempo que tarda en llegar a ella.
b) La velocidad con que llega al suelo y el tiempo total transcurrido hasta que llega a él.
a)-b)
t0 = 0;
Altura máxima: v = 0
v0 = 98 m/s;
−→
v0 = g tmax
y0 = 100 m;
−→
a = −g
ymax = y0 + v0 tmax − 21 g t2max
v0
= 10 s
g
= 590 m
tmax =
ymax
c)-d) Al llegar al suelo y = 0:
1
0 = y0 + v0 t − gt2
2
resolviendo
−−−−−−→
(
t
tt
= −0,96 s
= 20,96 s
vt = v0 − g tt = −107,41 m/s
(sin sentido fı́sico)
11
Tema 1. Cinemática
3.
Movimiento en dos y tres dimensiones
3.1.
Velocidad
Supongamos ahora una partı́cula moviéndose en el espacio. Denotamos su posición en cada
instante de tiempo por medio de un vector posición ~r = ~r(t). En coordenadas cartesianas,
la ecuación de la trayectoria vendrá dada por: x = x(t), y = y(t) y z = z(t). En el caso de
movimiento en un plano, las dos primeras ecuaciones son suficientes para describir el movimiento
de la partı́cula.
Si la posición de la partı́cula en el instante ti viene dada por ~ri y en el tf por ~rf , se define
su velocidad media en ese intervalo temporal como:
~v̄ =
~rf − ~ri
∆~r
=
tf − ti
∆t
(5)
z
tf
r(t)
∆r
ti
rf
ri
x
y
~v̄ es un vector paralelo al desplazamiento ∆~r. Para definir la velocidad instantánea basta
tomar el lı́mite cuando el intervalo temporal tiende a cero.
∆~r
d~r
=
∆t→0 ∆t
dt
~v = lı́m
(6)
En componentes tomará la forma:
~v =
dx~ dy ~ dz ~
i + j + k = vx ~i + vy ~j + vx ~k.
dt
dt
dt
La velocidad instantánea será un vector tangente a la trayectoria curvilı́nea, es decir, se puede
expresar: ~v =| ~v | u~t , donde ~ut es un vector unitario tangente a la trayectoria.
12
Tema 1. Cinemática
3.2.
Aceleración
En un movimiento curvilı́neo, la velocidad puede variar en general, tanto módulo como en
dirección ó sentido. Se define la aceleración media como el cambio de velocidad en un intervalo
temporal determinado:
~ā =
∆~v
∆t
y la aceleración instantánea como:
∆~v
d~v
dvx~ dvy ~ dvz ~
=
=
k
i+
j+
∆t→0 ∆t
dt
dt
dt
dt
~a = lı́m ~ā = lı́m
∆t→0
Es un vector que tiene la misma dirección que el cambio de la velocidad, pero en general no
es ni tangente ni perpendicular a la trayectoria. Pero sı́ es importante destacar, tal y como se
comprueba en la figura, que siempre está dirigida hacia la concavidad de la curva (formalmente,
hacia la región que contiene el centro de curvatura) que representa la trayectoria de la partı́cula,
porque esa es la dirección en que cambia la velocidad.
a
v(t)
v(t+∆t)
v
a
v
a
a
v
a
v
La aceleración instantánea también se puede expresar ası́:
2
d~v
d d~r
d2~r
d x d2 y d2 z
~a =
=
= 2 =
,
,
.
dt
dt dt
dt
dt2 dt2 dt2
3.1 Ejemplo
Una partı́cula se desplaza en el espacio y su vector posición, en cada instante de tiempo, toma
en el SI la siguiente forma:
~r(t) = (t2 − 2)~i + cos t ~j + e2t ~k
Obténganse:
13
Tema 1. Cinemática
a) La velocidad en cualquier instante de tiempo, ~v (t).
b) La velocidad inicial de la partı́cula y su velocidad en t = 1 s.
c) Su aceleración, ~a(t).
d) Su aceleración en el instante inicial y su módulo.
a)
~v (t) =
d~r
= 2t~i − sen t ~j + 2e2t ~k
dt
b)
~v (0) = (0, 0, 2)
~v (1) = (2, − sen 1, 2e2 )
c)
~a(t) =
d~v
= 2~i − cos t ~j + 4e2t ~k
dt
b)
~a(0) = (2, −1, 4)
|~a| = (22 + 1 + 42 )1/2 = 4,58
3.3.
Componentes de la aceleración
Consideremos una partı́cula que describe una trayectoria curva. Supondremos por simplicidad que es plana, pero los resultados que obtendremos en esta sección son válidos en general.
Considerando que el vector aceleración siempre está dirigido hacia el lado cóncavo de la curva
siempre se puede descomponer en una componente tangencial a la trayectoria, ~at , y otra componente normal dirigida hacia el interior de la curva, ~an . Veremos en esa sección que cada una
de estas componentes tiene un significado fı́sico claro.
at
r (t)
an
a
14
Tema 1. Cinemática
* Aceleración tangencial , ~at
!
cambios del módulo de la velocidad, | ~v |
* Aceleración normal ó centrı́peta, ~an
!
cambios en la dirección de ~v
Se puede demostrar (aunque no lo haremos aquı́ en detalle) que la aceleración siempre se
puede descomponer ası́:
~a =
d~v
d
dv
d~ut
dv v 2
=
(v~ut ) = ~ut + v
= ~ut + ~un
dt
dt
dt
dt
dt
ρ
(7)
donde ~ut es un vector unitario (de módulo unidad) tangente a la trayectoria de la partı́cula, ~un
es un vector unitario normal a ella y ρ es el radio de curvatura de la trayectoria (es decir, el radio
de la circunferencia que mejor se aproxima a la curva en cierta región). De esa igualdad queda
claro que la componente tangencial tiene por módulo la derivada del módulo de la velocidad,
es decir, está asociada al cambio del módulo de ~v . Y el segundo está asociado a la variación de
la dirección de la velocidad.
Otra forma de expresar la Ec. (7) es la siguiente:
~a = ~at + ~an
donde
dv
~ut
dt
v2
~an = ~un
ρ
En el caso particular de un movimiento rectilı́neo, la dirección de la velocidad es constante
~at =
y entonces la componente normal es nula. En el caso de un movimiento uniforme es nula la
componente tangencial.
El módulo de la aceleración en general se puede expresar como:
" 2 2 #1/2
2
dv
v
a = (a2t + a2n )1/2 =
+
.
dt
ρ
3.4.
3.4.1.
Ejemplos particulares
Movimiento circular
Consideremos ahora el caso particular de un movimiento plano con trayectoria circular. Si
el radio de la circunferencia es R, y el arco recorrido, s, abarca un ángulo θ, s = Rθ.
~v = v~ut =
ds
~ut
dt
−→
v=
ds
dθ
=R
dt
dt
15
Tema 1. Cinemática
La función dθ/dt se denomina velocidad angular y se suele denotar como ω. Sus dimensiones y
unidades en el S.I. son:
[ω] = T −1 ;
S.I.
rad
s
−→
Con esta definición: v = ωR. La velocidad angular también se puede definir como una magnitud
vectorial, asociandole una dirección y sentido. Por definición se considera su dirección como
perpendicular al plano del movimiento y su sentido el dado por la regla de la mano derecha en
función del sentido del movimiento, tal y como muestra la figura.
z
ω
v
R
γ
r
x
y
R = r sen γ
−→
v = ωr sen γ;
ω
~ =
dθ ~
k
dt
=⇒
~v = ω
~ × ~r.
Esta relación sólo es válida para el movimiento circular, porque sólo en él r y γ son constantes.
Existe un caso de movimiento circular especialmente sencillo. Es aquel en que la velocidad
angular permanece constante. Se denomina movimiento circular uniforme. Es un movimiento
periódico puesto que la partı́cula vuelve a pasar cada cierto tiempo por el mismo punto. Para
este tipo de movimiento es útil definir los siguientes conceptos.
- Periodo, T : tiempo que tarda la partı́cula en regresar al mismo punto. Si la partı́cula
realiza n revoluciones en un tiempo t, T = t/n. Sus dimensiones son [T ] = T .
- Frecuencia, ν: número de revoluciones por unidad de tiempo, ν = 1/T . Sus dimensiones
son [ν] = T −1 y su unidad en el S.I. es s−1 que recibe el nombre de herzio (Hz).
16
Tema 1. Cinemática
Para este tipo de movimiento (ω ≡ ω0 = cte.) es sencillo obtener la posición angular de la
partı́cula a partir de la definición de ω:
Z t
Z t
Z θ
dθ
dt
ω0 dt = ω0
dθ =
ω=
−→
dt
t0
t0
θ0
=⇒
θ(t) = θ0 + ω0 (t − t0 ).
Si se toma la condición inicial, θ0 = 0 en t0 = 0, resulta: θ = ω0 t. Tras una vuelta completa a
la circunferencia:
t = T;
θ = 2π
−→
2π = ω0 t
−→
ω0 =
2π
= 2πν.
T
Consideremos ahora el caso en que la velocidad angular de la partı́cula cambia con el tiempo.
Se define la aceleración angular como:¡
d~ω
.
dt
α
~=
Como el movimiento tiene lugar en un plano, la dirección de ω
~ no varı́a y se verifica la ecuación
anterior también para los módulos de las magnitudes involucradas.
α=
d2 θ
dω
= 2.
dt
dt
Si α es constante el movimiento se denomina circular uniformemente acelerado. En este caso,
α ≡ α0 = cte.:
Z
ω
Z
t
α0 dt = α(t − t0 )
dω =
ω0
ω(t) = ω0 + α0 (t − t0 ).
=⇒
t0
Esta ecuación es análoga a la correspondiente para el movimiento rectilı́neo uniformemente acelerado.
dθ
ω=
dt
Z
=⇒
t
θ − θ0 =
Z
t
[ω0 + α0 (t − t0 )] dt.
ω dt =
t0
t0
Resolviendo la integral resulta:
1
θ = θ0 + ω0 (t − t0 ) + α0 (t − t0 )2 .
2
17
Tema 1. Cinemática
Todas estas ecuaciones son como en el movimiento lineal en una dimensión, sin más que hacer
las sustituciones:
x
−→
θ
v
−→
ω
a
−→
α
(8)
Veamos ahora cómo son las componentes de la aceleración en el caso del movimiento circular:
dv
dω
d2 θ
=R
= R 2 = Rα
dt
dt
dt
2
v
= ω2R
=
R
at =
an
En el movimiento circular uniforme, at = 0 pero an 6= 0. En este caso además se puede
calcular la aceleración de otro modo:
~v = ω
~ × ~r
−→
d~v
d~r
= ~a = ω
~×
=ω
~ × ~v ,
dt
dt
porque d~ω /dt = 0. Entonces,
~a = ω
~ × (~ω × ~r).
Pero, en general, para un movimiento circular no uniforme la derivada de la velocidad lineal
para obtener la aceleración hay que realizarla del siguiente modo:
~a =
d~v
d
d~ω
d~r
= (~ω × ~r) =
× ~r + ω
~×
=α
~ × ~r + ω
~ × ~v
dt
dt
dt
dt
(9)
Esta ecuación es válida para cualquier movimiento circular.
3.4.2.
Movimiento parabólico
Uno de los casos particulares más interesantes de movimiento uniformemente acelerado es
el estudio del movimiento de proyectiles. Es simplemente el caso de movimiento plano en que
la aceleración es la debida a la fuerza gravitatoria. A diferencia del movimiento de caı́da libre
en este caso consideramos que la velocidad inicial, ~v0 , puede formar un cierto ángulo con la
horizontal y ası́ el movimiento tiene dos componentes.
Igual que hicimos en el movimiento de caı́da libre, despreciando las fuerzas de rozamiento
y las anomalı́as gravitatorias, podemos considerar que la aceleración gravitatoria es aproximadamente constante y se puede expresar como ~a = ~g = −g~j. Si el proyectil se lanza con una
18
Tema 1. Cinemática
velocidad inicial ~v0 que forma un ángulo α con el eje x, su movimiento bidimensional es una
composición de un movimiento uniforme en el eje horizontal (donde no hay ninguna aceleración)
y un movimiento uniformemente acelerado en el eje vertical.
y
v=v0x
ym
v (t)
v0x
vy(t)
v(t
)
v0
g
α
R
x
Condiciones iniciales:
t0 = 0
→
~v0 = v0x ~i + v0y ~j = v0 cos α~i + v0 sen α ~j.
~r0 = (0, 0);
Velocidad en cualquier instante de tiempo:
~v (t) = vx ~i + vy ~j,
donde:
(
vx
vy
= v0x = v0 cos α = cte.
= v0y − gt = v0 sen α − gt
Vector posición en cualquier instante:
~r(t) = x(t)~i + y(t) ~j,
donde:
(
x(t) = v0x t = v0 cos α t
y(t) = v0y t − 21 gt2 = v0 sen α t − 21 gt2
- Tiempo que tarda el proyectil en alcanzar la máxima altura, tm .
La condición de máxima altura viene dada porque en ella vy = 0. Entonces v0y = gtm y
despejando tm : tm = v0 sen α/g.
19
Tema 1. Cinemática
- Altura máxima, ym .
Basta sustituir tm en la ecuación que da y = y(t).
2
v0 sen α
1
v0 α
ym = y(tm ) = v0 sen α
− g
g
2
g
=⇒
ym =
1 v02 sen2 α
2
g
- Tiempo de vuelo, tv .
Se define como el tiempo que tarda el proyectil en volver a la altura inicial, y = 0.
1
0 = v0 sen α t − gt2
2
=⇒
tv =
2v0 sen α
= 2tm
g
- Alcance, R.
Es la distancia horizontal total que recorre el proyectil, R = x(tv ).
R = x(tv ) = v0x
2v0 sen α
v2
v2
= 0 (2 sen α cos α) = 0 sen 2α.
g
g
g
Esta función toma un valor máximo para α = 45o . Téngase en cuenta que en estos
razonamientos no se ha tenido en cuenta la curvatura de la Tierra por lo que sólo son
válidos para alcances no demasiado grandes.
Ecuación de la trayectoria, y = y(x).
Eliminando t entre las ecuaciones x = x(t) e y = y(t) se obtiene:
y(x) = x tan α −
2v02
g
x2
2
cos α
que es la ecuación de una parábola invertida, de ahı́ que este tipo de movimiento reciba
el nombre de parabólico.
4.
Movimiento relativo
El concepto de movimiento siempre es un concepto relativo, pues debe referirse a un sistema
de referencia particular, escogido por el observador. Como diferentes observadores pueden elegir
distintos sistemas de referencia, es importante estudiar qué relación hay entre las observaciones
de uno y otro.
Por ejemplo, la mayor parte de las observaciones de nuestra vida cotidiana están referidas a
la Tierra, es decir, a un sistema de referencia que se mueve con ella (de forma muy compleja).
20
Tema 1. Cinemática
Sin embargo, los astrofı́sicos prefieren considerar como sistema de referencia, las denominadas
estrellas fijas (estrellas tan lejanas que su movimiento es inapreciable desde la Tierra) y en
fı́sica atómica el movimiento de los electrones se refiere al núcleo atómico. La posibilidad de
elegir un sistema de referencia absoluto preocupó durante mucho tiempo a fı́sicos y filósofos.
Y de hecho durante algunos siglos se supuso la existencia de un extraño sistema, llamado éter
que era una sustancia que llenaba el espacio vacı́o y se podı́a considerar como un sistema de
referencia absoluto. Hoy en dı́a la búsqueda de un sistema absoluto es innecesaria e irrelevante.
4.1.
Velocidad relativa
Consideremos dos objetos puntuales A y B y un observador O que utiliza como sistema de
referencia unos ejes cartesianos. Las velocidades de A y B respecto a O serán:
~vA =
d~rA
;
dt
~vB =
d~rB
dt
La velocidad relativa de B respecto de A será, ~rAB = d~rAB /dt, y la de B respecto de A:
~rBA = d~rBA /dt, donde ~rAB = ~rB − ~rA y ~rBA = ~rA − ~rB .
z
A
vA
vB
rAB
B
rA
rB
O
x
y
Como ~rAB = −~rBA resulta que las velocidades relativas son vectores idénticos pero con
sentidos opuestos: ~vAB = −~vBA .
d~rB d~rA
d~rAB
=
−
= ~vB − ~vA
dt
dt
dt
= −~vAB = ~vA − ~vB
~vAB =
~vBA
Luego la velocidad relativa es la diferencia vectorial de velocidades respecto al sistema O.
21
Tema 1. Cinemática
4.2.
Aceleración relativa
La aceleración relativa se calcula derivando respecto al tiempo la velocidad relativa:
~aAB =
d~vAB
d~vB d~vA
=
−
dt
dt
dt
=⇒
~aAB = ~aB − ~aA ,
~aBA = ~aA − ~aB
En el caso particular de que una de las dos partı́culas se desplace con velocidad constante, por
ejemplo, si ~vB = 0, la aceleración relativa es la de la otra partı́cula, ~aAB = ~a. Y si las dos se
desplazan con velocidad constante su aceleración relativa, evidentemente es cero.
22
Tema 1. Cinemática
5.
Problemas
1. La velocidad de una partı́cula que se mueve en lı́nea recta viene dada por v = 4t2 − 6t + 2
(S.I.). Sabiendo que en t = 0, x0 = 3 m, calcula:
a) Su posición en cualquier instante.
b) Su aceleración instantánea.
c) Su aceleración media entre t1 = 1 s y t2 = 2 s.
4
(Respuestas: a) x(t) = 3 + t3 − 3t2 + 2t; b) a(t) = 8t − 6;
3
c) ā = 6 m/s2 )
2. La variación de la aceleración de la gravedad con la altura viene dada por:
g=−
GM0
(R0 + h)2
y cuando h = 0, g0 = 9,8 m/s2 . Teniendo en cuenta esta expresión calcula la velocidad
inicial, v0 , que habrı́a que darle a un objeto para que lanzado desde la superficie terrestre
ascienda una altura vertical de 4000 km. (R0 = 6000 km).
3. La ecuación que define la trayectoria de una partı́cula en un plano XY viene dada por
√
~r = 5t~i + (10 3t − 5t2 ) ~j. Determı́nense:
a) La ecuación de su trayectoria, y = f (x).
b) Los vectores velocidad y aceleración.
c) Los módulos de la aceleración tangencial y normal en t = 1 s.
√
√
1
(Respuestas: a) y(x) = 2 3x − x2 . b) ~v = 5~i + 10( 3 − t) ~j;
5
at = 8,2 m/s2 ; an = 5,7 m/s2 )
~a = −10 ~j.
c)
◦
4. Se dispara un cañón con una inclinación de 45 respecto a la horizontal, siendo la velocidad
inicial del proyectil 490 m/s. Calcúlense:
a) El alcance, la altura máxima y los tiempos correspondientes.
b) La posición del proyectil y su velocidad al cabo de 2 s.
◦
5. Una pelota rueda por un tejado que forma un ángulo de 30 con la horizontal y al llegar a
su extremo tiene una velocidad de 10 m/s. La altura del edificio es de 60 m y la anchura
de la calle a la que vierte el tejado es de 30 m. Calcula:
23
Tema 1. Cinemática
a) Las ecuaciones de movimiento de la pelota y la ecuación de su trayectoria.
b) ¿Llegará directamente al suelo o chocará antes con la pared opuesta?
c) Tiempo que tarda en llegar al suelo y velocidad en ese momento.
◦
d) Posición en que se encuentra cuando su velocidad forma un ángulo de 45 con la
horizontal.
(Respuestas: a) ~a(t) = −9,8 ~j (S.I.); ~v (t) = (v0 cos α, −v0 sen α−gt); ~r(t) = (v0 t cos α, y0 −
1
v0 t sen α− gt2 ); b) No choca con la pared; c) t = 3 s; v = 35,5 m/s; d) ~r = 3,5~i+2,8 ~j
2
(S.I.).)
6. Una barca que se dirige hacia el norte cruza un rı́o muy ancho con una velocidad de 10
km/h con respecto al agua. La velocidad del agua del rı́o es de 5 km/h hacia el este.
a) Determina la velocidad del bote respecto a un observador estacionario en tierra.
b) Si el bote desease ir directamente hacia el norte (con la misma velocidad), ¿en qué dirección debe dirigirse?
7. Un avión militar vuela horizontalmente a una velocidad de 360 km/h y a una altura de
1000 m.
a) Si quiere lanzar una bomba sobre un objetivo estático en tierra, ¿a qué distancia
horizontal de éste debe hacerlo?
b) Si el objetivo es un camión que circula a 72 km/h en la misma trayectoria rectilı́nea
que el bombardero, ¿a qué distancia debe lanzar la bomba, tanto si el camión se acerca
como si se aleja?
(Respuestas: a) x = 1429 m;
b) x = 1714 si se acerca y x = 1143 si se aleja.)
8. Un cuerpo inicialmente en reposo se mueve en una trayectoria rectilı́nea con una aceleración a = m e−nt , donde m y n con constantes. Calcula la velocidad máxima que puede
alcanzar el cuerpo y el espacio recorrido en un tiempo t.
9. a) Un disco gira a 33,3 rev/min. ¿Cuál es su velocidad angular?
b) Un disco gira con aceleración angular constante α = 2 rad/s2 . Si parte del reposo,
¿Cuántas revoluciones dará en los 10 primeros segundos?
c) ¿Cuál es la velocidad angular del disco del apartado anterior al cabo de 10 s?
24
Tema 1. Cinemática
(Respuestas: a) ω = 3,5 rad/s; b) θ = 15,9 rev; c) ω = 20 rad/s. )
10. El vector de posición de una partı́cula que se mueve en una trayectoria plana es ~r =
[5 cos(πt) − 1]~i + (5 sen(πt) + 2]~j (S.I.).
a) Demuéstrese que el movimiento es circular y uniforme.
b) Calcula el radio de la trayectoria.
c) Calcula la frecuencia del movimiento.
11. Las ecuaciones paramétricas del movimiento de una partı́cula son: x = 3 + 2t + 4t2 ; y =
−1 + t + 2t2 ; z = 5 − 3t − 6t2 . Determinar: a) El tipo de movimiento descrito por la
partı́cula. b) La ecuación de la trayectoria. c) La velocidad media en el intervalo de tiempo
(1, 3). d) La ley horaria del movimiento, tomando como origen su posición en t = 0 s.
x−3
= y+1 =
(Respuestas: a) Movimiento rectilı́neo uniformemente acelerado; b)
2
√
z−5
; c) (18, 9, −27) m/s; d) 14 (2t2 + t))
−3
12. Un punto material se mueve en el plano XY con las siguientes velocidades y aceleraciones:
vy = 8t (m/s) ; ax = 4t (m/s2 ) con t en segundos. Cuando t = 0 s, ~r = (0, 2) m, vx = 0
m/s. Hallar: a) La ecuación cartesiana de la trayectoria. b) La rapidez de la partı́cula
cuando la coordenada x alcanza el valor de 18 m.
13. Un trineo impulsado por motores-cohete inicia su movimiento desde el reposo con una
aceleración a1 = 9x m/s2 , debiendo obtener una velocidad de 80 m/s en el punto B de
la plataforma de lanzamiento de longitud D. Después de haber dejado la plataforma de
lanzamiento en el punto B, el trineo empieza a desacelerarse con una a2 = −0, 2t m/s2 ,
hasta detener su movimiento en el punto C. Calcular: a) La longitud D necesaria para la
plataforma de lanzamiento. b) El tiempo requerido por el trineo para recorrer la distancia
de B a C. c) La longitud requerida L entre los puntos B y C.
(Respuestas: a) 26, 67 m;
b) 28, 28 s; c) 1508, 49 m)
25
Tema 1. Cinemática
14. Una partı́cula se mueve en el plano XY con las siguientes velocidades vx = 2/x m/s ,
vy = 2t + 4 m/s, y para t = 0 s la posición de la partı́cula es (0, 1) m. Calcular: a) La
ecuación de la trayectoria. b) La velocidad y aceleración para t = 1 s. c) La pendiente de
la trayectoria para t = 1 s. d) La aceleración tangencial, aceleración normal y radio de
curvatura para t = 1 s.
◦
15. Se lanza una partı́cula de masa m con un ángulo de 45 respecto de la horizontal, desde un
punto situado a una altura de 2 m sobre el suelo. La partı́cula cae al suelo a una distancia
g
de 18 m. Teniendo en cuenta que la aceleración debida al viento es av = (1, 1) (m/s2 ),
3
siendo g la aceleración de la gravedad. Calcular: a) La velocidad inicial. b) La velocidad
con la que la partı́cula llega al suelo. c) La altura máxima alcanzada por la partı́cula.
◦
(Respuestas: a) 7, 93 m/s; b) 14, 38 m/s ; α = −31, 87 ;
c) 4, 41 m)
16. Un artillero dispara una pieza 10 s después se ve en el cielo la nubecilla de la explosión que
◦
se halla 30 sobre la horizontal y 2 s después de verla, oye el estampido que el proyectil
gt
produce al explosionar. Si la aceleración del viento es av = − (m/s2 ) en dirección
10
horizontal y suponiendo la velocidad del sonido en el aire 340 m/s, calcula la velocidad
inicial del proyectil y el ángulo de tiro.
17. La ecuación del movimiento de una partı́cula que se desplaza por una circunferencia
viene dada por: s = 1 − t + 2t2 (S.I.). Calcular: a) La rapidez del móvil y su aceleración
tangencial, normal y total en el instante t = 2 s, sabiendo que an = 0, 2 m/s2 para t = 1
s. b) La aceleración angular y la velocidad angular para t = 10 s.
(Respuestas: a) 7 m/s; at = 4 m/s2 ; an = 1, 09 m/s2 ; a = 4, 15 m/s2 ; b) 88, 89×10−3
rad/s2 ; 0, 87 rad/s)
Tema 1. Cinemática
26
18. Una partı́cula se mueve sobre un cı́rculo de radio r = 2 m según la ley φ = 3t2 − 2t,
donde φ está expresado en radianes y t en segundos. Calcular: el ángulo descrito, el arco
recorrido, las velocidades lineal y angular, y las aceleraciones tangencial, centrı́peta y
angular a los 4 s de iniciado el movimiento.
x2
dirigiéndose hacia el punto O, como muestra la
50
figura. La rapidez de la partı́cula es de la forma v = 10t (m/s). a) Si la partı́cula tarda
19. Una partı́cula recorre la parábola y =
3 s en llegar al punto A, calcular el vector velocidad y las componentes intrı́nsecas de
la aceleración en A. b) Si la partı́cula tarda 5 s en llegar al punto O, calcular el vector
velocidad y las componentes intrı́nsecas de la aceleración en O.
(Respuestas: a) ~v = (−13,42, −26,83) m/s; 10 m/s2 ; 3,22 m/s2 ;
b) ~v = (−50, 0)
m/s; 10 m/s2 ; 100 m/s2 )
20. La pesa B está conectada a una polea doble por uno de los cables inextensibles mostrados en la figura.El movimiento de la polea es controlado por el cable C que tiene una
aceleración constante de 23 cm/s2 y una velocidad inicial de 30 cm/s, ambas dirigidas a
la derecha. Determina: a) El número de revoluciones ejecutadas por la polea en 2 s. b)
La velocidad y el cambio en la posición de la pesa B después de 2 s. c) La aceleración del
punto D sobre el borde de la polea interior de t = 0 s.
Tema 1. Cinemática
27
21. El ensamble que se muestra está compuesto por dos varillas y una placa rectangular
BCDE soldadas entre si. El ensamble gira alrededor del eje AB con velocidad angular
constante de 10 rad/s y que disminuye a razón de 20 rad/s2 . Si la rotación es en sentido
contrario al de las manecillas del reloj cuando se observa desde B, determina la velocidad
y aceleración de C.
(Respuestas: ~vC = (0, −2,4, −1,8) m/s; ~aC = (18, 19,2, −15,6) m/s2 )
22. La varilla acodada ABCD gira con velocidad angular constante 75 rad/s y que disminuye
a razón de 600 rad/s2 alrededor de una lı́nea que une los puntos A y D. Si en el instante
considerado la velocidad de la esquina C va hacia arriba, determina velocidad y aceleración
para la esquina B.
Tema 1. Cinemática
28