Tarea 2 Cálculo Diferencial e Integral IV Profa. Molina

Tarea 2
Cálculo Diferencial e Integral IV
Profa. Molina Ramı́rez Andrea, Profa. Vargas Cruz Karina, Prof. Esteban Rubén Hurtado
Cruz
fecha de entrega: 16/Agosto/12
1.-Demuestre las siguientes propiedades. Sea f,g:R⊂ Rn → R tales que f y g son integrables
sobre R
a) f g es integrable sobre R
R R
b) |f | es integrable sobre R y además R f ≤ R |f |
c) máx(f, g) y mı́n(f, g) son integrables sobre R.
(recuerda que máx(f, g) =
f +g+|f −g|
2
y mı́n(f, g) =
f +g−|f −g|
)
2
2.- Sea f (x, y) = 2x2 + y en [0, 2] × [0, 1].
a) Usando sumas de Riemman calcular las sumas superiores e inferiores de f.
b) Para concluir el ejercicio, usa la definición en clase:
Z Z
f dA = lı́m
n→∞
m X
n
X
mij A(Rij ) =
i=1 j=1
m X
n
X
Mij A(Rij )
i=1 j=1
y calcula el valor de la integral.
3.-Probar que si E1 , ..., Ek tienen contenido cero en Rn entonces
Tk
j=1
Ej también tienen con-
tenido cero.
4.-Demostrar que en la definición de contenido cero y medida cero pueden sustituirse los
rectángulos cerrados por rectángu- los abiertos.
5.-Dar un ejemplo de un conjunto cerrado de medida cero que no tenga contenido cero
6.-Pruebe que si a < b, entonces [a, b] ⊂ R no tiene contenido cero
7.-Pruebe que, si f es integrable sobre el rectángulo R ⊂ Rn , entonces f es integrable sobre
cualquier rectángulo R0 ⊂ R
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