Hoja de Problemas 3. Mecánica Cuántica I.

Hoja de Problemas 3. Mecánica Cuántica I.
Fundamentos de Fı́sica III. Grado en Fı́sica.
Curso 2015/2016. Grupo 516. UAM.
Entrega: 10-02-2016. Recogida: 24-02-2016. Problemas a entregar: 2, 4, 5, 7 y 9
Problema 1
Una bombilla incandescente de 40 W radı́a a partir de un filamento de tungsteno que opera a una
temperatura de 3300 K. Suponiendo que la bombilla radı́a como un cuerpo negro calcula: (a) La
frecuencia y la longitud de onda donde se encuentra el máximo de la distribución espectral. (b)
Suponiendo que la frecuencia calculada en el apartado anterior es una buena aproximación para
la frecuencia media de los fotones emitidos por la bombilla, ¿cuántos fotones emite por segundo la
bombilla aproximadamente?. (c) Imagina que estás mirando a la bombilla desde una distancia de
5 m ¿cuántos fotones entran en tu ojo por unidad de tiempo? (puedes suponer que el diámetro de
la pupila es de 5.0 mm)
Problema 2
Determinar la fracción de energı́a irradiada por el Sol en región del visible del espectro electromagnético. Supóngase que la temperatura de la superficie del sol es de 5800 K.
Problema 3
Derivación de la ley de Wien a partir de la ley de Planck: (a) Demostrar que la distribución de
densidad de energı́a se puede escribir como u = Cλ−5 (ea/λ − 1)−1 , donde C es una constante y
a = hc/kB T . (b) Demostrar que el valor de λ para el cual se cumple que du/dλ = 0 satisface la
ecuación 5λ(1 − e−a/λ ) = a. (c) Esta ecuación trascendente se puede resolver mediante prueba
y error. Intentar una solución λ = αa para varios valores de α hasta determinar el cociente λ/a
con cuatro cifras significativas. (d) Demostrar que la solución obtenida en el apartado (c) implica
λm T = constante, y calcular el valor de la constante.
Problema 4
Cuando luz de 450 nm de longitud de onda incide sobre una superficie de potasio se emiten electrones
con una energı́a cinética de 0.52 eV. Si se cambia la longitud de onda de la luz incidente a 300 nm,
la energı́a cinética de los electrones expulsados es de 1.90 eV. Usando únicamente estos números y
el valor de la velocidad de la luz, calcula: (a) El valor de la función de trabajo del potasio. (b) El
valor de la constante de Planck.
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Problema 5
En una colisión Compton con un electrón, un fotón de luz violeta (λ= 400 nm) es dispersado hacia
atrás con un ángulo de 180◦ . (a) ¿Cuánta energı́a (en eV) se transfiere al electrón en esta colisión?
(b) Comparar este resultado con la energı́a que adquirirı́a este electrón en un proceso fotoeléctrico
con el mismo fotón. (c) ¿Podrı́a la luz violeta expulsar electrones de un metal por colisión Compton?
Problema 6
Para resolver objetos pequeños se mide la difracción de partı́culas cuya longitud de de Broglie es
comparable al tamaño del objeto. Determinar la energı́a cinética (en eV) necesaria para que los
electrones resuelvan: (a) Una gran molécula orgánica con un tamaño de 10 nm. (b) Los detalles
de la estructura atómica (0.1 nm). (c) Un núcleo de 10 fm de diámetro. Repetir el cálculo usando
partı́culas alfa en lugar de electrones. Nota: la masa de una partı́cula alfa es de aproximadamente
4u, donde uc2 = 931.5 MeV (u es la llamada unidad de masa unificada).
Problema 7
Se pide: (a) Demostrar que la relación relativista entre la longitud de onda de de Broglie, λ, de una
partı́cula y su correspondiente energı́a cinética, K, viene dada por
λ
1
=
λc
[2(K/E0 ) + (K/E0 )2 ]1/2
donde λc = h/mc es la longitud de onda de Compton y E0 es la energı́a en reposo de la partı́cula.(b)
Demostrar que esta expresión se reduce al resultado no-relativista en el lı́mite de bajas velocidades.
(c) Representar gráficamente la longitud de onda frente a la energı́a cinética y comparar el resultado
clásico con el relativista.
Problema 8
Los protones y neutrones en un núcleo se mantienen ligados mediante el intercambio de piones (o
mesones π). Esto es posible sin violar la conservación de la energı́a, siempre y cuando el pión sea
reabsorbido en un tiempo consistente con el principio de incertidumbre de Heisenberg. Consideremos
la reacción de emisión p → p + π , donde mπ = 135 MeV/c2 . (a) Ignorando la energı́a cinética, ¿por
cuánto se vioları́a el principio de conservación de la energı́a en esta reacción? (b) ¿En qué intervalo
de tiempo debe ser absorbido el pión para no violar la conservación de la energı́a?
Problema 9
(a) Considérese una partı́cula de masa m restringida a moverse en una dimensión entre dos barreras
infinitas separadas por una distancia L. Utilice el principio de incertidumbre para obtener una
expresión para la energı́a del punto cero (o energı́a mı́nima) de la partı́cula. (b) Usando el resultado
del apartado anterior, calcular la energı́a mı́nima de un electrón en dicho espacio si L = 10−10 m
¿y si L = 1 cm? (c) Calcular la energı́a del punto cero para una masa de 100 mg moviéndose en un
cable fino entre dos extremos separados por 2 cm.
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