Volvemos al hermoso tema de la simetrīıa. Además de la imágenes

Simetrı́a
Talento Matemático 2002/2003. Real Academia de Ciencias
Volvemos al hermoso tema de la simetrı́a. Además de la imágenes de
multitud de objetos y de seres vivos que poseen simetrı́as ¿recuerdas
en qué consistı́a una simetrı́a desde el punto de vista matemático?,
¿y a qué llamábamos movimiento?
Tenı́amos una lista de todos los movimientos posibles en un plano...
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1. Mundo tridimensional
Saltamos al espacio: un objeto geométrico bien conocido es el dado
o cubo ¿puedes encontrar los movimientos que lo dejan tal como
es?
‘Y la lista de movimientos, ¿será la misma en el espacio que
en el plano? Tendremos reflexiones y giros pero ¿con respecto
a qué objetos? Además, en tres dimensiones hay muchas más
posibilidades que en dos, seguro que aparece algún movimiento
nuevo. . . Encuentra la lista completa y para cada movimiento piensa
en algún objeto que se quede quieto cuando se lo aplicas.
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En el mundo de la quı́mica, existe una molécula con una estructura
increı́blemente inusual y con el mayor número de simetrı́as entre
todas las moléculas conocidas. Esto la hace ser especialmente
bella y además le aporta propiedades fı́sicas y quı́micas inusuales.
El buckminsterfulereno está formado por 60 átomos de carbono,
cada uno de los cuales ocupa una posición equivalente. Las uniones
quı́micas entre estos átomos siguen el mismo patrón que las costuras
de una pelota de fútbol, como se muestra en la figura.
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¿Te atreves a encontrar algunas de (o todas) sus simetrı́as? Pista:
Posee las mismas que un icosaedro regular, porque se obtiene de él
cortando cada vértice para obtener las 12 caras pentagonales y 20
hexagonales de un icosaedro truncado.
Si te sigue resultando difı́cil, prueba primero con las de una molécula
que tenga 6 átomos, pensando que cada uno es una pequeña esfera
situada en un vértice de un hexágono regular.
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2. Los grupos de simetrı́a
Volvemos a la estrella de mar: si te has fijado bien, hay diez
posibles movimientos que la dejan “quieta”: las rotaciones de ángulo
360/5 = 72, 2 × 72 = 144, 3 × 72 = 216, 4 × 72 = 288 y
5 × 72 = 360 alrededor de su centro y las reflexiones respecto a
las rectas que parten de cada una de sus puntas.
Imagina que aplicas dos de estas transformaciones seguidas. Por
ejemplo, una rotación de ángulo 72 seguida de otra rotación de
ángulo 144. ¿Qué le ocurre a la estrella? ¿Qué transformación
obtienes al combinar o componer esas dos rotaciones? ¿Pasará lo
mismo con otras combinaciones?
Acabas de comprobar que la colección de simetrı́as que posee
un objeto no es una colección cualquiera, tiene una estructura
especial: la combinación de dos simetrı́as es otra vez una simetrı́a.
Matemáticamente, a esto se le llama tener estructura de grupo. El
de las simetrı́as de la estrella de mar (o de un pentágono regular)
se llama grupo diédrico de orden 5, D5.
En un grupo debe cumplirse además que:
existe un elemento inofensivo, llamado elemento neutro, que al
ser combinado con cualquier otro, no lo altera. Es como el 0 al
sumar o el 1 al multiplicar. ¿Quién hace de elemento neutro en
el grupo de simetrı́as de un objeto?
cada elemento tiene su media naranja, llamada elemento inverso
del elemento original: al combinar los dos, en cualquier orden se
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obtiene el elemento neutro. Encuentra el inverso de cada una de
las simetrı́as de la estrella de mar.
También tienen la propiedad asociativa. Pero atención, no tiene
por qué cumplirse la propiedad conmutativa.
Podrı́amos pensar de repente que cualquier conjunto va a ser un
grupo. Considera, por ejemplo, en el cuadrado, todas las reflexiones
en los ejes de simetrı́a. ¿Qué ocurre al combinar dos de ellas?
Grupos famosos: Además de Estopa, Mago de Oz. . . claro.
El propio Leonardo da Vinci estudió todas las posibles simetrı́as
de un edificio con capillas adyacentes, demostrando un resultado
matemático: todos los grupos de transformaciones del plano con un
número finito de elementos son, o bien algún grupo diédrico Dn ,
o algún grupo de los llamados cı́clicos de orden n o simplemente
Zn (un ejemplo de Z3 son las rotaciones de ángulo múltiplo de
360/3 = 120).
Antes hemos trabajado con polı́gonos regulares. Euclides demostró que existen exactamente 5 sólidos regulares (sus caras son
polı́gonos regulares idénticos y el conjunto de caras compartido por
un vértice es siempre el mismo). De hecho, Platón ya los conocı́a y
por eso se les llama sólidos platónicos.
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Las esferas de Kepler
Los grupos de simetrı́a de los sólidos platónicos son especialmente
interesantes. Ya hemos visto que, para el cubo, el grupo de simetrı́a
tiene 48 elementos De ellos, 24 son rotaciones y 24 reflexiones.
El resto tienen grupos de: 48 elementos (octaedro), 120 (dodecaedro
e icosaedro) y 24 (tetraedro). De hecho, en vez de cinco grupos
diferentes, existen sólo tres, llamados octaédrico, icosaédrico y
tetraédrico respectivamente.
¿Por qué razón cubo y octaedro, por ejemplo, tienen el mismo
grupo de simetrı́a? Piensa en el sólido que obtienes al considerar
los centros de las caras del cubo como centros de un nuevo sólido.
¿Encuentras la razón por la que el tetraedro “baila solo”?
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3. La geometrı́a es simetrı́a
Poniendo el mundo al revés, la simetrı́a no es una casualidad o
un accidente de la geometrı́a. . . , ¡ah! ¿no? Desempeña un papel
muchı́simo más importante.
Empecemos diciendo que se puede hablar de diferentes geometrı́as.
Probablemente, todos conocemos la de Euclides: la “primera”. En
ella se habla de ángulos, longitudes, áreas, etc. A todos nos parece
natural pensar en esos términos y a todos nos suena que la suma
de los ángulos de un triángulo es 180o. Pero, por ejemplo, la
geometrı́a de la superficie de una esfera, ¿es igual que la anterior?
Si dibujamos un triángulo en la cáscara de una naranja, ¿nos parece
que sus ángulos suman 180o?
¿Qué está pasando? La geometrı́a esférica es una geometrı́a diferente
de la euclı́dea, pero igual de lógica y consistente. Simplemente parte
de premisas diferentes.
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. . . No se vayan todavı́a, aún hay más. . . La geometrı́a proyectiva,
por ejemplo, modeliza la manera de ver del ojo humano y, entre
otras cosas, distorsiona las longitudes: lo lejano lo vemos pequeño,
etc. En ella, dos rectas en un plano siempre se cortan, no existen
las rectas paralelas de la geometrı́a euclı́dea. Por ejemplo, ¿cómo
vemos dos vı́as del tren al mirar al horizonte?
Esta geometrı́a ha sido utilizada frecuentemente por los artistas
para recrear la perspectiva.
¿Y qué tiene que ver todo esto con la simetrı́a? Pues que las
diferentes geometrı́as surgen como consecuencia de las simetrı́as.
Pero . . . ¿qué estamos diciendo?
Por ejemplo, si pensamos en los grupos de simetrı́a y tomamos el
de los movimientos del plano, sabemos que la distancia, propiedad
tı́pica de la geometrı́a euclı́dea, se conserva. Si, en cambio, consideramos el grupo de las proyecciones, ya no se conserva la distancia
pero sı́ por ejemplo el hecho de dos rectas se corten o varios puntos
estén alineados, y entonces estas propiedades son las tı́picas de la
geometrı́a proyectiva . . .
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