´Optica

Óptica
Talento Matemático
Real Academia de Ciencias
JLF
Primavera de 2001
Aunque no es indispensable, en estos ejercicios aparecen el
seno y el coseno de un ángulo. No hace falta un desarrollo
de trigonometrı́a, tan sólo que el seno y el coseno son
caracterı́sticas del ángulo, el significado de seno próximo
a cero y seno próximo a uno, y que seno y coseno de
complementarios son iguales. Basta con dedicar unos
minutos iniciales.
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Talento Matemático. Real Academia.
La luz
¿Cómo viaja la luz? Siempre tardando lo menos posible. Los
caminos que recorre la luz no son los más cortos en cuanto a
distancia, pero sı́ en cuanto a tiempo.
En un medio homogéneo la velocidad de la luz es siempre la misma
y la luz viaja en lı́nea recta.
Refracción. Cuando un rayo de luz pasa de un medio homogéneo a
otro medio homogéneo pero en los que las velocidades con las que
viaja la luz son distintas, el rayo de luz cambia de dirección: es el
fenómeno de refracción.
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1.
El principio de Fermat y Descartes. Por encima de la recta
L la luz viaja a velocidad constante v y por debajo con velocidad
constante w. Un rayo de luz parte del punto A atraviesa la recta
L en C y luego sigue hasta B . La trayectoria de A a C es una
lı́nea recta, y la trayectoria de C a B también. Queremos averiguar
como se dobla en el punto C , por eso aparecen los ángulos α y β .
Si las velocidades v y w fueran iguales, entonces los ángulos α y β
serı́an también iguales.
☛
v
✡
A
✟
✠
α
C
L
β
☛
w
✡
✟
✠
B
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Marquemos el punto D como en la figura. Con centro en A
trazamos el cı́rculo que pasa por C y determinamos el punto e y
con centro en B trazamos el cı́rculo que pasa por C y determinamos
el punto f .
...
...
...
...
...
A...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
...
....
....
...
....
.... ....
..e.. ...
.... ..f
......
C
D ...........
... ....
....
...
....
...
....
...
....
...
....
....
...
....
...
....
...
....
...
.
...
...
...
B
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Si vamos de A a D a velocidad v y de D a B con velocidad w
tardamos más que la luz.
i) Deducir que
eD
fD
≥
v
w
ii) Considerando los triángulos isósceles ACe y BDf concluir
(habrá que ir acercando el punto D al punto C ) que
sen(β)
sen(α)
≥
v
w
iii) Argumentando con un punto D al otro lado de C deducir que
sen(α)
sen(β)
=
v
w
Esta es la ley de Fermat y de Descartes.
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2.
Mi velocidad nadando es la quinta parte de mi velocidad
corriendo. Estoy en el punto A y quiero llegar al B lo antes
posible. Con los datos que se muestran en la figura: ¿dónde debo
lanzarme al agua?






300 m.




..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
..
.
Tierra
A
B
Agua
600 m.
C
D
...
..
..
..
..
..



100 m.
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3.
Desde el punto A de la figura veo en el punto C sobre el
agua la imagen de un pez que está a un metro de profundidad, si
quiero tocarlo con un palo recto y largo, ¿dónde debe entrar el palo
en el agua? Suponemos que la velocidad de la luz en el agua es la
mitad de la velocidad de la luz en el aire. Desde el punto B al
punto C sobre la superficie del agua hay 4 metros. (Las divisiones
sucesivas que se han marcado sobre la superficie están a 1 metro
de distancia.)
Aire
B
A.
....
...
..
1 metro ....
... ✌
.. H
I
J
K
C
L
M
✻
Superficie del agua
Agua
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4.
¿Qué vemos si miramos desde A con ángulo α? Distinguir
los casos:
i) α = 0
ii) 0 < α < 60 grados
iii) α = 60
iv) α > 60
Téngase en cuenta que:
60
2
1
90
√
3
30
Las bandas de aire frı́o y de aire caliente son del mismo ancho
A....
... ....
..
... α.s
...❄ .......
.... de luz
rayo
...
....
...
....
...
....
.
...
..


vel. luz = 0.5—-aire fro



vel. luz = 1—-aire caliente

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5. ¿Si miramos desde fuera del agua a algo que está dentro del
agua, lo vemos más grande o más pequeño?
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